41
Cap.4.Proiectarea regulatoarelor în spaţiul stărilor
În acest subcapitol ne vom referi în principal la sisteme de reglare unde vom
considera performanţele de regim tranzitoriu determinate în principal de locaţia
polilor. Cerinţa de proiectare se va traduce în mutarea polilor sistemului (în circuit
deschis >>polii părţii fixe) în locaţiile dorite (corespunzătoare sistemului în circuit
închis) prin folosirea reacţiei negative. Practic, vom folosi metode specifice spaţiului
stărilor ce permit plasarea polilor în locaţiile dorite în circuit închis.
4.1.Reacţia după stare
În abordarea în spaţiul stărilor a problemei reglării se presupune într-o primă
instanţă că toate componentele vectorului de stare sunt accesibile prin măsurare. În
aceste condiţii, intrarea în elementul de comparaţie(de pe reacţie) se consideră
proporţională cu vectorul de stare:
xku .
În acest caz se ridică câteva întrebări:
->Cum şi de ce se pretează acest tip de reglare?
->Se poate aplica acest tip de reacţie pentru toate tipurile de sisteme şi dacă nu,
care sunt condiţiile de aplicare?
Datorită faptului că starea se defineşte ca fiind cantitatea minimă de informaţie
necesară pentru descrierea completă a sistemului, reacţia după stare este deosebit de
eficientă. Valabilitatea acestui lucru derivă din faptul că sistemul foloseşte toată
cantitatea de informaţie de care dispune pentru reglare, în comparaţie cu compensarea
clasică, în care numai ieşirea(de obicei ultima variabilă de stare) este întoarsă prin
reacţie negativă la intrarea sistemului de reglare. Mai mult decât aceasta, cum reacţia
după stare se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuaţii, soluţiile nu sunt
întotdeauna unice şi deci putem folosi şi criterii optimale pentru alegerea unei
soluţii unice.
Considerăm în cazul general un sistem liniar, descris prin ecuaţiile de stare:
tDutxCty
tButAxtx
T
şi funcţia de transfer:
DBAsICsH T
F 1 .
Se spune că sistemul este controlabil dacă, prin aplicarea unor anumite secvenţe
de intrare, stările se pot muta oriunde în spaţiul stărilor. Acest fapt este echivalent cu
posibilitatea de a muta polii sistemului oriunde în planul complex.
Controlabilitatea este determinată de perechea ),( BA şi se verifică cu ajutorul
matricii P de controlabilitate: perechea ),( BA este controlabilă dacă şi numai dacă
rangul matricii de controlabilitate P este n (unde n este ordinul sistemului,
dimensiunea matricei A )
42
BAB ........B AB AP n-12
Dacă sistemul este controlabil, atunci se poate folosi reacţia după stare pentru a
plasa polii sistemului în circuit închis oriunde în semiplanul complex. (Presupunem
că toate stările sunt măsurabile).
Din practică rezultă însă că o noţiune mai slabă decât cea de controlabilitate
este suficientă pentru majoritatea scopurilor. Această noţiune se numeşte
„stabilizabilitate” şi se referă la posibilitatea de a putea deplasa numai modurile
instabile ale sistemului. Se poate spune că un sistem este stabilizabil dacă modurile
instabile sunt controlabile, sau, echivalent, dacă modurile necontrolabile sunt stabile
(prin moduri întelegem rădăcinile polinomului caracteristic al sistemului).
Se mai poate sublinia faptul că în cazul sistemelor monovariabile, lipsa
controlabilităţii duce la simplificări poli-zerouri în funcţia de transfer a sistemului. Reciproca nu este valabila: simplificări poli-zerouri în funcţia de transfer nu duc
neeapărat la necontrolabilitate.
Există mai multe formule pentru calculul matricei k de reacţie după stare. Formula
lui Ackermann este un exemplu pentru sistemele monovariabile. În primul rând
trebuie reţinut faptul că reacţia după stare nu duce la mărirea ordinului sistemului în
circuit închis faţă de cel în circuit deschis. Dacă ordinul sistemului este n , atunci
putem alege n valori, ce pot fi reale sau complexe, pentru polii funcţiei de transfer în
circuit închis.
Acestea vor duce la ecuaţia caracteristică „dorită” pentru sistemul în circuit închis
de forma:
nnn
d sss ........11
Atunci formula lui Ackermann ne oferă k sub forma:
APk d 11,0,........,0,0 unde IAAA n
nn
d ........1
1
Formula de mai sus nu se pretează întotdeauna pentru implementarea numerică,
dar există numeroşi alţi algoritmi mai siguri din punct de vedere al preciziei de calcul.
Obs.:
&&-În Matlab avem funcţia „acker” care calculează matricea de reacţie după stare k
prin plasarea polilor în locaţiile dorite.
>>help acker
ACKER Pole placement gain selection using Ackermann's formula.
K = ACKER(A,B,P) calculates the feedback gain matrix K such that the single
input system.
x = Ax + Bu
with a feedback law of u = -Kx has closed loop poles at the
values specified in vector P, i.e., P = eig(A-B*K).
Note: This algorithm uses Ackermann's formula. This method is NOT numerically
reliable and starts to break down rapidly for problems of order greater than 10, or
for weakly controllable systems. A warning message is printed if the nonzero
closed-loop poles are greater than 10% from the desired locations specified in P.
43
&&-Funcţia Matlab „place” implementează un algoritm înbunătăţit, care, la fel,
calculează matricea de reacţie după stare k , prin plasarea polilor sistemului în circuit
închis în locaţiile dorite.
>> help place
PLACE Pole placement technique
K = PLACE(A,B,P) computes a state-feedback matrix K such that
the eigenvalues of A-B*K are those specified in vector P.
No eigenvalue should have a multiplicity greater than the
number of inputs.
[K,PREC,MESSAGE] = PLACE(A,B,P) returns PREC, an estimate of how
closely the eigenvalues of A-B*K match the specified locations P
(PREC measures the number of accurate decimal digits in the actual
closed-loop poles). If some nonzero closed-loop pole is more than
10% off from the desired location, MESSAGE contains a warning
message.
OBS: Aceasta functie se poate aplica si pentru calculul matricei de reactie dupa stare
pentru sistemele multivariabile
În principiu, prin proiectarea folosind metoda locului rădăcinilor se consideră o
funcţie de transfer în circuit închis cu 2 poli complex conjugaţi care poate duce la
răspunsul tranzitoriu dorit. Se poate aplica şi în cazul reacţiei după stare o variantă a
acestei metode, adică se selectează în planul complex o pereche de poli care să
satisfacă specificaţiile răspunsului tranzitoriu, şi restul de (n-2) poli se aleg reali în
semiplanul complex stâng şi depărtaţi de originea planului complex, astfel încât
influenţa lor în răspunsul tranzitoriu să fie neglijabilă. Locului rădăcinilor este o metodă destul de folosită de analiză şi sinteză a SRA liniare fără
timp mort. Prin modificarea poziţiei rădăcinilor polinomului caracteristic(în circuit închis) în planul
complex se pot obţine performanţele dorite pentru o structură dată de sistem de reglare automată
(SRA). Practic, prin modificarea valorilor unor parametrii ai sistemului de reglare, se asigură diferite
poziţionări ale rădăcinilor polinomului caracteristic şi deci se ajustează performanţele. Astfel,
metoda locului rădăcinilor oferă un procedeu simplu de stabilire a rezultatului modificării unui
anumit parametru al SRA liniar asupra spectrului polinomului său caracteristic, conducând la câte
un loc geometric pentru fiecare rădăcină. Pentru a construi locul rădăcinilor, considerăm un SRA-
liniar şi continuu al cărei funcţie de transfer pe calea directă este de forma:
)(
)()(
2
1
sP
sPKsH dd (3.57)
Funcţia de transfer în circuit închis corespunzătoare unei structuri cu reacţie negativă unitară este:
)()(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(1
)()(
12
1
2
1
2
1
0sPKsP
sPK
sP
sPK
sP
sPK
sH
sHsH
d
d
d
d
d
d
(3.58)
Polinomul caracteristic al sistemului în circuit închis devine:
44
)()()( 12 sPKsPsP d (3.59)
În această abordare polii sistemului în circuit închis sunt rădăcinile următoarei ecuaţii caracteristice,
ceea ce arată că amplificarea Kd de pe calea directă, afectează rădăcinile polinomului caracteristic:
0)()( 12 PKP d (3.60)
Prin definiţie, locul rădăcinilor reprezintă ansamblul locurilor geometrice descrise în planul
variabilei complexe(frecvenţa complexă) “s” de rădăcinile ecuaţiei caracteristice din relaţia (3.60),
atunci când factorul de amplificare pe calea directă Kd, în raport cu care se face analiza sau sinteza
SRA, variază, luând valori într-un domeniu specificat. Pentru Kd=0, rădăcinile ecuaţiei (3.60) sunt
rădăcinile polinomului )(2 P , care sunt aceleaşi cu polii sistemului în circuit deschis. Dacă
amplificarea Kd este foarte mare )( dK , rădăcinile ecuaţiei caracteristice coincid cu zerourile
sistemului în circuit deschis(zerourile funcţiei de transfer Hd(s)). Astfel, atunci când Kd este crescut
de la 0 la , locul rădăcinilor este iniţiat de polii pj ai sistemului în circuit deschis şi se termină în
zerourile zi ale sistemului în circuit deschis.
Locul rădăcinilor permite analiza stabilităţii SRA, aprecierea informativă a calităţii SRA, şi
determinarea aproximativă a răspunsului la diverse semnale de intrare. Stabilitatea unui SRA liniar
poate fi analizată prin poziţia rădăcinilor ecuaţiei caracteristice în raport cu frontiera domeniului de
stabilitate(axa imaginară). Dacă pentru o valoare dată a parametrului Kd rădăcinile polinomului
caracteristic sunt în semiplanul complex stâng C , spunem că sistemul este asimptotic stabil.
Ţinând seama de incertitudinile ce caracterizează modelul procesului şi în consecinţă şi valorile
parametrilor de acord ai regulatorului, se consideră o frontieră de stabilitate modificată cu
dreapta d paralelă cu axa imaginară ca în Fig.3.15
Valoarea a este stabilită de proiectant în funcţie de aplicaţia concretă, în funcţie de gradul
de adecvanţă al modelului matematic al procesului la realitate. Pornind de la definiţia locului
rădăcinilor şi ţinând seama de importanţa informaţiei de factură calitativă asupra regimurilor libere
ale SRA oferite în faza de analiză, locul rădăcinilor poate fi utilizat pentru rezolvarea unor probleme
de proiectare formulate astfel:
Dându-se modelul matematic al obiectului condus şi indicatorii de calitate impuşi SRA, se
cere determinarea structurii SRA şi a parametrilor algoritmului de reglare(regulatorului) care
asigură cerinţele impuse.
În cele mai multe aplicaţii, locul rădăcinilor oferă informaţii dacă rădăcinile polinomului
caracteristic pot fi plasate într-un domeniu al planului complex numit „domeniu admisibil”. În cazul
sistemelor continue, domeniul admisibil rezultă din intersecţia a 3 domenii, ca în Fig.3.17.
Considerând un sistem de ordinul doi: 22
2
2)(
nn
n
sssH
cu factorul de amortizare 1,0 ,
rădăcinile ecuaţiei caracteristice şi evident polii sistemului sunt:
jω
σ
C-
C+
Fig.3.15.Domeniul admisibil
de plasare a polilor sistemului
d
a
45
dnn jjp 2
2,1 1 (3.61)
unde d , sunt partea reală, respectiv partea imaginară a celor 2 poli complex conjugaţi.
Semnificaţia fizică a parametrilor d ,,, se poate pune în evidenţă folosind răspunsul indicial al
sistemului de ordinul II, sub forma:
)sin(1)(
tety d
t
d
n unde )cos( şi 21)sin( (3.62)
Ţinând cont de relaţia (3.62) se poate considera că frecvenţa de oscilaţie a răspunsului este dată de
partea imaginară a polilor d , prin termenul )sin( td . Anvelopa oscilaţiilor este dată de partea
reală a polilor , prin termenul te .
Considerând ca parametrii de performanţă pentru răspunsul indicial suprareglajul, timpul de
răspuns, numărul maxim de oscilaţii până se stabilizează răspunsul, se poate stabili un „domeniu
admisibil” pentru plasarea rădăcinilor polinomului caracteristic al sistemului.
Astfel, pentru .ct şi n variabil, locul rădăcinilor este format din 2 semidrepte situate
în C şi care pornesc din origine(notate d şi 'd în Fig.3.17) simetrice cu axa reală. Considerând
relaţia pentru calculul suprareglajului în cazul răspunsului indicial 21
ejsupraregla , se obţine în
cazul limitării valorii suprareglajului la maxim %5 , o valoare minimă a factorului de amortizare
7.0 . În condiţiile acestea, cele 2 drepte d şi 'd din Fig.3.17 sunt dreptele pentru 7.0 .
Timpul de răspuns al sistemului de ordinul II este dat în cazul răspunsului indicial de relaţia
n
rt
4 , ceea ce înseamnă că pentru impusrr tt _ , avem că partea reală a polilor an unde
impusr
at _
4 şi este reprezentat de dreapta d din Fig.3.15. Dacă considerăm acceptabil un timp
maxim de răspuns pentru sistemul “Ball on Beam” de valoarea 10_ impusrt secunde, vom
avea 4.010
4a .
Numărul de oscilaţii până când se stabilizează răspunsul sistemului este dat de frecvenţa d
din relaţia (3.62). Dacă impunem ca răspunsul să se stabilizeze într-un număr n-maxim de oscilaţii,
Im(p)
Re(p)
C-
C+
Fig.3.16.Poziţionarea polilor complex conjugaţi ai sistemului de ordinul II
ωn
-ωn
n
d
0
1
1
46
vom avea valabilă relaţia d
oscimpusr nTnt
2_ , de unde obţinem o valoare maximă pentru
frecvenţa de oscilaţie M
impusr
impusddt
n
_
_
2, obţinându-se 2 semidrepte paralele cu axa
reală situate în C (notate d şi 'd în Fig.3.17). Dacă considerăm ca acceptabil un număr de
maxim 10n oscilaţii şi 10_ impusrt secunde, vom avea
28.610
210
2
_
_
M
impusr
impusddt
n
În această abordare, domeniul admisibil poate fi definit astfel:
-semiplanul situat în stânga dreptei d care este definită de parametrul a ce reprezintă
“abscisa de amortizare absolută”
-punctele de pe laturile şi interiorul unghiului format de semidreptele d şi 'd definite de
valoarea minimă admisibilă a factorului de amortizare .
-fâşia din semiplanul Re(s)<0, delimitată de semidreptele d şi 'd împreună cu punctele de
pe acestea asociate cu pulsaţia M , care asigură limitarea superioară a frecvenţei de oscilaţie a
componentelor sinusoidale ale răspunsului indicial.
Prin delimitarea acestui domeniu se asigură satisfacerea unor cerinţe de performanţă cum ar
fi suprareglajul, gradul de amortizare, şi durata regimului tranzitoriu.
Revenim la ideea că, prin proiectarea folosind metoda locului rădăcinilor, se consideră o
funcţie de transfer în circuit închis cu 2 poli complex conjugaţi care poate duce la răspunsul
tranzitoriu dorit. Aceasta se poate aplica şi în cazul reacţiei după stare, adică se selectează în planul
complex o pereche de poli care să satisfacă specificaţiile răspunsului tranzitoriu, şi restul de (n-2)
poli se aleg reali în semiplanul complex stâng şi depărtaţi de originea planului complex, astfel încât
influenţa lor în răspunsul tranzitoriu să fie neglijabilă.
jω
σ
σa
C-
C+
Fig.3.17.Domeniul admisibil pentru plasarea rădăcinilor polinomului caracteristic
jωM
-jωM
dξ
dξ’
dω
dω’
dσ
47
Structura unui sistem cu reacţie după variabilele de stare este prezentată în Fig.4.1:
Pentru a reliefa modalitatea de funcţionare a structurii de reglare cu reacţie după
variabilele de stare din Fig.4.1., se poate face o echivalare cu o structură simplă de
reglare monocontur(schema clasică de reglare) ca în Fig.4.2, punând condiţia ca să
aibă acelaşi răspuns.
Funcţia de transfer în circuit închis pentru structura din Fig.4.2. este:
sHsH
sHsH
sH
sHsH
FR
FR
d
dSRA
1)(1
)()(0 (4.1)
Considerăm că sHF - partea fixă a procesului ce este descrisă în spaţiul stărilor de
ecuaţiile:
sUsHsUBsCsYtxCty
sBUssXtButAxtx
F
TT
Laplace formataprin trans
unde 1 AsIs este matricea de tranziţie a stărilor
Schema bloc a structurii sistemului cu reacţie după variabilele de stare considerând
partea fixă un sistem strict propriu )0( D , este prezentată în Fig.4.3.
HR(s)
HF(s) R(s) +
-
U(s) Y(s)
Fig.4.2. Sistem de reglare automată(SRA) monocontur
E(s)
A,B,C,D
U(t)=-kx(t) y(t)
Fig.4.1. Structură de reglare cu reacţie după variabilele de stare
k1
k2
k3
kn
x1
x2
x3
y(t)
xn
0)( tR +
Y0= R(t) State Feed-back
- -
- - +
+
48
skXsRsusRsU k )()(
Funcţia de transfer a sistemului cu reacţie după după variabilele stare conform
schemei-bloc din Fig4.3, se obţine: Bsk
BsCsH T
k
1)(0 (4.2)
Prin echivalarea funcţiilor de transfer din relaţia (4.1) şi (4.2) pentru cele 2 structuri
de reglare, impunând să aibă acelaşi răspuns, vom avea:
Bsk
BsC
BsCsH
BsCsH
Bsk
BsC
sHsH
sHsHsHsH
T
T
R
T
RT
FR
FRkSRA
1111)()( 00
1)(1
1
1
1
1
BsCksHBsk
BsCsH
T
RT
R
(4.3)
Astfel, dacă vom construi funcţia )(sHR conform relaţiei (4.3), atunci structura
sistemului clasic şi structura sistemului cu reacţie după stare vor avea acelaşi răspuns
tranzitoriu. Folosind această relaţie se poate realiza o corespondenţă între funcţia de
transfer a compensatorului )(sHR -echivalent, obţinut în conformitate cu vectorul de
reacţie după stare k folosit la plasarea polilor sistemului în locaţiile dorite. În
principiu, la un SRA nu este suficientă numai amplificarea de pe calea directă pentru
plasarea polilor în locaţiile dorite, şi astfel este nevoie de a introduce poli şi zerouri
suplimentare. Prin echivalarea răspunsului celor două structuri se obţine
compensatorul complet )(sHR ce conţine şi poli şi zerouri plasate corespunzător prin
reacţia după stare astfel încât să se realizeze plasarea polilor în locaţii din domeniul
admisibil. Considerăm în continuare sistemul cu reacţie după mărimile de stare unde
avem comanda de forma:
trtkxtu (4.4)
vom avea ecuaţiile de stare ale sistemului în circuit închis:
tBrtxBkAtx (4.5)
Prin aplicarea transformatei Laplace în condiţii iniţiale nule, obţinem:
sBRBkAsIsX1
sBRBkAsICsXCsY TT 1)(
)(
)(1
0sR
sYBBkAsICsH T
k (4.6)
B
s
CT
-k
+
+
U(s)
Fig.4.3. Structura sistemului cu reacţie după variabilele de stare
X(s) Y(s)
)(suk
R(s)
49
Revenind la relaţia (4.3) vom avea:
1)(
11
1T
R
T
RCk
BA
sHbsCk
sH (4.7)
Factorizarea realizată la formula anterioară este de fapt o scriere compactă a
următorului rezultat:
Dacă avem: DBAsICsH T 1)()( , putem scrie forma compactă
DC
BAsH
T)( .
Se poate demonstra că
11
11
1 )(DCD
BDCBDAsH (4.8)
Conform relatiilor (4.8), vom avea:
1)(
)()(
1)()(
1T
T
RT
R Ck
BCkBAsH
Ck
BA
sH (4.9)
În concluzie, dacă vom construi sHR după formula de mai sus, atunci sistemul
proiectat clasic şi cel cu reacţie după stare vor avea acelaşi răspuns tranzitoriu.
Funcţia de transfer a sistemului cu reacţie după stare se obţine conform schemei
din Fig.4.4, unde constanta N se poate calcula ca şi un factor de scalare pentru a
obţine o eroare staţionară nulă a răspunsului sistemului în circuit închis.
tBNrtxBkAtx
tBNrtkBxtAxtButAxtxdar
tNrtkxtu
)()()()()( (ec. de stare in circuit inchis)
Prin aplicarea transformatei Laplace, obţinem:
sBNRBkAsIsX1
sBNRBkAsICsY T 1
sBNRBkAsICsH T 1
0
N
B
s
-k
R(s) +
+
U(s) X(s)
Fig.4.4
uk(s)
50
Studiu de caz: Sistemul “Ball on Beam”
Considerăm ecuaţiile de stare liniarizate în jurul unui punct staţionar de funcţionare pentru
sistemul „Ball on Beam”:
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
1000
0
0
0100
0
0001
0
x
x
x
x
yl
u
bdab
af
bdab
bf
x
x
x
x
bdab
ac
bdab
cd
bdab
ae
bdab
bc
bdab
cb
bdab
be
x
x
x
x
l
lx
(3.40)
unde 0;1000;
0
0;
0100
0
0001
0
DC
bdab
af
bdab
bf
B
bdab
ac
bdab
cd
bdab
ae
bdab
bc
bdab
cb
bdab
be
A T
Folosind funcţiile Matlab ”ctrb()”, “rank()”, vom avea pentru sistemul din relaţia (3.40):
P_matricea_de_controlab = 1.0e+007 *
0.00000101831210 -0.00013791561867 0.01868785157294 -2.53224192818174
0 0.00000101831210 -0.00013791561867 0.01868785157294
-0.00000000458240 0.00000062062028 -0.00008908506138 0.01207087520831
0 -0.00000000458240 0.00000062062028 -0.00008908506138
rangul_matricii_controlabilitate = 4
rangul_A = 4
Pentru realizarea de stare din relaţia (3.40) s-a obţinut rangul matricii P de controlabilitate 4
egal cu rangul matricii A, deci sistemul este controlabil. Dacă sistemul este controlabil se poate
folosi reacţia după stare pentru a plasa polii sistemului în circuit închis oriunde în semiplanul
complex stâng(presupunem că toate stările sunt măsurabile).
În conformitate cu prelucrările anterioare vom realiza plasarea polilor în domeniul admisibil
cu satisfacerea următoarelor performanţe pentru sistemul „Ball on Beam”:
-suprareglaj<5%, vom avea 7.0 , şi vom considera 7.0
-timpul de răspuns 5rt secunde, vom avea frecvenţa naturală sec]/[14.1 radn şi astfel,
partea reală a celor 2 poli complex conjugaţi este 8.0 n , respectiv partea imaginară
82.01 2 nd .
Deoarece sistemul este de ordinul 4, pe lângă cei 2 poli dominanţi complex conjugaţi selectaţi
pentru respectarea performanţelor, vom considera încă 2 poli pe axa reală şi în semiplanul stâng
depărtaţi de axa imaginară, astfel încât efectul lor să nu fie dominant. Astfel vom încerca plasarea
polilor prin reacţia după stare în următoarele locaţii:
p1 = -11
p2 = -0.80000000000000 + 0.81616324897633i (3.73)
p3 = -0.80000000000000 - 0.81616324897633i
p4 = -5
51
Pentru polii stabiliţi anterior, se poate trece la calculul vectorului k de reacţie după stare folosind
funcţia Matlab “place()”:
k =
-11.58147071800683 8.91810664681767 -2.18244222374010 -2.32095517955238 (3.74)
Prin prelucrarea cu ajutorul mediului Matlab a modelului matematic al părţii fixe, se obţine
următoarea configuraţie de zerouri, poli şi factor de amplificare:
zf = 1.0e+011 *
-2.01536279609938
0.00000000000000 + 0.00000000032998i
0.00000000000000 - 0.00000000032998i
pf =
-135.502053231339 (3.75)
-0.321181543720 + 0.595493736320i
-0.321181543720 - 0.595493736320i
0.708906635242
kf =
-2.273736754432321e-013
HF=
Zero/pole/gain:
-2.2737e-013 (s+2.015e011) (s^2 - 5.424e-009s + 1089)
---------------------------------------------------------------------
(s+135.5) (s-0.7089) (s^2 + 0.6424s + 0.4578)
Prin prelucrarea relaţiei (4.9) care furniza compensatorul )(sHR al unui SRA echivalent cu structura
cu reacţie după variabilele de stare, se obţine următoarea configuraţie de zerouri, poli şi factor de
amplificare pentru )(sHR :
zr =
-135.502053231339
-0.321181543720 + 0.595493736320i
-0.321181543720 - 0.595493736320i
0.708906635242
pr =
-10.90892873995004
-5.41747202141412 (3.76)
-0.63679961931794 + 1.28620563162677i
-0.63679961931794 - 1.28620563162677i
kr =
1
HR=
Zero/pole/gain:
(s+135.5) (s-0.7089) (s^2 + 0.6424s + 0.4578)
---------------------------------------------------------
(s+10.91) (s+5.417) (s^2 + 1.274s + 2.06)
Se poate observa că funcţia de transfer a compensatorului echivalent )(sHR este de ordinul 4, şi
astfel, cele 4 zerouri vor compensa cei 4 poli ai părţii fixe, adăugând alţi 4 poli care vor fi polii
proiectaţi ai sistemului în circuit închis. Configuraţia de zerouri, poli şi factor de amplificare pentru
structura clasică )(0 sH SRA , obţinută fără simplificările poli-zerouri, preluată de pe diagrama locului
rădăcinilor din Fig.3.21 este:
52
z0sra = 1.0e+011 *
-2.01536279609938
-0.00000000135502
0.00000000000000 + 0.00000000032998i
0.00000000000000 - 0.00000000032998i
0.00000000000709
-0.00000000000321 + 0.00000000000595i
-0.00000000000321 - 0.00000000000595i
p0sra = 1.0e+002 *
-1.35502053231339
-0.11000000000000
-0.05000000000000
-0.00800000000000 + 0.00816163248976i
-0.00800000000000 - 0.00816163248976i
0.00708906635242
-0.00321181543720 + 0.00595493736320i
-0.00321181543720 - 0.00595493736320i
k0sra =
-2.273736754432321e-013
H0SRA=
Zero/pole/gain:
-2.2737e-013 (s+2.015e011)(s+135.5)(s-0.7089)(s^2+0.6424s+0.4578)(s^2 - 5.38e-009s + 1089)
----------------------------------------------------------------------------------------------------
(s+135.5) (s+11) (s+5) (s-0.7089) (s^2 + 0.6424s + 0.4578) (s^2 + 1.6s + 1.306)
În Fig.3.21 este reprezentat locul geometric al rădăcinilor polinomului caracteristic al
structurii de SRA echivalent cu structura cu reacţie după stare, unde se poate observa modalitatea de
plasare a polilor în locaţiile dorite(cu respectarea performanţelor cerute) şi totodată compensarea
polilor sistemului real.
53
La nivel de proiectare teoretică şi eventual simulare folosind mediul de dezvoltare
Matlab/Simulink, compensarea polilor modelului matematic al procesului şi plasarea unor alţi poli
în locaţiile cerute pentru respectarea unor performanţe, se realizează în totalitate. În cazul sistemului
real, compensarea polilor nu este foarte precisă, ceea ce poate conduce la nerespectarea
performanţelor şi chiar la instabilitate. Inadecvanţa modelului matematic faţă de procesul real,
alături de perturbaţiile ce acţionează în proces, la care se adaugă şi faptul că orice proces real este
neliniar, conduc la concluzia că valabilitatea algoritmului de reglare proiectat este limitată la o
vecinătate relativ mică a punctului staţionar de funcţionare. Practic, într-o vecinătate foarte mică
a punctului staţionar, modelul matematic liniarizat folosit în proiectare coincide cu modelul
matematic neliniar şi totodată modelul matematic neliniar tinde să se apropie foarte mult de
modelul real al procesului.
Revenind la structura sistemului cu reacţie după variabilele de stare obţinută prin proiectarea
anterioară se poate observa plasarea polilor în locaţiile dorite specificate în relaţiile (3.73) prin
vectorul de reacţie după stare din relaţia (3.74), testând valorile proprii ale matricei sistemului
BkA cu funcţia Matlab “eig()”:
valorile_proprii_A_Bk =
-11.00000000000006
-0.80000000000000 + 0.81616324897633i
-0.80000000000000 - 0.81616324897633i
-4.99999999999996
Fig. 3.21. Locul geometric al rădăcinilor polinomului caracteristic al structurii de reglare
monocontur obţinută ca echivalenţă cu structura de reacţie după stare
Poli_proces
Compensaţi de
zerouri_HR
Zerouri
proces
Domeniu Admisibil
Poli plasaţi conform performanţelor pentru
structura de reglare cu reacţie după stare
echivalată cu SRA-monocontur
54
În Fig.3.22. se prezintă simularea în mediul Matlab ce realizează o reprezentare în planul
fazelor a sistemului în circuit închis cu reacţie după stare(poziţia bilei 4x în funcţie de celelalte
variabile de stare: 3x -viteză bilă, 2x -poziţie unghiulară tijă, 1x -viteză de rotaţie tijă), pornind din
diferite condiţii iniţiale. Totodată, se prezintă şi răspunsul în timp, corespunzător fiecărei variabile
de stare 1x , 2x , 3x , 4x . Se poate observa în planul a două faze, evoluţia spre un nod stabil a
variabilelor de stare din diferite condiţii iniţiale plasate în jurul punctului staţionar de funcţionare.
Programul de simulare cu ajutorul pachetului de programe Simulink al funcţionării modelului
matematic este prezentat în Fig.3.23, unde s-a încercat realizarea cât mai exactă a tuturor limitărilor
mărimilor de stare în concordanţă cu limitările reale, astfel încât simularea să fie cât mai aproape de
realitate.
În Fig.3.24. se prezintă răspunsul simulat cu mediul Matlab/Simulink al structurii sistemului
cu reacţie după variabilele de stare la modificarea referinţei de poziţionare a bilei de-a lungul barei.
În cazul sistemului nostru descris prin ecuaţiile de stare în relaţia (3.40), lucrăm cu variaţii faţă de un
punct staţionar de funcţionare şi astfel mărimea de referinţă 0)( tlll refref , adică dorim să
readucem sistemul într-un punct staţionar caracterizat de l(t)=lref. Graficele de culoare mov
reprezintă mărimile de pe reacţie, adică )(tkx , iar graficele de culoare galbenă reprezintă chiar
evoluţia mărimilor de stare )(tx . Cel puţin la nivel de simulare, se poate observa convergenţa
sistemului către punctul staţionar.
Fig. 3.22. Răspunsul simulat al sistemului cu reacţie după var. de stare din diferite cond. iniţiale
55
Fig.3.23.Programul de simulare cu limitarea mărimilor de stare în concordanţă cu procesul real
56
Δlref
Δl(t)
u(t)= - k x
x1(t) k1 x1(t)
x2(t)
x3(t)
x4(t)
k2 x2(t)
k3 x3(t)
k4 x4(t)
Fig. 3.24. Răspunsul simulat al sistemului cu reacţie după variabilele de stare
57
Folosind aceste date de proiectare, a fost implementat pe sistemul real structura descrisă
anterior în Fig.3.18., unde toate stările se consideră măsurate. Astfel, au fost realizate următoarele
operaţii pentru implementare:
-S-a considerat matricea de reacţie după stare din relaţia (3.74):
k =
-11.58147071800683 8.91810664681767 -2.18244222374010 -2.32095517955238
-Se măsoară poziţia bilei )(tl , se setează de pe interfaţa grafică referinţa refl , după care se
calculează:
)()()(4 tlltltx ref
-Viteza bilei măsurată este de fapt calculată ca derivată a poziţiei:
)())(()( 43 tltxdt
dtx
-Se măsoară poziţia unghiulară )(t a tijei care este variabila de stare:
)(0)()()( 02 ttttx
-Viteza unghiulară a tijei măsurată este de fapt calculată ca derivată a poziţiei unghiulare:
)())((
)( 21 t
dt
txdtx .
Funcţionarea în timp real al sistemului „Ball on Beam” cu menţinerea constantă a referinţei
refl şi destabilizarea bilei din poziţia de echilibru este prezentată în Fig.3.25
58
În Fig.3.26. se prezintă răspunsul sistemului în timp real la variaţia treaptă a referinţei de
poziţie a bilei spre partea dreaptă a barei. Se poate observa pe primul grafic, la momentul
modificării, că apare un “vârf” în semnalul măsurat, datorat faptului că bara este coborâtă brusc de
capătul de acţionare pentru a crea un plan înclinat pentru rostogolirea bilei spre noua poziţie, iar
bila, din cauza inerţiei rămâne puţin în aer şi nu mai face contact ferm cu bara.
Fig.3.25. Funcţionare în timp real cu setarea referinţei în mijlocul tijei şi destabilizarea bilei
)(tl -poziţie bilă
refl -referinţă poziţie bilă
)(tu -comanda calculată
)(tu -comandă aplicată motorului
histerezis la comutarea de sens
)()( 444 tlktxk -poziţie bilă
motorului
)()( 333 tlktxk -viteză bilă
motorului
)()( 222 tktxk -poziţie unghiulară tijă
motorului
)()( 111 tktxk -viteză unghiulară tijă
motorului
59
Se poate observa(chiar dacă au fost alese cele mai bune răspunsuri) în ambele cazuri
existenţa unei erori staţionare, datorată faptului că, în momentul când viteza bilei devine 0 în
apropierea punctului de echilibru, apare o neliniaritate în deplasarea bilei pe tijă datorită
traductorului de poziţie. Aşa cum a fost descris în subcapitolul 3.1, traductorul de poziţie bilă este
realizat dintr-o tijă filetată pe care s-a bobinat un conductor de nichelină. Atunci când bila se opreşte
aproape de punctul de referinţă(punctul staţionar), comanda primită datorată reacţiei după stare este
foarte mică şi nu poate mişca bila dintre 2 spire, ca în Fig.3.27
Datorită acestui lucru, s-a încercat realizarea unei destabilizări a bilei din această poziţie[61] prin
cuplarea unei bucle suplimentare cu un element integrator numai atunci când viteza bilei devine 0 şi
eroarea este mare. Când eroarea devine foarte mică, bucla suplimentară cu integrator nu mai este
cuplată, iar în rest, când viteza bilei este diferită de 0 bucla suplimentară este tot decuplată şi
funcţionează numai reacţia după stare.
Această structură modificată este prezentată în Fig.3.28.
Fig.3.26.Funcţionare în timp real cu modificarea referinţei în partea dreaptă a tijei
)(tl -poziţie bilă
refl -referinţă poziţie bilă
)(tu -comanda calculată
)(tu -comanda aplicată motorului
histerezis la comutarea de sens
)()( 444 tlktxk -poziţie bilă
motorului
)()( 333 tlktxk -viteză bilă
motorului )()( 222 tktxk -poziţie unghiulară tijă
motorului
)()( 111 tktxk -viteză unghiulară tijă
motorului
Fig. 3.27.
60
Funcţionarea în timp real a acestei structuri este prezentată în Fig.3.29. Se poate observa că
eroarea staţionară devine mult mai mică şi este obţinută la fel în toate experimentele testate cu
această structură, dar se prelungeşte foarte mult regimul tranzitoriu, deoarece bila nu se va stabiliza
până când nu se obţine o eroare staţionară mică. Totodată se pot observa salturi foarte mari ale
comenzii aplicate, datorate buclei suplimentare.
Cu ajutorul acestei ultime structuri de reglare se poate realiza şi calibrarea poziţiei de “0”
pentru unghiul tijei, deoarece, chiar dacă se stabilizează mai greu bila în poziţia de echilibru, în
momentul când s-a realizat stabilizarea, este de aşteptat ca tija să fie în poziţie orizontală. În acest
moment se afişează pe interfaţa grafică valoarea numerică citită de la sistemul de achiziţie şi
repetând testul pentru mai multe valori ale mărimii de referinţă se obţine o valoare medie cât mai
aproape de realitate. Detectarea poziţiei orizontale a tijei este o problemă destul de importantă
pentru funcţionarea corectă a sistemului.
A,B,C,D
U(t)=-kx(t) L(t)
Fig.3.28.Structura de reglare cu reacţie după variabilele de stare modificată
K1
K2
K3
K4
x1
)(t
x2
)(t x3
)(tl
)(tl
x4
)(tl
refl
Lref=l0
State Feed-back
-
Lref +
L(t) -
PI
0)(
tl 01.0)( tLLref
0 refl
61
Obs:Problema majoră a reacţiei după stare este că nu poate fi în general aplicată în
practică. În primul rând, într-un sistem cu mai multe stări, nu este posibil sau nu este
practic să se măsoare toate stările după care se face reacţia.
În acelaşi timp, reacţia după stare pretinde senzori ideali (cu bandă de frecvenţă
infinită) pentru toate stările măsurate, ceea ce nu este posibil. O altă problemă ar fi că
există stări ce nu sunt variabile fizice ale sistemului şi nu pot fi măsurate. Chiar în
situaţia în care stările ar fi variabile fizice măsurabile, s-ar putea să nu fie tehnologic
posibilă măsurarea lor sau chiar să nu fie rentabilă măsurarea.
În afara problemei măsurării stărilor, fiecare buclă de reacţie după o componentă
de stare ar necesita hardware adiţional (sau software şi CAN complexe în sistemul de
achiziţie) ce ar duce la creşterea costului şi complexităţii sistemului dar şi reducerea
fiabilităţii. Prin defectarea unui traductor de stare s-ar putea ajunge chiar la
pierderea stabilităţii buclei de reglare.
Fig.3.29.Funcţionare în timp real cu destabilizarea bilei
)(tl -poziţie bilă
refl -referinţă poziţie bilă
)(tu -comanda calculată
)(tu -comanda aplicată motorului
histerezis la comutarea de sens
)()( 444 tlktxk -poziţie bilă
motorului
)()( 333 tlktxk -viteză bilă
motorului )()( 222 tktxk -poziţie ungh. tijă
motorului
)()( 111 tktxk -viteză ungh. tijă
motorului
62
4.2 Estimator total de stare
După cum s-a văzut în subcapitolul precedent, sistemul de reglare cu reacţie după
stare, când toate stările sunt măsurabile, este greu de implementat din considerentele
enunţate. O soluţie la această problemă ar fi să încercăm să estimăm stările procesului
şi nu să le măsurăm, lucru care este posibil de realizat în practică datorită faptului că
dispunem în prezent de sisteme cu microprocesoare (echipamente de automatizare)
rapide şi cu putere mare de calcul.
Problema care se pune este că, dacă nu avem acces la măsurarea stărilor
sistemului, în ce măsură este posibil să folosim intrările şi ieşirile din sistem pe care le
măsurăm, pentru estimarea lor.
Luenberger a numit acest estimator „observer” şi a dezvoltat teoria sa. Ideea
constă în faptul că dacă cunoaştem parametrii sistemului se poate simula întotdeauna
modelul pe un calculator numeric. Chiar dacă nu avem acces la stările sistemului,
avem acces total la stările obţinute prin calcul, deci estimate.
Notând cu tx , starea estimată, avem:
0
0
0x avand
0x avand
xtButxAtx
xtButAxtx
Notăm txtxtx ˆ~ eroarea observerului.
0000~tx~ ˆ~0x~ ;~~ xexxxtxAx At
Eroarea observerului definită anterior tinde către zero atât timp cât sistemul
original este stabil sau condiţiile iniţiale ale sistemului şi observerului sunt aceleaşi. În
general nu se cunoaşte starea iniţială a sistemului(procesului). Dacă am cunoaşte
această stare, cunoscând şi parametrii sistemului am putea calcula starea exactă la
orice moment de timp şi în felul acesta am putea face o reglare după starea estimată ce
coincide „aproape” cu starea sistemului. În această situaţie, problema principală ar fi
cunoaşterea stării iniţiale ale sistemului.
Eroarea observerului definită anterior tinde către zero atât timp cât sistemul
original este stabil sau condiţiile iniţiale ale sistemului şi observerului sunt aceleaşi. În
general nu se cunoaşte starea iniţială a sistemului(procesului). Dacă am cunoaşte
această stare, cunoscând şi parametrii sistemului am putea calcula starea exactă la
orice moment de timp şi în felul acesta am putea face o reglare după starea estimată ce
coincide cu starea sistemului. În această situaţie, problema principală ar fi cunoaşterea
stării iniţiale ale sistemului.
Pe lângă problema cunoaşterii stării iniţiale, mai apare o problemă legată de
faptul că modelul matematic caracterizează cu un anumit grad de precizie procesul
real(ce prezintă neliniarităţi în dinamica sa), şi totodată modelul matematic nu este
afectat de perturbaţii.
În condiţiile expuse, estimarea stării se face în circuit deschis şi astfel nu se
foloseşte informaţia oferită de ieşirea sistemului. De aceea este normal să se facă o
63
comparaţie între ieşirea sistemului şi ieşirea estimatorului şi astfel să se implementeze
un mecanism de corecţie a acestei erori care să ducă şi la stabilizarea erorii dinamice
în caz că sistemul este instabil. Acest lucru se face prin introducerea unei matrici L de
reacţie după eroarea de estimare. Ecuaţia estimatorului în circuit închis va fi:
00x ;ˆˆˆ xxCyLtButxAtx T
Ecuaţia de stare a erorii se obţine folosind ecuaţiile de stare ale procesului
tButAxtx şi vom avea:
txCtyLtButxAtButAxtxtxtx T ˆˆˆ~
txLCtxAtxtxLCtxtxAtxCtxCLtxtxA TTTT ~~ˆˆˆˆ
00x~ ;~~ xtxLCAtx T
Prin alegerea adecvată a matricei L astfel încât valorile proprii ale matricei )( TLCA
să poată fi plasate arbitrar în semiplanul complex stâng, problema estimării stării este
rezolvată. Se poate astfel garanta că eroarea estimatorului tinde la zero pentru orice
valoare iniţială.
Proprietatea care este folosită mai sus este duala proprietăţii de controlabilitate şi
se numeşte observabilitate. Ea reprezintă posibilitatea de a estima starea sistemului
cunoscând ieşirea măsurată a sistemului.
În contextul celor de mai sus, observabilitatea se traduce în capacitatea de a plasa
arbitrar valorile proprii ale matricei )( TLCA cu ajutorul matricei L . Observabilitatea
poate fi testată matematic cu ajutorul rangului matricei de observabilitate Q . Dacă
rangul este egal cu n (dimensiunea matricei A ) atunci sistemul este observabil
TnTT ACAACQ 12TT ..........C C
Am afirmat că observabilitatea şi controlabilitatea sunt proprietăţi duale. Prin
aceasta înţelegem că prin transpunerea matricei de controlabilitate P (rangul rămâne
acelaşi) şi înlocuind TA cu A şi B cu TC se obţine matricea de observabilitate Q .
Noţiunea duală stabilizabilităţii se numeşte „detectabilitate”. Spunem că un
sistem este detectabil dacă modurile instabile sunt observabile sau, echivalent,
modurile neobservabile sunt stabile. Ca o consecinţă a dualităţii se poate folosi acelaşi
algoritm ca la calculul matricei k de reacţie după stare:
L=acker opCA TT ,, sau L=place opCA TT ,, (în Matlab), unde prin „op” înţelegem
vectorul în care sunt plasaţi polii doriţi ai observerului. Astfel, vom obţine în cazul
sistemelor monovariabile L ca un vector linie, iar prin transpunerea sa vom obţine
vectorul L necesar (pentru a se putea realiza operaţia xCyL T ˆ ).
Se pot face aceleaşi comentarii despre plasamentul polilor observerului ca la
plasamentul polilor la reacţia după stare.
OBS:
-O specificaţie importantă pe care o facem, este că prin alegerea polilor
observerului, trebuie să obţinem o convergenţă rapidă a procesului de estimare. El
trebuie să fie de câteva ori mai rapid decât procesul de reglare (de minim 3...4 ori)
64
astfel încât estimarea va fi percepută în evoluţia sistemului ca o perturbaţie de scurtă
durată.
-Totodată, dacă polii sunt situaţi departe în semiplanul complex stâng(către
), atunci vom obţine pentru k (matricea de reacţie după stare) şi L(matricea
estimatorului) valori mari ce pot cauza probleme de saturaţie sau chiar instabilitate.
-Plasarea polilor estimatorului departe în semiplanul complex, creşte lărgimea
de bandă a estimatorului şi vom avea probleme cu zgomotele din sistem.
CONCLUZIE:Trebuie mare atentie din partea proiectantului
Starea astfel estimată se poate folosi în locul celei reale pentru realizarea structurii
reglării după stare. Vom avea astfel o reglare după starea estimată, şi schema de
principiu a sistemului de reglare este prezentată în Fig.4.5.
Posibilitatea estimării stării face reacţia după starea estimată o metodă practică
de reglare. Principiul separării ne permite să calculăm matricea k de reacţie după
stare presupunând stările măsurabile şi apoi să proiectăm estimatorul pentru aceste
stări şi să folosim reacţia după stările estimate.
În Fig.4.6 avem schema sistemului de reglare după starea estimată cu ajutorul unui
estimator total, care estimează totalitatea componentelor de stare ale sistemului.
Sistem
A,B,CT,D
Estimator de
stare total -k
Intrare
sistem +
+
Starea
estimată
Ieşire
sistem
Fig.4.5. Schema de principiu a sistemului de reglare cu reacţie după stare şi estimator total
de stare
Ref.
65
În acest context, ecuaţia compensatorului este o combinaţie între reacţia după variabilele de
stare şi observer şi este obţinută ţinând seama că instalaţiei iniţiale i se adaugă ecuaţia ce descrie
estimatorul de stare:
)()(ˆˆˆˆˆ tButxLCtxLCAtxxCyLtButxAtx
tButAxtx
TTT
)(ˆ)(ˆ
ˆ0
tButxLCAtxLCtx
tButxtAxtx
TT
(3.82)
Vectorul de stare al sistemului extins este compus din vectorul
tx
tx
ˆ şi deci sistemul extins va avea
următoarea formă de reprezentare a ecuaţiilor de stare:
tx
txCty
tuB
B
tx
tx
LCALC
A
tx
tx
T
TT
ˆ0
ˆ
0
(3.83)
Sistemul extins(proces +estimator) va fi reprezentat de matricile de stare extinse:
0C ; B; 0
T
ee
T
TTe CB
B
LCALC
AA
(3.84)
Considerăm reacţia după starea estimată de forma txktu ˆ , ceea ce înseamnă că reacţia după
starea extinsă va fi obţinută prin vectorul kke 0 . În această situaţie, se poate observa că
vectorul de reacţie după stare rezultant ek nu a fost calculat astfel încât să plaseze polii pentru
matricea rezultantă eA , ci numai pentru A şi astfel se poate observa, că deşi BkA şi TLCA
B Integrator
C
T y(t) x(t) tx u(t) R(t)
+
x(0)
A
+
+
L
Integrator CT
B
A
0x
tx tx +
+
+
-k
+
-
ty
Fig.4.6.Structura de reglare cu reacţie după stare şi estimator total de stare
+ )(tuk
66
sunt stabile(din proiectare), matricea compensatorului poate fi instabilă. Principalele probleme
legate de compensatoarele bazate pe observer sunt robusteţea scăzută, adică o mare sensibilitate la
variaţiile parametrilor sau la incertitudini în ceea ce priveşte valoarea lor, deoarece întreaga teorie se
bazează pe faptul că se cunoaşte un model cât mai exact al instalaţiei (ca urmare a identificării cât
mai precise a procesului), adică reprezentarea DCBA T ,,, .
Dacă modelul procesului diferă mult de cel real, atunci funcţionarea sistemului va fi departe de
ceea ce prevedem. De asemenea, astfel de bucle de reglare au margini reduse de stabilitate şi duc la
compensatoare destul de complexe.
Punând txktRtu ˆ)( vom obţine ecuaţiile care descriu funcţionarea în circuit închis a
sistemului:
txktRtu
tx
txCty
tRB
B
tx
tx
LCBkALC
BkA
tx
tx
T
TT
ˆ)(
ˆ 0
ˆ
(3.85)
În acest fel rezultă următoarea reprezentare de stare a sistemului de reglare în circuit închis, cu
precizarea că avem k -vector linie şi L- vector coloană:
0;; 000
TT
TTCC
B
BB
LCBkALC
BkAA
(3.86)
Comparativ cu cazul ideal, când presupuneam accesul(prin măsurare) la toate stările sistemului
aveam o structură mult mai simplificată: TT CCBBkBAA 000 ];[; (3.87)
Ecuaţiile (3.85) au următoarea reprezentare de stare compactă a sistemului de
reglare în circuit închis:
00
)(0
T
T
C
B
B
LCBkALC
BkA
sH
În comparaţie cu cazul ideal, când presupuneam accesul la toate stările sistemului,
aveam o structură mult simplificată:
0)(0 TC
BBkAsH
Analiza cu funcţii de transfer
Ecuaţia compensatorului, o combinaţie între reacţia de stare şi observer, este
obţinută ţinând seama că instalaţiei iniţiale i se adaugă ecuaţia ce descrie estimatorul
de stare. Conform formulei obţinute în subcapitolul anterior în legătură cu funcţia de
transfer a regulatorului sHR - clasic, calculat încât sistemul să se comporte identic în
regim tranzitoriu cu sistemul cu reacţie după stare, vom avea:
1)()(
11
1T
ee
ee
R
e
T
ee
RCk
BA
sHBsCK
sH unde 1
eAsIs
67
Continuarea exemplului „Ball on Beam” Implementarea la nivel de simulare în Matlab s-a realizat alegând pentru polii sistemului cu
reacţie după stare locaţiile din relaţiile (3.73) vectorul de reacţie după stare k din(3.74):
p1 = -11
p2 = -0.80000000000000 + 0.81616324897633i (3.88)
p3 = -0.80000000000000 - 0.81616324897633i
p4 = -5
k =
-11.58147071800683 8.91810664681767 -2.18244222374010 -2.32095517955238
Ţinând cont ca procesul de estimare să fie de minim 3..4 ori mai rapid decât procesul de
reglare, am considerat timpul de răspuns al estimatorului sec5.010
sec5
10__ estr
restr t
tt , unde
sec5rt a fost considerat ca parametru de proiectare pentru timpul de răspuns al sistemului cu
reacţie după stare. Considerând 84
)Re(4
_
_
_
_ estr
estnest
estnest
estrt
pt
şi pentru
7.0est vom avea configuraţia polilor complex conjugaţi dominanţi ai estimatorului sub forma
-8+8i, respectiv -8-8i. Ceilalţi poli vor fi plasaţi în semiplanul complex stâng astfel încât efectul lor
să fie neglijabil:
pest1 = -150
pest2 = -8 + 8i (3.89)
pest3 = -8 - 8i
pest4 = -90
Folosind funcţia din mediul Matlab „L=place(A',C,[pest1,pest2,pest3,pest4])” se
obţin următoarele valori pentru vectorul L al observerului:
L = 1.0e+006 *
-2.11382754742813 0.01557209206114 0.01012721179395 -0.00006503550968 (3.90)
Prin prelucrare cu mediul Matlab, configuraţia polilor sistemului în circuit închis cu reacţie
după variabilele de stare estimată şi estimator total de stare, conform sistemului din relaţia (3.85),
este o configuraţie de sistem stabil:
cofiguratia_polilor_K_L =
-150.000000000000 <----------------pol estimator
-90.000000000000 <----------------pol estimator
-7.999999999999 + 0.07.999999999999i <----------------pol estimator
-7.999999999999 - 0.07.999999999999i <----------------pol estimator
-10.999999999996 <--------------------pol reacţie după stare
-5.000000000016 <--------------------pol reacţie după stare
-0.799999999996 + 0.00816163248983i <--------------------pol reacţie după stare
-0.799999999996 - 0.00816163248983i <--------------------pol reacţie după stare
În continuare s-a realizat o simulare prin integrarea ecuaţiilor de stare ale sistemului în
circuit închis cu reacţie după variabilele de stare şi estimator total de stare, din relaţia (3.85),
folosind funcţia din Matlab “ode45” unde s-au considerat condiţii iniţiale diferite pentru starea
estimată şi cea reală(starea reală este cea provenită din modelul matematic al procesului). Codul
pentru integrarea ecuaţiilor este:
68
x0=[0.1;0.17;0.3;0.02; 0;0;0;0]; ecdif_bila=@(t,x)((A0*x)+B0); [tek,yek]=ode45(ecdif_bila,[0,10],x0);
În Fig.3.32, Fig.3.33, Fig.3.34, Fig.3.35, se prezintă rezultatele simulării:
x1-proces
x1-estimat
Fig.3.32.Estimarea stării x1 – viteză unghiulară tijă
sec5.0_ estrt
69
Fig.3.34.Estimarea stării x3 – Viteză bilă
x3-proces
x3-estimat
sec5.0_ estrt
Fig.3.33.Estimarea stării x2 – poziţie unghiulară tijă
x2-estimat
x2-proces
sec5.0_ estrt
70
În Fig.3.32, Fig.3.33, Fig.3.34, Fig.3.35, se prezintă la nivel de simulare în mediul Matlab evoluţia
mărimilor de stare 1x -viteză unghiulară tijă, 2x -poziţie unghiulară tijă, 3x -viteză bilă, 4x -poziţie
bilă, la variaţia treaptă a mărimii de referinţă 2.0 refl [m], conform structurii de reglare cu reacţie
după starea estimată din relaţia (3.85). Se poate observa pentru toate cele 4 mărimi de stare că stările
estimate converg către stările procesului(la nivel de model matematic) şi totodată timpul de răspuns
al procesului de estimare este apropiat de valoarea proiectată sec5.0_ estrt . Comparativ cu timpul
de răspuns al reacţiei după stare de aproximativ sec5rt , se poate considera, cel puţin la nivel de
simulare că procesul de estimare este perceput în dinamica structurii de reglare ca o perturbaţie de
scurtă durată.
Fig.3.35.Estimarea stării x4 – poziţie bilă
x4-proces
x4-estimat
sec5.0_ estrt
71
În Fig.3.36. este prezentat la nivel de simulare în mediul Matlab al funcţionării structurii
sistemului folosind reacţia după starea estimată(estimator total) plecând din aceleaşi condiţii iniţiale.
În continuare, pentru a vedea cu adevărat cum funcţionează bucla de reglare cu reacţie după
stare cu estimator total pornind din condiţii iniţiale diferite pentru stările modelului matematic al
procesului şi stările estimate, s-a realizat o simulare a structurii în circuit închis cu reacţie după
Fig.3.36.Simularea funcţionării structurii sistemului folosind reacţia după starea estimată
(estimator total) plecând din aceleaşi condiţii iniţiale
72
starea estimată folosind mediul de dezvoltare Labwindows/CVI_8.1, iar răspunsurile sunt prezentate
în Fig.3.37. şi Fig.3.38
Fig.3.37.Simularea funcţionării structurii sistemului folosind reacţia după starea măsurată şi
în paralel se calculează şi evoluţia stărilor cu estimator total plecând condiţii iniţiale diferite
73
4.3 Estimator de stare parţial
Estimatorul proiectat anterior are acelaşi ordin ca şi sistemul şi îl vom numi
estimator de ordin maxim(sau total). Dacă sistemul are n stări din care m sunt
măsurabile, pare inutil să estimăm stările cunoscute. Teoretic, este necesară estimarea
stărilor nemăsurate. De aici rezultă un observer )( mn dimensional, introdus prima
oară de Luenberger în 1964, numit observer de ordin redus. Acest tip de compensator
duce la proiectarea unor regulatoare mai simple şi mai economice, iar beneficiile sunt
cu atât mai mari cu cât numărul stărilor măsurate este mai mare.
Pentru proiectarea unui asemenea tip de observer începem prin definirea subsetului
z al stărilor nemăsurabile în număr de )( mn şi a unei transformări liniare T astfel că
z=Tx, unde n (n-m)(T) dim iar (n-m)(z) 1dim unde matricea de transformare este
orice matrice pentru care ET
C
mn
m T
este nesingulară. Definim inversa matricei
E de dimensiune nxn: MPE 1 dacă mrangCT . Combinând y cu z, vom obţine:
MzPyz
yMP
z
y
T
Cxx
T
C
z
y TT
1
(4.10)
Fig.3.38.Continuarea la o rezoluţie de afişare mult mai mică a graficului anterior
74
Cu aceste operaţii am reuşit să exprimăm starea reală a sistemului în funcţie de
ieşirile (STARILE)măsurate şi de stările nemăsurate. În acest mod, starea estimată va
fi o combinaţie între starea măsurată (y(t)) şi o estimare a stărilor nemăsurabile tz
zMPyx ˆˆ
De aceea, pentru a estima pe x, tot ce avem de făcut este să estimăm pe z, lucru
posibil în momentul în care îi cunoaştem dinamica, adică ecuaţia diferenţială ce
generează comportamentul lui z. Se poate obţine o ecuaţie diferenţială înmulţind la
stânga cu E ecuaţia diferenţială a lui x:
tEButEAxtxE
BuT
C
z
yMPA
T
CBu
T
CAx
T
C
z
yx
T
CxE
TTTTT
uB
B
z
y
AA
AAu
TB
BC
z
y
TAMTAP
AMCAPC
z
y TTT
2
1
2221
1211
Obţinem:
uB
B
z
y
AA
AA
z
y
2
1
2221
1211
Ecuaţia diferenţială corespunzătoare lui z va fi:
ubyAzAz 22122
Pornind de la ecuaţia de mai sus se proiectează după metoda cunoscută cu observer
de ordin maxim pentru z. Practic, se copiază ecuaţia diferenţială pentru z, se
înlocuieşte z prin
z şi se adaugă un termen pentru corecţie:
xCyLubyAzAz T ˆˆˆ22122
Prima paranteză conţine termeni cunoscuţi şi se consideră ca intrare în observer, iar a
doua paranteză reprezintă corecţia ce stabilizează eroarea observerului.
Se face observaţia că 0C ;C TT1
MIPMP
T
CIEE
T
Deci, vom avea:
00ˆˆˆ yyzMCPyCyzMPyCyxCy TTTT
75
Se observă că, de fapt, termenul de corecţie nu produce nici un fel de corecţie. De
aceea se va încerca o corecţie după derivata ieşirii care, teoretic, dacă y este
măsurabilă, este şi ea măsurabilă.
Ecuaţia diferenţială pentru y este şi ea disponibilă sub forma: tubtzAtyAty 11211
Grupând toate mărimile cunoscute de o parte şi folosindu-le ca ieşiri din observer
pentru termenul de corecţie, vom obţine ecuaţia observerului de ordin redus:
uBzAyAy
yyLuByAzAz
11211
22122
ˆˆ
ˆˆˆ
Deci vom avea:
uBzAyAyLuByAzAz 1121122122ˆˆˆ
ˆˆ1211211222 yLuLBByLAAzLAAz (4.11)
Pentru a arăta că acest observer funcţionează bine, vom studia ecuaţia care
generează evoluţia sistemului în erori:
]ˆˆ~121121122222122
yLuLBByLAAzLAAuByAzAzzz
uBzAyALuLBByLAAzLAAuByAzAz 11211121121122222122ˆ~
Rezultatul final va fi:
zLAAz ~~1222
Problema care se pune este dacă matricea L(de la sisteme multivariabile) sau
vectorul L (la sisteme monovariabile) poate plasa valorile proprii ale observerului
arbitrar sau măcar stabiliza sistemul în erori (sistemul de ecuaţii diferenţiale în z~ ).
Luenberger a arătat că observabilitatea perechii ACT , este echivalentă cu
observabilitatea perechii 2212, AA . Deci, prin dualitate, L se poate alege să plaseze
valorile proprii ale sistemului în erori arbitrar în planul complex.
Se poate utiliza comanda Matlab->place : OPAAplaceL ,, 1222
Se poate elimina termenul y din ecuaţia estimatorului, observând că:
uLBByLAAzLAAyLz 1211211222ˆˆ
Se face schimbarea de variabilă: Lyzw ˆ şi se obţine ecuaţia:
uLBByLAALyLAALyLAAzLAAw 121121122212221222
ˆ
76
uLBByLAALLAAwLAAw 12112112221222
Notăm:
1222 LAAF
1121 LAAFLD
12 LBBG
Astfel obţinem ecuaţia:
GuDyFww
Considerand: -z dconsideran si ;MzPyx mărimile de stare estimate vom avea:
MwyMLPLywMPyzMPyx
Notând MLPN , vom avea: NyMwx ˆ
Obs.:Din ecuaţia de mai sus se poate observa că măsurătorile apar direct la ieşirea
observerului: NyMwx ˆ şi deci zgomotul de măsură trece de observer. În felul
acesta este bine să alegem cu grijă observerul în cazul în care zgomotul de măsură
devine o problemă.
După această prezentare se vor reliefa etapele de proiectare a observerului de ordin
redus.
În primul rând se foloseşte o reacţie după starea estimată de forma: xku ˆ , dar în
care x nu este starea estimată în totalitate, şi este sub forma următoare: zMPyx ˆˆ , cu
1
T
CMP
T
în care z este vectorul ce se estimează, de dimensiuni evident mai
mici decât x .
Ecuaţia dinamicii stării estimate este:
yLuLBByLAAzLAAz 1211211222ˆˆ
Pentru ca să nu apară derivata ieşirii se face o nouă transformare de stare de forma:
Lyzw ˆ , din care rezultă o dinamică de forma:
GuDyFww
1211211222 bG ;AFLD ; LbLALAAF
TAMTAP
AMCAPC
AA
AA TT
2221
1211
Starea estimaă x după care se face reacţia va fi:
77
MLP ;ˆ NNyMwx
Schema de reglare cu reacţie după starea estimatorului de ordin redus va fi prezentată
în Fig.4.7.
S-este un bloc de adaptare pentru mărimea de referinţă.
Analiza cu funcţii de transfer.
La fel ca în subcapitolele precedente, vom calcula matricile de stare ale sistemului
global (cu observer) în circuit închis, după care vom găsi funcţia de transfer a
regulatorului echivalent.
Ecuaţiile sistemului în circuit închis cu estimator redus de stare sunt următoarele:
xCy
NyMwx
xkSru
GuDyFww
buAxx
T
ˆ
ˆ
Făcând toate înlocuirile în sistemul de sus, adică:
S
Instalaţia
tehnologică
A,b,CT,d
r + u y
D
K
N
G
M
Integrator
+
+
+ +
+
w
0w
w
x
Fig.4.7
F
78
xBkBSrAxx ˆ BkNyBkMwBSrAxx
BkMwBSrxBkNCAxx T
BSrBkMwxBkNCAx T
xGkGSrxDCFww T ˆ
xGkNCGkMwGSrxDCFww TT
GSrwGkMFxGkNCDCw TT
Obţinem următorul sistem de ecuaţii în circuit închis:
xCy
GSrwGkMFxGkNCDCw
BSrBkMwxBkNCAx
T
TT
T
Sistemul de mai sus se poate scrie în formă matriceală:
w
xCy
rGS
BS
w
x
GkMFGkNCDC
BkMBkNCA
w
x
T
TT
T
0
În continuare vom calcula expresia regulatorului clasic ce conduce la acelaşi
răspuns. Instalaţia extinsă, adică instalaţia iniţială + observerul de ordin redus va fi:
xCy
GuxDCFww
buAxx
T
T
Din sistemul de sus scris în formă matriceală:
xCy
uG
B
w
x
FDC
A
w
x
T
T
0
Se pot identifica matricile extinse în circuit deschis (care cuprind instalaţia
tehnologică şi estimatorul parţial).
79
0D ;0C ;B ;0
eee
T
Te CG
B
FDC
AA
Funcţia de transfer a regulatorului se va calcula după formula din subcapitolul
anterior:
1
1 e
T
e
R
BsCksH
Ca şi la estimatorul total de stare, operaţia de estimare este percepută ca o
perturbaţie de scurtă durată în evoluţia procesului. În mod normal, la estimatorul
redus, timpul estimării ar trebui să fie mai scurt decât în cazul estimatorului total, dar
nu este obligatoriu.
4.4.Metoda directa de calcul a matricii de reactie dupa stare
Există mai multe modalităţi pentru calculul matricei k de reacţie după stare. În
primul rând trebuie specificat faptul că reacţia după stare nu duce la mărirea ordinului
sistemului în circuit închis faţă de cel în circuit deschis. Dacă ordinul sistemului este
n, atunci putem alege n valori (reale sau complexe) pentru polii funcţiei de transfer în
circuit închis. Acestea vor duce la ecuaţia caracteristică dorită pentru sistemul în
circuit închis de forma:
01
1
10 ....)(
n
n
n
Ap (4.12)
O metodă simplă constă în modificarea modelului procesului, prin schimbarea bazei
realizării de stare, definită printr-o matrice P : *Pxx (4.13)
astfel încât se obţine o nouă reprezentare de stare sub o formă canonică standard
controlabilă pentru sistemul în circuit deschis(procesul), ca în relaţia:
)()(
)()()(
)()(
)()()(
**
****
txCty
tuBtxAtx
tCxty
tButAxtx (4.14)
în care: A*=P
-1AP, B
*=P
-1B, C
*=CP,
În continuare folosim relaţiile cunoscute pentru forma canonică companion
standard controlabilă a realizării de stare pentru o funcţie de transfer în cazul general,
considerând coeficientul 1na , de forma:
1,)(
)(
...
...
)(
)()(
01
01
nn
n
n
n asU
sY
asasa
bsbsb
sN
sMsH
80
,
...
10...000
01...000
..................
00...100
00...010
12310
*
nn aaaaa
A
1
0
...
0
*B (4.15)
Sub această formă, apar pe ultima linie a matricei A*, coeficienţii polinomului
caracteristic pA(λ) corespunzători şi matricei A(deoarece cele 2 transformări sunt
echivalente, adică caracterizează acelaşi proces), ale cărui rădăcini sunt valorile
proprii ale sistemului iniţial:
01
1
1 ....)det()( aaaAIp n
n
n
A
(4.16)
În cazul structurii cu reacţie după stare, comanda aplicată sistemului este dată de
relaţia:
*kPxRu (4.17)
sau sub forma:
**xkRu (4.18)
expresii în care k şi k*=kP reprezintă vectori liniari, iar în cazul unui sistem real cu
ecuaţiile de stare exprimate cu stări liniarizate în variaţii faţă de un punct staţionar de
funcţionare )()( 0 txXtx , avem: **0 xkuRdorit .
Înlocuind relaţia (4.18) în relaţia (4.14), sistemul devine în circuit închis şi este
descris de ecuaţiile:
),()()()()()()()( ************ tRBtxkBAtxtxktRBtxAtx (4.19)
ecuaţie ce pune în evidenţă matricea A*-B
*k* ce caracterizează regimul liber.
Notându-se cu:
k*=[k*
1,k*
2,…,k*
n ], (4.20)
se obţine:
,
...
10...000
01...000
..................
00...100
00...010
1
*
2
*
13
*
31
*
20
*
1
***
nnnn akakakakak
kBA
matrice care admite polinomul caracteristic următor:
*
10
*
21
1*
1 )(....)()(*** kakakap n
nn
n
KBA
(4.21)
Astfel se pot impune valorile dorite pentru polii sistemului în circuit închis, cea ce se
reduce la impunerea coeficienţilor i ai polinomului din (4.12),
01
1
10 ....)(
n
n
n
Ap , după care, prin echivalenţa celor două polinoame
caracteristice )(*** kBA
p
şi )(0 Ap , prin identificarea coeficienţilor, se obţin relaţiile:
81
*
11
*
122
*
211
*
100
nnn
nnn
ka
ka
ka
ka
(4.22)
de unde rezultă factorul de amplificare k* de forma :
)](,),(),[( 111100
*
nn aaak (4.23)
sau pentru sistemul iniţial k, fără formă canonică:
1* Pkk (4.24)
O metodă destul de folosită de analiză şi sinteză a SRA liniare fără timp mort
este metoda locului rădăcinilor. Prin modificarea poziţiei rădăcinilor polinomului
caracteristic în planul complex se pot obţine performanţele dorite pentru o structură
dată de sistem de reglare automată(SRA). Practic, prin modificarea valorilor unor
parametrii ai sistemului de reglare, se asigură diferite poziţionări ale rădăcinilor
polinomului caracteristic şi deci se ajustează performanţele. Astfel, metoda locului
rădăcinilor oferă un procedeu simplu de stabilire a rezultatului modificării unui
anumit parametru al SRA liniar asupra spectrului polinomului său caracteristic,
conducând la câte un loc geometric pentru fiecare rădăcină. Pentru a construi locul
rădăcinilor, considerăm un SRA-liniar şi continuu al cărei funcţie de transfer pe calea
directă este de forma:
)(
)()(
2
1
sP
sPKsH dd (4.25)
Funcţia de transfer în circuit închis corespunzătoare unei structuri cu reacţie negativă
unitară este:
)()(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(1
)()(
12
1
2
1
2
1
0sPKsP
sPK
sP
sPK
sP
sPK
sH
sHsH
d
d
d
d
d
d
(4.26)
Polinomul caracteristic al sistemului în circuit închis devine:
)()()( 12 sPKsPsP d (4.27)
În această abordare, polii sistemului în circuit închis sunt rădăcinile următoarei ecuaţii
caracteristice, ceea ce arată că amplificarea dK de pe calea directă, afectează
rădăcinile polinomului caracteristic:
0)()( 12 PKP d (4.28)
Prin definiţie, locul rădăcinilor reprezintă ansamblul locurilor geometrice descrise în
planul variabilei complexe “s” de rădăcinile ecuaţiei caracteristice din relaţia (4.28),
atunci când factorul de amplificare pe calea directă dK , în raport cu care se face
analiza sau sinteza SRA, variază, luând valori într-un domeniu specificat. Pentru
82
0dK , rădăcinile ecuaţiei (4.28) sunt rădăcinile polinomului )(2 P , care sunt aceleaşi
cu polii sistemului în circuit deschis. Dacă amplificarea dK este foarte mare )( dK ,
rădăcinile ecuaţiei caracteristice coincid cu zerourile sistemului în circuit
deschis(zerourile funcţiei de transfer )(sHd ). Astfel, atunci când dK este crescut de la
0 la , locul rădăcinilor este iniţiat de polii pj ai sistemului în circuit deschis şi se
termină în zerourile zi ale sistemului în circuit deschis.
Locul rădăcinilor permite analiza stabilităţii SRA, aprecierea informativă a
calităţii SRA, şi determinarea aproximativă a răspunsului la diverse semnale de
intrare. Stabilitatea unui SRA liniar poate fi analizată prin poziţia rădăcinilor ecuaţiei
caracteristice în raport cu frontiera domeniului de stabilitate(axa imaginară). Dacă
pentru o valoare dată a parametrului Kd rădăcinile polinomului caracteristic sunt în
semiplanul complex stâng C , spunem că sistemul este asimptotic stabil. Ţinând
seama de incertitudinile ce caracterizează modelul procesului şi în consecinţă şi
valorile parametrilor de acord ai regulatorului, se consideră o frontieră de stabilitate
modificată cu dreapta d paralelă cu axa imaginară ca în Fig.4.8
Valoarea a este stabilită de proiectant în funcţie de aplicaţia concretă, în
funcţie de gradul de adecvanţă al modelului matematic al procesului la realitate.
Pornind de la definiţia locului rădăcinilor şi ţinând seama de importanţa informaţiei
de factură calitativă asupra regimurilor libere ale SRA oferite în faza de analiză, locul
rădăcinilor poate fi utilizat pentru rezolvarea unor probleme de proiectare formulate
astfel:
Dându-se modelul matematic al obiectului condus şi indicatorii de calitate
impuşi SRA, se cere determinarea structurii SRA şi a parametrilor algoritmului de
reglare(regulatorului) care asigură cerinţele impuse.
În cele mai multe aplicaţii, locul rădăcinilor oferă informaţii dacă rădăcinile
polinomului caracteristic pot fi plasate într-un domeniu al planului complex numit
„domeniu admisibil”. În cazul sistemelor continue, domeniul admisibil rezultă din
intersecţia a 3 domenii, ca în Fig.4.9.
Considerând un sistem de ordinul doi: 22
2
2)(
nn
n
sssH
cu factorul de
amortizare 1,0 , rădăcinile ecuaţiei caracteristice şi evident polii sistemului sunt:
jω
σ
C-
C+
Fig.4.8.Domeniul admisibil de
plasare a polilor sistemului
d
a
83
dnn jjp 2
2,1 1 (4.29)
unde d , sunt partea reală, respectiv partea imaginară a celor 2 poli complex
conjugaţi.
Semnificaţia fizică a parametrilor d ,,, se poate pune în evidenţă folosind
răspunsul indicial al sistemului de ordinul II, sub forma:
)sin(1)(
tety d
t
d
n unde )cos( şi 21)sin( (4.29)
Ţinând cont de relaţia (4.29) se poate considera că frecvenţa de oscilaţie a răspunsului
este dată de partea imaginară a polilor d , prin termenul )sin( td . Anvelopa
oscilaţiilor este dată de partea reală a polilor , prin termenul te .
Considerând ca parametrii de performanţă pentru răspunsul indicial
suprareglajul, timpul de răspuns, numărul maxim de oscilaţii până se stabilizează
răspunsul, se poate stabili un „domeniu admisibil” pentru plasarea rădăcinilor
polinomului caracteristic al sistemului.
Astfel, pentru .ct şi n variabil, locul rădăcinilor este format din 2
semidrepte situate în C şi care pornesc din origine(notate d şi 'd în Fig.4.10)
simetrice cu axa reală. Considerând relaţia pentru calculul suprareglajului în cazul
răspunsului indicial 21
ejsupraregla , se obţine în cazul limitării valorii
suprareglajului la maxim %5 , o valoare minimă a factorului de amortizare 7.0 . În
condiţiile acestea, cele 2 drepte d şi 'd din Fig.4.10 sunt dreptele pentru 7.0 .
Timpul de răspuns al sistemului de ordinul II este dat în cazul răspunsului
indicial de relaţia n
rt
4 , ceea ce înseamnă că pentru impusrr tt _ , avem că partea reală
a polilor an unde impusr
at _
4 şi este reprezentat de dreapta d din Fig.4.8.
Numărul de oscilaţii până când se stabilizează răspunsul sistemului este dat de
frecvenţa d din relaţia (4.29). Dacă impunem ca răspunsul să se stabilizeze într-un
Im(p)
Re(p)
C-
C+
Fig.4.9.Poziţionarea polilor complex conjugaţi ai sistemului de ordinul II
ωn
-ωn
n
d
0
1
1
84
număr n-maxim de oscilaţii, vom avea valabilă relaţia d
oscimpusr nTnt
2_ , de unde
obţinem o valoare maximă pentru frecvenţa de oscilaţie M
impusr
impusddt
n
_
_
2,
obţinându-se 2 semidrepte paralele cu axa reală situate în C (notate d şi 'd în
Fig.4.10).
În această abordare, domeniul admisibil poate fi definit astfel:
-semiplanul situat în stânga dreptei d care este definită de parametrul a ce
reprezintă “abscisa de amortizare absolută”
-punctele de pe laturile şi interiorul unghiului format de semidreptele d şi 'd
definite de valoarea minimă admisibilă a factorului de amortizare .
-fâşia din semiplanul Re(s)<0, delimitată de semidreptele d şi 'd împreună cu
punctele de pe acestea asociate cu pulsaţia M , care asigură limitarea superioară a
frecvenţei de oscilaţie a componentelor sinusoidale ale răspunsului indicial.
Prin delimitarea acestui domeniu se asigură satisfacerea unor cerinţe de
performanţă cum ar fi suprareglajul, gradul de amortizare, şi durata regimului
tranzitoriu.
Revenind la reacţia după variabilele de stare, proiectarea folosind metoda
locului rădăcinilor se realizează prin considerarea unei funcţii de transfer în circuit
închis cu 2 poli complex conjugaţi care poate duce la răspunsul tranzitoriu dorit. Se
poate aplica şi în cazul reacţiei după stare o variantă a acestei metode, adică se
selectează în planul complex o pereche de poli compecşi conjugaţi care să satisfacă
specificaţiile răspunsului tranzitoriu, şi restul de (n-2) poli se aleg reali în
semiplanul complex stâng şi depărtaţi de originea planului complex, astfel încât
influenţa lor în răspunsul tranzitoriu să fie neglijabilă.
jω
σ
σa
C-
C+
Fig.4.10.Domeniul admisibil pentru plasarea rădăcinilor polinomului caracteristic
jωM
-jωM
dξ
dξ’
dω
dω’
dσ
Top Related