Ecuatii cu derivate partiale de ordin II - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...

Clasificarea ecuatiilorEcuatii hiperbolice

Ecuatii elipticeEcuatii parabolice

Ecuatii cu derivate partiale de ordin II

Clasificare. Aducerea la forma canonica

1 Clasificarea ecuatiilor

2 Ecuatii hiperbolice

3 Ecuatii eliptice

4 Ecuatii parabolice

Clasificarea ecuatiilor

Ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordinul al doileaeste de forma

a11(x , y)∂2u∂x2 + 2a12(x , y)

∂2u∂x∂y

+ a22(x , y)∂2u∂y2 +

x , y ,u,∂u∂x,∂u∂y

)= 0, (1.1)

u = u(x , y) este functia necunoscuta,aij = aij(x , y), i , j = 1,2 sunt continue pe D ⊆ R2

f : D × R3 7→ R este continua.Presupunem ca aij nu se anuleaza simultan. Fara a restrângegeneralitatea putem presupune a11 , 0.Daca a11 = 0 si a22 , 0 prin schimbarea variabilelor între elex ′ = y si y ′ = x noua ecuatie va avea a′

11 , 0.Daca a11 = a22 = 0 atunci a12 , 0 si schimbarea de variabilex ′ = x + y , y ′ = x − y conduce la o ecuatie în care noulcoeficient al derivatei partiale de ordin doi în raport cu x ′ estenenul.

Definitia 1.1

Numim solutie a ecuatiei (1.1), pe domeniul D ⊆ R2, o functieu = u(x , y) de clasa C2 pe D, care satisface

a11(x , y)∂2u∂x2 (x , y) + 2a12(x , y)

∂2u∂x∂y

(x , y) + a22(x , y)∂2u∂y2 (x , y)

x , y ,u(x , y),∂u∂x

(x , y),∂u∂y

(x , y)

în orice punct (x , y) ∈ D.

Ecuatiei (1.1) îi asociem forma patratica h : R2 → R

h(p1,p2) = a11(x , y)p21 + 2a12(x , y)p1p2 + a22(x , y)p2

2, (1.2)

si matricea corespunzatoare

(a11(x , y) a12(x , y)a12(x , y) a22(x , y)

ce are determinantul

∣∣∣∣∣ a11(x , y) a12(x , y)a12(x , y) a22(x , y)

∣∣∣∣∣ = a11(x , y)a22(x , y)− a212(x , y).

(E) daca ∆ > 0, atunci ecuatia (1.1) este eliptica (formapatratica (1.2) este pozitiv definita daca a11 > 0 saunegativ definita daca a11 < 0),

(H) daca ∆ < 0, atunci ecuatia (1.1) este hiperbolica (formapatratica (1.2) este nedegenerata dar nedefinita ca semn),

(P) daca ∆ = 0, atunci ecuatia (1.1) este parabolica (formapatratica (1.2) este degenerata).

Efectuam o schimbare de variabile cu intentia de a aduceecuatia (1.1), în functie de tipul sau, la forma canonica. Fieschimbarea de variabile independente{

α = α(x , y),β = β(x , y),

astfel caD(α, β)

D(x , y)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂α

∂x∂α

∂y∂β

∂x∂β

∣∣∣∣∣∣∣∣ , 0 pe un domeniu D0 ⊆ D.

Notamu(α, β) = u(x(α, β), y(α, β)).

Teorema 1.1

Natura unei ecuatii cvasiliniare, cu derivate partiale de ordinulal doilea este invarianta la o schimbare de variabile.

Transformam (1.1) folosind formulele de derivare partialapentru functii compuse

∂u∂x

=∂u∂α

∂x+∂u∂β

∂u∂y

=∂u∂α

∂y+∂u∂β

∂2u∂x2 =

∂2u∂α2

(∂α

∂2u∂α∂β

∂x∂β

∂x+∂2u∂β2

(∂β

+∂u∂α

∂2α

∂x2 +∂u∂β

∂2β

∂x2 ,

∂2u∂y2 =

∂2u∂α2

(∂α

∂2u∂α∂β

∂y∂β

∂y+∂2u∂β2

(∂β

+∂u∂α

∂2α

∂y2 +∂u∂β

∂2β

∂y2 ,

∂2u∂x∂y

=∂2u∂α2

∂x∂α

∂2u∂α∂β

(∂α

∂x∂β

∂y+∂α

∂y∂β

)+∂2u∂β2

∂x∂β

+∂u∂α

∂2α

∂x∂y+∂u∂β

∂2β

∂x∂y.

Ecuatia transformata este:

a11 (α, β)∂2u∂α2 +2a12 (α, β)

∂2u∂α∂β

+a22 (α, β)∂2u∂β2 +f

(α, β, u,

∂u∂α

,∂u∂β

(1.5)unde coeficientii sunt dati de relatiile

a11 = a11

(∂α

)2+ 2a12

∂x∂α

∂y+ a22

(∂α

a12 = a11∂α

∂x∂β

∂x+ a12

(∂α

∂x∂β

∂y+∂α

∂y∂β

)+ a22

∂y∂β

a22 = a11

(∂β

)2+ 2a12

∂x∂β

∂y+ a22

(∂β

∆ = ∆ ·(

D(α, β)

D(x , y)

deci sign(

= sign (∆).

Pentru a determina α si β potriviti aducerii ecuatia (1.1) laforma canonica punem conditia ca în ecuatia transformata (1.5)o parte dintre coeficienti sa se anuleze.Impunem a11 = 0 sau a22 = 0.Problema revine la determinarea solutiilor ecuatiei cu derivatepartiale de ordinul întâi de forma

(∂z∂x

)2+ 2a12

∂z∂x· ∂z∂y

(∂z∂y

)2= 0. (1.7)

Teorema 1.2

Fie functia z = z(x , y) de clasa C1 pe domeniul D ⊆ R2, astfel

încât∂z∂y

(x , y) , 0 pentru orice (x , y) ∈ D. Daca z este o

solutie a ecuatiei (1.7) si relatia z(x , y) = C defineste implicitecuatia unei curbe y = y(x), atunci y ′ este solutie a ecuatiei degradul al doilea

a11(x , y) · (y ′)2 − 2a12(x , y) · y ′ + a22(x , y) = 0. (1.8)

Reciproc, daca y = y(x) este functie de clasa C1 a careiderivata satisface ecuatia (1.8), atunci z(x , y) = C este solutiepentru (1.7).

Ecuatia (1.8) se numeste ecuatie caracteristica iar curbelez(x , y) = C, unde z satisface (1.7) se numesc curbecaracteristice.Ecuatia caracteristica (1.8) este ecuatie de gradul al doilea înnecunoscuta y ′ iar discriminantul ecuatiei este −4∆, decinatura radacinilor acestei ecuatii depinde de semnul lui ∆. Înfunctie de tipul ecuatiei (1.1), adica de semnul lui ∆, se alegnoile variabile α, β dupa cum urmeaza.

Ecuatii hiperbolice

Daca ∆ < 0, atunci ecuatia caracteristica (1.8), ca ecuatie degradul al doilea în necunoscuta y ′, are doua are solutii realedistincte

y ′(x) =a12 ±

√−∆

Prin integrare se obtin doua familii de curbe caracteristice{z1(x , y) = C1,z2(x , y) = C2,

C1,C2 ∈ R. Facem schimbarea de variabile{α = z1(x , y),β = z2(x , y).

Deoarece z1 si z2 satisfac (1.7), iar coeficientii ecuatieitransformate (1.5) se calculeaza cu formulele (1.6), rezultacoeficientii a11 = a22 = 0 si a12 , 0.

forma canonica a ecuatiei hiperbolice:

∂2u∂α∂β

(α, β, u,

∂u∂α

,∂u∂β

). (2.2)

Daca facem schimbarea {α = ξ + η,β = ξ − η, (2.3)

si notam u(ξ, η) = u(α(ξ, η), β(ξ, η)), avem

∂u∂α

(∂u∂ξ

+∂u∂η

),∂u∂β

(∂u∂ξ− ∂u∂η

∂2u∂α∂β

(∂2u∂ξ2 −

∂2u∂η2

Obtinem astfel o alta forma canonica a ecuatiei de tiphiperbolic:

∂2u∂ξ2 −

∂2u∂η2 = f

(ξ, η, u,

∂u∂ξ

∂u∂η

). (2.4)

Exemplul 1.

Sa se aduca la forma canonica ecuatia

x∂2u∂x2 − (x + y)

∂2u∂x∂y

+ y∂2u∂y2 = 0.

Solutie. Avem

∣∣∣∣∣∣∣x −1

2(x + y)

(x + y) y

∣∣∣∣∣∣∣ = −14

(x − y)2.

Într-un domeniu D ⊂ R2 ce nu intersecteaza dreapta y = xavem ∆ < 0, deci ecuatia data este de tip hiperbolic.

Ecuatia caracteristica este

x(y ′)2 + (x + y)y ′ + y = 0,

cu solutiile y ′ = −yx

si y ′ = −1.Prin integrare, obtinem curbele caracteristicexy = C1, C1 ∈ Rx + y = C2, C2 ∈ R.Facem schimbarea de variabile{

α = xy ,β = x + y ,

∂u∂x

= y∂u∂α

+∂u∂β

,∂u∂y

= x∂u∂α

+∂u∂β

∂2u∂x2 = y2∂

2 u∂α2 + 2y

∂2u∂α∂β

+∂2u∂β2 ,

∂2u∂y2 = x2 ∂

2u∂α2 + 2x

∂2u∂α∂β

+∂2u∂β2 ,

∂2u∂x∂y

= xy∂2u∂α2 + (x + y)

∂2u∂α∂β

+∂2u∂β2 +

∂u∂α

forma canonica este

∂2u∂α∂β

− β

4α− β2∂u∂α

Exemplul 2.

x∂2u∂x2 − 4x3∂

2u∂y2 −

∂u∂x

si sa se determine solutia problemei care satisface conditiile{u(x , x2) = f (x),u(x ,−x2) = g(x),

f ,g ∈ C2(R), cu f (0) = g(0). Sa se deduca solutia în cazulparticular f (x) = x4, g(x) = −x4.

Solutie. Avem

∣∣∣∣∣ x 00 −4x3

∣∣∣∣∣ = −4x4 < 0.

Ecuatia data este de tip hiperbolic într-un domeniu ce nuintersecteaza dreapta x = 0.Ecuatia caracteristica:

x(y ′)2 − 4x3 = 0, y ′ = ±2x

y ′ = 2x ⇒ y − x2 = C1, C1 ∈ Ry ′ = −2x ⇒ y + x2 = C2, C2 ∈ R.Facem schimbarea de variabile{

α = y − x2,

β = y + x2.

Obtinem forma canonica

∂2u∂α∂β

(∂u∂β

)= 0 de unde, prin integrare în raport cu α se obtine

∂u∂β

= f (β)

si integrând acum în raport cu β deducem solutia generala:

u(α, β) =

β∫β0

f (β)dβ + ϕ(α) = ϕ(α) + ψ(β),

unde ϕ,ψ ∈ C1(R).Ecuatii cu derivate partiale de ordin II

u(x , y) = ϕ(y − x2) + ψ(y + x2),

unde ϕ,ψ ∈ C1(R).Impunem conditiile date:{

ϕ(0) + ψ(2x2) = f (x)ϕ(−2x2) + ψ(0) = g(x).

Rezulta:

ψ(x) = f

(√x2

)− ϕ(0)

ϕ(−x) = g

(√x2

)− ψ(0).

Pentru x = 0 rezulta ϕ(0) + ψ(0) = f (0) = g(0).Ecuatii cu derivate partiale de ordin II

Deducem

u(x , y) = ϕ(−(x2 − y)) + ψ(x2 + y)

u(x , y) = g

√x2 − y2

√x2 + y2

− f (0)− g(0).

Pentru f (x) = x4, g(x) = −x4, gasim solutia

u(x , y) = −(

x2 − y2

(x2 + y

= x2y .

Ecuatii eliptice

Daca ∆ > 0, atunci ecuatia caracteristica (1.8) are doua aresolutii complexe conjugate

y ′(x) =a12 ± j

√∆

Prin integrare se obtine z(x , y) = α(x , y)± jβ(x , y) = C, C ∈ R.Facem schimbarea de variabile{

α = Re z(x , y),β = Im z(x , y),

Obtinem forma canonica a ecuatiei eliptice

∂2u∂α2 +

∂2u∂β2 = f

(α, β, u,

∂u∂α

,∂u∂β

). (3.2)

Exemplul 3.

y2∂2u∂x2 + 2xy

∂2u∂x∂y

+ 2x2∂2u∂y2 + y

∂u∂y

Solutie. Avem

∣∣∣∣∣ y2 xyxy 2x2

∣∣∣∣∣ = x2y2.

Într-un domeniu D ⊂ R2 ce nu interseacteaza axele decoordonate, avem ∆ > 0, deci ecuatia data este de tip eliptic.

Ecuatia caracteristica

y2(y ′)2 − 2xyy ′ + 2x2 = 0

are solutiile y ′ =x ± jx

Prin integrare rezulta y2 − (1± j)x2 = C, adicay2 − x2 ∓ jx2 = C, C ∈ C.Efectuam schimbarea de variabile

{α = y2 − x2,

β = x2.

∂u∂x

= −2x∂u∂α

+ 2x∂u∂β

,∂u∂y

= 2y∂u∂α

∂2u∂x2 = 4x2∂

2 u∂α2 − 8x2 y2

x2∂2u∂α∂β

+ 4x2 y2

x4∂2u∂β2 − 2

∂u∂α

+ 2yx3∂u∂β

∂2u∂x∂y

= −4xy∂2u∂α2 + 4xy

∂2u∂α∂β

∂2u∂y2 = 4y2 ∂

2u∂α2 + 2

∂u∂α

Forma canonica

∂2u∂α2 +

∂2u∂β2 −

α− ββ(α + β)

∂u∂α

2β∂u∂β

Ecuatii parabolice

Daca ∆ = 0, atunci ecuatia caracteristica (1.8) are doua solutiireale egale

y ′(x) =a12

Prin integrare se obtine o singura familie de curbecaracteristice z(x , y) = C, C ∈ R.Efectuam schimbarea de variabile{

α = z(x , y)β = x .

Forma canonica

∂2u∂β2 = f

(α, β, u,

∂u∂α

,∂u∂β

). (4.2)

∂2u∂α2 = f

(α, β, u,

∂u∂α

,∂u∂β

). (4.3)

Exemplul 4.

x2∂2u∂x2 − 2xy

∂2u∂x∂y

+ y2∂2u∂y2 + x

∂u∂x

+ y∂u∂y

si sa se determine solutia problemei care satisface conditiile u(1, y) = 1− cos y ,∂u∂x

(1, y) = 2y ,

Solutie. Avem

∣∣∣∣∣ x2 −xy−xy y2

∣∣∣∣∣ = 0,

deci ecuatia data este de tip parabolic în R2.Ecuatii cu derivate partiale de ordin II

Ecuatia caracteristica este

x2(y ′)2 + 2xyy ′ + y2 = 0,

si are solutia dubla reala y ′ = −yx

, sau echivalentdyy

= −dxx

Prin integrare obtinem xy = C, C ∈ R.Efectuam schimbarea de variabile{

α = xyβ = x .

∂u∂x

= y∂u∂α

+∂u∂β

,∂u∂y

= x∂u∂α

∂2u∂x2 = y2∂

2 u∂α2 + 2y

∂2u∂α∂β

+∂2u∂β2 ,

∂2u∂x∂y

= xy∂2u∂α2 + x

∂2u∂α∂β

+∂u∂α

∂2u∂y2 = x2 ∂

2u∂α2 .

Forma canonica

β∂2u∂β2 +

∂u∂β

Notam∂u∂β

= w si atunci ecuatia precedenta devine

β∂w∂β

+ w = 0, adicadww

= −dββ

Prin integrare (considerând pe α constant) rezultaln |w | = − ln |β|+ ln |f (α)|, f ∈ C1(R).

Deci w =f (α)

βsi deci

∂u∂β

=f (α)

β, de unde obtinem solutia

generalau(α, β) = f (α) ln |β|+ g(α),

unde f ,g ∈ C1(R).Revenind la variabilele (x , y) gasim solutia generala a ecuatieidate:

u(x , y) = f (xy) ln x + g(xy), f ,g ∈ C1(R), x > 0.

Punem conditiile din enunt. Calculam

∂u∂x

= yf ′(xy) ln x + f (xy)1x

+ yg′(xy).

Conditia u(1, y) = 1− cos y implica g(y) = u(1, y) = 1− cos y .

Din∂u∂x

(1, y) = 2y deducem f (y) + yg′(y) = 2y si gasimf (y) = 2y − y sin y .

Solutia problemei este:

u(x , y) = (2xy − xy sin xy) ln x + 1− cos xy .

Ecuatii cu derivate partiale de ordin II - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...

Documents

Transcript of Ecuatii cu derivate partiale de ordin II - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/MS...

CAPITOLUL I - UCB Sustine Antreprenoriatul · 9 2. Ecua ţii diferen ţiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu y', integrabile prin metode elementare. 2.1. Ecua ţii cu variabile

Piata Internationala a Instrumentelor Derivate

Metode de Evaluare Pentru Titluri Derivate

Piete derivate

Instrumente financiare derivate

minecraft 1.8

cereale si produse derivate(2)

matematica 1 - exercitii derivate partiale si ...andrei.clubcisco.ro/cursuri/1mate1/mate1_exercitii_derivate... · matematica 1 - exercitii derivate partiale si diferentiabilitate

Analiza Produselor Derivate Ale Societatii Comerciale

Derivate Trigonometrie

Rezolvarea ecua¸tiilor si¸ sistemelor de ecua¸tii diferen ...an.lmn.pub.ro/slides2017/10b_AN_handoutWithNotes.pdf · Metode multipas explicite Metode multipas implicite Exemple

Extractia Petrolului Proiect M.C. Etapa 1.8 Si 1.9 Final

C.7& 8 1.7-1.8.pdf · Neuroleptice Clorpromazină Promazin ...

METODE NUMERICE DE SOLU|IONARE A ECUA|IILOR DIFEREN|IALE - PREZENTARE GENERAL{

[[[7]]] Cereale Si Derivate

Pentru a descărca raportul BCR, click aici [pdf; 1.8 MB]

Lapte Derivate 2014-2015

expetiza produselor derivate din leguminoase

Derivate ale functiilor

Sibex Instrumente Financiare Derivate Sibex Instrumente Financiare Derivate