Post on 05-Feb-2022
1
Conceptul de
probabilitate.
Aplicaţii în domeniul
medical
Obiective
Prezentarea conceptelor fundamentale ale
teoriei calculului probabilitaţilor
Exemplificarea practică a diferitelor modele
matematice ale teoriei probabilităţilor
2
Medicii cu experienţă încep procesul de a pune un
diagnostic de la prima stabilire a contactului vizual
cu un pacient.
Dar procesul de diagnosticare poate începe chiar
înainte de stabilirea contactului vizual cu un pacient.
Oare nu se poate diagnostica pacientul care nu a
fost încă văzut, care este încă în camera de
aşteptare?
Doar noi cunoaștem foarte multe despre pacient şi
putem face unele deducții
3
Inainte de a vedea cu pacientul suntem deja
capabili să identificăm cele mai probabile
două diagnostice şi să atribuim o
probabilitate iniţială pentru fiecare.
În momentele ulterioare, în funcție de
anamneză, de examinare şi testele
suplimentare (dacă este necesar) fiecare
dintre probabilităţi va suferi o serie de
modificări în jos sau în sus.
4
Medicul individualizează întrebările puse şi
elementele examinate în aşa fel încât
rezultatul fiecărei interogări forţează un
diagnostic sau altul de a fi mai probabil.
Astfel, diagnoza este un proces dinamic şi
secvential.
5
Să presupunem că la un anumit moment am
finalizat procesul de diagnosticare pentru un
pacient. Până la sfârşitul procesului de
diagnosticare medicul ar trebui să aibă un
diagnostic 100% probabil, dar în multe
cazuri, diagnosticul de lucru (alegerea
numarul unu) poate avea probabilitatea de
doar 70% - 80%.
6
Când un diagnostic nu este 100% probabil,
la momentul iniţial de evaluare, se
urmărește evoluția simptomatologiei
pacientului în timp pentru revizuirea
probabilităţi de diagnostic.
În cazurile care implică incertitudine chiar şi
elaborarea listei de diagnostice probabile cu
un număr mic de alternative concrete permite
medicului evaluarea opţiunilor rezonabile să
aleagă diagnosticul corect.
7
8
De ce avem nevoie de probabilităţi?
Stau la baza statisticii inferenţiale
Poate fi privită ca o măsură a capacităţii
eşantionului de a estima caracteristica unei
populaţii
9
Obiective
Definirea conceptului de probabilitate
Operaţii cu probabilităţi
Probabilitate condiţionată. Formula lui Bayes
Prevalenţa, valori predictive, senzitivitate,
specificitate
10
Teoria probabilităţilor
Teoria probabilităţilor are ca obiect de studiu legile care se manifestă în domeniul fenomenelor întâmplătoare cu caracter de masă care pot apare în diverse arii de interes.
11
Concepte fundamentale -
definiţii
Un experiment este o activitate a cărui rezultat este întâmplător poate fi definit şi ca un proces de colectare a datelor dintr-o populaţie
Exemple:
Arucarea unui zar (1,2,3,4,5 sau 6)
Determinarea statusului de a fi seronegativ sau seropozitiv.(da/nu)
Determinarea grupei sangvine. (0,A,B,AB)
12
Concepte fundamentale -definiţii
Aplicarea experimentului asupra unui element al colectivităţii se numeşte probă.
Rezultatul unei probe constituie un eveniment.
Evenimentul ce apare ca rezultat al unei singure probe (sau încercări) se numeşte eveniment elementar.
13
Abordări ale calcului probabilităţilor
Clasic
Probabilitatea unui eveniment A =
Numărul de cazuri favorabile
Numărul de cazuri posibile
Frecvenţa relativă
Numărul de apariţii a unui eveniment, după
repetarea experimentului de un număr mare de
ori.
14
Abordări ale calcului probabilităţilor
Care este probabilitatea ca la aruncarea unui
zar să obţinem faţa cu numărul 6?
Clasic
Numărul de cazuri favorabile = 1
Numărul total de cazuri posibile = 6
Probabilitatea = 1/6
15
Abordări ale calcului probabilităţilor
Care este probabilitatea ca la aruncarea unui
zar să obţinem faţa cu numărul 6?
Frecvenţe relative
Realizăm un număr mare de aruncări ale zarului şi calculăm frecvenţa distribuţiei pentru fiecare eveniment{1,2,3,4,5,6}
Probabilitate {6} = Numărul de valori 6 / numărul total de aruncări
16
Probabilitatea
măsoară incertitudinea
măsoară şansele ca un eveniment să aibă loc
are valori între 0 şi 1
17
0 11
2
imposibil certşanse 50-50
100%50% 0%
18
Exemplu
Încercările constau în determinarea grupei sangvine, rezultatele posibile fiind: A, B, AB, O, acestea nu sunt echiprobabile.
Grupa Sangvina Probabilitatea
O 0.42
A 0.43
B 0.11
AB 0.04
19
Spaţiul fundamental de evenimente
evenimentul imposibil () - mulţimea vidă
evenimentul cert (E)- mulţimea fundamentală E
Evenimentul sigur se produce cu certitudine la orice efectuare a experimentului
Evenimentul imposibil este nerealizabil în urma efectuării experimentului.
Complementul evenimentului A
Complementul evenimentului A, notat cu sau nonA
reprezintă evenimentul care se realizează ori de câte ori
nu se realizează A.
Exemplu
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2} = { 3, 4, 5, 6 }
20
A
A
21
Definiţia axiomatică
Fie E un spaţiu fundamental asociat unui experiment H şi mulţimea tuturor evenimentelor, adică mulţimea părţilor lui E:
P(E) .
Se spune că funcţia Pr:R este o funcţie de probabilitate, iar prin Pr(A) se notează probabilitatea evenimentului A, dacă satisface următoarele axiome:
M1. 0 Pr(A) 1, A
M2. Pr(E) 1
M3. Dacă A şi B sunt incompatibile (adică nu pot avea loc simultan) atunci
Pr(AB) Pr(A) Pr(B).
Definiţia axiomatică - proprietăţi
T1. Dacă A1, A2, ..., An sunt evenimente
incompatibile două câte două atunci:
T2. Pr() 0.
T3. Pr(non A) 1 - Pr(A).
T4. Dacă AB atunci Pr(A) Pr(B).
T5. Pentru orice evenimente A şi B are loc
egalitatea:
Pr(AB) Pr(A) Pr(B) - Pr(AB) .
)AiPr()n
1iAiPr(
n
1i
23
Spaţiul fundamental este finit
Experimentul H constă în aruncarea unui zar.
Spaţiul fundamental în acest caz este mulţimea tuturor
rezultatelor posibile la aruncarea zarului: E 1, 2, 3, 4,
5,6. In acest caz spaţiul fundamental E este finit.
Printre evenimentele posibile (submulţimi ale lui E) se pot
considera:
A 2, 4, 6 (obţinerea unei feţe pare)
B 1, 3, 5 (obţinerea unei feţe impare)
C 3 ( eveniment elementar).
In acest caz, evenimentele A şi B sunt incompatibile.
Evenimentele elementare sunt echiprobabile.
24
Spaţiul fundamental este finit
Experimentul H constă în determinarea grupei sangvine.
In acest caz spaţiul fundamental este E A, B, AB, 0.
E este finit însă spre deosebire de exemplul precedent,
evenimentele elementare A, B, AB şi 0 nu sunt
echiprobabile.
25
Spaţiul fundamental este infinit şi
numărabil
Experimentul H constă în aruncarea succesivă a unui zar
până ce se obţine faţa 5.
Spaţiul fundamental în acest caz este alcătuit din numărul
aruncărilor necesare, care variază de la 1 la infinit:
E 1, 2, 3,...,n,....
Spaţiul fundamental E este infinit, însă elementele sale fiind
ordonate într-un şir, E este un exemplu de spaţiu
fundamental numărabil.
26
Spaţiul fundamental este infinit şi
numărabil
Experimentul H constă în numărarea internărilor într-un
spital într-un interval de timp dat (săptămână, lună, an etc.)
Spaţiul fundamental E variază de la 0 la infinit, adică
E 0,1, 2, 3,...,n,....
In acest caz, E este o mulţime infinită şi numărabilă.
27
Spaţiul fundamental este infinit şi
nenumărabil
Experimentul H constă în aruncarea unei bile sferice într-o
cutie dreptunghiulară.
In urma unei încercări după oprirea bilei ea are un punct de
contact cu baza cutiei.
Spaţiul fundamental E, în acest caz, este alcătuit din
punctele de contact.
E este o mulţime infinită şi nenumărabilă.
28
Spaţiul fundamental este infinit şi
nenumărabil
Experimentul H constă în măsurarea temperaturii corporale.
Spaţiul fundamental E este alcătuit din toate valorile posibile
ale temperaturii corporale, astfel putem considera că în E
intră toate valorile din intervalul [35, 41], sau că
E [35,41].
In acest caz, spaţiul fundamental este o mulţime infinită şi
nenumărabilă.
29
Spaţiul fundamental este infinit şi
nenumărabil
Experimentul H constă în măsurarea tensiunii arteriale
sistolice (TAS).
Spaţiul fundamental E este alcătuit din toate valorile posibile
ale TAS, astfel putem considera că E este inclus în
intervalul [0, ).
In acest caz, de asemenea, spaţiul fundamental este o
mulţime infinită şi nenumărabilă.
30
Reguli de probabilitate
Reguli care permit calculul probabilitaţii unui
eveniment:
adunare
înmulţire
Terminologie
Evenimente independente
Evenimente mutual exclusive
Probabilităţi condiţionate
31
Regula de adunare a probabilităţilor
Considerând două evenimente A şi B, care este
probabilitatea ca sa apară A sau B?
Regula de adunare constă în:
Pr(A sau B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A şi B)
Pr(A B)= Pr(A) + Pr(B) – Pr(A B)
BA
32
Exemplu
Se aruncă un zar şi se observă faţa care este
în sus.
Ev A: numărul obţinut este {2,4,6}
Ev B: un număr < 3 {1,2,3}
Pr(A)=3/6
Pr(B)=3/6
Pr(A B)=1/6
Folosim regula de adunare
Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A B)
=3/6 + 3/6 – 1/6
=5/6
BA4
6
2
1
3
33
Evenimente independente
Definiţie: Două evenimente sunt independentedacă realizarea unui eveniment nu depinde derealizarea celuilalt eveniment.
Exemple:
• Un experiment presupune aruncarea a două zaruri.Valoarea obţinută după aruncarea primului zar nu nespune absolut nimic în legătură cu valoarea pe careo vom obţine la aruncarea celui de al doilea zar.
• Alegem două persoane din sala de clasă.Cunoscând culoarea ochilor primei persoane, nuputem să spunem nimic despre culoarea ochilorceleilalte persoane.
Proprietăți
34
Dacă A și B sunt evenimente independente, atunci:
Pr( A B ) = Pr(A) + Pr(B) (1 – Pr(A))
Pr(AB) Pr(A) Pr(B)
35
Exemplu:
La experimentul care constă în aruncarea unuizar considerăm evenimentele:
A:{obţinerea unei feţe cu un număr par}
B:{obţinerea unei feţe cu un număr <=4}
Care este probabilitatea evenimentului (A şi B)?(Care este probabilitatea obținerii unei fețe
pare cu un număr <=4?)
36
Soluţie
Pr(A) = { 2, 4, 6} =3/6 =1/2
Pr(B) = { 1,2,3,4} = 4/6 =2/3
Pr(A B) = { 2,4} = 2/6
Pr(A B) = (1/2 2/3) = Pr(A) Pr(B)
De aici rezultă că evenimentele A şi B sunt
independente.
37
Evenimente mutual exclusive
Definiţie: Două evenimente sunt mutual exclusive dacă realizarea unuia implică nerealizarea celuilalt.
Suma probabilităţilor pentru două sau mai
multe evenimente mutual exclusive este 1.
38
Evenimente mutual exclusive
Exemplu: Aruncarea unui zar.
Evenimentul A = {număr par}
Evenimentul B = {număr impar}
Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B)
= 3/6 + 3/6
= 1
Exemplu
Fie A evenimentul ca o persoană să aibă tensiune
arterială diastolică normală (TAD <90).
Fie B evenimentul ca o persoană să aibă TAD la
limită, adică 90 TAD < 95.
Stim ca Pr(A) = 0.7, Pr(B) = 0.1 .
Care este probabilitatea ca o persoana sa aiba TAD
< 95?
Solutie.
Fie C evenimentul ca o persoană are TAD < 95.
C=AB şi AB=.
Atunci, Pr(C) =Pr(A) + Pr(B) = 0,7+0,1 =0,839
Probabilităţi condiţionate
OBIECTIVE
Probabilităţi condiţionate
Prevalenta
Sensibilitate, specificitate
VPP, VPN
Teorema lui Bayes
Independenţa a două evenimente
42
Probabilităţi condiţionate
În anumite situaţii este necesar să cunoaştem probabilitatea unui eveniment particular care urmează să aibă loc, ştiind deja că alt eveniment a avut loc.
A şi B sunt două evenimente arbitrare
probabilitatea condiţionată a lui A de către B este probabilitatea de a se realiza evenimentul A dacă în prealabil s-a realizat evenimentul B.
Majoritatea aplicaţiilor pentru aceste tipuri de probabilităţi condiţionate sunt testele diagnostic şi programe de screening.
Pr(B|A) = Pr(A B)
Pr(A)
Pr(A B) = Pr(B|A) Pr(A)
43
Probabilitate condiţionată
Are loc următoarea regulă de calcul a
probabilităţii intersecţiei a două evenimente:
sau
)/Pr()Pr()Pr( ABABA
)/Pr()Pr()Pr( BABBA
44
Probabilitate condiţionată
Are loc următoarea regulă de calcul a probabilităţii
intersecţiei a două evenimente:
sau
Mai general, au loc următoarele reguli de înmulţire a probabilităţilor:
respectiv
)/Pr()/Pr()Pr()Pr( BACABACBA
)/Pr()/Pr()/Pr()Pr()Pr( CBADBACABADCBA
)/Pr()Pr()Pr( ABABA
)/Pr()Pr()Pr( BABBA
45
Independenţa a două evenimente
Două evenimente A şi B se numesc independente dacă şi numai dacă
Pr(AB) Pr(A) Pr(B).
Două evenimente A şi B sunt dependente dacă
Pr(AB) Pr(A) Pr(B).
Are loc următoarea proprietate privind probabilităţile condiţionate:
Dacă A şi B sunt evenimente independente, atunci
Pr(B|A) =Pr(B) = Pr(B|nonA).
46
Independenţa a două evenimenteDacă evenimentele A şi B sunt independente atunci:
Pr(B/A) Pr(B) şi
Pr(A/B) Pr(A)
(probabilitatea evenimentului B nu depinde de realizarea
evenimentului A şi invers).
Legea de adunare a evenimentelor independente.
Dacă A şi B sunt două evenimente independente, atunci
Pr( A B ) = Pr(A) + Pr(B) (1 – Pr(A)).
Exemple
Exemplul 1:
Pentru studiul HTA in cadrul familiilor s-a determinat probabilitatea HTA la barbati P(A)=0,2 si la femei P(B)=0,1 Care este probabilitatea de a avea o familie de hipertensivi?
Pr(A B) = ?
Exemplul 2:
Pentru studiul HTA in cadrul familiilor s-a determinat probabilitatea HTA la mama P(A)=0,1, la primul copil P(B)=0,2 si frecventa aparitiei HTA la copiii cu mama afectata de HTA: Pr(AB) = 0,5
Exista o relatie de cauzalitate intre HTA la mama si cea de la copil?
48
Formula lui BAYES
Considerăm evenimentele A şi B care nu sunt independente. Atunci din formulele:
se deduce formula lui BAYES:
Dar fiindcă
Pr(B) = Pr((BnonA) (BA)) =Pr(BnonA) + Pr(BA),
aplicând formula probabilităţilor condiţionate se obţine:
Pr(B)=Pr(B|A) Pr(A) + Pr(B|nonA) Pr(nonA).
De aici rezultă următoarea formă a formulei lui Bayes:
Pr(B)
B)Pr(APr(A/B)
Pr(A)
B)Pr(APr(B/A)
Pr(B)
Pr(A)Pr(B/A)Pr(A/B)
Pr(nonA)nonA)|Pr(BPr(A)A)|Pr(B
Pr(A)A)|Pr(BB)|Pr(A
49
Formula lui BAYES - exemplu
Se ştie că 60% din populaţia dintr-o ţară trăieşte în mediul urban, 20% din populaţie este alergică şi 55% dintre alergici trăiesc în mediul urban. Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un locuitor din mediul urban el să fie alergic?
Fie A evenimentul ca o persoană să fie alergică, iar U evenimentul ca o persoană să locuiască în mediul urban. Atunci probabilitatea căutată este:
60
11
6.0
2.055.0
)Pr(
)Pr()|Pr()|Pr(
U
AAUUA
50
Probabilitate condiţionată
Să considerăm următoarele evenimente în legătură cu aplicarea
unui test diagnostic:
A - evenimentul ca o persoană luată la întâmplare dintr-o
populaţie să aibă o anumită afecţiune A (periodontita,
cancer oral.),
T - evenimentul de obţinere a unui test pozitiv în cazul
aplicării unui test diagnostic T pentru detectarea afecţiunii
A la o persoană.
Prin non(A) (persoană fără afecţiunea A) şi non(T) (test
negativ) notăm evenimentele complementare
evenimentelor A şi respectiv T.
51
Probabilitate condiţionată
In general, din cauza imperfecţiunii testului, nu orice persoană
având afecţiunea A este detectată la aplicarea testului A ca
pozitivă (fals negativ) şi nu toate persoanele cu răspuns pozitiv
la testul T au neapărat afecţiunea (fals pozitiv).
Astfel, de regulă, prin aplicarea unui test diagnostic rezultă
falşi pozitivi şi falşi negativi.
Ambele rezultate eronate ce rezultă prin aplicarea testului sunt
de nedorit.
52
Probabilitate condiţionată
Să presupunem că din populaţia căreia i s-a aplicat
testul este selectat un eşantion reprezentativ de n
persoane şi s-au obţinut următoarele rezultate:
Afecţiunea
Testul
A non (A) Total
T
pozitiv
a b a+b
non (T)
Negativ
c d c+d
Total a+c b+d n
53
Prevalenta afectiunii
Extrăgând la întâmplare o persoană din populaţie, cu ajutorul
rezultatelor prezentate în tabelul precedent se pot determina
probabilităţile diverselor evenimente ce pot avea loc.
Astfel avem:
Pr(A) se numeşte prevalenţa afecţiunii A.
n
caA
)Pr(
n
dbnonA
)Pr(
Testul
Afecţiunea
A non (A) Total
T a b a+b
non (T) c d c+d
Total a+c b+d n
54
Exemplu de Screening
Un specialist în igienă a făcut un test de screening pe 220 de paciențipentru parodontită acută.
După un timp, un specialist în periodontită a examinat pacienții.Rezultatele examinării sunt în tabel
55
Screening
Care este probabilitatea ca o pacient care a făcut parodontită să fi avut un test pozitiv în urma screening-ului?
P (boală | rezultat pozitiv la test)
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
56
Soluţie
P (boală|screening+)
= P (boală screen+) / P (screen+)
P (boală screening+) = 45 / 220
71
220x
220
45
220
71/
220
45 = 0.63
P (screening+) = 71/220
valoarea predictiv pozitivă pentru testul de screening
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
57
Valori predictive
Screening-ul unui test diagnostic se utilizează pentru
identificarea bolilor şi pentru ajutorul pe care îl dă în cazul
stabilirii unui diagnostic.
Este important să ştim probabilitatea ca testul aplicat să
ne dea un diagnostic corect (pozitiv sau negativ).
Valoarea predictiv pozitivă (VPP) este probabilitatea ca o
persoană care are afecţiunea să obţină un rezultat pozitiv
în urma aplicării testului.
VPP = P(test+ boala+)
P(test+)
58
Valori predictive
Analog, valoarea predictiv negativă (VPN) este probabilitatea
ca o persoană care nu are afecţiunea să obţină un rezultat
negativ în urma aplicării testului.
VPN = P(test- boala-)
P(test-)
59
Sensibilitate
Sensibilitatea este probabilitatea ca testul să fie pozitiv în timp
ce afecţiunea există.
Se = P(Test+|Boala+)
= P(Test +ve Boala+)
P(Boala+)
60
Calculul sensibilității
P(Test +|Boala+) = P(Test + Boala+)P(Boala+)
=(45/220) / (59/220)
=45/59
Se = 0.76
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
61
Specificitate
Specificitatea este probabilitatea ca testul să fie negativ, în timp ce boala nu este prezentă.
Sp = P(Test -|Boala-)
= P(Test– Boala-)
P(Boala-)
62
Calculul Specificităţii
P(Test-|Boala-) = P(Test- Boala-)P(Boala-)
=(135/220) / (161/220)
=135/161
Sp = 0.84
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
63
Sensibilitate, Specificitate, VPP
Sensibilitatea este probabilitatea ca prezenţa bolii să fi fost corect identificată de test
= 45/59 = 0.76 = 76%
Specificitatea este probabilitatea ca absenţei bolii să fi fost corect identificată de test
= 135/161= 0.84 = 84%
Valoarea pozitiv predictivă este probabilitatea ca un pacient care are un test pozitiv fie corect diagnosticat cu boala
= 45/71 = 0.63 = 63%
boala
Screening parodontită(+) parodontită(-) total
test (+) 45 26 71
test (-) 14 135 149
total 59 161 220
Riscul relativ (RR)
Riscul bolii la expuşi:
p1=a/(a+b)
Riscul bolii la neexpuşi:
p0=c/(c+d)
Riscul relativ (RR): de câte
ori este mai mare proporţia
persoanelor bolnave în
rândul celor expuşi la
factorul de risc faţă de
proporţia bolnavilor în rândul
celor neexpuşi la factorul de
risc
RR=p1/p0
RR<1 Factor de
protectie
RR=1 Factor indiferent
RR>1 Factor de risc
)|Pr(
)|Pr(
AB
ABRR
Interpretare:
Riscul apariţiei bolii A la pacienţii
care sunt expuşi la factorul B este
de RR ori mai mare faţă de cei
neexpuşi la factorul B.
FORMULERiscuri pe tabelul de contingenta
B+ B- Total
F+ AP FP AP+FP
F- FN AN FN+AN
Total AP+FN FP+AN AP+FP+FN+AN=n
Denumire Formula
Rata falsi pozitivi =FP/(FP+AN)
Rata falsi negativi =FN/(FN+AP)
Sensibilitate =AP(AP+FN)
Specificitate =AN/(AN+FP)
Acuratete =(AP+AN)/n
Valoarea predictiv pozitiva =AP/(AP+FP)
Valoarea predictiv negativa =AN/(AN+FN)
Riscul relativ =AP(FP+AN)/[FN(AP+FP)]
Rata sansei =(AP·AN)/(FN·FP)
Riscul atribuabil =AP/(AP+FP)-FN/(FN+AN)
AP - Adevarat Pozitiv
FP – Fals Pozitiv
AN - Adevarat Negativ
FN - FalsNegativ
66
Observaţii
•Un fals negativ este o persoană pentru care testul este
negativ, dar care de fapt are boala.
•Un fals pozitiv este o persoană pentru care testul este
pozitiv, dar care de fapt nu are boala.
•Este important ca atât senzitivitatea cât şi specificitatea
să fie ridicate (cât mai aproape de valoarea 1 sau 100%)
pentru ca simptomul sau testul să fie predictiv pentru o
boală.