Post on 21-Jul-2016
Modelarea deciziei financiare şi monetare
Teoria portofoliului
Alexandru Leonte
Departamentul de Monedă şi Bănci
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE FINANȚE, ASIGURĂRI, BĂNCI ŞI BURSE DE VALORI
Structura capitolului
1. Noţiuni introductive
2. Ecuaţiile portofoliului 3. Portofolii eficiente – frontiera Markowitz
4. Portofolii eficiente – dreapta CML
1. Noţiuni introductive De citit Altăr (2002): pag. 1-42; 50-69; Bodie, Kane şi Marcus (2011) facultativ În acest capitol vom juca ˶rolul˝ unui investitor pe bursa de valori Acesta deţine o avere iniţială şi are la dispoziţie n active (acţiuni) care cotează pe piaţă
Întrebare: ce sumă să investească în fiecare activ? sau formulat echivalent ce pondere din averea sa să investească în fiecare activ? Fiecare activ este caracterizat de randamentul său (rentabilitatea sa) calculat(-ă) între două momente de timp:
niP
D
P
PP
P
DPPRi ,...,1,
0
1
0
01
0
101
randamentul capitalului randamentul dividendului
La momentul actual (0), se cunoaşte preţul curent, însă nu se cunoaşte preţul viitor şi nici valoarea dividentului. Vom spune că rentabilitatea activului i este o variabilă aleatoare
Vom lucra în ipoteza existenţei riscului. Nu cunoaştem cu certitudine valoarea viitoare a rentabilităţii, însă îi presupunem cunoscută distribuţia de probabilitate şi primele două momente: speranţa matematică (media) şi varianţa
De asemenea, se presupune cunoscută covarianţa dintre rentabilităţile oricăror două active i şi j
Mai putem scrie:
2
ii
i
RVar
RE
cunoscute
jiijijjjiiji RRRERRERERR ,ovc,ovc
jiijijji RR ,cov
coeficient de corelaţie
i
iRE
rentabilitatea aşteptată a activului i
riscul activului i
Vom grupa aceste elemente în formă matriceală
Pentru calcule ulterioare, este util să definim vectorul coloană de dimensiune n, în care toate elementele sunt 1
nRE
RE
RE
...
2
1
vectorul rentabilităţilor aşteptate
2
1
2
212
112
2
1
..1,
......
............
......
...
nn
n
njiij
matricea de varianţă-covarianţă
1
...
1
1
e de n ori
Portofoliul unui investitor cuprinde activele în care a investit acesta
Structura portofoliului: vector de dimensiune n x 1, ale cărui elemente reprezintă ponderile investiţiilor realizate în fiecare activ
2. Ecuaţiile portofoliului
n
P
x
x
x ...
1
vectorul de structură al portofoliului P
n
k
kk
iii
PN
PN
totalăInv
iactivînInvx
1
_
___
i
i
P
N numărul de unităţi de activ i cumpărate
preţul activului i
Suma componentelor unui vector de structură va fi 100% (=1), întrucât componentele reprezintă ponderi calculate în investiţia totală
Matriceal, relaţia se scrie:
Dacă pe piaţă sunt permise operaţiunile de vânzare pe descoperit (short selling), unele componente ale vectorului de structură pot să ia valori negative sau supraunitare
n
k
kn xxxx1
21 11...
)1(1'1...1...1
1
P
n
xe
x
x
Noi cunoaştem rentabilităţile aşteptate, varianţele şi covarianţele tuturor celor n active de pe piaţă
Ne punem întrebarea care este rentabilitatea aşteptată şi varianţa unui portofoliu a cărui structură o cunoaştem
Mai întâi, observăm că rentabilitatea portofoliului P este: Aplicând în relaţia (*) operatorul de speranţă matematică, vom obţine: Aplicând operatorul varianţă, vom obţine: (1), (2) şi (3) poartă denumirea de ecuaţiile portofoliului
PR
(*)...2211 nnP RxRxRxR
)2('...2211 PnnP xRExRExRExRE
)3('...1,
11
n
ji
PPijjinnP xxxxRxRxVarRVar