TITULARIZARE 2011

SUBIECTUL I

1. Pentru fiecare numar natural nenul n notam cu an ultima cifra a numarului 12 + 22 + + n2.

a) Aratat,i ca 12 + 22 + + n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)

6, n 1.

b) Calculat,i a7.

c) Aratat,i ca s

,irul (an)n1 este periodic de perioada 20.

d) Calculat,i am, pentru m = 2011

2011.

2. Se considera triunghiul ascut,itunghic ABC s

,i A, B, respectiv C, mijloacele arcelor mici BC, CA, respectiv

AB ale cercului circumscris triunghiului ABC. Fie I centrul cercului nscris n triunghiul ABC.

a) Demonstrat,i ca dreptele AA, BB s

,i CC sunt concurente.

b) Aratat,i ca triunghiul BIA este isoscel.

c) Demonstrat,i ca punctul I este ortocentrul triunghiului ABC.

d) Demonstrat,i ca AI = IA daca s

,i numai daca r = R(1cosA), unde r este raza cercului nscris n triunghiul

ABC, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

SUBIECTUL II

1. Fie mult,imea M = {a+ b5 | a, b Z}.

a) Verificat,i daca

6 + 2

5 M .

b) Aratat,i ca, daca x, y M , atunci x+ y xy M .

c) Fie x = a+ b5 M , x 6= 0. Aratat

,i ca

1

xM daca s

,i numai daca |a2 5b2| = 1.

d) Aratat,i ca exista o infinitate de elemente x M astfel ncat 1

xM .

2. Fie funct,ia f : R R, f(x) = 1

3 + cosx

a) Aratat,i ca orice primitiva a funct

,iei f este strict crescatoare pe R.

b) Calculat,i

f(x) sinx dx, x R.

c) Demonstrat,i ca funct

,ia f nu are limita la +.

d) Calculat,i

2pi0

f(x) dx.

SUBIECTUL III

Proiectat,i un test scris, nsot

,it de baremul de evaluare s

,i de notare, pentru evaluarea sumativa la finalul anului

s,colar, la disciplina/una dintre disciplinele la care sust

,inet

,i concursul, pentru nvat

,amntul gimnazial/liceal.

In vederea acordarii punctajului:

- vet,i ment

,iona urmatoarele elemente: disciplina/modulul de pregatire profesionala, clasa,capitolele/cont

,inuturile

s,i timpul de lucru;

- vet,i construi 2 itemi de tip pereche, 2 itemi de tip raspuns scurt/de completare, 1 item de tip ntrebare structurata

s,i 1 item de tip eseu/ rezolvare de probleme;

- vet,i redacta un barem n care se distribuie 90 de puncte s

,i se acorda 10 puncte din oficiu.

1

Etapa pentru suplinire - 4 august 2011

SUBIECTUL I

1. Ecuat,ia 2x2 + 2(m+ 2)x+m2 + 4m+ 3 = 0, m R are solut

,iile x1 s, i x2, cu x1, x2 C.

a) Determinat,i cea mai mica valoare ntreaga a lui m pentru care x1 s, i x2 sunt numere reale.

b) Pentru ce valori reale ale lui m are loc inegalitatea |x1 + x2 + x1x2|?c) Determinat

,i valorile reale ale lui m pentru care cel put

,in unul dintre numerele x1 s, i x2 este ntreg.

d) Dat,i exemplu de m Q\Z pentru care ecuat

,ia are ambele solut

,ii n Q.

2. Se considera triunghiul ABC care nu este obtuzunghic. Se noteaza cu r raza cercului nscris s,i cu R raza cercului

circumscris triunghiului ABC.

a) Aratat,i ca B + C pi

2.

b) S,tiind ca B = C =

pi

4, aratat

,i ca AB +AC = 2(r +R).

c) Aratat,i ca sinB cosC.

d) Demonstrat,i inegalitatea AB +AC 2(r +R).

SUBIECTUL II

1. Fie p 3 un numar prim s,i polinomul f = Xp1 +Xp2 + +X + 1 C[X ].

a) Calculat,i f(1).

b) Aratat,i ca daca z C s

,i f(z) = 0, atunci |z| = 1.

c) Determinat,i restul mpart

,irii lui f(2) la p.

d) Aratat,i ca daca q este un numar prim s

,i q divide f(3), atunci p divide q 1.

2. Fie funct,iile f , g : R R, f(x) = 2x

2

x2 + 1, g(x) = 2x 2 arctanx s

,i s

,irul (an)n1, definit prin an =

n

0

f(x) dx.

a) Aratat,i ca funct

,ia g este o primitiva a funct

,iei f pe R.

b) Determinat,i ecuat

,ia asimptotei spre + a graficului funct

,iei g.

c) Calculat,i an.

d) Calculat,i limn

2n an

pi

n.

SUBIECTUL III

Proiectat,i un test scris, nsot

,it de baremul de evaluare s

,i de notare, pentru evaluarea sumativa la finalul anului

s,colar, la disciplina/una dintre disciplinele la care sust

,inet

,i concursul, pentru nvat

,amntul gimnazial/liceal.

In vederea acordarii punctajului:

- vet,i ment

,iona urmatoarele elemente: disciplina/modulul de pregatire profesionala, clasa,capitolele/cont

,inuturile

s,i timpul de lucru;

- vet,i construi 2 itemi obiectivi, 2 itemi de tip semiobiectivi s

,i 2 itemi subiectivi;

- vet,i redacta un barem n care se distribuie 90 de puncte s

,i se acorda 10 puncte din oficiu.

2