RealizatProf. FLORESCU NICOLAE

G.S.I.A. FETEŞTI

• Ce sunt progresiile aritmetică şi geometricăCe sunt progresiile aritmetică şi geometrică??

• Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelorCum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor??

• Care este formula pentru termenul general al unei progresiiCare este formula pentru termenul general al unei progresii??

• Cum caracterizăm progresiileCum caracterizăm progresiile??

• Care este condiCare este condiţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale ţia ca 3 numere să fie elemente consecutive ale

unei unei progresiiprogresii??

• Care este formula pentru suma primilor „n” termeni ai unei Care este formula pentru suma primilor „n” termeni ai unei

progresiiprogresii??

• Cum stabilim dacCum stabilim dacă un şir căruia i se dă Să un şir căruia i se dă Snn este, sau nu, o este, sau nu, o

progresieprogresie??

ÎNTREBĂRI DE CONŢINUTÎNTREBĂRI DE CONŢINUT

•Ce sunt progresiile aritmetică şi geometricăCe sunt progresiile aritmetică şi geometrică??

•Progresia aritmeticProgresia aritmeticăă •Progresia Progresia geometricăgeometrică

Definiţie:Un şir de numere reale an pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin adăugarea unui număr r numit raţie se numeşte progresie aritmetică

Notaţie: Pentru a pune în evidenţă că şirul an, este o progresie aritmetică, se foloseşte notaţia ÷ a1, a2, a3, … ,an, …

Definiţie:Un şir de numere reale nenule bn pentru care fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu un număr nenul q numit raţie se numeşte progresie geometrică

Notaţie: Pentru a pune în evidenţă că şirul bn, este o progresie geometrică, se foloseşte notaţia ÷÷ a1, a2, a3, … ,an, …

•Cum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelorCum se definesc progresiile cu ajutorul recurenţelor??

•Progresia aritmeticProgresia aritmeticăă •Progresia Progresia geometricăgeometrică

Definiţie:Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă există r număr real astfel încât an+1= an+r oricare ar fi n≥1 .

Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie aritmetică. Progresia aritmetică este determinată de primul termen şi raţie.

Definiţie:Şirul bn , n≥1 este o progresie geometrică dacă şi numai dacă există q număr real nenul astfel încât bn+1= bn

. q oricare ar fi n≥1, b1≠0Observaţie: Recurenţa de mai sus nu determină în mod unic şirul, garantează doar faptul că şirul este o progresie geometrică. Progresia geometrică este determinată de primul termen şi raţie.

•Care este formula pentru termenul general al progresieiCare este formula pentru termenul general al progresiei??

•Progresia aritmeticProgresia aritmeticăă •Progresia Progresia geometricăgeometrică

Teoremă:Termenul general al progresiei aritmetice an , n≥1 de raţie r este: an= a1+(n-1)·r oricare ar fi n≥2 .

Teoremă:Termenul general al progresiei geometrice bn , n≥1 de raţie q , q ≠ 0 este: bn= b1·qn-1 oricare ar fi n≥2 .

•Cum caracterizăm progresiileCum caracterizăm progresiile??

•Progresia aritmeticProgresia aritmeticăă •Progresia Progresia geometricăgeometrică

Definiţie echivalentă:Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă diferenţa an+1 - an este constantă oricare ar fi n≥1 .

Caracterizare:Şirul an , n≥1 este o progresie aritmetică dacă şi numai dacă an=(an+1+ an-1) / 2 oricare ar fi n≥2 .

Definiţie echivalentă:Şirul bn , n≥1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă raportul bn+1 / bn

este constant oricare ar fi n≥1 .Caracterizare:Şirul bn , n≥1 de numere nenule este o progresie geometrică dacă şi numai dacă (bn)2 =bn+1· bn-1 oricare ar fi n≥2Observaţie:Şirul bn , n≥1 de numere nenule strict pozitive este o progresie geometrică dacă şi numai dacă

1 1n n nb b b , oricare ar fi n≥2 .

•Care este condiCare este condiţia ca 3 numere să fieţia ca 3 numere să fie

elemente consecutive ale unei elemente consecutive ale unei progresiiprogresii??

•Progresia aritmeticProgresia aritmeticăă •Progresia Progresia geometricăgeometrică

Condiţie:Condiţia ca numerele a,b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este:

2b = a+c

Condiţie:Condiţia ca numerele nenule a,b şi c să fie termeni consecutivi ai unei progresii geometrice este:

b2 = ac

•Care este formula pentru suma primilorCare este formula pentru suma primilor

nn termeni termeni a aii unei unei progresiiprogresii??

•Progresia aritmeticProgresia aritmeticăă •Progresia Progresia geometricăgeometrică

Teoremă:Dacă pentru progresia aritmetică (an) n≥1 se notează cu Sn suma primilor n termeni, adică: Sn=a1+a2+a3+…+an atunci Sn=(a1+an)· n / 2

Teoremă:Dacă pentru progresia geometrică(bn) n≥1 de raţie q, se notează cu Sn suma primilor n termeni, adică: Sn=b1+b2+b3+…+bn atunci: Sn=nb1 pentru q=1 şiSn=b1(qn-1) / (q-1), pentru q≠1

Cum stabilim dacCum stabilim dacă un şir căruia i se dă Să un şir căruia i se dă Snn este, sau nu, o progresie este, sau nu, o progresie??

•Progresia aritmeticProgresia aritmeticăă •Progresia Progresia geometricăgeometrică

Pasul 1:Calculăm Sn-1

Pasul 2:Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general anPasul 3:Calculăm diferenţa an - an-1 şi dacă diferenţa este constantă (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie aritmetică, în caz contrar, nu va fi o progresie aritmetică

Pasul 1:Calculăm Sn-1

Pasul 2:Calculăm diferenţa Sn - Sn-1 şi vom obţine formula termenului general bnPasul 3:Calculăm raportul bn/ bn-1 şi dacă raportul este constant (nu depinde de n) atunci vom avea o progresie geometrică, în caz contrar, nu va fi o progresie geometrică.

APLICAŢIIAPLICAŢII

APLICAŢIIAPLICAŢII

1. Fie şirul 1nnb cu termenul general :

1n,23b nn

a) Să se stabilească, dacă şirul dat este o progresie geometrică, calculând primii cinci termeni.

b) Î n caz afirmativ, stabiliţi care din numerele :

24, 96 şi 123 este termen al progresiei ?

APLICAŢIIAPLICAŢII

2. Progresia geometrică 1nn )b( de raţie q este definită

prin anumite elemente date.

Determinaţi în fiecare din cazuri elementele cerute:

a) 4q , 8n , 49152b8 . Calculaţi 1b şi 8S ;

b) 1b1 , 512bn , 341Sn . Calculaţi n;

c) 510 S33S . Calculaţi 6

12

SS

.

APLICAŢIIAPLICAŢII