Post on 05-Nov-2015
description
Partea I
Se considera un esantion de volum n=20 piese si se cere:
-Sa se verifice daca datele contin valori aberante si in caz afirmativ sa se elimine din sirul de
masuratori.
-Sa se verifice daca datele daca datele au un character aleator.
-Sa se traseze histograma si poligonul frecventei absolute simple sis a se verifice daca datele
respective respecta distributia normal a lui Gauss Laplace.
N=31
Abaterea superioara =+0.06
Abatera inferioara=-0.08
Valori
Nr.crt Valori aleatorii Valori ordonate
1 30,999 30,947
2 30,975 30,954
3 30,965 30,965
4 30,980 30,975
5 30,947 30,975
6 30,995 30,979
7 31,005 30,980
8 30,954 30,980
9 31,000 30,982
10 31,016 30,985
11 30,980 30,995
12 30,979 30,995
13 31,024 30,999
14 30,985 31,000
15 30,982 31,002
16 31,002 31,005
17 31,032 31,007
18 31,007 31,016
19 30,975 31,024
20 30,995 31,032
Testul Irwin
Eliminarea valorilor aberante, n cazul n care se cunoate abaterea standard , se poate face i cu
ajutorul testului Irwin. Aplicarea acestui test se face calculnd raportul:
1
nncnxx
(1.4)
pentru valoarea maxim xn i raportul:
121xx
c
(1.5)
pentru valoarea minim 1x ;
Testul Irwin - Calculul valorilor Aberante
120
nncxx
=0,133333333
121xx
c
=0,0875
Se comparavalorile pentru c20si c1cu 1,27 (din tabel)
Daca c20
-Verificarea caracterului aleator prin metoda diferentelor
successive
Calculul Calculul s
X XX i 2
XX i 2
1
n
i
ii XX 2
1
2
1
1
n
i
i XXn
s
30,989835
-0,009165 0,000084
0,009099
0,000478892
0,0218836
-0,014835 0,000220
-0,024835 0,000617
-0,009835 0,000097
-0,042835 0,001835
0,005165 0,000027
0,015165 0,000230
-0,035835 0,001284
0,010165 0,000103
0,025865 0,000669
-0,009835 0,000097
-0,010835 0,000117
0,034165 0,001167
-0,004835 0,000023
-0,007835 0,000061
0,012165 0,000148
0,042165 0,001778
0,017165 0,000295
-0,014835 0,000220
0,005165 0,000027
Calculul 2
ii XX 1 2
1 ii XX 21
1
1
n
i
ii XX
21
1
1
2
1
1
n
i
ii XXn
-0,024 0,0005760
0,01753698
0,000922999
-0,01 0,0001000
0,015 0,0002250
-0,033 0,0010890
0,048 0,0023040
0,01 0,0001000
-0,051 0,0026010
0,046 0,0021160
0,0157 0,0002465
-0,0357 0,0012745
-0,001 0,0000010
0,045 0,0020250
-0,039 0,0015210
-0,003 0,0000090
0,02 0,0004000
0,03 0,0009000
-0,025 0,0006250
-0,032 0,0010240
0,02 0,0004000
Se determin raportul:
2
2
sMC
= 1,927364001
VLI=1.3
VLS=2.7
-Se compara Mc cu VLIsi VLS din anexa 8
-Daca VLI
Testul pentru verificarea normalitatii unei distributii,
Testul 2
-Se ordoneaz valorile dimensiunilor
Valori date Valori distincte frecventa absoluta de aparitie
a numarului
30,980 30,980 2
30,969 30,969 0
30,999 30,999 1
30,958 30,958 0
30,975 30,975 2
31,002 31,002 1
30,965 30,965 1
31,007 31,007 1
31,005 31,005 1
30,947 30,947 1
30,995 30,995 2
30,985 30,985 1
31,000 31,000 1
30,954 30,954 1
31,024 31,024 1
30,995 31,032 1
31,032 30,962 0
30,965
0
30,975
30,962
-Se determin numrul de clase k cu relaia:
65,32202164lg322,31 nk
-Se adopt 6k clase (intervale)
-Amplitudinea irului de date este:
0,0850minmax xxw
-Se determin amplitudinea unei clase:
0,0141667k
wxxx i
-Prin gruparea datelor se obine deci urmtorul tabel cuprinznd i frecvenele absolute simple
ale celor 6 clase:
De la
Pana la
Valoarea
central,xci
Frecvena
absolut simpl,
ni
30,947 30,961167 30,95408333 2
30,96116667 30,975333 30,96825 3
30,97533333 30,9895 30,98241667 5
30,9895 31,003667 30,99658333 5
31,00366667 31,017833 31,01075 3
31,01783333 31,032 31,02491667 2
Total 20
-Se determin media aritmetic a datelor:
9895.3020
11 6
11
i
iic
k
i
iicnxnx
nx
-Se determin abaterea medie ptratic corectat a valorilor dimensiunilor din eantion:
Media ptratic:
3495217.96036
11 6
1
2
1
22 i
ici
k
i
icip nxnxn
x
= 960,3491103
Dispersia corectat:
70,00043307)(1
222
xxn
ns p
Abaterea medie ptratic corectat:
2ss 0,020810514
-Se determin valorile variabilelor normale normate pentru limitele claselor distribuiei
experimentale precum i valorile funciei de repartiie teoretice normale normate pentru aceste
limite:
37-2,042236900
s
xxz 0,0197
2
10)37-2,0422369()0( ZZ FF
92-1,361491211
s
xxz 0,352
2
11)92-1,3614912()1( ZZ FF
46-0,680745622
s
xxz 0,242
2
12)46-0,6807456()2( ZZ FF
033
s
xxz 5.0
2
130)3( ZZ FF
60,6807456444
s
xxz 0,758
2
14)60,68074564()4( ZZ FF
21,3614912955
s
xxz 0,9162
2
15)21,36149129()5( ZZ FF
72,0422369366
s
xxz 0,9803
2
16)72,04223693()6( ZZ FF
-Se determin valorile frecvenelor relative teoretice (densitile de probabilitate) pentru
valorile variabilelor normale normate calculate anterior (pentru fiecare clas n parte):
0,3323011 FFf ; -0,11122 FFf
0,258233 FFf ; 0,258344 FFf ;
0,1582455 FFf 0,0641566 FFf ;
Se calculeaz statistica:
70,21244550
1
2
2
k
i i
iiC
fn
fnn
Numrul gradelor de libertate ale distribuiei este:
3126 lpk
n care:
k=6, numrul de intervale (clase) n care au fost grupate datele;
p=2, numrul de parametri calculai pentru determinarea valorii 2C ; s-au determinat doi
parametri: media aritmetic x i abaterea medie ptratic s .
l=1, numrul de relaii independente dintre frecvenele claselor;
nnk
i
i 1
; sau: 11
k
i
if .
Valoarea limit a funciei 81,72 05,0;32
; .
-Deoarece valoarea calculat 81,770,21244550 2 05,0;32
;
2 C , se afirma cu
P=95%ca seria studiata are o distributie normala
Partea II
Din esantionul aleator initial de volum n=20 se farmeaza patru esantoane a cate 5 pese
N1=N2=N3=N4=5
-Se cere sa se verifice omogenitatea mediilor cello patru esantioane ,se va verifica cu
testul Cochran, Hartiey omogenitatea dispersiilor. Media aritmetica testul Abbe.
Esantionul
aleator N1 N2 N3 N4
30,999 30,999 30,995 30,980 31,002
30,975 30,975 31,005 30,979 31,032
30,965 30,965 30,954 31,024 31,007
30,980 30,980 31,000 30,985 30,975
30,947 30,947 31,016 30,982 30,995
30,995 Media pieselor
31,005 30,9732 30,994 30,99 31,0022
30,954 959,3391 960,628 960,3801 961,1364
31,000 Patratele mediilor patratice
31,016
30,980 960,938 960,69 959,7604 961,124
30,979 959,4506 961,31 959,6984 962,98502
31,024 958,8312 958,1501 962,4886 961,43405
30,985 959,7604 961 960,0702 959,45063
30,982 957,7168 961,9923 959,8843 960,69003
31,002
31,032 959,3394 960,6285 960,3804 961,13675
31,007 22
1
1ipii XX
ns
30,975 21s
2
2s 2
3s 2
4s 30,995
0,000392 0,000598 0,000391 0,000454
Testul Cochran
Se observ c 0,0005982maxs i deci valoarea calculat a statisticii este:
0,325891........ 222
2
1
2
m ax
k
Csss
sC
Valoarea tabelat a statisticii este:
6287.005,0;14;4;; CC vk
Dispersiile sunt omogene cu o probabilitate %9595,005,011 P
Testul Hartley
Se aleg 2max is =0,000598
2min is =0,000391;
Se calculeaz statistica de decizie:
2
2
min
max
i
i
Cs
s
H =0.325891
Deoarece 2.1905,0;44 H se accept ipoteza dispersiile sunt omaogene
%9595,005,011 P .
-Se accept ipoteza 0H cu o probabilitate 1P dac
kinC HH ; ;
-Se respinge ipoteza : 0H , dac k
inC HH ; ;
Testul Abbe
Testul Abbe const n determinarea valorii statisticii:
k
i
i
k
i
ii
CA
1
2
1
1
2
1
2
1
Esanton media pieselor ii XX 1 2
1 ii XX 21
1
1
n
i
ii XX
1 30,9732 0,0004 0,00415
0,0006
2 30,994 -0,004 0,0000
3 30,99 0,0122 0,0001
4 31,0022
X XX i 2
XX i 2
1
n
i
ii XX
30,98985
-0,01665 0,00028
0.00045 0,00415 0,00002
0,00015 0,00000
0,01235 0,00015
Din anexa 11 se extrage valoarea tabelat a statisticii Abbe care are valoarea:
3902,001,0;4 A
Ac=0,6683371> 3902,001,0;4 A
Dac ;kC AA atunci se accept ipoteza 0H cu probabilitatea 1P ;
Dac ;kC AA atunci se respinge ipoteza 0H .
Partea III
Pentru verificarea unui lot de piese de volul N=100000 de piese se foloseste un plan de
control sstatistic simplu . Volumil esantionului este n=3 piese.
-Se considera ca lotul se accepta daca numarul se acceptare este A=3.
-Se cere sa se determine sis a se reprezinte graphic curba operative a planului de control
statistic.
-Se vor considera uratoarele valori tipice pentru proportia p de produse defecte din lant.
P1=0.11, P0=0.25, P2=0.85, P=0, P=1
-Se vor trasa separate curbele operative pentru numarul de piese defecte k=1, k=2, k=3.
-Se cere sa se traseze dreptele de acceptare si de respingere daca vor falosi un plan de
control secvential An, Rn se da riscul .
-Sa se determine pentru ambele cazuri si curba calitati medi dupa control precum si
numarul mediu de produse controlate pe lant n. Se va considera schema bilei revenite adica cazul
lanturilor de volum mare.
-Curbele operative ale planurilor de control Se observ c volumul eantionului este n=5 iar volumul lotului este N=100000. Raportul
1,000005,0100000
5
N
n. Acest lucru arat c este vorba de loturi de volum mare.
Probabilitile de acceptare se determin cu relaia:
knkA
k
k
N
knkA
k
k
Na ppCqpCAkPP
100
Aplicnd succesiv relaia se obine:
Pentru: ;1;0 qp
0A ; 1101 50500
0
0
qpCPk
na
1A ;
101105101
1010
5150
411
5
500
5
1
0
CCqpCP knkk
k
na
2A ;
10011010105101
101010
325150
322
5
411
5
500
5
1
0
CCCqpCP knkk
k
na
Pentru: ;89,0;11,0 qp
0A ; 0,5584189,011,0 500
0
0
5 k
a CP
1A ; 0,9034989,011,089,011,0 4115500
5 CCPa
2A ; 0,9887989,011,089,011,089,011,0 3225411
5
500
5 CCCPa
Pentru: ;75,0;25,0 qp
0A ; 0,2373075,025,0 500
0
0
5 k
a CP
1A ; 0,6328175,025,075,025,0 4115500
5 CCPa
2A ; 0,8964825,025,0
75,025,05,0725,0
322
5
411
5
500
5
C
CCPa
Pentru: ;15,0;85,0 qp
0A ; 0,0000815,085,0 500
0
0
5 k
a CP ;
1A ; 0,0022315,085,015,085,0 4115500
5 CCPa
2A 0,02661
15,085,015,085,015,085,0 3225411
5
500
5
CCCPa
Pentru: ;0;1 qp
0A ; 001101 50500
0
0 k
na CP ;
1A ; 00101 4115500
5
1
0
CCqpCP knkk
k
na
2A ; 0010101 3225411
5
500
5
1
0
CCCqpCP knkk
k
na
Sintetiznd rezultatele se obin datele din tabelul
p 0 0,11 0,25 0,85 1
Pa
A=0 1 0,55841 0,23730 0,00008 0
A=1 1 0,55841 0,55841 0,55841 0
A=2 1 0,98879 0,89648 0,02661 0
Curbe operative pentru diferiite planuri
de control statistic
-Variatia calitati medii dupa control
Procentul de piese defecte, p 0 0,11 0,25 0,85 1
Probabilitatea de acceptare P 1 0,95 0,5 0,15 0
Calitatea medie dupa
control, AOQ
aPp 0 0,1045 0,125 0,1275 0
N
nPp a 1 0 0,104495 0,124994 0,127494 0
Calitatea medie dupa
control, AOQL
Max
aPp 0,125
Max
N
nPp a 1
0,124994
Numarul mediu de piese controlate
aPnNNn 5 5005 50003 85001 100000
Puterea testului
9,01,011 0.9
AOQ=AOQL
A=0 0 0,06142 0,059326172 6,45E-05 0
A=1 0 0,09938 0,158203125 0,001893 0
A=2 0 0,10877 0,224121094 0,02262 0
-Numrul mediu de obiecte controlate din lot
aa PNPnn 1 aPnNNn
p 0 0,11 0,25 0,85 1
n A=0 5 44162 76271 99992 100000
A=1 5 9656 36722 99777 100000
A=2 5 1126 10356 97339 100000
Expresiile dreptelor de acceptare i respectiv de respingere sunt:
nshAn 1 ; nshRn 2
n care:
C
A
N
N
p
p
p
ph
2
1
1
2
1
1
1lg
1lg
; C
R
N
N
p
p
p
ph
2
1
1
2
2
1
1lg
1lg
; C
s
N
N
p
p
p
p
p
p
s
1
2
1
2
2
1
1
1lg
1
1lg
Pentru , rezult 21 hh .
-0,977721
lg
AN 1,255273
1lg
RN
0,7732991
1lg
2
1
p
pNS 1,661325
1
1lg
2
1
1
2
p
p
p
pNC
Se determin valorile:
75-0,58852031 C
A
N
Nh
90,755585152 C
R
N
Nh
70,46547108C
s
N
Ns
Deci, expresiile concrete ale celor dou drepte sunt
nshAn 1
nshRn 2
k= 0 1 2 3
An= -0,58852 -0,12305 0,342422 0,807893
Rn= 0,755585 1,221056 1,686527 2,151998
Reprezentarea grafic a celor dou drepte, de acceptare An i de respingere Rn.
-Lotul se accepta daca k An
-Lotul se respinge, daca k Rn
Partea IV
Se da sistemul ethnic format din elementele E1, E2, E3ca in figura.
Cunoscand valoarea cotelorale celor 3 elemente 1 , 2 , 3 se cere sa se determine fiabilitatea
pentru un timp de functionare t1=1000 h.
Cunoscand rata reparatiilor sistemului =0.8 se cere sa se determine mentenanta sistemului
pentru un timp t2=50h . Precum si disponibilitatea sistemului D pentru un timp t=t1+t2.
Se considera ca elementele sistemului respecta legea expanentiala de fiabilitate.
Se determin mai nti fiabilitile fiecrui element precum i a gruprilor de elemente.
e=2,71828183
92248354255200000000040,00000000111 t
eR
57000000008700000000000,00000000122 t
eR
00000000000000000000000,00000000133 t
eR
00000000000000000000000,00000000112
1
23 i
iRR
Fiabilitatea total a sistemului va fi:
04,0; 11 E
06,0; 33 E
06,0; 22 E
Schema structural a sistemului pentru aplicaia
02311 RRRt
Deoarece rata reparaiilor este 08,0 reparaii/or, mentenana pentru timpul de reparare
orett 502 va avea valoarea:
22 1t
t eM 1,0000000000000000000
Disponibilitatea sistemului la momentul 21 ttt va fi:
21121 1 tttttt MRRDD 1