Post on 25-Jun-2015
Regresia liniară simplă- studiu de caz -
Asist. univ. drd. Cătălin Deatcu
Universitatea Artifex - Bucureşti
Etapele conceperii şi rezolvării unui model
econometricFormularea teoriei sau a ipotezelor
Alegerea unui model matematic corespunzător
Alegerea unui model statistic sau econometric
Culegerea, prelucrarea şi prezentarea datelor economice
Estimarea parametrilor modelului
Previzionarea evoluţiei fenomenului studiat
Utilizarea efectivă a modelului econometric
Testarea ipotezelor modelului
Formularea teoriei economice
Legea lui Keynes
„Omul este dispus să îşi mărească nivelului consumului pe măsură ce veniturile sale cresc, însă cu o rată de creştere mai mică decât a acestuia din urmă”.
Rata marginală a consumului este mai mare decât zero, dar mai mică de unu.
Prezentarea datelor economice
Pentru a exemplifica modalitatea de concepere şi rezolvare a unui model econometric bazat pe legea lui Keynes vom utiliza o serie de date referitoare la consumul anual şi la veniturile înregistrate de o familie în perioada 1992 – 2006:
Prezentarea datelor economice
Anul Consum (u.m.) Venituri (u.m.)
1992 3080 4620
1993 3240 4800
1994 3400 5140
1995 3570 5330
1996 3710 5490
1997 3820 5650
1998 3970 5860
1999 4070 6060
2000 4130 6140
2001 4110 6080
2002 4220 6250
2003 4340 6390
2004 4490 6610
2005 4590 6740
2006 4710 6930
Reprezentarea grafică a datelor
4500
5000
5500
6000
6500
7000
2800 3200 3600 4000 4400 4800
CONSUM
VENIT
URI
VENITURI vs. CONSUM
Alegerea modelului matematic
y = α + β·xunde: y = cheltuieli pentru consum; x = venituri realizate; α, β = parametrii modelului; β = înclinaţia marginală spre consum;
0< β < 1
Alegerea modelului econometric
y = α + β·x + u
unde: y = cheltuieli pentru consum;
y → variabila endogenă (dependentă, rezultativă); x = venituri realizate;
x → variabila exogenă (independentă, factorială); α, β = parametrii modelului de regresie; u = eroarea modelului;
u → variabila reziduală
u → reprezintă influenţa factorilor nespecificaţi în model –
factori întâmplători – asupra variabilei rezultative Y.
Estimarea parametrilor modelului liniar de
regresie
α, β = parametrii modelului de regresie
În cazul problemelor de regresie liniară simplă, metoda utilizată în mod curent pentru estimarea parametrilor modelului este metoda celor mai mici pătrate.
Estimarea parametrilor modelului liniar de
regresie
Utilizarea metodei celor mai mici pătrate porneşte de la relaţia:
yt = α + β · xt + ut
t = 1 ÷ n
t → numărul observaţiilor efectuate asupra
fenomenului considerat
t = 1 ÷ 15
Estimarea parametrilor modelului liniar de
regresiett xβα y
→ valorile teoretice ale variabilei y (consumul familiei) obţinute numai în funcţie de valorile factorului esenţial x (veniturile familiei) şi de valorile estimatorilor parametrilor α şi β, respectiv şiα
ty
β
tttt x)β (β )α (α yy u ut → estimaţiile valorilor variabilei reziduale
Estimarea parametrilor modelului liniar de
regresie
2n
1ttt
2n
1ttt )xβα(ymin)y(ymin)β,αF(
Metoda celor mai mici pătrate presupune minimizarea funcţiei:
Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din: tt yxβαn0αF
tt2
t xyxβxα0βFt
Astfel, în vederea determinării parametrilor modelului de regresie se va rezolva sistemul format din cele două ecuaţii prezentate anterior.
Estimarea parametrului β
2tt
ttt
t
xx
n
yxx
yn
βtx
Estimarea parametrului α
n:yxβαn tt
tt
tt
xβyα
n
y
n
xβα
Tabel utilitar 1t yt xt xtyt xt
2
1 3.080 4.620 14.229.600 21.344.4002 3.240 4.800 15.552.000 23.040.0003 3.400 5.140 17.476.000 26.419.6004 3.570 5.330 19.028.100 28.408.9005 3.710 5.490 20.367.900 30.140.1006 3.820 5.650 21.583.000 31.922.5007 3.970 5.860 23.264.200 34.339.6008 4.070 6.060 24.664.200 36.723.6009 4.130 6.140 25.358.200 37.699.60010 4.110 6.080 24.988.800 36.966.40011 4.220 6.250 26.375.000 39.062.50012 4.340 6.390 27.732.600 40.832.10013 4.490 6.610 29.678.900 43.692.10014 4.590 6.740 30.936.600 45.427.60015 4.710 6.930 32.640.300 48.024.900
Total 59.450 88.090 353.875.400 524.043.900
Estimarea parametrului β
0,706β
0100.810.4071.180.500
1007.759.848.-5007.860.658.5005.236.950.-0005.308.131.
β
0524.043.9088.09088.09015
0353.875.4088.09059.45015
xxxn
yxxyn
β
2tt
t
ttt
t
ˆ
706,0ˆ
ˆ
Estimarea parametrului α
tt xβyα
5.872,6715
88.090x
3.963,3315
59.450y
t
t
n
x
n
y
t
t
-183,26α
-183,265.872,670,706-3.963,33xβyα tt
ˆ
ˆˆ
Determinarea valorilor estimate ale variabilei
endogenetttt x706,026,183y xβα y
t yt xt
1 3.080 4.620 -183,26 0,706 3.261,72 3.078,462 3.240 4.800 -183,26 0,706 3.388,80 3.205,543 3.400 5.140 -183,26 0,706 3.628,84 3.445,584 3.570 5.330 -183,26 0,706 3.762,98 3.579,725 3.710 5.490 -183,26 0,706 3.875,94 3.692,686 3.820 5.650 -183,26 0,706 3.988,90 3.805,647 3.970 5.860 -183,26 0,706 4.137,16 3.953,908 4.070 6.060 -183,26 0,706 4.278,36 4.095,109 4.130 6.140 -183,26 0,706 4.334,84 4.151,5810 4.110 6.080 -183,26 0,706 4.292,48 4.109,2211 4.220 6.250 -183,26 0,706 4.412,50 4.229,2412 4.340 6.390 -183,26 0,706 4.511,34 4.328,0813 4.490 6.610 -183,26 0,706 4.666,66 4.483,4014 4.590 6.740 -183,26 0,706 4.758,44 4.575,1815 4.710 6.930 -183,26 0,706 4.892,58 4.709,32
Total 59.450 88.090 59.442,64
β txβ tyα
Determinarea valorilor variabilei reziduale
ttt yy u
t yt ut
1 3.080 3.078,46 1,542 3.240 3.205,54 34,463 3.400 3.445,58 -45,584 3.570 3.579,72 -9,725 3.710 3.692,68 17,326 3.820 3.805,64 14,367 3.970 3.953,90 16,108 4.070 4.095,10 -25,109 4.130 4.151,58 -21,5810 4.110 4.109,22 0,7811 4.220 4.229,24 -9,2412 4.340 4.328,08 11,9213 4.490 4.483,40 6,6014 4.590 4.575,18 14,8215 4.710 4.709,32 0,68
Total 59.450 59.442,64 7,36
ty
Determinarea valorii abaterii
medii pătratice a variabilei reziduale
20,97439,6ss
439,6215
71,714.5s
kn
u
kn
yys
2uu
2u
2t
2tt2
u
t yt ut ut2
1 3.080 3.078,46 1,54 2,372 3.240 3.205,54 34,46 1.187,493 3.400 3.445,58 -45,58 2.077,544 3.570 3.579,72 -9,72 94,485 3.710 3.692,68 17,32 299,986 3.820 3.805,64 14,36 206,217 3.970 3.953,90 16,10 259,218 4.070 4.095,10 -25,10 630,019 4.130 4.151,58 -21,58 465,7010 4.110 4.109,22 0,78 0,6111 4.220 4.229,24 -9,24 85,3812 4.340 4.328,08 11,92 142,0913 4.490 4.483,40 6,60 43,5614 4.590 4.575,18 14,82 219,6315 4.710 4.709,32 0,68 0,46
Total 59.450 59.442,64 7,36 5.714,71
ty
Determinarea valorii abaterii
medii pătratice a estimatorilor α şi β
2
t
22u
2α
xx
x
n
1ss
t xt
1 4.620 5.872,67 -1.252,67 1.569.173,782 4.800 5.872,67 -1.072,67 1.150.613,783 5.140 5.872,67 -732,67 536.800,444 5.330 5.872,67 -542,67 294.487,115 5.490 5.872,67 -382,67 146.433,786 5.650 5.872,67 -222,67 49.580,447 5.860 5.872,67 -12,67 160,448 6.060 5.872,67 187,33 35.093,789 6.140 5.872,67 267,33 71.467,1110 6.080 5.872,67 207,33 42.987,1111 6.250 5.872,67 377,33 142.380,4412 6.390 5.872,67 517,33 267.633,7813 6.610 5.872,67 737,33 543.660,4414 6.740 5.872,67 867,33 752.267,1115 6.930 5.872,67 1.057,33 1.117.953,78
Total 88.090 6.720.693,33
x xxt 2xxt
2
t
2u
2β xx
1ss
Determinarea valorii abaterii
medii pătratice a estimatorului α
47,82.285,18ss
2.285,18336.720.693,
,7834.488.213
15
1439,6s
,7834.488.213x5.872,67x
439,6s
xx
x
n
1ss
2αα
2α
2
2u
2t
22u
2α
0,008080,0000654ss
0,0000654336.720.693,
1439,6s
xx
1ss
2ββ
2β
2t
2u
2β
Determinarea valorii abaterii
medii pătratice a estimatorului β
Ecuaţia modelului econometric determinat
20,97s
(0,00808) (47,8)
x706,026,183y
u
tt
Ipotezele modelului liniar de regresie
I1 → seriile de date nu sunt afectate de erori de măsură;
I2 → variabila reziduală “u” are media zero;
I3 → dispersia variabilei reziduale este invariabilă în timp (proprietatea de homoscedasticitate);
I4 → reziduurile nu sunt autocorelate;
I5 → variabila explicativă nu este corelată cu variabila reziduală;
I6 → ut → N(0;σu2).