Post on 14-Aug-2015
description
Paralelogramul
Definitie
Patrulaterul in care laturile opuse sunt paralele doua cate doua se numeste paralelogram
A B M N
D C
R P E F
H G
Elementele paralelogramului:
*varfuri : A,B,C,D.
A B
D C
Elementele paralelogramului:*varfuri : A,B,C,D.*laturi :AB,BC,CD,AD. A B
D C
Elementele paralelogramului:
*varfuri,
*laturi,
*unghiuri, A B
D C
DAB, ABC, BCD, CDA.
Elementele paralelogramului:
*varfuri,
*laturi, A B
*unghiuri,
*diagonale.
O
D C
Teorema 1 Un patrulater este paralelogram daca si numai
daca laturile opuse sunt congruente doua cate doua.
A B
D C
[AB]≡[CD] [AD]≡[BC]
Teorema 2
Un patrulater este paralelogram daca si numai daca doua laturi opuse sunt paralele si congruente
[AB]≡[CD]
AB//C D A B
D C
Teorema 3
Un patrulater este paralelogram daca si numai daca unghiurile opuse sunt congruente doua cate doua.
ABC≡CDA A B
DAC≡BCD
D C
Teorema 4
Un patrulater este paralelogram daca si numai daca punctul de intersectie al diagonalelor este mijlocul fiecareia.
[AO]≡[OC] A B
[DO]≡[OB]
O
D C
Aplicatii1.In paralelogramul ABCD cunoastem: AB=2cm, BC=5cm. Calculati
perimetrul paralelogramului.
2.In paralelogramul EFGH cunoastem: EF=3cm, FG=8cm. Calculati
perimetrul paralelogramului.
3.Unghiul <MNP al paralelogramului MNPR are masura de 60˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.
4. Unghiul <A’B’C’ al paralelogramului A’B’C’D’ are masura de 110˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.
5.Aratati ca intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua.
6.In paralelogramul ABCD se stie ca m(<ABD)=45˚ si m(<ADB)=65˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.
7.In orice triunghi linia mijlocie determinata de mijloacele a doua laturi este paralela cu a treia latura.
8. Lungimea liniei mijlocii determinate de mijloacele a doua laturi ale unui triunghi este egala cu jumatate din lungimea celei de-a treia laturi.
1.In paralelogramul ABCD cunoastem: AB=2cm, BC=5cm. Calculati
perimetrul paralelogramului.
Se da: ABCD-paralelogram A B
AB=2cm
BC=5cm
Se cere: P=? D C
Rezolvare:
Din ABCD-paralelogram=> AB=CD=2cm
BC=AD=5cm
P=AB+BC+CD+DA=2cm+5cm+2cm+5cm=14cm.
3.Unghiul <MNP al paralelogramului MNPR are masura de 60˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.Se da: MNPR-paralelogram M N
m(<MNP)= 60˚Se cere: m(<NPR)=?
m(<PRM)=? m(<RMP)=? R P
Rezolvare:Din MNPR-paralelogram=> MN //PR , MR //NP
<MNP≡<MRP <RMN≡<RPN
m(<MNP)= m(<PRM)=60˚Din MN //RP si NP secanta=> m(<MNP) + m(<NPR)=180˚=>
=> m(<NPR)= 180˚- m(<MNP) => => m(<NPR)= 180˚- 60˚ => => m(<NPR)= 120˚=> m(<RMP)= 120˚
5.Aratati ca intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate doua. A B
Se da: ABCD-paralelogramSe cere:[AB]≡[CD]
[BC]≡[AD]
D C
Rezolvare: In paralelogramul ABCD construim diagonala [DB]. Din definitia paralelogramului, avem ca AD //BC si BD secanta, obtinem
<ADB≡<CBD.Analog, AB //DC si BD secanta obtinem <ABD≡<CDBIn triunghiurile ABD si CDB avem: <ADB≡<CBD <ABD≡<CDB =>∆ABD≡∆CDB => DB=BD latura comuna => [AB]≡[CD]
[BC]≡[AD]
6.In paralelogramul ABCD se stie ca m(<ABD)=45˚ si m(<ADB)=65˚. Calculati masurile unghiurilor paralelogramului.
Se da: ABCD paralelogram
m(<ABD)=45˚ D C
m(<ADB)=65˚
Se cere: m(<ABC)=?
m(<BCD)=?
m(<CDA)=? A B
m(<DAB)=?
Rezolvare:
In triunghiul ABD m(<A)=180˚- m(<ABD)- m(<ADB)= 180˚- 45˚ -65˚=70˚
In paralelogramul ABCD avem: m(<A)= m(<C)= 70˚
AB // DC si AD secanta => m(<CDA)+ m(<DAB)= 180˚ => m(<CDA)= 180˚ - m(<DAB)=
=180˚ - 70˚=110˚
Dar in paralelogramul ABCD avem m(<CDA)= m(<ABC)=110˚
7.In orice triunghi linia mijlocie determinata de mijloacele a doua laturi este paralela cu a treia latura.
A
Se da: ∆ABC
M mijlocul lui [AB]
N mijlocul lui [AC] M N P
MN linie mijlocie
Se cere: MN //BC
Rezolvare: B C
Prin C ducem o paralela la AB care intersecteaza MN in P.
Din AB // CP si AC secanta => <MAN≡<PCN (alterne interne) ULU
Dar <ANM≡<CNP (opuse la varf) =>∆AMN≡∆CPN=>
Si [AN]≡[NC]
=>[AM]≡[PC]
Dar [AM]≡[MB] => [MB] ≡ [PC] si cum MB // PC =>MPCB paralelogram=>
=>MN //BC .
8. Lungimea liniei mijlocii determinate de mijloacele a doua laturi
ale unui triunghi este egala cu jumatate din lungimea celei de-a treia laturi.
Se da:∆ABC A
M mijlocul lui [AB]
N mijlocul lui [AC] M N
MN linie mijlocie
Se cere:MN=BC/2
Rezolvare: B P C
Fie P mijlocul laturii [BC]=>NP linie mijlocie =>NP //AB
Dar MN linie mijlocie =>MN //BC =>
=>MNPB paralelogram=> [MN] ≡[BP]
BP=BC/2 (P mijlocul laturii [BC]) =>
=>MN=BC/2