Ministerul EducaŃiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul NaŃional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la Matematică Model

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.

1

Examenul de bacalaureat 2012 Proba E. c)

Proba scrisă la MATEMATICĂ

Model Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaŃională, profilul militar, specializarea matematică - informatică.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. DeterminaŃi numărul elementelor mulŃimii { }| 1| 24A x x= ∈ + ≤ℤ .

5p 2. DeterminaŃi coordonatele punctelor de intersecŃie a dreptei 2 1y x= − cu parabola 22 3 1y x x= − + .

5p 3. RezolvaŃi, în mulŃimea numerelor reale, ecuaŃia 3 1 7 1x x+ = + .

5p 4. Se consideră mulŃimea { }1,2, ,10A = … . DeterminaŃi numărul de submulŃimi cu 3 elemente ale

mulŃimii A, submulŃimi care conŃin exact 2 numere impare.

5p 5. DeterminaŃi ecuaŃia mediatoarei segmentului [ ]AB , unde ( )1, 2A − şi ( )3,4B .

5p 6. Ştiind că 0,2

xπ ∈

şi

1cos2

3x = , calculaŃi sin x .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuaŃii

2

2

2

0

0

0

x my m z

mx m y z

m x y mz

+ + =

+ + = + + =

, unde m∈ℝ .

5p a) DeterminaŃi valorile lui m pentru care determinantul matricei sistemului este nul.

5p b) ArătaŃi că, pentru nicio valoare a lui m , sistemul nu are o soluŃie 0 0 0( , , )x y z cu 0 0 0, ,x y z

numere reale strict pozitive.

5p c) ArătaŃi că rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi m∈ℝ .

2. Pe mulŃimea ℝ se defineşte legea de compoziŃie ( )1

12

x y x y xy= + − +∗ .

5p a) VerificaŃi dacă legea de compoziŃie ,,

,,* este asociativă.

5p b) ArătaŃi că legea de compoziŃie ,,

,,* admite element neutru.

5p c) RezolvaŃi ecuaŃia 3x x x =∗ ∗ .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcŃia ( ) 3: , 3 2f f x x x→ = − +ℝ ℝ .

5p a) CalculaŃi ( )

lim( )x

f x

f x→+∞ −.

5p b) DemonstraŃi că funcŃia f este descrescătoare pe intervalul [ ]1,1− .

5p c) DeterminaŃi m∈ℝ pentru care ecuaŃia ( )f x m= are trei soluŃii reale distincte.

2. Se consideră şirul ( )1 2

1 0, (1 )

nn nnI I x dx

≥= −∫ .

5p a) CalculaŃi 2I .

5p b) DemonstraŃi că şirul ( )1n n

I≥

este convergent.

5p c) DemonstraŃi că ( ) 12 1 2n nn I nI −+ = , pentru orice 2n ≥ .