Post on 06-Dec-2015
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ EREMIA GEORGESCU-BUZĂU
Ediţia a II-a
17 decembrie 2011 Filiala Buzău
a SSM din
România
Filiala Buzău
a SSM din
România
Filiala Buzău
a SSM din
România
Clasa a X-a M1
SUBIECTUL I
Fie 1a , 0b , 1b şi k*
N . Rezolvaţi ecuaţia:
1log
2
loglog122
ax
ba
k
b
xx bb
Barem
Condiţie de existenţă: 0x
Observaţie: 0log1loglog1222 xxx bbb
…………………………………………………….. (1p)
Ecuaţia devine: 1log12log1
axak
b
xb……………………………………………... (1p)
Folosind substituţia xy blog1 se obţine ecuaţia 12 aya ky………….……... (1p)
Caz I. 0y
Ecuaţia 12 aya ky admite soluţia 11y deci 11x ….....……….……... (1p)
Soluţia este unică (dem. cu inegalităţi sau cu funcţii str. cresc. ) .....………....…... (1p)
Caz II. 0y
Ecuaţia 12 aya ky admite soluţia 12y deci
2
2 bx ….....……….……... (1p)
Soluţia este unică (dem. cu inegalităţi sau cu funcţii str. descresc. ) .....…....……....…... (1p)
SUBIECTUL II
Fie n*
N şi 0,z z C astfel încât 10z şi 02... 0
1 zzzz nn, pentru o anumită alegere a
semnelor + sau . Să se arate că 2z .
Barem
Scriind egalitatea dată sub forma 0
1 2... zzzz nn şi aplicând inegalitatea modulelor, obţinem
0
12... zzzz
nn. ………………………………………………………………………………………….(2p)
Fie 10 az şi rz . Să presupunem (prin absurd) 2r .
Avem atunci arrr nn 2...1 12
1
1a
r
rr
nn 12
1
121
ar
rr nn
……….(2p)
CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ EREMIA GEORGESCU-BUZĂU
Ediţia a II-a
17 decembrie 2011 Filiala Buzău
a SSM din
România
Filiala Buzău
a SSM din
România
Filiala Buzău
a SSM din
România
Scăzând o unitate din ambii membri, obţinem 0121
12a
r
rr n
, ceea ce contrazice
presupunerea făcută, deci 2r . …………………………………………………………………………………….(3p)
SUBIECTUL III
Să se arate că dacă cba ,, sunt numere reale strict pozitive cu abccba , atunci
64111 222 cba
Barem
Relaţia abccba se scrie 1111
abcabc ………………………………………………………….. (2p)
Avem bc
a
bc
caba
cabaa
aabcabca
aaa
411111111111 2
2
2
2
22
………………………………………………………………….………………………………………………………….. (4p)
Deci 64444
111 222
ba
c
ac
b
bc
acba ………………………………..…………………….. (1p)