Algebra Liniara Sem CTI

7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI

http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 1/107

SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 1

1. Matrice

1.1. Operatii cu matrice.

Definitia 1. Se numeste matrice cu m linii si n coloane si cu elemente din R,sistemul de elemente (aij)

i=1,m,j=1,n. Acest sistem este o functie

f : {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} → R, f (i, j) = aij.

Not˘ am matricea cu elementele (aij)i=1,m,j=1,n

cu A = (aij)i=1,m,j=1,n si cu Mm×n(R)multimea acestor matrice.

Daca A ∈ Mm×n(R), vom nota matricea A sub forma

A =

⎛

⎜⎜⎜⎝

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

... ... ... ...am1 am2 . . . amn

⎞

⎟⎟⎟⎠ ,

adica printr-un tablou cu m linii si n coloane care contine valorile functiei f .

In cazul m = n, se obtine multimea matricelor patratice de ordinul n, notataMn(R).

Doua matrice A = (aij)i=1,m,j=1,n, B = (bij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R) (matrice de

acelasi tip), sunt egale daca aij = bij , pentru toti i = 1, m, j = 1, n.Daca m = 1 Atunci A se numeste matrice linie si se noteaza A = (a1,...,an).

Dac˘

a n = 1 Atunci A se numeste matrice coloan˘

a si se noteaz˘

a A =

⎛

⎜⎝a1...an

⎞

⎟⎠.

1.2. Operatii cu matrice.

Definitia 2. Pentru orice A = (aij)i=1,m,j=1,n, B = (bij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R)de finim legea de compozitie intern˘ a

A + B = (aij + bij)i=1,m,j=1,n (1)

numit˘ a suma matricei A cu matricea B.

Teorema 1. Multimea (Mm×n(R), +) formeaz a ın raport cu operatia de adunare ungrup aditiv abelian.

Demonstratie. Adunarea este- asociativa, adica oricare ar fi matricele A, B,C ∈ Mm×n(R) : (A + B) + C =

A + (B + C ),




- admite element neutru care este matricea ale carei elemente sunt toate egale cu0, notata 0Mm×n(R) si se numeste matricea nula. Pentru orice A ∈ Mm×n(R) avem

A + 0Mm×n(R) = 0Mm×n(R) + A = A- orice element din Mm×n(R) are un simetric, adica oricare ar fi A ∈ Mm×n(R),

exista o matrice notata −A, numita opusa matricei A, A + (−A) = (−A) + A =0Mm×n(R).

- comutativa, adica oricare ar fi matricele A, B ∈ Mm×n(R) avem A+B = B +A.¨

Fie A ∈ Mm×n(R) si B ∈ Mn× p(R).

Definitia 3. Numim produs al matricei A cu matricea B matricea

A · B =

Ã n

X j=1

aijb jk

!i=1,m,k=1,p

∈ Mm× p(R). (2)

Teorema 2. (Mn(R), ·) are structur a de monoid.

Demonstratie. Produsul astfel definit are proprietatile:-este o lege de compozitie interna asociativa:∀A, B,C ∈ Mn(R) ⇒ (A · B) · C = A · (B · C ).

Folosind relatia (2) avem:

(A · B) · C =

Ã nPk=1

Ã nP j=1

aijb jk

!ckh

!i=1,n,h=1,n

=

Ã nPk=1

nP j=1

aijb jkckh

!i=1,n,h=1,n

,

A · (B · C ) =Ã nP j=1aij

µ nPk=1 b jkckh

¶!i=1,n,h=1,n

=Ã nP j=1aij

nPk=1 b jkckh

!i=1,n,h=1,n

=

=

Ã nP j=1

nPk=1

aijb jkckh

!i=1,n,h=1,n

=

Ã nPk=1

nP j=1

aijb jkckh

!i=1,n,h=1,n

.

de unde rezulta asociativitatea deoarece ordinea de ınsumare ın sume duble finitepoate fi schimbata.

-admite element neutru si anume matricea

I n =

⎛⎜⎜⎝

1 0 . . . 00 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . .

0 0 . . . 1

⎞⎟⎟⎠

,

sau I n = (δ ij)i=1,n,j=1,n, unde

δ ij =

½ 1, daca i = j,

0, daca i 6= j,




sunt simbolurile lui Kronecker. Matricea I n are proprietatea ca oricare ar fi A ∈

Mn(R), A · I n = I n · A = A. ¨

I n se numeste matricea unitate de ordinul n.Sa mai observam ca daca A ∈ Mn(R) si B ∈ Mn(R), desi au sens produsele A·B si

B ·A, ın general, A · B 6= B ·A, adica ınmultirea matricelor nu este comutativa.

Teorema 3. Inmultirea matricelor este distributiv a ın raport cu adunarea lor, adic a

∀A ,B,C ∈ Mn(R) : A · (B + C ) = A · B + A · C,

∀A ,B,C ∈ Mn(R) : (B + C ) · A = B · A + C · A.

Demonstratie.

Demonstr˘

am distributivitatea la stanga:Fie A,B,C ∈ Mn(R) ⇒ A · (B + C ) = A · B + A · C.

Folosim relatiile (1) si (2) obtinem:

A·(B +C ) =

Ã nP j=1

aij (b jk + c jk)

!i=1,n,k=1,n

=

Ã nP j=1

aijb jk +nP

j=1

aijc jk

!i=1,n,k=1,n

=

=

Ã nP j=1

aijb jk

!i=1,n,k=1,n

+

Ã nP j=1

aijc jk

!i=1,n,k=1,n

= A · B + A · C

Teorema 4. Multimea (Mn(R), +, ·) este inel cu element unitate.

Demonstratie.Demonstratia afirmatiei rezulta din Teoremele 1, 2 si 3.¨Fie A = (aij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R) si λ ∈ R.

Definitia 4. Numim produs al matricei A cu scalarul λ matricea

λA = (λaij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R).

Inmultirea cu scalari are urmatoarele proprietati:

1. λ(A + B) = λA + λB, ∀λ ∈ R, ∀A, B ∈ Mm×n(R);

2. (λ + μ)A = λA + μA, ∀λ, μ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R);

3. (λμ)A = λ(μA), ∀λ, μ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R);

4. 1A = A, ∀A ∈ Mm×n(R).




Fie A = (aij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R).

Definitia 5. Numim transpusa a matricei A ∈ Mm×n(R) matricea notat˘ a AT = (a ji) j=1,n,i=1,m ∈ Mn×m(R), care are drept linii, respectiv coloane, coloanele,respectiv liniile matricei A.

Operatia de transpunere a unei matrice are urmatoarele proprietati:

1. (A + B)T = AT + BT , ∀A, B ∈ Mm×n(R);

2. (AB)T = BT AT , ∀A ∈ Mm×n(R),∀B ∈ Mn× p(R);

3. (λA)T = λ AT , ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R).

Exercitiul 1. Care din urm˘ atoarele matrice se pot aduna?

A =

µ 12

¶, B =

¡ 3 4

¢,

C =¡

3 4¢

, D =

µ 12

¶,

E =

µ 1 −11 −1

¶, F =

µ 1 −11 −1

¶.

Exercitiul 2. Fie matricele

A = µ 1 2

3 4¶ , B = µ 5 6

7 8¶ .

S a se calculeze produsele AB si B A Este adev arat˘ a egalitatea AB = BA?

Exercitiul 3. S a se efectueze produsele

a)

µ 12

¶¡ 3 4

¢,

b)¡

3 4¢µ 1

2

¶

c)

µ 1 −11 −1

¶µ 1 −11 −1

¶.

Ce concluzii desprindeti din relatiile a) si b). Dar din relatia c)?

Exercitiul 4. Demonstrati asociativitatea operatiei de ınmultire a matricelor.




Exercitiul 5. Fie matricele A, B,C, D

A =⎛⎝

3 0

−1 21 1

⎞⎠ , B =⎛⎝

1 5 2

−1 1 0−4 1 3

⎞⎠ ,

C =

⎛⎝−3 −12 14 3

⎞⎠ , D =

µ 4 −12 0

¶.

Calculati acele matrice dintre cele enumerate mai jos care sunt de finite: A+B, A+C,AB,BA,CD,DC,D2.

Exercitiul 6. Fie matricele

A =

⎛

⎝1 −2−1 1

0 2

⎞

⎠ , B = µ 3 2−

6 −

4¶ , C = µ 5 −4

1 −

2¶ .

Calculati fiecare din urm˘ atoarele relatii, unde este posibil. In cazul ın care evalu-area nu se poate face, explicati de ce.

a) C − 3A, b) C − 3B, c) AB , d) BA, e) B C, f ) CB .

Calculati matricea (AC )T si veri ficati c a (AC )T = C T AT .

Exercitiul 7. Fie A, B ∈ Mn(R). Demonstrati c a (A + B) (A−B) = A2−B2 dac a si numai dac a AB = BA.

Exercitiul 8. Dac a A =

µ a b

c d

¶ atunci A2 − (a + d)A + (ad− bc)I 2 = 0.

Exercitiul 9. Dac a A =

µ 4 −31 0

¶, folosind faptul c a A2 = 4A − 3I 2 si inductia

matematic a, demonstrati c a

An = 3n − 1

2 A +

3 − 3n

2 I 2, n ≥ 2.

1.3. Determinanti. Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n ∈ Mn(R) o matrice patratica.

Definitia 6. 1. Fie M = {1, 2,...,n} . Orice bijectie σ : M → M se numeste per-mutare. Multimea tuturor permut˘ arilor lui M formeaz a un grup notat prin S n.

2. Spunem c a permutarea σ are o inversiune dac a exist˘ a i < j pentru care avem

σ(i) > σ( j).3. O permutare se numeste para (respectiv impara) dac a are un num˘ ar par (respectiv impar) de inversiuni.

4. Aplicatia ε : S n → {−1, 1} , ε(σ) =

½ 1 dac a σ este par a,−1 dac a σ este impar a

se numeste

signatura, iar ε(σ) este signatura permut˘ arii σ.




Definitia 7. Numim determinant al matricei A ∈ Mn(R) elementul det(A) ∈ Rdat de

det(A) =Xσ∈S n

ε(σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n),

unde S n este multimea permut˘ arilor multimii {1, 2, . . . , n}, iar ε(σ) este signatura permut˘ arii σ .

Determinantul matricei A se noteaza

det A =

¯¯¯

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

... ...

...an1 an2 . . . ann

¯¯¯

.

Proprietatile determinantilor. 1. Determinantul transpusei unei matriceeste egal cu determinantul acelei matrice: det(AT ) = det(A).

Rezulta ca orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adevaratasi pentru coloane.

2. Daca elementele unei linii se ınmultesc cu un scalar λ, atunci determinantul seınmulteste cu λ.

3. Daca ıntr-un determinant se schimba ıntre ele doua linii, atunci se schimbasemnul determinantului.

Consecinte:. (i) Un determinant este nul daca:

- toate elementele unei linii sunt nule, sau- are doua linii proportionale (deci si daca aredoua linii egale), sau- una dintre linii este o combinatie liniara de alte linii.(ii) Valoarea unui determinant nu se schimba daca la elementele unei linii

adaugam combinatii liniare formate cu elementele altor doua sau mai multe linii.

Calculul determinantilor. In cazul determinantilor de ordin doi calculul seface conform relatiei:¯

¯a11 a12

a21 a22

¯

¯= a11a22 − a12a21.

In cazul determinantilor de ordin trei calculul se face conform relatiei:¯¯ a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

¯¯ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 −

a11a32a23.

Pentru determinanti de ordin mai mare sau egal cu patru aceste reguli nu sunt

valabile si se aplica pentru calculul lor regula lui Laplace.




Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n ∈ Mn(R) o matrice patratica si p ≤ n, un numar natural.

Definitia 8. Numim minor de ordinul p al matricei A determinantul matricei de ordinul p format cu elementele situate la intersect ia a p linii si p coloane ale matricei A.

Daca i1 < i2 < . . . < i p si j1 < j2 < . . . < j p sunt p linii si respectiv p coloane alematricei A, atunci minorul corespunzator este

M =

¯¯

¯

ai1 j1 ai1 j2 . . . ai1 jp

ai2 j1 ai2 j2 . . . ai2 jp

. . . . . . . . . . . .

aip j1 aip j2 . . . aip jp

¯¯

¯.

Definitia 9. Numim minor complementar al minorului M de ordin p al matricei A determinantul M c de ordinul n − p al matricei extrase din A prin prin suprimarea celor p linii si p coloane corespunz atoare lui M.

Minorii de ordinul 1 ai matricii A sunt elementele sale, aij . Minorii complementariai acestora sunt determinanti de ordinul n− 1.

Definitia 10. Numim complement algebric al minorului M al matricei A elemen-tul din R de finit de C = (−1)sM c, unde s = (i1 + i2 + . . . + i p) + ( j1 + j2 + . . . + j p),adic a suma indicilor liniilor si coloanelor matricei A utilizate ın M .

Determinantul matricei patratice de ordinul n−1 care se obtine din A prin supri-marea liniei i si coloanei j se numeste minorul complementar al elementuluiaij si se noteaza cu M ij . Numarul C ij = (−1)i+ jM ij se numeste complementulalgebric al elementului aij .

Teorema 5. ( Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cu suma produselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cu elementele a p linii (coloane)fixate ale matricei A prin complementii lor algebrici.

In particular, pentru p = 1, rezulta ca oricare ar fi i ∈ {1, 2, . . . , n} fixat, are locegalitatea

det(A) = ai1C i1 + ai2C i2 + · · · + ainC in, (3)

numita regula de dezvoltare a determinantului matricei A dupa linia i. Inmod asemanator, pentru orice j ∈ {1, 2, . . . , n} fixat, are loc egalitatea

det(A) = a1 jC 1 j + a2 jC 2 j + · · · + anjC nj, (4)

numita regula de dezvoltare a determinantului matricei A dupa coloana j.




Exemplul 1. Sa se calculeze valoarea determinantului

D =¯¯

1 1 2 3

1 1 3 42 5 1 −1−1 −2 2 4

¯¯ .

folosind regula lui Laplace si dezvoltandu-l dupa primele doua linii.

D =

¯¯ 1 1

1 1

¯¯ · (−1)1+2+1+2

¯¯ 1 −1

2 4

¯¯+

¯¯ 1 2

1 3

¯¯ · (−1)1+3+1+2

¯¯ 5 −1−2 4

¯¯

+

¯¯ 1 3

1 4

¯¯ · (−1)1+1+2+4

¯¯ 5 1−2 2

¯¯+

¯¯ 1 2

1 3

¯¯ · (−1)1+2+2+3

¯¯ 2 −1−1 4

¯¯

+ ¯1 31 4 ¯ · (−1)2+1+2+4 ¯

2 1−1 2 ¯+ ¯

2 33 4 ¯ · (−1)1+2+3+4 ¯

2 5−1 −2 ¯ = −5

Determinantul produsului a doua matrice.

Teorema 6. Determinantul produsului a dou˘ a matrice A si B p˘ atratice de acelasi ordin este egal cu produsul determinantilor celor dou˘ a matrice, adic a det(AB) =det(A)det(B).

Exercitiul 10. S a se calculeze determinantii:

a)

¯

¯2 1 −3−3 −2 02 1 2

¯

¯b)

¯

¯2 −2 1 11 3 3 21 0 9 1

3 4 2 0

¯

¯c)

¯¯¯

1 1 0 22 1 1 13 0 0 −11 1 2 1

¯¯¯ .

Exercitiul 11. Dac a A ∈ M7(R) si det(A) = 17, calculati det(3A2).

Exercitiul 12. Este det(AB) = det(BA) ın general? a) Este adev arat˘ a sau fals a relatia dac a A, B ∈ Mn(R)?b) Este adev arat˘ a sau fals a relatia dac a A ∈ Mmxn(R), B ∈ Mmxn(R) cu m 6= n?

Justi ficati r aspunsul ın caz a firmativ si dati contraexemple ın cazul ın care a fir-matia este fals a.

Exercitiul 13. S a se exprime determinantul adjunctei lui A cu ajutorul determinan-tului lui A.




1.4. Tipuri speciale de matrice.. Orice matrice patratica de tipul

⎛⎜⎜⎜⎝

λ1 0 . . . 0

0 λ2 . . . 0...

... . . . ...

0 0 . . . λn

⎞⎟⎟⎟⎠

se numeste matrice diagonala.Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n ∈ Mn(R).

Definitia 11. Spunem c a matricea p˘ atratic a A este simetrica dac a AT = A si

antisimetrica dac a AT = −A.

Definitia 12. Spunem c a matricea p˘ atratic a L este inferior triunghiular a dac a este de forma

L =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

l11 0 0 · · · 0l21 l22 0 · · · 0l31 l32 l33 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · ·ln1 ln2 ln3 · · · lnn

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

.

Definitia 13. Spunem c a matricea p˘ atratic a U este superior triunghiular a dac a este de forma

U =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

u11 u12 u13 · · · u1n

0 u22 u23 · · · u2n

0 0 u33 · · · u3n

· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · unn

⎞⎟⎟⎟⎟⎠

.

Observatia 1. Determinantul unei matrice triunghiulare inferior respectiv superior este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principal a.

Definitia 14. Spunem c a matricea p˘ atratic a A este ortogonala dac a AT · A =

A · AT = I n.

Exercitiul 14. Demonstrati c a dac a A ∈ Mn(R) este o matrice antisimetric a atunci matricea B = A −AT este antisimetric a.

Exercitiul 15. Demonstrati c a dac a A ∈ Mn(R) este o matrice simetric a atunci matricea B = A + AT este simetric a.

Exercitiul 16. Demonstrati c a produsul a dou˘ a matrice p˘ atratice simetrice este o matrice simetric a dac a si numai dac a matricele comut˘ a. Dati un exemplu de dou˘ a matrice simetrice al c aror produs nu este simetric.




1.5. Matrice inversabile (nesingulare).

Definitia 15. O matrice p˘ atratic a A al c arei determinant este diferit de zero se numeste nesingulara, iar dac a det(A) = 0 matricea se numeste singulara.

Definitia 16. Spunem c a matricea A ∈ Mn(R) este inversabila dac a exist˘ a o ma-trice notat˘ a A−1 ∈ Mn(R) astfel ıncat

A · A−1 = A−1 · A = I n. (5)

Observatia 2. Matricea A ∈ Mn(R) este inversabila daca si numai daca este nesin-gulara, adica det(A) 6= 0.

Definitia 17. Matricea A−1

se numeste inversa matricei A.

Pentru calculul inversei matricei A se obtine mai ıntai matricea A∗ numita ad- juncta sau reciproca matricei A, ınlocuind fiecare element al matricei AT princomplementul sau algebric. Adica, A∗ =

¡a∗ij¢i=1,n,j=1,n

, cu a∗ij = C ji. Atunci

A−1 = 1

det(A) A∗.

Faptul ca matricea A−1 astfel obtinuta verifica (5) rezulta imediat din (??). Operatiade inversare a matricelor are urmatoarele proprietati

(AT )−1 = (A−1)T , (A−1)−1 = A,

(λA)−1 = 1

λ A−1, λ 6= 0, (AB)−1 = B−1A−1.

Exercitiul 17. S a se calculeze inversele matricelor

A =

⎛⎜⎜⎝

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

⎞⎟⎟⎠ , B =

⎛⎜⎜⎝

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

⎞⎟⎟⎠ .

Exercitiul 18. Fie matricea A =

µ 1 24 8

¶singular a. Presupunem c a B =

µ a b

c d

¶este o invers a a lui A. Ce concluzie tragem din conditia AB = I 2.

Exercitiul 19. Este unic a inversa unei matrice? Justi ficati a firmatia.




Exercitiul 20. Fie A si B dou˘ a matrice p˘ atratice nesingulare de aceeasi dimensiune.Ar atati c a matricea AB este nesingular a si

(AB)−1 = B−1A−1.

Exercitiul 21. Dac a A, B ∈ Mn(R) care satisfac relatiile A2 = B2 = (AB)2 = I n.

Demonstrati c a AB = BA.

Exercitiul 22. Fie

A =

⎛⎝

0 1 00 0 15 0 0

⎞⎠ .

Veri ficati c a A3

= 5I 3, deduceti c a A ete nesingular a si g asiti A−1

.

Exercitiul 23. Fie A ∈ Mn(R) care satisface relatia A2− 3A + I = 0. Demonstrati c a A−1 = 3I −A.

Exercitiul 24. Precizati dac a sunt adev arate sau false urm˘ atoarele a firmatii:a) Inmultirea matricelor este comutativ a: AB = BA,

b) (A + B)−1 = A−1 + B−1,

c) (AB)−1 = A−1B−1,

d) (AB)−1 = B−1A−1,

e) (A−1)−1

= A.

Exercitiul 25. Se consider a matricele A =

µ 1 20 5

¶, B =

µ 3 28 5

¶, C =

µ 0 04 −2

¶.

a) Calculati AC si BC si ar atati c a AC = BC.

b) Ce proprietate trebuie s a aib˘ a matricea C pentru ca AC = BC s a implice A = B?

Rangul unei matrice.

Definitia 18. Matricea A are rangul r dac a exist˘ a ın A cel putin un minor de ordinul r diferit de zero si toti minorii de ordin mai mare decat r, dac a exist˘ a, suntegali cu zero. Not˘ am rangul matricei A cu rang(A).

Propozitia 1. Fie A ∈ Mm×n(K) si B ∈ Mn× p(K) atunci rang(AB) ≤ min {rang(A), rang(B

Consecinta 1. Fie A ∈ Mm×n(K) si B ∈ Mn(K),rang(B) = n. Atunci rang(AB) =rang(A), adic a prin ınmultirea unei matrice cu o matrice nesingular a rangul ei nu se modi fic a.




1.6. Transformari elementareOrice matrice A ∈ Mm×n(K) se poate scrie ın

una din formele:. A =⎛⎜⎝

L1

...Lm

⎞⎟⎠ , cu ajutorul liniilor Li =¡

ai1 . . . ain

¢, i =

1, m sau

A =¡

C 1 . . . C n¢

, cu ajutorul coloanelor, unde C j =

⎛⎜⎝

a1 j...amj

⎞⎟⎠ , j = 1, n.

Definitia 19. Numim transformari elementare asupra liniilor matricei A:

(1) T 1 transformarea prin care se ınmulteste o linie cu un scalar nenul;

(2) T 2 transformarea prin care se schimba doua linii ıntre ele;(3) T 3 transformarea prin care se aduna la elementele unei linii elementele core-

spunzatoare altei linii ınmultite cu un scalar.Flosind scrierea matricei cu ajutorul liniilor, cele trei transformari elementare se

reprezinta prin schemele:

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

L1...Li

...Lm

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

T 1−→

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

L1...αLi

...Lm

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

, α 6= 0,

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

L1...Li

...L j

...Lm

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

T 2−→

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

L1...L j

...Li

...Lm

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

L1...

Li...L j

...Lm

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

T 3−→

⎛

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

L1...

Li + βL j...L j

...Lm

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.




Definitia 20. Dou˘ a matrice de acelasi tip se numesc echivalente pe linii dac a una se obtine din cealalt˘ a printr-un num˘ ar finit de transform˘ ari elementare ale liniilor.

Observatia 3. Transformarile elementare asupra liniilor se realizeaza ınmultind lastanga matricea A cu una din matricele:

T1. Transformarea prin care se ınmulteste o linie a unei matrice cu un scalar α

diferit de zero se realizeaza ınmultind la stanga matricea A cu matricea

M i(α) = i

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

1 0 . . 0 . 0. . . . . . .

0 0 . . α . 0. . . . . . .

0 0 . . 0 . 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

det(M i(α)) = α 6= 0T2. Transformarea prin care se schimba ıntre ele doua linii se realizeaza ınmultind

la stanga matricea A cu matricea

M ij =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 . 0 . 0 . 0. . . . . . .

0 . 0 . 1 . 0. . . . . . .

0 . 1 . 0 . 0. . . . . . .

0 . 0 . 0 . 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

det(M ij) = 1 6= 0

T3. Transformarea prin care se aduna la o linie o alta linie (coloana) ınmultitacu un scalar β 6= 0 se realizeaza ınmultind la stanga matricea A cu matricea

M ij(β ) =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 . 0 . 0 . 0. . . . . . .

0 . 1 . β . 0. . . . . . .

0 . 0 . 1 . 0. . . . . . .

0 . 0 . 0 . 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

det(M ij(β )) = 1 6= 0.

Matricele obtinute din matricea A prin transformari elementare au acelasi rangca si matricea A.

Matricele introduse mai sus M i(α), M ij , M ij(β ) poarta denumirea de matriceelementare.




Teorema 7. Dac a matricea B se obtine prin aplicarea a k transform˘ ari elementare liniilor lui A, atunci exist˘ a k matrici elementare E 1, E 2,...,E k astfel ıncat s a avem

B = E 1E 2...E kA. (6)

Observatia 4. Dac a matricea A este inversabil a si consider am ın (6) B = I n atunci A−1 = E 1E 2...E k.

Ca o aplicatie a acestei observatii prezentam de a calcula inversa unei matrice.

Exercitiul 26. Folosind transform˘ arile elementare s a se calculeze inversele urm˘ atoarelor matrice, dac a acestea exist˘ a.

a)⎛⎝ 2 2 31 −1 0−1 2 1

⎞⎠;b)⎛⎜⎜⎝

1 1 1 1

1 1 −1 −11 −1 −1 1−1 −1 1 1

⎞⎟⎟⎠

c)

⎛⎝

1 1 10 2 11 0 1

⎞⎠ ;d)

⎛⎜⎜⎝

1 0 1 10 0 1 01 1 1 01 0 0 2

⎞⎟⎟⎠

e)

⎛⎝

1 1 13 5 43 6 5

⎞⎠

Exercitiul 27. Pentru ce valori ale lui k ∈ R matricea ⎛⎝

k 1 12 3 10 −1 1

⎞⎠

este inversabil a?

Exercitiul 28. S a se calculeze rangul matricelor:

a)

⎛⎝

3 2 12 1 16 2 4

⎞⎠ ;b)

⎛⎝

1 −2 1 11 −2 1 −11 −2 1 −5

⎞⎠;

c)

⎛⎜⎜⎝1 1 1 1 13 2 1 1 −30 1 2 2 65 4 3 3 −1

⎞⎟⎟⎠ ;d)

⎛⎜⎜⎝1 −1 −1 1−1 1 1 −1−1 1 1 −11 −1 −1 1

⎞⎟⎟⎠




Exercitiul 29. Determinati rangurile matricelor A,AAT si AT A ın cazul ın care

A =⎛⎝

1 1

0 2−1 2

⎞⎠ .

Exercitiul 30. Completati numerele care lipsesc din matricea de mai jos

A =

⎛⎝

? −3 ?1 3 −1? 9 −3

⎞⎠

astfel ıncat matricea A s a aib˘ a a) rangul 1,b) rangul 2,c) rangul 3.

Exercitiul 31. S a se determine matricea X astfel ıncat⎛⎝

1 0 04 1 00 4 1

⎞⎠X =

⎛⎝

1 00 11 1

⎞⎠ .

Exercitiul 32. S a se rezolve, folosind folosind transform˘ arile elementare, urm˘ atoarele sisteme:

a)

⎧⎨

⎩

3x1 + 5x2 = 76x1 + 2x2 + 4x3 = 10−x1 + 4x2 − 3x3 = 0

b)

⎧⎨

⎩

3x1 + x2 + x3 = 4−x1 + 7x2 − 2x3 = 12x1 + 6x2 − x3 = 5

c)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 13x1 + 2x2 + x3 − x4 = 12x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1

2x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 15x1 + 5x2 + 2x3 = 2

d)

⎧⎨⎩

x1 + x2 + x3 + x4 = 12x1 − x2 + x3 − x4 = 2

x1 − 2x2 − 2x4 = −1

e)

⎧⎨⎩

x1 + x2 + x3 = 22x1 − 3x2 + x3 = 6

4x1 − x2 + 3x3 = 10f)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 62x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 83x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4

2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8

.

Exercitiul 33. S a se discute si, ın caz de compatibilitate, s a se rezolve sistemul:⎧⎨⎩

mx + y + z = 1x + my + z = m

x + y + mz = m2, unde m ∈ R.




Folosind transformari elementare, matricea extinsa a sistemului se transformaastfel:

(A | B) =

⎛⎝ m 1 1

1 m 11 1 m

1m

m2

⎞⎠L1 ↔ L2−−−−−→

⎛⎝ 1 m 1

m 1 11 1 m

m1m2

⎞⎠

L2 → L2 −mL1

L3 → L3 − L1−−−−−−−−−−−−→

⎛⎝

1 m 10 1−m2 1−m

0 1−m m− 1

m

1−m2

m2 −m

⎞⎠ .

Consideram doua cazuri:1. m = 1 ın acest caz obtinem:⎛⎝

1 1 10 0 00 0 0

100

⎞⎠ ,

adica sistemul este compatibil nedeterminat. Solutiile sistemului sunt:⎧⎨⎩

x = 1− α− β

y = α

z = β

, α , β ∈ R. (7)

2. m 6= 1 ın acest caz avem:⎛⎝

1 m 10 1−m2 1−m

0 1−m m− 1

m

1−m2

m2 −m

⎞⎠ L2 →

11−m

L2

L3 → 11−m

L3−−−−−−−−−−→

⎛⎝

1 m 10 1 + m 10 1 −1

m

1 + m

−m

⎞⎠

L2 ↔ L3−−−−−→

⎛⎝

1 m 1

0 1 −10 1 + m 1

m

−m1 + m

⎞⎠ L1 −mL2 → L1

L3 − (1 + m)L2 → L3−−−−−−−−−−−−−−−−−→⎛

⎝1 0 1 + m

0 1 −10 0 2 + m

m + m2

−m

(m + 1)2

⎞⎠

Avem doua posibilitati:2a) m = −2, deci⎛⎝

1 0 1 + m

0 1 −10 0 2 + m

m + m2

−m

(m + 1)2

⎞⎠→

⎛⎝

1 0 −10 1 −10 0 0

2−21

⎞⎠

ın acest caz sistemul este incompatibil.

2b) m 6= −2 ın acest caz continuam aplicarea transformarilor elementare si obtinem:⎛⎝

1 0 1 + m

0 1 −10 0 2 + m

m + m2

−m

(m + 1)2

⎞⎠L3 →

12+m

L3−−−−−−−−→

⎛⎝

1 0 1 + m

0 1 −10 0 1

m + m2

−m(m+1)2

m+2

⎞⎠




L1 → L1 − (m + 1)L3

L2 → L2 + L3−−−−−−−−−−−−−−−−−→

⎛

⎝1 0 00 1 −1

0 0 1

−m+1m+21

m+2

(m+1)2

m+2

⎞

⎠adica sisteml este compatibil determinat a carui solutie este:

⎧⎨⎩

x = −m+1m+2

y = 1m+2

z = (m+1)2

m+2

. (8)

ın concluzie pentru sistemul dat avem urmatoarea discutie:a) daca m ∈ R \ {−2, 1} sistemul are solutie unica data de (8),b) daca m = −2 sistemul este incompatibil,c) daca m = −1 sistemul este compatibil nedeterminat cu solutiile date de (7).

Sisteme omogene.

Definitia 21. Un sistem liniar cu toti bi = 0, i = 1, m, se numeste omogen. El are deci forma

nX j=1

aijx j = 0, i = 1, m.

Un sistem omogen este totdeauna compatibil. El admite cel putin solutia banala:x1 = x2 = . . . = xn = 0.

Un sistem omogen cu n necunoscute si rangul r admite si solutii diferite de solutia

banal˘

a dac˘

a si numai dac˘

a r < n.Un sistem omogen de n ecuatii cu n necunoscute admite si solutii diferite desolutia banala daca si numai daca det(A) = 0.

Exercitiul 34. S a se stabileasc a dac a sistemul de ecuatii de mai jos admite solutii diferite de solutia banal a si ın caz a firmativ s a se a fl e aceste solutii:⎧⎨⎩

x + y − 2z = 02x− y − z − 3u = 0x + 2y − 3z + u = 0

.

Calculam matricea esalon a matricei sistemului. Obtinem:

⎛⎝1 1 −2 02 −1 −1 −31 2 −3 1

⎞⎠ L2 − 2L1 → L2

L3 − L1 → L3−−−−−−−−−−−−→

⎛⎝1 1 −2 00 −3 3 −30 1 −1 1

⎞⎠−13

L2 → L2−−−−−−−−→

⎛⎝

1 1 −2 00 1 −1 10 1 −1 1

⎞⎠ L1 − L2 → L1

L3 − L2 → L3−−−−−−−−−−−→

⎛⎝

1 0 −1 −10 1 −1 10 0 0 0

⎞⎠




Sistemul admite solutii diferite de solutia banala si anume

½ x = z + u

y = z − u .

1.7. Exercitii suplimentare.

Exercitiul 35. Fie A ∈ Mn(C) si A matricea ale c arei elemente sunt aij, conjugatul elementului aij. S a se demonstreze c a

det(A) = det(A) si det(AA) = |det(A)|2 ≥ 0.

Exercitiul 36. Fie A ∈ Mn(C). Dac a aij = a ji,∀i, j = 1, n s a se demonstreze c a det(A) este num˘ ar real.

Exercitiul 37. Fie A ∈ Mn(R). Demonstrati c a det(A2

+ I n) ≥ 0.

Exercitiul 38. Fie A, B ∈ Mn(R) astfel ıncat AB = BA. Demonstrati c a det(A2 +B2) ≥ 0.

Exercitiul 39. Fie A ∈ Mn(R). Demonstrati c a det(A2 + 2A + 2009I n) ≥ 0.

Exercitiul 40. Fie p, q ∈ R astfel ıncat p2 − 4q < 0. S a se arate c a dac a n este num˘ ar natural impar si A ∈ Mn(R) atunci A2 + pA + qI n 6= 0

Exercitiul 41. Dac a U ∈ Mn(R), U = (uij)i,j=1,n, uij = 1, (∀) i, j = 1, n, calculati

(U − I n)−1

.

Exercitiul 42. Fie A, B ∈ Mn(R) astfel ıncat A + B = I n, A2 = A3. Demonstrati c a

a) AB = BA,

b) I n −AB si I n + AB sunt inversabile.

Exercitiul 43. S a se calculeze determinantii:¯

¯1 1 1 ... 11 0 1 ... 11 1 0 ... 1

. . . . .1 1 1 ... 0

¯

¯ ,

¯

¯a1 x x ... x

x a2 x ... x

x x a3 ... x

. . . . .x x x ... an

¯

¯ .



SEMINARUL NR.2. ALGEBRA LINIARA 2

Exercitiul 5. Fie R un corp comutativ al numerelor reale. Notam cu Man (R)

multimea matricelor patratice antisimetrice cu elemente din R si cu Msn (R) multimea

matricelor patratice simetrice cu elemente din R. S a se arate c a ele formeaza subspatii liniare ale lui (Mn (R) , +, ·,R) (multimea matricelor patratice cu elemente din R) si ca orice matrice patratica se poate descompune ın mod unic ca suma dintre doua matrice, una simetrica si una antisimetrica, adica

Mn (R) = Msn (R) ⊕Ma

n (R).Demonstrati c a aceast˘ a descompunere este unic a.

Exercitiul 6. Fie

S 1 =

½A ∈M2×3 (R) ; A=

µ a b c0 0 0

¶,a,b,c ∈ R

¾

si

S 2 =½

B ∈M2×3 (R) ; B=µ

0 0 0 p q r

¶,p ,q ,r ∈ R

¾a) S a se arate c a S 1 si S 2 sunt subspatii liniare ale lui M2×3 (R).b) S a se arate c a M2×3 (R) = S 1⊕S 2.

Exercitiul 7. Sa se precizeze care din submultimile lui Rn de finite mai jos constituie subspatiu liniar al lui Rn, (Rn, +, ·,R) spatiu liniar:

a) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = 0};b) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = 1};c) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = x2} ;d) W = {x / x

∈Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1x2 = 0} ;

e) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 + x2+ ... +xn = 0} ;f) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = x2 = 0} ;g) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = 0} ;h) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 ≥ x2} .

Exercitiul 8. Fie sistemul liniar omogen de ecuatii :

nX j=1

aijx j = 0, i = 1,...,m.

S ˘ a se arate c

˘ a multimea solutiilor acestui sistem formeaza un subspatiu liniar real al spatiului (Rn, +, ·,R).

Exercitiul 9. Sa se expliciteze subspatiul solutiilor urmatoarelor sisteme liniare si s a se precizeze dimensiunea subspatiului :

a) {x1 + x2 − x3 − x4 = 0 , subspatiu ın (R4, +, ·,R) ;




b)

½ x1 + x2 − x3 − x4 = 0x1

−x2

−x3

−x4 = 0

, subspatiu ın (R4, +, ·,R) ;

c)½

x1 + x2 + 2x3 = 02x1 − x2 + 3x3 = 0


d)

⎧⎨⎩

2x1 + x2 − x3 + x4 = 0x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0x1 + 2x2 − 2x3 − x4 = 0


e)

⎧⎨⎩

x1 − 2x2 + x3 = 0x2 − x3 + x4 = 0x1 − x2 + x4 = 0


f)

⎧⎨⎩

x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0

x1 − x2 + x3 − 2x4 + x5 = 0

, subspatiu ın (R5, +, ·,R) .

Exercitiul 10. Se consider a vectorii v1 =

¡3 +

√ 2, 1 +

√ 2¢ ∈ R2, v2 =

¡7, 1 + 2

√ 2¢ ∈ R2.

S a se arate c a v1 si v2 sunt liniar dependenti dac a se consider a R2 spatiu liniar peste corpul comutativ R si liniar independent i dac a se consider a R2 spatiu liniar peste corpul comutativ Q .

Exercitiul 11. Se dau vectorii liniar independenti (u, v, w) ın spatiul liniar X peste corpul comuativ R si se cere:

a) s a se arate c a vectorii u + v, v + w, u + w sunt liniar independenti;b) s a se arate c a vectorii u + v

−3w, u + 3v

−w, v + w sunt liniar dependenti;

c) s a se arate c a vectorii u− v, v−w, w− u sunt liniar dependenti.

Exercitiul 12. In spatiul liniar R3 se consider a vectorii:x = (1, 2, 3) , y = (2, 3, 1) , z = (a + 3, a + 1, a + 2) , a ∈ R.S a se a fl e valorile parametrului a pentru care acesti vectori sunt liniar dependenti

si s a se scrie relatia de dependent˘ a liniar a.

Exercitiul 13. In spatiul liniar R3 se consider a vectorii:u1 = (1, 1, 0) , u2 = (1, 0, 0) , u3 = (1, 2, 3) , u4 = (1, 0, 1) .S a se analizeze dac a:a) sistemul de vectori (u1, u2) este un sistem de generatori pentru R3; este acest

sistem de vectori liniar independent? b) sistemul de vectori (u1, u2, u3) este un sistem de generatori pentru R3; este acest sistem de vectori liniar independent?

c) sistemul de vectori (u1, u2, u3, u4) este un sistem de generatori pentru R3; este acest sistem de vectori liniar independent?luzii se desprind de aici

Precizati ce concluzii se desprind de aici.




Exercitiul 14. Fie sistemul de vectori S = (v1, v2, v3, v4, v5) unde v1 = (1, 0,−1, 1) ,v2 = (

−2, 0, 0,

−2) , v3 = (1, 1, 1, 1) , v4 = (1,

−1,

−3, 1) , v5 = (1,

−1, 1,

−1) . Se

noteaz a multimea [S ] =

©x ∈ R4 : x = α1v1 + α2v3 + α3v3 + α4v4 + α5v5, αi ∈ R, i = 1, 5

ª.

S a se arate c a [S ] este subspatiu liniar al lui ( R4, +, ·,R). S a se determine o baz a ın [S ] .

Exercitiul 15. S a se studieze independenta liniar a pentru sistemele de vectori dinspatiile liniare speci ficate:

a) ((−4,−2, 2), (6, 3,−3), (1,−1,−1), (0, 0, 2)) ın (R3, +, ·,R);

b) ((2, 3,−1), (0,−2, 1), (−1,−1,−1)) ın (R3, +, ·,R);

c) ((1, α, 0), (α, 1, 1), (1, 0, α)) ın (R3, +, ·,R);

d) (8 − t + 7t2, 2− t + 3t2, 1 + t− t2) in (R2[t], +, ·,R);

e)

µA1 =

µ 2 −24 −6

¶, A2 =

µ 1 −45 3

¶, A3 =

µ 0 −44 8

¶¶ın

(M2(R), +, ·,R);f) ((2, 1, 3, 1), (1, 2, 0, 1), (−1, 1,−3, 0)) ın (R4, +, ·,R);

g) ((2, 1, 3, 1), (1, 2, 0, 1), (−1, 1,−3, 1)) ın (R4, +, ·,R).

Exercitiul 16. S a se arate c a vectorii.(1, 0, 0) , (1, 2, 0) , (1, 2, 3) formeaz a o baz a ın(R3, +, ·,R).

Exercitiul 17. Fie

A =

⎧⎨⎩A|A =

⎛⎝

0 0 xy 0 0u z 0

⎞⎠ , x = y + z, x, y,z,u ∈ R

⎫⎬⎭ .

a). Sa se atate ca A este subspatiu liniar real al lui M3×3(R).b). Matricele M,N ,P constituie o baza ın A unde

M =

⎛⎝

0 0 −3−2 0 01 −1 0

⎞⎠ , N =

⎛⎝

0 0 11 0 03 0 0

⎞⎠P =

⎛⎝

0 0 −1−1 0 03 0 0

⎞⎠.

Exercitiul 18. In spatiul liniar (Mm×n (R) , +, ·,R) consideram sistemul de matrice:

S =¡

E ij; i = 1, m , j = 1, n¢

unde E ij sunt de finite prin




j

↓

i →

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 . . . · . . . 00 . . . · . . . 0. . . 0 . . .0 . . . 1 . . . 00 . . . 0 . . . 0. . . 0 . . .0 . . . · . . . 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(E ij are toate elementele nule, cu exceptia celui de la intersectia liniei i cu coloana j ,care este egal cu 1), constituie o baz a, numit˘ a baza canonic a a spatiului (Mm×n (R) , +, ·,R).

Exercitiul 19. S a se arate c a S = (1, x , x2, . . . , xn) este o baz a ın (Rn [x] , +, ·,R),numit˘ a baza canonic a a spatiului.

1. Exercitii suplimentare

Exercitiul 20. S a se rezolve sistemul, utilizand descompunerea ın matrice bloc ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

1 2 1 0 0 02 1 5 0 0 01 −1 3 0 0 0−6 5 3 1 1 21 −3 2 1 −1 −2−9 7 1 1 2 1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

x1

x2

x3

x4

x5

x6

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

4115

135

10

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Exercitiul 21. S a se calculeze determinantii urm˘ atoarelor matrice bloc:

a) M =

µ A 0n

0n D

¶, A , D ∈Mn(R),

b) M =

µ A B0n D

¶,A,B,D ∈Mn(R),

c) M =

µ A BC D

¶,A,B,C,D ∈Mn(R), det(A) 6= 0 sau det(D) 6= 0.

Exercitiul 22. S a se determine inversa matricei

M =

µ A BC D

¶,A,B,C,D ∈Mn(R)

si s a se stabileasc a ın ce conditii exist˘ a.

Exercitiul 23. Fie A, B ∈Mn(R), A2 + B2 = 0n. S a se demonstreze c a a) dac a n = 4k, k ∈ N ∗ ⇒ det(AB −BA) ≥ 0,b) dac a n = 4k + 2, k ∈ N ∗ ⇒ det(AB − BA) ≤ 0,c) dac a n = 4k + 1 sau n = 4k + 3, k ∈ N ∗ ⇒ det(AB −BA) = 0.




Exercitiul 24. Folosind, de exemplu, faptul c a derivata unui determinant este egal cu suma determinantilor care au c ıte o linie (coloan˘ a) derivat˘ a, s a se demonstreze c a ¯¯ sin(x + α) sin(x + β ) sin(x + γ )

cos(x + α) cos(x + β ) cos(x + γ )a b c

¯¯ =

¯¯ sin α sin β sin γ

cos α cos β cos γ a b c

¯¯ , a,b,c,α,β,γ ∈ R,

pentru ∀x ∈ R.

Exercitiul 25. Fie f : R→ R,

f (x) =

¯¯¯¯

x5 x4 x3 15x4 4x3 3x2 020 12 6 01 1 1 1

¯¯¯¯

.

S a se demonstreze c a x = 1 este r ad acin˘ a tripla pentru f (x).

Exercitiul 26. S a se arate c a dac a A, B ∈Mn(R) atunci det(I n −AB) = det(I n −BA).

Exercitiul 27. Fie A ∈M2n(R). S a se arate c a det(A + AT i) = (−1)n det(A−AT i).

Exercitiul 28. S a se arate c a ecuatia AX −XA = B, ın care A, B ∈M p(C) matrice date nu are solutie dac a T r(B) 6= 0.




Exercitiul 1. a) S a se determine coordonatele vectorului x ∈ R3ın baza canonic a

dac a ın baza

S 1 = (e01 = (1, 1, 1) , e02 = (1, 1, 0) , e03 = (1, 0, 0))

are coordonatele 1, 2, 3, (x )S 1 = (1, 2, 3).b) Ce coordonate are vectorul y ∈ R3

ın baza S 1 dac a ın baza

S 2 = (e001

= (1,−1, 1) , e002

= (3, 2, 1) , e003

= (0, 1, 0))

are coordontele (y)S 2 = (2, 4,−2) .

Exercitiul 2. Fie sistemul de vectori S = (v1 = (1, 0,−1, 1) , v2 = (1, 1, 1,−1)) .Completati aceast sistem de vectori pan˘ a la o baz a ın (R4, +, ·,R) .

Exercitiul 3. Fie sistemul de vectori S = (v = (1, 2, 3)) .Completati aceast sistem de vectori pan˘ a la o baz a ın (R3, +, ·,R) .

Exercitiul 4. S a se stabileasc a formulele de transformare a coordonatelor cand se trece de la baza S la baza S 0 dac a

a ) S = ((2, 3), (0, 1)), S 0 = ((6, 4), (4, 8)) ın R2;b) S = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)), S 0 = ((2, 0, 3), (−1, 4, 1), (3, 2, 5)) ın R3;c ) S = (t2, t, 1), S 0 = (3 + 2t + t2, t2 − 4, t + 2) ın R2[x]d ) S = ((1, 2,−1, 0), (1,−1, 1, 1),−1, 2, 1, 1), (−1,−1, 0, 1)),S 0 = ((2, 1, 0, 1), (0, 1, 2, 2), (−2, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 2)) ın R4.e ) S = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)),S 0 = ((1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1)) ın R4.

Exercitiul 5. S a se arate c a sistemul de vectori ((1, 1, 0, 0), (1,−1, 1, 1)) nu este o baz a ın subspatiul solutiilor sistemului ½ −x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x1 − x2 + x3 + x4 = 0 .

1. Spatii euclidiene

Exercitiul 6. In spatiile liniare precizate se de finesc aplicatiile de mai jos. S a se precizeze care din ele sunt produse scalare :

a) (R2

, +, ·,R

), ∀x = (x1

, x2

), y = (y1

, y2

) ∈R2

:< x, y >= x1

y1

+ 2x1

y2

+ 10x2

y2

;b) ( R2, +, ·,R), ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 :< x, y >= 9x1y1 − 3x1y2 −3x2y1 + x2y2;

c) ( R2, +, ·,R), ∀x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ R2 :< x, y >= x2

1y2

1 + x2

2y2

2 .

d) ( R3, +, ·,R),∀x = (x1, x2, x3) , y = (y1, y2, y3) ∈ R3 :< x, y >= 4x1y1+2x1y2+2x2y1 + x3y2 − x2y3 + x3y3




Exercitiul 13. S a se arate c a aplicatia :< ·, · >; R4[x] × R4[x]

→R de finit˘ a prin

∀ p, q ∈ R4[x]; < p, q >=1R −1

p(x)q (x)dx

este un produs scalar. S a se ortogonalizeze baza uzual a din R4[x] (polinoamele bazei ortogonale se numesc polinoame LEGENDRE)

Exercitiul 14. S a se arate c a sistemul de functii S = (f 1, f 2,..,f n) din ( C([0, 1],R), +, ·,R) unde f 1(x) = sin πx,f 2(x) = sin 2πx,..,f n(x) = sin nπx, este ortogonal.

Exercitiul 15. S a se arate c a sistemul de functii S = (f 0, f 1, f 2,..,f n) din ( C([−π, π],R), +, ·,R) unde f 0(x) = 1, f 1(x) = sin x, f 2(x) = cos x,..,f 2n−1(x) = sin nx,f 2n(x) =

cos nx este ortogonal. S ˘

a se ortonormeze sistemul.

Exercitiul 16. S a se ortonormeze, folosind procedeul Gram-Schmidt urm˘ atorele sis-teme de vectori pe spatiile liniare euclidiene cu produsul scalar standard:

a) (v1 = (3, 4), v2 = (−4, 3)) ın (R2, h·, ·i) ,b) (u1 = (2, 1, 2), u2 = (1, 2,−2), u3 = (2,−2, 1)) ın (R3, h·, ·i) ,b) (u1 = (1, 2, 2− 1), u2 = (1, 1,−5, 3), u3 = (3, 2, 8,−7), u4 = (1, 0, 0, 0)) ın

(R4, h·, ·i) .

Exercitiul 17. Se considera spatiul vectorial real (R4, +, ·,R) dotat cu produsul scalar standard. Sa se determine vectorul x ∈ R4 de norma 1, care ımpreuna cu

vectorii a = (1, 0, 1,−1) si b = (0, 1, 1, 1) formeaza un sistem ortogonal.

Exercitiul 18. Folosind procedeul de ortonormare Gram Schmidt sa se ortonormeze sistemele de vectori liniar independenti de mai jos:

a) (v1 = (1, 0, 1), v2 = (2, 1,−3), v3 = (−1, 1, 0)) din R3;b) (v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (0, 1, 0, 1), v3 = (1,−1, 0, 1), v4 = (1, 1, 1,−1)) din R4;c) (v1 = (1,−2, 2), v2 = (−1, 0,−1), v3 = (5,−3,−7)) din R3,(v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0), v3 = (3, 0, 0)) din R3;d) (v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)) din R2.


Exercitiul 19. S a se arate c a [(0, v1, v2,...,vn)] = [(v1, v2,...,vn)] .

Exercitiul 20. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si u ∈ X, u 6= θX. Demonstrati c a (u)este un sistem liniar independent.




Exercitiul 21. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si S = (v1, v2,...,vn) un sistem de vectori din X. Demonstrati c a dac a unul de vectori este vectorul nul, atunci sistemul

S este liniar dependent.

Exercitiul 22. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si S 1, S 2 dou˘ a sisteme de vectori dinX, S 1 ⊂ S 2. Demostrati c a

a) dac a S 1 este liniar dependent, atunci S 2 este liniar dependent.b) dac a S 2 este liniar independent, atunci S 1 este liniar independent.

Exercitiul 23. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si S = (v1, v2,...,vn) o baz a din X.Orice sistem de vectori care contine mai mult de n vectori este liniar dependent˘ a.

Exercitiul 24. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si (V, +, ·,K) un subspatiul liniar a

lui X. Demonstrati c a dimKV ≤dimKX.

Exercitiul 25. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si (V, +, ·,K) un subspatiul liniar a lui X. Dac a dimKV =dimKX atunci V = X.

Exercitiul 26. Fie A ∈Mn(R). Urm˘ atoarele a firmatii sunt echivalente:a) A este o matrice ortogonal a,b) liniile matricei A formeaz a un sistem ortonormat,c) coloanele matricei A formeaz a un sistem ortonormat.

Fie A ∈Mm×n(R). Notam cu li, i = 1, m liniile matricei A, li = (ai1, ai2,...,ain) ,

i = 1, m si c j, j = 1, n coloanele matricei A, c j =

⎛⎜⎝ a1 j...amj

⎞⎟⎠ . Subspatiul [(l1, l2,...,lm)]

se numeste subspatiul liniilor matricei A si subspatiul [(c1, c2,...,cm)] se numestesubspatiul coloanelor matricei A.

Exercitiul 27. Demonstrati c a transform˘ arile elementare nu schimb˘ a subspatiul lini-ilor matricei A.

Exercitiul 28. Fie A ∈Mm×n(R). Subspatiul liniilor si a coloanelor matricei A auaceeasi dimensiune.

Dimensiunea subspatiului liniilor sau a coloanelor se numeste rangul matricei.

Exercitiul 29. Demonstrati c a un sistem AX = b, A ∈Mm×n(R), X ∈ Mn×1(R),b ∈Mm×1(R), A, b cunoscuti, este compatibil dac a si numai dac a b ∈ [(c1, c2,...,cm)] .




1. Transformari liniare

Exercitiul 1. Fie spatiul liniar ( R3,+,·R) si functia T : R3 → R3,∀x ∈ R3, x =

(x1, x2, x3) :a) T (x) = a, a ∈ R

3 fixat;b) T (x) = x + a, a ∈ R3 fixat ;

c) T (x) = λa, a ∈ R3fixat; d) T (x) = (x1, x2, x2

3);e) T (x) = (x3, x1, x2 + 3);f ) T (x) = (x1, cos x2, sin x3); x =( x1, x2, x3);g) T (x) = (x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 − x2, x3).Care din functiile de mai sus sunt transform˘ ari liniare?

Exercitiul 2. Fie functia T : R3 → R3,de finit˘ a prin ∀x ∈ R3, x = (x1, x2, x3) :

T (x) = (x1 + x2, 2x1 + 3x2 − x3, x1 − x3) .

a) S a se demonstreze c a T este o transformare liniar a.

b) Fie C = (e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1)) baza canonic ˘ a B = (v1 = (1, 1, 0) , v2 = (1, 0, 1) , v3 = (0, 1, 1)) o alt˘ a baz a ın (R3, +, ·,R).

S a se determine matricele transformarei liniare C (T )C

, B (T )B

, C (T )B

, B (T )C

.

c) S a se determine ker (T ) , Im (T ), s a se precizeze o baz a ın ele. S a se studieze injectivitatea si surjectivitatea lui T .

Exercitiul 3. Fie spatiile liniare reale (R3, +, ·,R) si (R4, +, ·,R) .

Se de finesc aplicatiile:T : R3 → R2, ∀x = (x1, x2, x3) , T (x) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3) ,

S : R2 → R3, ∀y = (y1, y2) , S (y) = (y1, y1 − y2, y2) .

a) S a se veri fice c a T si S sunt transform˘ ari liniare.

b) S a se determine T ◦ S si S ◦ T si s a se veri fice c a sunt transform˘ ari liniare.c) S a se demonstreze c a :

B(S ◦ T )B =B0 (S )B ·B (T )B0 ;

B0(T ◦ S )B0 =B (T )B0 ·B0 (S )B,

unde ◦ este operatia de compunere a functiilor, iar · este operatia de ınmultire a matricelor, B este baza canonic a din R3, iar B0 este baza canonic a din R2 .

Exercitiul 4. Fie T ∈ L (R4,R4) o transformare liniar a de finit˘ a astfel T (x) = (x2 + x3,−x1 − x2 + x4, x1 + x2 − x4,−x1 + x3 + x4).

S a se arate c a ker(T ) = Im (T ) .

Exercitiul 5. Fie spatiile liniare reale (R3, +, ·,R) si (R4, +, ·,R) .Se de finesc transform˘ arile liniare :T : R3 → R

4, ∀x = (x1, x2, x3) ,

T (x) = (x1 + x2, 2x1 − x2 + x3,−x1 + 2x3, 3x3) ,

S : R4 → R3, ∀y = (y1, y2, y3, y4) ,




S (y) = (y1 + y2 − y3 − y4, 2y2 − 3y4, y1 − y3 + 2y4) .

S a se determine nucleele si imaginile aplicatiilor T si S . S a se determine trans-

form˘ arile compuse T ◦ S si S ◦ T . S a se veri fice c a matricea transform˘ arii compuse este egal a cu produsul matricelor celor dou˘ a transform˘ ari ın bazele canonice core-spunz atoare.

Exercitiul 6. Fie spatiul liniar real (R2, +, ·,R). Se de fineste functia T : R2 → R2, ∀x = (x1, x2) , T (x) = (x1 − 2x2, x2 − x1) ,

a) S a se veri fice c a T este transformare liniar a.b) S a se studieze dac a T este inversabil a si, dac a da, s a se arate c a T −1 este liniar a.c) S a se veri fice dac a B0 (T −1)

B = (B (T )

B0)−1

.

Exercitiul 7. Not˘ am cu (Rn [x] , +, ·,R) spatiul liniar al polinoamelor de grad cel mult n.

Fie spatiul liniar real (R2 [x] , +, ·,R). Se de fineste functia T : R2 [x] → R2 [x] , ∀p(x) = a0+a1x+a2x2, (T p) (x) = a1−(a0+a2)x+(a1+a2)x2.

a) S a se arate c a T este transformare liniar a si s a se determine matricea asociat˘ a transform˘ arii liniare ın raport cu bazele B = (1, x , x2) si B0 = (x + 1, x − 1, x2 + 1) .

b) S a se veri fice c a T este injectiv a si s a se demonstreze c a B 0 (T −1)B

= (B (T )B0)

−1.

Exercitiul 8. Fie spatiile liniare reale (R4 [x] , +, ·,R) si (R3 [x] , +, ·,R) . S a se de-termine matricea asociat˘ a transform˘ arii liniare T : R4 [x] → R3 [x] de finit˘ a prin∀p ∈R4 [x] , T p = p0 (p0 este derivata functiei polinomiale p : R → R atasat˘ a

polinomului p) ın raport cu bazele B = (1, x , x2

, x3

, x4

) ın (R4 [x] , +, ·,R) si B0

=(1, x , x2, x3) ın (R3 [x] , +, ·,R) .

Exercitiul 9. Fie T : R3 [x] → R3 [x], T p = p0 − p, (p0 este derivata functiei poli-nomiale p : R → R atasat˘ a polinomului p). S a se arate c a T este un izomor fism si c a T −1 (p) = −p − p0 − p00 − p000.

Exercitiul 10. Fie f : R3 → R3 o functie liniar a a c arei matrice ın raport cu baza

canonic a din R3 este A =

⎛⎝

−1 1 23 3 42 1 1

⎞⎠ .

a) S a se determine matricea lui f ın raport cu baza S = (f 1 = (1, 1,−1), f 2 = (1, 0, 1), f 3 = (1, 1, 0)).b) S a se a fl e ker(f ), Im(f ),def (f ), rang(f ) si s a se studieze injectivitatea si sur-

jectivitatea.c) S a se veri fice c a def (f ) + rang(f ) = dimR(R3) .




1.1. Exercitii suplimentare.

Exercitiul 11. Fie functiile f : X→ Y, g : Y→ Z. S a se demonstreze c a dac a f, gsunt bijective, atunci g ◦ f este bijectiv a. Dac a f este bijectiv a atunci f −1 este bijectiv a.

Exercitiul 12. S a se determine functia liniar a f : R4 → R2, dac a se cunoaste:

f (e1) = (1, 0), f (e2) = (0, 1), f (e3) = (1, 1), f (e4) = (1,−1), unde {e1, e2, e3, e4} este baza canonic a din R4.

Exercitiul 13. Fie spatiile liniare reale (M2×2 (R) , +, ·,R) si (R3, +, ·,R) . De finimfunctia T : R3 → M2×2 (R) prin ∀x ∈ R

3, x = (x1, x2, x3) ,

T (x) =µ x2 x3

−x1 0¶

.a) S a se demonstreze c a T este o transformare liniar a.b) Fie C = (e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1)) baza canonic a din spatiul

liniar (R3, +, ·,R) si C 0 =

µE11 =

µ 1 00 0

¶,..., E22 =

µ 0 00 1

¶¶baza canonic a din

spatiul liniar (M2×2 (R) , +, ·,R). S a se determine matricele transformarei liniare ınbazele propuse C (T )

C 0 .

c) S a se determine ker(T ) si Im (T ), s a se precizeze o baz a ın ele. S a se studieze injectivitatea si surjectivitatea lui T.

Exercitiul 14. Pe spatiul liniar real al polinoamelor de grad cel mult n , notat cuRn[x] , se de finesc functiile :

f 1 : Rn[x] → R n+1[x] ,(f 1(p))(x) = xp(x),∀p ∈ Rn[x] .

f 2 : Rn[x] → R1[x], (f 2(p))(x) = x1R 0

tp(t)dt,∀p ∈ Rn[x] .

a) S a se arate c a f 1 si f 2 sunt transform˘ ari liniare.b) S a se arate c a f 1 este injectiv a si f 2 nu este surjectiv a.c) S a se determine ker f 2 si Im f 1.

Exercitiul 15. Fie f : X → Y si g : Y → Z transform˘ arile liniare de finite peste spatiile liniare X,Y,Z peste campul K astfel ıncat g ◦ f = θ . S a se arate c a

a) dac a f surjectiv a atunci g = θ,b) dac a g injectiv a atunci f = θ.

Exercitiul 16. S a se arate c a dac a f ∈ L(X,X) satisface f 2 − f + iX = θ atunci f

este automor fism al lui X.




Exercitiul 17. Aplicatie ın criptogra fie. Consider am c a vrem s a trimitem urm˘ atorul mesaj unui prieten: NE INTILNIM LUNI LA NOUA.

Pentru securitate prima codi ficare a alfabetului va fiA B C D E F G H I J K L M N O P Q R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

S T U V W X Y Z 19 20 21 22 23 24 25 26

mesajul original va fi14 5 9 14 20 9 12 14 9 13 12 21 14 9 12 1 14 15 21 1Il ımp˘ artim ın cinci vectori ⎛

⎜⎜⎝

1459

14

⎞

⎟⎟⎠

⎛

⎜⎜⎝

209

1214

⎞

⎟⎟⎠

⎛

⎜⎜⎝

9131221

⎞

⎟⎟⎠

⎛

⎜⎜⎝

149

121

⎞

⎟⎟⎠

⎛

⎜⎜⎝

1415211

⎞

⎟⎟⎠Il codi fic am a doua orar a mesajul codi ficat anterior conform transform˘ arii liniare

(aleas a arbitrar, dar bijectiv a!!!)T : R4 → R

4

T (x) =

⎛⎜⎜⎝

1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

x1

x2

x3

x4

⎞⎟⎟⎠ .

A doua codi ficare a mesajului va fi⎛⎜⎜⎝

1 2 3 4

1 1 2 30 1 2 30 0 1 1

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

14

5914

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

107

796523

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

209

1214

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

130957526

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

9131221

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

15510910033

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝

149

121

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝

72503613

⎞⎟⎟⎠




⎛

⎜⎜⎝1 2 3 41 1 2 3

0 1 2 30 0 1 1

⎞

⎟⎟⎠

⎛

⎜⎜⎝1415

211

⎞

⎟⎟⎠=

⎛

⎜⎜⎝11174

6022

⎞

⎟⎟⎠

Putem trimite mesajul 107 79 65 23 130 95 75 26 155 109 100 33 72 50 36 13 111 74 60 22 Destinatarul cunoaste matricea transform˘ arii liniare, calculeaz a inversa sa ⎛⎜⎜⎝

1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1

⎞⎟⎟⎠

−1

=

⎛⎜⎜⎝

0 1 −1 01 −1 0 −11 −1 −1 2−1 1 1 −1

⎞⎟⎟⎠

si decodi fic a mesajul.Decodi ficati urm˘ atorul mesaj 82 55 36 6 83 51 46 13 167 123 103 39 77 56 35 9 132 88 76 23

1.2. Transformari liniare care apar ın probleme de grafica pe calculator.

Exercitiul 18. S a se scrie transformarile liniare care realizeaz a simetria ın plan a unui punct fat˘ a de axele Ox,Oy si fat˘ a de prima bisectoare.

Exercitiul 19. S a se determine coordonatele simetricului triunghiului cu varfurile ın punctele (−1, 4) , (3, 1) , (2, 6) fat˘ a de axele Ox, Oy si fat˘ a de prima bisectoare.

Exercitiul 20. S a se scrie transformarile liniare care realizeaz a simetria ın spatiu a unui punct fat˘ a de planele Oxy, Oyz, Oxz .

Exercitiul 21. S a se scrie transformarile liniare care realizeaz a proiectiile ortogonale ın plan a unui punct pe axele Ox,Oy.

Exercitiul 22. S a se scrie transformarile liniare care realizeaz a proiectiile ortogonale ın spatiu a unui punct pe planele Oxy,Oyz,Oxz .

Exercitiul 23. S a se scrie transform˘ arile liniare care realizeaz a rotatia ın plan a unui punct ın jurul originii in sens direct trigonometric si ın sens contrar trigonometric.

Exercitiul 24. Fie triunghiul cu varfurile ın punctele (−1, 4) , (3, 1) , (2, 6) S a se determine coordonatele triunghiului rotit ın jurul originii cu un unghi de 90 grade.

Exercitiul 25. Descrieti cum se transform˘ a un p˘ atrat de latura 1 prin aplicarea tuturor punctelor transform˘ arile liniare care au matricele ın baza canonic a date mai

jos:

A =

µ 1 20 1

¶, A =

µ 3 00 3

¶, A =

µ 2 00 1

¶.




Exercitiul 26. G˘ asiti transformarea liniar a care realizeaz a transformarea p˘ atratului de latur a1, colorat in galben, ın p˘ atratul colorat ın verde.

Exercitiul 27. G˘ asiti transformarile liniare care realizeaz a trecerea de la p˘ atratele galbene la cele verzi, ilustrate prin figurile de mai jos?

, , .

Exercitiul 28. Analizati cum se modi fic a p˘ atratul de latura 1 dac a aplic am asupra punctelor lui transformarea liniar a T (x) = (x + y, y), x = (x1, x2) .

Exercitiul 29. G˘ asiti transformarea liniar a care realizeaz a trecerea de la p˘ atratele

galbene la cele verzi, ilustrate prin figurile de mai jos.



SEMINARUL NR.5-6. ALGEBRA LINIARA 1

1. Valori si vectori proprii

Exercitiul 1. Determinati valorile proprii ala matricelor urm˘ atoare:

A ∈M3(R),A =

⎛⎝

4 −1 −22 1 −21 −1 1

⎞⎠ ; A ∈M3(R),A =

⎛⎝

1 1 00 1 11 0 1

⎞⎠ ;

A ∈M3(C),A =

⎛⎝

1 1 00 1 11 0 1

⎞⎠ ; A ∈M3(Q),A =

⎛⎝

0 1 00 0 14 −17 8

⎞⎠ .

A ∈M3(R),A =

⎛⎝

0 1 00 0 14 −17 8

⎞⎠ .

Exercitiul 2. Se consider a matricea:

A =

⎛⎝

0 1 11 0 11 1 0

⎞⎠ .

a) S a se calculeze valorile proprii si vectorii proprii ai matricei si s a se determine ordinele de multiplicitate si dimensiunile subspatiilor proprii.

b) S a se stabileasc a dac a matricea este diagonalizabil a.c) In caz a firmativ, s a se determine o matrice diagonal a si matricea modal a core-

spunz atoare.

Exercitiul 3. Se consider a matricea:

A =

⎛⎜⎜⎝

0 0 −5 30 0 −3 1−5 3 0 0−3 1 0 0

⎞⎟⎟⎠

a) Calculati polinomul caracteristic al matricei A. Determinati multiplicitatea algebric a a fiec arei valori proprii a lui A.

b) Explicitati subspatiile proprii. Determinati multiplicitatea geometric a a fiec arei valori proprii a lui A.

c) Este matricea A diagonalizabil a?

Exercitiul 4. S a se stabileasc a dac a matricele de mai jos sunt diagonalizabile, iar ın

caz a firmativ s a se determine efectiv forma diagonal a si matricea modal a:

a) A =

⎛⎝

3 2 22 2 1−6 −5 −4

⎞⎠ ; b) A =

⎛⎝

1 0 32 1 23 0 1

⎞⎠ ;




c) A =⎛⎝

1 2 −4

2 −2 −2−4 −2 1

⎞⎠ ; d) A =⎛⎝

1 −1 1−2 1 0−1 1 −1

⎞⎠ ;

e) A =

⎛⎝

4 6 0−3 −5 0−3 −6 1

⎞⎠ ; f) A =

⎛⎝

1 2 1−1 2 −11 −1 2

⎞⎠ .

R: b) P =

⎛⎝

−3

2 0 3

2

0 1 23

2 0 3

2

⎞⎠ ; D =

⎛⎝

−2 0 00 1 00 0 4

⎞⎠

c) P =⎛⎝

1 1 0

−4 1

2 2−1 −1 1

⎞⎠; D =

⎛⎝−3 0 0

0 6 00 0 −3

⎞⎠

d) P =

⎛⎝

1 1 11 2 −2−1 1 −1

⎞⎠ ; D =

⎛⎝

−1 0 00 0 00 0 2

⎞⎠ ,

e) P =

⎛⎝

1 1 0−1 −1

2 0

−1 −1 1

⎞⎠ ; D =

⎛⎝

−2 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ ,

f) P =

⎛

⎝

1 0 11

3 1 1

−2

3

−1 −

1

⎞

⎠; D =

⎛

⎝

1 0 00 2 0

0 1 2

⎞

⎠.

Exercitiul 5. Fie matricea

A =

⎛⎝

0 1 00 0 12 −5 4

⎞⎠ .

S a se arate c a nu exist˘ a nici o baz a ın R3 ın raport cu care matricea s a aib˘ a forma diagonal a. De ce?

Exercitiul 6. Dac a matricea A ∈Mn(K) este diagonalizabil a, s a se obtin˘ a formula de calcul a lui Ak,∀k ∈ N∗.

Exercitiul 7. S a se calculeze puterea a n−a a matricei

A =

⎛⎝

−1 0 −33 2 3−3 0 −1

⎞⎠ .




R: An =

⎛

⎝1 1 0−1 −1 1

1 −1 0

⎞

⎠

⎛

⎝(−4)n 0 0

0 2n 0

0 0 2n

⎞

⎠

⎛

⎝

1

2 0 1

21

2 0 −1

2

1 1 0

⎞

⎠ =

⎛⎝

1

22n + 1

2 (−4)n 0 1

2 (−4)n − 1

22n

1

22n − 1

2 (−4)n 2n 1

22n − 1

2 (−4)n

1

2 (−4)n − 1

22n 0 1

22n + 1

2 (−4)n

⎞⎠

Exercitiul 8. Folosind teorema Cayley-Hamilton s a se calculeze polinomul matriceal P (A) = A4 − 4A3 + 6A2 − 4A + I 4,

P (A) = A4 − 4A3 + 6A2 − 3A + I 4 pentru

A =

⎛

⎜⎜⎝

−2 3 −1 4−4 5 −2 7

−3 3 −2 5−2 2 −2 3

⎞

⎟⎟⎠

Exercitiul 9. Folosind teorema Cayley Hamilton s a se calculeze A−1 si An ın cazurile

a) A =

µ 1 01 1

¶; b) A =

µ −1 0

0 −1

¶;c) A =

⎛⎝

1 0 10 2 00 0 3

⎞⎠ ;

d) A =

⎛⎝

0 0 10 1 10 0 0

⎞⎠ ; e) A =

⎛⎝

2 0 00 1 00 1 1

⎞⎠ .

Exercitiul 10. S a se arate c a dac a este λ valoare proprie a matricei A, atunci λn

este valoare proprie a matricei An. Dac a A este o matrice inversabil a, atunci 1λ este valoare proprie a matricei A−1.

Exercitiul 11. S a se arate c a dac a x este vector propriu al matricei A, iar P este o matrice inversabil a, atunci P x este vector propriu al matricei P AP −1.

Exercitiul 12. S a se ver fice dac a matricele urm˘ atoare

A =

⎛⎜⎝

1√ 3

1√ 2

1√ 6

1√ 3

0 − 2√ 6

1√ 3 − 1√

2

1√ 6

⎞⎟⎠ , A =

⎛⎝

1 1 −11 3 47 −5 2

⎞⎠ ,

A = 1

3

⎛⎝ 2 1 2

1 2 −22 −2 −1

⎞⎠ , A =

⎛⎜⎜⎜⎝

− 1√ 6

2√ 5

0 1√ 30

0 0 1 02√ 6

1√ 5

0 − 2√ 30

1√ 6

0 0 5√ 30

⎞⎟⎟⎟⎠ .

sunt ortogonale.





Exercitiul 13. Ar atati c a urm˘ atoarela matrice nu sunt asemenea:

A =

µ 1 22 1

¶, B =

µ 1 11 1

¶.

Exercitiul 14. Calculati vealorile proprii ale matricei identitate de ordin n. Determinati subspatiile proprii.

Exercitiul 15. Fie A, B ∈Mn(R). Demonstrati c a dac a A ∼ B atunci AT ∼ BT si A−1 ∼ B−1.

Exercitiul 16. Fie A, B ∈ Mn(R). Demonstrati c a dac a A este inversabil a, atunci AB ∼ BA, oricare ar fi matricea B ∈Mn(R).

Exercitiul 17. Dac a matricea A ∈Mn(K) este diagonalizabil a, atunci rangul lui Aeste egal cu num˘ arul valorilor proprii nenule.

Exercitiul 18. Matricea A ∈ Mn(K) este diagonalizabil a dac a si numai dac a ma-tricea AT ∈Mn(K) este diagonalizabil a.

Exercitiul 19. Fie A, B ∈Mn(R). Demonstrati c a dac a A ∼ B atunci matricea Aeste diagonalizabil a dac a si numai dac a matricea B este diagonalizabil a.

Exercitiul 20. Dati exemplu de dou˘ a matrice A, B diagonalizabile astfel ıncat A+B

s ˘

a nu fi

e diagonalizabil ˘

a (evident c ˘

aut˘

am matrice 2 × 2).Exercitiul 21. Fie A ∈ Mn(R) o matrice simetric a. Demonstrati c a urm˘ atoarele a firmatii sunt echivalente:

a) A este ortogonal a.b) A2 = I n.

c) σ(A) = {−1, 2} .

Exercitiul 22. Fie P (λ) = λ4(λ + 5)(λ − 3)2 polinomul caracteristic corespunt˘ ator matricei A.

a) Care este dimensiunea lui A?

b) Care sunt dimensiunile posibile ale lui ker(A

)?c) Dac a dimensiune lui ker(A) este 2, este matricea A diagonalizabil a?

Exercitiul 23. Fie A ∈Mn(R). Matricea A se numeste nilpotent˘ a dac a exist˘ a k ∈ Nastfel ıncat Ak = 0n. Demonstrati c a λ = 0 este singura valoare proprie a matricei A.

Demonstrati c a P (λ) = λn.




Exercitiul 24. Fie A ∈ Mn(C) si det(A) 6= 0 si P (λ) polinomul caracteristic al matricei A. S a se determine expresia polinomului caracteristic al matricei A−1 ın

functie de polinomul caracteristic al matricei A.

Exercitiul 25. S a se deduc a expresia polinomului caracteristic al matricei A∗ ınfunctie de polinomul caracteristic al matricei A, det(A) 6= 0.

Exercitiul 26. Fie A ∈Mn(C) si Q un polinom cu coe ficienti reali de grad n.

a) Exprimati det Q(A) ın functie de polinomul caracteristic P a lui A.

b) Dac a λ1, λ2,...,λn sunt valorile proprii ale lui A, demonstrati c a 1. det Q(A) = Q(λ1)Q(λ2)...Q(λn).

2. Valorile proprii ale lui Q(A) sunt Q(λ1), Q(λ2),...,Q(λn).

c) Demonstrati c a toti vectorii proprii ai lui A sunt si vectori proprii ai lui Q(A).

Exercitiul 27. Fie matricea:

A =

⎛⎜⎜⎝

1 1 1 a

1 1 a 11 a 1 1a 1 1 1

⎞⎟⎟⎠ .

Se cere:a) S a se determine valorile proprii ale aplicatiei liniare T ∈ L(R4) care are matricea

A =C (T )C

, unde C este baza canonic a.b) Precizati dimR(ker(T )) ın raport cu valorile parametrului a.

c) Fie g forma p˘

atratic ˘

a care are pe A ca matrice asociat˘

a. S ˘

a se reduc ˘

a la forma canonic a forma g.

Exercitiul 28. Fie A ∈Mn(R). Demonstrati c a matricele AT A si AAT admit fiecare cate o baz a format˘ a din vectori proprii ortogonali.

Exercitiul 29. a) Demonstrati c a matricea

A =

⎛⎜⎜⎜⎝

a1b1 a1b1 · · · a1b1a1b1 a1b1 · · · a1b1

... ...

...a1b1 a1b1 · · · a1b1

⎞⎟⎟⎟⎠

are rangul ≤ 1.b) Calculati polinomul caracteristic al matricei A.

c) Precizati valorile proprii si multiplicitatea algebric a si geometric a a fiec arei dinaceste valori proprii.

d) Decideti dac a matricea este diagonalizabil a.




Exercitiul 30. Folosind teorema Cayley-Hamilton s a se calculeze inversa matricei A ın functie de puterile sale,

A =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

−1 2 −3 4 · · · (−1)nn0 −1 2 −3 · · · (−1)n−1(n − 1)0 0 −1 2 · · · (−1)n−2(n − 2)...

... . . .

...0 0 0 0 · · · −1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

.

Exercitiul 31. Fie U,V si W spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K si T ∈ L(U, V ), S ∈ L(V,W). Atunci

a) rang(S ◦ T ) ≤rang(S ),

b) rang(S ◦ T ) ≤rang(T ),

c) dac a S este izomor fism atunci rang(S ◦ T ) =rang(T ),d) dac a T este izomor fism atunci rang(S ◦ T ) =rang(S ).

S a se transpun˘ a aceste rezultate ın termeni de matrice.

Indicatii.a) Demonstram ca Im(S ◦ T ) ⊆Im(S ).b) Demonstram ca ker(T ) ⊆ ker(S ◦ T ).

c) S ∈ L(V,W), S izomorfism, rezulta ca S −1 ∈ L(W,V) si este izomorfism.Scriem T = S −1◦(S ◦ T ) si conform punctului a) si b), rang(T ) ≤rang(S ◦T ) ≤rang(T ).

d) Scriem S = (S ◦ T ) ◦ T −1 si facem un rationament analog cu cel de la punctulc).



SEMINARUL NR. 7-8-9 ALGEBRA LINIARA 1

Exercitiul 1. Folosind metoda lui Gauss s a se determine forma canonic a si signatura formelor p˘ atratice precum si matricea cu care se obtine aceasta:

a) h : R2 → R, h(x) = x21 − x2

2 − x1x2.b) h : R3 → R, h(x) = x2

1 + 9x22 + 19x2

3 + 2x1x2 + 4x1x3.

c) h : R4 → R, h(x) = −3x4x3 + x1x2 + 2x2x3.

d) h : R3 → R, h(x) = −x21 − x2

2 − x23 + x1x2 + x2x3.

Exercitiul 2. Utilizand metoda lui Jacobi, s a se determine forma canonic a a formelor p˘ atratice de mai jos, precum si matricea cu care se obtine aceasta:

a) h : R3 → R, h(x) = x21 + 7x2

2 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3.

b) h : R3 → R, h(x) = x21 + 8x2

2 + x23 + 16x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.

c) h : R4 → R, h(x) = x21+ x2

2+ 4x23+ 4x2

4+ 4x1x3+ 2x1x4+ 2x2x3+ 2x2x4+ 6x3x4.

Exercitiul 3. Folosind metoda transform˘ arilor ortogonale (a valorilor proprii) s a se reduc a la forma canonic a formele p˘ atratice de mai jos, indicand matricea ortogonal a cu care se obtine aceasta .

a) h : R3 → R, h(x) = 3x21 + 6x2

2 + 3x23 − 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3.

b) h : R4 → R, h(x) = 2x1x2 − 6x1x3 − 6x2x4 + 2x3x4.

c) h : R3 → R, h(x) = x22 − x2

3 + 4x1x2 − 4x1x3.

d) h : R3 → R, h(x) = x21 + x2

2 + x23 + x1x2 + x1x3 + x2x3.

S a se precizeze pentru fiecare din ele signatura si natura formei p˘ atratice .

Exercitiul 4. Se dau urm˘ atoarele forme p˘ atratice:

a) h : R3 → R, h(x) = 3x2

1 + 6x2

2 + 3x2

3 − 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3,b) h : R3 → R, h(x) = −x21 + x2

2 − 5x23 + 6x1x3 + 4x2x3,

c) h : R3 → R, h(x) = 2x1x2 − 4x1x3 − 4x2x3,

d) h : R3 → R, h(x) = 2x1x2 + 4x1x3.

S a se determine expresia canonic a prin toate metodele cunoscute.S a se veri fice legea de inertie a lui Sylvester.

Exercitiul 5. Se consider a vectorii −→u = 2

−→i − 5

−→ j + 3

−→k ,−→v =

−→i +

−→ j − −→k . Se cere:

a) unghiul dintre vectorii −→u si −→v ;b) ın˘ altimea corespunz atoare bazei −→u a paralelogramului construit pe vectorii −→u

si −→v .

Exercitiul 6. Se dau vectorii −→a =−→

i +−→ j +

−→k ,−→b =

−→i −−→ j , −→c = −−→i +

−→ j +2

−→k ,

unde ³−→

i ,−→ j ,−→k´

este o baz a ortonormat˘ a pozitiv orientat˘ a. S a se calculeze:

a) versorul vectorului −→a ;




b)D−→a ,

−→bE

, −→

b ×−→c , hh−→b ,−→a ,−→c ii,−→a × (

−→b ×−→c );

c) aria paralelogramului construit cu vectorii −→a si −→b ;d) volumul tetraedrului construit pe vectorii −→a ,

−→b si −→c ;

e) ın˘ altimile paralelogramului construit pe vectorii −→a si −→c ;

f) ın˘ altimile paralelipipedului construit pe vectorii −→a ,−→b si −→c ;

g) vectorul bisector al unghiului format de vectorii −→a si −→c .

Exercitiul 7. S a se determine al patrulea varf al tetraedrului ABCD cu A(4,−2, 2),

B(3, 1, 1), C (4, 2, 0) stiind c a D ∈ Oz si c a volumul tetraedrului este egal cu 4. S a se determine lungimea ın˘ altimii coborate din D.

Exercitiul 8. Dac a vectorii −→

a ,−→b ,−→c ∈

V3 sunt liniar independenti, s a se deter-mine λ ∈ R astfel ıncat vectorii −→u = λ−→a +

−→b +−→c ,−→v = −→a + λ

−→b +−→c ,−→w = −→a +

−→b + λ−→c

s a fie coplanari.

Exercitiul 9. Se dau punctele A(−1, 2,−2), B(−2, 5, 1), C (−1, 6, 0), D(2, 3,−6). Se cere:

a) s a se veri fice dac a patrulaterul ABCD este plan;b) s a se calculeze aria figurilor determinate de aceste puncte.

Indicatie: a) se verifica coplanaritatea vectorilor AB,AC,AD.

Exercitiul 10. S a se scrie ecuatia planului care trece prin origine si este perpendic-ular pe planele

(P ) : 2x− y + 3z − 1 = 0,

(Q) : x + 2y + z = 0.

Exercitiul 11. Fie planul (P ) : x − y + 2z = 0 si punctul A(1, 0, 1). Se cere:a) s a se determine coordonatele proiectiei punctului A pe planul (P );b) s a se determine coordonatele proiectiei punctului A pe dreapta d(M 1, M 2), unde

M 1(0, 2, 1) si M 2(−2, 0, 1).

Indicatie: a) se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul A si este perpendicu-lara pe planul (P ); care va fi directia dreptei? b) se scrie ecuatia planului care treceprin punctul A si este perpendicular pe dreapta d(M 1, M 2); care va fi normala laplan?




Exercitiul 12. Fie dreapta

(d) :½ x

−y

−3z + 2 = 0

2x + y + 2z − 3 = 0si planul (P ) : x + y + z + 1 = 0. Se cere:a) s a se scrie ecuatia planului ce contine dreapta (d) si e perpendicular pe planul

(P );b) s a se scrie ecuatiile dreptei simetrice dreptei (d) fat˘ a de planul (P ).

Exercitiul 13. Se consider a punctul M (2, 1,−3), dreapta (d) : x − 2 = y = 2z + 1si planul (P ) : x + 2y − 3z + 4 = 0.

a) S a se a fl e distantele de la punctul M la (P ) si la dreapta (d).

b) S a se a fl e unghiul dintre dreapt˘ a si plan.

Exercitiul 14. S a se determine conditia ca planele de ecuatii (P 1) : x − cy − bz = 0si respectiv (P 2) : y − az − cx = 0, (P 3) : z − bx − ay = 0 s a treac a prin aceeasi dreapt˘ a.

Exercitiul 15. S a se determine intersectia elipsei 3x2 + 8y2 = 35 cu dreapta x + 2y − 5 = 0.

Exercitiul 16. S a se arate c a ecuatia x2 + y2 − 4x− 4y + 9 = 0

reprezint˘ a ecuatia unui cerc si s a se scrie ecuatiile tangentelor duse din origine la acest

cerc.

Exercitiul 17. S a se determine ecuatiile tangentelor duse prin punctul M (3, 2) la curba de ecuatie x2 + 4y2 − 4 = 0.

Exercitiul 18. Ce valoare trebuie s a aib˘ a λ pentru ca dreapta x − y + λ = 0 s a fie tangent˘ a la curba x

2

4 − y

2

9 + 1 = 0? Dup˘ a determinarea lui λ s a se a fl e coordonatele

punctelor de contact al tangentei.

Exercitiul 19. S a se determine punctele de intersectie al parabolei y2 = 18x cudreapta 6x + y − 6 = 0.

Exercitiul 20. S a se traseze gra ficele conicelor:a) x2 + 4y2 − 8y = 0,

b) x2 − 4y2 + 8y = 0,

c) 4x2 − y2 + 8x + 2y = 1,

d) 4x2 − y2 − 16x + 2y + 15 = 0,




e) y2 − 6x− 2y = 0,

f) y2 + 6x + 2y = 0,

g) x2 + 6x− y = 0,h) x2 + 4x + y + 4 = 0,

i) y2 − x− 2y = 0,

j) y2 + x + 2y + 2 = 0.

Exercitiul 21. S a se stabileasc a natura urm˘ atoarelor conice si apoi s a se reprezinte gra fic:

a) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x− 18y + 9 = 0,

b) 7x2 − 8xy + y2 − 6x− 12y − 9 = 0,

c) 3x2 − 6xy + 3y2 + 4x + 4y + 4 = 0,

d) 2x2 + 5xy + 2y2 + 3x + 3y + 1 = 0,

e) x2 − 2xy + y2 + 6x− 6y + 5 = 0,

f) x2 + 4xy + y2 + 4x + 4y − 4 = 0,

g) xy + 2x + y = 0,

h) 2x2 − 2√

3xy + 9 = 0.

Exercitiul 22. S a se reprezinte gra fic urm˘ atoarele domenii:a) D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ −2x};

b) D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 4, x2 + y2

4 ≤ 1, x ≥ 0};

c) D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 2, x ≤ y2, x ≥ −y2, y ≤ 0};d) D = {(x, y)|x2

≥y2, x

≤y, 0

≤y

≤1};

e) D = {(x, y)|y2 ≥ x

2

, y ≤ 2x + 3};f) D = {(x, y)|x2 + (y − 1)2 ≤ 1, y ≤ x2, x ≥ 0}.

Exercitiul 23. S a se recunoasc a urm˘ atoarele curbe din plan:x2 + y2 − 2x + 2y = 0, y2 − 9x2 = 0.

2x2 + y2 + 4y − 2 = 0; x2

49 +

y2

9 = 0,

x2

8 − y2 − 1

2 = 0,

x2

8 − y = 0,

x2 + y2 − 2y + 2 = 0, y − 20x2 = 0.

Exercitiul 24. S a se recunoasc a suprafetele ın spatiu:x2

4 +

y2

9 +

z 2

25 − 1 = 0,

x2

4 − y2

9 = z,

x2 + y2 = 2z, x2

4 − y2

9 − 1 = 0,

x2 + y2 − z 2 + 2z = 0, x− z + 2y + 3 = 0,




x2 − y2 + z 2 + 2y = 0, x2 − y2 = 2z,

−x2

4 −y2

9 +

z 2

25 − 1 = 0,

x2

4 +

y2

9 = 2z,x2

1 +

y2

16 +

z 2

4 = 0,

x2

9 +

y2

16 − z 2

25 − 1 = 0,

x2

1 +

y2

16 − z 2

4 − 1 = 0,

y2

16 − z 2

25 = 0,

x2

1 +

y2

16 − 2z = 0,

y2

16 − z 2

25 − 1 = 0,

x2 − y2 − z 2 = 0, x2 + y2 = 2z,y2

9 +

z 2

16 = 4− x2,

x2

9 − y2

16 + z 2 + 1 = 0.

EXERCITII SUPLIMENTARE

Exercitiul 25. S a se demonstreze:

h−→a ×−→b ,−→c ×

−→d i =

¯¯ h−→a ,−→c i h−→a ,

−→d i

h−→b ,−→c i h

−→b ,−→d i

¯¯ ,

°°°−→a ×−→b°°°2 = k−→a k

2°°°−→b °°°2 − D−→a ,

−→bE2

.

Exercitiul 26. Fie ABCDEF un hexagon regulat avand lungimea laturii egal a cu1 si R un reper ortonormat cu originea ın punctul C , R = (C,i ,j), ın care vectorul

i este coliniar si are acelasi sens cu −→BC , iar versorul j este coliniar si are acelasi sens

cu −→EC . Fie ınc a R un reper ortonormat cu originea ın punctul F , R0

= (F, i0

, j0

), ıncare versorul i0 este coliniar si are acelasi sens cu F A, iar versorul j este coliniar si

are acelasi sens cu −→DF . S a se g aseasc a:

a) rotatia si translatia care duc reperul R ın reperul R0,b) leg atura dintre coordonatele unui punct ın cele dou˘ a repere,c) coordonatele punctelor A si B ın cele dou˘ a repere.

Exercitiul 27. Fie cubul ABCDA0B0C 0D0 de latura 1. Consider am reperul R =

(A,−→

i ,−→ j ,−→k ) unde

−→AB =

−→i , −→AD =

−→ j , −−→AA0 =

−→k si reperul R = (C 0,

−→i0 ,−→ j0 ,

−→k0 )

unde −−→C 0C =

−→i0 , −−→C 0D0 =

−→ j0 , −−→C 0B0 =

−→k0 .

a) S a se arate c a S =³−→i ,−→ j ,−→k ´

si S 0

=³−→i0

,−→ j0

,−→k0 ´

sunt baze ortonormate.b) S a se determine matricea A de trecere de la baza S la Baza S 0.

c) S a se veri fice c a matricea A este ortogonal a.




Exercitiul 28. Se dau punctele A(3,−1, 3), B(5, 1, 1), C (0, 4,−3), D(1,−2, 5), dreptele

(d1) :½ x + 2y + 3z

−1 = 0

2x− y − z − 3 = 0 ,(d2) :

©x−4

1 = y+2

0 = z+1

3 ,

(d3) :

⎧⎨⎩

x = 1 + 2t

y = t − 1z = 1 + 3t

si planele (P ) : 2x−y−z −2 = 0, (Q) : x + 2y + 2z +1 = 0, (R) : x + 7y + 7z + λ =0, λ ∈ R. Se cer:

a) ecuatiile carteziene, parametrice si ecuatia vectorial a a dreptelor determinate de punctele A, B si respectiv A, C ;

b) ecuatia cartezian˘ a si vectorial a a planului ce contine punctul C si este perpen-

dicular a pe dreapta determinat˘ a de punctele A, B;c) ecuatia cartezian˘ a a planului ce trece prin punctul C si este perpendicular pe dreapta AB;

d) locul geometric al punctelor egal dep˘ artate de Asi B;e) ecuatia cartezian˘ a si vectorial a a planului ce contine punctul A si este paralel

cu dreptele (d1) si (d2);f) coordonatele simetricului punctului D fat˘ a de dreapta (d4) = (P ) ∩ (Q);g) coordonatele simetricului punctului D fat˘ a de planul (Q);h) ecuatiile carteziene ale proiectiei ortogonale a dreptei (d2) pe planul (P );i) ecuatiile carteziene ale simetricei dreptei (d2) fat˘ a de planul (P );

j) ecuatiile carteziene ale simetricului planului (P ) fat˘ a de planul (Q);

k) distanta dintre planele obtinute la punctele b) si c);l) distanta de la punctul D la planul (Q);m) m˘ asura unghiului dintre dreptele AB si AC ;n) m˘ asura unghiului dintre planele (P ) si (Q);o) m˘ asura unghiului dintre drepta (d1) si planul (Q);

p) valoarea lui λ pentru care (P ), (Q) si (R) se intersecteaz a dup˘ a o dreapt˘ a.



SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 1

1. SIRURI NUMERICE

1.1. Definitia sirului. I. Se da expresia termenului general an.

Exemplul 1. an = n + 1

n2 , n ≥ 1.

Exemplul 2. an =

½ (−1)n, n par,

n2, n impar.

II. Se da o relatie de recurenta prin care un termen al sirului se exprima ın functiede k termeni anteriori, k ≥ 1. In acest caz trebuie precizati si primii k termeni aisirului.

Exemplul 3. an+1 = √ 1 + an, n ≥ 1, a1 = √ 2 (k = 1) ,

Exemplul 4. an+2 = a2n − 3an+1 + 2, n ≥ 0, a0 = 1, a1 = 2 (k = 2) .

1.2. Clasificarea sirurilor.

Siruri monotone.

Definitia 1. Un sir (an)n∈N se numeste a) crescator dac a an ≤ an+1, pentru n ∈ N,

a0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an ≤ an−1 ≤ ...

b) strict crescator dac a an < an+1, pentru n

∈N,

a0 < a1 < ... < an < an−1 < ...c) descrescator dac a an ≥ an+1, pentru n ∈ N,

a0 ≥ a1 ≥ ... ≥ an ≥ an−1 ≥ ...

d) strict crescator dac a an > an+1, pentru n ∈ N,

a0 > a1 > ... > an > an−1 > ...

Definitia 2. Un sir cresc ator sau descresc ator se numeste sir monoton. Un sir strictcresc ator sau strict descresc ator se numeste strict monoton.

Procedee pentru demonstrarea monotoniei unui sirI. Folosirea definitiei

Exemplul 5. an = n

n + 1,

presupunem an < an+1 ⇔ nn+1

< n+1n+2 ⇔ n (n + 2) < (n + 1)2 ⇔ 0 < 1, ∀n ≥ 0.

II. Calculand diferenta an+1 − an sau an − an+1 si comparand-o cu zero.




Exercitiul 1. S a se studieze monotonia sirului

xn = 1

2³xn

−1 + a

xn−

1´ , x0 > 0, a > 0.

III. Calcul ınd raportul an+1

ansau

an

an+1si comparandu-l cu 1.

Exercitiul 2. xn = n!

3n,

Exercitiul 3. xn = 1 · 3 · ... · (2n− 1)

2 · 4 · ... · (2n) ,

Exercitiul 4. xn =

2n

n2 .

IV. Inductia matematica

Exercitiul 5. an =√

2 + an−1,∀n ≥ 2, a1 =√

2.

V. Considerand sirul ca o restrictie la multimea N a unei functii.

Exemplul 6. an = −n2 + n − 3, n ≥ 1. Se consider a functia f : R → R, f (x) =−x2+x−3, functia este strict descresc atoare pe [1,∞) ⇒ sirul monoton descresc ator.

Siruri m˘arginite.

Definitia 1. Un sir (an)n∈N se numeste marginit dac a multimea termenilor sirului este m˘ arginit˘ a.

Exemplul 7. an = n

n + 1, 0 <

n

n + 1 < 1, ∀n ≥ 0.

Daca (an)n∈N este monoton crescator atunci el este marginit inferior de primultermen; daca (an)n∈N este monoton descrescator atunci este marginit superior deprimul termen.

Procedee pentru pentru demonstrarea marginirii unui sir

I. Prin majorarea sau minorare




Exemplul 8. an = 1 + 1

1! +

1

2! + ... +

1

n!, n ≥ 0.

an = 1 + 11! + 12! + ... + 1n!

> 2,

k! > k (k − 1) ⇒ 1

k! <

1

k (k − 1) =

1

k − 1 − 1

k ⇒

an = 1 + 1

1! +

1

2! + ... +

1

n! < 1 +

1

1! +

1

2 · 1 +

1

3 · 2 + ... +

1

n (n− 1) =

= 1 + 1

1! +

µ1

1 − 1

2

¶+

µ1

2 − 1

3

¶+ ... +

µ 1

n− 1 − 1

n

¶= 3− 1

n < 3,

2 < an < 3.

Exercitiul 6. an = 1 + 1

22 +

1

32 + ... +

1

n2, n ≥ 1.

Exercitiul 7. bn = 1

12 +

1

12 + 22 +

1

12 + 22 + 32 + ... +

1

12 + 22 + ... + n2, n ≥ 1.

II. Folosind monotonia sirului.

Exemplul 9. an =√

2 + an−1, ∀n ≥ 2, a1 =√

2. Din exemplu 5 avem an < an+1 ⇒an <

√ 2 + an ⇒ a2

n − an − 2 < 0 ⇒ an ∈ (−1, 2) , an > 0 ⇒ an ∈ (0, 2) .

Exercitiul 8. xn = 12

µxn−1 +

a

xn−1

¶, x0 > 0, a > 0.

III. Folosind inductia matematica

Exemplul 10. an+1 =¡√

2¢an

, n ≥ 1, a1 =√

2. Evident an > 0, a1 =√

2 < 2.

Presupunem an < 2 ⇒ an+1 =¡√

2¢an

<¡√

2¢2

= 2 ⇒ 0 < an < 2.

IV. Considerand sirul ca o restrict ie la multimea N a unei functii.

Exemplul 11. an = sin π

n2 + 1, n ≥ 0. Se consider a functia f : R → [−1, 1] , f (x) =

sin π

x2 + 1.




Siruri convergente.

Definitia 2. Un sir de numere (an)n∈N are limita a ∈ R dac a ın orice vecin˘ atate a lui a se a fl˘ a toti termenii sirului cu exceptia unui num˘ ar finit de termeni ai lui, adic a (an)n∈N are limita a dac a ∀V ∈ V (a), ∃nV ∈ N : ∀n ≥ nV ⇒ an ∈ V .

Definitia 3. Un sir de numere (an)n∈N se numeste convergent dac a are limit˘ a ınR. Dac a sirul nu are limit˘ a sau are limit˘ a dar aceasta este ∞ sau −∞ atunci spunemc a sirul este divergent.

Studiul convergentei sirurilorTeorema de caracterizare a sirurilor convergente

Teorema 1. (Teorema de caracterizare a sirurilor convergente) Sirul de nu-

mere (an)n∈N se numeste convergent la a ∈ R dac a si numai dac a ∀ε > 0,∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε ⇒ |an − a| < ε.

Exercitiul 9. S a se atate c a sirul an = sin¡

nπ2

¢ nu converge la 1.

Exercitiul 10. S a se calculeze

a) limn→∞

1 + 2 + .. + n

n2 ,

b) limn→∞

C knnk

.

c) limn→∞

22 + 42 + .. + (2n)2

12 + 32 + .. + (2n− 1)2 .

I. Criteriul lui Weiersrass de convergenta: Orice sir monoton si marginit esteconvergent.

Exemplul 12. S a se studieze convergenta sirului an = 54 · 7

7 · 9

10 · ... · 5+2(n−1)

4+3(n−1) .

Rezolvare. Vom studia monotonia si marginirea. Pentru monotonie consideraman − an−1 = 5

4 · 7

7 · 9

10 · ... · 5+2(n−1)

4+3(n−1) − 54 · 7

7 · 9

10 · ... · 5+2(n−2)

4+3(n−2) = 54 · 7

7 · 9

10 · ... ·

5+2(n−2)4+3(n−2)

³5+2(n−1)4+3(n−1) − 1

´= 5

4 · 7

7 · 9

10 · ... · 5+2(n−2)

4+3(n−2) · 2−n4+3(n−2).

Pentru n > 2, an − an−1 < 0, deci sirul este monoton descrescator.

Deoarece sirul este marginit inferior de 0 rezulta ca este convergent.Pentru a calcula limita sa determinam o relatie ıntre an si an+1.

an+1 = 54 · 7

7 · 9

10 · ... · 5+2(n−1)

4+3(n−1) · 5+2n4+3n

= an5+2n4+3n

. Trecand la limita si tinand seamaca lim

n→∞an = lim

n→∞an+1 = a, obtinem

a = 23

a ⇒ a = 0, deci limn→∞

an = 0.




Exemplul 13. Se consider a sirul an = 1

nk, n ∈ N∗, k ∈ N∗. Atunci lim

n→∞an = 0.

Rezolvare. Deoarece nk > n,∀n ∈ N∗, ∀k ∈ N∗ ⇒ 0 < 1

nk <

1

n si lim

n→∞1

n = 0 ⇒

limn→∞

1

nk = 0.

Exercitiul 11. S a se studieze convergenta sirurilor

a) an = n

2n,

b) an = nn

(n!)2, n ≥ 1,

c) an = 2n

n!, n

≥1,

d) x1 = α

2 (0 < α ≤ 1) , xn =

α

2 +

x2n−12

, n ≥ 2.

e) an = 1

n sin(n!), n ∈ N∗.

II: Criteriul majorarii: Daca (an)n∈N si (bn)n∈N doua siruri, bn ≥ 0, |an − a| ≤bn, ∀n ≥ n0, exista lim

n→∞bn si lim

n→∞bn = 0 atunci lim

n→∞an = a.

Exercitiul 12. Ar atati c a urm˘ atoarele siruri au limita 0:

a) an = 1

1 + 2n, n ≥ 1,

b) an = (−1)n

2n + 1, n ≥ 1,

c) an = sin α

n, n ≥ 1, α ∈ R,

d) an = 1

2 ·

3

4 · ... ·

2n− 1

2n , n ≥ 1.

Indicatie an < 1√ 2n+1

µ2k − 1

2k <

2k

2k + 1

¶.

III. Inmultire cu conjugatul

Exercitiul 13. S a se calculeze limitele a) an =

√ n¡√

n + 1−√ n¢ ,

b) an = 3√

n + 1− 3√

n,

c) an = 3√

n

µ3

q (n + 1)2 − 3

q (n− 1)2

¶.




IV. Criteriul sirurilor intercalate: Daca an ≤ xn ≤ bn pentru n ≥ n1, exista limn→∞

bn

si si daca limn→∞

an = limn→∞

bn = a atunci limn→∞

xn = a.

Exercitiul 14. limn→∞

Ã 1

n3/2 +

1

(n + 1)3/2 +

1

(n + 2)3/2 + ... +

1

(2n− 1)3/2

!= 0.


µ 1

(2n)2 +

1

(2n + 1)2 +

1

(2n + 2)2 + ... +

1

(3n− 1)2

¶= 0.


n

√ 6n + 7n = 7

Exercitiul 17. limn→∞n

√ 3n

+ 6n

+ 9n

= 9.


µ 1√ n2 + 1

+ 1√ n2 + 2

+ ... +n1√

n2 + n

¶= 1.


µsin2 π

n + 1 + sin2 π

n + 2 + ... + sin2 π

n + n

¶= 0.


cos π

n + cos

π

n + 1 + ... + cos

π

2nn + 1

= 1.

De retinut inegalitatea n mini=1,2,..,n

xi ≤ x1 + x2 + .. + xn ≤ n maxi=1,..,n

xi.

IV. Teorema cleste: Daca a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b1, existalimn→∞

(bn − an) si limn→∞

(bn − an) = 0, atunci exista limn→∞

bn, limn→∞

an si limn→∞

bn = limn→∞

an.

Exercitiul 21. Se de finesc sirurile

xn = 1 + 1√

2+

1√ 3

+ ... + 1√

n − 2

√ n + 1,

yn = 1 + 1√

2+

1√ 3

+ ... + 1√

n − 2

√ n.

Demonstrati c a cele dou˘ a siruri sunt monotone, m˘ arginite si au aceeasi limit˘ a care

apartine intervalului (−2,−1) .

Exercitiul 22. Se de finesc sirurile a0, b0 ∈ R, a0 < b0 si

an = an−1 + bn−1

2 , bn =

an−1 + 2bn−13

.

S a se arate c a cele dou˘ a siruri sunt convergente si au aceeasi limit˘ a.




Rezolvare (schematica). Observam ca putem scrie

µ an

bn¶

=µ 1

2

1

213

23

¶µ an−1

bn−1¶

=µ 1

2

1

213

23

¶2µ an−2

bn−2¶

= ... =µ 1

2

1

213

23

¶nµ a0

b0¶µ

12

12

13

23

¶=

µ 1 1−2

3 1

¶µ 16

00 1

¶µ 35 −3

525

35

¶µ

12

12

13

23

¶n

=

µ 1 1−2

3 1

¶µ 16

00 1

¶nµ 35 −3

525

35

¶µ

12

12

13

23

¶n

=

µ 1 1−2

3 1

¶µ ¡16

¢n0

0 1

¶µ 35 −3

525

35

¶=

µ 35

¡16

¢n+ 2

535 − 3

5

¡16

¢n25 − 2

5

¡16

¢n 25

¡16

¢n+ 3

5

¶µ

an

bn

¶=

µ 35

¡16

¢n+ 2

535 − 3

5

¡16

¢n25 − 2

5

¡16

¢n 2

5

¡16

¢n

+ 35

¶µ a0

b0

¶=

µ a0

¡35

¡16

¢n+ 2

5

¢− b0¡35

¡16

¢n − 35

¢b0

¡25

¡16

¢n

+ 35

¢− a0

¡25

¡16

¢n − 2

5

¢

¶

an = a0¡35¡16¢n

+

2

5¢− b0

¡35¡16¢n − 3

5¢

bn = b0¡25

¡16

¢n+ 3

5

¢− a0

¡25

¡16

¢n − 25

¢limn→∞

an = limn→∞

¡a0

¡35

¡16

¢n+ 2

5

¢− b0¡35

¡16

¢n − 35

¢¢= 2

5a0 + 3

5b0

limn→∞

bn = limn→∞

¡b0¡25

¡16

¢n+ 3

5

¢− a0

¡25

¡16

¢n − 25

¢¢= 2

5a0 + 3

5b0

V. Teorema Cesaro-Stolz

Teorema 2. Fie (an)n∈N si (bn)n∈N dou a siruri de numere reale cu propriet at ile:

1. (bn)n∈N este strict monoton si nem arginit ,

2. exist a limn→∞

an+1 − an

bn+1 − bn= A.

Atunci exist ˘ a limn→∞

an

bn = A.


1 +√

2 + 3√

3 + ... + n

√ n

n = 1,


1 + 1√

2+

1√ 3

+ ... + 1√

n√ n

= 2.


1

n

µ 1

ln 2 +

1

ln 3 + ... +

1

ln n

¶= 0.


ln n

nk , k ∈ N.


1 + 1

2 +

1

3 + ... +

1

nln n

= 1.





1k + 2k + ... + nk

nk+1 =

1

k + 1.

VI. Cosecinte Teorema Cesaro-Stolz

Consecinta 1. Dac a sirul (an)n∈N converge spre a, atunci sirul (S n)n∈N unde

S n = a1 + a2 + ... + an

n ,

converge c atre aceeasi limit a a.

Demonstratie. Aplicam criteriul Cesaro-Stolz sirurilor (S n)n∈N si (n) ,

limn→∞

S n+1− S n

n + 1− n = lim

n→∞an

1 = a.¥

Consecinta 2. Dac ˘ a sirul de numere pozitive (an)n∈N converge spre a, atunci sirul

a1,√

a1a2, ..., n

√ a1a2...an tinde de asemenea c atre a.

Demonstratie. Consideram sirul ln n

√ a1a2...an =

ln a1 + ln a2 + ... + ln an

nAplicam criteriul Cesaro-Stolz sirurilor (ln an)n∈N si (n) ,

limn→∞

ln a1 + ... + ln an + ln an+1 − (ln a1 + ... + ln an)

n + 1− n = lim

n→∞ln an+1

1 = ln a de un-

de rezulta concluzia.¥

Consecinta 3. Dac a sirul de numere µan+1

an ¶n∈N

, converge spre a, an > 0, atunci

si limn→∞

n√ an = a.

Demonstratie. Scriem n

√ an = n

r a1

1

a2

a1· · ·

an

an−1. Aplicand consecinta 2 sirului

b1 = a1

1 , ..., bn =

an

an−1obtinem rezultatul.

Exemplul 14. Sa se calculeze limn→∞

xn, daca xn = un

n , u > 0.

Notam an = un, bn = n. Sirul (bn)n∈N satisface conditiile criteriului lui Cesaro-

Stolz, decilimn→∞

an+1 − an

bn+1 − bn= lim

n→∞un+1− un

n + 1− n = (u− 1) lim

n→∞un,

rezulta

limn→∞

an =

½ 0, daca u ≤ 1,

∞, daca u > 1. .




Exercitiul 29. Sa se calculeze limn

→∞

an, daca an =n

√ n!

n .

Rezolvare. Observam ca an = n

r n!

nn. Daca notam bn =

n!

nn, atunci

bn+1

bn=

(n + 1)!

(n + 1)n+1 ·

nn

n! =

nn

(n + 1)n.

Deci

limn→∞

bn+1

bn= lim

n→∞nn

(n + 1)n = lim

n→∞1

(1 + 1n

)n =

1

e.

Conform Consecintei 3 deducem ca limn→∞

an = limn→∞

n

√ bn = lim

n→∞bn+1

bn=

1

e.

Exercitiul 30. Sa se calculeze limn→∞

xn, daca xn = n

√ n.

Rezolvare. Daca notam bn = n, atuncibn+1

bn=

n + 1

n .

Deci

limn→∞

bn+1

bn= lim

n→∞n + 1

n = 1.

Conform Consecintei 3 deducem ca limn→∞

xn = limn→∞

n

√ bn = lim

n→∞bn+1

bn= 1.

Exercitiul 31. S a se calculeze:a) lim

n

→∞

n

√ ln n

b) limn→∞

n

s (n!)2

(2n)!8n,

c) limn→∞

n

√ ln 2 · ln 3 · ... · ln n = ∞,

d) limn→∞

n

q cos1 · cos 1

2 · ... · cos 1n = 1,

e) limn→∞

limn→∞

n

q sin1 · sin 1

2 · ... · sin 1

n = 0.

2. Siruri clasice

Exemplul 15. Fie sirul an = a0nk + a1nk−1 + ... + ak

b0n p + b1n p−1 + ... + b p, a0 6= 0, b0 6= 0, k, p ∈ R+,

b0n p + b1n p−1 + ... + b p 6= 0.

S a se arate c a limn→∞

an =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

a0

b0, dac a k = p,

0, dac a p > k,

∞ sgn a0

b0, dac a p < k.




Exemplul 16. S a se arate c a

limn→∞

an =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0, |a| < 1,

1, a = 1,∞, a > 1,

@, a ≤ −1.

Exemplul 17. S a se calculeze limn→∞

αn + β n

αn+1 + β n+1, α > 0, β > 0.

Exemplul 18. S a se calculeze limn→∞

r 2 · 5n + 3 · 6n

5 · 3n + 6n+1 .

Siruri cu limita e :

Exercitiul 32. an =

µ1 +

1

n

¶n

% e,

an =

µ1 +

1

n

¶n+1

& e,

yn = 1 + 1

1! +

1

2! + ... +

1

n! % e.


¡√ n2 + 2n + 4−√ n2 + 1

¢n−√ n.

Siruri cu limita C .


µ1 +

1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln n

¶= C =constanta lui Euler

Rezolvare. Fie an = 1 + 1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln n.

Monotonia. Folosim rezultateleµ1 +

1

n

¶n

% e,µ1 +

1

n

¶n+1

& e,

deciµ

1 + 1n

¶n

< e <µ

1 + 1n

¶n+1

⇔

n ln

µ1 +

1

n

¶< 1 < (n + 1) ln

µ1 +

1

n

¶⇔

1

n + 1 < ln(n + 1)− ln n <

1

n ⇒




n

Xk=1

1

k + 1 <

n

Xk=1

(ln(k + 1) − ln k) <

n

Xk=1

1

k ⇔

nXk=1

1

k + 1 < ln(n + 1) <

nXk=1

1

k ⇒

an+1 − an = 1

n + 1 − ln(n + 1) + ln n =

1

n + 1 − (ln(n + 1)− ln n) < 0 ⇒

an &Marginirea.

0 < ln(n + 1)− ln n <

nXk=1

1

k − ln n = an < 1.

Rezulta sirul este convergent. Notam limn→∞

an = C ∈ (0, 1) . C =consanta lui

Euler.


1 + 1

2 +

1

3 + ... +

1

nln n

= 1.


µ 1

n + 1 +

1

n + 2 +

1

n + 3 + ... +

1

n + n

¶= ln 2.

Indicatie. 1

n + 1+

1

n + 2+

1

n + 3+...+

1

n + n =

µ1 +

1

2 + ... +

1

n +

1

n + 1 + ... +

1

n + n − ln 2n

µ1 +

1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln n¶

+ ln 2


µ 1

n + 1 +

1

n + 2 +

1

n + 3 + ... +

1

kn

¶= ln k.

Indicatie.1

n + 1+

1

n + 2+

1

n + 3+...+

1

kn =

µ1 +

1

2 + ... +

1

kn − ln kn

¶−µ

1 + 1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln n

¶ln k.

2.1. EXERCITII SUPLIMENTARE.

Exercitiul 38. S a se arate c a sirurile an =

µ1 +

1

n

¶n

si bn =

µ1 +

1

n

¶n+1

sunt

descresc ator respectiv cresc ator si au aceeasi limit˘ a.




Rezolvare. Demonstram ca an = µ1 + 1

n¶n

este crescator. Aplicam inegalitatea

mediilorx1 + x2 + ... + xn+1

n + 1 ≥ n+1

√ x1x2...xn+1

pentru numerele x1 = 1, x2 = x3 = ... = xn+1 = 1 + 1

n ⇒

1 +

µ1 +

1

n

¶+ ... +

µ1 +

1

n

¶n + 1

≥ n+1

s 1 ·

µ1 +

1

n

¶· ... ·

µ1 +

1

n

¶⇒

1 + n + 1

n + 1 ≥ n+1

s µ1 +

1

n

¶n

⇒ 1 + 1

n + 1 ≥ n+1

s µ1 +

1

n

¶n

⇒

µ1 + 1

n + 1

¶n+1

≥ µ1 + 1

n

¶n

⇒ an+1 ≥ an.

Demonstram ca sirul bn =

µ1 +

1

n

¶n+1

este monoton descrescator.

bn+1

bn=

µ1 +

1

n + 1

¶n+2

µ1 +

1

n

¶n+1 =

µn + 2

n + 1

¶n+2

µn + 1

n

¶n+1 =

=

n + 2

n + 1 ·µ

n + 2

n + 1¶n+1

µn + 1

n

¶n+1 =

n + 2

n + 1 ·µn (n + 2)

(n + 1)2¶n+1

=

= n + 2

n + 1 ·

1Ã(n + 1)2

n (n + 2)

!n+1 = n + 2

n + 1 ·

1µ1 +

1

n (n + 2)

¶n+1

Folosim inegalitatea lui Bernoulli (1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ N, ∀x ≥ −1,µ1 +

1

n (n + 2)

¶n+1

≥ 1 + (n + 1) 1

n (n + 2) ⇒

bn+1

bn ≤ n + 2

n + 1·

1

1 + (n + 1) 1n (n + 2)

= n

n + 1

(n + 2)2

n2 + 3n + 1 =

n3 + 4n2 + 4n

n3 + 4n2 + 4n + 1 <

1 ⇒bn+1 ≤ bn.




Dar an = µ1 + 1

n¶n

≤ µ1 + 1

n¶n

µ1 + 1

n¶ = bn,

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ bn ≤ .... ≤ b2 ≤ b1.Rezulta ca sirurile (an) si (bn) sunt convergente si lim

n→∞an = a, lim

n→∞bn = b.

Calculam limn→∞

(bn − an) = limn→∞

Ãµ1 +

1

n

¶n+1

−µ

1 + 1

n

¶n!

=

= limn→∞

µµ1 +

1

n

¶n1

n

¶= lim

n→∞

µ1 +

1

n

¶n

limn→∞

1

n = a · 0 = 0 ⇒

limn→∞

(bn − an) = 0 ⇒ a = b def = e.

Rezulta ca e = supn µ1 +

1

n¶n

= inf n µ1 +

1

n¶n+1

⇒µ1 +

1

n

¶n

< e <

µ1 +

1

n

¶n+1

⇔ n ln

µ1 +

1

n

¶< 1 < (n + 1) ln

µ1 +

1

n

¶⇔

1

n + 1 < ln

µ1 +

1

n

¶<

1

n. (1)

Exercitiul 39. a) S a se demonstreze c a sirul an = 1 + 1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln (n + 1)

este cresc ator.

b) S a se demonstreze c a sirul bn = 1 + 1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln n este descresc ator.

c) S a se demonstreze c a sirurile de la punctele a) si b) sunt convergente si tind c atre aceeasi limit˘ a.

Rezolvare. a) Monotonia

an+1−an = = 1+1

2+

1

3+...+

1

n + 1−ln (n + 2)−

µ1 +

1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln (n + 1)

¶=

= 1

n + 1 − ln (n + 2) + ln (n + 1) =

1

n + 1 − ln

µ1 +

1

n + 1

¶ (1)>

1

n + 1 − 1

n + 1 = 0

⇒ (an) % .

b) Monotonia

bn+1− bn = 1 +

1

2 +

1

3 + ... +

1

n + 1 − ln (n + 1)−µ1 +

1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln n¶

=

= 1

n + 1 − ln (n + 1) + ln n =

1

n + 1 − ln

µ1 +

1

n

¶(1)<

1

n + 1 − 1

n + 1 = 0 ⇒ (bn) & .

c) Demonstram ca sunt siruri intercalate care tind la aceeasi limita.




an − bn = 1 + 1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln (n + 1) − µ1 +

1

2 +

1

3 + ... +

1

n − ln n¶ =

ln n− ln (n + 1) < 0 ⇒ an < bn ⇒a1 < a2 < ..... < an < ... < bn < .... < b2 < b1,

limn→∞

(an − bn) = limn→∞

ln n

n + 1 = 0 ⇒ lim

n→∞an = lim

n→∞bn = C = 0.577...

Exercitiul 40. S a se studieze convergenta sirului

xn =

s 2 +

3

r 3 + 4

q 4 + 5

p ... + n

√ n, n ≥ 2.

Rezolvare. Monotonia.

n√ n < np

n + n+1√ n + 1 ⇒ xn =

s 2 + 3

r 3 + 4

q 4 + 5

p ... +

n√ n < xn =v uut

2 + 3s

3 + 4r

4 + 5q

xn+1 ⇒ (xn) % .

Marginirea.x2 =

√ 2 < xn.

2n = (1 + 1)n = 1 + n + n (n + 1)

2 + .... ≥ n + 2,∀n ≥ 2 ⇒ 2 ≥ n

√ n + 2 ⇒

n

√ n + 2 ≤ 2

xn =

s 2 +

3

r 3 + 4

q 4 + 5

p ... + n

√ n <

s 2 +

3

r 3 +

4

q 4 + 5

p ... + n

√ n + 2 ≤

v uut

2 + 3

s 3 +

4

r 4

... ≤p 2 + 3√ 3 + 2 ≤ √ 2 + 2 = 2 ⇒√ 2 < xn ≤ 2 ⇒ (xn) convergent.

Exercitiul 41. S a se studieze convergenta sirului xn = xn−1 (2− xn−1) , x0 ∈ (0, 1) .

Rezolvare. Se demonstreaza prin inductie ca xn ∈ (0, 1) si ca este monotoncrecator. Se trece la limita ın relkatia de recurenta si rezulta ca lim

n→∞xn = 1.

Exercitiul 42. S a se studieze convergenta sirului

xn =n

Xk=1

log 1

2

k2 + 2k

(k + 1)2 .



SEMINARUL NR. 11 ANALIZA MATEMATICA 1

1. SIRURI CAUCHY

Definitia 1. Un sir (an)n∈N

se numeste sir Cauchy sau sir fundamental dac a

∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n, m ≥ nε, |am − an| < ε, (1)

sau, ıntr-o formulare echivalent˘ a,

∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε si ∀ p ∈ N, |an+ p − an| < ε. (2)

Un sir (an)n∈N se numeste sir Cauchy sau sir fundamental dac a

∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n, m ≥ nε, |am − an| < ε, (3)

sau, ıntr-o formulare echivalent˘ a,

∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε si ∀ p ∈ N, |an+ p − an| < ε. (4)

Teorema 1. (Criteriul general al lui Cauchy) Un sir (an)n∈N este convergentdac a si numai dac a este sir Cauchy.

Exercitiul 1. S a se deduc a ın dou˘ a moduri, dintre care unul dup˘ a de finitie, c a sirul xn = 1

n2, n ∈ N

∗, este sir Cauchy.

Rezolvare. Metoda 1 conform definitiei sirurilor Cauchy.

∀ε > 0,

∃nε

∈N astfel ıncat

∀n

≥nε si

∀ p

∈N,|xn+ p

−xn| < ε,

|xn+ p − xn| =¯

1(n+ p)2

− 1n2

¯= 1

n2 · 2np+ p

2

(n+ p)2 < 1

n2 < 1

n ⇒ nε =

£1ε

¤ + 1.

Metoda 2. limn→∞

xn = 0 si orice sir convergent este sir Cauchy.

Exercitiul 2. S a se arate c a sirul xn = 1 + 1√ 2 + 1√

3 + ... + 1√

n nu este sir Cauchy, nu

este convergent ın R si are limit˘ a ın R.

Indicatie. Se arata ca nu este sir Cauchy aratand ca |x2n − xn| = 1√ n+1

+...+ 1√ 2n

>1

n+1 + ... + 1

2n > 1

n+n + ... + 1

2n = n

2n = 1

2, deci nu este convergent ın R.

Sirul este monoton crescator, deci ∃ sup xn ∈ R si limn→∞

xn = sup xn = ∞.

Exercitiul 3. S a se studieze dac a urm˘ atoarele siruri sunt siruri Cauchy.

a) xn =nP

k=0

1k!

, ∀n ∈ N;

b) xn =nP

k=0

ak,∀n ≥ 1, n ∈ N unde a ∈ R, |a| < 1;




c) xn =n

Pk=1

sinkak

,∀n ≥ 1, n ∈ N unde a ∈ R, a > 1;

d) xn = nPk=1

coskk(k+1)

,∀n ≥ 1, n ∈ N;

e) xn =nP

k=1

sin(2k)2k(2k+1)

,∀n ≥ 1, n ∈ N ;

f) xn =nP

k=1

12k(k+1)(k+2)

, ∀n ≥ 1, n ∈ N;

g) xn =nP

k=1

2k

3kk2,∀n ≥ 1, n ∈ N.

2. SERII NUMERICE

Exercitiul 4. S a se calculeze termenul general al sirului sumelor partiale si s a se

calculeze suma urm˘ atoarelor serii de numere reale:

a)+∞Pn=0

(−1)n

3n ; b)

+∞Pn=1

1

16n2 − 8n− 3;

c)+∞Pn=1

1

(2n− 1)(2n + 1)(2n + 3), d)

+∞Pn=1

1

n(n + 1)(n + 2),

e)+∞Pn=1

1

4n2 − 1; f)

+∞Pn=2

ln(1− 1

n2);

g)+∞Pn=1

√ 2n + 1−√ 2n− 1√

4n2 − 1;

Exercitiul 5. S a se studieze natura urm˘ atoarelor serii de numere reale folosind cri-teriul comparatiei:

a)+∞Pn=2

arcsin 2n

4n2 − 1; b)

+∞Pn=1

1√ 2n

,

c)+∞Pn=1

an

n√

n!, a > 0 d)

+∞Pn=1

sin2 (an)

n2 ,

e)+∞Pn=1

n + 2

n3 + n + 1, f)

+∞Pn=1

n + 2

n2 + n + 1.

g)+∞

Pn=1

1

3n + a, a > 0.

Exercitiul 6. S a se studieze natura urm˘ atoarelor serii de numere reale folosind cri-teriul raportului sau Raabe-Duhamel:

a)+∞Pn=0

nan

, a > 0,




b)+∞

Pn=1

alnn, a > 0,

Rezolvare. an = alnn > 0,∀n ∈ N.

limn→∞

an =

⎧⎨⎩

0, 0 < a < 11, a = 1∞, a > 1

.. Deci pentru a ≥ 1 seria este divergenta. Pentru

0 ≤ a < 1 aplicam criteriul raportului, limn→∞

an+1

an= lim

n→∞aln(n+1)

alnn = lim

n→∞aln(n+1)−lnn =

limn→∞

aln n+1

n = 1. Acest criteriu nu ne furnizeaza informatii asupra naturii seriei.

Aplicam criteriul radacinii limn→∞

n√

alnn = limn→∞

alnn

n = 1, Acest criteriu nu ne

furnizeaza informatii asupra naturii seriei.Aplicam criteriul lui Raabe-Duhamel,

limn→∞

n¡

alnn−ln(n+1)− 1¢

= limn→∞

n³

aln n

n+1 − 1´

= limn→∞

aln nn+1 − 1

ln nn+1

n ln n

n + 1 =

= ln a ln e−1 = − ln a

Daca − ln a > 1 ⇒ ln a < −1 ⇒ a < 1

e ⇒ seria este convergenta, 0 < a <

1

e

Daca − ln a < 1 ⇒ ln a > −1 ⇒ a > 1

e ⇒ a ∈

µ1

e, 1

¶⇒seria este divergenta.

Pentru a = 1

e ⇒ an = e− lnn =

1

n, seria

+∞Pn=1

1n

este divergenta.

c) 2 + (−1)n

2n+(

−1)n

, n

∈N; d)

+∞

Pn=0

n(n + 1)

(−a)n

, a > 0;

e)+∞Pn=1

1

n(−1)n + n; f)

+∞Pn=1

ln(1 + an), a ≥ 0.

Rezolvare. an = ln(1+ an), limn→∞

an =

⎧⎨⎩

0, 0 ≤ a < 11, a = 1∞, a > 1

. Deci pentru a ≥ 1 seria

este divergenta conform conditiei necesare de convergenta a seriilor. Pentru 0 ≤ a < 1

aplicam criteriul raportului, limn→∞

an+1

an= lim

n→∞ln(1 + an+1)

ln(1 + an) =

= limn→∞

ln(1 + an+1)

an+1

an

ln(1 + an)

an+1

an = a.

Exercitiul 7. S a se studieze natura urm˘ atoarelor serii de numere reale folosind cri-teriul r ad acinii sau Raabe-Duhamel:

a)+∞Pn=1

µn2 − 5n + 1

n2 − 4n + 2

¶n2

; b)+∞Pn=1

µn + a

n + b

¶n2

, a 6= b, a, b ∈ R+.




c)+∞

Pn=1

n

µarcsin

1

n

¶n

; d)+∞

Pn=1

lnnµ

2n + 1

n

¶

e)+∞Pn=1

an+1

n , a ≥ 0;

Exercitiul 8. S a se stabileasc a natura seriilor alternante:

a)+∞Pn=1

(−1)n−1n

2n , b)

+∞Pn=1

(−1)n+1 (n + 1)n+1

nn+2 ,

c)+∞Pn=1

(−1)n−1n

4n + 5 ,

d)∞

Xn=1

(

−1)n

arctg 1n

cos 1

n

,

Rezolvare. Aplicam criteriul lui Leibniz. Demonstram ca sirul an = arctg 1

n

cos 1n

este

monoton descrescator si convergent la zero.

0 < 1

n ≤ 1 ⇒ 0 < arctg

1

n ≤ π

4,

1

n + 1 <

1

n ⇒ arctg

1

n + 1 < arctg

1

n,

cos 1

n + 1 > cos

1

n ⇒ 1

cos 1

n + 1

< 1

cos 1

n

⇒ arctg 1n+1

cos 1n+1

<arctg 1

n

cos 1n

⇒ an+1 < an,

limn

→∞

an = limn

→∞

arctg 1n

cos 1

n

= 0 ⇒seria∞

Xn=1

(−1)narctg 1

n

cos 1

n

este convergenta.

e)+∞Pn=1

h(−1)n

n2 + arctg

(−1)n

n

i;

Rezolvare. Seria se poate scrie ca suma a doua serii si studiem convergenta fiecareiserii ın parte

+∞Pn=1

h(−1)n

n2 + arctg

(−1)n

n

i =

+∞Pn=1

(−1)n

n2 +

+∞Xn=1

arctg (−1)n

n .

Consideram seria+∞Pn=1

(−1)n

n2 . Este o serie armonica alternanta si este convergenta

conform crtiteriului lui Leibniz.

Consider˘am seria

+∞Pn=1 arctg

(

−1)n

n .

Functia arctg este o functie impara, deci arctg (−1)n

n = (−1)n arctg

1

n. Seria

devine+∞Pn=1

arctg (−1)n

n =

+∞Xn=1

(−1)n arctg 1

n, serie alternanta si satisface criteriul lui




Leibniz (

µarctg

1

n

¶n

∈N

este monoton descrescaror convergent la zero).

Exercitiul 9. S a se studieze dac a seriile de mai jos sunt absolut convergente, semi-convergente sau divergente:

a)+∞Pn=1

(−1)n+1

√ n

, b)+∞Pn=1

(−1)n−1 3n

(2n− 1)n ,

c)+∞Pn=1

αn

µ1 +

1

n

¶n

, d)+∞Pn=1

sin nx

5n .

Exercitiul 10. (suplimentar)S a se studieze convergenta seriilor:

a)

+∞Pn=1

1

n sin

1

n , b)

+∞Pn=2

1n√ ln n(ln n < n),

c)+∞Pn=1

n!

nn, d)

+∞Pn=1

n!

2nn2,

e)+∞Pn=1

(−1)n n

2n f)

+∞Pn=1

nα

2n , α > 0,

g)+∞Pn=1

an

n , h)

+∞Pn=1

an

n√

n!.




1. Serii de puteri

Exercitiul 1. S a se determine multimea de convergent˘ a si suma, dac a este posibil,

pentru urm˘ atoarele serii de puteri:

a)+∞Pn=1

2n

n xn, x ∈ R;

Rezolvare. Notam an = 2n

n , n ∈ N, calculam raza de convergenta a seriei

R = limn→∞

|an|

|an+1| = lim

n→∞

2n

n

n + 1

2n+1 =

1

2.

Rezulta ca seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈µ−1

2, 1

2

¶si diver-

genta pentru x ∈ µ−∞,−1

2¶ ∪µ1

2 ,∞¶ .

Pentru x = −1

2 obtinem seria

+∞Pn=1

2n

n

(−1)n

2n =

+∞Xn=1

(−1)n

n care este semiconver-

genta.

Pentru x = 1

2 obtinem seria

+∞Pn=1

2n

n

1

2n =

+∞Xn=1

1

n care este divergenta.

Concluzie: seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈µ−1

2, 1

2

¶, diver-

genta pentru x∈ µ−∞,

−1

2¶ ∪ ∙1

2,∞¶ si semiconvergenta pentru x =

−1

2.

b)+∞Pn=1

1

n2xn, x ∈ R;

Rezolvare. Notam an = 1

n2, n ∈ N, calculam raza de convergenta a seriei

R = limn→∞

|an|

|an+1| = lim

n→∞

(n + 1)2

n2 = 1.

Rezulta ca seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ (−1, 1) si divergentapentru x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞) .

Pentru |x| = 1 obtinem seria+∞

Pn=1

1

n2 care este convergenta.

Concluzie: seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ [−1, 1] , divergentapentru x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞) .

c)+∞Pn=1

n!

3nxn;




d)+∞

Pn=1

an2

xn, a > 0;

Rezolvare. Notam an = an2 ⇒ np

|an| = n√ an2 = an.

Pentru 0 < a < 1 ⇒ limn

n

p |an| = 0 ⇒ R = ∞

Pentru a > 1 ⇒ limn

n

p |an| = ∞⇒ R = 0

Pentru a = 1 ⇒ R = 1 seria geometrica convergenta pentru ∀x ∈ (−1, 1) .

e)+∞Pn=1

2n+1

n (x + 1)n, x ∈ R;

Rezolvare. Notam an = 2n+1

n , n ∈ N, calculam raza de convergenta a seriei

R = limn→∞

|an|

|an+1| = lim

n→∞

2n+1

n

n + 1

2n+2 =

1

2.

Rezulta ca seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈µ−3

2,−1

2

¶ si

divergenta pentru x ∈µ−∞,−3

2

¶∪µ−1

2,∞¶

.

Pentru x = −3

2 obtinem seria

+∞Pn=1

2n+1

n

(−1)n

2n =

1

2

+∞Xn=1

(−1)n

n care este semicon-

vergenta.

Pentru x = 1

2 obtinem seria

+∞Pn=1

2n+1

n

1

2n =

1

2

+∞Xn=1

1

n care este divergenta.

Concluzie: seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ µ−32

,−12

¶, di-

vergenta pentru x ∈µ−∞,−3

2

¶∪∙−1

2,∞¶

si semiconvergenta pentru x = −3

2.

f )+∞Pn=1

1

n2(x− 2)n, x ∈ R;

g)∞Xn=1

(x− 1)n

ln (n + 1);

h)∞

Xn=1

n + 1√ 1 + 2n

xn;

i)∞Xn=1

n!xn;

j)∞Xn=1

3−nµ

n + 1

n

¶n2

(x + 1)n




k)∞

Xn=1

nn

n!xn;

l)∞Xn=1

(x− 1)n

ln (n + 1).

Exercitiul 2. S a se g aseasc a suma seriilor:

a)+∞Pn=1

n2xn.

Rezolvare. Tinem seama ca n poate sa apara ın fata lui xn prin operatie dederivare. Astfel, stiind ca

1 + x + x2 + ... + xn + ... = 1

1− x

,

∀x

∈(−

1, 1)

prin derivare termen cu termen obtinem:

1 + 2x + 3x2 + ... + nxn−1 + ... = 1

(1− x)2, ∀x ∈ (−1, 1)

Pentru a aparea drept coeficient ınca un n, este suficient sa efectuam o ınmultirea relatiei precedente cu un x si o deivare,

x + 2x2 + 3x3 + ... + nxn + ... = x

(1− x)2,∀x ∈ (−1, 1)

1 + 22x + 32x2 + ... + n2xn−1 + ... =

µ x

(1− x)2

¶0

,∀x ∈ (−1, 1)

1 + 22x + 32x2 + ... + n2xn−1 + ... = 1 + x

(1−

x)3,

∀x

∈(

−1, 1)

Amplificand iar cu x se obtine sume seriei cautate:

x + 22x2 + 32x3 + ... + n2xn + ... = x (1 + x)

(1− x)3 , ∀x ∈ (−1, 1) .

Studiem daca egalitatea este adevarata ın capetele intervalului de convergenta.

Pentru x = 1 seria devine+∞Pn=1

n2 care este divergenta (termenul general nu converge

la zero). La fel ın x = −1.

b)+∞Pn=1

x4n−3

4n− 3;

c)+∞

Pn=1

n3xn;

d)+∞Pn=1

(−1)n (n + 1)2 xn.

Exercitiul 3. S a se reprezinte sub forma unei serii de puteri functiile:




a) f (x) = arcsin x.

Rezolvare. Observ˘

am c˘

a (arcsin x)

0

=

1

√ 1− x2 .Consideram seria binomiala:

(1+x)α = 1+ α

1!x+

α(α− 1)

2! x2+ ...+

α(α− 1)...(α− n + 1)

n! xn+..., ∀x ∈ (−1, 1) .

Consideram α = −1

2 si obtinem

1√ 1 + x

= 1− 1

2 · 1!x +

1 · 3

222!x2− 1 · 3 · 5

233! x3 + ... + (−1)n

1 · 3 · 4 · ... · (2n− 1)

2nn! xn +

....,∀x ∈ (−1, 1) .

Pe de alta parte trecem x →−x2 si obtinem:1√

1

−x2

= 1 + 1

2 · 1!x2 +

1 · 3

222!x4 +

1 · 3 · 5

233! x6 + ... +

1 · 3 · 4 · ... · (2n− 1)

2nn! x2n +

....,∀x ∈ (−1, 1) .Teorema de integrare a seriilor de puteri ne conduce la

arcsin x = x+ 1

2 · 1! · 3x3+

1 · 3

222! · 5x5+

1 · 3 · 5

233! · 7x7+...+

1 · 3 · 4 · ... · (2n− 1)

2nn! · (2n + 1) x2n+1+

....,∀x ∈ (−1, 1) ,

adica reprezentarea ın serie de puteri a functiei arcsin x.

Luand x = 1

2, obtinem:

π

6 =

1

2 +

1

24 · 1! · 3 +

1 · 3

272! · 5 +

1 · 3 · 5

233! · 7x7 + ... +

1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)

23n+1n! · (2n + 1) + ....

cu ajutorul careia se poate afla valoarea lui π cu aproximatie.

b) f (x) = 1

1 + x,

c) f (x) = 1

x2 − 3x + 2,

d) f (x) =√

1 + x3,

d) f (x) = arcsin x.

Exercitiul 4. Fie seria logaritmic a +∞Pn=1

(−1)n−11

nxn. S a se determine multimea de

convergent˘ a si suma ei.

Rezolvare. Determinam raza de convergenta R = limn→∞

|an|

|an+1|

= limn→∞

n + 1

n

= 1.

Seria este absolut convergenta pentru x ∈ (−1, 1) si divergenta pentru x ∈ (−∞,−1)∪(1,∞) . In x = 1 seria este seria armonica alternanta si este convergenta, iar ın x = −1obtinem seria armonica care este divergenta.

Concluzie: seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ (−1, 1) , divergentapentru x ∈ (−∞,−1) ∪ [1,∞) si semiconvergenta pentru x = −1.




Pentru a calcula sume seriei consideram seria geometrica

1−

x + x2

−x3 + ... + (

−1)nxn + ... =

1

1 + x,∀

x∈

(−

1, 1) .

Integram seria pe intervalul [0, x] ⊂ (−1, 1) ⇒ x− 1

2x2 + 1

3x3− ... + (−1)n−1

1

nxn +

... = ln(1 + x), ∀x ∈ (−1, 1] .

Exercitiul 5. Fie seria exponential a +∞Pn=0

1

n!xn. S a se determine multimea de convergent˘ a

si suma ei.

Rezolvare. Determinam raza de convergenta R = limn→∞

|an|

|an+1| = lim

n→∞

(n + 1)!

n! =

∞. Seria este absolut convergenta pentru x

∈R

Pentru a calcula sume seriei consideram s(x) =+∞Pn=0

1

n!xn. Derivam seria termen

cu termen s0(x) =+∞Pn=1

n

n!xn−1 =

+∞Xn=1

1

(n− 1)!xn−1 =

+∞Xn=0

1

n!xn = s(x).

Rezulta s0(x)

s(x) = 1 ⇒ ln s(x) = x + C 0 ⇒ s(x) = Cex, unde C = eC

0

. Dar

s(0) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ s(x) = ex, deci+∞Pn=0

1

n!xn = ex.




1. Limite de siruri ın Rk

Exercitiul 1. S a se studieze convergenta sirurilor si s a se calculeze limita sirurilor cu termenul general:

a) (xn, yn) =

µ n

n− 1,

n

2 + (−1)n

¶,

b) (xn, yn) =

Ã3n

nn,

nXk=0

1

k!

!,

c) (xn, yn, z n) =

µ1

n!, (−1)n

n2 ,

µ n

n + 1

¶n¶,

d) (xn, yn, z n) =

µ 1

2n + (−1)n,

n2

n + 1, 1

n − n

¶

2. Limite de functii ın R

Exercitiul 2. Folosind de finitia limitei unei functii ıntr-un punct, s a se arate c a a) lim

x→2(2x + 1) = 5,

b) limx→0

x cos 1

x = 0,

c) f (x) = sign x nu are limit˘ a ın x = 0.

d) f (x) = sin 1

x nu are limit˘ a ın x = 0

e) limx→2

(2x2 + 1) = 9,

f) limx→1

1

x2 = 1,

g) limx→∞

x2 + 1

x + 2 = ∞.

Rezolvare.a) Demonstram ca pentru orice sir (xn)

n∈N ⊂ R, cu xn → 2, xn 6= 2, existalimn→∞

f (xn) si aceasta este egala cu 5.

Fie (xn)n∈N ⊂ R, cu xn → 2, xn 6= 2 ⇒ |f (xn)− 5| = |2xn + 1 − 5| = |2xn − 4| =2 |xn − 2|→ 0 folosind cunostinte legate de operatii cu limite de siruri.

c) Vom arata ca exista subsiruri (x0n)n∈N ⊂ R, cu x0n → 0, xn 6= 0 si (x00n)n∈N ⊂ R,

cu x00n →

0, xn 6= 0 astfel ıncat f (x0n) = 1 s i f (x00n) =

−1 de unde va rezulta ca

f (x) = sign x nu are limita ın x = 0.Alegem x0n & 0 si x00n % 0 ⇒ f (x0n) = sign x0n = −1 si f (x00n) = sign x00n = 1 Rezulta

ca f nu are limita ın x = 0.

g) Demonstram ca pentru orice sir (xn)n∈N ⊂ R, cu xn →∞, exista lim

n→∞f (xn) si

aceasta este egala cu ∞.




Fie (xn)n∈N ⊂ R, cu xn → ∞⇒ |f (xn)| = ¯x2n + 1

xn + 2 ¯ > ¯x2n

xn + 2 ¯ >xn

→∞⇒ ∃n1 ∈ N a.ı.

∀n ≥ n1 : xn > 2

>

¯¯ x2

n

xn + xn

¯¯ =

¯xn

2

¯→∞.

Exercitiul 3. S a se stabileasc a dac a urm˘ atoarele functii au limit˘ a ın punctul x0

indicat:

a) f : R\ {0}→ R, f (x) = 1

x, x0 = 0,

b) f : R\ {0}→ R, f (x) = 1

x2, x0 = 0,

c) f : R\ {0}→ R, f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩

1x2

pentru x < 0

− 1

x3 pentru x > 0

, x0 = 0,

c) f : R→ R, f (x) =

½ 3x + 2 pentru x ≤ 35x + 1 pentru x > 3

, x0 = 3,

d) f : R→ R, f (x) =

( x +

|x|

x pentru x 6= 0

1 pentru x = 0, x0 = 0.

2.1. Limite clasice.

Observatia 1. Amintim c a prin functie elementar a ıntelegem una din urm˘ atoarele functii:

-functiile polinomiale,-functiile putere xα, α ∈ R,

-functiile rationale (caturi de functii polinomiale),-functii exponerntiale ax, a > 0,

-functii logaritmice loga x, a > 0, a 6= 1,

-fjnctiile trigonometrice fundamentale sin, cos,tg,ctg,

-functiile trigonometrice inverse arcsin, arccos, arctg, arcctg.

Limitele functiilor elementare, limite care nu conduc la cazuri de nedeterminare,

se calculeaz ˘ a ˆ

ınlocuind pe x cu x0.

Reamintim cateva limite importante1. lim

x→∞ax, a > 0, a 6= 1

Cazul I. Daca a > 1 ⇒ graficul lui f (x) = ax este (Fig. 13.1.)2x




-4 -2 0 2 4

10

20

30

x

y

Observam ca functia este strict crescatoare si limx→∞

ax = ∞Cazul II. Daca a ∈ (0, 1) ⇒ graficul lui f (x) = ax este (Fig. 13.2.)

-3 -2 -1 0 1 2 3

10

20

x

y

Fig. 13.2.

Observ˘

am c˘

a functia este strict descresc˘

atoare si limx→∞a

x

= 0.2. Limita unei functii logaritmice la ∞ si la 0, lim

x→∞loga x , a > 0, a 6= 1 s i

limx→0

loga x, a > 0, a 6= 1.

Cazul I. Daca a > 1 ⇒ graficul lui f (x) = loga x este (Fig. 13.3.)

2 4 6

-1

0

1

2

x

y

Fig. 13.3.




Observam ca functia este strict crescatoare si

limx→∞

loga x = ∞ iar limx→0

loga x = −∞.

Cazul II. Daca a ∈ (0, 1) ⇒ graficul lui f (x) = loga x este (Fig. 13.4.)

1 2 3 4 5

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

x

y

Fig. 13.4.

Observam ca functia este strict descrescatoare silimx→∞

loga x = −∞ iar limx→0

loga x = ∞.

3. Limitele unor functii trigonometrice a) directe sau b) inverse.a) @ lim

x→∞sin x si @ lim

x→∞cos x (functiile periodice neconstante nu au limita la ∞

pentru ca ele pot lua, ın vecinatatea lui ∞ oricare din valorile f (x) cu x ∈ [0, T ] , T fiind perioada principala a lui f ).

Graficul functiei f (x) = sin x (Fig. 13.5.)

-4 -2 2 4

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

Fig. 13.5.




Graficul functiei f (x) = cos x (Fig. 13.6.)cos x

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

Fig. 13.6.

Graficul functiei f (x) = tgx (Fig. 13.7.)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

x

y

Fig. 13.7.

Observam ca limx%π

2

tgx = ∞, limx&π

2

tgx = −∞.

Graficul functiei f (x) = ctgx (Fig. 13.8.)




-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

x

y

Fig. 13.8.

Observam ca limx%0

ctgx = −∞, limx&0

ctgx = ∞.

b) arctg : R→³−π

2, π

2

´.

-4 -2 2 4

-1.5-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

Fig. 13.9.

limx→∞

arctgx = π

2, limx→−∞

arctgx = −π

2,

Limitele se pot observa din graficul functiei tgx sau a functiei arctgx (Fig. 13.9.).arcctg : R→ (0, π) .




-6 -4 -2 0 2 4 6

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

x

y

Fig. 13.10.

limx→∞

arctgx = 0, limx→−∞

arctgx = π,

Limitele se pot observa din graficul functiei tgx sau a functiei arctgx (Fig. 13.10.).

2.2. Limite remarcabile.

1. limx→0

sin x

x = 1, lim

x→a

sin u(x)

u(x) = 1 daca lim

x→au(x) = 0,

2. limx→0

tg x

x = 1, lim

x→a

tg u(x)

u(x) = 1 daca lim

x→au(x) = 0,

3. limx→0

arcsin xx = 1, lim

x→aarcsin u(x)u(x) = 1 daca lim

x→au(x) = 0,

4. limx→0

arctg x

x = 1, lim

x→a

arctg u(x)

u(x) = 1 daca lim

x→au(x) = 0,

5. limx→0

µ1 +

1

x

¶x

= e, limx→a

µ1 +

1

u(x)

¶u(x)

= e daca limx→a

u(x) = ±∞,

6. limx→0

ln(1 + x)

x = 1, lim

x→a

ln(1 + u(x))

u(x) = 1 daca lim

x→au(x) = 0.

Exercitiul 4. S a se calculeze urm˘ atoarele limite:

a) limx→∞

x + 1

2x2 − 3x, b) lim

x→−∞

−x3 + 1

2x2 − 3x,

c) limx→∞

x2 + 1

2x2 + 3x, d) lim

x→1

4

log 1

2x,




e) limx→3

log 1

2x, f) lim

x&0lg x,

g) limx→∞ ln x, h) limx→0 sinx

+ sin 2x

x ,

i) limx→π

2

1− sin x

(π − 2x)2, j) lim

x→0

sin(x sin(2x sin3x))

x3 ,

k) limx→−1

sin π(x + 1)3√

x + 1 , l) lim

x→3

arcsin(x2 − 9)

arctg(x2 − 4x + 3),

m) limx→1

3

arcsin(1− 3x)

tg(9x2 − 1) , n) lim

x→0

sin(tg 2x)

tg(arcsin 3x),

o) limx→0

ln(1 + arctg 2x)

ln(1 + tg 3x) , p) lim

x→−1

ln(1 + tg(x + 1))

ln(1 + arcsin 3(x + 1)),

q) limx→0

etg 3x

−1

2x , r) limx→0

earcsin3x

−1

2x ,

s) limx→0

23x − 2x

24x − 23x, t) lim

x→1

xm − 1

xn − 1,

u) limx→0

htg³π

4 + x

´i 1

sinx

, v) limx→0

µsin x

x

¶ sinx

x−sinx

,

w) limx→π

6

¡√ 3 tg x

¢tg 3x, x) lim

x&0xx,

y) limx→0

1

x2 ln(cos x), z) lim

x→∞x2³

e1x − e

1x+1

´.

3. Limite de functii ın Rk

Exercitiul 5. Folosind de finitia limitei unei functii ıntr-un punct, s a se arate c a a) lim

(x,y)→(1,3)(3 + 2xy) = 9,

b) lim(x,y)→(3,2)

x

y2 =

3

4,

c) lim(x,y)→(1,1)

x2y

x2 + y2 =

1

2,

d) lim(x,y)→(2,5)

x2

y =

4

5.

Rezolvare.

a) Observam ca functia a carei limita se calculeaza este definita pe R, deci (1, 3)apartine multimii de definitie. (! este suficient sa fie punct de acumulare).

Pentru ∀ (xn, yn) → (1, 3), (xn, yn) 6= (1, 3) |f (xn, yn)− 9| = |3 + 2xnyn − 9| =|2xnyn − 6| = 2 |xnyn − 3|→ 0




Exercitiul 6. S a se stabileasc a dac a exist˘ a limitele iterate si limita global a ın origine pentru urm˘ atoarele functii:

a) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = xyx2 + y2

,

b) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = xy2

x2 + y4,

c) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = (x + y)2 cos 1

y cos

1

x,

d) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = x3y2 sin y + x2y3 sin x

x4 + y4 ,

e) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = 3x2y

x2 + y2,

f) f : R2

\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) =

xy2 + x2y

x2 + y2 ,

h) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = y cos 1

x,

i) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = x2 + y2

|x| + |y|,

j) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = x2 sin2 y

x2 + 2y2,

h) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = xy cos y

3x2 + y2.

Rezolvare.

a) Observam ca (0, 0) este punct de acumulare pentru R2\ {(0, 0)} . Calculamlimita ın (0, 0) de-a lungul axelor de coordonate.

De-a lungul axei Ox,y = 0: astfel limx→0

f (x, 0) = limx→0

0

x2 = 0.

De-a lungul axei Oy,x = 0 : astfel limy→0

f (0, y) = limy→0

0

y2 = lim

y→0y = 0.

Limitele exista si sunt egale, dar nu rezulta ca limita globala ın zero exista.Este posibil ca functia sa aiba limita ın punctul (0, 0) .

Calculam limita de-a lungul dreptelor care trec prin origine. Ecuat ia unei dreptecare trece prin origine este y = mx.

lim(x,mx)→(0,0)

xy

x2 + y2

= limx→0

mx2

x2 + m2x2

= limx→0

m

1 + m2

= m

1 + m2

.

Concluzie: valoarea limitei depinde de directia dupa care punctul (x, y) se apropiede origine, deci functia nu are limita ın (0, 0) .

d) Observam ca (0, 0) este punct de acumulare pentru R2\ {(0, 0)} . Calculamlimita ın (0, 0) de-a lungul axelor de coordonate.




De-a lungul axei Ox,y = 0 : astfel limx→0

f (x, 0) = limx→0

0

x4 = 0.

De-a lungul axei Oy,x = 0 : astfel limy→0

f (0, y) = limy→0

0y4 = lim

y→0y = 0.

Limitele exista si sunt egale, dar nu rezulta ca limita globala ın zero exista.Este posibil ca functia sa aiba limita ın punctul (0, 0) si anume egala cu 0.

Obervam ca putem face majoraari care sa ne conduca la calculul limitei

0 ≤ |f (x, y)− 0| ≤¯¯x3y2 sin y + x2y3 sin x

x4 + y4

¯¯ ≤ |x3y2 sin y + x2y3 sin x|

x4 + y4 ≤

≤ x2y2 |x| + x2y2 |y|

x4 + y4

x4+y4≥2x2y2

≤ x2y2 |x| + x2y2 |y|

2 (x2 + y2) ≤ 1

2 (|x| + |y|) .

Pentru ∀ (xn, yn) → (0, 0), (xn, yn) 6= (0, 0) obtinem0

≤ lim

(xn,yn)→

(0,0)

|f (xn, yn)|

≤ lim

(xn,yn)→

(0,0)

12 (|xn| + |yn|) = 0.

Concluzie: functia are limita 0 ın origine.

Exercitiul 7. Fie campul scalar f : R2\ {(1, 0)}→ R, f (x, y) = (x− 1)y2

(x− 1)2 + y2. S a se

studieze existenta limitei functiei f ın punctul (1, 0).

Rezolvare. Observam ca (1, 0) este punct de acumulare pentru R2\ {(1, 0)} . Cal-culam limita ın (1, 0) de-a lungul axei y = 0 si a dreptei x = 1.

De-a lungul axei Ox,y = 0: astfel limx→1

f (x, 0) = limx→1

0

(x− 1)2 = 0.

De-a lungul dreptei x = 1 si astfel limy→0 f (1, y) = limy→0

0

y2 = 0.Limitele exista si sunt egale, dar nu rezulta ca limita globala ın zero exista.Este posibil ca functia sa aiba limita ın punctul (1, 0) si anume egala cu 0.


0 ≤ |f (x, y)− 0| ≤¯¯ (x− 1)y2

(x− 1)2 + y2

¯¯ ≤

¯¯ y2

(x− 1)2 + y2(x− 1)

¯¯ ≤ |x− 1|

deoarece

¯¯ y2

(x− 1)2 + y2

¯¯ ≤ 1.

Pentru ∀ (xn, yn) → (1, 0), (xn, yn) 6= (1, 0) obtinem0 ≤ lim

(xn,yn)→(1,0)|f (xn, yn)| ≤ lim

(xn,yn)→(1,0)|xn − 1| = 0.

Concluzie: functia are limita 0 ın (1, 0).

Exercitiul 8. S a se studieze limitele ın origine pentru functiile:

a) f (x, y) = tg (x3 + y5)

x2 + y4 , b) f (x, y) =

1

xy tg

xy

1 + xy,




e) f (x, y) = x2y

p x2y + 2−√

2, f) f (x, y) = x2 + y2,

g) f (x, y) = (1 + x2 |y|)1

x2+y2 , h) f (x, y) = (x2 + y2)x2y

.

Indicatii. La calculul acestor limite vom folosi limite fundamentale de la funct iide o variabila.

a) Observam ca (0, 0) este punct de acumulare pentru R2\ {(0, 0)} .

Vom scrie tg (x3 + y5)

x2 + y4 =

tg (x3 + y5)

x3 + y5

x3 + y5

x2 + y4.

Calculam pe r ınd lim(x,y)→(0,0)

tg (x3 + y5)

x3 + y5 si lim

(x,y)→(0,0)

x3 + y5

x2 + y4.

I. lim(x,y)→(0,0)

tg (x3 + y5)

x3 + y5

Notam u(x, y) = x3 + y5, lim(x,y)→(0,0)

u(x, y) = 0 deoarece daca (xn, yn) → (0, 0),

(xn, yn) 6= (0, 0) obtinem u(xn, yn) = x3n + y5

n → 0 si deoarece limu→0

tg u

u = 1 ⇒

lim(x,y)→(0,0)

tg (x3 + y5)

x3 + y5 = 1.

II. lim(x,y)→(0,0)

x3 + y5

x2 + y4.

Calculam limita ın (0, 0) de-a lungul axelor de coordonate).

De-a lungul axei Ox,y = 0 si astfel limx→

0

f (x, 0) = limx→

0

x3

x2

= limx→

0

x = 0.

De-a lungul axei Oy,x = 0 si astfel limy→0

f (0, y) = limy→0

y5

y4 = lim

y→0y = 0.

Limitele exista si sunt egale, dar nu rezulta ca limita globala ın zero exista.Este posibil ca functia sa aiba limita ın punctul (0, 0) si anume egala cu 0.


0 ≤¯¯x3 + y5

x2 + y4

¯¯ ≤ |x|3

x2 + y4+ |y|5

x2 + y4 ≤

x2+y4≥ x2⇒ 1x2+y4

≤ 1x2

,

x2+y4≥ y4⇒ 1x2+y4

≤ 1y4

|x|3

x2 +

|y|5

y4 ≤ |x|+|y| ,

Pentru ∀ (xn, yn) → (0, 0), (xn, yn) 6= (0, 0) obtinem

0 ≤ ¯x3

n

+ y5

nx2n + y4

n

¯ ≤ |xn| + |yn| →(xn,yn)→(0,0) 0.

Rezulta ca

lim(x,y)→(0,0)

tg (x3 + y5)

x2 + y4 = lim

(x,y)→(0,0)

tg (x3 + y5)

x3 + y5

x3 + y5

x2 + y4 =




= lim(x,y)→(0,0)

tg (x3 + y5)

x3 + y5 · lim

(x,y)→(0,0)

x3 + y5

x2 + y4 = 1 · 0 = 0.

4. Continuitate ın Rk

Exercitiul 9. S a se studieze continuitatea functiilor:

a) f : R2 → R, f (x, y) =

⎧⎨⎩

x4 + y4

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

b) f : R2 → R, f (x, y) =

⎧⎨⎩

sin(x3 + y3)

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0),

c) f : R2

→R, f (x, y) =

⎧

⎨⎩e− 1

x2+y2

sin(x2

+ y2

)

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

,

d) f : R2 → R, f (x, y) =

⎧⎨⎩

sin x− sin y

x− y , y 6= x

g(x), y = x,

e) f : R2 → R, f (x, y) =

½ xy ln (x2 + y2) , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0) ,

f) f : R2 → R, f (x, y) =

⎧⎨⎩

cos xy − 1

x2y2 , (x, y) 6= (0, 0)

a, (x, y) = (0, 0),

g) f : R2 → R, f (x, y) =⎧⎨⎩

ex2+y2

−1

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)a, (x, y) = (0, 0)

,

h) f : R2 → R, f (x, y) =

⎧⎨⎩

arctg (x2 + y2)

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)

a, (x, y) = (0, 0),

i) f : R2 → R2, f (x, y) =

⎧⎨⎩

µ1− cos(x3 + y3)

(x2 + y2)2 ,

y2 sin x

x2 + y2

¶, (x, y) 6= (0, 0)

(a, b) , (x, y) = (0, 0),

j) f : R2

→R2, f (x, y) =

⎧⎨⎩ µ

ln (1 + x2y2)

x2 + y2 , ¡1 + sin ¡x2y2

¢¢1

x2+y2

¶ , (x, y) 6= (0, 0)

(a, b) , (x, y) = (0, 0)

,

Rezolvare. Functiile sunt continue cu exceptia originii ca fiind o functie rationalaın x si y. Studiem continuitatea ın (0, 0).

a) Demonstram ca este 0 cu ajutorul caracterizarii continuitatii cu siruri. Fie(xn, yn) → (0, 0). Folosind majorarea |f (x, y)− f (0, 0)| ≤ x2 + y2.




0 ≤ lim(xn,yn)→(0,0)

|f (xn, yn)− f (0, 0)| ≤ lim(xn,yn)→(0,0)

(x2n + y2

n) = 0. Rezulta h este

continu˘a ˆ

ın (0, 0) .b) Functia este continua cu exceptia originii ca fiind un raport de doua functii

continue. Studiem continuitatea ın (0, 0).

Observam casin(x3 + y3)

x2 + y2 =

sin(x3 + y3)

x3 + y3 ·

x3 + y3

x2 + y2.

Studiem continuitatea functiilor g(x, y) = x3 + y3 si

h(x, y) =

⎧⎨⎩

x3 + y3

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0). Daca demonstram ca g este continua pe R,

rezulta ca lim(x,y)→(0,0)

(x3 + y3) = 0 si deci lim(x,y)→(0,0)

sin(x3 + y3)

x3 + y3

= 1.

Continuitatea lui g. Fie (a, b) un punct oarecare din R. Demonstram continuitateacu siruri. Fie un sir oarecare (xn, yn) → (a, b). Atunci

|g(x, y)− g(a, b)| = |x3 + y3 − (a3 + b3)| ≤ |x3 − a3| + |y3 − b3| ≤≤ |(x− a) (x2 − ax + a2)| + |(x− b) (x2 − bx + b2)|0 ≤ lim

(xn,yn)→(a,b)|g(xn, yn)− g(a, b)| ≤

≤ lim(xn,yn)→(a,b)

|(xn − a) (x2n − anx + a2)| + |(xn − b) (x2

n − bxn + b2)| = 0,

deci lim(xn,yn)→(a,b)

g(xn, yn) = g(a, b)

Rezulta g este continua pe R.

Continuitatea lui h(x, y). Studiem continuitatea ˆın (0, 0) . Observ

˘am c

˘a pentru

(x, y) = ( 1n

, 1n

) → 0 ⇒ h( 1n

, 1n

) =1n3

+ 1n3

1n2

+ 1n2

= 1

n → 0. Deci s-ar putea ca limita cautata

sa fie 0.Demonstram ca este 0 cu ajutorul caracterizarii continuitatii cu siruri. Fie (xn, yn) →

(0, 0). Folosind majorarea|h(x, y)− h(0, 0)| ≤ |x| + |y|⇒ 0 ≤ lim

(xn,yn)→(0,0)|h(xn, yn)− h(0, 0)| ≤

≤ lim(xn,yn)→(0,0)

(|xn| + |yn|) = 0. Rezulta h este continua ın (0, 0) iar ın rest este

continua ca un raport de functii rationale continue , deci h pe R2.

Atunci lim(x,y)→(0,0)

sin(x3 + y3)

x2 + y2 = lim(x,y)→(0,0)

sin(x3 + y3)

x3 + y3 ·

x3 + y3

x2 + y2 =

= lim(x,y)→(0,0)

sin(x3 + y3)

x3 + y3 · lim

(x,y)→(0,0)

x3 + y3

x2 + y2 = 1 · 0 = 0. Rezulta f este continua pe R2.

e) Scriem f (x, y) = xy

x2 + y2

¡x2 + y2

¢ln¡

x2 + y2¢

= g(x, y)h(x, y), unde g(x, y) =




xy

x2 + y2 si h(x, y) = (x2 + y2) ln(x2 + y2) .

Dar |g(x, y)| =¯

xyx2 + y2

¯ ≤ 12

deoarece x2 + y2 ≥ 2 |xy| ⇒ 1x2 + y2

≤ 12 |xy|

⇒|xy|

x2 + y2 ≤ |xy|

2 |xy| =

1

2, deci este o functie marginita pe R2\ {(0, 0)} , iar

lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2) l n (x2 + y2) = lim(x,y)→(0,0)

ln (x2 + y2)(x2+y2) = 0 deoarece daca

notam cu u(x, y) = x2 + y2 atunci u → 0 daca (x, y) → (0, 0) ⇒ limu→0

u ln u = 0 ⇒lim

(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0.

Concluzie: daca a = 0 atunci f este continua pe R2. Daca a 6= 0 atunci f estecontinua pe R2\ {(0, 0)} .

Exercitiul 10. S a se determine a, b astfel ıncat campurile scalare:

a) f : R2 → R, f (x, y) =

⎧⎨⎩

sin(x2y2)

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)

a, (x, y) = (0, 0),

b) f : R2 → R, f (x, y) =

⎧⎨⎩

ln(1 + x2y2)

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)

b, (x, y) = (0, 0),

s a fie continue ın (0, 0) .




1. Derivabilitate

Exercitiul 1. S a se calculeze derivata functiei

f : R+ → R+, f (x) = √ x.

Rezolvare. f (x) − f (x0)

x − x0=

√ x − √

x0

x − x0=

√ x − √

x0

x − x0·

√ x +

√ x0√

x +√

x0=

= x − x0

(x − x0)¡√

x +√

x0

¢ = 1√ x +

√ x0

.

Rezulta ca

f 0(x) = limx→x0

f (x + h) − f (x)

x − x0= lim

x→x0

1√ x +

√ x0

= 1

2√

x0.

Observam ca panta tangentei ın orice punct al graficului este pozitiva.

0 1 2 3 4 50

1

2

3

x

y

¨

Functia f (x) =√

x, nu este derivabila ın punctul x = 0, deoarece ın acest punct

limx→0

f (x) − f (0)

x − 0 = lim

x→0

√ x

x = lim

x→0

1√ x

= ∞.

Functia are ınsa derivata ın punctul x = 0, anume derivata sa este ∞

.¨

Exercitiul 2. Fie functia f : R+ → R+, f (x) = √

x. S a se scrie scrie ecuatia tan-gentei la gra ficul functiei ın punctul (4, 2).

Rezolvare. Asa cum am vazut ın exercitiul 1, f 0(x) = 1

2√

x. Astfel,

f 0(4) = 1

4. Ecuatia tangentei ın punctul (4, 2) va fi

y − 2 = 1

4(x − 4).¨

Exercitiul 3. S a se studieze derivabilitatea functiilor de mai jos ın punctul x = 1:a) f : R → R, f (x) =

½ x2, x ≤ 1,12

x + 12

, x > 1.

b) f : R → R, f (x) =

½ x2, x ≤ 1,2x − 1, x > 1.

.




a) f 0s(1) = limx%1

f (x) − f (x0)

x

−x0

= limx%1

x2 − 1

x

−1

= limx%1

(x − 1) (x + 1)

x

−1

=

= limx%1 (x + 1) = 2,

f 0d(1) = limx&1

12

x + 12 − 1

x − 1 = lim

x&1

12 (x − 1)

x − 1 =

1

2.

Deoarece aceste limite sunt diferite, rezulta ca functia f nu este derivabila ınpunctul x = 1. Punctul x = 1 este punct unghiular. Graficul acestei functii este deforma:

-2 2 4

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Figura 4.6Observam ca graficul ısi schimba directia abrupt si nu admite tangenta ın acest

punct.

b) f 0s(1) = limx%1

f (x) − f (x0)

x − x0= lim

x%1

x2 − 1

x − 1 = lim

x%1

(x − 1) (x + 1)

x − 1 =

= limx%1

(x + 1) = 2,

f 0d(1) = limx&1

2x − 1 − 1

x − 1 = lim

x&1

2 (x − 1)

x − 1 = 2.

Deoarece derivatele laterale sunt egale, functia este derivabila ın punctul x = 1.

-2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Figura 4.7Obsevam ca, ın acest caz, graficul nu ısi schimba directia abrupt.¨Exemple de functii derivabile




1. Functia constantaf : R

→R, f (x) = c

este derivabila si f 0(x) = 0.Fie x0 ∈ R oarecare. Calculam

limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= lim

x→x0

c − c

x − x0= 0.

2. Functiaf : R → R, f (x) = x

este derivabila si f 0(x) = 1.Fie x0 ∈ R oarecare. Calculam

limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= lim

x→x0

x − x0

x − x0= 1.

3. Functia

f : R → R, f (x) = xn

este derivabila si f 0(x) = nxn−1.Fie x0 ∈ R oarecare. Calculam

limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= lim

x→x0

xn − xn0

x − x0=

= limx→x0

(x − x0)¡

xn−1 + xn−2x0 + xn−3x20 + ... + xxn−2

0 + xn−10

¢x − x0

=

= limx→x0

¡xn−1 + xn−2x0 + xn−3x2

0 + ... + xxn−20 + xn−1

0

¢ = nxn−1

0 .

4. Functiaf : [0, ∞) → R, f (x) =

√ x

este derivabila pe (0, ∞) si f 0(x) = 1

2√ x.

Fie x0 ∈ (0, ∞) oarecare. Calculam

limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= lim

x→x0

√ x − √

x0

x − x0= lim

x→x0

1√ x +

√ x0

= 1

2√

x0.

5. Functiaf : R → R, f (x) = sin x

este derivabila si f 0(x) = cos x.Fie x0 ∈ R oarecare. Calculam

limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= lim

x→x0

sin x − sin x0

x − x0=

= limx→x0

2sin x

−x0

2 cos x + x

02

x − x0=




= limx→x0

sin x − x0

2

x − x02

cos x + x0

2

= cos x0,

deoarece limx→x0

sin x − x0

2x − x0

2

= limy→0

sin y

y = 1, unde am notat y =

x − x0

2 .

6. Functiaf : R → R, f (x) = cos x

este derivabila si f 0(x) = − sin x.7. Functiaf : (0, ∞) → R, f (x) = ln x

este derivabila si f 0

(x) =

1

x.Fie x0 ∈ (0, ∞) oarecare. Calculam

limx→x0

f (x) − f (x0)

x − x0= lim

x→x0

ln x − ln x0

x − x0= lim

x→x0

1

x − x0ln

x

x0=

= limx→x0

1

x − x0

ln

µ1 +

x

x0− 1

¶ =

= limx→x0

ln

⎡⎢⎣µ

1 + x − x0

x0

¶ x0

x − x0

⎤⎥⎦

x − x0

x0·

1

x − x0

= ln e

1

x0 = 1

x0,

deoarece limx→x0

ln

µ1 +

x − x0

x0

¶ x0

x − x0 =

= ln limx→x0

µ1 +

x − x0

x0

¶ x0

x − x0 = ln e.

Exercitiul 4. Functia f : R → R, f (x) = axn este derivabil a pe R si f 0(x) =(axn)0 = a (xn)0 = anxn−1.¨

Exercitiul 5. Dac a a > 0, a 6= 1, functia f : (0, ∞) → R, f (x) = loga x este deriv-

abil ˘

a si f

0

(x) =

1

x ln a.

Scriem loga x = ln x

ln a =

1

ln a ln x. Rezulta f 0(x) =

µ 1

ln a ln x

¶0=

1

ln a (ln x)0 =

1

x ln a.




Exercitiul 6. Functia f : RÂ

©(2k + 1) π

2 | k ∈ Z

ª→ R, f (x) = tg x este derivabil a

pe tot domeniul ei de de finitie si

f 0(x) = (tg x)0 =µ

sin xcos x

¶0

= cos2 x + sin2 xcos2 x

= 1cos2 x

.¨

Exercitiul 7. Functia f : RÂ {2kπ | k ∈ Z } → R, f (x) = ctg x este derivabil a pe tot domeniul ei de de finitie si

f 0(x) = − 1

sin2 x.¨

Aplicand formula de derivare a functiilor compuse ın cazul functiilor elementare,se obtin urmatoarele formule de derivare:

1. µ d

dxun¶

0

= n un−1du

dx

2.

µ d

dx

√ u

¶0=

du

dx2√

u

3.

µ d

dx sin u

¶0= cos u ·

du

dx

4.

µ d

dx cos u

¶0= − sin u ·

du

dx

5.

µ d

dx tg u

¶0=

1

cos2 u

du

dx, u(x) 6= (2k + 1)

π

2 pentru x ∈ E.

6.µ

ddx

ctg u¶0

= − 1sin2 u

dudx

, u(x) 6= 2kπ pentru x ∈ E.

7.

µ d

dx ln u

¶0=

1

u

du

dx, u(x) > 0 pentru x ∈ E.

Exemplul 1. Functia F (x) =

µx +

1

x

¶−4este de finit˘ a pe R\ {0} , este derivabil a

pe R\ {0} .

In acest caz avem g(y) = y−4 si f (x) = x + 1

x. Aplicam fomula de derivare a

functiei compuse:

F 0(x) = d

dx

Ãµx +

1

x

¶−4! = −4

µx +

1

x

¶−5 d

dx

µx +

1

x

¶ =

= −4

µx +

1

x

¶−5µ1 − 1

x2

¶.




Exemplul 2. S a se calculeze derivata de ordinul 100 a functiei f (x) = x2e2x, x ∈ R,aplicand formula lui Liebniz de derivare.

f (100)(x) = (x2e2x)(100)

= (e2xx2)(100)

=

= (e2x)(100)

x2 + C 1100 (e2x)(99)

2x + C 2100 (e2x)(98)

2 = = 2100e2xx2 +100 · 299e2x · 2x +100·99

2 298 · e2x · 2 == 2100e2x (x2 + 100x + 25 · 99)

Exemplul 3. S a se demonstreze, folosind metoda inductiei, formulele derivatelor de ordin n

(sin x)(n) = sin(x + nπ2

), ∈(cos x)(n) = cos(x + nπ

2 ),

(ln x)(n) = (−1)n+1

(n − 1)!xn .

Exercitiul 8. Exemplu de functie care nu este derivabil a ın nici un punct x0 ∈ R :

f : R → R, f (x) =

½ −1, x ∈ Q

1, x ∈ R \Q .

Dac a ar exista un punct x0 ∈ R ın care functia ar fi derivabil a, atunci f ar ficontinu˘ a ın x0. Se demonstreaz a, ca ın exercitiul 2, punctul c), seminarul 13, c a functia nu este continu˘ a ın nici un punct.

Exercitiul 9. Folosind teorema lui Rolle sa se demonstreze ca p(x) = 2x3 + 5x − 1are exact o singura radacina reala.

Deoarece p este polinom de gradul trei, rezulta ca ın mod cert are o radacina reala.Presupunem ca p are mai mult de o radacina reala. In particular fie a si b, a 6= b,a > bastfel ıncat p(a) = p(b) = 0. Conform teoremei lui Rolle exista c ∈ (a, b) astfel ıncat

p0(c) = 0. Dar p0(x) = 6x2 + 5 ≥ 5 > 0 pentru orice x, deci p0 nu poate fi zero.Presupunerea ca p are mai mult de o radacina a condus la o contradictie. Deci p areo singura radacina reala.

Exemplul 4. Functia f (x) =√

1 − x, −1 ≤ x ≤ 1 satisface conditiile teoremei luiLagrange: este continua pe [−1, 1] si este derivabila pe (−1, 1) . Conform teoremei lui

Lagrange, rezulta ca exista un c ∈ (−1, 1) astfel ıncat f 0(c) = f (1)

−f (

−1)

1 − (−1) = −√

2

2 .

Sa se determine c ın acest caz. Calculam f 0(x) = − 1

2√

1 − x. Din conditia f 0(c) =

−√ 2

2 rezulta − 1

2√

1 − c=

−√ 2

2 ⇒ c =

1

2.




Exemplul 5. Presupunem ca f este continua pe [1, 4] si este derivabila pe (1, 4) sif (1) = 2. Stiind ca 2

≤f 0(x)

≤3,

∀x

∈(1, 4) , care este cea mai mica valoare pe care

o poate lua f ın 4? Dar cea mai mare valoare pe care o poate lua f ın 4?

Conform teoremei lui Lagrange, rezulta ca exista un c ∈ (1, 4) astfel ıncat f (4) −f (1) = f 0(c)(4 − 1) = 3f 0(c) ⇒ f (4) = f (1) + 3f 0(c).

Dar 2 ≤ f 0(x) ≤ 3 ⇒ 6 ≤ 3f 0(x) ≤ 9 ⇒ f (1) + 6 ≤ f (1) + 3f 0(x) ≤ f (1) + 9.f (1) = 2, f (4) = f (1) + 3f 0(c) ⇒ 8 ≤ f (4) ≤ 11.

Exercitiul 10. Fie functia f : [−2, ∞) → R,f (x) = 1

4

¡x3 − 3

2x2 − 6x + 2

¢.

S a se determine punctele de extrem si s a se stabilesc a natura lor.

Rezolvare. Pentru a determina punctele critice calculam derivata ıntai si stabilimpunctele ın care ea se anuleaza.

f 0(x) = 14

¡3x2 − 6

2x − 6

¢ = 3

4 (x + 1) (x − 2) .

f 0(x) = 0 ⇒ x = −1 sau x = 2. −1 si 2 sunt puncte critice. Determina semnulderivatei.

−2 −1 2 ∞semnullui f 0

+ + + ++ 0 −−−− 0 + + + + + +

comportlui f

0 % 118

& −2 %

f (−2) = 14¡

(−2)3

− 32 (−2)

2

− 6 (−2) + 2¢

= 0 minim localf (−1) = 1

4

¡(−1)3 − 3

2 (−1)2 − 6 (−1) + 2

¢ = 11

8 maxim local

f (2) = 14

¡(2)3 − 3

2 (2)2 − 6 (2) + 2

¢ = −2 minim local

Deoarece limx→∞

f (x) = ∞ nu exista maxim absolute. x = 2 este punct de minim

absolut. Graficu functiei este

-2 2 4

5

10

15

x

y

¨

Exercitiul 11. S a se studieze natura punctelor critice ale functiei f : R → R, f (x) = x4 − 2x3.




Rezolvare. Calculam derivata functieif 0(x) = 4x3

−6x2 = 2x2(2x

−3).

Stabilim punctele critice f 0(x) = 0 ⇒ x = 0, x = 32 .

Determinam semnul derivatei

semnul lui f 0 −−−− 0 −−−− 32

+ + ++comportarea lui f descresc 0 descresc 0 crescatoare

Deoarece f 0 pastreaza semn constant la dreapta si la stanga lui 0, 0 nu este punctde extrem. Punctul x = 3

2 este punct de minim. Graficul este prezentat ın figura de

mai jos:

-1 1 2 3

5

10

15

20

25

x

y

Figura 15.4

Exercitiul 12. S a se studieze natura punctelor critice ale functiei

f : R

→R, f (x) = ½ 1 + 2x, x ≤ 1

5 − x, x > 1.

Rezolvare. Graficul functiei este

-2 2

-2

2

4

x

y

Figura 4.10

Observam ca f 0(x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 1) si f 0(x) < 0, ∀x ∈ (1, ∞) . Nu rezulta cax = 1 este punct de maxim local. Functia este discontinua ın 1 si de aceea testulprimei derivate nu poate fi aplicat. ¨




Exercitiul 13. S a se studieze natura punctelor critice ale functiei f : R

→R, f (x) = cos2 2x.

Rezolvare. f 0(x) = −4cos2x sin2x = −2sin4xf 0(x) = 0 ⇒ x = kπ

4 .

f 00(x) = −8cos4x, f 00(kπ4

) = −8cos kπ = −8(−1)k

Daca numarul ıntreg k este impar, x = (2i+1)π4

este punct de minim.Daca numarul ıntreg k este par, x = iπ

2 este punct de maxim.

-3 -2 -1 0 1 2 3

1

x

y

Figura 15.5¨

Determinarea punctelor de extrem pentru o functie continua f .Pasul 1. Se determina punctele critice, punctele interioare ın care derivata ıntai

se anuleaza. Se determina punctele ın care derivata ıntai nu exista.Pasul 2. Daca functia este definita pe un interval sau pe o reuniune de intervale, se

examineaza semnul derivatei ın vecinatatea punctelor care sunt capetele intervalelor.Pasul 3. Se utilizeaza testul primei derivate sau a derivatei a doua pentru a stabili

care puncte critice sunt puncte de extrem si natura lor.Pasul 4. daca domeniul este nemarginit la dreapta sau la stanga se studiaza

comportarea functiei la stanga sau la dreapta.Pasul 5. Se stabilesc care din punctele de extrem local sunt puncte de extrem

global.

Exercitiul 14. Fie functia f : [0, 2π] → R,f (x) = sin x

−sin2 x.

S a se determine punctele de extrem si s a se stabilesc a natura lor.

Rezolvare. Pentru a determina punctele critice calculam derivata ıntai si stabilimpunctele ın care ea se anuleaza.

f 0(x) = cos x − 2sin x cos x = cos x(1 − 2sin x).




f 0(x) = 0 ⇒ cos x(1 − 2sin x) = 0 ⇒ cos x = 0 sau 1 − 2sin x = 0.cos x = 0, x

∈[0, 2π]

⇒x = π

2, 3π

2

1 − 2sin x = 0, x ∈ [0, 2π] ⇒ x = π6 , 5π6 .

0 π6

π2

5π6

3π2

2πsemnul

lui f 0 + 0 − 0 + 0 − 0 +

comport

lui f 0 % 1

4 & 0 % 1

4 & −2 % 0

f (0) = 0,f (π

6) = sin π

6 − sin2 π

6 = 1

2 − 1

4 = 1

4,

f (π2

) = sin π2 − sin2 π

2 = 0,

f (5π

6 ) = sin 5π

6 −sin2 5π

6 = 1

4,

f (3π2

) = sin 3π2 − sin2 3π

2 = −2,

f (2π) = sin 2π − sin2 2π = 0.f (5π

6 ) = f (π

6) = 1

4 este valoarea maxima absoluta, punctele x = π

6, 5π

6 sunt puncte

de maxim absolut, x = π2

, 3π2

sunt puncte de minim, x = π2

este minim local, iarx = 3π

2 este punct de minim absolut.

1 2 3 4 5 6

-2

-1

0

x

y

1.1. Studiul functiilor cu ajutorul derivatelor.

Determinarea intervalelor de monotonie si a punctelor de extrem. Fieo functie f definita pe o multime E, care este reuniunea finita sau infinita de intervale.Fie E 0 ⊂ E multimea pe care f este derivabila.

Reamintim proprietatile:

-dac˘

a derivata f

0

este strict pozitiv˘

a pe intervalul I ⊂ E

0

, atunci functia f estestrict crescatoare pe I ;-daca derivata f 0 este strict negativa pe intervalul I ⊂ E 0, atunci functia f este

strict descrescatoare pe I ;-daca functia f 0 nu se anuleaza pe intervalul I ⊂ E 0, atunci f 0 pastreaza semn

constant pe ıntreg intervalul I .




Din aceste proprietati deducem ca functia f este strict monotona pe aceleasiintervale pe care derivata f 0 nu se anuleaza.

Rezulta de aici calea de urmat pentru a determina intervalele pe care funct ia f este strict monoton a.

Pasul 1. Se determina multimea E 0 pe care functia f este derivabila si se calculeazaderivata f 0 pe multimea E 0.

Pasul 2. Se determina punctele din E 0 ın care derivata f 0 se anuleaza (radacinilederivatei), adica se rezolva ecuatia

f 0(x) = 0, x ∈ E 0.Pasul 3. Se descompune multimea E ın intervale disjuncte astfel ıncat pe nici un

astfel de interval derivata f 0 nu se anuleza. Aceste intervale se obtin din intervalelemultimii E pe care functia este definita, ımpartindu-le mai departe prin puncte ın

care functia nu este derivabil˘a si prin puncte ˆ

ın care derivata se anuleaz

˘a (presupunˆ

ındca derivatele nu se anuleaza pe un interval ıntreg).

Pasul 4. Pe fiecare interval I pe care derivata nu se anuleaza, ea pastreaza semnconstant. Se determina semnul derivatei I , calcul ınd valoarea derivatei ıntr-un singurpunct din I .

Pasul 5. In functie de semnul derivatei f 0 pe un interval I , se determina dacafunctia f este strict crescatoare sau descrescatoare pe I . Daca f 0 are semnul +, f este strict crescatoare, daca f 0 are semnul −, f este strict descrescatoare.

Rezulta si punctele de extrem : fie x0 un punct interior al multimii E ın care functiaeste continua si fie I intervalul din E care-l contine pe x0 si astfel ıncat derivata f 0

nu se anuleaza pe I , cu exceptia lui x0 (daca functia este derivabila ın x0 ).

Daca pe I, f este strict crescatoare la stanga lui x0 (derivata potitiva) si strictdescrescatoare la dreapta lui x0 (derivata negativa), atunci x0 este punct de maximal functiei.

Daca pe I, f este strict descrescatoare la stanga lui x0, (derivata negativa) sistrict crescatoare la dreapta lui x0 (derivata potitiva), atunci x0 este punct de minimal functiei.

Daca derivata are acelasi semn de o parte si de alta a lui x0, atunci x0 nu estepunct de extrem al functiei.

Daca x0 este extremitatea stanga a unui interval I ⊂ E, ın interiorul caruiaderivata nu se anuleaza, si daca pe I , la dreapta lui x0 derivata are semnul −, atuncix0

este punct de maxim. Daca pe I , la dreapta lui x0

derivata are semnul +, atuncix0 este punct de minim.

Daca x0 este extremitatea dreapta a unui interval I ⊂ E, ın interiorul caruiaderivata nu se anuleaza, si daca pe I , la stanga lui x0 derivata are semnul +, atuncix0 este punct de minim. Daca pe I , la stanga lui x0 derivata are semnul −, atuncix0 este punct de maxim.




Puncte critice

Punct unghiular al graficului este punctul ın care graficul admite seitangente

diferite.Punct de ˆ ı noarcere al graficului este punctul ın care graficul adite semitangente

care se suprapun.

Exercitiul 15. S a se studieze natura punctului π4

pentru functia f :

£0, π

2

¤ → R,

f (x) =

½ cos x, x ∈ £

0, π4

¤sin x, x ∈ ¡

π4

, π2

¤ .

Exercitiul 16. S a se studieze natura punctului −3 pentru functia f : R

→R, f (x) = p |x + 3|.

1.2. Studiul functiilor cu ajutorul derivatei a doua. Rezulta modul ın careputem determina intervalele pe care functia este (strict) convexa sau (strict) concava.

Pasul 1. Se determina multimea E 00 ⊂ E pe care functia f este derivabila de douaori si se calculeaza derivata a doua f 00 pe multimea E 00.

Pasul 2. Se determina punctele din E 00 ın care derivata a doua se anuleaza, adicase rezolva ecuatia

f 00(x) = 0, x ∈ E 00.Pasul 3. Se descompune multimea E ın intervale disjuncte, astfel ıncat, pe nici un

asemenea interval, derivata f 00 sa nu se anuleze. Ele se obtin din intervalele multimii E

pe care functia f este definita, ımpartindu-le mai departe prin puncte ın care functianu este derivabila de doua ori si prin puncte ın care derivata a doua se anuleaza.Pasul 4. Pe fiecare interval I pe care derivata a doua f 00 nu se anuleaza, ea

pastreaza semn constant. Se determina semnul derivatei a doua pe I calculand val-oarea ei ıntr-un singur punct din I .

Pasul 5. Daca f 00 are semnul +, f este strict convexa, iar daca f 00 are semnul −,f este strict concava.

Definitia 1. Se spune c a un punct x0 ∈ E este punct de inflexiune al functiei f , dac a functia are derivat˘ a ( finit˘ a sau infinit˘ a) ın punctul x0 si dac a functia este convex a de o parte a lui x0 si concav a de cealalt˘ a parte.

Geometric, a spune ca M 0(x0, f (x0)) este punct de inflexiune al graficului ınseamnaca graficul admite tangenta ın punctul M 0 (paralela sau neparalela cu axa Oy) si cade o parte a lui M 0 graficul este o curba convexa, iar de cealalta parte este o curbaconcava.




Exercitiul 17. S a se determine concavitatea si punctele de infl exiune ale functiei:f : R

→R,

f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.

Rezolvare. f 0(x) = 3x2 − 12x + 9 = 3 (x − 1) (x − 3) ,f 00(x) = 6x − 12 = 6 (x − 2) , f 00(x) = 0 ⇒ x = 2,

x −∞ 2 ∞semnul

lui f 00 −− − − − 0 + + + ++

graficul

lui f concav pct inflex convex

-2 -1 1 2 3 4 5

-40

-20

20

x

y

¨

Exercitiul 18. S a se determine concavitatea si punctele de infl exiune ale functiei:

f : [0, 2π] → R,f (x) = x + cos x.

Rezolvare. Pentru x ∈ [0, 2π] obtinem f 0(x) = 1 − sin x,f 00(x) = − cos x, f 00(x) = 0 ⇒ x = π

2, 3π

2 .

x 0 π2

3π2

2πsemnul

lui f 00 − − − − 0 + + ++ 0 − − − −

graficul

lui f 1 concav pct inflex convex pct inflex concav




0 1 2 3 4 5 6

2

4

6

x

y

Exercitiul 19. S a se studieze natura punctului 2 pentru functia

f : R → R, f (x) =

½ √ x − 2, x ≥ 2

−√ x − 2, x < 2.

.

1.3. Determinarea asimptotelor la graficul unei functii. Fie o functie f definita pe o multime E , care este reuniunea finita sau infinita de intervale. In cazulın care functia f este nemarginita sau multimea E este nemarginita, graficul functieieste o multime nemarginita de puncte din plan.

Spunem ın acest caz ca f are ramuri nemarginite.Daca o ramura nemarginita a graficului se apropie necontenit ( ıntr-un sens care va

fi precizat) de o anumita dreapta, spunem ca acea dreapta este asimptota la graficulfunctiei.

Asimptotele se ımpart ın doua categorii:-asimptote verticale (paralele cu axa Oy)

-asimptote oblice (neparalele cu axa Oy).Asimptotele verticale se definesc pentru funct ii nem arginite , chiar dac a sunt

de fi nite pe mult imi m arginite.

Daca x0 este punct de acumulare al multimii E si cel put in una din limitele lateralef (x0 − 0) si f (x0 + 0) exista si este infinita, spunem ca dreapta x = x0, paralela cuaxa Oy, este asimptota verticala la graficul functiei f .

Deoarece cel putin una din limitele laterale f (x0 − 0) si f (x0 + 0) exista si esteinfinita, asimptotele verticale trebuie cautate printre punctele de discontinuitate despeta a doua ale functiei f si ın punctele de acumulare ale lui E care nu apartin luiE.

Exemplul 6. Studiati asimptotele verticale ale functiei:f : R\ {−2, 4} → R,

f (x) = 3x + 6

x2 − 2x − 8.




Rezolvare. Observam ca

f (x) = 3x + 6

x2 − 2x − 8 =

3(x + 2)

(x − 4)(x + 2).

Calculamlimx%4

f (x) = −∞, limx&4

f (x) = ∞.

Dreapta x = 4 este asimptota verticala.Calculamlimx%−2

f (x) = limx&−2

f (x) = 3−6 = −1

2.

Dreapta x = −2 nu este asimptota verticala.¨

Asimptote oblice se definesc pentru functii definite pe mult imi nem arginite chiar

dac a funct iile sunt m arginite .

Daca E este nemarginita la dreapta, atunci ∞ este punct de acumulare al multimiiE.

Spunem ca dreapta y = mx + n este asimptota (oblica) la ramura ∞ a graficuluidaca

limx→∞

[f (x) − mx − n] = 0.

Daca E este nemarginita la stanga, atunci −∞ este punct de acumulare al multimiiE.

Spunem ca dreapta y = mx + n este asimptota (oblica) la ramura −∞ a graficuluidaca

limx→−∞

[f (x) − mx − n] = 0.

Studiem asimptota la ∞.Deoarece limx→∞

[f (x) − mx − n] = 0 rezulta ca

f (x) − mx = [f (x) − mx − n] + n si deci limx→∞

[f (x) − mx] = n. Apoi, pentru x > 0,avem

f (x)

x − m =

f (x) − mx

x ,

deci

limx→∞

∙f (x)

x − m

¸ = lim

x→∞

∙f (x) − mx

x

¸ = 0,

si, deoarecef (x)

x

= ∙f (x)

x −m¸ + m,

rezulta

limx→∞

f (x)

x = m.

Asadar, daca dreapta y = mx +n este asimptota (oblica) la ramura ∞ a graficuluiatunci




m = limx→∞

f (x)

x , n = lim

x→∞[f (x) − mx] .

Exemplul 7. Studiati asimptotele oblice ale functiei:f : R\ {2} → R,

f (x) = x2

x − 2.

Rezolvare. Observam ca functia este definita pe un interval nemarginit, deci sepune problema existentei asimptotelor oblice.

limx→∞

f (x)

x = lim

x→∞

x2

x (x − 2) = 1 ⇒ m = 1

limx→∞

[f (x)−

mx] = limx→∞∙

x2

x − 2 −x¸ = lim

x→∞

2x

x − 2

= 2.

asimptota oblica la ∞ este y = x + 2.Analog se obtine asimptota oblica la −∞.Graficul functiei este

-10 -5 5 10

-8-6-4-2

2468

1012

x

y

¨

Observatia 1. Dac a limx→∞

f (x)

x nu exist˘ a sau este infinit˘ a, gra ficul functiei nu are

asimptot˘ a la ∞.

Exemplul 8. Studiati asimptotele oblice ale functiei:f : R\ {2} → R,

f (x) = x3

x − 2.

Rezolvare. Observam ca functia este definita pe un interval nemarginit, deci se

pune problema existentei asimptotelor oblice. Deoarece

limx→∞

f (x)

x = lim

x→∞

x3

x (x − 2) = ∞,

limx→−∞

f (x)

x = lim

x→−∞

x3

x (x − 2) = −∞




functia nu are asimptote oblice.

-6 -4 -2 2 4 6

-20

20

40

x

y

.

Observatia 2. Dac a exist˘ a limx→∞

f (x)

x = m si este finit˘ a, dar lim

x→∞[f (x) − mx] nu

exist˘ a sau este infinit˘ a, gra ficul functiei nu are asimptot˘ a la ∞.

Exemplul 9. Studiati asimptotele oblice ale functiei:f : [0, ∞) → [0, ∞) ,f (x) =

√ x.

Rezolvare. Observam ca functia este definita pe un interval nemarginit, deci sepune problema existentei asimptotelor oblice. Deoarece

limx→∞

f (x)

x = lim

x→∞

√ x

x = 0 ⇒ m = 0,

limx→∞

[f (x) − mx] = limx→∞

[√

x − 0 · x] = limx→∞

√ x = ∞

functia nu are asimptote oblice.

0 2 4 6 8 100

2

x

y

Observatia 3. Dac a exist˘ a limx→∞

f (x) = a si este finit˘ a, atunci dreapta y = a este

asimptot˘ a la ∞, paralel a cu axa Ox.

De aici rezulta pasii de parcurs pentru determinarea asimptotei la ∞.Pasul 1. Se calculeaza lim

x→∞f (x).

Daca exista limx→∞

f (x) = a si este finita, atunci dreapta y = a este asimptota la∞.


f (x) si este infinita, atunci:




Pasul 2. Se calculeza limx→∞

f (x)

x .


f (x)x

= m si este finita, atunci

Pasul 3. Se calculeaza limx→∞

[f (x) − mx] .


[f (x) − mx] = n si este finita, atunci dreapta y = mx + n este

asimptota (oblica) la ramura ∞ a graficului.

Daca multimea E este neminorata, prezentam pasii de parcurs pentru deter-

minarea asimptotei la −∞.Pasul 1. Se calculeaza lim

x→−∞f (x).

Daca exista limx

→−∞

f (x) = a si este finita, atunci dreapta y = a este asimptota la

−∞.Daca exista lim

x→−∞f (x) si este infinita, atunci:

Pasul 2. Se calculeza limx→−∞

f (x)

x .

Daca exista limx→−∞

f (x)

x = m si este finita, atunci

Pasul 3. Se calculeaza limx→∞

[f (x) − mx] .

Daca exista limx→−∞

[f (x) − mx] = n si este finita, atunci dreapta y = mx + n este

asimptota (oblica) la ramura −∞ a graficului.

1.4. Reprezentarea grafica a unei functii. 1. Determinarea domeniului dedefinitie, comportarea functiei la capetele intervalelor sau la ±∞ si a asimptotelor.2. Determinarea intersectiei cu axele.3. Simetria graficului.Daca f este para, f (−x) = f (x), graficul este simetric fata de axa Oy.Daca f este impara, f (−x) = −f (x), graficul este simetric fata de origine.Daca f este periodica, adica exista T > 0 astfel ıncat f (x + T ) = f (x), atunci

graficul se prelungeste prin periodicitate.4. Se studiaza continuitatea functiei, se stabilesc punctele de discontinuitate, daca

exista.5. Se calculeaza derivata ıntai, se determina punctele critice, se stabileste semnul

derivatei ıntai, punctele ın care nu este derivabila. Se stabilesc punctele de extrem,daca exista.

6. Se calculeaza derivata a doua si se stabileste concavitatea si punctele de inflex-iune.

7. Se realizeaza tabelul derivatei ıntai, a functiei si derivatei a doua.




8. Se traseaza graficul.

Exercitiul 20. S a se traseze gra ficul functiei:f : R → R,f (x) = 1

4x4 − 2x2 + 7

4..

Rezolvare.

1. Domeniul de definitie este R, limx→∞

f (x) = limx→−∞

f (x) = ∞.

limx→∞

f (x)

x = ∞, lim

x→−∞

f (x)

x = −∞ ⇒ functia nu admite asimptote oblice.

2. Intersectia cu axele14

x4 − 2x2 + 74.

= 0 ⇒ 14 (x − 1) (x + 1) ¡x − √

7¢ ¡x +√

7¢ = 0 ⇒ x = ±1, x =

±√ 7Intersectia cu axa Ox :¡−√ 7, 0

¢, (−1, 0) , (1, 0) ,

¡√ 7, 0¢

.Intersectia cu axa Oy : f (0) = 7

4.,¡

0, 74.

¢.

3. Paritatea si imparitateaf (−x) = 1

4 (−x)4 − 2 (−x)2 + 7

4. = 1

4x4 − 2x2 + 7

4. = f (x), deci functia este para.

Este suficient sa se straseze graficul pe [0, ∞) .Nu este functie periodica.4. Este o functie continua pe R deoarece este o functie polinomiala.5. f 0(x) =

¡14

x4 − 2x2 + 74.

¢0= x3 − 4x = x (x − 2) (x + 2)

f 0(x) = 0 ⇒ x = 0, x = ±2.

6. f 00(x) = 3x2

−4 = 3³x

− 2

√ 3´³x + 2

√ 3´ .

f 00(x) = 0 ⇒ x = ± 2√ 3

.7.

x 0 1 2√ 3

2√

7 ∞semn

f 0 0 −− − − − − 0 + + + +

comp. f 74.

& 0 & −1736

& −94

% 0 % ∞semn

lui f 00 − − − − 0 + + + + + +

concavit con-

cav

pct

infl

con-

vex

f ( 2√ 3

) = 14

³ 2√ 3

´4 − 2

³ 2√ 3

´2

+ 74.

= 14169 − 24

3 + 7

4. = 4

9 − 8

3 + 7

4 = −17

36

f (2) = 14

24 − 2 · 22 + 74.

= −94




-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

x

y

¨

Exercitiul 21. S a se traseze gra ficul functiei:f : [−1, 5) → R,f (x) = x4 − 4x2 + 4.

Rezolvare.

1. Domeniul de defi

nitie este [−1, 5) , nu studiem comportarea functiei la ±∞deoarece f este definita doar pe [−1, 5) .Functia nu admite asimptote oblice.2. Intersectia cu axelex4 − 4x2 + 4 = 0 ⇒ x = −√

2, x =√

2, −√ 2 /∈ [−1, 5)

Intersectia cu axa Ox :¡√

2, 0¢

.Intersectia cu axa Oy : f (0) = 4, (0, 4) .3. Paritatea si imparitateaf (−x) = (−x)4 − 4 (−x)2 + 4 = x4 − 4x2 + 4 = f (x), deci functia este para.Nu este functie periodica.4. Este o functie continua pe R deoarece este o functie polinomiala.

5. f 0(x) = (x4 − 4x2 + 4)0

= 4x3 − 8x = 4x¡

x − √ 2¢ ¡x + √ 2¢f 0(x) = 0 ⇒ x = 0, x = ±2, −2 /∈ [−1, 5)

6. f 00(x) = 12x2 − 8 = 12³

x −q

23

´³x +

q 23

´.q

23

= 0.81650

f 00(x) = 0 ⇒ x = ±q

23

7.

x −1 −q

23

0q

23

√ 2 5

semn

f 0 4 ++ + + 0 − − − 0 + +

comp. f 74.

% 169

& 4 & 169

& 0 % 529semn

lui f 00 + + 0 − − − 0 + + + +

concavit con-

vex

pct

inflex

con-

cav

con-

cav

pct

inflex

con-

vex




f (−q 23

) = ³−q 23´

4

− 4³−q 23´

2

+ 4 = 169 ,

f (q

23) =

³q 23

´4

− 4³q

23

´2+ 4 = 16

9 ,

f (√

2) =¡√

2¢4 − 4

¡√ 2¢2

+ 4 = 0limx%5

(x4 − 4x2 + 4) = 54 − 4 · 52 + 4 = 529,

-1 0 1 2 3 4 5

100

200

300

400

500

x

y

Mai clar, pe intervalul [−1, 3] graficul este

-1 0 1 2 3

20

40

x

y

1.5. Calcul diferential pentru functii de mai multe variabile.

Exercitiul 22. Fie functia f : R2 → R, f (x, y) = x3y2 + y Sa se calculeze derivatelepartiale ın punctul (1, 1) .

Rezolvare. ∂f (1, 1)

∂x = lim

x→1

f (x, 1) − f (1, 1)

x + 1 = lim

x→1

x3 + 1 − 2

x + 1 = lim

x→1

¡x2 + x + 1

¢ =

3.

Sau calculam direct, tinand seama ca y este constant, ∂f (x, y)

∂x

= 3x2y2, ∂f (1, 1)

∂x

=

3.∂f (1, 1)

∂y = lim

y→1

f (1, y) − f (1, 1)

y − 1 = lim

y→1

y2 + y − 2

y − 1 = lim

y→1(y + 1 + 1) = 3.

Sau ∂f (x, y)

∂y = 2x3y + 1,

∂f (1, 1)

∂y = 3.¨




Exemplul 10. Fie functia f : R2 → R, f (x, y) =

p x2 + y2 Sa se calculeze derivatele

partiale ın punctul (1, 1) .

Exemplul 11. Fie functia f : (0, ∞) × (0, ∞) → R, f (x, y) = xln y Sa se calculezederivatele partiale ın punctul (e, e) .

Exercitiul 23. S a se calculeze derivatele partiale de ordin ıntai ale functiei

Exemplul 12. a) f : R3 → R, f (x,y,z) = x3y2z + sin(xy),b) f : R2 \ {(0, 0)} → R, f (x, y) = ln(x2 + y2),c) f : (0, ∞) × (0, ∞) × R → R, f (x, y) = xyz

Rezolvare. a)

∂f (x,y,z)

∂x = 3x2

y2

z + y cos(xy) ,∂f (x,y,z)

∂y = 2x3yz + x cos(xy) ,

∂f (x,y,z)

∂z = x3y2.¨

Exercitiul 24. S a se veri fice teorema lui Schwarz pentru functia f : R2 \ {(0, 0)} → R, f (x, y) = ln(x2 + y2).

Exercitiul 25. S a se veri fice teorema lui Schwarz pentru functia f : R3 → R, f (x,y,z) = xey sin(πz) .

Exercitiul 26. S a se calculeze derivatele partiale de ordin doi ın punctul (1, 1) pentrufunctiile:

a) f : (0, ∞) × R → R, f (x, y) = xy ln xb) f : R3\ {(0, 0, 0)} → R, f (x,y,z) =

p x2 + y2 + z2,

c) f : R \ {0} × R → R, f (x, y) = arctg y

x,

d) f : R2 → R, f (x, y) = arctg(xy).

Exemplul 13. S a se scrie diferentialele functiilor 1. f : R2 → R, f (x, y) = x + y,

2. f : R2Â {(x, y)∈R2 : y = 0}

→R, f (x, y) =

x

y

,

3. f : R2Â {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 0} → R, f (x, y) = xy.




Rezolvare. 1. ∂f (x, y)

∂x = 1,

∂f (x, y)

∂y = 1, df (x, y) =

∂f (x, y)

∂x dx +

∂f (x, y)

∂y dy =

dx + dy.2.

∂f (x, y)

∂x =

1

y, ∂f (x, y)

∂y = − x

y2, df (x, y) =

∂f (x, y)

∂x dx +

∂ f (x, y)

∂y dy =

1

ydx −

x

y2dy.

3. ∂f (x, y)

∂x = yxy−1,

∂f (x, y)

∂y = xy ln x, df (x, y) =

∂f (x, y)

∂x dx +

∂f (x, y)

∂y dy =

yxy−1dx + xy ln xdy.

Exemplul 14. Se consider a functia f (x, y) = ln(ax + by), ax + by > 0.

S a se calculeze derivatele partiale de ordin ıntai si doi si diferent ialele de ordinunu si doi.

Rezolvare. ∂f (x, y)

∂x =

a

ax + by, ∂f (x, y)

∂y =

b

ax + by,

df (x, y) = ∂f (x, y)

∂x dx +

∂ f (x, y)

∂y dy =

adx + bdy

ax + by ,

∂ 2f (x, y)

∂x2 = − a2

(ax + by)2, ∂ 2f (x, y)

∂x∂y = − ab

(ax + by)2, ∂ 2f (x, y)

∂y2 = − b2

(ax + by)2,

d2f (x, y) = ∂ 2f (x, y)

∂x2 dx2 + 2

∂ 2f (x, y)

∂x∂y dxdy +

∂ 2f (x, y)

∂y2 dy2 =

= −a2dx2 + 2abdxdy + b2dy2

(ax + by)2 = −(adx + bdy)2

(ax + by)2 .

Exercitiul 27. S a se determine operatorul Laplace

∆ : A∆ → R,∆f (x, y) = ∂ 2f

∂ 2 (x, y) +

∂ 2f

∂ 2 (x, y) ,dac a exist˘ a, pentru

Algebra Liniara Sem CTI

Documents

Transcript of Algebra Liniara Sem CTI