1. dinamica - mec.upt.ro · 1. dinamica 1.1. Introducere O clasificare a sistemelor de acţionare...

1. dinamica

1.1. Introducere

O clasificare a sistemelor de acţionare electrică ia în considerare numărul de motoare raportate la sarcina de acţionat: - sistem de acţionare în linie – reprezintă cea mai veche variantă. Sistemul are la bază un singur motor şi mai multe sarcini de lucru ML. Varianta este cu o flexibilitate extrem de redusă (fig....);

Motor Tambur

Element flexibil

ML1 ML2 MLn Fig. 1.1 Sistem de acţionare în linie

- sistem de acţionare motor unic – sarcină unică. Sistemul constă practic dintr-un motor unic care antrenează o singură sarcină. Este cazul majoritar al sistemelor de acţionare actuale (fig….). Hard-discul unui sistem de calcul sau vehiculul pentru terenul de golf sunt doar două exemple din multitudinea de aplicaţii. - sistem multimotor. În acest caz un număr de motoare intră în componenţa unui sistem cu scopul de a antrena o sarcină unică. Este cazul sistemelor complexe: roboţi mobili, aviaţie, roboţi industriali etc. (fig...).

dinamica -1

2

a)

b)

Fig. 1.2 Sistem de acţionare cu motor unic

Motor

Motor

Motor

Fig. 1.3 Sistem multimotor

1.2. Caracteristica statică

3


1.2.1. Introducere

Schema principială a unui sistem de acţionare electrică este prezentată în figura …Sistemul se bazează pe un motor de acţionare şi are ca scop realizarea unui proces tehnologic pe baza maşinii de lucru ML.

Sursă de putere M L

motor

mM

mΩ

Fig. 1.4 Schema principială a unui sistem de acţionare electrică

Dependenţa realizată între parametrii dinamici reduşi ai unei maşini şi parametrii cinematici sau poziţionali ai elementului de reducere se numeşte caracteristica mecanică a maşinii respective. Dupa natura parametrului dinamic redus, o forţă "F" sau un moment "M", parametrul cinematic al elementului de reducere va fi viteza de translaţie "v" sau viteza unghiulară "ω". In acelaşi timp parametrul poziţional va fi o deplasare liniară "s" sau una unghiulară "Θ". Caracteristicile mecanice din categoria )(vFF = sau )(sFF = sunt specifice maşinilor cu element de reducere în mişcare de translaţie. Caracteristicile mecanice

)(ωMM = sau ( )Θ= MM sunt specifice maşinilor cu elementul de reducere în mişcare de rotaţie.

1.2.2. Caracteristica mecanică motoare

În cadrul unui sistem de acţionare din partea unui motor electric rotativ se solicită un anumit cuplu "Mm" la o anumită viteză unghiulară "ω" a rotorului (elementul de reducere). Dependenţa ( )ωmm MM = reprezintă caracteristica mecanică

motoare (c.m.m.) a maşinii electrice de acţionare. Caracteristicile mecanice ale unui motor electric de acţionare se pot clasifica în:

• c.m.m. statică naturală • c.m.m. statică artificială • c.m.m. dinamică.

Caracteristicile mecanice statice reprezinta dependenţele ( )ωmm MM = la o

funcţionare în regim stabilizat ( .ct=ω ). Caracteristica mecanică statică naturală se obţine când la bornele de alimentare a maşinii electrice de acţionare se aplică tensiunea nominala (valoare, frecvenţă şi forma de variaţie în timp) iar în circuitul maşinii nu se găsesc întercalate alte elemente de circuit (reostate, bobine, condensatoare). Toate caracteristicile în regim stabilizat definite în alte condiţii decât cele specificate anterior, se numesc caracteristici mecanice motoare artificiale (de ex. prin aplicarea unei alte tensiuni de alimentare

dinamica -1

4

decât cea nominală). Caracteristica mecanică dinamică a unei maşini de acţionare reprezintă totalitatea punctelor de funcţionare definite prin valorile momentane ale coordonatelor (M,ω) în timpul unui proces tranzitoriu. In figura …… se prezintă caracteristicile mecanice statice pentru o serie de maşini electrice de acţionare:

• curba "a" caracteristica mecanică absolut rigidă specifică maşinii sincrone; • curba "b" caracteristica mecanică rigidă specifică m.c.c cu excitaţie paralelă sau

separată, motorul asincron în zona uzuală de funcţionare. • curba "c" caracteristica mecanică moale specifică m.c.c. cu excitaţie serie.

Fig. 1.5 Caracteristici mecanice statice

În cazul maşinii sincrone caracteristica "a" nu permite o apreciere a posibilităţilor de încărcare. Din acest motiv pentru aceste maşini se oferă caracteristica unghiulara )(ϕMM = unde unghiul φ este intern sau unghiul de sarcină (fig……).

Fig. 1.6 Caracteristica unghiulară a motorului sincron

Caracteristica mecanică statică )(θMM = pentru un m.p.p. şi caracteristica

dinamică )( fMM = ( secpasi

frecventaf == ) este prezentată în figura …..

Fig. 1.7 Caracteristici mecanice statice pentru un motor pas cu pas


5

Pentru motoarele electrice liniare caracteristica mecanică motoare este definită de dependenţa )(sFF = prezentată în figura …… (s - are semnificaţia de alunecare).

Fig. 1.8 Caracteristica motorului liniar

În cazul electromagneţilor caracteristica mecanică motoare statică defineşte dependenţa forţa (F) - cursa armăturii (δ) (sau moment M - cursa unghiulară α) pentru poziţii imobile ale acesteia (fig…….) (a - caracteristica electromagnetului proporţional; b - caracteristica mecanică statică pentru electromagnet obişnuit; c - caracteristica dinamică). Aceleaşi dependenţe ridicate în cazul mişcării rapide a armăturii, formează caracteristicile dinamice (în timpul stărilor tranzitorii când întrefierul şi deci şi inductivitatea circuitului se modifică).

Fig. 1.9 Caracteriscile electromagneţilor

1.2.3. Caracteristica mecanică rezistentă

Dacă dependenţele specificate anterior se referă la maşina de lucru, în speţă elementul mobil al cuplei cinematice conducătoare din structura unui robot industrial, spunem că avem caracteristica mecanică rezistentă. Parametrul cinematic ω (sau Ω) şi cel poziţional θ se referă la elementul de reducere considerat ca fiind rotorul motorului electric. Într-o formă generalizată cuplul rezistent introdus de o sarcină se poate exprima printr-o relaţie:

K

n

rnr MCM

ΩΩ

⋅⋅= ( 1.1)

unde: C este o constantă de proporţionalitate; rM este cuplul rezistent introdus de

sarcină la viteza nominală nΩ ; Ω este viteza de lucru; K este un coeficient

dinamica -1

6

reprezentând dependenţa cuplului de viteză. Se poate preciza astfel că pentru maşinile şi mecanismele de lucru (ML) caracteristicile mecanice pot fi de aceeaşi formă calitativă. Relaţia anterioară (....) poate prezenta şi o formă dezvoltată prin luarea în considerare a cuplului rezistent de mers în gol şi care este determinat în principal de frecările existente:

K

n

rrnrr MMMM

ΩΩ

⋅−+= )( 00 ( 1.2)

Puterea mecanică necesară antrenării sarcinii se poate exprima sub forma generalizată:

Ω= MP ( 1.3)

unde viteza unghiulară este:

]/[60

2srad

n⋅=Ω

π ( 1.4)

pentru turaţia min]/[rotn . Caracteristici reprezentative sunt prezentate în figurile

....,,,,:

rM

Ω .constM r =

2Ω≈rM

Ω≈

1rM

Fig. 1.10 Caracteristici statice rezistente

P

Ω

.constM r =

2Ω≈rM Ω

≈1

rM

Fig. 1.11 Caracteristici ale puterii necesare


7

a) caracteristica pentru cuplu independent de viteză ( 1;1 == CK ). Puterea este

în acest caz dependentă liniar de viteză. Ca exemplu specific pentru această categorie se pot aminti mecanismele de ridicare ale podurilor rulante. In timpul coborârii sau ridicării, greutatea la cârlig rămâne aceeaşi. Se includ de asemenea în această categorie benzile de transport cu încărcare constantă.

Fig. 1.12 Caracteristică statică rezistentă

b) caracteristica pentru cuplu dependent liniar de viteză ( 1=K ). Puterea are în acest caz (conform rel....) o dependenţă pătratică de viteză.

c) caracteristica pentru cuplu dependent de pătratul vitezei ( 2=K ). În acest caz, puterea este proporţională cu viteza la puterea a 3-a. Sarcini specifice acestui caz se pot aminti: pompe centrifugale; propulsoare etc.

d) caracteristica pentru cuplu invers proporţional cu viteza ( 1−=K ). Puterea este în acest caz independentă de viteză. Sarcini specifice: strunguri, maşini de frezat, maşini de găurit etc.

Acţionarea maşinilor unelte din procesele de prelucrare clasice au în vedere tehnologia specifică fiecărui caz în parte. În figura ....se prezintă un astfel de caz pentru prelucrarea prin aşchiere a unei piese.

n

tF aV

Fig. 1.13 Forţa în procesul de aşchiere

dinamica -1

8

Piesa de prelucrat se roteşte cu viteza de rotaţie min]/[rotn iar scula de

prelucrat se deplasează axial cu viteza aV . Semifabricatul are diametrul D iar piesa

după prelucrare are diametrul d . În zona de prelucrare se dezvoltă forţa tangenţială

tF . Principalii parametri ai procesului de prelucrare sunt :

• Forţa tangenţială tF ;

• Viteza periferică NDVc ⋅⋅= π .

Forţa tangenţială poate fi determinată din cunoaşterea procesului de prelucrare:

( )2

dDKVF a

t

−⋅= ( 1.5)

unde K - este forţa specifică de prelucrat care depinde de materialele implicate şi de o serie de alţi parametri (de exemplu de unghiul de aşchiere). Puterea necesară pentru motorul de antrenare se poate calcula în aceste condiţii ca fiind:

ct VFP ⋅= ( 1.6)

În cazul unei operaţii de frezare frontală puterea necesară pentru antrenarea sculei se poate estima la valoarea (fig...):

p

ca

R

WVdP

⋅⋅= ( 1.7)

unde pR este cantitatea de material eliminată prin prelucare. Valori de referinţă pentru

câteva materiale sunt prezentate în tabelul ...

aV

n

Fig. 1.14 Forţele în procesul de frezare


9

Tabelul 1.1

Material Viteza de

prelucrare Vc

min]/m

Forţa specifică

de prelucrat

K

Cantitatea de

material eliminat

]min

[3

KW

mRp ⋅

Oţel cu carbon redus 15090 − 2200 25

Fontă 9060 − 1300 35

Aluminiu 730230 − 900 80

Un alt exemplu se referă la maşinile pentru înfăşurat hârtie, tablă, pentru bobinat etc. Procesul tehnologic din aceste cazuri impune ca viteză liniară de înfăşurare şi forţa de întindere a produsului ( rF ) să fie constante. Trebuie avut în vedere şi faptul că diametrul tamburului creşte pe durata înfăşurării (fig……). Ca urmare viteza unghiulară a tamburului trebuie să scadă :

D

v2=Ω ( 1.8)

v

rF

D

Fig. 1.15 Tambur cu diametru variabil

Momentul rezistent devine în acest caz :

Ω⋅

=Ω

⋅==vF

Fv

DFM rrrr

2

2

1

2

1 ( 1.9)

O altă grupă de maşini şi mecanisme de lucru produc un cuplu rezistent dependent de unghiul de rotaţie al arborelui motor. Se includ în această categorie ML cu mecanism bielă manivelă : pompele şi compresoarele cu piston, foarfecele de tăiat tablă, presele mecanice etc. Se includ în acest caz şi cazuri de acţionare din unele cuple cinematice ale roboţilor industriali.

1.2.3.1. Caracteristica rezistentă pentru ML cu mecanism bielă manivelă

Cuplul rezistent al mecanismului de lucru raportat la cupla cinematică de rotaţie A este (fig…….):

dinamica -1

10

RFM BtR ⋅= ( 1.10)

R

x

y

α β F

A

B

C D

B

C A

R

BtF

BF

F

β

a)

b)

L

Fig. 1.16 ML cu mecanism bielă manivelă

Având în vedere că βcosFFB = se determină că:

βαβαβ cos)sin()sin( ⋅+⋅=+⋅= FFF BBt ( 1.11)

ββα cos)sin( ⋅+⋅= FRM R ( 1.12)

Din geometria mecanismului se determină o relaţie de legătură între parametrii geometrici ai acestuia:

βα sinsin LR = ( 1.13)

În acest caz relaţia (....,.) devine:

),,( LRfRFM R α⋅⋅= ( 1.14)

Pentru 51<

LR se poate admite că 0≈β şi astfel :

αsinFRM R = ( 1.15)

1.2.3.2. Caracteristica rezistentă pentru acţionările unor cuple

cinematice conducătoare ale roboţilor

1.2.3.2.1. Introducere

Robotica oferă un câmp vast pentru diversele variante de soluţii principiale realizate. Astfel, roboţii industriali, roboţii mobili, roboţii păşitori, etc. au în dotare sisteme de acţionare sub diverse forme de realizare. Roboţii industriali au structura formată din:

• Dispozitivul de ghidare o Mecansimul generator de traiectorie o Mecanismul de orientare


11

• Efectorul final o Dispozitiv de prehensiune o Sculă o Dispozitiv de forţă

Mecanismul generator de traiectorie este format din cuple cinematice conducătoare şi are rolul de a asigura deplasarea punctului caracteristic dintr-o poziţie iniţială într-o poziţie finală în conformitate o lege de mişcare şi o funcţie de comandă.

Cupla C

Cupla B

Cupla A

Cupla A

Cupla C

Cupla B

a) b)

Cupla A

Cupla B

Cupla C

Cupla A

Cupla B

Cupla C

c) d)

Fig. 1.17 Mecanisme generatoare de traiectorie şi cuplele cinematice conducătoare componente

Mecanismul de orientare este format din cuple cinematice de rotaţie. În componenţa unui astfel de mecanism sistemul de acţionare are rolul de a orienta o

dinamica -1

12

dreaptă caracteristică în spaţiu. În figura ….se prezintă soluţia principială a unui astfel de mecanism.

Cupla α

Cupla β

Cupla γ

Interfaţă efector final

Fig. 1.18 Mecanismul de orientare

Fie lanţul cinematic deschis ce stă la baza dispozitivului de ghidare al unui robot

industrial (fig…). Asupra efectorului final va acţiona torsorul ( )MF , corespunzător forţei tehnologice efectuate, a greutăţii pieselor manipulate, a greutăţii capului de

forţă manipulat. Fiecare element "i" este încărcat cu forţele gravitaţionale Gi.

Fig. 1.19 Forţele exterioare ce încarcă un lanţ cinematic deschis

Pentru cupla cinematică conducătoare ( )ii ,1− momentul rezistent se compune

din componenta gravitaţională a lanţului cinematic ( )ni, , din componenta tehnologică, din componenta de frecare şi de inerţie. Momentul rezistent poate avea un caracter potenţial sau reactiv.

1.2.3.2.2. Caracteristica rezistentă datorată forţelor

gravitaţionale

Momentele rezistente potenţiale (de ex. componenta gravitaţională, componenta elastică de deformaţie) işi menţin sensul independent de cel al mişcării. Aceste cupluri au pe anumite porţiuni ale cursei un caracter motor. Daca se consideră elementul "i" raportat unui sistem de coordonate Oixiyizi


13

atunci forţa gravitaţioanlă ce încarcă acest element (concentrată în centrul de greutate Ci) este (fig……):

[ ] [ ]Tii gmG −= 00 ( 1.16)

Fig. 1.20 Forţa gravitaţională pe elementul (i)

Momentul rezistent al acestei forţe faţă de cupla Oi – aferentă elementului de reducere -va fi:

iCiO GrMii×=, ( 1.17)

Exemplu de calcul al momentului rezistent datorat forţelor gravitaţionale

Se consideră mecanismul generator de traiectorie al unui RI cu două grade de mobilitate, reprezentat în figura ….., având lungimile elementelor 2l1 şi 2l2. Masele celor două elemente m1 si m2 se cunosc sau se estimează pornind de la o masă specifică pe unitatea de lungime. În conformitate cu cele prezentate anterior, momentul rezistent, în cupla cinematică conducătoare O1, datorat forţelor gravitaţionale se exprimă prin relaţia:

( )[ ]22112111 coscos2cos ϕϕϕ llGlGM rg +⋅+−= ( 1.18)

Fig. 1.21 Mecanism generator de traiectorie şi parametrii de calcul

Cazul roboţilor SCARA

Mecanismul generator de traiectorie al roboţilor de tip SCARA (fig…..17) are o structură formată din cuple cinematice conducătoare de rotaţie iar elementele acestor

dinamica -1

14

cuple execută mişcare de rotaţie în plan orizontal. Pentru cupla cinematică conducătoare din figura …. forţa gravitaţională a elementelor componente nu produce cuplu rezistent faţă de axa de rotaţie (vezi structura roboţilor industriali SCARA). În acest caz momentul rezistent în cupla cinematică se datorează forţelor de frecare.

Fig. 1.22 Cupla conducătoare de rotaţie într-o structură SCARA

1.2.3.2.3. Caracteristica rezistentă de tip reactiv

Momentele rezistente reactive (de ex. forţele de frecare uscată sau vâscoasă) provoacă întotdeauna un efect de frânare acţionând în sens opus mişcării. Momentele de frecare uscată au modulul constant dependent de coeficientul de frecare "µ" dintre piesele aflate în contact ecuaţia de definiţie fiind:

ωsignMM rfrf ⋅= ( 1.19)

La valori reduse ale vitezei sau la pornire, caracteristica mecanică rezistentă datorată acestor forţe se abate de la linia dreaptă (zona "a" fig…...).

Fig. 1.23Caracteristica forţelor de frecare

În unele cazuri (dependente de regimul de ungere dintre piesele aflate în contact) momentele de frecare se pot considera dependente de viteză (fig……).

Fig. 1.24 Dependenţa frecării de viteză

Momentele de frecare vâscoasă au o dependenţă liniară de viteză (fig….), ecuaţia caracteristică având expresia:

ωβ ⋅=vrfM , ( 1.20)


15

unde "β" este un coeficient de proporţionalitate.

Fig. 1.25 Momentul forţelor de frecare vâscoasă

Pentru servomotoarele electrice de acţionare, momentul rezistent datorat frecării constituie o informaţie de catalog. Valoarea acestui moment rezistent (componenta statică şi vâscoasă) are expresia :

310−⋅⋅+= nKMM Vfsrf [Ncm] ( 1.21)

(iar caracteristica mecanică rezistentă este prezentată în figura ……) unde: fsM este

momentul de frecare statică (din rulmenţi); VK este constanta de amortizare vâscoasă

[Ncm/103 min-1]; n este turaţia arborelui [rot/min].

Fig. 1.26 Momentul de frecare pentru servomotoare electrice

1.2.3.3. Momentele rezistente în procesele tehnologice

robotizate

Momentul rezistent al forţelor tehnologice se calculează pe considerentele specifice tehnologiilor robotizate. Este necesară o analiză atentă a diverselor posibilităţi de realizare a variantei de acţionare. Operaţiile de îndepărtare a bavurilor de pe conturul diverselor piese are o importanţă deosebită pentru rentabilitatea întreprinderilor. Variabilitatea sarcinilor (operaţie, dimensiune, formă etc.) impune automatizarea flexibilă a acestor operaţii tehnologice. Analiza modelului matematic al procesului tehnologic permite determinarea parametrilor care trebuie înregistraţi pentru a se asigura reuşita operaţiei robotizate. In acest sens, expresia secţiunii transversale din cordonul de şlefuire este:

f

N

v

CFRCA 21 −Ω=

µ ( 1.22)

unde: c1, c2 - constante de material; µ - coeficient de frecare disc abraziv-piesă; R - raza discului abraziv; Ω - viteza unghiulară a discului abraziv; FN - forţa normală în punctul

dinamica -1

16

de contact; vf - viteza de deplasare a discului. Din expresia anterioară rezultă că procesul tehnologic poate fi controlat prin trei mărimi: forţa normală, viteza unghiulară a discului şi viteza de deplasare a acestuia. Din aceşti trei parametri forţa normală FN şi viteza vf oferă posibilităţile cele mai simple şi sigure pentru control. Viteza unghiulară de şlefuire se poate determina numai cu o anumită incertitudine din caracteristica mecanică a motorului de antrenare a discului. Soluţiile adoptate în realizarea acestui deziderat sunt dintre cele mai diverse. Două posibilităţi de prelucrare abrazivă robotizată s-au remarcat. In prima variantă robotul manipulează piesa de prelucrat iar discul abraziv este staţionar. In cea de a doua variantă dispozitivul de prelucrat este manipulat de RI (prin dispozitivul de ghidare sau printr-un modul de poziţionare locală) iar piesa este imobilă. In multe soluţii s-a aplicat prima variantă întrucât a putut fi crescută puterea motorului de antrenare a discului (gama de variaţie a puterii este 11 - 56 kW). În cazul piselor masive şi grele cea de a doua variantă este recomandată. Puterea servomotoarelor electrice în acest caz este între 2.9 - 3.7 kW. În ultima perioadă motoarele hidraulice tind să le înlocuiască pe cele electrice în aceste aplicaţii. Forţa de apăsare (normală pe cordonul de şlefuire) variază în intervalul 90 - 1800 N. Această forţă poate fi aplicată direct de RI prin dispozitivul sau de ghidare sau de un dispozitiv suplimentar ataşat efectorului. În figura ….. este prezentată schema principială pentru comanda prin forţă a unui RI pentru debavurare. Robotul industrial manipulează efectorul compus din capul de forţă "2" (disc abraziv cu diametrul de 225 mm şi lăţime 1-1.75 mm, motor de antrenare) şi senzorul forţă / moment "5" în raport cu piesa "4" ce are bavura "3". Forţa de apăsare este asigurată de RI prin dispozitivul de ghidare "1".

Fig. 1.27 Schema principială de utilizare a unui RI pentru debavurare

Schiţa principială pentru un modul de poziţionare locală aflat în dotarea unui RI pentru debavurare este prezentată în figura ……. Modulul de poziţionare locală are la bază mecanismul cu bare "2" cu două grade de mobilitate. Fiecare grad de mobilitate este prevăzut cu SA electric propriu. Sistemul de comandă "1" primeşte informaţii despre poziţie şi forţa pe liniile "4" şi "5" (de la senzorul de forţă "3"). Pe modulul prezentat este poziţionat capul de forţă "6". În figura ….. se prezintă varianta de utilizare a unui RI în operaţia de debavurare, conlucrând cu o masă de poziţionare. RI manipulează efectorul compus din capul de


17

forţă "1" şi cilindrul pneumatic "2" pentru realizarea forţei de apăsare.

Fig. 1.28 Modul de poziţionare locală pentru un RI de debavurare

Masa de poziţionare "3" asigură gradele de mobilitate necesare pentru manipularea piesei. Acţionarea mesei "3" se realizează pe cale electrică. Inainte de lansarea temei de proiectare a SA (şi deci a RI) trebuie aleasă varianta optimă de lucru.

Fig. 1.29 Variantă de utilizare a unui RI în operaţii de debavurare

1.2.3.4. Momentele forţelor de inerţie

Momentele şi forţele de inerţie ce acţioneză asupra lanţului cinematic "i+1,...,n", ca urmare a mişcărilor simultane din cuplele cinematice conducătoare aferente, introduc momente rezistente (sau momente motoare !!) ce trebuie echilibrate de sistemele de acţionare din lanţul cinematic "1, 2,..., i". Calculul acestor mărimi urmează metodele specifice "Teoriei mecanismelor". Pentru exemplificare se consideră schema cinematică a unui mecanism generator de traiectorie pentru un RI cu două grade de mobilitate ( două cuple cinematice conducătoare de rotaţie A şi B) prezentată în figura …...

Fig. 1.30 Schema cinematică şi parametrii de calcul

dinamica -1

18

Cele două cuple cinematice conducătoare sunt acţionate simultan (pe o anumită durată de timp) cu parametrii cinematici ω1, ε1 şi respectiv ω2, ε2. Forţa de inerţie dezvoltată asupra elementului "2" va avea componentele:

2222,2 lmF xi ω−= ( 1.23)

222,2 lmF yi ε−= ( 1.24)

Efectele acestei forţe asupra cuplei cinematice conducătoare A vor fi momentele rezistente: ( )211,21,212, sin2 ϕϕ −⋅⋅=⋅= lFeFM xixixri ( 1.25)

( )[ ]2112,22,212, cos2 ϕϕ −⋅+⋅=⋅= llFeFM yiyiyri ( 1.26)

care trebuie echilibrate de SA al cuplei cinematice A.

1.2.3.5. Caracteristica rezistentă pentru roboţi mobile

1.2.3.5.1. Introducere

Varianta unui robot mobil cu o singură roată motoare este prezentată în figura …Roata motoare poate fi poziţionată la un unghi dorit faţă de sistemul de axe propriu al robotului. În acest mod robotul poate să execute şi traiectorii diferite faţă de o dreaptă. Cele două mişcări posibile ale robotului sunt decuplate.

Roată motoare

a) b) Fig. 1.31 Robot mobil cu o singură roată motoare şi mişcări posibile executate

Varianta unui robot mobil cu acţionare diferenţială este prezentată în figura …Robotul dispune de 2 roţi motoare acţionate independent. Un număr de 1-2 roţi de sprijin asigură echilibrul mechanic al sistemului. Robotul poate să execute mişcări diverse în funcţie de viteza liniară a fiecărei roţi motoare (tabelul …).

Tabelul 1.2

Mişcare înainte (înapoi) în linie dreaptă (fig…a) DS VV = ; 0>SV

Mişcare în curbă la dreapta (fig…..a) DS VV >

Mişcare de rotire pe loc, în sensul acelor de ceasornic (fig….b)

DS VV −= ; 0>SV


19

Roată motoare stânga

Roată motoare dreapta

Roţi sprijin (castor) a) b)

Fig. 1.32 Robot mobil cu acţionare diferenţială şi mişcări posibile executate

Variantele constructive ale roboţilor mobili include şi soluţii orientate pentru acţionare pe bază de şenile, acţionare sincronă, manevrabilitate Ackermann etc. Aceşti roboţi (cu excepţia celor sincroni) au dezavantajul că nu se pot deplasa pe orice direcţie. Din acest motiv se numesc neolonomi. În opoţie cu aceştia se află roboţii olonomi care se pot deplasa în orice direcţie (omin-direcţionali). Varianta unui robot mobil omni-direcţional este prezentată în figura ….

a) b)

c) Fig. 1.33 Robot mobil omini-direcţional şi mişcări posibile executate

Robotul dispune de 4 roţi motoare acţionate independent. Roata are suprafaţa de rulare de construcţie specială. Acest fapt combinat cu antrenare independentă a roţilor permite realizarea unor mişcări pe orice direcţie.

dinamica -1

20

1.2.3.6. Clasificarea maşinilor de lucru pe baza variaţiei

momentului rezistent în timp

Având în vedere că procesele care fac obiectul acţionării se desfăşoară în timp, diagrama momentului rezistent se poate reprezenta ca o funcţie de timp. Pornind de la acest aspect se poate realiza o clasificare a maşinilor de lucru după modul în care momentul rezistent depinde de timp:

a) maşini de lucru cu funcţionare de durată şi sarcină constantă (transportoare cu element flexibil, ventilatoare cu viteză constantă etc.) ;

b) maşini de lucru cu funcţionare de durată şi sarcină variabilă (sarcină în formă de şocuri, pulsatorie) (maşini cu mecanism bielă manivelă, laminoare etc) ;

c) maşini de lucru cu funcţionare intermitentă; d) maşini de lucru cu funcţionare de scurtă durată. Perioadele de pauză sunt de

durată mare şi maşina de acţionare are timp să se răcească până la temperatura mediului ambiant.

1.3. Stabilitatea statică

1.3.1. Domeniu de funcţionare şi punct de funcţionare

În planul (ω, M) se pot defini limitele admise pentru cuplu şi viteză în cadrul sistemului analizat. Această zonă va defini domeniul admisibil de funcţionare (fig…..). În acest sistem (ω, M) în care s-au trasat caracteristicile mecanice motoare şi rezistente, regimul de funcţionare staţionar pentru SA corespunde punctului A de intersecţie al celor două caracteristici (fig…..). Punctul A trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: a) - să fie un punct real de funcţionare, adică să corespundă unui set de valori (ω, M) care să asigure o funcţionare sigură şi corectă tehnologic, mecanic etc. şi să aparţină domeniului admisibil.

Fig. 1.34 Punctul de funcţionare

Procesele tehnologice robotizate impun realizarea mai multor puncte de funcţionare (de ex.: RI va avea o caracteristică mecanică rezistentă pe parcursul fazei de alimentare cu un semifabricat a unei maşini unelte şi o alta fără piesa prehensată; RI pentru sudură va avea o caracteristică mecanică motoare de-a lungul cordonului de sudura şi alta între două cordoane de sudură etc.), uneori discrete, alteori acoperind un întreg domeniu din planul (ω,M) (fig. …..). În acest scop fie că se modifică în mod corespunzător caracteristica mecanică motoare (fig. ….a) sau cea rezistentă (fig…..b) fie ambele (fig….c). Procedeul prin care se modifică caracteristica mecanică motoare se numeşte reglarea vitezei motorului.

1.3. Stabilitatea statică

21

Fig. 1.35 Puncte de funcţionare multiple

b) - să fie un punct de funcţionare stabil. Se prezintă în figura …... cele două caracteristici mecanice (rezistentă şi motoare) şi punctul de funcţionare A. Interesează dacă echilibrul obţinut este stabil sau instabil. Se spune că functionarea este stabilă dacă după dispariţia oricărei perturbaţii, care cauzează variaţia vitezei unghiulare ω0, un agregat tinde să rămână la mişcarea iniţială. În caz contrar, când după o perturbaţie oricât de mică, viteza unghiulară se îndepărtează de valoarea sa de regim permanent se spune că funcţionarea este instabilă.

Fig. 1.36 Punct stabil şi instabil de funcţionare

Creşterea, datorită unei perturbaţii, a vitezei unghiulare la valoarea ω'' implică o relaţie de legătură între momente de forma rm MM < şi deci o tendinţă de scădere a vitezei

înspre valoarea ω0 (fig…..a). La o scădere a vitezei unghiulare sub cea de regim permanent ω' < ω0 există relaţia rm MM > şi deci apare tendinţa de creştere a vitezei

unghiulare spre valoarea de regim. Punctul de funcţionare "A" este astfel un punct de funcţionare stabil. În acelaşi mod se poate concluziona că punctul "B" este un punct de funcţionare instabil (fig…..b). Din punct de vedere matematic, condiţia de stabilitate a unui punct de funcţionare se exprimă prin relaţia:

A

m

A

r

d

dM

d

dM

>

ωω

( 1.27)

dinamica -1

22

Aceasta înseamnă că pentru a avea un punct de funcţionare stabil este necesar ca panta caracteristicii mecanice motoare să fie mai mică decât panta caracteristicii mecanice rezistente în acel punct. Se consideră caracteristica mecanică statică Mm a unui m.p.p. şi caracteristica mecanică rezistentă Mr prezentate în figura …….Există două puncte de intersecţie a celor două caracteristici: A şi B. Dintre acestea, punctul A este un punct instabil de funcţionare iar punctul B este un punct stabil.

Fig. 1.37 Punct stabil şi instabil de funcţionare pentru un m.p.p.

1.3.2. Exemplu de calcul

Se consideră un sistem de acţionare pentru care se cunosc ecuaţiile celor două caracteristici:

a) Ecuaţia caracteristicii mecanice motoare:

mm M⋅−=Ω 5.0200 ( 1.28)

b) Ecuaţia caracteristicii mecanice rezistente:

rr M2=Ω ( 1.29)

Pentru analiza stabilităţii punctului de funcţionare se parcurg următoarele etape: 1. reprezentarea caracteristicilor în planul axelor (M, Ω) (fig…..).

M [Nm]

Ω

[rad/s]

200

400

A

Caracteristica mecanică rezistentă

Caracteristica mecanică motoare

80

160

O

Fig. 1.38 Caracteristica mecanică motoare, cea rezistentă şi punctual de funcţionare

1.4. Masă redusă şi moment de inerţie redus

23

2. determinarea coordonatelor punctului de funcţionare. Pe baza celor două ecuaţii ale caracteristicilor se defineşte sistemul de ecuaţii:

=Ω

⋅−=Ω

AA

AA

M

M

2

5.0200 ( 1.30)

Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină coordonatele punctului de funcţionare A (intersecţia celor două drepte care definesc caracteristicile) ( )160,80A .

3. determinarea pantei caracteristicii în punctul de funcţionare şi verificarea

relaţiei ( ):

Ecuaţia caracteristicii mecanice motoare se poate transforma sub forma:

mmM Ω⋅−= 2400 ( 1.31)

şi calcula apoi panta caracteristicii în punctul A:

2−=

Ω A

m

d

dM ( 1.32)

În acealaşi mod, pentru caracteristica mecanică rezistentă se obţine:

rrM Ω⋅=2

1 ( 1.33)

2

1=

Ω A

r

d

dM ( 1.34)

În final se verifică simplu că 22

1−> şi deci punctul A este punct de funcţionare

stabilă.


1.4.1. Introducere

Calculul dinamic al SA presupune determinarea ecuaţiilor de mişcare pentru fiecare cuplă cinematică conducătoare în parte, ţinându-se cont de eventualele influenţe reciproce. Pentru a simplifica expresia energiei cinetice a întregului mecanism se introduce noţiunea de masă redusă şi moment de inerţie redus. În acest mod studiul dinamic al SA pentru cuplele cinematice conducătoare se reduce la studiul dinamic al elementelor de reducere. Ca element de reducere se admite rotorul motorului electric, armătura mobilă a electromagnetului, pistonul cilindrului pneumatic sau hidraulic etc. Prin definiţie masa redusă a unui mecanism este echivalentă cu o masă fictivă care, concentrată într-un punct al unui element, numit element de reducere, dezvoltă aceeaşi energie cinetică ca întregul mecanism aflat în mişcare.

dinamica -1

24

Pe baza definiţiei date, se poate scrie relaţia de calcul pentru masa redusă:

( )∑=

+⋅=n

i

iiii

A

r Jvmv

m1

222

1ω ( 1.35)

unde notaţiile au semnificaţia: vA reprezintă viteza de translaţie a elementului de reducere; mi, Ji reprezintă masa respectiv momentul de inerţie mecanic în raport cu o axă ce trece prin centrul de greutate al unui element "i" ; vi, ωi reprezintă viteza centrului de greutate respectiv viteza unghiulară a elementului "i"; n reprezintă numărul de elemente mobile ale mecanismului. Prin definiţie, momentul de inerţie redus Jr al unui mecanism este echivalent cu momentul de inerţie fictiv al unui volant, care rotindu-se ca element de reducere, dezvoltă aceeaşi energie cinetică ca întregul mecanism. Pe baza definiţiei se poate scrie expresia pentru calculul momentului de inerţie redus:

( )∑=

+⋅=n

i

iiii

A

r JvmJ1

222

1ω

ω ( 1.36)

unde notaţiile au semnificaţia: ωA reprezintă viteza unghiulară a elementului de reducere; mi, Ji reprezintă masa respectiv momentul de inerţie mecanic în raport cu o axă ce trece prin centrul de greutate al unui element "i"; vi, ωi reprezintă viteza centrului de greutate respectiv viteza unghiulară a elementului "i"; n reprezintă numărul de elemente mobile ale mecanismului.


Se consideră schema cinematică a mecanismului generator de traiectorie al unui RI cu acţionare directă (fig……). Cupla cinematică O este multiplă asigurând două grade de mobilitate: rotaţia de unghi "α" a elementului "4" în raport cu batiul şi rotaţia elementului "1" (de unghi "β") în raport cu elementul "4" (fig…….). Se cere determinarea masei reduse în punctul A a mecanismului paralelogram, la o poziţie fixă a elementului "4".

Fig. 1.39 Schema cinematică a robotului

După egalarea expresiilor energiei cinetice şi având în vedere că viteza punctului de reducere AA lv ⋅= 1ω se obţine după transformări masa redusă la elementul "1" în

punctul "A":


25

2

321

2

32

2

111

AA

G

A

G

rl

JJJ

l

lmm

l

lmm

+++

⋅++

⋅= ( 1.37)

unde: mi ( 3,2,1=i ) şi Jj ( 3,2,1=j ) au semnificaţiile din definiţie;lA, lG1 şi lG3

reprezintă lungimea elementului "1" respectiv modulele vectorilor de poziţie a centrelor de greutate G1, G3 în raport cu cuplele cinematice "O" şi "C".


Se condideră schema cinematică a unui dispozitiv de prehensiune prezentată în figura …. Sistemul de acţionare se bazează pe electromagnetul "EM" cu armatura mobilă "AM".

Fig. 1.40 Schema cinematică a dispozitivului de prehensiune

Studiul dinamic al SA presupune considerarea drept element de reducere a armaturii mobile "AM" aflată în mişcare de translaţie. Masa redusă are expresia:

2

1

22,1 2

⋅+=

vJmm Br

ω ( 1.38)

unde: JB,2 reprezintă momentul de inerţie mecanic al elementului "2" (compus din sectorul dinţat, deget şi bac) în raport cu axa de rotaţie a cuplei cinematice B. S-au considerat identici parametrii pentru cele două sectoare dinţate, "degete" şi bacuri.


Se consideră schema cinematică a mecanismului generator de traiectorie (MGT) al unui RI cu trei grade de mobilitate (RTT) (fig…..).

Fig. 1.41 Schema cinematică a MGT (RTT)

dinamica -1

26

Cupla cinematică conducătoare "A" este acţionată prin intermediul motorului "MA" şi a unei transmisii reductoare "R" cu raportul de transmitere "i". Se consideră drept element de reducere rotorul motorului "MA" din cupla "A". Se consideră de asemenea că vitezele de translaţie în cuplele cinematice "B" şi "C" sunt zero. Momentul de inerţie al întregului MGT redus la rotorul motorului "MA" are expresia:

( )2

233

222321

1

irmrmJJJJJJJ rcprotr ⋅+++++++= ( 1.39)

unde: Jr, Jp, Jrc reprezintă momentele de inerţie ale rotorului, pinionului şi al roţii conduse iar Ji ( 3,2,1=i ) sunt momentele de inerţie ale elementelor "1", "2", "3" faţă de axele verticale (OZ) ce trec prin centrele de greutate ale acestora; r2 şi r3 reprezintă modulele vectorilor de poziţie ale unor axe verticale (∆) ce trec prin centrele de greutate ale elementelor "2" şi "3", faţă de axa de rotaţie a cuplei cinematice "A" (vezi relaţia lui Steiner).

1.4.5. Exemplu

Referitor la MGT din figura ….2.1 considerăm că sistemul de acţionare pentru cupla cinematică conducătoare "C" are componenţa prezentată în figura ….4.24.

Fig. 1.42 Schema cinematică a sistemului de acţionare

Considerăm drept element de reducere rotorul motorului de actionare "MA" care are viteza unghiulară mω . Se cere determinarea momentului de inerţie redus la arboreal

motorului. Având în vedere expresia de definire a raportului de transmitere:

s

m

rc

miωω

ωω

== ( 1.40)

şi relaţia dintre parametrii transmisiei şurub - piuliţă:

πω 2

pv

s

= ( 1.41)

expresia momentului de inerţie redus este:

2

21

2 i

pmJJJJJ rsrcprotr ⋅

⋅++++=π

( 1.42)

1.5. Forţă redusă şi moment redus

27

Masa redusă şi momentul de inerţie redus sunt în general mărimi variabile şi nu depind de parametrul cinematic al elementului de reducere ci doar de poziţia acestuia.

1.5. Forţă redusă şi moment redus

1.5.1. Introducere

În scopul simplificării expresiei puterii dezvoltate de un mecanism se introduc noţiunile de forţă redusă Fred şi moment redus Mred. Prin definiţie, forţa sau momentul redus este forţa / momentul fictiv care, acţionând asupra unui element al mecanismului numit element de reducere dezvoltă aceeaşi putere ca şi întreg sistemul de forţe şi momente ce acţionează asupra mecanismului. Pe baza definiţiei, expresiile celor două mărimi, în cazul mecanismelor plane, sunt:

∑=

⋅+=

n

i A

ii

A

iiired

vM

v

vFF

1

cos ωα ( 1.43)

∑=

⋅+=

n

i A

ii

A

iiired

vM

v

vFM

1

cos ωα ( 1.44)

unde notaţiile au semnificaţia: Av , Aω reprezintă viteza punctului A de aplicaţie a

forţei reduse, respectiv viteza unghiulară a elementului de reducere; iF , iM reprezintă

forţa respectiv momentul care acţionează asupra elementului "i"; iv , iω reprezintă

viteza punctului de aplicaţie a fortei iF , respectiv viteza unghiulară a elementului "i";

iα reprezintă unghiul dintre vectorii i şi i ; n reprezintă numărul de elemente ale

mecanismului. Se menţionează faptul că produsul iiM ω este pozitiv când cei doi vectori ( iM

şi iω ) au acelaşi sens şi negativ în caz contrar.

Dacă în urma calculelor rezultă valori negative pentru redF şi redM înseamnă

că acestea se opun sensului de mişcare al elementului de reducere. Forţa sau momentul redus se pot obţine nu numai pentru întreg sistemul de forţe care acţionează dar şi pentru o anumită categorie de forţe şi momente (a forţelor tehnologice, a forţelor de greutate etc.).

1.5.2. Exemplu

Se consideră schema cinematică a MGT pentru un RI cu două grade de mobilitate (RR) prezentată în figura …..a. Considerăm, pentru simplificare, că este acţionată doar cupla cinematică conducătoare "A" şi că forţele exterioare care încarcă elementele MGT sunt cele gravitaţionale: ale elementului "1" şi "2" şi ale SA a cuplei

dinamica -1

28

cinematice conducătoare "B" (nereprezentat în figura ….).

Fig. 1.43 Schema cinematică a unui MGT cu două grade de mobilitate

Momentul rezistent, datorat forţelor gravitaţionale, redus la elementul "1" (component al cuplei cinematice conducătoare "A") este dat de expresia:

( ) ( )

1

2

1

121 2cos

cos

ω

βπ

ωαπ

+⋅⋅+

−⋅⋅+⋅=

DBmC

red

vGvGvG

M ( 1.45)

unde: G1, G2, Gm2 sunt greutăţile elementelor "1", "2" şi a SA pentru elementul "2"; l1, l2 sunt lungimile celor două elemente. Având în vedere relaţiile de calcul pentru vitezele liniare ale punctelor B, C şi D:

21

1l

vC ⋅=ω ( 1.46)

11 lvB ⋅=ω ( 1.47)

β

ααωω

sin

cos2

cos 22

11

11

⋅+⋅⋅=⋅=

ll

lv ADD ( 1.48)

relaţia de calcul (4.23) pentru momentul redus, determinată anterior, se transformă în :

22

211221 cos

2cos

2αα ⋅⋅−⋅⋅

++−=l

GlGGG

M mred ( 1.49)

Dacă se consideră acţionarea simultană a celor două cuple cinematice conducătoare "A" şi "B" este necesar să se aibă în vedere că:

2112 ωωω += ( 1.50)

Dacă SA al cuplei cinematice conducătoare se compune dintr-un motor "MA" şi o transmisie reductoare "R" cu raportul de transmitere "i" (fig…..b) atunci momentul redus la elementul "1", se va reduce la rotorul motorului de antrenare cu ajutorul

1.6. Dinamica sistemului de actionare.

29

relaţiei:

i

MM

R

redrred ⋅=η, ( 1.51)

unde Rη reprezintă randamentul transmisiei.


1.6.1. Ecuaţia de mişcare

S-a evidenţiat, în cadrul consideraţiilor anterioare, că pentru orice mecanism sau maşină se poate face reducerea maselor şi forţelor care acţionează asupra lui. În acest mod un mecanism se poate înlocui, în vederea studiului dinamic, cu un singur element numit element de reducere (rotorul motorului electric sau hidraulic, armătura mobilă a electromagnetului, pistonul cilindrului pneumatic etc.). O modalitate de determinare a ecuaţiei de mişcare acestui element constă în utilizarea ecuaţiilor lui Lagrange de ordinul 2:

k

k

c

k

c Qq

E

q

E

t=

∂

∂−

∂

∂

∂∂

& ( 1.52)

unde notaţiile au semnificaţia: CE reprezintă energia cinetică a sistemului; qk

reprezintă coordonata generalizată ("θ" pentru mişcarea de rotaţie a elementului de

reducere sau "x" pentru mişcarea de translaţie); dt

dqk reprezintă viteza generalizată

("ω" pentru mişcarea de rotaţie a elementului de reducere sau "v" pentru mişcarea de translaţie); kQ reprezintă forţa generalizată (un moment "M" pentru mişcarea de rotaţie

sau o forţă "F" pentru mişcarea de translaţie); k reprezintă numărul gradelor de libertate. Expresiile energiei cinetice pentru un element de reducere în mişcare de rotaţie respectiv de translaţie sunt:

2

2Ar

c

JE

ω⋅= ( 1.53)

2

2Ar

c

vmE

⋅= ( 1.54)

unde notaţiile au semnificaţia: rJ , rm reprezintă momentul de inerţie redus respectiv

masa redusă; Av , Aω reprezintă viteza unghiulară respectiv liniară a elementului de reducere. Utilizând relaţiile anterioare se obţin după transformări ecuaţiile de mişcare pentru cele două cazuri (mişcare de rotaţie şi respectiv mişcare de translaţie):

dinamica -1

30

Md

dJ

dt

dJ rAA

r =⋅+⋅θ

ωω2

2

( 1.55)

redrm MMM ,−= ( 1.56)

Fdx

dmv

dt

dvm rA

r =⋅+⋅2

2

( 1.57)

redrm FFF ,−= ( 1.58)

unde notaţiile au semnificaţia: Mm, Fm reprezintă momentul motor respectiv forţa motoare; Mr,red, Fr,red reprezintă momentul rezistent redus (a forţelor tehnologice, de frecare, gravitaţionale) respectiv forţa rezistentă redusă. În cazul acţionării unor echipamente periferice masa redusă şi momentul de inerţie redus sunt mărimi constante (independente de coordonata generalizată) astfel ca relaţiile (…), (…) se simplifică. În cazul dispozitivului de ghidare al RI cu cuple cinematice conducătoare acţionate simultan, studiul dinamic al SA nu se poate face pentru o singură cuplă cinematica ci simultan pentru toate cuplele. Acest lucru este impus de influenţele dinamice reciproce. Ecuatiile (4.33) si (4.34) sunt recomandate pentru cazul sistemelor cu un singur grad de mobilitate. In restul cazurilor se vor utiliza ecuaţiile lui Lagrange iniţiale.

1.6.2. Exemplu

Se consideră MGT (RTT) al unui RI cu schema cinematică prezentată în figura ….. . Acesta are sistemul de acţionare realizat pe baza unui motor de c.c. şi a unui reductor de turaţie. Se propune determinarea ecuaţiei de mişcare pentru modulul de rotaţie. Utilizând ecuaţiile lui Lagrange se pot determina ecuaţiile de mişcare. Energia cinetică a întregului sistem are expresia:

Fig. 1.44 Schema cinematică a unui MGT RTT


31

321 ccccrccpcrcs EEEEEEE +++++= ( 1.59)

unde notaţiile au următoarea semnificaţie:

2

2rr

cr

JE

ω⋅= ( 1.60)

2

2rp

cp

JE

ω⋅= ( 1.61)

2

21ω⋅= rc

crc

JE ( 1.62)

2

211

1ω⋅

=J

Ec ( 1.63)

( )

22

21

2222

222

2ω⋅⋅+

+⋅

=rmJvm

Ec ( 1.64)

( ) ( )

22

21

2333

23

223

3ω⋅⋅+

++⋅

=rmJvvm

Ec ( 1.65)

sunt energiile cinetice ale rotorului, pinionului, roţii conduse, elementului "1", elementului "2" şi respectiv "3". Prin aplicarea relatiei (…..) se obţine ecuaţia de mişcare pentru modulul de rotaţie:

fvfs

f

mrrt MMi

MMvrm

iJ −−−=⋅⋅⋅⋅+⋅ 3332

2ωε ( 1.66)

unde: • Momentul de inerţie tJ redus la arborele motorului este exprimat prin relaţia:

( )2

3333

22221

1

irmJrmJJJJJJ rcprt ⋅⋅++⋅+++++= ( 1.67)

• mM este cuplul dezvoltat de motorul de acţionare ;

• i este raportul de transmitere al reductorului; • fM este momentul de frecare în cupla cinematică de rotaţie;

• fsM este momentul frecărilor statice din motorul de acţionare;

• fvM este momentul frecărilor vâscoase din motorul de acţionare.

Restul notaţiilor au semnificaţiile obişnuite. În acelaşi mod se pot obţine şi restul ecuaţiilor.

dinamica -1

32

1.6.3. Influenţa elasticităţii asupra dinamicii servosistemului.

În prezentările anterioare s-a considerat că elementele componente din cadrul sistemului de acţionare sunt rigide. Această ipoteză, pentru sistemele foarte rapide - cazul roboţilor industriali - nu este exactă deoarece elementele componente sunt elastice. Datorită acestei elasticităţi, elementele se deformează. Vitezele instantanee ale diverselor componente cuplate mecanic sunt diferite şi chiar de semne contrare. Sistemul acumulează o cantitate importantă de energie potenţială ceea ce poate conduce la vibraţii torsionale. Parametrii elementului elastic sunt în general determinabili prin încercări experimentale sau prin calcul. Se consideră schema bloc a unui servosistem rapid cu o singură masă inerţială (fig…..).

Fig. 1.45 Sistem de acţionare cu legătură elastică (o singură masă inerţială)

Ecuaţiile care descriu dinamica sistemului sunt:

tmr MMdt

dJ −=⋅

ω ( 1.68)

LtL

L MMdt

dJ −=⋅

ω ( 1.69)

( ) ( )LrLrt KCM ωωϕϕ −⋅+−⋅= ( 1.70)

rr

dt

dω

ϕ= ( 1.71)

LL

dt

dω

ϕ= ( 1.72)

unde: • mM şi tM sunt cuplul motor şi respectiv momentul de torsiune transmis;

• K este constanta elastică a elementului de transmisie; • C este constanta de amortizare introdusă de legătura elastică;

În relatiile (..) nu s-a luat în considerare frecarea din sistem. În modul prezentat anterior se poate analiza oricare sistem cu un alt număr de legături elastice.

1.6.4. Exemplu

Se consideră schema principială de realizare a SA pentru un modul de rotaţie (fig…..).


33

Fig. 1.46 Sistemul de acţionare a modulului de rotaţie a unui RI

Legăturile dintre rotorul motorului electric, reductorul armonic, reductorul conic sunt elastice prezentând fiecare o constantă elastică specifică şi una de amortizare. Schema simplificata a servosistemului si elementele componente cu parametrii de definire este prezentata în figura …..

Fig. 1.47 Schema simplificată a modulului de rotaţie

Dinamica întregului sistem este descrisă de ecuaţiile: • ecuaţia circuitului electric corespunzător m.c.c.:

rei

iii Kdt

diLiRu ω⋅+⋅+⋅= ( 1.73)

unde Ri reprezinta rezistenţa indusului, Li inductivitatea, iar Ke coeficientul t.e.m.; • ecuaţia de mişcare pentru rotor şi respectiv prima legatură elastică (rotor -

reductor armonic):

rfvtimr

r KMiKdt

dJ ω

ω⋅−−⋅=⋅ 1 ( 1.74)

unde J1r şi J2r sunt momentele de inerţie ale celor două componente ale reductorului armonic iar celelalte mărimi au semnificaţiile din figura ….;

• ecuaţiile celei de-a doua legături elastice "reductor armonic - reductor conic":

i

MM

dt

dJ t

tri 2

11 −=⋅ω

( 1.75)

dinamica -1

34

22

11i

JJJ r

r += ( 1.76)

( ) ( )rrirrit CKM ωωϕϕ −⋅+−⋅= 111 ( 1.77)

−⋅+

−⋅=i

Ci

KM rirera

rirerat

ωω

ϕϕ2 ( 1.78)

r

tt

i

MM

dt

dJ 3

22

2 −=⋅ω

( 1.79)

22r

rcpc

i

JJJ += ( 1.80)

( ) ( )reret CKM ωωϕϕ −⋅+−⋅= 22222 ( 1.81)

−⋅+

−⋅=i

Ci

KM t2

332

333ω

ωϕ

ϕ ( 1.82)

unde Jpc si Jrc sunt momentele de inerţie ale pinionului conic şi roţii conice; • ecuaţiile celei de-a treia legături elastice "reductor conic element condus":

rtt MMdt

dJ −=⋅ 33

ω ( 1.83)

( ) ( )33333 ωωϕϕ −⋅+−⋅= CKM t ( 1.84)

unde J3 reprezintă momentul de inerţie redus la elementul condus iar Mrt reprezintă momentul rezistent total la nivelul cuplei cinematice de rotaţie. Având în vedere numărul mare de variabile, în practică se consideră modele simplificate rezultate din neglijarea unor amortizări şi echivalarea elasticităţii mai multor elemente (Ki) printr-un parametru echivalent. Sistemul de ecuaţii de mişcare care descriu dinamica elementelor sistemului de acţionare sau a elementului de reducere se rezolvă prin metode numerice.

1.6.5. Legi de mişcare

1.6.5.1. Generalităţi

Legile de mişcare de ordinul zero, unu şi doi pentru mişcarea relativă a elementelor, care constituie cuplele cinematice conducătoare, descriu evoluţia în timp a parametrilor cinematici spaţiu, viteza, acceleraţie pentru elementul de reducere cunoscându-se traiectoria pe care trebuie să o execute punctul caracteristic. Succesiunea parametrilor cinematici ai cuplelor cinematice conducătoare este impusă de funcţia de comandă în conformitate cu operaţia humanoidă de efectuat. Prin comandă se înţelege setul de informaţii transmise de la sistemul de comandă la


35

sistemul de acţionare şi care prescrie funcţionarea acestuia din urmă. Funcţie de sarcina specifică pe care trebuie să o îndeplinească RI, traiectoria de mişcare se descrie în mai multe moduri: linie dreaptă, curba oarecare în spaţiu, funcţie algebrică de timp sau spaţiu, urmărirea unei mişcări exterioare pentru puncte care se deplasează în spaţiu după legi de mişcare cunoscute. Astfel:

• în aplicaţii specifice de manipulare a unor piese (deservire de utilaje, stivuire etc.) se impune aducerea piesei manipulate în poziţii fixe din spaţiu (puncte ţintă). În aceste cazuri se utilizează o comandă punct cu punct (PTP). Trecerea de la punctul iniţial Mi la punctul final Mf se poate realiza în două moduri:

1) prin acţionarea succesivă a fiecărei cuple cinematice conducătoare în secvenţe diferite. În intervalul de timp [ ]1,0 t este acţionată cupla "A" executându-se

mişcarea x∆ , în intervalul de timp [ ]21, tt este acţionată cupla "B"

executându-se mişcarea z∆ iar în intervalul [ ]32 , tt este acţionată cupla "C"

pentru mişcarea z∆ (fig……). Traiectoria este impusă de arhitectura RI iar programul este secvenţial.

Fig. 1.48 Comanda PTP

2) prin acţionarea simultană a mai multor cuple cinematice, pornite la momentul

0=t şi oprite la momentul 1tt = , funcţie de complexitatea traiectoriei. Traiectoria între punctele ţintă nu este impusă (fig…….).

• în aplicaţii de vopsire, sudare, montaj etc. se impune ca punctul caracteristic al RI să descrie anumite traiectorii în conformitate cu procesul tehnologic şi forma obiectului. In aceste cazuri se realizează o comandă pe traiectorie continuă (CP). Această comandă se realizează în următoarele variante:

1) traiectoria între punctele Mi şi Mf este descrisă prin puncte intermediare Mj ( ),...2,1=j denumite puncte de precizie. Mişcarea între două puncte de precizie succesive se realizează punct cu punct fără o corelare a legilor de mişcare (fig….).

2) traiectoria continuă între punctele Mi şi Mf este descrisă pe cale analitică prin ecuaţia (C). Traiectoria continuă rezultă pe baza unor calcule de interpolare.

Trebuie evidenţiat faptul că prescrierea traiectoriei se poate realiza în două

dinamica -1

36

moduri, funcţie de sistemul de coordonate: a) în sistemul de coordonate cartezian (general) şi convertirea ulterioară în sistemul de coordonate al RI (cartezian, cilindric, sferic); b) în sistemul de coordonate al RI.

Fig. 1.49 Comanda CP

Functia ( )tkϕ ce descrie modul de variaţie a coordonatei generalizate din cupla

"k" trebuie să fie monotonă pe intervalul [ ]10 ,tt de acţionare a cuplei (fig……).

Fig. 1.50 Traiectorii nerecomandate

Se evită în acest fel schimbările de sens în mişcarea rotorului şi se realizează o mişcare globală lină, fără şocuri, fără depăşiri şi întoarceri la punctele ţintă finale. Dispar în acelaşi timp oscilaţiile în spaţiul de lucru, pierderi de timp sau atingerea unor obiecte.

Observaţie

Referirile din cadrul acestui paragraf se fac pentru o mişcare de rotaţie a elementului de reducere. Rezultatele sunt aplicabile şi pentru mişcarea de translaţie cu modificările de rigoare.

1.6.5.2. Traiectorii de mişcare la comanda punct cu punct

Deplasarea spaţială a punctului caracteristic între poziţiile distincte Mi şi Mf nefăcându-se după o traiectorie prescrisă proiectantul va alege această traiectorie. La această alegere trebuie să se ţină cont de limitarea solicitărilor dinamice, de evitarea


37

obstacolelor etc. In majoritatea cazurilor concrete aceasta este o dreaptă. Comanda în acest caz se poate realiza pe principiul comutaţiei ("obiectul" comandat fiind legat cu o precizie de poziţia dată) sau a controlului progresiv. Se pot aminti în acest sens câteva traiectorii:

a) traiectorie de tip "Bang-Bang"; b) traiectorie de tip polinomial; c) traiectorie cosinusoidală; d) traiectorie sinusoidală suprapusă peste o traiectorie rampă.

Traiectoria de tip "Bang-Bang" asigură deplasarea punctului caracteristic din starea iniţială )( 0ϕ în starea finala )( 1ϕ în timpul minim "T".

Observaţie

Această problemă nu are sens decât dacă se impun restricţii ale parametrilor cinematici şi dacă se cunoaşte momentul rezistent (constant, funcţie de timp, spaţiu sau viteza).

1.6.5.2.1. Legile de mişcare pentru restricţii de acceleraţie

Impunând o limitare a acceleraţiei şi decelaraţiei unghiulare:

0εε < ( 1.85)

soluţia optimă acceptă o mişcare cu acceleraţie şi deceleraţie maximală cu o durata totală:

0

012εϕϕ −

⋅=T ( 1.86)

Evoluţia parametrilor cinematici este prezentată în figura ….

Fig. 1.51 Legi de mişcare

Această evoluţie se poate obţine comutând variabilele ce condiţionează cuplul

dinamica -1

38

motor (curentul prin indus în cazul motorului de c.c., presiunea de alimentare în cazul unui motor sau cilindru hidraulic etc.) prin intermediul unor elemente de comandă simple (relee, electrovalve etc.).

Observaţia 1

Modul de variaţie a cuplului motor pentru sarcina pur inerţială ( )0=rM (a) şi moment rezistent constant (b) sunt prezentate în figura …...


Modificarea cuplului motor la momentele 2Tt = şi Tt = se poate realiza în

mai multe moduri:

1) în circuit deschis. Momentele 2Tt = şi T se presupun determinate prin relatia

(…..) sau prin învăţare iar un sistem de comandă bazat pe timp programabil permite realizarea comutaţiei. În cazul în care parametrii ce descriu componenta rezistentă a momentului sau valoarea momentului de inerţie se cunosc doar cu aproximaţie, metoda poate conduce la erori de poziţionare substanţiale.

2) în circuit închis pe baza de reacţie de poziţie. Comutarea are loc la atingerea

valorii coordonatei generalizate 2

10 ϕ+ϕ=ϕ şi a coordonatei 1ϕ . Aceste

valori sunt sesizate prin intermediul unui traductor de poziţie. Valorile parametrului spaţiu nu sunt dependente de momentul de inerţie şi astfel, incertitudini asupra valorii acestuia nu pot conduce la erori.

3) în circuit închis pe baza de reacţie de viteză. Modificarea în starea de comandă a motorului se poate efectua în momentul în care viteza controlată atinge valoarea:

( )0100 ϕϕεω −⋅= ( 1.87)

şi apoi valoarea "0". Utilizarea comenzii iterative sau a controlului "aservit" la sfârşitul cursei poate

îmbunătăţi performanţele metodei. Observaţia 2

Controlul vitezei, în mişcarea robotului, este recomandat când cursele sunt


39

scurte şi se fac cu viteze mici. La deplasari lungi şi rapide, se recomandă controlul în poziţie. Clasificarea mişcărilor în scurte şi lungi (pentru fiecare grad de mobilitate) se face pe baza caracteristicilor masice ale RI şi caracteristicile sistemului de acţionare. Timpul necesar atingerii vitezei maxime pentru un motor rotativ, în cazul mişcărilor de tip "BANG-BANG", şi spaţiul unghiular parcurs în acest interval de timp de rotor se aproximează cu valoarea (Ir - momentul de inerţie redus la rotor):

m

mmt ε

ω= ( 1.88)

r

mm

J

M=ε ( 1.89)

( ) 2

2

1m

m

rm

M

Jt ωϕ ⋅⋅= ( 1.90)

Se consideră că există o mişcare lungă dacă variaţia impusă coordonatei generalizate satisface condiţia:

( )mtϕϕϕ ⋅≥− 201 ( 1.91)

şi o mişcare scurtă în caz contrar.

1.6.5.2.2. Legi de mişcare cu restricţii de acceleraţie şi

viteză

Constrângerile în acceleraţie şi viteza se pot defini prin relaţiile:

0εε < ( 1.92)

0ωω < ( 1.93)

Legile de mişcare pentru spatiu şi viteză sunt prezentate în figura …….


dinamica -1

40

Legea de mişcare pentru parametrul viteză devine în acest caz trapezoidală (faţă de triunghiulară în cazul precedent). Legea de comandă corespunzătoare acestei variante a legilor de mişcare este prezentată în figura ….. pentru o sarcină pur inerţială.

Fig. 1.54 Lege de comandă

Această lege se poate realiza printr-o comutaţie temporală sau de preferat spaţială. Relaţiile de determinare a parametrilor cinematici sunt cei corespunzători unei mişcări uniform accelerate. Variaţia parametrilor masici care descriu inerţia şi întârzierea în comutaţie (datorată de exemplu fenomenului de comutaţie) sunt principalele obstacole ale metodei. a3) legi de mişcare cu restricţii de supra-acceleraţie, acceleraţie şi viteză. O serie de aplicaţii nu admit acceleraţii de valori ridicate la pornire datorită şocurilor care apar. Din acest motiv se limitează, suplimentar faţă de restricţiile prezentate prin relaţia (……), variaţia acceleraţiei:

adt

d≤

2

2ω ( 1.94)

unde "a" este valoarea maximă a supra-acceleraţiei. Legea de mişcare pentru viteză din acest caz şi legea de comandă

corespunzătoare unei sarcini pur inerţială sunt prezentate în figura …….

Fig. 1.55 Lege de mişcare şi de lege de comandă


41

b) Traiectorii de tip polinomial sunt posibile printr-un control continuu al poziţiei, vitezei şi prin utilizarea unei comenzi pe baza de microprocesor. Este cazul comenzii "aservite" când elementul motor este comandat funcţie de diferenţa dintre poziţia realizată şi cea dorită. Profile pentru parametrul acceleraţie, viteză şi spaţiu, funcţie de timp, pentru acest caz sunt prezentate în figura …a,b. Primul caz corespunde în general pentru curse scurte iar cel de-al doilea pentru curse lungi.

Fig. 1.56 Legi de mişcare polinomiale

Forma parabolică pentru viteza unghiulară permite definirea celor trei parametri prin relaţiile:

2ctbta ++=ω ( 1.95)

32

32 ctbtatd +++=ϕ ( 1.96)

ctb 2+=ε ( 1.97)

Valorile coeficientilor a, b, c se determină prin impunerea unor condiţii limită pentru spaţiu şi viteză.

Exemplu

Făcând referire la profilele prezentate în figura ……a condiţiile limită pentru viteză si spaţiu sunt:

00 =→= ωt ( 1.98)

00 =→= ϕt ( 1.99)

02ωω =→=

Tt ( 1.100)

dinamica -1

42

0=→= ωTt ( 1.101)

0ϕϕ =→= Tt ( 1.102)

Având în vedere relaţiile (….)-(….) se determină valorile coeficienţilor:

0== da ; T

bc −= ;

Tb 04 ω⋅= ( 1.103)

Pe baza valorilor anterioare se pot defini legile polinomiale de ordinul zero, unu, şi doi.

1.6.5.2.3. Legi de mişcare pentru o comandă de traiectorie

continuă

Pe baza cinematicii inverse este posibilă determinarea modului de variaţie a coordonatei generalizate ( )6,..,1=iiθ la impunerea traiectoriei pentru punctul

caracteristic. Problema de rezolvat în continuare constă în determinarea legilor de mişcare aferente fiecărui sistem de acţionare astfel încât să se realizeze traiectoria impusă. Se consideră redusă problema la o singură coordonată generalizată θ aferentă unui sistem de acţionare electric bazat pe motor electric rotativ. Se propune abordarea problemei prin utilizarea unor funcţii polinomiale datorită avantajelor deosebite pe care acestea le prezintă. Considerăm că traiectoria este descrisă prin "n" puncte de precizie S0, S1,..., Sn-1 atinse în momentele de timp t0, t1,...., tn-1. Această traiectorie constă astfel din ( 1−n ) segmente (fig……).

Fig. 1.57 Traiectorie continuă şi puncte de precizie

Fie segmentul "i" corespunzător perechilor de puncte [ 1−it , 1−iS ] şi [ it , iS ].

Introducând relaţia de definire a timpului pe fiecare segment:

1−−= ii ttτ ( 1.104)

expresia polinomială a fiecărui segment funcţie de timp este o parabolă de ordinul patru:


43

( ) 44

33

2210 iiiiiiiiiii aaaaas τττττ ⋅+⋅+⋅+⋅+= ( 1.105)

Notând 1−−= iii ttT este clar că 0=iτ se referă la originea segmentului "i"

(punctul 1−iS ) iar ii T=τ se referă la capătul segmentului "i" (punctul iS ).

Coeficienţii polinomiali din relaţia (…..) se determină pe baza unor condiţii iniţiale:

• condiţii de identitate a originii unui segment "i" cu extremitatea finală a celui anterior " 1−i ":

( ) ( ) 11110 −−−− ==== iiiiii STss ττ ( 1.106)

( ) ( ) iiiiii SsTs ==== ++ 011 ττ ( 1.107)

• condiţii de identitate a vitezelor:

( ) ( ) 1111 ''0' −−−− ==== iiiiii STss ττ ( 1.108)

( ) ( ) iiiiii SsTs '0'' 11 ==== ++ ττ ( 1.109)

• condiţii de identitate a acceleraţiilor:

( ) ( ) 1111 ""0" −−−− ==== iiiiii STss ττ ( 1.110)

Impunând condiţiile (4.58)-(4.60) pentru funcţia polinomială (4.57) şi derivatele sale se obţin coeficienţii polinomiali ca soluţii ale sistemului:

⋅

−

−−−−=

−

−

−

"1

'

'1

1

23344

2233

4

3

2

1

0

2

11233

113442

10000

00100

00001

i

i

i

i

i

iiiii

iiiii

i

i

i

i

i

S

S

S

S

S

TTTTT

TTTTT

a

a

a

a

a

( 1.111)

Se impune în mod suplimentar să existe şi continuitatea acceleraţiei şi a supra-aceleraţiei ("jerk") în punctul Si. Relaţiile de calcul în acest caz sunt:

( ) ( ) "1

"1

" 0 iiiiii SsTs ==== ++ ττ ( 1.112)

( ) ( ) '"1

'"1

'" 0 iiiiii SsTs ==== ++ ττ ( 1.113)

Elaborând ecuaţiile de continuitate descrise de (4.62) şi înlocuind coeficienţii determinaţi din (4.60) se obţin relaţiile de recurenţă pentru:

dinamica -1

44

• continuitatea acceleratiei:

( ) ( ) ""1

''112

612iiii

i

ii

i

SSSST

SST

=++⋅+−⋅ −−− ( 1.114)

• continuitatea supra-acceleraţiei:

( )

( ) "

1

'12

1

'21

131

"1

'2

'1213

1134

1358

i

i

i

i

i

i

ii

i

ii

i

i

i

ii

i

ST

ST

ST

SST

ST

ST

ST

SST

⋅−⋅−⋅−−⋅=

=⋅+⋅+⋅+−⋅

++

+++

+

−−−

( 1.115)

Considerând cǎ în punctul iniţial S0 şi cel final Sn-1 vitezele, acceleraţiile şi supra-acceleraţiile sunt egale cu zero atunci relaţiile anterioare permit determinarea profilelor parametrilor cinematici funcţie de timp. Utilizând relaţiile anterioare se poate impune pe fiecare segment "i" profilul de acceleraţie dorit. Observaţia 1

Contribuţia sistemului de acţionare al cuplei cinematice conducǎtoare "i" la realizarea unei traiectorii spaţiale a punctului caracteristic este descrisǎ de legea de mişcare aferentǎ cuplei respective. Respectarea fidelǎ a acestei legi condiţioneazǎ calitatea operaţiei executate. Comanda dinamicǎ şi cea "aservitǎ" sunt douǎ posibilitǎţi de definire a legilor de comandǎ. Observatia 2

In cele prezentate anterior s-a avut în vedere mişcarea cu deplasare controlatǎ. O a doua posibilitate o reprezintǎ mişcarea cu efort controlat în una din formele: a) mişcare "aservitǎ în efort" - poziţia cǎutatǎ este cea care corespunde unei reacţiuni egale cu o valoare datǎ; b) mişcare "telecomandatǎ" cu reacţie de fortǎ prin operatorul uman (sistemul "maitre-esclave"). Observaţia 3 Generarea de traiectorii se poate face "on-line", la execuţia mişcǎrii robotului, sau "off-line", la compilarea sau generarea programului robot. Acest aspect are influenţe semnificative asupra sistemului de comanda al RI.

1. dinamica - mec.upt.ro · 1. dinamica 1.1. Introducere O clasificare a sistemelor de acţionare...

Documents

Transcript of 1. dinamica - mec.upt.ro · 1. dinamica 1.1. Introducere O clasificare a sistemelor de acţionare...