Teorema lui Sylvester
Marian Tache
Liceul Teoretic W. ShakespeareTimisoara
February 6, 2015
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 1 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 2 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD :
OD = 12
(OB + OC
).
Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS : OS = OA + AS == OA + 2OD = OA + OB + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD : OD = 12
(OB + OC
).
Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS : OS = OA + AS == OA + 2OD = OA + OB + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD : OD = 12
(OB + OC
).
Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS :
OS = OA + AS == OA + 2OD = OA + OB + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD : OD = 12
(OB + OC
).
Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS : OS = OA + AS =
= OA + 2OD = OA + OB + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie D mijlocul laturii [BC ]. Exprim vectorul OD : OD = 12
(OB + OC
).
Consider punctul S astfel ca AS = 2OD ⇒ AS ‖ OD. CumOD⊥BC ⇒ AS⊥BC . Calculez OS : OS = OA + AS == OA + 2OD = OA + OB + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 3 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE :
OE = 12
(OA + OC
).
Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ : OS ′ = OB + BS ′ == OB + 2OE = OB + OA + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE : OE = 12
(OA + OC
).
Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ : OS ′ = OB + BS ′ == OB + 2OE = OB + OA + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE : OE = 12
(OA + OC
).
Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ :
OS ′ = OB + BS ′ == OB + 2OE = OB + OA + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE : OE = 12
(OA + OC
).
Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ : OS ′ = OB + BS ′ =
= OB + 2OE = OB + OA + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Fie E mijlocul laturii [AC ]. Exprim vectorul OE : OE = 12
(OA + OC
).
Consider punctul S ′ astfel ca BS ′ = 2OE ⇒ BS ′ ‖ OE . CumOE⊥AC ⇒ BS ′⊥AC . Calculez OS ′ : OS ′ = OB + BS ′ == OB + 2OE = OB + OA + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 4 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Asadar, S = S ′ = H ⇒ OH = OA + OB + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 5 / 10
Teorema lui Sylvester
Theorem
Daca O este centrul cerculuicircumscris si H ortocentrultriunghiului ABC , atunci areloc relatia:
OH = OA + OB + OC .
Proof.
Asadar, S = S ′ = H ⇒ OH = OA + OB + OC .
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 5 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Dreapta lui Euler
Theorem
Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 6 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Dreapta lui Euler
Theorem
Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 7 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Dreapta lui Euler
Theorem
Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.
Proof.
Din teorema lui Sylvester avem: OH = OA + OB + OC
Din faptul ca G este centrul de greutate avem: 3OG = OA + OB + OCRezulta OH = 3OG , adica O,G ,H coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 8 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Dreapta lui Euler
Theorem
Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.
Proof.
Din teorema lui Sylvester avem: OH = OA + OB + OCDin faptul ca G este centrul de greutate avem: 3OG = OA + OB + OC
Rezulta OH = 3OG , adica O,G ,H coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 8 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Dreapta lui Euler
Theorem
Intr-un triunghi centrulcercului circumscris, centrul degreutate si ortocentrul suntpuncte coliniare. Dreapta pecare se afla aceste puncte senumeste dreapta lui Euler.
Proof.
Din teorema lui Sylvester avem: OH = OA + OB + OCDin faptul ca G este centrul de greutate avem: 3OG = OA + OB + OCRezulta OH = 3OG , adica O,G ,H coliniare.
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 8 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Consecinta 1
Theorem
Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 3HG .
Proof.
Din proprietatea centrului de greutate avem:
MA + MB + MC = 3MG pentru orice punct M din plan.Pentru M = H se obtine: HA + HB + HC = 3HG
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 9 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Consecinta 1
Theorem
Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 3HG .
Proof.
Din proprietatea centrului de greutate avem:MA + MB + MC = 3MG pentru orice punct M din plan.
Pentru M = H se obtine: HA + HB + HC = 3HG
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 9 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Consecinta 1
Theorem
Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 3HG .
Proof.
Din proprietatea centrului de greutate avem:MA + MB + MC = 3MG pentru orice punct M din plan.Pentru M = H se obtine:
HA + HB + HC = 3HG
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 9 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Consecinta 1
Theorem
Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 3HG .
Proof.
Din proprietatea centrului de greutate avem:MA + MB + MC = 3MG pentru orice punct M din plan.Pentru M = H se obtine: HA + HB + HC = 3HG
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 9 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Consecinta 2
Theorem
Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 2HO.
Proof.
Din consecinta precedenta avem:
HA + HB + HC = 3HG = 3 · 23HO = 2HO
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 10 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Consecinta 2
Theorem
Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 2HO.
Proof.
Din consecinta precedenta avem:HA + HB + HC = 3HG =
3 · 23HO = 2HO
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 10 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Consecinta 2
Theorem
Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 2HO.
Proof.
Din consecinta precedenta avem:HA + HB + HC = 3HG = 3 · 23HO =
2HO
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 10 / 10
Teorema lui Sylvester - consecinte
Consecinta 2
Theorem
Intr-un triunghi are loc relatia:HA + HB + HC = 2HO.
Proof.
Din consecinta precedenta avem:HA + HB + HC = 3HG = 3 · 23HO = 2HO
Marian Tache (Liceul Teoretic W. Shakespeare Timisoara)Teorema lui Sylvester February 6, 2015 10 / 10
Top Related