Modele pentru regimuri dinamice

MODELUL VECTORIAL AL MAŞINII ASINCRONE

Limitari ale modelului MA in instantaneu

• Atunci când performanţele cerute sunt pretenţioase, mai ales în condiţii dinamice, modelul maşinii in instantaneu devine mult mai complicat datorita necesitatii controlului cuplului masinii.

• Utilizarea circuitele trifazate cuplate magnetic ale motorului asincron trifazat are ca rezultat un set de ecuaţii extrem de greu de mânuit, cu un timp de calcul prohibitiv pentru circuitele de comanda.

Cuplul masinii asincrone

Ecuatiile in instantaneu

MODELUL VECTORIAL AL MAŞINII ASINCRONE

• Pentru eliminarea acestui neajuns s-au creat prin transformări de coordonate modelele vectoriale ale maşinilor de curent alternativ.

• Modelul vectorial al maşinii asincrone s-a dovedit corespunzător cerinţelor, asigurând simplificarea calculelor in circuitul de comanda.

• El constituie un model logic şi coerent în care semnificaţia fizică a fenomenelor se păstrează.

• Modelul vectorial este baza de la care pleacă modelele ortogonale eficiente pentru aplicaţii, dar la care sensul fizic al relaţiilor folosite este mai greu de desprins.

Vectorul complex reprezentativ Ipoteze

• Se consideră maşina asincronă trifazată cu înfăşurările repartizate sinusoidal şi cu întrefier constant.

• Se consideră maşina simetrică radial.

• Se consideră maşina cu circuitul magnetic nesaturat.

• Se consideră mărimile rotorice raportate la stator.

noţiunea de vector reprezentativ

• Se introduce noţiunea de vector reprezentativ al unei mărimi electrice caracteristice al maşinii asincrone trifazate

• curent,

• tensiune,

• flux magnetic,

cazul curenţilor statorici

Se utilizează cazul curenţilor statorici. După cum se ştie, înfăşurarea unei faze parcursă de curent produce un câmp magnetic proporţional cu curentul, orientat în lungul axei înfăşurării. Acest câmp îşi păstrează direcţia, dar variază ca amplitudine şi sens în timp după cum variază curentul în înfăşurare.

vectorul spaţial al curentului unei faze statorice

• Se asociază curentului fazei A, iAs, vectorul său spaţial

iAs. Acesta este un vector de direcţie fixă orientat după axa (magnetică) a înfăşurării. Lungimea şi sensul vectorului depind de valoarea momentană a curentului iAs.

• Aceeaşi asociere se face şi pentru curenţii celorlalte faze iBs, respectiv iCs. Întrucât înfăşurările fazelor sunt decalate spaţial, direcţia în spaţiu a celor 3 vectori este dată de poziţia în spaţiu a înfăşurărilor.

• Datorită simetriei radiale a maşinii, toţi vectorii sunt perpendiculari pe axa de rotaţie a maşinii şi, evident, coplanari.

Pozitia vectorilor

Vectorii curentilor de faza

• Considerând axa reală a sistemului de coordonate din planul complex perpendicular pe axa maşinii în lungul axei fazei a statorice, avem definită poziţia celor trei vectori:

. ia = i ; i a = i ;i = i Cs

2CsBsBsAsAs

a fazorul unitar de rotaţie

unde a reprezintă fazorul unitar de rotaţie cunoscut:

. 2

3j +

2

1- = e = a 3

2j

vectorul complex reprezentativ al curenţilor statorici

Se defineşte vectorul complex reprezentativ al curenţilor statorici is prin relaţia

. )ia + ai + i(3

2 =

= )i + i + i(3

2 = i

Cs2

BsAs

CsBsAss

Vectorul complex reprezentativ is

• Factorul de proporţionalitate 2/3 este menit ca, în cadrul transformărilor de coordonate ce au loc, să asigure expresia puterii invariantă faţă de aceste transformări.

• Vectorul complex reprezentativ is este un vector rotitor în planul complex.

• Poziţia vectorului is la un moment dat este definită de valorile instantanee ale curenţilor, conform relaţiei (2.4) şi invers.

vectori reprezentativi statorici şi rotorici

Relaţiile utilizate sunt folosite formal şi pentru definirea vectorilor reprezentativi ai:

• tensiunilor • curenţilor • Fluxurilor,

vectori reprezentativi statorici şi rotorici.

Notaţiile mărimilor transformate

Întrucât pe parcursul dezvoltării teoretice vor apărea mai multe sisteme de referinţă este indicat să se introducă o notaţie extinsă pentru a preciza sistemul de referinţă la care este raportată

mărimea.

De exemplu :

- reprezintă curentul fazei d a rotorului în sistemul de referinţă statoric;

- reprezintă tensiunea de fază q a statorului în sistemul de referinţă statoric.

sdri

sqsu

Vectorul reprezentativ al tensiunilor

La stator

. dt

d + i R = u

; dt

d + i R = u ;

dt

d + i R = u

CsCssCs

BsBssBs

AsAssAs

vectorul reprezentativ al tensiunii statorice us

• Înmulţind prima ecuaţie cu 2/3 a doua relaţie cu 2/3.a, iar a treia cu a22/3 şi însumând se obţine expresia vectorului reprezentativ al tensiunii statorice us:

ssss p + i R= u

vectorul reprezentativ al tensiunii rotorice

Analog va rezulta pentru rotorul considerat cu înfăşurări trifazate cu sistemul de axe solidar cu faza rotorică expresia vectorului

reprezentativ al tensiunii rotorice urθr:

, p + i R= ur rr rrr r

Referinţe în maşina asincronă

sistem de axe ortogonal ce se roteşte cu un unghi θ

• În general motoarele asincrone sunt alimentate cu sisteme de tensiuni simetrice.

• Pentru eventualitatea existenţei unor componente homopolare generate de tensiunile de alimentare, se vor considera înfăşurările maşinii legate în stea astfel încât să se poată considera suma componentelor homopolare nulă.

• Se vor raporta vectorii reprezentativi la un sistem de axe ortogonal ce se roteşte cu un unghi θ oarecare faţă de axa fazei A fixe ca în figura

Relaţiile de transformare

• Relaţiile de transformare sunt, pentru stator:

• respectiv pentru rotor

; e = ; e i= i ; e u= u j

ssj

ssj

ss

; e = ; e i= i ; e u= u j

ssj

ssj

ss ; e = ; e i= i ; e u= u j

ssj

ssj

ss

. e =

; e i= i ; e u= u

) -(j

rr r

) -(j rr r

) -(j rr r

r

rr

vectorilor reprezentativiin θ

Înlocuind relaţiile (2.8) în (2.6), respectiv (2.9) în (2.7) şi efectuând simplificările rezultă expresiile vectorilor reprezentativi

θ θ

ai tensiunii statorice us respectiv rotorice ur

raportate la sistemul de coordonate rotitor cu unghiul θ faţă de axa A a înfăşurării statorice.

vectorilor reprezentativiin θ

unde:

rrrrrr

sssss

) -( j + p + i R= u

j + p + i R= u

. t d

d = ;

t d

d = r

r

Raportare la alte coordonate

Înlocuindu-se unghiul oarecare θ cu valori particulare se transpun ecuaţiile în sistemul de coordonate dorit.

sistem de referinţă solidar cu statorul

• pentru un sistem de referinţă solidar cu statorul θ=ct, ω=0 şi ecuaţiile de tensiuni devin:

. j - p + iR = u

p

rrrrrr

s

+ iR = u sss

sistem de referinţă solidar cu rotorul

• Pentru un sistem de referinţă solidar cu rotorul ωr=ω şi ecuaţiile (2.11) capătă forma:

. p + iR = u

j p

rrrr

ss

+ iR = u sss

sistem de referinţă solidar cu rotorul

• Din ecuaţiile (2.11) şi (2.12) se observă că în ecuaţiile (2.10) ultimul termen indică sistemul de axe la care sunt raportaţi vectorii reprezentativi ai tensiunilor. Absenţa lor în ecuaţiile (2.11) respectiv (2.12) este consecinţa raportării sistemului de coordonate la stator, respectiv la rotor.

• Acesta este motivul pentru care s-a renunţat la indicele superior care indică sistemul de referinţă al vectorilor reprezentativi.

Vectorii reprezentativi ai fluxurilor magnetice

fluxul unei faze a înfăşurării statorice, fluxul total, de exemplu pentru faza A

.i )3

4 + (cosl + i)

3

2 + (l +

+ i)cos l( + i )3

4(cos l + m +

+ i )3

2(cos l + m + i)l + L(=

crrmbrrm

arrmCsms

BsmsAsm1As

Vectorii reprezentativi ai fluxurilor magnetice

• unde: - mσs reprezintă inductivitatea mutuală de scăpări;

• - lm=ls=lr reprezintă inductivitatea utilă (mutuală) maximă de cuplaj care se obţine când θr=0.Asemănător se scriu fluxurile totale şi ale fazelor statorice B şi C.Ca şi în cazul tensiunilor se înmulţesc cu 2/3 fluxul fazei A, cu a2/3 fluxul fazei B şi cu a22/3 fluxul fazei C şi apoi se adună.

Vectorul reprezentativ al fluxului statoric

• Considerându-se respectată relaţia:

• rezultă expresia vectorului complex reprezentativ al fluxului statoric Ψs:

,0 = i + i + i CBA

. e i l 2

3 + i )l

2

3 + m -L(=

= )a + a + (3

2=

rjrrmsms1

CS2

BSASs

Vectorul reprezentativ al fluxului statoric

• Notându-se cu:

• - Lσs, Lσs=Lσ1-mσs, inductivitatea rezultantă de scăpări a statorului;

• - Lm, Lm=3/2lm, inductivitatea mutuală ciclică se obţine

. e i L + i )L + L(= rjrrmsmss

Vectorul reprezentativ al fluxului rotoric

• Similar, cu utilizarea notaţiilor adecvate, rezultă pentru vectorul complex reprezentativ al fluxului rotoric expresia

• unde Lσr = Lσ2- mσr reprezintă inductivitatea rezultantă de scăpări a rotorului.

, i )L + L( + e i L= r

r

rrmr

jsmr

proprietate 1

Se observă din relaţiile (2.16) şi (2.17) una din cele mai importante proprietăţi ale utilizării vectorilor reprezentativi :Inductivităţile maşinii asincrone au devenit independente de unghiul de poziţie θr şi deci constante. Această proprietate simplifică esenţial calculele ce se vor dezvolta în sistemul de control .

inductivitatea totală

Notându-se:

unde Ls reprezintă inductivitatea totală a statorului, iar Lr inductivitatea totală a rotorului, rezultă:

, L + L= L si L + L= L mrrmss

. i L + e i L=

, e i L + i L=

rrrrj

smrr

rjrrmsss

Vectori reprezentativi ai fluxurilor relaţii independente de θr

Prin raportarea la un sistem de axe învârtitor oarecare a vectorilor reprezen-tativi ai fluxurilor se obţin relaţii indepen-dente de unghiul relativ θr dintre stator şi rotor

ei L + e i L= e

, e i L ei L= e

)(jrrr

jsm

)(j

rrr

)r(jrrm

jss

j

ss

rr

Relaţiile de flux valabile pentru orice sistem de axe rotitor arbitrar

Ţinându-se cont de relaţiile de transformare a curenţilor rezultă

În ecuaţiile de flux s-a ales pentru indicele superior al vectorilor reprezentativi simbolul oarecare e. El caută să arate că relaţiile de flux sunt valabile pentru orice sistem de axe rotitor arbitrar.

iL + i L =

,i L + i L =

err

esm

e

r

erm

ess

e

s

Propietate 2

Deci ecuaţiile de flux au devenit invariante faţă de sistemul de axe ales.

Alte relaţii de flux

În unele aplicaţii sunt utile şi alte forme ale ecuaţiilor de flux:

Astfel, punându-se în evidenţă componentele de dispersie, se obţine

. )i + i(L + iL =

,)i + i(L + iL =

er

erm

err

e

r

er

esm

ess

e

s

Vectorul reprezentativ al fluxului de magnetizare

Punându-se în evidenţă vectorul reprezentativ al curentului de magnetizare:

precum şi fluxurile corespunzătoare:

vectorul reprezentativ al fluxului de magnetizare în întrefier.

er

es

em iii

emm

e

miL

Vectorii reprezentativi ai fluxurilor

• vectorii reprezentativi ai fluxurilor de dispersie statoric, respectiv rotoric,

• ecuaţiile de flux devin:

err

e

r

ess

e

siL;iL

e

m

e

r

e

r

e

m

e

s

e

s

ecuaţiile de tensiuni in e

Corespunzător notaţiei generalizate prin indicele e, ecuaţiile de tensiuni se rescriu:

e

rre

r

err

er

e

s

e

s

ess

es

) -( j + p + i R= u

j + p + i R= u

schema echivalentă "vectorială" a maşinii asincrone

• Din relaţiile (2.20) şi (2.24) se poate construi schema echivalentă "vectorială" a maşinii asincrone