Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la Matematică Varianta 7 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

1

Examenul de bacalaureat 2012

Proba E.c)

Proba scrisă la MATEMATIC Ă

BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE Varianta 7

Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică • Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător. • Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări par ţiale, în limitele punctajului indicat în barem. • Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împăr ţirea punctajului obţinut la 10.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 2 4 0x mx+ + = are soluţia 2x = 4m⇒ = − Pentru 4m = − cele două mulţimi sunt egale

3p

2p 2. 3

2 2Vb

xa

= − =

1∆ = 1

4 4Vya

∆= − = −

2p

1p

2p

3. Condiţie: 0x > 3log 03 3 1x x< ⇔ < (0,1)x∈

2p 2p 1p

4. nr.cazuri favorabile

nr.cazuri posibilep =

ab cu { }, 1,3,5,7,9a b∈ sunt 25 de numere⇒25 de cazuri favorabile

ab cu { }1,2,3,...,9a ∈ şi { }0,1,2,3,...,9b∈ sunt 90 de numere⇒90 de cazuri posibile

5

18p =

1p

2p

1p

1p

5. 3

2 3

a

a a=

−

2 6 9 0a a− + = 3a =

2p

2p

1p

6. 12ABCS =

4

abcR

S=

25

8R =

2p

2p

1p

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.a)

( )1 0 0

0 1 0

0 0 1

A π− = −

( )( )det 1A π =

3p

2p

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la Matematică Varianta 7 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

2

b)

( ) ( )( )

( )

cos cos sin sin 0 cos sin sin cos

0 1 0

cos sin sin cos 0 cos cos sin sin

x y x y i x y x y

A x A y

i x y x y x y x y

− + ⋅ = + −

, pentru orice ,x y ∈ℝ

( )( ) ( )

( ) ( )

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

x y i x y

A x y

i x y x y

+ + + = + +

, pentru orice ,x y ∈ℝ

Finalizare

3p

1p

1p c) ( ) ( )2012 2012A x A x=

( ) ( )32012 cos 2012 1A x I x= ⇔ = şi ( )sin 2012 0x =

1006

kx

π= , k ∈ℤ

2p

1p

2p

2.a) 11 2

1 12 2 12 2

xx x

x x

⋅= =

⋅ − − +� , pentru orice x G∈

11 2

1 12 2 12 2

xx x

x x

⋅= =

⋅ ⋅ − − +� , pentru orice x G∈

Finalizare

2p

2p

1p

b) ' '' '

2 ' ' 1 2 ' ' 1

xx x xx x x x

xx x x x x x x= = =

− − + − − +� � , pentru orice , 'x x G∈

1' ' 1

2x x x x= ⇒ = −�

' (0,1)x ∈

1p

3p

1p

c) f este bijectivă

( ) ( )( )1 111

x yf x y

x y xy

− −= − =��

, pentru orice ,x y G∈

( ) ( ) ( )( )1 11 11 1

x yf x f y

x y xy

− − = − − =

, pentru orice ,x y G∈

2p

2p

1p

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1.a)

( )2 2

lim lim lim

0

x x x xx x x

x x

f x e e e e− −→+∞ →+∞ →+∞= = =

+ −=

3p

2p

b) ( )'

2

x xe ef x

−−= , pentru orice x ∈ℝ

( )''2

x xe ef x

−+= , pentru orice x ∈ℝ

( )'' 0f x > , pentru orice x real , deci f este convexă

1p

2p

2p

c) ( ) ( )'

2 4

x x x xe e e eg x g x

x

− −+ −= ⇒ = , pentru orice 0x >

0 0 x xx x e e−> ⇒ > ⇒ >

( )' 0g x g> ⇒ este strict crescătoare pe ( )0,+∞

2p

2p 1p

Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la Matematică Varianta 7 Barem de evaluare şi de notare Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică

3

2.a) 2

10

sinJ tdt

π

= ∫

21

0cosJ t

π

= −

1 1J =

1p

2p

2p b) 1

21

0

1I x x dx= −∫

( )321

11

13 0

I x= − −

11

3I =

1p

3p

1p

c) 2

2 22 2 2

0

sin cosnn nJ J x xdx

π

+− = ∫

Cu schimbarea de variabilă sinx t= obţinem 1

2 22 2 2 2

0

1nn n nJ J t t dt I+− = ⋅ − =∫

2p

3p