CALCULUL INVERSEI UNEI MATRICE

1.Ce înţelegem prin transpusa unei matrice?

2.Ce numim minor al elementului unei matrice?

3. Ce numim complement algebric al unui element al matricei A?

RECAPITULARE

Să se calculeze produsele AB ŞI BA unde

A= B=

Ce observaţi?

Definitie 1.O matrice patratica a se numeste nesingulara (singulara) daca det A este nenul (det A = 0).  2.Matricea a se numeste inversabila daca exista o alta matrice notata A -1 astfel ca: AA -1 A = -1. A = I n .  Inversa unei matrice patratice exista daca si numai daca det A este nenul , iar daca exista aceasta este UNICA.

1. Se calculeaza det A = d. (d nenul atunci se trece mai departe, daca Nu spunem ca matricea A nu admite inversa) 2. Se scrie transpusa matricii A 3.Se scrie matricea adjuncta corespunzatoare matricei A: A *= matricea complementilor algebrici PENTRU transpusa lui A. 4.Scrierea matricei inverse.

Calculul inversei unei matrice

Fie A o matrice patratica de ordinul n cu coeficienti complecsi.

Matricea A este inversabila daca si numai daca det(A) este diferit de 0

(in acest caz, matricea A se numeste nesingulara sau nedegenerata).

Matricea inversa a matricei A este data de formula:

unde A* (matricea adjuncta a matricei A) se obtine inlocuind fiecare element al

matricei tA (matricea transpusa a matricei A) cu complementul sau algebric:

Mij fiind minorul elementului din (determinantul obtinut din prin eliminarea liniei i si coloanei j).

A= .Sa se arate ca este inversabila si [n caz afirmativ calculati A-1.

Rezolvare: d= deci este inversabila si A-1= A* dar

2.Fie A= a)Sa se arate ca A este inversabila si sa se calculeze A-1.

b)Determinati X astfel [ncat A X=B unde B= .

Rezolvare:

a) A este inversabila pentru ca det A=4 deci d 0 deci A-1= A*.Se observa ca At=A.

avem A*= ,A-1= .

b)ecuatia AX=B are solutia X=A-1B si prin calcul direct obtinem:X= => X= sau

altfel AX=B ó =

) Sa se determine matricea X care satisface egalitatea X =

Indicatie: ecuatia este de forma XA=B si solutia care este unica are forma X=BA-1(a nu se uita ca [nmultirea matricelor nu este comutativa).

2) Se considera matricea X cu proprietatea X =

Precizati tipul matricei x si apoi determinati aceasta matrice.