Puteri. Operatii cu puteriCompararea puterilor

5.11.2011

Definitii. NotatiiPentru a si n numere naturale notam

factorin

aaa

...... , a0=1, a1=a.

Expresia an se numeste putere de baza a si exponenet n .

Observatie 0o nu are sens.

Propietati : a) 1n= 1 pentru orice numar natural n;b) 0n = 0 pentru orice numar natural n 1 ;c) Daca a, b, m, n sunt numere naturale, atunci: am ∙an =am+n ;

am : an =am-n , pentru m n ;(an)m =am∙n

an ∙bn =(a∙b)n

an : bn =(a:b)n

d) Operatia de ridicare la putere nu este nici comutativa (de exemplu, 23 32 si nici asociativa, dupa cum rezulta din exemplul :

,22)2( 124343 ,22 81)3( 4

deci )3(43 4

2)2(

Pentru compararea puterilor tinem cont de urmatoarele propietati: Daca a, b, m si n sunt numere naturale, atunci :

P1. m n nm aa ( a 0 si a 1 )P2. a b nm aa ( n 0 )P3. aanm m ( a 0 si a 1 )Pentru a compara doua puteri care au exponeneti diferiti si baze diferite, se aduc

puterile (daca este posibil) fie la aceasi baza , fie la acelasi exponent.

Exercitii:1. Cate numere naturale de 4 cifre sunt de forma 222∙k2 , unde k N ?2. Fie numerele x= 512 522 532 ...... 1002 si y= 1+ 2+ 22 + 23+.....+23774. Calculati y+1 si x-y.3. Fie A= 30n – 5n+1 – 6n+1 + 30, unde n este un numar natural.

a) Aratati ca A nu este prim, pentru nN\{1}.b) Aflati nN astfel incat A= 589.

Revista Arhimede 11-12/ 2004

4. Calculati : 32005 - 2∙ 32004 - 2∙ 32003 -........- 2∙ 32 - 2∙ 3Concursul revistei Arhimde, Bucuresti 22 ian. 2005

5.a) Fie A= 55531527 3:)3();162()2(233

B . Stabiliti daca :i) A<B; ii) A=B; iii) A>B

b) Comparati a cu b, unde a= 1714 si b=3111 .Concursul Mihai Viteazul, 4.12. 2004

6. Se dau: x= 22008 - 22007 -22006 -22005 -22004 si y= ( 31334 ∙111 +31334 ∙ 222+31334 ∙ 333 +....31334∙999) :555

Sa se compare numerele x si y .Concursul Regina Maria, Sibiu, 9.11.2004

7. Comparati : si45632

76523Revista Arhimde 11-12/ 2003

8. Comparati numerele 67151 si 51199

Revista Arhimde 3-4/ 2003

9. Comparati numerele: 12766 si 204942.Concursul Dan Barbilian, Mioveni, 4.12. 2004

10. Fie numerele A= n2222 2....222

32

si B= :2:212 22 nn n22 , unde nN*.

a) Comparati numerele A si B.b) Aflati n pentru care A-B = 16128

Etapa judeteana Giurgiu, 2007

Tema de casă:1.Determinati numerele natural a si b pentru care 2a+2b=1292. Determinati numerele natural a si bastfel incat 6a+2a+b•3a+2b=17•37-13. Comparati numerele a+ 23001 si b=32001

4.Aflati suma cifrelor numarului A= 22005•52006 -2006