7/29/2019 RMCS_nr.19
1/31
Societatea de tiine Matematice din RomniaFiliala Cara-Severin
REVISTA DEMATEMATIC
A ELEVILORI PROFESORILOR
DIN JUDEULCARA-SEVERIN
Nr. 19 , An VIII-2007
Editura Neutrino
Reia, 2007 2
2006, Editura NeutrinoTitlul: Revista de matematic a elevilori profesorilor din judeulCara-SeverinI.S.S.N. 1584-9767
Colectivul de redacie:
Bdescu OvidiuDragomir AdrianaDragomir LucianDidraga IacobGdea VasilicaGolopena MariusMoatr LaviniaPistril Ion Dumitru
Stniloiu Nicolaeandru Mariusuoi Paul
2007, Editura NeutrinoToate drepturile rezervateMobil: 0724224400www.neutrino.roE-mail: [email protected]
7/29/2019 RMCS_nr.19
2/31
3
CUPRINS
Adaptri matematice ale Legilor lui Murphy .. pag.4 Chestiuni metodice ,note matematice
Reflecii cu privire la metodica rezolvrii problemelor(Mariana Sorescu) . pag.5
Probleme de numrare pentru elevii de gimnaziu( Adriana Dragomir , Adrian Dragomir) . pag.8
Asupra unei probleme a lui D.V.Ionescu( Dumitru Btineu-Giurgiu) . pag.13
Cultivarea creativitii elevilor prin rezolvareaproblemelor ( Mariana Mitric) .. pag.15
Despre asimptotele unei funcii spre i +
( Petrior Neagoe) pag. 18 O demonstraie inductiv-analitic a inegalitii mediilor( Dorin Mrghidanu ) pag.25
Probleme rezolvate pag.27 Concursul revistei ediia a II-a (regulament , probleme
propuse) .. pag.61 Rubrica rezolvitorilor .. pag.72
Adaptri matematice ale legilor lui Murphy
4
Dac ncercrile repetate de a rezolva o problem ridic
probleme , e bine s ncerci o singur dat.Uit-te apoi la soluie.
Orice soluie ingenioas a unei probleme ne trece prin trei stadiicaracterizate de reaciile :1) Imposibil , nu-mi pierd vremea !2) E posibil , dar nu merit efortul !3) Eu am spus de la nceput c e o idee excelent !
Dac la o lucrare de control ajui un prieten,te va ine minte.Dataviitoare nu va mai nva de loc,va apela la tine.
Rezolvarea a 90% dintr-o problem se face de obicei n 10% dintimp , restul de 10 % se rezolv n 90% din timp.
Cnd ntrebrile elevilor primesc rspunsurile profesorilor,tiinase explic.Cnd ntrebrile elevilor devin ntrebrile
profesorilor,nvmntul progreseaz.
Fiecare profesor consider c elevii trebuie s se pregteasc maimult la materia sa .
Dac i pstrezi calmul cnd toi ceilali i-l pierd,nseamn c nuai neles problema.
O problem pe care nu tim s o rezolvm poate fi folosit n
rezolvarea altor probleme.
O problem de olimpiad e creat de un profesor n 3 zile ca s-orezolve un elev n 3 ore .
Dac toat lumea se ateapt s iei nota 10 , o s iei 9 .
7/29/2019 RMCS_nr.19
3/31
5 6
7/29/2019 RMCS_nr.19
4/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
5/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
6/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
7/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
8/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
9/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
10/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
11/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
12/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
13/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
14/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
15/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
16/31
31
Clasa a VIII a
1. a) S se determine perechile ),( yx de numere ntregi pentru careavem : 9432 22 =++ xyyx ;
b) S se arate c nu exist numere ntregi xi ypentru care100032 22 =+ yx .
Adriana Dragomir2. Se consider funcia QZ :f care satisface simultan proprietile:
a) )()()( yfxfyxf = , Z yx, ;
b)
1
3)3(
=
kk
f , Nk .S se arate c Z)2007(f .Lucian Dragomir , GM , enun modificat
3. a) S se arate c exist cel puin trei numere ZQ x pentru care
Q 2xx ;b) S se arate c exist cel puin 2007 numere Qx pentru care
Q 2
xx .
Liviu Pran , GM 19884. a) Se consider un triunghi echilateralABCi pe planul (ABC) seridic perpendicularele /A i /BB ( de aceeai parte a planului ) astfel
nct ABAA =/ i ABBB2
1/ = . S se determine msura unghiului
dintre planele (ABC) i )( // CBA .
Neculai Solomon , OJ 2003b) S se stabileasc dac se pot numerota muchiile unui cub cu numerenaturale de la 1 la 12 astfel nct suma numerelor corespunztoare celor 3muchii care pleac dintr-un acelai vrf s fie constant .
RMCS 13
32
Clasa a IX a
1. S
se rezolve ecuaia :
2
1
2
1
3
2
3
1 +
+=
++
+ xxxx, unde
[ ]a
reprezint partea ntreag a numrului real a .Drago Ungura , elev , Oelu-Rou ,RMCS,enun modificat
2.a) S se arate c pentru orice 0, >ba este adevrat inegalitatea
4)11
)(( ++ba
ba ;
b) Dac 0, >ba satisfac 1=+ ba , s se determine valoarea minim
a expresieiba
E
+
=1
1
1
1.
Ioan V. Maftei , Short List ONM , 2004
3. Se consider o mulime M de numere ntregi care satisface simultanproprietile :
a) M0 ;b)
( )MxMxx + 962 ;
c) MxMx 2 .S se arate c :
i) exist a , b , c , d ( nu toate nule ) astfel nct0=+++ dcba .
ii) M2007 .Lucian Dragomir
4.Pe cercul C de centru O se consider punctele distincte A , B , C. S
se demonstreze c dac OAOCOCOBOBOA +=+=+ , atunci
triunghiulABCeste echilateral .Dan tefan Marinescu , GM 2000
7/29/2019 RMCS_nr.19
17/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
18/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
19/31
37
Clasa a X-aDragomir Lucia Grup colar Oelu-Rou Premiul IGurgu Caius Lic.C.D.Loga Caransebe Premiul II
Kremer Emanuela Lic.C.D.Loga Caransebe Premiul IIIBuzuriu Alina Grup colar Oelu-Rou meniuneClasa a XI-a
Popovici Doru Adrian Lic.Traian Lalescu Reia Premiul IBeldie Anca Lic.Traian Doda Caransebe Premiul IIDochin Luminia Lic.Traian Doda Caransebe Premiul IIIIacob Alexandra Lic.Traian Doda Caransebe meniuneLabo Laureniu Lic.C.D.Loga Caransebe Meniune
Clasa a XII-aEnache Bianca Emilia Lic.Traian Doda Caransebe Premiul II
Elevii participani la Concursul Traian Lalescu , 24martie 2007
(selecia a fost fcut n urma rezultatelor obinute la etapa judeean aolimpiadei de matematic din 3.03.2007; elevii calificai la etapanaional a olimpiadei au numele scrise cursiv)
Profesor PremiuO.J.
Clasa a 5 aeudanAdina
c. nr 2 Resia Drghici Maria I
AghescuMonica
c. nr 2 Resia Drghici Maria II
uneaMarius
c. nr 6 Resia Apostol Daniela III
LazrSilviu
c. nr 9 Resia Drghici Maria M
DrghiciLivia
c. nr 2 Resia Drghici Maria M
Clasa a 6 aStoicnescuGelu
Lic. T. DodaCaransebe
Dragomir Adrian I
Mo Ioana c. nr 6 Resia Simulescu Susana II
38
PopaAndreea
Lic. Traian DodaCaransebe
Dragomir Adrian III
Florea
Iuliana
c. nr 8 Resia Curescu Simona M
MeterAmalia
c. nr 2 Resia Drghici Maria M
Nasta Laura G. S. Otelu Rosu Dragomir Adriana M
Clasa a 7 aSzabo Cristian Lic. Traian Doda
CaransebeDragomir Delia I
Mocanu
Ioana
Lic. Traian DodaCaransebe
Dragomir Delia II
Enciu andra Lic TeoreticDiaconovici-Tietz Reia
VlduceanuCristina III
SemenescuAnca
Lic. PedCaransebe
Humia Dorina M
U Robert G. S. Ind. MoldovaNoua
Gdea Vasilica M
Clasa a 8 aMeter Sergiu c. nr 2 Reia andru Marius IDimceaCristian
Lic Hercules B.Herculane
BolbotinConstantin
II
GalescuDan
Lic. Traian DodaCaransebe
Dragomir Delia III
CococeanuOana
Sc 1 Oelu Rou Feil Heidi M
ZamfirCristian
Lic. Traian DodaCaransebe
Dragomir Delia M
Clasa a 9 aStniloiuOvidiu
Lic Tata OanceaBoca
Todor Ioan I
Milcu Roxana Lic. PedCaransebe
Moatr Lavinia II
Inacu M.Emanuel
Lic Traian VuiaReia
Buzil Mircea III
Lupu Vlad G. S. Otelu Rosu Dragomir Lucian MCotoran Lic T. Vuia Buzil Mircea M
7/29/2019 RMCS_nr.19
20/31
39
Florin ReiaClasa a 10 a
Prvu Ctlin G. S. Ind. Moldova
Noua
Mihart Nicolae I
UnguraDrago
G. S. Oelu Rou Dragomir Lucian II
Gurgu Caius Lic. PedCaransebe
Moatr Lavinia III
BiruGeorgiana
Lic TraianLalescu Reia
Bdescu Ovidiu M
Gurgu Ioana Lic. Traian DodaCaransebe
Hogea Gheorghe M
Clasa a 11 aPopovici Doru Lic Traian
Lalescu ReiaBdescu Ovidiu I
Baderca
Silviu
Lic Traian VuiaReia
Buzil Mircea II
IacobAlexandra
Lic. Traian DodaCaransebe
Dragomir Delia III
IstodorCosmin
G. S. Otelu Rosu Dragomir Lucian M
Zserai Flavia G. S. Ind. MoldovaNoua
Murg Stana M
Clasa a 12 aCucu
Silviu
Lic TraianLalescu Reia
Bdescu Ovidiu I
ParaschivuAndreea
Lic Traian VuiaReia
Buzil Mircea II
MranAndrada
G. S. Ind. MoldovaNoua
Mihart Nicolae III
Ceauu Ioana Lic. Traian DodaCaransebe
Didraga Iacob M
GramaMdlina
Lic. Tata OanceaBoca
Iatan Rodica M
40
Rezultatele obinute la etapa judeean a ConcursuluiNaional de Matematic Aplicat Adolf Haimovici
3. 03. 2007 ( adresat elevilor de la M 2) elevii al cror nume este scris cursiv sunt calificai la etapa naional din
luna mai 2007
Clasa a 9 aNorocel Adina G. S. Otelu Rosu Dragomir
AdrianaI
AzzolaFrancesca
G. S. Otelu Rosu DragomirAdriana
II
Tama BogdanPetru G. S. Otelu Rosu DragomirAdriana IIIHeranu S.Andreea
G S C-ii Montaj Reia Leucon Elena M
Clasa a 10 aMatei Petrua G. S. Otelu Rosu Ferdean
ArjentiaI
Ciulu MarianaCristina
Colegiul Economic alBanatului Montan Reita
unea Ana II
Bercea DorinaGeorgeta Grup colar AgricolOravia Maria icu III
Clasa a 11 aMagorca
Cristina
G.S.C-ii MainiCaransebe
Bistrian Ana I
Plestici Elena G S Ind. Alexandru PoppReia
Pop Cristiana II
Gurgu Clina G.S.F. Caransebe Dragot Ana III
OlteanuMarius
Grup colar AgricolOravia
Maria icu III
7/29/2019 RMCS_nr.19
21/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
22/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
23/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
24/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
25/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
26/31
51
Prof. Lucian Dragomir , Oelu-Rou
IX . 067 Determinai funciile :f cu proprietatea c :
1 (1) (2) ... ( )f f f n+ + + + divide 2n , .n Prof. Lucian Dragomir , Oelu-Rou
Clasa a X aX . 060 Considerm ecuaia 2 2(2 4) 2 6 3 0 + + + + =x m x m m . Fie
1 2,m m dou valori reale ale lui mpentru care ecuaia are soluii reale
distincte, notate ( ) ( )1 1 2 1,x m x m , respectiv ( ) ( )1 2 2 2,x m x m . Considerm
punctele ( ) ( )( )1 1 2 1,A x m x m i ( ) ( )( )1 2 2 2,B x m x m . Demonstrai cAB < 4 .Prof. Mihai Monea , Deva
X . 061 Rezolvai sistemul
+++=++++
++= ++
)333(log)33(log)3(log
333323
32
33
1113
zzzyyx
zyx
zyx
Prof. Mihai Monea , Deva
X . 062 Fie2
0, < ( )ctg tg x .Prof. Mihai Monea , Deva
X . 063 S se calculeze volumul tetraedrului MABC tiind c nlimea
sa este 1 i cade n mijlocul laturii (BC) , ( )0
90m BAC = i msurileunghiurilor AMB , AMC i BMC sunt proporionale respectiv cu 2 , 3 i4 .
Prof. Constantin Apostol , Rm. SratX . 064 Se consider funciile , :f g astfel nct
3 2( ) ( 2 5 2007) , .g x f x x x x= + + Artai c dacf esteinjectiv , atunci i g este injectiv .
Prof. Antoanela Buzescu , Caransebe
52
X . 065 Dac 0 a b< , atuncisin
, 0,2
a x b tgxx x
a b
+ > +
.
Prof. D . M . Btineu-Giurgiu , BucuretiX . 066 Determinai numerele reale , 1y pentru care numerele
2 3log (3 1) log (2 1)A x y= + i 2 3log (3 1) log (2 1)B x y= + + + suntntregi neconsecutive .
Prof. Lucian Dragomir , Oelu-Rou
X . 067 Determinai numerele naturale n pentru care numrul 2n
nC este
ptrat perfect.Prof. Lucian Dragomir , Oelu-Rou
Clasa a XI aXI. 060 Fie ( )3 A M pentru care
43=A O . Atunci
33=A O
Prof. Mihai Monea , Deva
XI. 061 Se dirul definit prin1 1 1
1 ... , 1.2 3n
x nn
= + + + + S se
arate cirul { }( ) 1n nx nu este convergent . ( { }a reprezint parteafracionar a numrului real a ) .
Admitere facultate matematic
XI. 062 Exist funcii [ ]: 0,1f care s admit asimptote verticale la
stnga i la dreapta dreptele de ecuaii = , [ ]0,1 ?
Admitere facultate matematic
XI. 063 Se consider , ,a b a b . S se arate c funcia dat are un punct de minim n ( ),a b Admitere facultate matematic
7/29/2019 RMCS_nr.19
27/31
53
XI. 064 Se consider determinanii de ordinul 3 : ija = i lg ijb = ,
undelg , 0
0 , 0
ij ij
ij
ij
a ab
a
>=
. Artai c exist o infinitate de determinani
de ordinul 3 cu elementele din { }1 , nu toate pozitive , astfel nct
lglg . =
Prof. Ion Pistril , OraviaXI. 065 Dac f : [ 0 , 1 ] [ 1 , 2 ] este o funcie continu , artai c
exist t ( 0 , 1 ) aa nctt
tf1
)( = .
Prof. Lucian Dragomir , Oelu-Rou
XI. 066 S se determine funciile continue f : care satisfac
2
)()()
2(
yfxfyxf
+=
+, x , y .
XI. 067. Fie a ( 1 , ) i f : o funcie continu cuproprietatea c f ( ax ) = f ( x ) , x . Artai c f este constant .
Prof. D.M.Btineu Giurgiu , Bucureti
Clasa a XII aXII 060 Considerm un corp ( , , )+ K i , a b K. Demonstrai c sepoate construi pe K o structur de corp care s admit cele douelemente ca elemente neutre.
Prof. Mihai Monea , Deva
XII 061 Considerm un inel A de caracteristic impar notat 2 1+k i,a b dou elemente care comut ntre ele cu proprietatea c exist
*, m n impare astfel nct 1= =m na b . Demonstrai c elementul +a b este inversabil.
Prof. Mihai Monea , Deva
XII 062 Se consider mulimea ( ){ }/ det( ) 1G A A2= = .
a) S se demonstreze c ( ),G este un grup necomutativ.
54
b) S se determine un subgrup cu trei elemente al grupului de la a ).Prof. Iacob Didraga , Caransebe
XII 063 S se determine funcia :f , derivabil , pentru care
este adevrat egalitatea :2 2
0
1( ) ( ) , .2 2
x
x xt f t dt f x x+ =
Prof. Iacob Didraga , Caransebe
XII 064 Seconsider funciile R
2,0:
f , xxxxf sincos)( =
i R
2,0:
g , x
x
xg
sin
)(=
.
a) S se arate cgeste strict descresctoare pe
2,0
.
b) S se arate c : 1sin2
7/29/2019 RMCS_nr.19
28/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
29/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
30/31
7/29/2019 RMCS_nr.19
31/31
61
Liceul Traian Lalescu Reia (prof.Ovidiu Bdescu): Popovici DoruAdrian Thom 117 (284)Grup colar Industrial Oelu-Rou (prof.Lucian Dragomir):Istodor Cosmin (160), Popa Adriana 43(43), Dumitracu Diana 41(41) .
Clasa a XII-a
Liceul Teoretic Traian Doda Caransebe (prof.Lavinia Moatr):Enache Bianca Emilia 38 (106)