Post on 25-Feb-2018
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
1/302
1
Capitolul 1
Cur s 1: Sisteme dinamice continue
1. Noiuni introductive
- Isocline, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor.
2. Analiza dinamicii modelelor unidimensionale dinamice continue:
- Modelul Malthus
- Modelul Harrod Domar
- Modelul Solow
Isocline/curbe de indiferen, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor
-n multe modele economice, putem avea ecuaii difereniale sau cu diferene finite ale cror soluii nu le putemdetermina explicit, chiar dac avem forma implicit a ecuaiei.
Pentru a avea informaii relative la soluie putem analiza proprietile calitative ale soluiei.
Considerm ecuaia diferenial de ordinul unu:
0,, babyaxdx
dy
(1)Isocline/curbe de indifereni cmpuri de direcie:
Pentru fiecare pereche (x,y), ecuaia (1) specific panta n acel punct.
Graficul tuturor pantelor formeaz cmpul de direcieal ecuaieidifereniale i dfluxul soluiilor.
Cmpul de direcie poate fi asemnat cu pilitura de fier care se orienteaz dup forele magnetice.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
2/302
2
Figura 1: Cmp de direcie
Definiie:Cmp de direcie/fluxul soluiilor estegraficul tuturor pantelor traiectoriilor determinate de o ecuaiediferenial.
Nu este posibil s considerm toate perechile (x,y) dinplan,Putem considera numai perechile (x,y) asociate unei pante fixe.
Notm mpanta fix a funcieif (x, y), adic toate perechile (x, y) pentru care panta funciei este egal cu m.
f(x,y)=m se numete isoclin(isocuant/curb deindiferen).
Determinarea isoclinei pentru funcia:
mbyaxdydxyxf ),( .
Isoclina (isocuanta) este o curb convex.n ecuaia:
mbyax explicitm y n funcie de x:
b
m
b
axy
, este tocmai isoclinaf(x,y)=mscris n form explicit.
Diagrama n spaiul fazelor/diagrama fazelor pentru modelele dinamice cu o singur variabil
(Spaul fazelorpentru un sistem dinamic este staiul n care se pot reprezenta toate strile posibile ale unuisistem, i micarea acestora. Conceptul de spaiul fafelor a fost introdus la sfritul sec al XIXlea, de ctreLudwig Boltzmann,Henri Poincar,Willard Gibbs).
Considermx(t)funcie continu de timp.
Considerm o ecuaie diferenial ))(()( txftx
.
Soluia ecuaiei difereniale, pentru t variabil, se numete traiectorie.
Cnd0)( tx
, soluia
xtx )(se numetepunct fix, punct de echilibru, punct critic
sau soluie staionar.
Dac traiectoria converge din orice punct iniial, ctre punctul de echilibrux , putem spune c punctul fix
este de tip atractor.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmannhttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
3/302
3
Punct fix atractor,traiectoria x(t) crete pn lax i scade dup
x .Este un punct fix stabil.
Dac traiectoria se ndeprteaz dex , din orice punct iniial, spunem c punctul fix este de tip repelor.
Punct fi x repelor:traiectoria x(t) se ndeprteaz dex , este un punct fix instabil.
Anal iza dinamicii pentru modelele dinamice uni dimensionale continue
Exemplul 1:
Modelul de cretere a populaiei Malthus:
ktptp )()(
(3)
p(t)= populaia la momentul t
k- rata constant de cretere a populaiei, k>0.
Ecuaia (3) este ecuaie diferenial de ordinul unu liniar omogen, cu variabile separabile.
Rezolvare:
)()()(
)(tkptpk
tp
tp
kdttptdp )(/)(
Integram ecuaia de mai sus:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
4/302
4
dtktptdp )(/)( Ckttp ln)(ln
Unde C este constanta generalizat arbitrar.
Aplicm proprietile logaritmilor i funcia exponenial pentru eliminarea logaritmului.
ktCtp
ktCtp
Ckttp
exp)(
expln)(ln
lnexpln)(ln
Determinarea constantei de integrare:
Aplicm condiiile iniiale (Cauchy):
Pentru 0t ,
0
)0( pp
Cp 0 Obinem soluia:
kteptp 0)( Care satisface condiiile iniiale:
0)0( pp Tem: Determinai traiectoria de evoluie a populaiei pentru
p0=20, k=0,03 i k=0,05;
p0=50,k=0,03 i k=0,05;
p0=100, k=0,03 i k=0,05,
t=1,20.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
5/302
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
6/302
6
tt
ktptp )exp(lim)(lim 0deci sistemul este instabil, cmpul de direcie se va ndeprta de punctul fix, punctul fix este de tip repelor.
n cazul sistemelor dinamice unidimensionale de ordinul nti omogene, soluia general a ecuaiei omogene este
de forma
tCe .
Dac 0 , stabilitatea este asigurat (vezi cursurile de Bazele ciberneticii economice). Exemplul 2:Modelu l de cretere economic Harrod- Domar1939-Roy Harrod
1946-Evsey DomarEste un model post Keynesian timpuriu de cretere economic.I s-a reproat instabilitatea soluiei.Controversele academice au dus, dup 1950 la dezvoltarea modelului Solow-Swan.Notaii, ipoteze:S(t)- economiile sunt proporionale cu venitul Y(t);
I(t)-investiiile (modificrile n stocul de capital) sunt proporionale cu modificrile venitului;S(t)=I(t)-la echilibru, economiile sunt egale cu investiiile.
s-propensitatea medie (egal cu cea marginal) ctre economisire;v-ponderea investiiilor n sporul total al venitului, sau inversul productivitii marginale a capitalului.
Modelul:
)()(
)()()(
)()(
tStI
tYtKtI
tsYtS
Rezolvarea modelului:
0)()(
)()(
tYs
tY
tsYtY
Ecuaie diferenial liniar, de ordinul unu, cu coeficieni constani, omogen.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
7/302
7
)()(
tYs
dt
tdY
dts
tY
tdY
)(
)(
dts
tY
tdY
)(
)(
CtstY ln)(ln
Cts
tY lnexpln)(ln
)exp()( t
s
CtY Determinarea constantei de integrare:
0)0(0 YYt
CYxs
CYt 00 )0exp(0
)exp()( 0 t
s
YtY
Tem:
Scriei rezolvarea ecuaiei:
0)()(
tYs
tY
Cu condiiile iniiale:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
8/302
8
0)0( YY Interpretare economic:n soluie, (traiectoria venitului):
tseYtY )/(0)(
/s -warranted rate of growth rata justificat de cretere economic: se justific prinstructura economic dat de parametrii modelului: s i
Punct fix:
00 YY
Tipul de punct fix:
t
ts
t
eYtY )lim()( )/(0lim
Punct fix de tip repelor, sistem global instabil.Se spune globalstabil/instabil, dac exist un singur punct fix.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
9/302
9
Figura: Cmpul de direcie pentru modelul Harrod-Domar
Tem:Folosind EXCEL; determinai traiectoriile pentru indicatorii: Y(t),I(t),C(t),cunoscnd datele:
7,0
3,0
..1000
s
muY
)(7,0)(
)(3,0)()(
100)()7,0/3,0(
tYtC
tYtStI
etYt
Exerciiu:
75,0
25,0
500
s
Y
Exemplul 3:
Modelul de cretere echilibrat al lui Solow
Ipoteze:
1. ))(),(()( tLtKFtY
funcia de producie macroeconomic, de dou ori difereniabil,
omogen de grad unu;
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
10/302
10
)(
)()(
tL
tKtk
nzestrarea tehnic a muncii;
)(
)()(
tL
tYty
venitul per capita;
Calculul venitului per capita:
Presupunem funcia de producie omotetic (omogen de grad unu: 0),;(),( LKFLKF )
ykfkFLKF
LLKF
LY )()1,()1,(),(
2.Fora de munc crete cu o rat constant n, care este independent de variabilele celelalte ale sistemului:
0)0(),()( LLtnLtL nteLtL 0)(
3. Economiile sunt o pondere constant n valoarea venitului, (S=sY), s este rata economiilor, datexogen: modelul lui Solow este model de cretere economic exogen.
4. Economiile n echilibru, sunt egale cu investiiile:).()( tItS
.
4. Investiiile brute sunt egale cu variaia stocului de capital (investiia net) plus nlocuirea capitaluluifix uzat:
)()()( tKtKtI
Unde este rata amortizrii.Modelul lui Solow n mrimi totale:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
11/302
11
nteLtL
KK
tKtItK
tsYtS
tStI
0
0
)(
)0(
)()()(
)()(
)()(
nlocuind primele dou ecuaii n a treia, obinem:
)()()( tKtsYtK Ecuaia de dinamic a capitalului sau investiia net.
Transformm modelul n mrimi per capita:
knksf
nkkksfL
L
L
K
L
KsY
L
LKLKk
)()(
)(2
Atunci:
)()())(()( tkntksftk
Modelul lui Solow n mrimi percapitaconst n ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii sau investiianet n mrimi per capita de mai susi condiia iniial:
0
0
0)0( kL
Kk
Putem rezolva ecuaia dinamic a capitalului per capita dac dm o form analitic funciei de producie percapia.
Presupunem c este o funcie Cobb-Douglas omotetic (omogen de grad unu):
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
12/302
12
akkfy
LKa
LY
LaKY
)(
)(
10,1
Ecuaia de dinamic a capitalului per capita va fi:
)()()()( tkntsaktk Ecuaia diferenial obinut este:
)()()()( tsaktkntk
ecuaie diferenial neliniar, omogen, de tip Bernoulli.
Rezolvarea ecuaiei Bernoulli:
Schimbarea de variabil:
1k Derivm n raport cu timpul:
kk )1(
Explicitm k din relaia de mai sus:
)1(
kk
mprim ecuaia de dinamic lak :
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
13/302
13
saknkk 1)(
nlocuim
)1(
kkn ecuaia de mai sus:
Obinem:
))(1()1( nsa
Adic o ecuaie liniar de ordinul unu, neomogen n
.
Rezolvm ecuaia omogen:
0))(1( n
Cutm o soluie de forma:
tet )(
Punem condiia ca soluia s verifice ecuaia omogen:
0))(1( tt ene
mprim ecuaia la
te :
0))(1( n Ecuaia de mai sus se numete ecuaie caracteristic.
Determinm soluia , a ecuaiei caracteristice:
))(1( n Soluia general a ecuaiei omogene este:
))(1()( ntG CeCet
Unde C este constant generalizat arbitrar.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
14/302
14
Soluia particular este de forma termenului liber:
Dt P )(
Punem condiia ca soluia particular s verifice ecuaia neomogen:
Dnsa ))(1()1(0 Determinm constanta D:
P
n
saD
)(
Soluia general a ecuaiei neomogene este suma ntre soluia general a ecuaiei omogene, plus o soluieparticular:
PG ttt )()()(
n
asCet tn ))(1()(
Determinarea constantei de integrare:
Pentru
n
asCt 00)0(0
Rezult soluia:
tn
en
as
n
as ))(1(0 )(
Determinarea traiectoriei venitului per capita:
Considerm condiiile iniiale:
100 k Atunci:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
15/302
15
tnen
ask
n
ask ))(1(10
1 )(
Sau:
1
1
))(1(1
0 )()( tne
n
ask
n
astk
Aceasta este traiectoria echilibrat de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii (corespunde traiectoriei
staionare/echilibrate, determinate din condiia de echilibru/staionariate 0)( tk ).
Tem:
Deducei traiectoria de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii n cazul modelului de cretere echilibrat al luiSolow.
Traiectoria de evoluie a stocului total de capital(se obine multiplicnd traiectoria venitului per capita, cu
nteLtL 0)( ):
)1/(1
1
0
))(1(
0)(
n
aske
n
aseLtK
tnnt
------------------------------------------------------------
Tem:Deducei traiectoria de evoluie a capitalului total.
Punctele staionare:
0)(tk 0)( knsak
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
16/302
16
0)( 1 nsakk Punctele fixe/staionare/de echilibru sunt:
01
ki
)1/(1
2
sa
nk
Modelul Solow are deci dou puncte fixe.
Nu poate fi global stabil, ntruct aceasta este o proprietate posibil pentru sistemele cu un singur punct fix.
La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilete pentru fiecare punct fix n parte: este
stabilitate/instabilitate local, ntr-o vecintate a punctului fix .
Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este local stabil:
2)1/(1
)1/(1
1
0
))(1( )()(lim kn
as
n
aske
n
as tnt
Rezult c:
2)(lim ktk
t, deci
2k esteatractor
Dac traiectoria converge ctre01
)1/(1
2
kn
ask
, rezult
01 k
esterepelor, ntruct traiectoria se deprteaz de acest punct fix, cnd t .ntr-o vecintate a lui
2k , traiectoria tinde ctre
2k ,sistemul este localstabil.
ntruct traiectoria tinde asimptotic ctre
2k , sistemul este local , asimptotic stabil.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
17/302
17
Figura: Traiectoria nzestrrii pentru diferite valori iniiale ale lui k(t).
Figura: Cmpul de direcie pentru modelul lui Solow.
Analiza traiectoriei n spaiul fazelor )(),(( tktk :
Reprezentm grafic funcia0)(0)( knsaktk
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
18/302
18
Reprezentm grafic curba0)( tk
, adic0)( knsak
, n planul ),( kk
Puncte singulare:
Derivm funcia ))(( knsak n raport cu ki egalm derivata cu zero, pentru a afla punctelesingulare.
)1/(1
1 0)(0
as
nknkasknask
dk
d
, este k punct singular.Pentru a afla natura punctului singular, calculm derivata a doua:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
19/302
19
0)1( 22
2
kasknaskdk
d
, k punct de maxim.
k(t)
1k k
2k
knask 0 max 0
nkas 1 + + + + + +0- - - - - -
Rezult 0)( tk deasupra abscisei (la stnga lui2k )i 0)( tk sub abscis (la dreapta lui
2
k ).
Investiia brut i investiia de compensare
Investiia de compensareeste destinat nlocuirii capitalului fix uzat i dotrii cu capital a personalului intrat nactivitate.
n punctul
2kk , investiia brut este egal cu investiia de compensare:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
20/302
20
Figura: Investiiile brute i investiiile de compensare
Pentru k=
2k , knsak )(
, respectiv investiiile brute sunt egale cu investiiile decompensare.
Dac
2kk , investiiile de compensare sunt mai mici dect investiiile brute i stocul de capital percapita va crete.
Dac k>
2k , investiiile de compensare devin mai mari dect investiiile brute, ceea ce determin scderea
stocului de capital per capita, cu valoarea capitalului necesar nzestrrii sporului de for de munc i acapitalului fix uzat.
sf(k)sunt investiiile brute, care n condiii de echilibru, trebuie s fie egale cu economiile;
kn )( sunt investiiile de compensare: compenseaz capitalul fix uzat i nzestrarea tehnic a
muncii pentru sporul populaiei.
Am obinut rezultatele:
knksfk )()(0 capitalul crete;
knksfk )()(0
capitalul scade;
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
21/302
21
knksfk )()(0 capitalul rmne la valoarea staionar,
pe temen indefinit.
Tem:Determinai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a capitalului total, a populaiei totale, a venitului per capita ia venitului total, cunoscnd datele:
3,0,100,35,0,05,0,009,0,50,1000 00 sanLK , pentru T=10 ani.
Rata de cretere echilibrat:
Este rata de cretere a indicatorilor macroeconomici pe traiectoria echilibrat .
Rata de cretere echilibrat avenitului
)()( 0 takeLtY nt
)()()()()( 0
1
00 takenLtktkaeLtakenLtY ntntnt
Rezult:
)()( 0 takenLtY nt
Atunci:
n
takeL
takenL
tY
tYnt
nt
)(
)(
)(
)(
0
0
Rata de cretere echilibrat a venitului este n, egal cu rata de cretere a populaiei.
Pentru stocul total de capital )()( 0 tkeLtK nt :
n
tkeL
tkeLtkenL
tK
tKnt
ntnt
)(
)()(
)(
)(
0
00
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
22/302
22
Pe traiectoria de cretere echilibrat, rata de cretere a capitalului i a venitului sunt constante i egale cu ratade cretere a populaiei, n.
Curs 2
Efectul creteri i ratei economii lor:
Problematica creterii economice: care este sursa ratelor de cretere a rilor dezvoltate, care este cauzadiferenelor mari ntre ri i zone geografice din punctul de vedere al venitului per capita, indicatorul esenial
care reflect creterea economic.
Presupunem cscrete de las0las1.
Creterea luisva muta curba investiiilor brute (acumularilor) n sus, astfel k2se va muta la dreapta, va crete.
Figura: Efectul creterii ratei economiilor, asupra echilibrului.
Modificrile ratei economiilor au un efect de nivel asupra capitalului per capita i asupra veni tului per
capita,nu au un efect de cretere, nu afecteaz ritmul de cretere al venitului per capitaL
Y. Rezult c nu
acumulrile sunt sursa ratelor cresctoare de cretere ale rilor dezvoltate.
Efectul creteri i ratei economii lor asupra consumul ui:
Introducem gospodriile n model:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
23/302
23
- bunstarea gospodriilor depinde de consum investiiile sunt privite ca input n producie pentru
consumul viitor.
)()1()( tystc este consumul per capita. Dac considerm
propensitile marginale egale cu propensitile medii adicc
, funcia de consum este tocmai
funcia Keynesian:
)()( tyctc
Figura: Consumul de echilibru este diferena ntre
knkfc )()( ntruct
knksf )()(
Derivm n raport cusfuncia de consum scris ca:
knkfc )()(
s
nsknnskf
s
c
),,()()),,((
Cndscrete, creterea lui cdepinde de semnul relaiei din paranteza dreapt.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
24/302
24
Dac: )()( nkf , creterea luisva avea ca efect creterea lui c(t);
Dac
)()( nkfcreterea luisva avea ca efect scderea lui c(t);
Dac )()(
nkf creterea luisnu va avea nici un efect asupra lui c.Variaia consumului la creterea ratei economiilor, s, depinde de pantele celor dou curbe: a venitului
per capita i a investiiei de compensare.
Panta curbei venitului (sau productivitatea marginal a capitalului):)(kf
;
Panta investiiei de compensare este: )( n .
Tem: Aplicaie numeric
Se cunosc datele:
3,0,10,35,0,05,0,1000,008,0,100 00
saKnL
a) Calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL:
b) Calculai traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL.
)1/(1
1
0
))(1(
0)(
n
aske
n
aseLtK tnnt
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
25/302
25
)(100)( 008,0 tketK t
c) Calculai venitul per capita i venitul total i facei graficele corespunztoare n EXCEL
)()( takty )()()()( 0
1tkeaLtLtaKtY
nt
d) Calcuai punctele fixe ale traiectoriei:
01 k
960,432
)1/(1
2
sa
nk
e) Calculai traiectoria de echilibru a stocului total al capitalului i a venitului de echilibru pentru t-1-10, facei graficele n EXCEL:
20)( keLtK nt
1020 )()()( ntnt eLkeLatY
f) Calculai investiiile brute i consumul pentru t=1-10, n mrimi per capita, n mrimi totale i
facei graficele.
Investiiile per capita i consumul per capita sunt respectiv:
sak iaks)1( .
IYC
sYI
, sunt investiiile i respectiv consumul, n mrimi actuale.
g) Analizai efectele creterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.
-asupra traiectoriei de echilibru;
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
26/302
26
-asupra consumului:stabilii numeric c dac )()( 12 nkf , consumul crete, sau
dac )()( 12 nkf consumul scade.
Modelul lui Solow cu funcie de producie Cobb-Douglas cu progres tehni c Harrod
Am stabilit c acumulrile execit un efect de nivel asupra venitului, nu un efect de cretere.Pentru investigarea surselor creterii economice, introducem progresul tehnologic neutral n sensHarrod (acioneaz asupra muncii):
1))()()(()( tLtAtKtY
Modelul Solow presupune progresul tehnologic exogen.
Presupunem c A, funcia de progres tehnologic,crete cu o rat constant:
gA
A
.
Se pstreaz celelalte ipoteze ale modelului.Ecuaiile modelului:
L(t ) = L(0) e n t
A(t) = A(0) egt
tKtsYtK
Capitalul per capita este acum:
AL
Kk , capitalul pe o unitate efectiv de munc.
Dinamica modelului:
k (t) = sf (k(t))(n+g+) k(t)Seminar:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
27/302
27
Determinai ecuaia de dinamic a modelului cu progres tehnologic.
k (t)= )()()()(
)()(
)(
)()(
)(2
tAtLtLtAtLtA
tK
tLtA
tK
=
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)(
)()(
)(
tA
tA
tLtA
tK
tL
tL
tLtA
tK
tLtA
tK
kknksfk
gknkkAL
Ysgknk
AL
KsYk
)()(
Cu AL
Ykf )(
venitul per capita.
Puncte staionare:
0)()( kgnksfk
Pentru a determina punctele staionare, dm o form analitic funciei deproducie:considerm funcia Cobb-Douglas:
1)(ALaKY
aky
0)( kgnsak
0))(( 1 gnsakk
01
k
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
28/302
28
)1/(1
2
as
gnk
Pentru 2kk investiia brut este egal cu investiia de compensare.
Figura: Investiia brut i investiia de compensare pentru modelul cu progres tehnologic.
Tem:
a. Artai c rata de cretere echilibrat a venitului actual este egal cu rata de cretere a capitaluluiactual, egale cu (n+g):
kkaeAeLakegAeLakenAeLY gtntgtntgtnt 1000000
)(
00
0000 gn
akeAeL
akegAeLakenAeL
Y
Ygtnt
gtntgtnt
Rata de cretere a venitului depinde de rata de cretere a populaiei i a progresului tehnologic.b. Refacei tema precedent, adugnd la datele numerice g=0,03 (rata de cretere a progresului
tehnologic de 3%)i A0=50.
Concluzie: n raport cu problematica general a creterii economice, modelul lui Solow relev faptul c
diferenele mari ntre ri din punct de vedere al venitului naional pe locuitori al ritmului de cretere
economic (respectiv al venituluiper capita), nu se pot datora exclusiv acumulrilor ( deci inzestrrii tehnice a
muncii).
O surs de cretere pe termen lung este progresul tehnologic.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
29/302
29
Msurarea creteri i economice:
Reziduul Solow
n modelul lui Solow creterea pe termen lung depinde numai de progresul tehnologic
creterea pe termen scurt depinde att de progresul tehnologic ct i de acumularea capitalului.
Considerm :Y(t) =F(K(t),A(t).L(t))
Derivm funcia de producie n raport cu timpul:
)(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()( tA
tA
tYtL
tL
tYtK
tK
tYtY
mprim la Y(t) cei doi membrii ai ecuaiei; mprim i nmulim termenii din membrul drept respectiv cu K,
L, A:
)(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
tR
tL
tLt
tK
tKt
tA
tA
tA
tY
tY
tA
tLtL
tLtY
tYtL
tKtK
tKtY
tYtK
tYtY
Lk
Notm:
k(t)elasticitatea outputului in raport cu capitalul
L(t)elasticitatea outputului in raport cu munca.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
30/302
30
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
tA
tA
tA
tY
tY
tAtR
Ratele de cretere ale luiK iL ct i elasticitile venitului n raport cu K i L,se msoar direct din dateleempirice.
R(t)se numete reziduu Solowreziduul Solow poate fi poate fi interpretat ca o msur aprogresuluitehologicel reflect toate sursele de cretere altele dect acumularea de capital.
Relaia ratei de cretere venitului furnizeaz o decompoziie a creterii economice n contribuiacapitalului, a muncii i contributia celorlali factori.
Tem:
Considerm funcia de producie Cobb-Douglas cu progres tehnologic Harrod din exerciiul precedent.Calculai reziduul Solow i reprezentai grafic.
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
tL
tLt
tK
tKt
tY
tYtR Lk
Ecuaii difereniale neliniare
Aproximrile liniare ale ecuaiilor difereniale neliniareConsiderm ecuaia:
)()( xftx
f(.) este neliniar dar continu i difereniabil.
n general, aceste ecuaiinu se pot rezolva analitic.
Trebuie s gsim punctele fixe pentru 0)( tx , deci pentru 0))((( txf .Presupunemf este continu difereniabil ntr-un interval deschis care-l conine pe x =x(punctul fix).
Aproximmf folosind dezvoltarea Taylor:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
31/302
31
),( xxRn este restul.
Aproximarea liniar de ordinul unu are forma:
Dac punctul iniial este suficient de aproape de punctul fix x, atunci , iar
0)( xf prin construcie.Dacxeste chiar punctul fix, atunci:
Putem aproxima f(x) n punctulxprin:
.
Exemplu:
Modelul de cretere economic al lui Solow cu funcia de producie Cobb-Douglas, rezolvat prin metoda propusde Bernoulli.
Ecuaia de evoluie a stocului de capital per capita:
Punctele fixe se gsesc rezolvnd ecuaia:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
32/302
32
Punctele fixe sunt:
01 k
i
Dezvoltarea Taylor de ordinul unu n punctul fix
2kk :))(()( 22
kkkfkf Cu:
Considerm acum
2kk :Atunci :
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
33/302
33
Rezult c panta curbei pentru
2kk este
0)1)(()( 2
nkf
Rezult aproximarealiniar:
ntruct iarn i sunt pozitive, atunci funcia f(k) are pant negativ n
i deci sistemul este local stabil, punctul fix este de tip atractor.
Aproximarea de ordinul unu n jurul echilibrului este:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
34/302
34
))(1)(()()( 2 kknkftk
Este ecuaie diferenial liniar de ordinul unu.
Ecuaia omogen:
tnG
t Cetk )1)(()(
DtkP
t )( Verific ecuaia neomogen:
2)1)(()()1)(()( kntkntk 22)1)(()1)(( kDknDn
2)1)(()()()( kCetktktk
tnPG
t
Aplicm condiiile Cauchy:
20 kkC
Cu soluia:
Pentru aproximarea liniar
2)(lim ktk
t , respectiv
2k este punct fix asimptotic local stabil pentru
aproximarea liniar.
////
Tem:
kntk )1)(()(
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
35/302
35
Cunoscnd datele din exerciiile precedente, folosind aproximarea liniar a ecuaiei de dinamic a nzestrriitehnice a muncii, calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a venitului per capita, a investiiilor iconsumului per capita, ct i aindicatorilor corespunztori n mrimi actuale. Facei graficele traiectoriilor.
Calculai deviaiile absolute i relative ale celor dou soluii (traiectoria k(t) prin rezolvarea ecuaiei Bernoulli iprin aproximarea liniar).
////
Ecuaii diferenialede ordin superior
Cazul general
Ecuaie diferenial de ordinul n, liniar, cu coeficieni constani, neomogen:
)(... 1)1(
1
)(
0 tgyayayaya nnnn
Rezolvm ecuaia omogen:
0... 1)1(
1
)(
0
yayayaya nnnn
Facem ipoteza c soluia are forma
tey i o punem sverifice ecuaia omogen:
0... 1110 tntntntn eaeaeaea
mprim la 0t
e , obinem ecuaia caracteristic:
0... 11
10
nn
nn aaaa
Ecuaia caracteristic este o ecuaie algebric liniar, de grad n, care are n soluii care pot fi reale (diferite saumultiple) i complexe conjugate.
Soluia general a ecuaiei omogene, cazul rdcinilor reale, distincte:
)exp(...)(exp)exp()( 2211 tAtAtAty nnG
unde A1,A2,An sunt constante generalizate arbitrare.
Cazul rdcinilor multiple de ordin m
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
36/302
36
Unde
j sunt rdcinile multiple, fiecare cu ordinul su de multiplicitate, iar)(tPj sunt polinoame de
tipul:
1
21 ...)(
j
j
m
jmjjj tAtAAtP
Cu A constante generalizate arbitrare, iarj
mordinul de multiplicitate al celei de a j-a rdcin.
k- numrul de rdcini distincte.
n cazul rdcinilor complexe conjugate avem, pentru fiecare pereche avem:
)sincos( 21 tAtAe t
Cu,
respectiv partea real i imaginar a numrului complex.
Soluia particular o putem determina cu ajutorul metodei coeficienilor nedeterminai:
Facem ipoteza c soluia particular )(tyP este de forma termenului liber i punem condiia caaceasta sverifice ecuaia neomogen.
Soluia ecuaiei neomogene este suma ntre soluia general a ecuaiei omogene i soluia particular:
)()()( tytyty PG
Exemplu:
Modelul politicilor de stabilizare ntre cerere agregat i oferta agregat al lui Phill ips
Notm:
)(tD cererea agregat
)(tYoferta agregat
Dac exist cerere excedentar, oferta crete; dac exist ofert excedentar, oferta scade:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
37/302
37
0
))()(()(
tYtDtY
0 coeficient de reaciecare arat viteza de ajustare ntre cererea agregat i oferta agregat.)()1()( tYstD
Undeseste propensitatea/nclinaia marginal i medie spre economisire, 10 s .Presupunem c cererea agregat este afectat de o perturbaie advers u=1.
1)()1()()1()( tYsutYstD
Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului n aceste ipoteze
nlocuim n ecuaia de dinamic a venitului:
)()(
(1)()1())()(()(
tsYtY
tYtYstYtDtY
Ultima relaie este o ecuaie diferenial de ordinul unu, neomogen.
Rezolvarea ecuaiei liniare de ordinul unu, neomogen:
Ecuaia omogen:
)()( tsYtY
Este ecuaie cu variabile separabile.
Soluia general a ecuaiei omogene:
stG CetY )(
Soluia particular:
DtY P )( soluia particular are forma termenului liber, o constant.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
38/302
38
Punem condiia ca)(tY P
s verifice ecuaia neomogen:
sD0
sDtYP 1
)(
Rezult traiectoria venitului:
sCetY st 1
)(
Condiia iniial:
se
stY
sCYY
st 11
)(
1)0( 0
Stabilitatea:
stY
t
1)(lim
Sistemul este stabil.
Punct fix, staionar, de echilibru:
sYtsYtY
10)(0)(
n cazul existenei unei perturbaii exogene asupra cererii agregate, valoarea de echilibru este negativ, ceea ce,pe termen lung nseamn c traiectoria venitului va conduce la valori negative ale venitului.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
39/302
39
Pentru nlturarea acestei situaii, Phillips propune trei politici de stabilizare ntre cerere i ofert, prin
intermediul cheltuielilor guvernamentale )(tG
:
1. Politica de stabilizare proporional:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu oferta agregat:
)()( tYftG p
0pf este coeficientul de proporionalitate.2. Politica de stabilizare diferenial:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu variaia ofertei agregate:
)()( tYftG d
0df 3. Politica de stabilizare integral:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu suma ntre momentul iniial i momentulcurent al ofertelor agregate:
t
o
i dttYftG )()(
0if Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului:
ntre nivelul teoretic )(tG i cel actual G(t)al cheltuielilor guvernamentale exist o ntrziere(obs. ntrzieri interne i externe n politicile macroeconomice, vezi cursul de Macroeconomiecantitativ):
)()( tGtG
Ajustarea diferenei ntre)(tG
i G(t)este dat deecuaia:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
40/302
40
))()(()( tGtGtG
0este coeficient de reacie i indic viteza de ajustare.
a. Pornim de la ecuaia cererii agregate, care va include cheltuielile guvernamentale, ntruct nmodel s-a introdus guvernul:
)(1)()1()( tGtYstD
Derivm n raport cu timpul:
)()()1()( tGtYstD
nmulim ecuaia cererii agregate cu :
)()()1()( tGtYstD
Adunm cele dou relaii:
)()()1()()()1()()( tGtYstGtYstDtD
Rescriem))()(()( tGtGtG
ca:
)())()( tGtGtG
i nlocuim n ecuaia de mai sus, obinem:
)()()1()()1()()(
tGtYstYstDtD
(a)
b. Pornim acum de la variaia venitului:
))()(()( tYtDtY
Explicitm pe D(t):
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
41/302
41
)()()(
tYtYtD
nmulim cu :
))()(()( tYtYtD
Derivm:
)()()(
tYtYtD
Adunm ultimele relaii:
)()())()(()()( tYtYtYtYtDtD
(b)
Egalm membrii drepi din ecuaiile (a) i (b):
)()())()((
)()()1()()1(
tYtYtYtY
tGtYstYs
Obinem ecuaia de dinamic a venitului:
)()()()()( tGtsYtYstY Politica de stabilizare proporional:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
42/302
42
)()()()()( tYftsYtYstY p
Ecuaia omogen:
0)()()()()( tYftsYtYstY p
Cutm soluie de forma:
tetY )(
0)()(2 tptt efsese Ecuaia caracteristic:
0)()(2 pfss Discriminantul:
)(4)( 2 pfss
4
)(0
2
sfp
rdcini reale, egale,
tG etAAtY )()( 21
4
)(0
2
sfp
rdcini reale, diferite,
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
43/302
43
ttG eAeAtY 21 21)(
rdcini complexe conjugat
4)(0
2
sfp
)sin(Im)cos(Im()( 21Re tAtAetY tG
Soluia particular, de forma termenului liber: o constant.
DtYP )(
Punem condiia s verifice ecuaia neomogen:
Dfs p )(
pfsD
1
Soluia:
p
G
fs
tYtY
1)()(
Dac traiectoria este stabil:2,1,0Re ii , atunci:
pt
fs
tY
1)(lim
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
44/302
44
Observm c traiectoria de echilibru este tot negativ, dar mai mic n valoare absolut:
sfs p
11
ceea ce relev faptul c politica proporional are oanumit eficien, dar nu reuete s transforme valoarea negativ a echilibrului ntr-o valoare pozitiv.
Seminar
Aplicaie numeric:
Considerm urmtoarele valori:
4)0(
0)0(
2
5,0
25,0
4
Y
Y
f
s
p
a) Determinai consecinele unei perturbaii unitare negative a cererii agregate.b) Determinai n raport cu situaia de la punctul (a), efectele politicii de stabilizare proporionale.
(a)
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
45/302
45
e c h
t
t
t
P
tG
YtY
etY
C
CetY
tY
CetY
tYtY
tYtYtYtY
4)(lim
44)(
40
4)(
4)(
)(
)()(
4)())(1)(75,0(4)(
(b)
8)(6)(3)( tYtYtY
ticcaracterisecuatie0632
i936,15,12,1
))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY tG
DtYP )(
33,168)( tYP
33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY t
33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 AAAeY
(Obs: 0)0sin(,1)0cos( )
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
46/302
46
)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(
21
5,1
21
5,1
tAtAe
tAtAetY
t
t
Obs: )cos()(nsi
)sin()(sco
tt
tt
21 936,15,144)0( AAY
033,1936,133,15,14 22 AAx 33,1)936,1sin(033,1)936,1cos(33,1)( 5,1 ttetY t
Refacei calculele cnd2pf , 8 . Ce putei s spunei despre noile valori de echilibru n
cazul iniial i dup aplicarea politicii de stabilizare?
Curs 2
Efectul creteri i ratei economii lor:
Problematica creterii economice: care este sursa ratelor de cretere a rilor dezvoltate, care este cauzadiferenelor mari ntre ri i zone geografice din punctul de vedere al venitului per capita, indicatorul esenialcare reflect creterea economic.
Presupunem cscrete de las0las1.
Creterea luisva muta curba investiiilor brute (acumularilor) n sus, astfel k2se va muta la dreapta, va crete.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
47/302
47
Figura: Efectul creterii ratei economiilor, asupra echilibrului.
Modificrile ratei economiilor au un efect de nivel asupra capitalului per capita i asupra veni tului per
capita,nu au un efect de cretere, nu afecteaz ritmul de cretere al venitului per capita LY
. Rezult c
nu acumulrile sunt sursa ratelor cresctoare de cretere ale rilor dezvoltate.
Efectul creteri i ratei economii lor asupra consumul ui:
Introducem gospodriile n model:
- bunstarea gospodriilor depinde de consum investiiile sunt privite ca input n producie pentru
consumul viitor.
)()1()( tystc este consumul per capita. Dac considerm
propensitile marginale egale cu propensitile medii adiccs )1(
,
funcia de consum este tocmai funcia Keynesian:
)()( tyctc
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
48/302
48
Figura: Consumul de echilibru este diferena ntre producie i acumulri care n echilibru sunt:
knksf )()(
Deci consumul de echilibru este:
knkfc )()(
Derivm n raport cusfuncia de consum scris ca:
knkfc )()(
Considerm:
),,()()),,(( nsknnskfc
Folosim formula derivatei funciilor compuse:
s
nsknnskf
dk
d
s
c
),,()()),,((
Cndscrete, creterea lui cdepinde de semnul relaiei din paranteza dreapt.
Dac: )()(
nkfk , respectiv productivitatea marginal este mai mare dect sumadintre rata de cretere a populaiei i rata amortizrii (creterea produciei la o unitate de capital per
capita suplimentar, depete acumularea necesar compensrii amortizrii i dotrii tehnice a sporului
populaiei), creterea luisva avea ca efect creterea lui c(t);
Dac)()( nkfk , respectiv productivitatea marginal este mai mic dect suma
ratelor, creterea luisva avea ca efect scderea lui c(t);
Dac)()( nkfk , respectiv productivitatea marginal este egal cu suma
ratelor,creterea luisnu va avea nici un efect asupra lui c.
Variaia consumului la creterea ratei economiilor, s, depinde de pantele celor dou curbe: a venitului
per capita i a investiiei de compensare.
Panta curbei venitului (sau productivitatea marginal a capitalului):)(kfk ;
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
49/302
49
Panta investiiei de compensare este: )( n
.
Tem: Aplicaie numeric
Se cunosc datele:
3,0,10,35,0
,05,0,1000,008,0,100 00
sa
KnL
b) Deducei i calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii pentru t=1 -10 i facei graficul nEXCEL:
)1/(1
1
0
))(1( ()(
n
aske
n
astk n
b) Deducei i calculai traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10i facei graficul n EXCEL.
)1/(1
1
0
))(1(
0)(
n
aske
n
aseLtK tnnt
)(100)( 008,0 tketK t
h) Calculai venitul per capita i venitul total i facei graficele corespunztoare n EXCEL
)()( takty
)()()()( 01 tkeaLtLtaKtY nt
i) Deducei i calcuai punctele fixe ale traiectoriei, cu datele considerate:
01 k
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
50/302
50
960,432
)1/(1
2
sa
nk
j) Calculai traiectoria de echilibru a stocului total al capitalului i a venitului de echilibru pentru t-1-10, facei graficele n EXCEL:
20)( keLtK nt
1020
)()()( ntnt eLkeLatY
k) Calculai investiiile brute i consumul pentru t=1-10, n mrimi per capita, n mrimi totale ifacei graficele.
Investiiile per capita i consumul per capita sunt respectiv:
sak iaks)1(
.
IYCsYI
, sunt investiiile irespectiv consumul, n mrimi actuale.l) Analizai efectele creterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.
-asupra traiectoriei de echilibru;
-asupra consumului:stabilii numeric c dac )()( 2 nkf i consumul crete ,
sau dac
)()(2
nkfi consumul scade.Tem:
Considerm datele:
3,0,10,35,0
,05,0,1000,008,0,100 00
sa
KnL
tind c expresia punctului fix:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
51/302
51
)1/(1
2
n
sak
,
Stabilii dac pentru
2kk , creterea ratei economiilor duce la creterea/scderea saumeninerea consumului per capita.
Modelul lui Solow cu funcie de producie Cobb-Douglas cu progres tehni c Harrod
Am stabilit c acumulrile execit un efect de nivel asupra venitului, nu un efect de cretere.Pentru investigarea surselor creterii economice, introducem progresul tehnologic neutral n sens
Harrod (acioneaz asupra muncii):
1))()()(()( tLtAtKtY
Funcie de producie Cobb-Douglas omotetic, cu progres tehnologic n sens Harrod.
Modelul Solow presupune progresul tehnologic exogen.
Presupunem c A, funcia de progres tehnologic,crete cu o rat constant:
gAA
.
Se pstreaz celelalte ipoteze ale modelului.Ecuaiile modelului:
L(t ) = L(0) en t
A(t) = A(0) egt
tKtsYtK
Capitalul per capita este acum:
AL
Kk
, capitalul pe o unitate efectiv de munc.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
52/302
52
Dinamica modelului:
k (t) = sf (k(t))(n+g+) k(t)
Cu ALYkf )(
venitul per capita.
Seminar:
Determinai ecuaia de dinamica modelului cu progres tehnologic.
k
(t)= )()()()()()()(
)()(
)(2 tAtLtLtAtLtA
tK
tLtA
tK
=
)(
)(
)()(
)(
)(
)(
)()(
)(
)()(
)(
tA
tA
tLtA
tK
tL
tL
tLtA
tK
tLtA
tK
kknksfk
gknkk
AL
Ysgknk
AL
KsYk
)()(
Puncte staionare:
0)()( kgnksfk
Pentru a determina punctele staionare, dm o form analitic funciei de producie:considerm funcia Cobb-
Douglas:
1)(ALaKY
aky
0)( kgnsak
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
53/302
53
0))(( 1 gnsakk
01
k
)1/(1
2
as
gnk
Pentru
2kk investiia brut este egal cu investiia de compensare.
Figura: Investiia brut i investiia de compensare pentru modelul cu progres tehnologic.
Rata de cretere echilibrat a venitului total este egal cu rata de cretere a capitalului total, egal cu (n+g):
kkaeAeLakegAeLakenAeLY gtntgtntgtnt 1000000
)(00
0000 gnakeAeL
akegAeLakenAeL
Y
Ygtnt
gtntgtnt
Rata de cretere a venitului depinde de rata de cretere a populaiei i a progresului tehnologic.TemRefacei tema precedent, adugnd la datele numerice g=0,03 (rata de cretere a progresuluitehnologic de 3%)i A0=50.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
54/302
54
Concluzie: n raport cu problematica general a creterii economice, modelul lui Solow relev faptul c
diferenele mari ntre ri din punct de vedere al venitului naional pe locuitori al ritmului de cretere
economic (respectiv al venitului per capita), nu se pot datora exclusiv acumulrilor ( deci inzestrrii tehnice a
muncii).
O surs de cretere pe termen lung este progresul tehnologic.
Msurarea creteri i economice:
Reziduul Solow
n modelul lui Solow creterea pe termen lung depinde numai de progresul tehnologic
creterea pe termen scurt depinde att de progresul tehnologic ct i de acumularea capitalului.
Considerm :Y(t) =F(K(t),A(t).L(t))
Derivm funcia de producie n raport cu timpul:
)()(
)()(
)(
)()(
)(
)()( tA
tA
tYtL
tL
tYtK
tK
tYtY
mprim la Y(t) cei doi membrii ai ecuaiei; mprim i nmulim termenii din membrul drept respectiv cuK, L,
A:
)()(
)()(
)(
)()(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
tRtL
tLt
tK
tKt
tA
tA
tA
tY
tY
tA
tL
tL
tL
tY
tY
tL
tK
tK
tK
tY
tY
tK
tY
tY
Lk
Notm:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
55/302
55
k(t)elasticitatea outputului in raport cu capitalul
L(t)elasticitatea outputului in raport cu munca.
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
tA
tA
tA
tY
tY
tAtR
Ratele de cretere ale luiK iL ct i elasticitile venitului n raport cu K i L,se msoar direct din dateleempirice.
R(t)se numete reziduu Solowreziduul Solow poate fi poate fi interpretat ca o msur a progresului
tehologicel reflect toate sursele de cretere altele dect acumularea de capital.Relaia ratei de cretere venitului furnizeaz o decompoziie a creterii economice n contribuiacapitalului, a muncii i contributia celorlali factori.
Tem:
Considerm funcia de producie Cobb-Douglas cu progres tehnologic Harrod din exerciiul precedent.Calculai reziduul Solow i reprezentai grafic.
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
tL
tLt
tK
tKt
tY
tYtR
Lk
Ecuaii difereniale neliniare
Aproximrile liniare ale ecuaiilor difereniale neliniareConsiderm ecuaia:
)()( xftx
f(.) este neliniar dar continu i difereniabil.
n general, aceste ecuaii nu se pot rezolva analitic.
Trebuie s gsim punctele fixe pentru 0)( tx , deci pentru 0))((( txf .Presupunemf(.)este continu difereniabil ntr-un interval deschis care-l conine pe x =x(punctul fix).
Aproximmf(.)folosind dezvoltarea Taylor:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
56/302
56
),(!
))((
...!2
))((
))(()()(
xxRn
xxxf
xxxf
xxxfxfxf
n
n
),( xxRn este restul.
Aproximarea liniar de ordinul unu are forma:
),())(()()( 2 xxRxxxfxfxf
Dac punctul n care se face aproximarea este suficient de aproape de punctul fix
x, atunci
0),(2 xxR , iar 0)(
xf prin construcie.
Dac x este punctul fix, atunci
putem aproxima f(x) n punctul
x prin:
))(()( xxxfxf
Exemplu:
Modelul de cretere economic al lui Solow cu funcia de producie Cobb-Douglas, rezolvat prin aproximareliniar.
Ecuaia de evoluie a stocului de capital per capita, funcia de producie Cobb-Douglas per capita:
)()()()()())(()( tkntsaktkntksftk Punctele fixe sunt:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
57/302
57
01 k ,
1
1
2
n
sa
k
Dezvoltarea Taylor de ordinul unu n punctul fix
2kk :))(()( 22
kkkfkf Cu:
)()()( 1 nksakf
Considerm acum
2kk :Atunci :
)1)(()()(
)(
)()()(1
1
1
122
nnn
nn
sasa
nksakf
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
58/302
58
Rezult c panta curbei pentru
2kk este
0)1)(()( 2
nkf
Rezult aproximarea liniar:
))(1)((
))(1)(()(
1
1
2
n
sakn
kknkf
ntruct 10 iarn i sunt pozitive, atunci funcia 0)( 2 kf
n
2k i deci
sistemul este local stabil, punctul fix este de tip atractor (condiia ca punctul fix s fie stabil este satisfcut).
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
59/302
59
Determinarea traiectoriei nzestrrii tehnice a muncii pe baza ecuaiei difereniale liniare rezultat dinaproximarea liniar
Aproximarea de ordinul unu n jurul echilibrului
2k este:
))(1)(()()( 2 kknkftk
Este ecuaie diferenial liniar de ordinul unu.
Ecuaia omogen:
tnGt Cetk
)1)(()( Dtk
P
t )( Verific ecuaia neomogen:
2)1)(()()1)(()( kntkntk 22)1)(()1)(( kDknDn
2)1)(()()()( kCetktktk tnPGt
Aplicm condiiile Cauchy:
20 kkC Soluia:
tnekkktk ))(1(22 ))0(()(
Pentru aproximarea liniar
2)(lim ktkt , respectiv
2k este punct fix local asimptotic stabil.
kntk )1)(()(
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
60/302
60
////
Tem:
Cunoscnd datele din exerciiile precedente, folosind aproximarea liniar a ecuaiei de dinamic a nzestrriitehnice a muncii, calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a venitului per capita, a investiiilor iconsumului per capita, ct i aindicatorilor corespunztori n mrimi actuale. Facei graficele traiectoriilor.
Calculai deviaiile absolute i relative ale celor dou soluii (traiectoria k(t) prin rezolvarea ecuaiei Bernoulli iprin aproximarea liniar).
////
Dinamica modelelor reprezentate prin ecuaii difereniale de ordin superior
Cazul general
Ecuaie diferenial de ordinul n, liniar, cu coeficieni constani, neomogen:
)(... 1)1(
1
)(
0 tgyayayaya nnnn
Rezolvm ecuaia omogen:
0... 1)1(
1
)(
0
yayayaya nnnn
Facem ipoteza c soluia are forma
t
ey
i o punem s verifice ecuaia omogen:
0... 11
10 t
n
t
n
tntn eaeaeaea
mprim la 0t
e , obinem ecuaia caracteristic:
0... 11
10
nn
nn aaaa
Ecuaia caracteristic este o ecuaie algebric liniar, de grad n, care are n soluii care pot fi reale (diferite saumultiple) i complexe conjugate.
Soluia general a ecuaiei omogene: Cazul rdcinilor reale, distincte:
)exp(...)(exp)exp()( 2211 tAtAtAty nnG
unde A1,A2,An sunt constante generalizate arbitrare.
Cazul rdcinilor multiple de ordin m
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
61/302
61
)exp()()(1
ttPty j
k
j
j
G
Unde
j sunt krdcini distincte, fiecare cu ordinul su de multiplicitate, iar )(tPj sunt polinoame detipul:
1
21 ...)( j
j
m
jmjjj tAtAAtP
CuAconstante generalizate arbitrare, iar jm ordinul de multiplicitate al celei de a j-a rdcin.
k- numrul de rdcini distincte.
n cazul rdcinilor complexe conjugate avem, pentru fiecare pereche avem:
)sincos( 21 tAtAe t
Cu , respectiv partea real i imaginar a numrului complex.Soluia particular o putem determina cu ajutorul metodei coeficienilor nedeterminai:
Facem ipoteza c soluia particular)(tyP
este de forma termenului liber i punem condiia ca aceasta s
verifice ecuaia neomogen.
Soluia ecuaiei neomogene este suma ntre soluia general a ecuaiei omogene i soluia particular:
)()()( tytyty PG
Exemplu:
Modelu l poli ticil or de stabilizare ntre cerere agregat i oferta agregat al lui Phillips
Notm:
)(tD cererea agregat
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
62/302
62
)(tYoferta agregat
Dac exist cerere excedentar, oferta crete; dac exist ofert excedentar, oferta scade:
0
))()(()(
tYtDtY
0 coeficient de reacie care arat viteza de ajustare ntre cererea agregat i oferta agregat. )()1()( tYstD
Undeseste propensitatea/nclinaia marginal i medie spre economisire, 10 s .Presupunem c cererea agregat este afectat de o perturbaie advers u=1.
1)()1()()1()( tYsutYstD
Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului n aceste ipoteze
nlocuim n ecuaia de dinamic a venitului:
)()(
(1)()1())()(()(
tsYtY
tYtYstYtDtY
Ultima relaie este o ecuaie diferenial de ordinul unu, neomogen.
Rezolvarea ecuaiei liniare de ordinul unu, neomogen:
Ecuaia omogen:
)()( tsYtY
Este ecuaie cu variabile separabile.
Soluia general a ecuaiei omogene:
stG CetY )(
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
63/302
63
Soluia particular:
DtY P )(soluia particular are forma termenului liber, o constant.
Punem condiia ca)(tY P
s verifice ecuaia neomogen:
sD0
s
DtYP 1
)(
Rezult traiectoria venitului:
sCetY st
1)(
Condiia iniial:
se
stY
sCYY
st 11)(
1)0( 0
Stabilitatea:
stY
t
1)(lim
Sistemul este stabil.
Punct fix, staionar, de echilibru:
sYtsYtY
1
0)(0)(
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
64/302
64
n cazul existenei unei perturbaii exogene asupra cererii agregate, valoarea de echilibru este negativ, ceea ce,pe termen lung nseamn c traiectoria venitului va conduce la valori negative ale venitului.
Pentru nlturarea acestei situaii, Phillips propune trei politici de stabilizare ntre cerere i ofert, prin
intermediul cheltuielilor guvernamentale )(tG
:
4. Politica de stabilizare proporional:Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu oferta agregat:
)()( tYftG p
0pf este coeficientul de proporionalitate.
5.
Politica de stabilizare diferenial:Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu variaia ofertei agregate:
)()( tYftG d
0df 6. Politica de stabilizare integral:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semncontrar cu suma ntre momentul iniial i momentulcurent al ofertelor agregate:
t
o
i dttYftG )()(
0if
Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului:
ntre nivelul teoretic )(tG
i cel actual G(t)al cheltuielilor guvernamentale exist o ntrziere
(obs. ntrzieri interne i externe n politicile macroeconomice, vezi cursul de Macroeconomiecantitativ):
)()( tGtG
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
65/302
65
Ajustarea diferenei ntre)(tG
i G(t)este dat deecuaia:
))()(()( tGtGtG 0
este coeficient de reacie i indic viteza de ajustare.
c. Pornim de la ecuaia cererii agregate, care va include cheltuielile guvernamentale, ntruct nmodel s-a introdus guvernul:
)(1)()1()( tGtYstD
Derivm n raport cu timpul:
)()()1()( tGtYstD
nmulim ecuaia cererii agregate cu :
)()()1()( tGtYstD
Adunm cele dou relaii:
)()()1()()()1()()( tGtYstGtYstDtD
Rescriem))()(()( tGtGtG
ca:
)())()( tGtGtG
i nlocuim n ecuaia de mai sus, obinem:
)()()1()()1(
)()(
tGtYstYs
tDtD
(a)
d. Pornim acum de la variaia venitului:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
66/302
66
))()(()( tYtDtY
Explicitm pe D(t):
)()()(
tYtYtD
nmulim cu :
))()(()( tYtYtD
Derivm:
)()()(
tYtYtD
Adunm ultimele relaii:
)()())()(()()(
tYtYtYtYtDtD
(b)
Egalm membrii drepi din ecuaiile (a) i (b):
)()())()((
)()()1()()1(
tYtYtYtY
tGtYstYs
Obinem ecuaia de dinamic a venitului:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
67/302
67
)()()()()( tGtsYtYstY Politica de stabilizare proporional:
)()()()()( tYftsYtYstY p
Ecuaia omogen:
0)()()()()( tYftsYtYstY p
Cutm soluie de forma:
tetY )(
0)()(2 tptt efsese
Ecuaia caracteristic:
0)()(2
pfss Discriminantul:
)(4)( 2 pfss
4
)(0
2 sfp
rdcini reale, egale,
tG etAAtY )()( 21
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
68/302
68
4
)(0
2
sfp
rdcini reale, diferite,
ttG eAeAtY 21 21)(
rdcini complexe conjugat
4
)(0
2
sfp
)sin(Im)cos(Im()( 21Re tAtAetY tG
Soluia particular, de forma termenului liber: o constant.
DtY
P
)(
Punem condiia s verifice ecuaia neomogen:
Dfs p )(
pfsD
1
Soluia:
p
G
fstYtY
1)()(
Dac traiectoria este stabil: 2,1,0Re ii , atunci:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
69/302
69
pt fs
tY
1)(lim
Observm c traiectoria de echilibru este tot negativ, dar mai mic n valoare absolut:
sfs p
11
ceea ce relev faptul c politica proporional are oanumit eficien, dar nu reuete s transforme valoarea negativ a echilibrului ntr-o valoare pozitiv.
Seminar
Aplicaie numeric:
Considerm urmtoarele valori:
4)0(
0)0(
2
5,0
25,0
4
Y
Y
f
s
p
c) Determinai consecinele unei perturbaii unitare negative a cererii agregate.d) Determinai n raport cu situaia de la punctul (a), efectele politicii de stabilizare proporionale.
(a)
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
70/302
70
e c h
t
t
t
P
tG
YtY
etY
C
CetY
tY
CetY
tYtY
tYtYtYtY
4)(lim
44)(
40
4)(
4)(
)(
)()(
4)())(1)(75,0(4)(
(b)
8)(6)(3)( tYtYtY
ticcaracterisecuatie0632
i936,15,12,1
))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY tG
DtYP )(
33,168)( tYP
33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY t
33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 AAAeY
(Obs: 0)0sin(,1)0cos( )
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
71/302
71
)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(
21
5,1
21
5,1
tAtAe
tAtAetY
t
t
Obs: )cos()(nsi
)sin()(sco
tt
tt
21 936,15,144)0( AAY
033,1936,133,15,14 22 AAx 33,1)936,1sin(033,1)936,1cos(33,1)( 5,1 ttetY t
Refacei calculele cnd2pf , 8 . Ce putei s spunei despre noile valori de echilibru n
cazul iniial i dup aplicarea politicii de stabilizare?
-/-
Capitolul 1
Cur s 1: Sisteme dinamice continue
5. Noiuni introductive
-
Isocline, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor.
6. Analiza dinamicii modelelor unidimensionale dinamice continue:
- Modelul Malthus
- Modelul Harrod Domar
- Modelul Solow
Isocline/curbe de indiferen, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor
-n multe modele economice, putem avea ecuaii difereniale sau cu diferene finite ale cror soluii nu le putemdetermina explicit, chiar dac avem forma implicit a ecuaiei.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
72/302
72
Pentru a avea informaii relative la soluie putem analiza proprietile calitative ale soluiei.
Considerm ecuaia diferenial de ordinul unu:
0,, babyaxdxdy
(1)Isocline/curbe de indifereni cmpuri de direcie:
Pentru fiecare pereche (x,y), ecuaia (1) specific panta n acel punct.
Graficul tuturor pantelor formeaz cmpul de direcieal ecuaieidifereniale i dfluxul soluiilor.
Cmpul de direcie poate fi asemnat cu pilitura de fier care se orienteaz dup forele magnetice.
Figura 1: Cmp de direcie
Definiie:Cmp de direcie/fluxul soluiilor estegraficul tuturor pantelor traiectoriilor determinate de o ecuaiediferenial.
Nu este posibil s considerm toateperechile (x,y) din plan,
Putem considera numai perechile (x,y) asociate unei pante fixe.
Notm mpanta fix a funcieif (x, y), adic toate perechile (x, y) pentru care panta funciei este egal cu m.
f(x,y)=m se numete isoclin(isocuant/curb deindiferen).
Determinarea isoclinei pentru funcia:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
73/302
73
mbyaxdy
dxyxf ),(
.
Isoclina (isocuanta) este o curb convex.
n ecuaia:
mbyax explicitm y n funcie de x:
b
m
b
axy
, este tocmai isoclinaf(x,y)=mscris n form explicit.
Diagrama n spaiul fazelor pentru modelele dinamice cu o singur variabil
(Spaul fazelorpentru un sistem dinamic este staiul n care se pot reprezenta toate strile posibile ale unuisistem, i micarea acestora. Conceptul de spaiul fafelor a fost introdus la sfritul sec al XIXlea, de ctreLudwig Boltzmann,Henri Poincar,Willard Gibbs).
Considermx(t)funcie continu de timp.
Considerm o ecuaie diferenial ))(()( txftx
.
Soluia ecuaiei difereniale, pentru t variabil, se numete traiectorie.
Cnd0)( tx , soluia xtx )( se numetepunct fix, punct de echilibru, punct critic
sau soluie staionar.
Dac traiectoria converge din orice punct iniial, ctre punctul de echilibrux , putem spune c punctul fix
este de tip atractor.
Punct fix atractor,traiectoria x(t) crete pn la
x i scade dupx .
Este un punct fix stabil.
Dac traiectoria se ndeprteaz dex , din orice punct iniial, spunem c punctul fix este de tip repelor.
https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmannhttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
74/302
74
Punct fi x repelor:traiectoria x(t) se ndeprteaz de
x , este un punct fix instabil.Anal iza dinamicii pentru modelele dinamice uni dimensionale continue
Exemplul 1:
Modelul de cretere a populaiei Malthus:
ktp
tp
)(
)(
(3)
p(t)= populaia la momentul t
k- rata constant de cretere a populaiei, k>0.
Ecuaia (3) este ecuaie diferenial de ordinul unu liniar omogen, cu variabile separabile.
Rezolvare:
)()(
)(
)(tkptpk
tp
tp
kdttptdp )(/)(
Integram ecuaia de mai sus:
dtktptdp )(/)( Ckttp ln)(ln
Unde C este constanta generalizat arbitrar.
Aplicm proprietile logaritmilor i funcia exponenial pentru eliminarea logaritmului.
ktCtp
ktCtp
Ckttp
exp)(
expln)(ln
lnexpln)(ln
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
75/302
75
Determinarea constantei de integrare:
Aplicm condiiile iniiale (Cauchy):
Pentru 0t ,0)0( pp
Cp 0 Obinem soluia:
kteptp 0)( Care satisface condiiile iniiale:
0)0( pp Tem: Determinai traiectoria de evoluie a populaiei pentru
p0=20, k=0,03 i k=0,05;
p0=50,k=0,03 i k=0,05;
p0=100, k=0,03 i k=0,05,
t=1,20.
Reprezentai graficele cu ajutorul EXCEL.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
76/302
76
Figura:Creterea Malthusian a populaiei
Figura:Cmpul de direcie pentru modelul creterii Malthusiene a populaiei
Punctul fix, soluia staionar, satisface ecuaia:
00)( ptp
Stabilitatea punctului fix este dat de comportarea traiectoriei pentru t .
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
77/302
77
tt
ktptp )exp(lim)(lim 0deci sistemul este instabil, cmpul de direcie se va ndeprta de punctul fix, punctul fix este de tip repelor.
n cazul sistemelor dinamice unidimensionale de ordinul nti omogene, soluia general a ecuaiei omogene este
de forma
tCe .
Dac 0 , stabilitatea este asigurat (vezi cursurile de Bazele ciberneticii economice). Exemplul 2:Modelu l de cretere economic Harrod- Domar1939-Roy Harrod
1946-Evsey DomarEste un model post Keynesian timpuriu de cretere economic.I s-a reproat instabilitatea soluiei.Controversele academice au dus, dup 1950 la dezvoltarea modelului Solow-Swan.Notaii, ipoteze:S(t)- economiile sunt proporionale cu venitul Y(t);
I(t)-investiiile (modificrile n stocul de capital) sunt proporionale cu modificrile venitului;S(t)=I(t)-la echilibru, economiile sunt egale cu investiiile.
s-propensitatea medie (egal cu cea marginal) ctre economisire;v-ponderea investiiilor n sporul total al venitului, sau inversulproductivitii marginale a capitalului.
Modelul:
)()(
)()()(
)()(
tStI
tYtKtI
tsYtS
Rezolvarea modelului:
0)()(
)()(
tYs
tY
tsYtY
Ecuaie diferenial liniar, de ordinul unu, cu coeficieni constani, omogen.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
78/302
78
)()(
tYs
dt
tdY
dts
tY
tdY
)(
)(
dts
tY
tdY
)(
)(
CtstY ln)(ln
Cts
tY lnexpln)(ln
)exp()( t
s
CtY Determinarea constantei de integrare:
0)0(0 YYt
CYxs
CYt 00 )0exp(0
)exp()( 0 t
s
YtY
Tem:
Scriei rezolvarea ecuaiei:
0)()(
tYs
tY
Cu condiiile iniiale:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
79/302
79
0)0( YY Interpretare economic:n soluie, (traiectoria venitului):
tseYtY )/(0)(
/s -warranted rate of growth rata justificat de cretere economic: se justific prinstructura economic dat de parametrii modelului: s i
Punct fix:
00 YY
Tipul de punct fix:
t
ts
t
eYtY )lim()( )/(0lim
Punct fix de tip repelor, sistem global instabil.Se spune globalstabil/instabil, dac exist un singur punct fix.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
80/302
80
Figura: Cmpul de direcie pentru modelul Harrod-Domar
Tem:Folosind EXCEL; determinai traiectoriile pentru indicatorii: Y(t),I(t),C(t),cunoscnd datele:
7,0
3,0
..1000
s
muY
)(7,0)(
)(3,0)()(
100)()7,0/3,0(
tYtC
tYtStI
etYt
Exerciiu:
75,0
25,0
500
s
Y
Exemplul 3:
Modelul de cretere echilibrat al lui Solow
Ipoteze:
1. ))(),(()( tLtKFtY
funcia de producie macroeconomic, de dou ori difereniabil,
omogen de grad unu;
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
81/302
81
)(
)()(
tL
tKtk
nzestrarea tehnic a muncii;
)(
)()(
tL
tYty
venitul per capita;
Calculul venitului per capita:
Presupunem funcia de producie omotetic (omogen de grad unu: 0),;(),( LKFLKF )
ykfkFLKF
LLKF
LY )()1,()1,(),(
2.Fora de munc crete cu o rat constant n, care este independent de variabilele celelalte ale sistemului:
0)0(),()( LLtnLtL nteLtL 0)(
7. Economiile sunt o pondere constant n valoarea venitului, (S=sY), s este rata economiilor, datexogen: modelul lui Solow este model de cretere economic exogen.
4. Economiile n echilibru, sunt egale cu investiiile:).()( tItS
.
8. Investiiile brute sunt egale cu variaia stocului de capital (investiia net) plus nlocuirea capitaluluifix uzat:
)()()( tKtKtI
Unde este rata amortizrii.Modelul lui Solow n mrimi totale:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
82/302
82
nteLtL
KK
tKtItK
tsYtS
tStI
0
0
)(
)0(
)()()(
)()(
)()(
nlocuind primele dou ecuaii n a treia, obinem:
)()()( tKtsYtK Ecuaia de dinamic a capitalului sau investiia net.
Transformm modelul n mrimi per capita:
knksf
nkkksfL
L
L
K
L
KsY
L
LKLKk
)()(
)(2
Atunci:
)()())(()( tkntksftk
Modelul lui Solow n mrimi percapitaconst n ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii sau investiianet n mrimi per capita de mai susi condiia iniial:
0
0
0)0( kL
Kk
Putem rezolva ecuaia dinamic a capitalului per capita dac dm o form analitic funciei de producie percapia.
Presupunem c este o funcie Cobb-Douglas omotetic (omogen de grad unu):
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
83/302
83
akkfy
LKa
LY
LaKY
)(
)(
10,1
Ecuaia de dinamic a capitalului per capita va fi:
)()()()( tkntsaktk Ecuaia diferenial obinut este:
)()()()( tsaktkntk
ecuaie diferenial neliniar, omogen, de tip Bernoulli.
Rezolvarea ecuaiei Bernoulli:
Schimbarea de variabil:
1k Derivm n raport cu timpul:
kk )1(
Explicitm k din relaia de mai sus:
)1(
kk
mprim ecuaia de dinamic lak :
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
84/302
84
saknkk 1)(
nlocuim
)1(
kkn ecuaia de mai sus:
Obinem:
))(1()1( nsa
Adic o ecuaie liniar de ordinul unu, neomogen n
.
Rezolvm ecuaia omogen:
0))(1( n
Cutm o soluie de forma:
tet )(
Punem condiia ca soluia s verifice ecuaia omogen:
0))(1( tt ene
mprim ecuaia la
te :
0))(1( n Ecuaia de mai sus se numete ecuaie caracteristic.
Determinm soluia , a ecuaiei caracteristice:
))(1( n Soluia general a ecuaiei omogene este:
))(1()( ntG CeCet
Unde C este constant generalizat arbitrar.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
85/302
85
Soluia particular este de forma termenului liber:
Dt P )(
Punem condiia ca soluia particular s verifice ecuaia neomogen:
Dnsa ))(1()1(0 Determinm constanta D:
P
n
saD
)(
Soluia general a ecuaiei neomogene este suma ntre soluia general a ecuaiei omogene, plus o soluieparticular:
PG ttt )()()(
n
asCet tn ))(1()(
Determinarea constantei de integrare:
Pentru
n
asCt 00)0(0
Rezult soluia:
tn
en
as
n
as ))(1(0 )(
Determinarea traiectoriei venitului per capita:
Considerm condiiile iniiale:
100 k Atunci:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
86/302
86
tnen
ask
n
ask ))(1(10
1 )(
Sau:
1
1
))(1(1
0 )()( tne
n
ask
n
astk
Aceasta este traiectoria echilibrat de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii (corespunde traiectoriei
staionare/echilibrate, determinate din condiia de echilibru/staionariate 0)( tk ).
Tem:
Deducei traiectoria de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii n cazul modelului de cretere echilibrat al luiSolow.
Traiectoria de evoluie a stocului total de capital(se obine multiplicnd traiectoria venitului per capita, cu
nteLtL 0)( ):
)1/(1
1
0
))(1(
0)(
n
aske
n
aseLtK
tnnt
------------------------------------------------------------
Tem:Deducei traiectoria de evoluie a capitalului total.
Punctele staionare:
0)(tk 0)( knsak
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
87/302
87
0)( 1 nsakk Punctele fixe/staionare/de echilibru sunt:
01
ki
)1/(1
2
sa
nk
Modelul Solow are deci dou puncte fixe.
Nu poate fi global stabil, ntruct aceasta este o proprietate posibil pentru sistemele cu un singur punct fix.
La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilete pentru fiecare punct fix n parte: este
stabilitate/instabilitate local, ntr-o vecintate a punctului fix .
Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este local stabil:
2)1/(1
)1/(1
1
0
))(1( )()(lim kn
as
n
aske
n
as tnt
Rezult c:
2)(lim ktk
t, deci
2k esteatractor
Dac traiectoria converge ctre01
)1/(1
2
kn
ask
, rezult
01 k
esterepelor, ntruct traiectoria se deprteaz de acest punct fix, cnd t .ntr-o vecintate a lui
2k , traiectoria tinde ctre
2k ,sistemul este localstabil.
ntruct traiectoria tinde asimptotic ctre
2k , sistemul este local , asimptotic stabil.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
88/302
88
Figura: Traiectoria nzestrrii pentru diferite valori iniiale ale lui k(t).
Figura: Cmpul de direcie pentru modelul lui Solow.
Analiza traiectoriei n spaiul fazelor )(),(( tktk :
Reprezentm grafic funcia0)(0)( knsaktk
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
89/302
89
Reprezentm grafic curba0)( tk
, adic0)( knsak
, n planul ),( kk
Puncte singulare:
Derivm funcia ))(( knsak n raport cu ki egalm derivata cu zero, pentru a afla punctelesingulare.
)1/(1
1 0)(0
as
nknkasknask
dk
d
, este k punct singular.Pentru a afla natura punctului singular, calculm derivata a doua:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
90/302
90
0)1( 22
2
kasknaskdk
d
, k punct de maxim.
k(t)
1k k
2k
knask 0 max 0
nkas 1 + + + + + +0- - - - - -
Rezult 0)( tk deasupra abscisei (la stnga lui2k )i 0)( tk sub abscis (la dreapta lui
2
k ).
Investiia brut i investiia de compensare
Investiia de compensareeste destinat nlocuirii capitalului fix uzat i dotrii cu capital a personalului intrat nactivitate.
n punctul
2kk , investiia brut este egal cu investiia de compensare:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
91/302
91
Figura: Investiiile brute i investiiile de compensare
Pentru k=
2k , knsak )(
, respectiv investiiile brute sunt egale cu investiiile decompensare.
Dac
2kk , investiiile de compensare sunt mai mici dect investiiile brute i stocul de capital percapita va crete.
Dac k>
2k , investiiile de compensare devin mai mari dect investiiile brute, ceea ce determin scderea
stocului de capital per capita, cu valoarea capitalului necesar nzestrrii sporului de for de munc i acapitalului fix uzat.
sf(k)sunt investiiile brute, care n condiii de echilibru, trebuie s fie egale cu economiile;
kn )( sunt investiiile de compensare: compenseaz capitalul fix uzat i nzestrarea tehnic a
muncii pentru sporul populaiei.
Am obinut rezultatele:
knksfk )()(0 capitalul crete;
knksfk )()(0
capitalul scade;
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
92/302
92
knksfk )()(0 capitalul rmne la valoarea staionar,
pe temen indefinit.
Tem:Determinai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii, a capitalului total, a populaiei totale, a venitului per capita ia venitului total, cunoscnd datele:
3,0,100,35,0,05,0,009,0,50,1000 00 sanLK , pentru T=10 ani.
Rata de cretere echilibrat:
Este rata de cretere a indicatorilor macroeconomici pe traiectoria echilibrat .
Rata de cretere echilibrat avenitului
)()( 0 takeLtY nt
)()()()()( 0
1
00 takenLtktkaeLtakenLtY ntntnt
Rezult:
)()( 0 takenLtY nt
Atunci:
n
takeL
takenL
tY
tYnt
nt
)(
)(
)(
)(
0
0
Rata de cretere echilibrat a venitului esten, egal cu rata de cretere a populaiei.
Pentru stocul total de capital )()( 0 tkeLtK nt :
n
tkeL
tkeLtkenL
tK
tKnt
ntnt
)(
)()(
)(
)(
0
00
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
93/302
93
Pe traiectoria de cretere echilibrat, rata de cretere a capitalului i a venitului sunt constante i egale cu ratade cretere a populaiei, n.
Cur s 3
Dinamica modelelor reprezentate prin ecuaii difereniale de ordin superior
Cazul general
Ecuaie diferenial de ordinul n, liniar, cu coeficieni constani, neomogen:
)(... 1)1(
1
)(
0 tgyayayaya nnnn
Rezolvm ecuaia omogen:
0... 1)1(
1
)(
0 yayayaya nn
nn
Facem ipoteza c soluia are forma
tey i o punem s verifice ecuaia omogen:
0... 11
10 t
n
t
n
tntn eaeaeaea
mprim la 0t
e
, obinem ecuaia caracteristic:
0... 11
10
nn
nn aaaa
Ecuaia caracteristic este o ecuaie algebric liniar, de grad n, care are n soluii care pot fi reale (diferite saumultiple) i complexe conjugate.
Soluia general a ecuaiei omogene: Cazul rdcinilor reale, distincte:
)exp(...)(exp)exp()( 2211 tAtAtAty nnG
unde A1,A2,An sunt constante generalizate arbitrare.
Cazul rdcinilor multiple de ordin m
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
94/302
94
Unde
j
sunt krdcini distincte, fiecare cu ordinul su de multiplicitate, iar )(tPj sunt polinoamede tipul:
1
21 ...)(
j
j
m
jmjjj tAtAAtP
CuAconstante generalizate arbitrare, iarj
mordinul de multiplicitate al celei de a j-a rdcin.
k- numrul de rdcini distincte.
n cazul rdcinilor complexe conjugate avem, pentru fiecare pereche avem:
)sincos( 21 tAtAe t
Cu,
respectiv partea real i imaginar a numrului complex.
Soluia particular o putem determina cu ajutorul metodei coeficienilor nedeterminai:
Facem ipoteza c soluia particular )(tyP
este de forma termenului liber i punem condiia caaceasta s
verifice ecuaia neomogen.
Soluia ecuaiei neomogene este suma ntre soluia general a ecuaiei omogene i soluia particular:
)()()( tytyty PG
Exemplu:
Modelul politicilor de stabilizare ntre cerere agregat i oferta agregat al lui Phill ips
Notm:
)(tDcererea agregat
)(tYoferta agregat
Dac exist cerere excedentar, oferta crete; dac exist ofert excedentar, oferta scade:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
95/302
95
0
))()(()(
tYtDtY
0 coeficient de reaciecare arat viteza de ajustare ntre cererea agregat i oferta agregat.)()1()( tYstD
Undeseste propensitatea/nclinaia marginal i medie spre economisire, 10 s .Presupunem c cererea agregat este afectat de o perturbaie advers u=1.1)()1()()1()( tYsutYstD
Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului n aceste ipoteze
nlocuim n ecuaia de dinamic a venitului:
)()(
(1)()1())()(()(
tsYtY
tYtYstYtDtY
Ultima relaie este o ecuaie diferenial de ordinul unu, neomogen.
Rezolvarea ecuaiei liniare de ordinul unu, neomogen:
Ecuaia omogen:
)()( tsYtY
Este ecuaie cu variabile separabile.
Soluia general a ecuaiei omogene:
stGCetY
)(
Soluia particular:
DtY P )( soluia particular are forma termenului liber, o constant.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
96/302
96
Punem condiia ca)(tYP
s verifice ecuaia neomogen:
sD0
sDtYP 1
)(
Rezult traiectoria venitului:
sCetY st 1
)(
Condiia iniial:
se
stY
sCYY
st 11
)(
1)0( 0
Stabilitatea:
stY
t
1)(lim
Sistemul este stabil.
Punct fix, staionar, de echilibru:
sYtsYtY
10)(0)(
n cazul existenei unei perturbaii exogene asupra cererii agregate, valoarea de echilibru este negativ, ceea ce,pe termen lung nseamn c traiectoria venitului va conduce la valori negative ale venitului.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
97/302
97
Pentru nlturarea acestei situaii, Phillips propune trei politici de stabilizare a diferenei ntre cerere i ofert,
prin intermediul cheltuielilor guvernamentale )(tG
:
7. Politica de stabilizare proporional:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu oferta agregat:
)()( tYftG p
0pf este coeficientul de proporionalitate.8. Politica de stabilizare diferenial:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu variaia ofertei agregate:
)()( tYftG d
0df 9. Politica de stabilizare integral:
Cheltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu suma ntre momentul iniial i momentulcurent al ofertelor agregate:
t
o
i dttYftG )()(
0if Determinarea ecuaiei de dinamic a venitului:
ntre nivelul teoretic )(tG i cel actual G(t)al cheltuielilor guvernamentale exist o ntrziere(obs. ntrzieri interne i externe n politicile macroeconomice, vezi cursul de Macroeconomiecantitativ):
)()( tGtG
Ajustarea diferenei ntre)(tG
i G(t)este dat deecuaia:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
98/302
98
))()(()( tGtGtG
0este coeficient de reacie i indic viteza de ajustare.
e. Pornim de la ecuaia cererii agregate, care va include cheltuielile guvernamentale, ntruct nmodel s-a introdus guvernul:
)(1)()1()( tGtYstD
Derivm n raport cu timpul:
)()()1()( tGtYstD
nmulim ecuaia cererii agregate cu :
)()()1()( tGtYstD
Adunm cele dou relaii:
)()()1()()()1()()( tGtYstGtYstDtD
Rescriem))()(()( tGtGtG
ca:
)())()( tGtGtG i nlocuim n ecuaia de mai sus, obinem:
)()()1()()1(
)()(
tGtYstYs
tDtD
(a)
f. Pornim acum de la variaia venitului:
))()(()( tYtDtY
Explicitm pe D(t):
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
99/302
99
)()()(
tYtYtD
nmulim cu :
))()(()( tYtYtD
Derivm:
)()()(
tYtYtD
Adunm ultimele relaii:
)()())()(()()( tYtYtYtYtDtD
(b)
Egalm membrii drepi din ecuaiile (a) i (b):
)()())()((
)()()1()()1(
tYtYtYtY
tGtYstYs
Obinem ecuaia de dinamic a venitului:
)()()()()( tGtsYtYstY Politica de stabilizare proporional:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
100/302
100
)()()()()( tYftsYtYstY pEcuaia omogen:
0)()()()()( tYfstYstY p Cutm soluie de forma:
tetY )(
0)()(2 tptt efsese
Ecuaia caracteristic:
0)()(2 pfss Discriminantul:
)(4)(
2
pfss
4
)(0
2
sfp
rdcini reale, egale,
tG
etAAtY
)()( 21
4
)(0
2
sfp
rdcini reale, diferite,
ttG
eAeAtY 21 21)(
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
101/302
101
rdcini complexe conjugat
4
)(0
2
sfp
)sin(Im)cos(Im()( 21Re tAtAetY tG
Soluia particular, de forma termenului liber: o constant.
DtY
P
)(
Punem condiia s verifice ecuaia neomogen:
Dfs p )(
pfsD
1
Soluia:
p
G
fstYtY
1)()(
Dac traiectoria este stabil:2,1,0Re ii , atunci:
pt fs
tY
1)(lim
Observm c traiectoria de echilibru este tot negativ, dar mai mic n valoare absolut:
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
102/302
102
sfs p
11
ceea ce relev faptul c politica proporional are o
anumit eficien, dar nu reuete s transforme valoarea negativ a echilibrului ntr-o valoare pozitiv.
Seminar
Aplicaie numeric:
Considerm urmtoarele valori:
4)0(
0)0(
2
5,0
25,0
4
Y
Y
f
s
p
e) Determinai consecinele unei perturbaii unitare negative a cererii agregate.f) Determinai n raport cu situaia de la punctul (a), efectele politicii de stabilizare proporionale.
(a)
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
103/302
103
e c h
t
t
t
P
tG
YtY
etY
C
CetY
tYCetY
tYtY
tYtYtYtY
4)(lim
44)(
40
4)(
4)()(
)()(
4)())(1)(75,0(4)(
(b)
8)(6)(3)( tYtYtY
ticcaracterisecuatie0632
i936,15,12,1
))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY tG
DtYP
)(
33,16
8)( tYP
33,1))936,1sin()936,1cos(()( 215,1 tAtAetY t
33,133,1)0sin0cos(0)0( 1210 AAAeY
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
104/302
104
(Obs:0)0sin(,1)0cos(
)
)936,1(cos(936,1)936,1sin(936,1))936,1sin()936,1cos((5,1)(
21
5,1
21
5,1
tAtAe
tAtAetY
t
t
Obs: )cos()(nsi
)sin()(sco
tt
tt
21 936,15,144)0( AAY
033,1936,133,15,14 22 AAx 33,1)936,1sin(033,1)936,1cos(33,1)( 5,1 ttetY t
Refacei calculele cnd
2p
f,
8. Ce putei s spunei despre noile valori de echilibru n
cazul iniial i dup aplicarea politicii de stabilizare?
SISTEME DI NAM ICE DISCRETE
Clasificare:
Un sistem dinami c discreteste o secven de funciiyt, care sunt definite recursiv, adic exist o regul care leagfunciile din secven.Notm secvena:{yt}.
)(1 tt yfy (1)Relaia (1) este ecuaie recursiv.
)(11 tttt ygyyy (2)Relaia (2) este ecuaie cu diferene de ordin unu.
n ecuaia (1) )( tyf poate filiniar/neliniar.
7/25/2019 Dinamica sistemelor economica
105/302
105
Ecuaia dinamic liniar discret de ordinul doi, neomogen, cu coeficieni constani:
)(12 tgbyayy ttt Rezolvarea ecuaiilor liniare dinamice discrete cu coeficieni constani:
1. Rezolvm ecuaia omogen:
012 ttt byayy
Cutm o soluie de forma
t :
012