riptografie si Securitate

- Prelegerea 22 -Criptografia bazata pe curbe eliptice

Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid

Facultatea de Matematica si InformaticaUniversitatea din Bucuresti

Cuprins

1. Definirea curbelor eliptice

2. ECDLP - Problema logaritmului discret pe curbe eliptice

3. ECC- Criptografia bazata pe curbe eliptice

Criptografie si Securitate 2/16 ,

Grupuri ciclice pentru uz criptografic

I In cursul precendent am discutat despre grupuri ciclice si amsubliniat faptul ca sunt de preferat, pentru criptografie,grupurile ciclice de ordin prim;

I Am mentionat ca, de obicei, se lucreaza ın grupul Z∗p cu p

prim iar un subgrup de ordin prim al lui este format dinmultimea resturilor patratice modulo p;

I In continuare introducem o alta clasa de grupuri care constadin punctele unei curbe eliptice;

I Aceste grupuri sunt folosite ın criptografie pentru ca, spredeosebire de Z∗

p, nu se cunoaste deocamdata nici un algoritmsub-exponential pentru rezolvarea DLP ın aceste grupuri.

Criptografie si Securitate 3/16 ,

Grupuri ciclice pentru uz criptografic

I In cursul precendent am discutat despre grupuri ciclice si amsubliniat faptul ca sunt de preferat, pentru criptografie,grupurile ciclice de ordin prim;

I Am mentionat ca, de obicei, se lucreaza ın grupul Z∗p cu p

prim iar un subgrup de ordin prim al lui este format dinmultimea resturilor patratice modulo p;

I In continuare introducem o alta clasa de grupuri care constadin punctele unei curbe eliptice;

I Aceste grupuri sunt folosite ın criptografie pentru ca, spredeosebire de Z∗

p, nu se cunoaste deocamdata nici un algoritmsub-exponential pentru rezolvarea DLP ın aceste grupuri.

Criptografie si Securitate 3/16 ,

Grupuri ciclice pentru uz criptografic

I In cursul precendent am discutat despre grupuri ciclice si amsubliniat faptul ca sunt de preferat, pentru criptografie,grupurile ciclice de ordin prim;

I Am mentionat ca, de obicei, se lucreaza ın grupul Z∗p cu p

prim iar un subgrup de ordin prim al lui este format dinmultimea resturilor patratice modulo p;

I In continuare introducem o alta clasa de grupuri care constadin punctele unei curbe eliptice;

I Aceste grupuri sunt folosite ın criptografie pentru ca, spredeosebire de Z∗

p, nu se cunoaste deocamdata nici un algoritmsub-exponential pentru rezolvarea DLP ın aceste grupuri.

Criptografie si Securitate 3/16 ,

Grupuri ciclice pentru uz criptografic

I In cursul precendent am discutat despre grupuri ciclice si amsubliniat faptul ca sunt de preferat, pentru criptografie,grupurile ciclice de ordin prim;

I Am mentionat ca, de obicei, se lucreaza ın grupul Z∗p cu p

prim iar un subgrup de ordin prim al lui este format dinmultimea resturilor patratice modulo p;

I In continuare introducem o alta clasa de grupuri care constadin punctele unei curbe eliptice;

I Aceste grupuri sunt folosite ın criptografie pentru ca, spredeosebire de Z∗

p, nu se cunoaste deocamdata nici un algoritmsub-exponential pentru rezolvarea DLP ın aceste grupuri.

Criptografie si Securitate 3/16 ,

Curbe eliptice

Definitie

O curba eliptica peste Zp, p > 3 prim, este multimea perechilor(x , y) cu x , y ∈ Zp asa ıncat

y 2 = x3 + Ax + B mod p

ımpreuna cu punctul la infinit O undeA,B ∈ Zp sunt constante care respecta 4A3 + 27B2 6= 0 mod p

I Vom nota cu E (Zp) o curba eliptica definita peste Zp

Criptografie si Securitate 4/16 ,

Curbe elipticeO curba eliptica peste spatiul numerelor reale RE (R) : y 2 = x3 − x + 1

Criptografie si Securitate 5/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Pentru a arata ca punctele de pe o curba eliptica formeaza ungrup ciclic, definim o operatie de grup peste aceste puncte:

I Definim operatia binara aditiva ”+” astfel:

I punctul la infinit O este element neutru: ∀P ∈ E (Zp) definim

P +O = O + P = P.

I fie P = (x1, y1) si Q = (x2, y2) doua puncte de pe curba;atunci:

I daca x1 = x2 si y2 = −y1, P + Q = O

Criptografie si Securitate 6/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Pentru a arata ca punctele de pe o curba eliptica formeaza ungrup ciclic, definim o operatie de grup peste aceste puncte:

I Definim operatia binara aditiva ”+” astfel:

I punctul la infinit O este element neutru: ∀P ∈ E (Zp) definim

P +O = O + P = P.

I fie P = (x1, y1) si Q = (x2, y2) doua puncte de pe curba;atunci:

I daca x1 = x2 si y2 = −y1, P + Q = O

Criptografie si Securitate 6/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Pentru a arata ca punctele de pe o curba eliptica formeaza ungrup ciclic, definim o operatie de grup peste aceste puncte:

I Definim operatia binara aditiva ”+” astfel:

I punctul la infinit O este element neutru: ∀P ∈ E (Zp) definim

P +O = O + P = P.

I fie P = (x1, y1) si Q = (x2, y2) doua puncte de pe curba;atunci:

I daca x1 = x2 si y2 = −y1, P + Q = O

Criptografie si Securitate 6/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Pentru a arata ca punctele de pe o curba eliptica formeaza ungrup ciclic, definim o operatie de grup peste aceste puncte:

I Definim operatia binara aditiva ”+” astfel:

I punctul la infinit O este element neutru: ∀P ∈ E (Zp) definim

P +O = O + P = P.

I fie P = (x1, y1) si Q = (x2, y2) doua puncte de pe curba;atunci:

I daca x1 = x2 si y2 = −y1, P + Q = O

Criptografie si Securitate 6/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Pentru a arata ca punctele de pe o curba eliptica formeaza ungrup ciclic, definim o operatie de grup peste aceste puncte:

I Definim operatia binara aditiva ”+” astfel:

I punctul la infinit O este element neutru: ∀P ∈ E (Zp) definim

P +O = O + P = P.

I fie P = (x1, y1) si Q = (x2, y2) doua puncte de pe curba;atunci:

I daca x1 = x2 si y2 = −y1, P + Q = O

Criptografie si Securitate 6/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I altfel, P + Q = R de coordonate (x3, y3) care se calculeazaastfel:

x3 = [m2 − x1 − x2 mod p]y3 = [m(x1 − x3)− y1 mod p]

I iar m se calculeaza astfel:

m =

y2−y1x2−x1

mod p daca P 6= Q

3x1+A2y1

mod p daca P = Q

Criptografie si Securitate 7/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Geometric, suma a doua puncte P si Q se obtine trasand olinie prin cele doua puncte si gasind cel de-al trelea punct Rde intersectie al liniei cu E;

I In aceasta situatie, m reprezinta panta dreptei care trece prinP si Q;

I Se poate arata ca multimea de puncte E (Zp) ımpreuna cuoperatia aditiva definita formeaza un grup abelian;

I Exista o teorema de structura pentru E (Zp) care exprimaconditiile ın care grupul este ciclic.

Criptografie si Securitate 8/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Geometric, suma a doua puncte P si Q se obtine trasand olinie prin cele doua puncte si gasind cel de-al trelea punct Rde intersectie al liniei cu E;

I In aceasta situatie, m reprezinta panta dreptei care trece prinP si Q;

I Se poate arata ca multimea de puncte E (Zp) ımpreuna cuoperatia aditiva definita formeaza un grup abelian;

I Exista o teorema de structura pentru E (Zp) care exprimaconditiile ın care grupul este ciclic.

Criptografie si Securitate 8/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Geometric, suma a doua puncte P si Q se obtine trasand olinie prin cele doua puncte si gasind cel de-al trelea punct Rde intersectie al liniei cu E;

I In aceasta situatie, m reprezinta panta dreptei care trece prinP si Q;

I Se poate arata ca multimea de puncte E (Zp) ımpreuna cuoperatia aditiva definita formeaza un grup abelian;

I Exista o teorema de structura pentru E (Zp) care exprimaconditiile ın care grupul este ciclic.

Criptografie si Securitate 8/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

I Geometric, suma a doua puncte P si Q se obtine trasand olinie prin cele doua puncte si gasind cel de-al trelea punct Rde intersectie al liniei cu E;

I In aceasta situatie, m reprezinta panta dreptei care trece prinP si Q;

I Se poate arata ca multimea de puncte E (Zp) ımpreuna cuoperatia aditiva definita formeaza un grup abelian;

I Exista o teorema de structura pentru E (Zp) care exprimaconditiile ın care grupul este ciclic.

Criptografie si Securitate 8/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

Teorema

Fie E o curba eliptica peste Zp cu p > 3 numar prim. Atunci existadoua numere ıntregi n1 si n2 asa ıncat

E (Zp) ≈ Zn1 × Zn2

unde n2|n1 si n2|(p − 1)

I Consecinta: daca n2 = 1, atunci E (Zp) este ciclic;

I In practica, sunt cautate acele curbe eliptice pentru careordinul grupului ciclic generat este prim;

I O curba eliptica definita peste Zp are aproximativ p puncte.Mai precis [Teorema lui Hasse]:

p + 1− 2√

p ≤ card(E (Zp)) ≤ p + 1 + 2√

p

Criptografie si Securitate 9/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

Teorema

Fie E o curba eliptica peste Zp cu p > 3 numar prim. Atunci existadoua numere ıntregi n1 si n2 asa ıncat

E (Zp) ≈ Zn1 × Zn2

unde n2|n1 si n2|(p − 1)

I Consecinta: daca n2 = 1, atunci E (Zp) este ciclic;

I In practica, sunt cautate acele curbe eliptice pentru careordinul grupului ciclic generat este prim;

I O curba eliptica definita peste Zp are aproximativ p puncte.Mai precis [Teorema lui Hasse]:

p + 1− 2√

p ≤ card(E (Zp)) ≤ p + 1 + 2√

p

Criptografie si Securitate 9/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

Teorema

Fie E o curba eliptica peste Zp cu p > 3 numar prim. Atunci existadoua numere ıntregi n1 si n2 asa ıncat

E (Zp) ≈ Zn1 × Zn2

unde n2|n1 si n2|(p − 1)

I Consecinta: daca n2 = 1, atunci E (Zp) este ciclic;

I In practica, sunt cautate acele curbe eliptice pentru careordinul grupului ciclic generat este prim;

I O curba eliptica definita peste Zp are aproximativ p puncte.Mai precis [Teorema lui Hasse]:

p + 1− 2√

p ≤ card(E (Zp)) ≤ p + 1 + 2√

p

Criptografie si Securitate 9/16 ,

Grupul punctelor de pe o curba eliptica

Teorema

Fie E o curba eliptica peste Zp cu p > 3 numar prim. Atunci existadoua numere ıntregi n1 si n2 asa ıncat

E (Zp) ≈ Zn1 × Zn2

unde n2|n1 si n2|(p − 1)

I Consecinta: daca n2 = 1, atunci E (Zp) este ciclic;

I In practica, sunt cautate acele curbe eliptice pentru careordinul grupului ciclic generat este prim;

I O curba eliptica definita peste Zp are aproximativ p puncte.Mai precis [Teorema lui Hasse]:

p + 1− 2√

p ≤ card(E (Zp)) ≤ p + 1 + 2√

p

Criptografie si Securitate 9/16 ,

ECDLP - Problema logaritmului discret pe curbe eliptice

I ECDLP = Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem

I Putem defini acum DLP ın grupul punctelor unei curbeeliptice (ECDLP):

I Fie E o curba eliptica peste Zp, un punct P ∈ Zp de ordin n siQ un element din subgrupul ciclic generat de P:

Q ∈ [P] = {sP | 1 ≤ s ≤ n − 1}

I Problema ECDLP cere gasirea unui k asa ıncat Q = kP;

I Notatie: P + P + ... + P︸ ︷︷ ︸s ori

= sP.

Criptografie si Securitate 10/16 ,

ECDLP - Problema logaritmului discret pe curbe eliptice

I ECDLP = Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem

I Putem defini acum DLP ın grupul punctelor unei curbeeliptice (ECDLP):

I Fie E o curba eliptica peste Zp, un punct P ∈ Zp de ordin n siQ un element din subgrupul ciclic generat de P:

Q ∈ [P] = {sP | 1 ≤ s ≤ n − 1}

I Problema ECDLP cere gasirea unui k asa ıncat Q = kP;

I Notatie: P + P + ... + P︸ ︷︷ ︸s ori

= sP.

Criptografie si Securitate 10/16 ,

ECDLP - Problema logaritmului discret pe curbe eliptice

I ECDLP = Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem

I Putem defini acum DLP ın grupul punctelor unei curbeeliptice (ECDLP):

I Fie E o curba eliptica peste Zp, un punct P ∈ Zp de ordin n siQ un element din subgrupul ciclic generat de P:

Q ∈ [P] = {sP | 1 ≤ s ≤ n − 1}

I Problema ECDLP cere gasirea unui k asa ıncat Q = kP;

I Notatie: P + P + ... + P︸ ︷︷ ︸s ori

= sP.

Criptografie si Securitate 10/16 ,

ECDLP - Problema logaritmului discret pe curbe eliptice

I ECDLP = Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem

I Putem defini acum DLP ın grupul punctelor unei curbeeliptice (ECDLP):

I Fie E o curba eliptica peste Zp, un punct P ∈ Zp de ordin n siQ un element din subgrupul ciclic generat de P:

Q ∈ [P] = {sP | 1 ≤ s ≤ n − 1}

I Problema ECDLP cere gasirea unui k asa ıncat Q = kP;

I Notatie: P + P + ... + P︸ ︷︷ ︸s ori

= sP.

Criptografie si Securitate 10/16 ,

ECDLP - Problema logaritmului discret pe curbe eliptice

I ECDLP = Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem

I Putem defini acum DLP ın grupul punctelor unei curbeeliptice (ECDLP):

I Fie E o curba eliptica peste Zp, un punct P ∈ Zp de ordin n siQ un element din subgrupul ciclic generat de P:

Q ∈ [P] = {sP | 1 ≤ s ≤ n − 1}

I Problema ECDLP cere gasirea unui k asa ıncat Q = kP;

I Notatie: P + P + ... + P︸ ︷︷ ︸s ori

= sP.

Criptografie si Securitate 10/16 ,

ECDLP - Securitate

I Alegand cu grija curbele eliptice, cel mai bun algoritm pentrurezolvarea ECDLP este considerabil mai slab decat cel maibun algoritm pentru rezolvarea problemei DLP ın Z∗

p;

I De exemplu, algoritmul de calcul al indicelui nu este deloceficient pentru ECDLP;

I Pentru anumite curbe eliptice, singurii algoritmi de rezolvaresunt algoritmii generici pentru DLP, adica metoda baby-stepgiant-step si metoda Pollard rho;

I Cum numarul de pasi necesari pentru un astfel de algoritmeste de ordinul radacinii patrate a cardinalului grupului, serecomanda folosirea unui grup de ordin cel putin 2160.

Criptografie si Securitate 11/16 ,

ECDLP - Securitate

I Alegand cu grija curbele eliptice, cel mai bun algoritm pentrurezolvarea ECDLP este considerabil mai slab decat cel maibun algoritm pentru rezolvarea problemei DLP ın Z∗

p;

I De exemplu, algoritmul de calcul al indicelui nu este deloceficient pentru ECDLP;

I Pentru anumite curbe eliptice, singurii algoritmi de rezolvaresunt algoritmii generici pentru DLP, adica metoda baby-stepgiant-step si metoda Pollard rho;

I Cum numarul de pasi necesari pentru un astfel de algoritmeste de ordinul radacinii patrate a cardinalului grupului, serecomanda folosirea unui grup de ordin cel putin 2160.

Criptografie si Securitate 11/16 ,

ECDLP - Securitate

I Alegand cu grija curbele eliptice, cel mai bun algoritm pentrurezolvarea ECDLP este considerabil mai slab decat cel maibun algoritm pentru rezolvarea problemei DLP ın Z∗

p;

I De exemplu, algoritmul de calcul al indicelui nu este deloceficient pentru ECDLP;

I Pentru anumite curbe eliptice, singurii algoritmi de rezolvaresunt algoritmii generici pentru DLP, adica metoda baby-stepgiant-step si metoda Pollard rho;

I Cum numarul de pasi necesari pentru un astfel de algoritmeste de ordinul radacinii patrate a cardinalului grupului, serecomanda folosirea unui grup de ordin cel putin 2160.

Criptografie si Securitate 11/16 ,

ECDLP - Securitate

I Alegand cu grija curbele eliptice, cel mai bun algoritm pentrurezolvarea ECDLP este considerabil mai slab decat cel maibun algoritm pentru rezolvarea problemei DLP ın Z∗

p;

I De exemplu, algoritmul de calcul al indicelui nu este deloceficient pentru ECDLP;

I Pentru anumite curbe eliptice, singurii algoritmi de rezolvaresunt algoritmii generici pentru DLP, adica metoda baby-stepgiant-step si metoda Pollard rho;

I Cum numarul de pasi necesari pentru un astfel de algoritmeste de ordinul radacinii patrate a cardinalului grupului, serecomanda folosirea unui grup de ordin cel putin 2160.

Criptografie si Securitate 11/16 ,

ECDLP - Securitate

I O consecinta a teoremei lui Hasse este ca daca avem nevoiede o curba eliptica cu 2160 elemente, trebuie sa folosim unnumar prim p pe aproximativ 160 biti;

I Deci, daca folosim o curba eliptica E (Zp) cu p pe 160 biti, unatac generic asupra ECDLP are 280 complexitate timp;

I Un nivel de securitate de 80 biti ofera securitate pe termenmediu;

I In practica, curbe eliptice peste Zp cu p pana la 256 biti suntfolosite, cu un nivel de securitate pe 128 biti.

Criptografie si Securitate 12/16 ,

ECDLP - Securitate

I O consecinta a teoremei lui Hasse este ca daca avem nevoiede o curba eliptica cu 2160 elemente, trebuie sa folosim unnumar prim p pe aproximativ 160 biti;

I Deci, daca folosim o curba eliptica E (Zp) cu p pe 160 biti, unatac generic asupra ECDLP are 280 complexitate timp;

I Un nivel de securitate de 80 biti ofera securitate pe termenmediu;

I In practica, curbe eliptice peste Zp cu p pana la 256 biti suntfolosite, cu un nivel de securitate pe 128 biti.

Criptografie si Securitate 12/16 ,

ECDLP - Securitate

I O consecinta a teoremei lui Hasse este ca daca avem nevoiede o curba eliptica cu 2160 elemente, trebuie sa folosim unnumar prim p pe aproximativ 160 biti;

I Deci, daca folosim o curba eliptica E (Zp) cu p pe 160 biti, unatac generic asupra ECDLP are 280 complexitate timp;

I Un nivel de securitate de 80 biti ofera securitate pe termenmediu;

I In practica, curbe eliptice peste Zp cu p pana la 256 biti suntfolosite, cu un nivel de securitate pe 128 biti.

Criptografie si Securitate 12/16 ,

ECDLP - Securitate

I O consecinta a teoremei lui Hasse este ca daca avem nevoiede o curba eliptica cu 2160 elemente, trebuie sa folosim unnumar prim p pe aproximativ 160 biti;

I Deci, daca folosim o curba eliptica E (Zp) cu p pe 160 biti, unatac generic asupra ECDLP are 280 complexitate timp;

I Un nivel de securitate de 80 biti ofera securitate pe termenmediu;

I In practica, curbe eliptice peste Zp cu p pana la 256 biti suntfolosite, cu un nivel de securitate pe 128 biti.

Criptografie si Securitate 12/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I A fost inventata independent ın 1987 de Neal Koblitz si ın1986 de Victor Miller;

I La ınceputul anilor 1990 se faceau foarte multe speculatiidespre securitatea si practicalitatea ECC, mai ales comparativcu RSA;

I Dupa cercetari intensive, ECC pare foarte sigura, la fel desigura precum RSA sau schemele bazate pe DLP;

I Increderea a crescut dupa ce ın 1999 si 2001 au foststandardizate, pentru domeniul bancar, semnaturi digitale sischimburi de chei bazate pe curbe eliptice.

Criptografie si Securitate 13/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I A fost inventata independent ın 1987 de Neal Koblitz si ın1986 de Victor Miller;

I La ınceputul anilor 1990 se faceau foarte multe speculatiidespre securitatea si practicalitatea ECC, mai ales comparativcu RSA;

I Dupa cercetari intensive, ECC pare foarte sigura, la fel desigura precum RSA sau schemele bazate pe DLP;

I Increderea a crescut dupa ce ın 1999 si 2001 au foststandardizate, pentru domeniul bancar, semnaturi digitale sischimburi de chei bazate pe curbe eliptice.

Criptografie si Securitate 13/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I A fost inventata independent ın 1987 de Neal Koblitz si ın1986 de Victor Miller;

I La ınceputul anilor 1990 se faceau foarte multe speculatiidespre securitatea si practicalitatea ECC, mai ales comparativcu RSA;

I Dupa cercetari intensive, ECC pare foarte sigura, la fel desigura precum RSA sau schemele bazate pe DLP;

I Increderea a crescut dupa ce ın 1999 si 2001 au foststandardizate, pentru domeniul bancar, semnaturi digitale sischimburi de chei bazate pe curbe eliptice.

Criptografie si Securitate 13/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I A fost inventata independent ın 1987 de Neal Koblitz si ın1986 de Victor Miller;

I La ınceputul anilor 1990 se faceau foarte multe speculatiidespre securitatea si practicalitatea ECC, mai ales comparativcu RSA;

I Dupa cercetari intensive, ECC pare foarte sigura, la fel desigura precum RSA sau schemele bazate pe DLP;

I Increderea a crescut dupa ce ın 1999 si 2001 au foststandardizate, pentru domeniul bancar, semnaturi digitale sischimburi de chei bazate pe curbe eliptice.

Criptografie si Securitate 13/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I Curbele eliptice sunt folosite pe larg si ın standardelecomerciale precum IPsec sau TLS;

I ECC este adesea preferata ın fata criptografiei cu cheie publicapentru sistemele ıncorporate precum dispozitivele mobile...

I ...din motive de performanta;

I implementarile pentru ECC sunt considerabil mai mici si mairapide decat cele pentru RSA;

I ECC cu chei pe 160-250 biti ofera cam acelasi nivel desecuritate precum RSA sau sistemele bazate pe DLP cu cheipe 1024-3072 biti.

Criptografie si Securitate 14/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I Curbele eliptice sunt folosite pe larg si ın standardelecomerciale precum IPsec sau TLS;

I ECC este adesea preferata ın fata criptografiei cu cheie publicapentru sistemele ıncorporate precum dispozitivele mobile...

I ...din motive de performanta;

I implementarile pentru ECC sunt considerabil mai mici si mairapide decat cele pentru RSA;

I ECC cu chei pe 160-250 biti ofera cam acelasi nivel desecuritate precum RSA sau sistemele bazate pe DLP cu cheipe 1024-3072 biti.

Criptografie si Securitate 14/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I Curbele eliptice sunt folosite pe larg si ın standardelecomerciale precum IPsec sau TLS;

I ECC este adesea preferata ın fata criptografiei cu cheie publicapentru sistemele ıncorporate precum dispozitivele mobile...

I ...din motive de performanta;

I implementarile pentru ECC sunt considerabil mai mici si mairapide decat cele pentru RSA;

I ECC cu chei pe 160-250 biti ofera cam acelasi nivel desecuritate precum RSA sau sistemele bazate pe DLP cu cheipe 1024-3072 biti.

Criptografie si Securitate 14/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I Curbele eliptice sunt folosite pe larg si ın standardelecomerciale precum IPsec sau TLS;

I ECC este adesea preferata ın fata criptografiei cu cheie publicapentru sistemele ıncorporate precum dispozitivele mobile...

I ...din motive de performanta;

I implementarile pentru ECC sunt considerabil mai mici si mairapide decat cele pentru RSA;

I ECC cu chei pe 160-250 biti ofera cam acelasi nivel desecuritate precum RSA sau sistemele bazate pe DLP cu cheipe 1024-3072 biti.

Criptografie si Securitate 14/16 ,

Criptografia pe curbe eliptice - ECC (Elliptic CurveCryptography)

I Curbele eliptice sunt folosite pe larg si ın standardelecomerciale precum IPsec sau TLS;

I ECC este adesea preferata ın fata criptografiei cu cheie publicapentru sistemele ıncorporate precum dispozitivele mobile...

I ...din motive de performanta;

I implementarile pentru ECC sunt considerabil mai mici si mairapide decat cele pentru RSA;

I ECC cu chei pe 160-250 biti ofera cam acelasi nivel desecuritate precum RSA sau sistemele bazate pe DLP cu cheipe 1024-3072 biti.

Criptografie si Securitate 14/16 ,

Comparatie ıntre ECC, criptografia simetrica si asimetrica

Chei criptografiasimetrica

Chei RSA Chei ECC

80 1024 160

112 2048 224

128 3072 256

192 7680 384

256 15360 521

Tabel: Dimensiunile cheilor recomandate de NIST

Criptografie si Securitate 15/16 ,

Important de retinut!

I Curbele eliptice ofera un suport bun pentru criptografie;

I ECDLP este dificila.

Criptografie si Securitate 16/16 ,