SEGMENT ORIENTAT. VECTOR LIBER

Definitia 2.1.1 Numim segment orientat orice pereche ordonata (A, B) Vom folosi notatia pentru acest segment,carui reprezentare grafica este data în fig. 1.Punctul A se va numi originea segmentului orientat iar B vârful sau extremitatea. Daca puntele A si B sunt diferite atunci acestea determina în mod unic odreapta care se numeste dreapta suport a segmentului orientat.Daca C = D atunci convenim sa numim segmentul orientat (C, D) = = = segment orientat nul. Este evident ca un segment orientat nul nu determina în mod unic o dreapta, ceea ce face ca în acest caz sa spunem ca orice dreapta care trece prin punctul C este o dreapta suport a segmentului

O

Aa

VECTORI

DeDefiniţiefiniţie: Un vector este un segment de dreaptă orientat.

Caracteristicile unui vectorCaracteristicile unui vector:- dreapta suport ( ) sau direcţia vectorului;- punctul de aplicaţie (O);- sensul vectorului ( de la O câtre A );- valoarea numerică sau modulul vectorului dată de

lungimea segmentului exprimată în unităţi de măsură. Modulul vectorului se notează sau simplu

OAa

a

EGALITATEA VECTORILOR

Doi vectori sunt consideraţi egali dacă au dreptele suport paralele, acelaşi sens şi module egale.

a

b

Vectorii se pot compune folosind :

Metode geometriceMetoda analitică

A) Metodele geometrice sunt :

Regula paralelogramului Regula triungiului Regula poligonului

REGULA PARALELOGRAMULUI Regula paralelogramului este cea mai

cunoscută metodă de compunere a doi vectori concurenţi.

A compune vectorii a şi b înseamnă a găsi modulul şi orientarea vectorului rezultant : c = a + b .

a

b

a

b

Regula paralelogramului are următoarele etape :1. Se translatează (se deplasează paralel cu ei înşişi ) vectorii

a şi b până au origine comună

2. Se construieşte paralelogramul care are ca laturi cei doi vectori :- prin vârful lui a se duce paralelă la b

- prin vârful lui b se duce paralelă la a3. Se construieşte vectorul sumă c ( este diagonala paralelogramului dusă

prin originea vectorilor )

c

Vectorul sumă c are următoarele caracteristici :

- originea comună cu originile celor doi vectori a şi b ;

- direcţia de-a lungul diagonalei paralelogramului;

- sensul dat de săgeată ;- modulul egal cu lungimea diagonalei

paralelogramului.

Caz particular Cei doi vectori au direcţii perpendiculare În acest caz paralelogramul devine un

dreptunghi şi putem calcula modulul c aplicând teorema lui Pitagora.

a

b

c² = a² + b²ca

b

COMPUNEREA (ADUNAREA) VECTORILOR

DEFINIŢIE: Operaţia de adunare a doi vectori, numită şi compunerea lor, are drept rezultat un vectorun vector numit suma lor.

REGULA PARALELOGRAMULUI

REGULA TRIUNGHIULUI

a

b

a

b

REGULA TRIUNGHIULUI Regula triunghiului este o metodă de compunere a doi vectori.

Regula triunghiului are următoarele etape:1. Se translatează un vector ( b ) până când originea lui va fi în

vârful celuilalt vector ( a )2. Se uneşte originea primului vector a cu vârful lui b şi se obţine

vectorul sumă c

a

b

a

b

c

Cazuri particularea) Cei doi vectori au direcţii perpendiculare Se poate calcula modulul c cu terema lui

Pitagora

a

b

a

b

cc² = a² + b²

b) Vectorii au aceeaşi orientare (aceeaşi direcţie şi acelaşi sens)

Modulul c este egal cu suma modulelor a şi b.

a b a b

c = a + b

c

c) Vectorii au aceeşi direcţie şi au sensuri opuse

Modulul c este egal cu diferenţa dintre modulele a şi b.

a ab

bc

c = a - b

REGULA POLIGONULUI Regula poligonului este folosită pentru a

aduna 3 sau mai mulţi vectori.Etapele sunt :1. Se translatează vectorul b cu originea în

vârful vectorului a , apoi se translatează vectorul c cu originea în vârful vectorului b şi mai departe

2. Vectorul sumă s uneşte originea primului vector cu vârful ultimului vector

aa

b b

c c

s

1a 2a

3a

12a 23a

s

REGULA POLIGONULUI

231312321 aaaaaaas

CONCLUZIE: ADUNAREA VECTORILOR ARE PROPRIETĂŢILE DE COMUTATIVITATE ŞIASOCIATIVITATE

SCĂDEREA VECTORILOR

a

b

bac

a

b

abd

cd

Observaţie: scăderea vectorilor nu este comutativă

B) Metoda analitică Metoda anlitică este folosită pentru a aduna

doi sau mai mulţi vectori.Etapele metodei sunt :1. Se alege un sistem de două axe de

coordonate xoy2. Se proiectează vectorii pe axe şi se

calculează componentele lor (folosind funcţiile trigonometrice )

3. Se calculează componentele vectorului sumă de pe cele două axe (sumă algebrică).

Proiecţiile din sensul pozitiv al axei se iau cu semnul “+”,celălalte se iau cu semnul “-”.

4. Se calculează modulul vectorului rezultant cu relaţia : R =

R² + R²

F1

F2

y

x

F1y

F1x

F2X

F2y

α

β

RX = F2X – F1X

y

xRX

RY = F1Y – F2Y

RY

R = R²X + R²Y

R

ÎNMULŢIREA UNUI VECTOR CU UN SCALAR

0;k akb ;

aO

O

aO

O

b

ab

0;k akb ;

ab

b

Prin înmulţirea unui vector cu un scalar se obţine tot un vector ce are:- Aceeaşi direcţie cu direcţia vectorului iniţial;- Acelaşi sens cu sensul vectorului iniţial dacă scalarul este pozitiv; sens contrar sensului vectorului iniţial dacă scalarul este negativ;- Modulul egal cu produsul dintre modulul vectorului iniţial şi scalar.

PRODUSUL SCALAR A DOI VECTORI

Produsul scalar a doi vectori este un scalar egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin cosinusul unghiului dintre ei.

a

b

cosabbap

Observaţie:

Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.Produsul scalar pentru doi vectori perpendiculari este nul.

Produsul scalar prezintă proprietatea de comutativitate:

cosababba

PRODUSUL VECTORIAL A DOI VECTORI

a

bbac

Rezultatul produsului vectorial a doi vectori este tot un vector ce are caracteristicile:-Direcţia perpendiculară pe planul determinat de cei doi vectori;- Sensul dat de regula burghiului: “ se pune burghiul perpendicular pe planul determinat de cei doi vectori şi de roteşte pentru a suprapune primul vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt. Sensul de înaintare al burghiului este şi sensul vectorului produs vectorial”;- Modulul vectorului produs vectorial este egal cu produsul modulelor celor doi vectori prin sinusul unghiului dintre ei.

sinabc

Observaţie:

Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.Produsul vectorial pentru doi vectori coliniari este nul.

Produsul vectorial a doi vectori nu are proprietate de comutativitate.

abba

w

a

a

aw

;waa

7a unităţi wa

7

VERSORUL UNUI VECTOR

Versorul (vectorul unitar) al unui vector a

are direcţia şi sensul vectorului a

, iar modulul egal cu unitatea.

VALOAREA NUMERICĂ A SUMEI DE DOI VECTORI

a

bbac

20cos ccccc o

bbabbaaababa

22 cos2 bababbabbaaa

222 cos2 babac

CAZURI PARTICULARE

a

b

c

1. Vectori paraleli şi de acelaşi sens:

bababac 22 20

a

b

bad

VALOAREA NUMERICĂ A DIFERENŢEI DE DOI VECTORI

bad

20cos ddddd o

bbabbaaababa

22 cos2 bababbabbaaa

222 cos2 babad

COMPONENTA ŞI PROIECŢIA UNUI VECTOR PE O AXĂ

O x

A B

v

xv

M

ABAMx ll cos cosvv ixx

vv

Ox axa pe v i vectorulucomponenta reprezintă -v

xşi este un vector

-vxşi este un număr real

reprezintă proiecţia vectorului v

pe axa Ox

O xAB

a

xa

M

ABAMAMx lll cos cos cosaa

ili ABxx

aa

Ox axa pe a i vectorulucomponenta reprezintă -a

xşi este un vector

-a xşi este un număr real

reprezintă proiecţia vectorului a

pe axa Ox