Post on 23-Jun-2015
description
Academia Navală Mircea cel Bătrân, ConstanțaFacultatea de Marină Civilă
Specializare: Inginerie și Management Naval și Portuar
Disciplina : Complemente de matematici în transporturi
Metode matematice aplicate în practica navalăStudiu de caz privind vasele de croazieră
Autori:
Coordonatori:
Folosirea metodelor matematice în practica navală tehnică și economică, de orice nivel, constituie o preocupare cu efecte benefice în rezolvarea problemelor actuale specifice domeniului.
Utilizarea matematicii în problemele specifice domeniului naval, tehnic sau economic presupune de fapt accesarea cât mai adecvată a modelelor matematice.
Elaborarea unui model matematic trebuie să respecte etapele:• Obţinerea modelului descriptiv• Formularea și elaborarea matematică a modelului descriptiv• Studierea (cercetarea) modelului, etapă care presupune
rezolvarea practică a problemei pe model utilizând în mod special calculatorul.
“Croaziere Costa” realizează o croazieră în Marea Mediterană, între Europa și Africa cu plecarea din Seville , Spania și sosirea în Alexandria , Egipt.
Legenda:
a – Spania , Seville e – Tunisia , Tunis
b – Franța , Marseille f – Grecia , Patras
c – Algeria , Algiers g – Egipt , Alexandria
d – Italia , Napoli
475
885
819
541
410 472
3841045
645
481
579
10011108a
c e
g
fb
d
L a b c d e f g
a 0 ab ac 0 0 0 0
b 0 0 bc 0 be 0 0
c 0 0 0 cd 0 0 0
d da db 0 0 0 df 0
e 0 0 ec 0 0 0 eg
f 0 fb 0 0 0 0 0
g 0 0 0 gd 0 gf 0
a b c d e f g
a 0 b c 0 0 0 0
b 0 0 c 0 e 0 0
c 0 0 0 d 0 0 0
d a b 0 0 0 f 0
e 0 0 c 0 0 0 g
f 0 b 0 0 0 0 0
g 0 0 0 d 0 f 0
Se construiește matricea , obţinută din L prin înlăturarea lui din succesiunea , când aceasta există.
L a b c d e f ga 0 ab ac 0 0 0 0
b 0 0 bc 0be
0 0
c 0 0 0 cd 0 0 0d da db 0 0 0 df 0e 0 0 ec 0 0 0 egf 0 fb 0 0 0 0 0g 0 0 0 gd 0 gf 0
a b c d e f ga 0 b c 0 0 0 0b 0 0 c 0 e 0 0c 0 0 0 d 0 0 0d a b 0 0 0 f 0e 0 0 c 0 0 0 gf 0 b 0 0 0 0 0g 0 0 0 d 0 f 0
= * a b c d e f g
abc
d
e
f
g
0 ab ac 0 0 0 0 000a000
0
= * a b c d e f g
a 0
bc
d
e
f
g
b00b0b0
0 00 0
cc00c00
0 0 abc0 0 abc
= * a b c d e f g
a 0 0 abc acd abe 0 0
b 0 0 bec bcd 0 0 beg
c cda cdb 0 0 0 cdf 0
d 0dabdfb
dacdbc
0 dbe 0 0
e 0 0 0ecdegd
0 egf 0
f 0 0 fbc 0 fbe 0 0
g gdagdbgfb
0 0 0 gdf 0
0 ab ac 0 0 0 00 ab ac 0 0 0 0
= * a b c d e f g
a 0 0 0 0 0acdbegf
acdfbeg
b 0 0 0 0 0 0 0
c 0 0 0 0 0cdabegf
0
d 0 0 0 0 0 0 0
eegfbc
da0 0 0 0 0 0
f 0 0fbegd
ac0 0 0 0
ggfbec
da0 0 0 0 0 0
Conform tabelului de mai jos graful dat are 6 drumuri hamiltoniene: = {a, c, d, b, e, g, f }, = {a, c, d, f, b, e, g }, ={c, d, a, b, e, g, f }, ={e, g, f, b, c, d, a }, ={f, b, e, g, d, a, c } şi ={g, f, b, e, c, d, a }.
475
885
819
541
410 472
3841045
645
481
579
10011108a
c e
g
fb
d
= 4003 mile nautice
= {a, c, d, f, b, e, g } = 0 = min = 541 = min = 1120 = min = 1601 = min = 2486 = min = 2958 = min = 4003
={g, f, b, e, c, d, a }
= 0 = min = 645 = min = 1530 = min = 2002 = min = 2386 = min = 2965 = min = 4073
= 4073 mile nautice
Problema determinării fluxului optim într-o reţea de transport
Trei agenții de crewing , , dispun de 21, 20, respectiv 22 persoane specializate pe aceste domenii, unele dintre ele având câte 2 sau chiar 3 specializari. Angajatorul are nevoie de 19 ospatari () , 18 barmani () , 20 persoane pentru room service () si 21 de cameriste ().
/
15 8 10 15 15 6 12
10 14 7 16
8
Posibilităţile de onorare a acestei cereri sunt limitate de disponibilitatea fiecărei persoane deținută de cele 3 agenții de crewing așa cum reiese din tabelul următor:
18
19
20
21
108
15
1514
8
6
1012
16
15
7
21
20
22
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5
𝑥6
𝑥7
𝑥8
𝑥9
C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 8 7 7 2 2 2 2 2 1 2
= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )
=, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )= (, , , )
Se observă că fluxul φ este incomplet deoarece drumurile de mai jos sunt nesaturate :
C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 6 5 5 6
k1=min(21-8, 15-2, 19-6)=13k2=min(21-8, 8-2, 18-5)=6k3=min(21-8, 10-2, 20-5)=8k4=min(21-8, 15-2, 21-6)=13k5=min(20-7, 15-2, 19-6)=13k6=min(20-7, 6-1, 18-5)=5k7=min(20-7, 12-2, 20-5)=10k8=min(20-7, 10-2, 21-6)=8k9=min(22-7, 14-2, 19-6)=12k10=min(22-7, 7-2, 18-5)=5k11=min(22-7, 16-1, 20-5)=15k12=min(22-7, 8-2, 21-6)=6
C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 8 7 7 2 2 2 2 2 1 2
C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 6 5 5 6
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător cu:
C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 8 7 7 2 2 2 2 2 1 2
C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 6 5 5 6
(,)21
(,)15
(,)19
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător cu:
k1=13 = (, , , )
k6=5 = (, , , )
k8=8 = (, , , )
k11=15 = (, , , )
C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 21 7 7 15 2 2 2 2 1 2
C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 19 5 5 6
(,)12
()6
(,)10
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător cu:
k6=5 = (, , , )
k8=8 = (, , , )
k11=15 = (, , , )
C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 21 12 7 15 2 2 2 2 6 2
C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 2 2 2 1 2 19 10 5 6
(,)20
21(,)14
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător cu:
k8=8 = (, , , )
k11=15 = (, , , )
(,)10
C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 21 20 7 15 2 2 2 2 6 2
C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 10 2 2 1 2 19 10 5 14
(,)22
20(,)20
Pe fiecare din aceste drumuri fluxul poate fi majorat corespunzător cu:
k11=15 = (, , , )
()16
CjDj
Numărul de persoane disponibile
Numărul de persoane angajate
15 2 2 2 21 212 6 2 10 20 202 2 16 2 22 22
Cererileangajatorului
19 18 20 21
Cererilesatisfăcute
19 10 20 14
Valorile (, ) din tabel au fost citite din fluxul optimal şi reprezintă numarul de persoane de la agentiile de crewing şi repartitia pe departamentele .
C 21 20 22 15 8 10 15 15 6 12Γ (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) () (,)φ 21 20 22 15 2 2 2 2 6 2
C 10 14 7 16 8 19 18 20 21Γ (,) () (,) () () (,) (,) (,) (,)φ 10 2 2 16 2 19 10 20 14
Problema amestecului optim sau a nutriției(dietei)
Alimentul Substanța
(carne) ( peste )
( lactate ) ( legume/fructe)
Minim necesar din substanța
nutritiva
(proteine) = 3 = 2 = 0 = 3 = 80
(glucide) = 0 = 2 = 2 = 1 = 250
(lipide) = 3 = 5 = 0 = 2 = 80
(vitamine-calciu) = 0 = 3 = 6 = 1 = 5
Preț alimente = 20 = 15 = 12 = 10
Unități de consum
Se caută ca această dietă să conțină substanțe nutritive – proteine, glucide, lipide și vitamine (calciu), în cantitățile minimale 80g, 250g, 80g și respectiv 5g regăsite în alimentele: carne, peste, lactate, fructe și/sau legume, cu prețul corespunzător pe unitate 20, 15, 12 respectiv 10.Notăm cu numărul de unităţi din substanţa , i = , ce se găsesc într-o unitate din alimentul , j =
{3 𝑥1+2𝑥2+3 𝑥4≤80𝑥2+2𝑥3+𝑥4≤250
3 𝑥1+5 𝑥2+2𝑥4≤ 803 𝑥2+6𝑥3+𝑥4≤5
(max)f(x) = 20 + 15 + 12 + 10
≥ 0 , i =
{3 𝑥1+2𝑥2+3 𝑥4+𝑥5=80𝑥2+2 𝑥3+𝑥4+𝑥6=250
3 𝑥1+5 𝑥2+2𝑥4 +𝑥7=803 𝑥2+6 𝑥3+𝑥4+𝑥8=5
min(-f(x)) = - 20 - 15 - 12 - 10
≥ 0 , i =
(max)f(x) = - min(-f(x))
0 0 0 3 0 1 1 0 -1 0
0 25 0 0 0 2/3 0 1 0 -1/3
-20 80/3 1 5/3 0 2/3 0 0 1/3 0
-12 5/3 0 1/2 1 1/6 0 0 0 1/6
-1660/3 -20 -118/3 -12 -46/3 0 0 -20/3 -2
/ 0 73/3 0 16/3 0 0 20/3 2
c -20 -15 -12 -10 0 0 0 0
80 3 2 0 3 1 0 0 0
250 0 1 2 1 0 1 0 0
80 3 5 0 2 0 0 1 0
5 0 3 6 1 0 0 0 1
→ 0 0 0 0 0 0 0 0 0
← / -20 -15 -12 -10 0 0 0 0
80 3 2 0 3 1 0 0 0
0 0 0 3 0 1 1 0 -1 0
0 250 0 1 2 1 0 1 0 0
-20 80/3 1 5/3 0 2/3 0 0 1/3 0
0 5 0 3 6 1 0 0 0 1
→ -1600/3 -20 -100/3 0 -40/3 0 0 -20/3 0
← / 0 55/3 -12 10/3 0 0 120/3 0
= ( , 0 , , 0 , 0 , , 0 , 0 )
= ()
(max)f(x) = - min(-f(x))
Pentru a se găsi soluția optima trebuie îndeplinite două condiții si anume : ≥ 0 si ≥ 0
min(-f(x)) = - (RON/persoana)
(max)f(x) = (RON/persoana)
Problema de transport privind minimizarea costurilor
PRODUS
FURNIZOR
PACURĂ
($/tona)
DIESEL($/
tona)
ULEI($/
tona)
F1-ALGERIA 650 355 300F2-ITALIA 640 345 310
F3-TUNISIA 660 350 290F4-EGIPT 645 455 295
Prețurile celor trei produse diferă de la țară la țară și se prezintă astfel:
LEGENDĂ
P1=1100t PĂCURĂ F1=ALGERIA B1=500t
P2=300t MOTORINĂ
F2=ITALIA B2=210t
P3=10t ULEI F3=TUNISIA B3=400t
F4=EGIPT B4=300t
Așadar, problema tratată este o problemă de transport cu capacități limitate, iar forma tabelară arată astfel:
PRODUS
FURNIZORPACURĂ DIESEL ULEI
DISPONIBIL
F1 – Port 3650 355 300
500500
F2 – Port 4640 345 310
210
F3 – Port 5660 350 290
400
F4 – Port 6645 455 295
300300
NECESAR 1100 300 10 1410
PRODUS
FURNIZORPACURĂ DIESEL ULEI
DISPONIBIL
F1 – Port 3650 355 300
500;0500 500 0 0
F2 – Port 4640 345 310
210;0 0 210 0
F3 – Port 5660 350 290 400;390;90;
0 300 90 10
F4 – Port 6645 455 295
300;0300 300 0 0
NECESAR1100;800;300
;0300;90;0 10;0 1410
Soluția determinată este degenerată. Am obținut patru variabile nenule (patru căsuțe ocupate) și ne trebuie pentru ca soluția să nu fie degenerată.
PRODUS
FURNIZORPACURĂ DIESEL ULEI
DISPONIBIL
F1 – Port 3650 355 300
500;0500 500 0 0
F2 – Port 4640 345 310
210;0 0 210 0
F3 – Port 5660 350 290 400;390;90;
0 300 90 10
F4 – Port 6645 455 295
300;0300 300 0* 0*
NECESAR1100;800;300
;0300;90;0 10;0 1410
Pentru înlăturarea acestui inconvenient se folosește metoda zerourilor esențiale. Acesta constă în transformarea unor căsuțe libere în căsuțe ocupate cu un 0*, numit zero esențial.
Având mai puţine căsuţe ocupate decât m+n-1 rezultă că variabilele duale (marginale) nu pot fi determinate.
PRODUS
FURNIZOR
PACURĂV1=650
DIESELV2=340
ULEIV3=280
DISPONIBIL
F1 – Port 3U1=0
650 650 355 340 300 280500;0
500 500 0 0
F2 – Port 4U2=5
640 655 345 345 310 285210;0
0 210 0
F3 – Port 5U3=10
660 660 350 350 290 290 400;390;90;0300 90 10
F4 – Port 6U4=-5
645 645 455 335 295 275300;0
300 300 0* 0*
NECESAR1100;800;300
;0300;90;0 10;0 1410
Se poate observa că în căsuța (2,1) condiția de optimalitate nu este îndeplinită, deoarece + = 655 > = 640.
PRODUS
FURNIZOR
PACURĂV1=650
DIESELV2=340
ULEIV3=280
DISPONIBIL
F1 – Port 3U1=0
650 650 355 340 300 280500;0
500 500 0 0
F2 – Port 4U2=5
640 655 345 345 310 285210;0
0 210 0
F3 – Port 5U3=10
660 660 350 350 290 290 400;390;90;0300 90 10
F4 – Port 6U4=-5
645 645 455 335 295 275300;0
300 300 0* 0*
NECESAR1100;800;300
;0300;90;0 10;0 1410
PRODUS
FURNIZOR
PACURĂV1=650
DIESELV2=340
ULEIV3=280
DISPONIBIL
F1 – Port 3U1=0
650 650 355 340 300 280500;0
500 500 0 0
F2 – Port 4U2=5
640 655 345 345 310 285210;0
+ 0 - 210 0
F3 – Port 5U3=10
660 660 350 350 290 290 400;390;90;0- 300 + 90 10
F4 – Port 6U4=-5
645 645 455 335 295 275300;0
300 300 0* 0*
NECESAR1100;800;300
;0300;90;0 10;0 1410
Într-un ciclu marcăm alternativ cu + și – căsuţele, începând cu căsuţa liberă. Semnele se trec în colţul din stânga jos al căsuţei.
PRODUS
FURNIZOR
PACURĂV1=650
DIESELV2=340
ULEIV3=280
DISPONIBIL
F1 – Port 3U1=0
650 650 355 340 300 280500;0
500 500 0 0
F2 – Port 4U2=-10
640 640 345 330 310 270210;0
+ 210 - 0 0
F3 – Port 5U3=10
660 660 350 350 290 290 400;390;90;0- 90 + 300 10
F4 – Port 6U4=-5
645 645 455 335 295 275300;0
300 300 0* 0*
NECESAR1100;800;300
;0300;90;0 10;0 1410
X =
min(f) = 650 * 500 + 640 * 210 + 660 * 90 + 645 * 300 + 350 * 300 + 290 * 10 = 852.700$
Concluzii În lucrarea de față au fost tratate probleme
specifice unui vas de croazieră, dar metodele matematice pot fi cu ușurință folosite și în rezolvarea unor probleme de optimizare a activităţii unor instituții, întreprinderi, a unor societăţi de comerţ sau cu preocupări agricole.
Cu ajutorul elementelor de teorie, reduse la strictul necesar și al exemplelor adecvate, bogat ilustrate, prezenta lucrare are menirea să evidențieze o parte din problemele reale cu care se confruntă armatorii în planificarea unui voiaj și să aducă soluții matematice, ușor aplicabile.
VĂ MULȚUMIM!