1

Tema 3

NOT¼A. Tema const¼a în câte un subpunct, corespunz¼ator num¼arului curent alstudentului din Apelul grupei (a�sat pe platform¼a). Dac¼a num¼arul curent dep¼aseste20; se va considera restul împ¼artirii acestui num¼ar la 20; de exemplu, un studentavând num¼arul curent 34; va aborda subpunctul 14:Model. Se consider¼a curba arcul din curba xy3 � x � 1 = 0 cuprins între

punctele A (�1; 0) si B��12;�1

�: S¼a se calculeze I =

R yx2dx+ y3dy:

Solutie. Ecuatia curbei poate � scris¼a sub forma x (y3 � 1) = 1; adic¼a x = 1y3�1 :

Alegând pe y ca parametru, obtinem parametrizarea x = 1t3�1 ; y = t: Rezult¼a

dx = � 3t2

(t3�1)2 si dy = dt: Punctul A se obtine pentru t = 0 iar B pentru t = �1:

Deci I =R �10

ht (t3 � 1)2

�� 3t2

(t3�1)2

�+ t3

idt =

R �10(�2t3dt) = �1

2:

Se consider¼a arcul din curba cuprins între punctele A si B: S¼a se calculezeI =

R Pdx+Qdy dac¼a:

1. : yx2 + y + 1 = 0; A�1;�1

2

�; B (0;�1) ; P = x2 Q = (x2+1)

2

y.

2. : x+ 3xy2 + 1 = 0; A (�1; 0) ; B��14;�1

�; P = �2x3y2; Q = x+ 2y2:

3. : x3y � y � 1 = 0; A (0;�1) ; B��1;�1

2

�; P = x3; Q = x

y2:

4. : x2y � y � 2 = 0; A�2; 2

3

�; B

�3; 1

4

�; P = x2y; Q = x2

y2:

5. : xy4 + x� 1 = 0; A (1; 0) ; B�12; 1�; P = xy; Q = x+ y:

6. : y2x+ x+ 1 = 0; A��12; 1�; B (�1; 0) ; P = x2 Q = (x2+1)

2

y.

7. : y + 3x2y + 1 = 0; A (0;�1) ; B��1;�1

4

�; P = �2x3y2; Q = x+ 2y2:

8. : xy3 � x� 1 = 0; A (�1; 0) ; B��12;�1

�; P = x3; Q = x

y2:

9. : xy2 � x� 2 = 0; A�23; 2�; B

�14; 3�; P = x2y; Q = x2

y2:

10. : x4y + y � 1 = 0; A (0; 1) ; B�1; 1

2

�; P = xy; Q = x+ y:

11. : yx2 + y + 1 = 0; A��1;�1

2

�; B

�2;�1

5

�; P = x2 Q =

(x2+1)2

y.

12. : x+ 3xy2 + 1 = 0; A��14; 1�; B

�� 113; 2�; P = �2x3y2; Q = x+ 2y2:

2

13. : x3y � y � 1 = 0; A��2;�1

9

�; B

��1;�1

2

�; P = x3; Q = x

y2:

14. : x2y � y � 2 = 0; A��2; 2

3

�; B

��3; 1

4

�; P = x2y; Q = x2

y2:

15. : xy4 + x� 1 = 0; A�12;�1

�; B (1; 0) ; P = xy; Q = x+ y:

16. : y2x+ x+ 1 = 0; A��12;�1

�; B

��15; 2�; P = x2 Q =

(x2+1)2

y.

17. : y + 3x2y + 1 = 0; A�1;�1

4

�; B

�2;� 1

13

�; P = �2x3y2; Q = x+ 2y2:

18. : xy3 � x� 1 = 0; A��19;�2

�; B

��12;�1

�; P = x3; Q = x

y2:

19. : xy2 � x� 2 = 0; A�23;�2

�; B

�14;�3

�; P = x2y; Q = x2

y2:

20. : x4y + y � 1 = 0; A��1; 1

2

�; B (0; 1) ; P = xy; Q = x+ y: