Post on 07-Jul-2018
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
1/44
Noţiuni din
teoriaerorilor
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
2/44
La efectuarea oricărei lucrări delaborator vom avea de măsurat careva
mărimi ziceMăsurările pot :
1. Directe
2. Indirecte.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
3/44
Măsurările directeMăsurăile se numesc directe, dacă ele se efectuează
nemijlocit cu ajutorul aparatului de măsură.
Distanţa dintre punctele A şi B se măsoară direct cuajutorul riglei.
Exemplu: impul t !n care un automo"il parcurge distanţa dela A p#nă la B o măsurăm direct cu ajutorul cronometrului.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
4/44
Măsurări indirecte
$iteza automo"ilului nu poate fi măsurată direct. %entru amăsura această &iteză, tre"uie să măsurăm distanţa dintre
punctele A şi B 'măsurare directă(, timpul !n care automo"ilul parcurge această distanţă 'la fel, măsurare directă(, apoi, ştiind căv )S/t , putem determina &iteza automo"ilului. Astfel de măsurărise numesc indirecte.
Măsurările se numesc indirecte, dacă mărimea fizică nu semăsoară cu ajutorul aparatului de măsură, dar se calculează cuajutorul unor mărimi fizice măsurate direct, care se află !ntr*ocare&a relaţie matematică cu mărimea care tre"uie măsurată.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
5/44
+a efectuarea măsurărilor fizice, oric#t de minuţioase ar fiele, totdeauna se comit erori. Erorile se comit deoarece nu existăun aparat de măsură a"solut exact. rice aparat de măsură are o
care&a precizie a sa. -iar şi ociul omului nu este un aparat demăsură perfect.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
6/44
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
7/44
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
8/44
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
9/44
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
10/44
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
11/44
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
12/44
De ce trebuie să cunoaştem erorile?
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
13/44
mmax)/00 t
1 x)/0 t
m)23 tmmax)20 t
roiectarea unuipod
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
14/44
repararea medicamentelor lafarmacie
+a prepararea unui medicament, se amestecă c#te&acomponente. -omponentele tre"uiesc c#ntărite cu o care&a
precizie. Dacă precizia este mai mică dec#t cea necesară,atunci medicamentul nu mai lecuieşte, dar din contra. De aceea
tre"uie să cunoaştem eroarea care a fost comisă la c#ntărire.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
15/44
%recizia măsurărilor poate fi apreciată cu ajutorul erorilor a"solutăşi relati&ă.
4e numeşte eroare absolută ∆x mărimea egală cu modulul
diferenţei dintre &aloarea ade&ărată a mărimii măsurate X şi&aloarea o"ţinută !n urma măsurării x.
Exemplu:
Eroarea a"solută are aceleaşi unităţi de măsură ca şi
mărimea fizică măsurată.
x X x∆ = −
5, 53 m 5,56 m x∆ = −
0,0/ m x∆ =
5, 56 m x =
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
16/44
Este mult sau puţin73 m. x∆ =
3 m. x∆ =
3 m. x∆ =
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
17/44
Deci, eroarea a"solută !ncă nu ne &or"eşte pe deplin c#t de "ine au fost efectuate măsurările. De aceia a&em ne&oie de acalcula o altă eroare, numită eroare relati&ă.
4e numeşte eroare relativă ε mărimea egală cu raportuldintre eroarea a"solută şi modulul &alorii ade&ărate amărimii măsurate:
Eroarea relati&ă nu are unităţi de măsură şi se exprimă deo"icei !n procente:
%utem scrie: ε )0,/8 sau ε )/89 'este corect şi una şi alta(.
x
X
ε ∆
=
/009 x X
ε ∆= ×
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
18/44
3 m. x∆ =
3 /009/00000
ε = ×
0,0039ε =
3/009
/0
ε = ×
309ε =
/009 x
X ε
∆= ×
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
19/44
Erorile măsurărilor se !mpart !n
• !rori sistematice"
• !rori #nt$mplătoare %aleatoare&"
•
!rori 'rosolane.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
20/44
Erori sistematice sunt erorile carerăm$n constante at$t ca valoare c$t şi casemn( sau se modică după o anumită le'e #n
urma măsurărilor repetate ale aceleiaşimărimi zice.!)emplu
1
*el pu+in una din ri'le indică 'reşit lun'imeade 2, cm. Măsur$nd cu această ri'lă(permanent vom comite aceiaşi eroare
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
21/44
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
22/44
Erori întâmplătoare sunt erorile care #şi scimbă valoarea şi semnul de la omăsurare la alta.
-. In/uen+e necontrolabile ale mediului%varia+ii ale temperaturii( scimbarea
curen+ilor de aer&.
0unt determinatede :1. lipsa de precizie acitirilor indica+iilorinstrumentelor de
măsură"2. Imperfec+iunea
or'anelor de sim+ alee)perimentatorului"
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
23/44
Reducerea influenţei erorilor întâmplătoare
Deoarece erorile !nt#mplătoare !şi scim"ă&aloarea şi semnul de la o măsurare la alta, dacăse efectuează un număr mare de măsurări, atunci
numărul &alorilor mai mari dec#t cele reale practic se egalează cu numărul &alorilor maimici. De aici rezultă că influenţa erorilor
!nt#mplătoare poate fi micşorată efectu#nd unnumăr c#t mai mare de măsurări.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
24/44
Erori grosolane
sunt a"aterile mari ale rezultatelor măsurărilor faţăde celelalte &alori măsurate.Exemplu:l (cm) (3 (4 1 (2 ( (- (, (3 (5
-auzele erorilor grosolane:•utilizarea greşită a mijloacelor de măsurare,•aparate defecte,•
neatenţia experimentatoruluiErorile grosolane se depistează şi se elimină dinşirul &alorilor o"ţinute la măsurate
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
25/44
Media aritmetică
%entru a determina erorile a"solută sau relati&ă amăsurărilor este necesară &aloarea ade&ărată a mărimiimăsurate X . Această mărime, # nsă, # n cele mai dese
cazuri nu este cunoscută. Dacă mărimea fizică x
a fostmăsurată de N ori şi # n urma măsurărilor au fosto"ţinute rezultatele x/, x5, x, ; x
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
26/44
Erorile a"solute o"ţinute la fiecare măsurare sunt
Eroarea a"solută medie este
=nsă erorile !nt#mplătoare pot a&ea &alori at#t poziti&e
c#t şi negati&e. Astfel, pentru un număr mare demăsurări . De aceea mărimea nu descrieeroarea măsurărilor efectuate.
Mărimea cea mai indicată pentru descrierea erorilor
măsurărilor este eroarea standard a medieiaritmetice:
/ / 5 5, , ...,
N N ∆ ∆ ∆ x =x-x x =x-x x =x-x
/ 5 :
/
... / N N i
i
x x x x x
N N =
∆ + ∆ + ∆ + + ∆∆ = = ∆∑ x
0∆ → x ∆ x
( ) ( )
5
/
/
/
N
s i
i
x x N N =
∆ = ∆−
∑
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
27/44
>ezultatul final o"ţinut !n urma măsurărilor se !nscriesu" forma
?nter&alul &alorilor de la p#nă lase numeşte interval de încredere.
s x x x= ± ∆
s x x x= − ∆ s
x x x= − ∆
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
28/44
Exemplu>ezistenţa unui rezistor a fost măsurată de N )/0 ori, şi aufost o"ţinute rezultatele:
R(Ω) @0 @/ @6 @ @@ @@ @ @5 @3 @8$aloarea medie a rezistenţei este:
Eroarea standard a mediei aritmetice :
>ezultatul final al celor /0 măsurări este R)'@8/( C
Această expresie arată că &aloarea ade&ărată a rezistenţei
"o"inei este cuprinsă !ntre @ C şi @3 C.
/0
/
D /0i
i
R R=
= ∑
( )@0 @/ @6 @A @@ @@ @: @5 @3 @8 D/0 @8,:E R = + + + + + + + + + =
( )5/0
/
/0,A@ /E
/0 2 s i
i
R R R=
∆ = − =×
∑ "
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
29/44
Dar apare !ntre"area: &aloarea ade&ărată a
rezistenţei !ntr*ade&ăr este cuprinsă !n inter&alulrespecti& sau există posi"ilitatea ca ea să fie !n afaraacestui inter&al, adică mai mare dec#t @3 C sau maimică dec#t @ C7 %entru a răspunde la această !ntre"are
tre"uie să introducem noţiunea de ni&el de !ncredere.Nivel de încredere al măsurării P Fse numeşte
pro"a"ilitatea cu care se poate afirma, că &aloarea
ade&ărată a mării măsurate X se află !n inter&alul de!ncredere o"ţinut.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
30/44
4e poate demonstra că, pentru un număr suficient de
mare de măsurări, &aloarea ade&ărată a mărimii măsurate X se află !n inter&alul de !ncredere
%entru a !nscrie inter&alul de !ncredere cu un ni&el de!ncredere mai mare se introduc coeficienţii lui 4tudentt ' P F,k ( care depind de ni&elul de !ncredere P F şi denumărul de măsurări N 'k ) N */ se numeşte numărulgradelor de li"ertate(.
numai !n cazul unui ni&el de !ncredere P F)0,6.
Deci, !n exemplul de mai sus putem spune cărezistenţa rezistorului se află !n inter&alul de la @ C p#nă la @3 C cu pro"a"ilitatea de 0,6.
s x x x= ± ∆
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
31/44
Astfel, dacă se cere ca rezultatele măsurărilor să fieindicate cu un anumit ni&el de !ncredere, atuncirezultatul final se !nscrie su" forma:
=n ta"elul următor sunt prezentate &alorile t ' P F,k ( pentru diferite ni&ele de !ncredere şi pentru diferite
&alori ale numărului k .
( ), s x x x t P k ∗= ± ∆ ×
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
32/44
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
33/44
Exemplu=n exemplul precedent, efectu#nd /0 măsurări ale
rezistenţei unui rezistor, am o"ţinut rezultatul final R)'@8/( C. >ezultatul o"ţinut !ntr*o care&a măsură nu aresens, deoarece noi nu cunoaştem care este pro"a"ilitatea că!ntr*ade&ăr rezistenţa o"ţinută are &aloarea cuprinsă !ntre @C şi @3 C. Dacă s*ar cere un ni&el de !ncredere P F)0,222,atunci din ta"el o"ţinem t ' P F,k () t '0,222G 2()8,@3. =n acestcaz
Astfel, R)'@83( C.
Deci, rezistenţa "o"inei este cuprinsă !n inter&alul de!ncredere de la 62 C p#nă la @2 C cu un ni&el de !ncredere P F)0,222. Aceasta !nseamnă că pro"a"ilitatea ca &aloareaade&ărată a rezistenţei să depăşească inter&alul de !ncredererespecti& este mai mică dec#t 0,/ 9.
( )G 8,@A3 / 8,@A3 3 E s R t P k R∗∆ = ∆ = × = ≈
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
34/44
Măsurări indirecte
%#nă acum am studiat erorile măsurărilor directe.
Hie că mărimea fizică Z se află !ntr*o care&a relaţiematematică cu mărimile x, y,u,v . Deci, Z ) f ' x, y,u,v (. Efectu#ndo serie de măsurări directe ale mărimilor fizice x, y,u,v , se potdetermina &alorile medii ale acestora şi erorile lor
standard: Itiliz#nd &alorile medii ale mărimilor x, y,u,v se calculează &aloarea medie a mărimii Z .4e poate demonstra că eroarea standard a mediei aritmetice !n
acest caz este:
E&ident, rezultatul final se prezintă !n forma
, , , x y u v
, , , s s s s x y u∆ ∆ ∆ ∆ v.
55 5 5
5 5 5 5
s s s s s
Z Z Z Z Z x y u
x y u
∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ÷ ÷ ÷ ÷∂ ∂ ∂ ∂ v
v
( ), s Z Z t P k Z ∗= ± × ∆
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
35/44
Metoda celor mai mici pătrate
Deseori o mărime fizică poate fi determinată cu ajutorulgraficului funcţiei liniare
Y ) pX Jb.Mărimea p reprezintă panta dreptei, iar termenul li"er b K punctul
de intersecţie a dreptei cu axa Y .%entru construirea graficului sunt necesare n puncte
experimentale, adică n pereci de &alori experimentale ale mărimilor X şi Y . Deseori &alorile X /, X 5, ;, X
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
36/44
%ro"lema constă !n determinarea acelor &alori ale parametrilor p şi b, pentru care dreapta cel mai "ine &a trece prin punctele experimentale. 4e poate demonstra că &alorile optimeale parametrilor p şi b se o"ţin atunci c#nd suma pătratelora"aterilor de la dreaptă, adică mărimea
este minimă. De aici şi denumirea: metoda celor mai micipătrate. Din condiţia de minim a sumei rezultă următoarele&alori ale parametrilor p şi b:
5
/
' (n
i i
i
Y pX b=
− −∑
/
5
/
' (
' (
n
i i
i
n
i
i
X X Y p
X X
=
=
−=
−
∑∑
b Y pX = −
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
37/44
%entru erorile standard şi erorile relati&e ale pantei şitermenului li"er se o"ţin relaţiile:
Dacă !ntr*o experienţă concretă este necesar de a determina punctul de intersecţie al dreptei cu axa a"sciselor X 0, atunci,din expresia Y ) pX Jb &edem că pentru Y )0, o"ţinem:
X 0)*b p
% &
% & % &
n
i ii
s n
i
i
Y pX b p
n X X
6
6
7 7D 8
7 7
9
9
2
1
2
1
1
s p
p
pε
∆=
( )
( ) 5
5
/
5
/
/
/
n
i i
i
s n
i
i
Y pX b X
bn n
X X
=
=
− − ÷ ÷∆ ≈ +
− ÷− ÷
∑∑
s
b
b
bε
∆=
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
38/44
Metodă alternati&ă de e&aluare a erorilormăsurărilor indirecte
"sernd că eroarea relati&ă ε=1 x X reprezintă raportul dintre eroarea a"solută şi&aloarea ade&ărată a mărimii fizice, pentru
e&aluarea ei se logaritmează dependenţa studiată,apoi se diferenţiază şi semnul diferenţialei se!nlocuieşte cu semnul erorii a"solute, o"ţin#ndu*
se o formulă ce permite e&aluarea foarteaproximati&ă a erorii comise la măsurărileindirecte.
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
39/44
Exemplu:
Măsurarea acceleraţiei gra&itaţionale g .%erioada oscilaţiilor unui pendul gra&itaţional simplu
este
Din ultima relaţie &edem că pemtru a calcula
acceleraţia gra&itaţională tre"uie să măsurăm perioadaoscilaţiilor şi lungimea pendulului.%entru a calcula erorile comise procedăm astfel:
'/(5 l
T g π =
5
5
8 l
g T
π
=⇒
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
40/44
5
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
41/44
/. +ogaritmăm expresia '/( :
5. Diferenţiem expresia o"ţinută
'/(
=n fizică a&em constante exacte şi constante aproximati&e. =nformula '/( L este o constantă aproximati&ă, iar 8 este o constantă
exactă. -onstantele aproximati&e introduc erori !n calcul, cele exacte Knu introduc. De aceea constantele aproximati&e le &om consideramărimi &aria"ile, iar cele exacte K mărimi constante. Deoarecediferenţiala constantei este egală cu zero, din '5( o"ţinem:
'5(ln g =
( )ln x ′ =
( )lnd x =
ln 8 + 5 lnπ + ln l 5lnT −
( )5 x ′ =
( )5d x =
( )sin x ′ =
( )sind x =
5
5
8 l g
T
π =
5 x
5 xdx
cos x
cos xdx
/
x dx x
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
42/44
. 4cim"ăm semnele *N !n JN şi d N !n 1N:
'5(
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
43/44
Dacă mărimea fizică a fost măsurată doar o singurădată, atunci eroarea a"solută a mărimii măsurate esteegală cu eroarea aparatului de măsură.
Eroarea aparatului de măsură se &a considera egală cu
jumătate din pre ul celei mai mici di&iziuni alețaparatului.
'(5 T T
∆+ g g ∆ = 5 π
π
∆ l l
∆+
8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor
44/44