Primul punct al lui Brocard al unui triunghi

Propoziție: Dacă A', B', C' cunt trei puncte pe laturile BC, AC respectiv AB ale

triunghiului ABC, atunci cercurile circumscrise ∆A'B'C', ∆BC'A', ∆CA'B' sunt concurente în

B1 primul punct al lui Brocard.

Demonstrație: Fie B1 și A' punctele de intersecție ale cercurilor circumscrise ∆BA'C' și ∆CA'B'. Să arătăm că partulaterul AB'B1C' este inscriptibil.

Fie X pe dreapta A'B1 astfel încât B1 să aparțină segmentului A'X. Deoarece

patrulaterele BA'B1C' și CB'B1A' sunt inscriptibile avem:

𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴′𝐴𝐴1𝑋𝑋); 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝑚𝑚(∢𝑋𝑋𝐴𝐴1𝐴𝐴′).

Calculăm în patrulaterul AC'B1B' suma măsurilor unghiurilor opuse:

𝑚𝑚(∢𝐴𝐴) + 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴′𝐴𝐴1𝐴𝐴′) = 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) + 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴′𝐴𝐴1𝑋𝑋) + 𝑚𝑚(∢𝑋𝑋𝐴𝐴1𝐴𝐴′) =

= 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) + 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) + 𝑚𝑚∢(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) = 180°.

Rezultă că cercul circumscris ∆AB'C' trece prin B1.

A'

C' B1

B'X

A

B

C

Primul punct al lui Brocard