Fizica fluidelorCursul 1

Victor E. Ambrus,

Universitatea de Vest din Timis,oara

04.10.2017

Capitolul I. Fluidele la scala mezoscopica

I I.1. Ecuat, ia Boltzmann.

I I.2. Teorema H s, i distribut, ia Maxwell-Boltzmann.

I I.3. Ecuat, ii de transport.

1.1. Ecuat, ia Boltzmann.1.1.1. Introducere.

I Fluidele sunt corpuri materiale fara forma proprie care, sub influentaunor forte exterioare relativ mici, pot capata deformatii oricat demari, luand forma recipientului solid ın care se gasesc.

I Lichidele reprezinta fluide care sunt practic incompresibile si subactiunea fortelor gravitationale iau forma vasului ın care exista fara aumple acest vas.

I Spre deosebire de lichide, gazele sunt fluide la care fortele decoeziune sunt mult mai mici ca la lichide si care umplu ın totalitaterecipientul ın care se gasesc, oricare ar fi forma si dimensiunea lui.

1.1.2. Formalismul Hamilton pentru sisteme de particulemateriale

I In general, fluidele pot fi privite ca ansambluri de particulepunctiforme care interact, ioneaza ıntre ele, precum s, i cu mediulexterior, la distant, a s, i/sau prin coliziuni.

I Unui sistem de N particule i se poate asocia un spat, iu al fazeloravand 6N dimensiuni: (3N pentru pozit, iile xi s, i alte 3N pentruimpulsurile pi ).

I Presupunand ca interact, iunile ıntre constituent, i, precum s, i dintreconstituent, i s, i mediu, sunt conservative, evolut, ia acestora va fi datade ecuat, iile lui Hamilton:

xi = ∇piH, pi = −∇xi H,

unde H =∑N

i=1 Ti + V reprezinta suma tuturor energiilor cineticeTi = p2

i /2m, ımpreuna cu potent, ialul total V ≡ V (x1, x2, . . . , xN).

1.1.2. Ecuat, ia Liouville.

I Pentru cazul ın care distribut, ia init, iala e cunoscuta doar aproximativ,descrierea sistemului se poate face folosind funct, ia de distribut, iefN(x, p, t), unde fN(x, p, t)dNxdNp reprezintaprobabilitatea ca sistemul sa se gaseasca ın elementul de volumdNx dNp din spat, iul fazelor ın jurul punctului (x1, . . . xN ,p1, . . .pN).

I Avand ın vedere ca traiectoriile din spat, iul fazelor nu seintersecteaza, fN se conserva pe liniile de curent.1

I Evolut, ia lui fN este data de ecuat, ia Liouville:

dfNdt

= ∂t fN + [fN ,H] =∂fN∂t

+N∑i=1

(pi

m· ∇xi fN + Fi · ∇pi

fN)

= 0.

(1)

1Vezi notit,ele de la cursul de fizica statistica.

1.1.3. Ecuat, ia Boltzmann

I In general, sistemele mezoscopice cont, in un numar foarte mare departicule (NA ' 6.02× 1023 mol−1).

I Pentru a elimina aceste grade de libertate, se poate defini funct, ia dedistribut, ie uniparticula f (x,p, t) prin integrarea dupa gradele delibertate ale particulelor 2, . . .N:

f (x,p, t) =

∫dx2 . . . dxNdp2 . . . dpN fN . (2)

I Ecuat, ia Liouville (1) poate fi folosita pentru a arata ca evolut, ia lui fare forma:2

∂t f +p

m∇xf + F∇pf = J[f ],

unde termenul de coliziune J[f ] = Γ+ − Γ− reprezinta diferent, adintre particulele care, ın urma coliziunilor, intra (Γ+) sau ies (Γ−)de pe linia de curent.

2Legatura dintre ecuat, iile Liouville s, i Boltzmann se poate face folosind ierarhiaBBGKY, ınsa acest subiect depas, es, te programa aferenta acestui curs.

1.1.4. Coliziuni

I In formularea ecuat, iei care-i poarta numele, Boltzmann a facuturmatoarele presupuneri:

1. Doar coliziunile binare sunt luate ın considerare;

2. Coliziunile au loc punctual;

3. Coliziunile sunt instantanee;

4. Particulele care se ciocnesc sunt complet necorelate(Stosszahlansatz): f2(x1, x2,p1,p2, t) = f (x1,p1, t)f (x2,p2, t).

I In cele ce urmeaza, vom considera doar coliziuni perfect elastice.

1.1.4. ColiziuniI Particulele care ies de pe linia de curent reprezinta particule care au

init, ial impulsul p s, i care se ciocnesc cu o particula de impuls p∗:

Γ− =

∫dp∗dp′dp′∗δpδE

|p− p∗|m

dσ

dΩf f∗, (3)

unde p′ s, i p′∗ reprezinta impulsurile particulelor dupa ciocnire,f f∗|p− p∗|/m reprezinta fluxul de particule care interact, ioneaza,dσ/dΩ reprezinta sect, iunea diferent, iala eficace a procesului, iar δp s, iδE asigura conservarea impulsului s, i energiei totale, dupa cumurmeaza:

δp ≡ δ(p + p∗ − p′ − p′∗), δE = δ(E + E∗ − E ′ − E ′∗). (4)

I Particulele care intra pe linia de curent sunt particulele cu impuls p′,care ın urma unei coliziuni cu o particula de impuls p′∗ va aveaimpulsul p:

Γ+ =

∫dp∗dp′dp′∗δpδE

|p′ − p′∗|m

dσ

dΩf ′f ′∗ . (5)

1.2. Teorema H a lui Boltzmann1.2.1. Funct, ia H

I Fie funct, ia H definita dupa cum urmeaza:

H =

∫dxdp f ln f . (6)

I Folosind ec. (6) se poate calcula derivata temporala a lui H:

dH

dt=

∫dxdp J[f ](1 + ln f )

=1

4

∫dxdp dp∗ dp′ dp′∗ δpδE

dσ

dΩ

|p′ − p′∗|m

× (f ′f ′∗ − f f∗)(ln f + ln f∗ − ln f ′ − ln f ′∗). (7)

I Termenul de pe ultima linie poate fi pus sub forma:

(f ′f ′∗ − f f∗)(ln f + ln f∗ − ln f ′ − ln f ′∗) = f ′f ′∗

(1− f f∗

f ′f ′∗

)ln

f f∗f ′f ′∗

.

I Avand ın vedere ca (1− x) ln x ≤ 0 s, i ca dσ/dΩ ≥ 0, rezulta:

dH

dt≤ 0. (8)

1.2.2. Relat, ia cu legea a doua a termodinamicii

I Teorema H a lui Boltzmann: ıntr-un sistem izolat, funct, ia H nupoate sa creasca.

I Caracterul monoton descrescator al funct, iei H reflecta caracterulireversibil al ecuat, iei Boltzmann.

I Cu ajutorul teoremei H, se poate defini entropia specifica η = −RH.

I Legatura dintre H s, i η reprezinta o dovada a principiului al doilea altermodinamicii.

1.2.3. Invariant, i de coliziune

I Entropia ıs, i ınceteaza cres, terea cand dH/dt = 0 s, i sistemul segases, te ın echilibru termodinamic.

I Pentru a studia proprietat, ile fluidului ın echilibru termodinamic, eutil ca dH/dt sa fie exprimat dupa cum urmeaza:

dH

dt=

∫dxJ[f , 1 + ln f ], J[f , ψ] =

∫dp J[f ]ψ. (9)

I Marimile ψ pentru care J[f , ψ] = 0 se numesc invariant, i de coliziune.

I Datorita legilor de conservare a impulsului s, i a energiei, avem:

J[f , 1] = 0, J[f ,p] = 0, J[f ,p2/2m] = 0. (10)

I Condit, ia ca dH/dt = 0 implica J[f (eq), 1 + ln f (eq)] = 0, de underezulta ca 1 + ln f (eq) e o combinat, ie liniara a invariant, ilor decoliziune (10):

f (eq) = N exp[−α(p− p0)2

]. (11)

Probleme

1. Aratat, i ca

[fN ,H] =N∑i=1

(pi

m· ∇xi fN + Fi · ∇pi

fN).

2. Aratat, i ca(1− x) ln x ≤ 0.

3. Aratat, i ca 1, p s, i p2/2m sunt invariant, i de coliziune, t, inand cont dedefinit, ia lui J:

J[f ] =

∫dp∗dp′dp′∗δpδE

|p′ − p′∗|m

dσ

dΩ(f ′f ′∗ − ff∗).

4. Sa consideram o stare stat, ionara descrisa de f = f (eq). Aratat, i ca ınacest caz,

u = u0 + ω × x, T = T0, n = n0 exp[ω2x2 − (ω · x)2

],

unde n0, T0, u0 s, i ω sunt marimi constante.