Post on 28-Nov-2015
Universitatea Politehnica TimişoaraFacultatea de ConstrucţiiDepartamentul de Construcţii Metalice şi Mecanica Construcţiilor
ĂPLĂCI CURBE SUBŢIRI
- CURS 2 -
Ecuaţiile plăcilor curbe subţiri
Conf dr ing Adrian CIUTINA
Ecuaţiile plăcilor curbe subţiri
Conf.dr.ing Adrian CIUTINA
STAREA DE EFORTURI ÎN PCS
Plăcile curbe subţiri pot constitui structura de rezistenţă a unor construcţii de acoperişuri rezervoare şi gazometre caroserii de vehiculeconstrucţii de acoperişuri, rezervoare şi gazometre, caroserii de vehicule şi corpuri de nave.
PCS sunt construcţii spaţiale atât din punct de vedere geometric cât şi static. Starea de eforturi este spaţială, iar eforturile după direcţia normală la placă nu se determină pe baza teoriei elasticităţii ci plecând de la teoria simplă de încovoiere.
Prin urmare starea de eforturi din placă se poate defini prin funcţii cu dublă variabilitate a sistemului de coordonate.
Dimensionarea unei PCS implică:Calculul de rezistenţă (determinarea eforturilor interioare din acţiunile exterioare);Calculul de stabilitate (verificarea stării de echilibru a formei deformate a plăcii).
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
CALCULUL DE REZISTENŢĂ
Calculul de rezistenţă constă din rezolvarea matematică a ecuaţiilor cu diferenţiale parţiale care descriu condiţiile de echilibru şi de deformabilitate ale structurii.
Ecuaţiile de echilibru static se scriu pe porţiuni izolate, prin secţionarea plăcii, sub acţiunea forţelor exterioare şi a eforturilorsecţionarea plăcii, sub acţiunea forţelor exterioare şi a eforturilor interioare.
Forţele marginale ale plăcii sunt distribuite în conformitate cu condiţiile de rezemare marginale şi sunt în echilibru cu acţiunilecondiţiile de rezemare marginale şi sunt în echilibru cu acţiunile exterioare.
Marginile plăcii se consideră rigide atunci când pot prelua forţe după orice direcţiesemi-rigide dacă nu pot prelua decât forţe în planul tangent al suprafeţeimargini libere sau nerigidizate.g g
Din punctul de vedere al încovoierii, marginile plăcii pot fi articulatesau încastrate.
E ţiil d d b hilib l i i t i i diţiil d
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
Ecuaţiile deduse pe baza echilibrului interior şi a condiţiilor de deformabilitate se numesc ecuaţiile plăcilor curbe subţiri.
CALCULUL DE REZISTENŢĂ
Forma ecuaţiilor diferenţiale ale PCS depind în mare măsură de sistemul de coordonate ales:
Studiul unei anumite suprafeţe în sistemul de coordonate adecvat (suprafeţe cilindrice – coordonate cilindrice, cupole – coordonate sferice etc.))Studiul unei anumite suprafeţe în sistemul de coordonate dat (suprafeţe cu proiecţia în plan orizontal un dreptunghi prin coordonate rectangulare)Studiul unei anumite suprafeţe într-un sistem de coordonate generalStudiul unei anumite suprafeţe într-un sistem de coordonate general (calculul tensorial)
Determinarea stării de eforturi într-o PCS se poate face prin două teoriiTeoria de membrană presupune că în orice secţiune normală laTeoria de membrană presupune că în orice secţiune normală la
suprafaţa mediană apar numai eforturi secţionale situate în suprafaţa mediană şi tangentă la aceasta.
Starea de tensiune ce rezultă este plană şi din cauza similitudinii cu starea de tensiune dintr-o peliculă şi se numeşte stare de membrană.
Învelitoarea se consideră ca un mediu flexibil şi inextensibil alcătuit
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
Învelitoarea se consideră ca un mediu flexibil şi inextensibil alcătuit sin elemente diferenţiale legate între ele prin articulaţii sferice.
CALCULUL DE REZISTENŢĂ
În stadiul de membrană repartiţia eforturilor unitare normale seeforturilor unitare normale se consideră constante pe grosimea pânzei.
Teoria de încovoiere se consideră dacă condiţiile stării de membranăTeoria de încovoiere se consideră dacă condiţiile stării de membrană nu sunt îndeplinite şi ca urmare în afara eforturilor secţionale tangente la suprafaţa mediană apar şi eforturi secţionale normale.
ÎÎn orice secţiune normală la suprafaţa mediană apar momente încovoietoare, momente de răsucire şi forţe tăietoare. Placa este rigidă atât la acţiunea forţelor axiale cât şi la momentele încovoietoare.ţ ţ ş
PCS se consideră alcătuită din elemente diferenţiale de grosime egală legate prin articulaţii cilindricelegate prin articulaţii cilindrice orientate după normalele la suprafaţa mediană.
Repartiţia eforturilor unitare normale este neuniformă iar calculul
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
Repartiţia eforturilor unitare normale este neuniformă iar calculul acestora se face pe baza condiţiilor de compatibilitate statică şi a deformaţiilor.
IPOTEZE SIMPLIFICATOARE
Pentru calculul practic al PCS se admit următoarele tipuri de ipoteze simplificatoare:
Ipoteze de natură geometrică:Grosimea PCS este constantă sau variază continuuGrosimea PCS este mică în comparaţie cu celelalte dimensiuniGrosimea PCS este mică în comparaţie cu celelalte dimensiuniDeplasările sunt mici în comparaţie cu celelalte dimensiuniIpoteza lui Bernoulli: punctele situate pe o normală la suprafaţa mediană înainte de deformaţie rămân şi după deformaţie pe o dreaptămediană înainte de deformaţie rămân şi după deformaţie pe o dreaptă care este normală la suprafaţa mediană deformată.
Ipoteze privind natura materialului:ăMaterialul este continuu, omogen, izotrop, elastic şi respectă legea lui
Hooke generalizată conform teoriei elasticităţiiIpoteze privind eforturile unitare:
Repartiţia eforturilor unitare normale pe grosimea plăcii este liniarăEforturile unitare normale σz pe suprafaţa mediană sunt neglijabile, adică σz =0.
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
Ipotezele de mai sus stau la baza stării de încovoiere.
IPOTEZE SIMPLIFICATOARE
Ipoteze simplificatoare suplimentare pentru condiţiile aplicării teoriei de membrană:
Datorită grosimii mici de placă, rigiditatea la încovoiere EI este neglijabilă şi deci se pot neglija momentele încovoietoare Influenţa deformaţiilor asupra eforturilor secţionale este neglijabilă şi ţ ţ p ţ g j şdeci la baza scrierii ecuaţiilor de echilibru stă configuraţia geometrică iniţială nedeformată, adică după teoria de ordinul I.Încărcările sunt distribuite continuu, iar forţele care acţionează asupra marginilor sunt dirijate în planul tangent la suprafaţa mediană.
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ÎNCĂRCĂRILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRI
La fel ca în cazul uzual al construcţiilor, solicitările PCS sunt fie rezultatul acţiunii forţelor – încărcări directe, fie al acţiunii deformaţiilor –încărcări indirecte.
Încărcările permanente – greutatea proprie, greutatea elementelor nestructurale. Se introduc în calcule prin componentele dirijate normal p p jla suprafaţa mediană şi cele două direcţii în planul tangent la suprafaţă.Încărcările utile – greutatea utilizatorilor, mobilier, materiale depozitate, presiunea gazelor corespunzătoare funcţiunii pentru care PCS a fost
Încărcările climatice – cuprind acţiunile exterioare din zăpadă, vânt şi variaţiile din temperatură
p g p ţ pconstruită.
ţ pÎncărcările din vânt – se estimează conform normativelor în vigoare. Este foarte importantă evaluarea corectă a acţiunii vântului. O evaluare eronată a acestei acţiuni poate conduce la cedarea PCS cu înălţime ţ p ţmare (turnuri de răcire, coşuri de fum etc.). Pentru forme deosebite ale PCS trebuie considerate mai multe ipoteze de încărcare la vânt. Acţiunea vântului poate fi simulată în tuneluri aerodinamice.
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ÎNCĂRCĂRILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRI
Acţiunea vântuluiAcţiunea vântului
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ÎNCĂRCĂRILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRI
Acţiunea din zăpadă – se estimează conform normativelor în vigoare. Se ia în calcul ca o încărcare verticală repartizată orizontal. Trebuie considerate caracteristicile acesteia (strat niform la înclinări <50°considerate caracteristicile acesteia (strat uniform la înclinări <50°, aderentă pentru înclinări între 50 şi 70° şi alunecă la înclinări > 70°), densităţi sporite daca este umedă (4kN/m3) sau dacă e îmbibată cu apă (8kN/m3) De asemenea trebuie considerate zonele expuse la(8kN/m ). De asemenea, trebuie considerate zonele expuse la
aglomerare cu zăpadă.
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ÎNCĂRCĂRILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRI
Acţiunea din variaţiile de temperaturăVariaţiile de temperatură sunt importante în general la structurile static nedeterminate. Principalele forme de manifestare a variaţiilor de temperatură ca acţiuni pe structuri sunt:
- variaţiile de temperatură exterioare, - variaţiile de temperatură între interior şi exterior- variaţiile de temperatură între diferite părţi ale aceluiaşi element.
Variaţiile de temperatură sunt amplificate de acţiunea directă a razelor de soare, care depinde de culoarea, natura şi orientarea suprafeţei expuse.
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEforturile secţionaleEforturile secţionale
Se izolează din PCS un element diferenţial definit de patrulaterul curbiliniu ortogonal PORS şi se consideră sistemul de axe rectangular xzy tangente la liniile de coordonate curbilinii:
α1 = const.α2 = constα2 = const.
Eforturile unitare care apar în elementul izolat se d d ă l Odescompun după axele Oxyz şi se neglijează eforturile unitare:
0z zy zxσ τ τ≈ ≈ =Eforturile secţionale se ţ
obţin prin însumarea eforturilor unitare care acţionează pe grosimea
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
acţionează pe grosimea plăcii pe unitatea de lungime
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEforturile secţionaleEforturile secţionale
⎛ ⎞'AB ⎛ ⎞
Mărimea ariei diferenţiale ABCD se exprimă prin:
'1x xx
zdA AB BC dS dzr
⎛ ⎞= ⋅ = − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠' '; 1xx
x x x
r zAB zAB dSdS r r
⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
În mod similar: 1 zdA dS dz⎛ ⎞
= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
Prin însumare se obţine:
În mod similar: '1y yy
dA dS dzr
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
'1g
x y x yzN dS dS dzσ
+ ⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟∫x y x y
yg r−⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
Deoarece dSy nu depinde de variabila z, rezultă:'1
g
x xzN dzr
σ+ ⎛ ⎞
= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫yg r−
⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
În mod similar avem şi: '1g
y yxg
zN dzr
σ+
−
⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
Eforturi normale
g ⎝ ⎠
'1g
xy xyyg
zN dzr
τ+
−
⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫g+ ⎛ ⎞
Eforturi de lunecare
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
'1g
yx yxxg
zN dzr
τ+
−
⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEforturile secţionaleEforturile secţionale
'1g
x xzM z dzr
σ+ ⎛ ⎞
= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
∫Deoarece în general ' 'yg r−
⎜ ⎟⎝ ⎠ general
'1g
y yxg
zM z dzr
σ+ ⎛ ⎞
= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
∫Momentele de încovoiere
' 'x yr r≠
înseamnă căxg− ⎝ ⎠
'1g
xy xyyg
zM z dzr
τ+
−
⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
M t l d
xy yxN N≠
xy yxM M≠
'1g
yx yxxg
zM z dzr
τ+
−
⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
Momentele de răsucire
⎛ ⎞
Iar între ele există relaţia:
' 'xy yx
xy yx
M MN N
r r− = −
'1g
x xzyg
zT dzr
τ+
−
⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∫g+ ⎛ ⎞
Forţele tăietoare
x yr rOBS: Principiul dualităţii se respectă numai la tensiunile tangenţiale nu şi
'1g
y yzxg
zT dzr
τ+
−
⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
numai la tensiunile tangenţiale nu şi în privinţa eforturilor secţionale.
OBS: În cazul respectării condiţiilor de membrană, numărul total de zece
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
OBS: În cazul respectării condiţiilor de membrană, numărul total de zece necunoscute se reduce la trei: Nx, Ny şi Nxy=Nyx
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEforturile secţionaleţ
Convenţia de semne folosită este următoarea:Componentele încărcării x şi y sunt p ş ycrescătoare dacă acţionează în sensul α1 şi α2. Încărcarea z pozitivă este cea orientată către centrul de curburăNx şi Ny sunt pozitive dacă sunt de întindereNxy şi Nyx sunt pozitive dacă tind să lungească diagonala OSlungească diagonala OSMx şi My sunt pozitive dacă întind fibra intradosuluiM şi M sunt pozitive dacă rotescMxy şi Myx sunt pozitive dacă rotesc secţiunile α1=const. şi α2=const. în sens orar Tx şi Ty sunt pozitive dacă sunt dirijate spre
t d l lă iiextradosul plăcii.
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de echilibruEcuaţiile de echilibru
Se consideră un element diferenţial din suprafaţa mediană nedeformată a unei plăci curbe subţiri încărcată prin componentele încărcării exterioare X, Y, Z aplicate static şi de eforturile secţionale.
Se vor scrie trei ecuaţii de proiecţii de proiecţii şi trei de momente în raport cu axele α1 şi α2 şi normale pe planul medianraport cu axele α1 şi α2 şi normale pe planul median.
Lungimile arcului diferenţial sunt:
dS OR Adα= = ' 1AdS PS A d dα α⎛ ⎞∂
= = +⎜ ⎟1 1xdS OR Adα= =
2 2ydS OP A dα= =
1 2 12
xdS PS A d dα αα
= = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠' 2
2 1 2yAdS RS A d dα αα
⎛ ⎞∂= = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
y1α∂⎝ ⎠
Pentru A1 şi A2 s-au folosit următoarele notaţii:
1 2A E iar A G= =E F i G fi i ii i i f
2 2 2x y z⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂E, F şi G sunt coeficienţii primei forme
pătratice a lui Lamé: 1 1 1
x y zEα α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 2x y z⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂x x y y z zF ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ +
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
2 2 2
x y zGα α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 2 1 2 1 2
y yFα α α α α α
= + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de echilibruEcuaţiile de echilibru
Ecuaţiile de proiecţie pentru forţele axiale, tăietoare şi de lunecare:
0 0 0X Y Z∑ ∑ ∑0; 0; 0X Y Z= = =∑ ∑ ∑Notaţiile din figura de mai sus
ăt l ifi ţiiau următoarele semnificaţii:( )2'
1 2 2 1 1 2x
x x
N AN N A d N N d dα α α
α∂⎡ ⎤
= = +⎢ ⎥∂⎣ ⎦1α∂⎣ ⎦( )1'
2 1 1 2 2 12
yy y
N AN N Ad N N d dα α α
α
⎡ ⎤∂= = +⎢ ⎥
∂⎢ ⎥⎣ ⎦2⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2' xT AT T A d T T d dα α α∂⎡ ⎤
= = +⎢ ⎥( )2' xyN A
N N A d N N d dα α α⎡ ⎤∂
= = +⎢ ⎥1 2 2 1 1 21
x xT T A d T T d dα α αα
= = +⎢ ⎥∂⎣ ⎦
( )1'2 1 1 2 2 1
yT AT T Ad T T d dα α α⎡ ⎤∂
= = +⎢ ⎥
12 2 2 12 1 21
xy xyN N A d N N d dα α αα
= = +⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦
( )1'21 1 1 21 2 1
yxN AN N Ad N N d dα α α
⎡ ⎤∂= = +⎢ ⎥
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
2 1 1 2 2 12
y yT T Ad T T d dα α αα
+⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦
21 1 1 21 2 12
yx yxN N Ad N N d dα α αα
+⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de echilibruEcuaţiile de echilibru
Acţiunea momentelor de încovoiere şi răsucire asupra elementului diferenţial de placă:
Ecuaţiile de echilibru de
0xM =∑
momente sunt:
0yM =∑0M =∑ 0zM =∑
Componentele eforturilor secţionale proiectate după axele x, y şi z sunt date în tabelul de mai jos Prin însumarea pe coloane şi simplificări
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
sunt date în tabelul de mai jos. Prin însumarea pe coloane şi simplificări se obţin ecuaţiile diferenţiale de echilibru.
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de echilibruEcuaţiile de echilibru
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de echilibruEcuaţiile de echilibru
Pentru ecuaţiile de echilibru de mai jos se admite că:α1 şi α2 sunt linii de curbură principale
( ) ( )11 N AN A TA A⎡ ⎤∂∂ ∂ ∂
1 2
r’x= rx devin raze principale
razele de răsucire r’xy= r’
yx →∞
0X∑( ) ( )12 2 1
1 2 1 1 2 2
1 0yxx xy xy
x
N AN A TA AN N XA A rα α α α
⎡ ⎤∂∂ ∂ ∂− + + − + =⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦( ) ( )1 21 21 0y xy yN A N A TA A⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂
⎢ ⎥
0X =∑
0Y =∑( ) ( )1 21 2
1 2 2 2 1 1
1 0y xy yx yx
y
A AN N YA A rα α α α
∂ ∂− + + − + =⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦( ) ( )221 0y yx x
T A NT A N Z⎡ ⎤∂∂
+ + + +⎢ ⎥
0Y =∑
0Z =∑( ) ( )1 2 1 2
0yx
x y
ZA A r rα α
+ + + + =⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦( ) ( )12 2 11 0yxx M AM A A AM M T
⎡ ⎤∂∂ ∂ ∂+ + =⎢ ⎥ 0M∑
0Z∑
1 2 1 1 2 2
0y xy xM M TA A α α α α
− + + − =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦( ) ( )1 21 21 0y xy
x yx y
M A M AA AM M TA A
⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂− + + − =⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥
0xM =∑
0yM =∑
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
1 2 2 2 1 1x yx yA A α α α α∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
y∑
0zM =∑' 'xy yx
xy yxx y
M MN N
r r− = −
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de echilibruEcuaţiile de echilibru
Ultima ecuaţie reprezintă o identitate, prin urmare avem un sistem de 5 ecuaţii distincte cu 10 necunoscute, problema fiind de 5 ori static nedeterminată.
În cazul particular al stării de membrană, ecuaţiile de mai sus se simplifică mult când avem:simplifică mult, când avem:
0x y xyM M M= = = 0x yT T= = 0xy yxN N= =Ecuaţiile au următoarele forme:
În cazul particular al suprafeţelor de rotaţie se fac următoarele notaţii:
( ) ( )12 2 1
1 2 1 1 2 2
1 0yxxy xy
N AN A A AN N XA A α α α α
⎡ ⎤∂∂ ∂ ∂− + + + =⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤
ţ
1 1
2 2
x
y
r rr r
α ϕα θ
→ →→ →
( ) ( )1 21 2
1 2 2 2 1 1
1 0y xyx yx
N A N AA AN N YA A α α α α
⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂− + + + =⎢ ⎥
∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦Pentru suprafeţe cilindrice una din raze
0yx
x y
NN Zr r
+ + =devine infinită:Iar variabila φ se înlocuieşte cu variabila
1r →∞
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
şliniară x.
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de deformaţiiEcuaţiile de deformaţii
Starea de deformaţii a unei PCS este definită dacă se cunosc deplasările unui punct de pe suprafaţa mediană şi variaţia acestor deplasări în jurul punctului respectiv.
Deformaţiile în PCS pot fi:Deformaţii extensionale în planul suprafeţei tangenteDeformaţii extensionale în planul suprafeţei tangenteDeformaţii flexionale în afara planului suprafeţei tangente
Deformaţiile unui punct după axele α1(x), α2(y) şi z se notează cu u,v şiDeformaţiile unui punct după axele α1(x), α2(y) şi z se notează cu u,v şi w şi sunt pozitive dacă se produc în sensul pozitiv al axelor respective.
Deformaţiile extensionale ale suprafeţei mediane sunt date în figura d i j i i dde mai jos şi cuprind:
Alungiri specifice εx şi εy
Lunecarea specifică γxyp γxy
Alungirile specifice εx şi εy :Lungimea arcului OR=dSx se modifică în cursul deformaţiei din cauza
i ţi i dif it d l ă il t l O i R
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
variaţiei diferite a deplasărilor punctelor O şi R.
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de deformaţiiEcuaţiile de deformaţii
xx x
uu ds us s uε
∂+ −
Δ∂ ∂ ∂= = =,x u
x x xds ds sε = = =
∂( ) 1 1
,1
x xxx v
vs vds d
ρ ω ρ ωε
ρ ω ρ+ ∂ − ∂Δ∂
= = =
, , ,x x u x v x wε ε ε ε= + +
1x x xds dρ ω ρ
( )' '1 1
, ' '1
x xxx w
x x x
r w rs wds r r
ψ ψε
ψ
− ∂ − ∂Δ∂= = = −
∂
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de deformaţiiEcuaţiile de deformaţii
, , , 'x x u x v x wu u ws r
ε ε ε ερ
∂= + + = + −
∂ x x xs rρ∂În mod analog, dacă se fac permutările x-z şi u-v avem:
'y y u y v y wv u wε ε ε ε ∂
= + + = + −∂, , ,y y u y v y wx y ys rρ∂
Lunecarea specifică ρxz măsoară modificarea unghiului iniţial drept în urma deformaţiilor u,v,w prin:ţ p
xy xy yxγ α α= +α α α α= + +
Unghiul α se ia pozitiv dacă corespunde unei
, , ,xy xy u xy v xy wα α α α= + + creşteri şi negativ în caz contrar
,xy ux
uαρ
= −
xvv ds v∂
+ − v u wα ∂= − −De unde
,
xx
xy vx x
s vs
αρ
∂ ∂= =
∂1w wγ∂
'xyx x xys r
αρ
=∂De unde
În mod u v wα ∂= − −
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
1, 'xy w
x xs rγα = − = −
∂ similar 'yxy y yxs r
αρ
=∂
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de deformaţiiEcuaţiile de deformaţii
2u v u v w∂ ∂Având în vedere faptul că r’
xy= r’yx obţinem pentru γ expresia:
'
2xy
y x x y xy
u v u v ws s r
γρ ρ
∂ ∂= + − − −∂ ∂
Deformaţiile extensionale εx , εy şi γxy se pot transcrie în funcţie de y ycoeficienţii A1 şi A2:
1'
1 1 1 2 2
1 1x
x
Au wvA A A r
εα α
∂∂= ⋅ + ⋅ ⋅ −
∂ ∂1 1 A∂∂ 2
'2 2 1 2 1
1 1y
y
Av wuA A A r
εα α
∂∂= ⋅ + ⋅ ⋅ −
∂ ∂
2A Au v w⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂1 2'
2 2 1 1 1 2
2xy
xy
A Au v wA A A A r
γα α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de deformaţiiEcuaţiile de deformaţii
Deformaţiile flexionale la nivelul suprafeţei mediane se referă la variaţia pantelor tangentelor la liniile de coordonate x şi y ( ), rotaţiei în hţ p g ş y ( ), ţjurul normalei la suprafaţă ( ) şi curburii .
hzh k
Variaţia pantelor tangentelor la liniile de coordonate x şi y se notează cu şi Variaţia tangentei la arcul OR esteh h h
' ' ' '1 1
1x
x xy x x xy
u v w u v whr r s r r A α
∂ ∂= + + = + + ⋅
∂ ∂
cu şi . Variaţia tangentei la arcul OR este . xh yh xh
y y
În mod analog se găseşte ' ' ' '2 2
1y
y xy y y xy
v u w v u whr r s r r A α
∂ ∂= + + = + + ⋅
∂ ∂R t ţi î j l l i i tă hi l di t bi thRotaţia în jurul normalei reprezintă unghiul dintre bisectoarea
unghiului iniţial drept şi bisectoarea unghiului rotit.zh
( )90 1α α− − ( )90 1452 2xy yx
z yx xy yxhα α
α α α= − − = −
1z
v u u vh⎛ ⎞∂ ∂
= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟Dacă, xy yxα α=
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri
2zx x y ys sρ ρ
⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ atunci avem 0zh =
ECUAŢIILE PLĂCILOR CURBE SUBŢIRIEcuaţiile de deformaţiiEcuaţiile de deformaţii
Curbarea reprezintă modificarea curburii, adică diferenţa între curbura finală şi cea iniţială .
k'r 'rş ţ
Variaţia curburii normale kx şi ky sunt date de:
1 1 yx zhh hk ∂
+ 1 1 yh h h∂' ''
yx zx
x x xyx
kr x rr ρ
= − = + −∂
Dacă o suprafaţă mediană se încovoaie atunci ea se şi răsuceşte, iar i ţi b ii l ă i (t i ) t
' ''
1 1 y x zy
y y yxy
h hkr y rr ρ
= − = + −∂
variaţia curburii la răsucire (torsiune) este :xyk
' '
1 12 2
y yx x zx
h hh h hk⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂
= + + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥
Mărimile t t i î f ţi d
, , ,z x y xyh k k k2 2x
y x x y x ys s r rρ ρ ⎜ ⎟∂ ∂ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ se pot transcrie în funcţie de coeficienţii primei forme patratice.
Concluzie: în ecuaţiile de deformaţii s-au exprimat mărimileConcluzie: în ecuaţiile de deformaţii s au exprimat mărimile
în funcţie de deplasările u, v şi w prin 9 ecuaţii cu 12 necunoscute., , , , , , , ,x y xy x y z x y xyh h h k k kε ε γ
Adrian Ciutina, Plăci curbe subţiri