Punctul Lui Brocard
1
Primul punct al lui Brocard al unui triunghi Propoziție: Dacă A', B', C' cunt trei puncte pe laturile BC, AC respectiv AB ale triunghiului ABC, atunci cercurile circumscrise ∆A'B'C', ∆BC'A', ∆CA'B' sunt concurente în B1 primul punct al lui Brocard. Demonstrație: Fie B 1 și A' punctele de intersecție ale cercurilor circumscrise ∆BA'C' și ∆CA'B'. Să arătăm că partulaterul AB'B1 C' este inscriptibil. Fie X pe dreapta A'B1 astfel încât B1 să aparțină segmentului A'X. Deoarece patrulaterele BA'B1 C' și CB'B1 A' sunt inscriptibile avem: (∢ )= (∢′ 1 ); (∢)= (∢ 1 ′). Calculăm în patrulaterul AC'B1 B' suma măsurilor unghiurilor opuse: (∢)+ (∢′ 1 ′)= (∢ )+ (∢′ 1 )+ (∢ 1 ′)= = (∢ )+ (∢ )+ ∢() = 180°. Rezultă că cercul circumscris ∆AB'C' trece prin B1 . A' C' B 1 B' X A B C Primul punct al lui Brocard
-
Upload
alexandra-dima -
Category
Documents
-
view
31 -
download
0
description
Primul Punct Al Lui Brocard
Transcript of Punctul Lui Brocard
Primul punct al lui Brocard al unui triunghi
Propoziție: Dacă A', B', C' cunt trei puncte pe laturile BC, AC respectiv AB ale
triunghiului ABC, atunci cercurile circumscrise ∆A'B'C', ∆BC'A', ∆CA'B' sunt concurente în
B1 primul punct al lui Brocard.
Demonstrație: Fie B1 și A' punctele de intersecție ale cercurilor circumscrise ∆BA'C' și ∆CA'B'. Să arătăm că partulaterul AB'B1C' este inscriptibil.
Fie X pe dreapta A'B1 astfel încât B1 să aparțină segmentului A'X. Deoarece
patrulaterele BA'B1C' și CB'B1A' sunt inscriptibile avem:
𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴′𝐴𝐴1𝑋𝑋); 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) = 𝑚𝑚(∢𝑋𝑋𝐴𝐴1𝐴𝐴′).
Calculăm în patrulaterul AC'B1B' suma măsurilor unghiurilor opuse:
𝑚𝑚(∢𝐴𝐴) + 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴′𝐴𝐴1𝐴𝐴′) = 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) + 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴′𝐴𝐴1𝑋𝑋) + 𝑚𝑚(∢𝑋𝑋𝐴𝐴1𝐴𝐴′) =
= 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) + 𝑚𝑚(∢𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) + 𝑚𝑚∢(𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴) = 180°.
Rezultă că cercul circumscris ∆AB'C' trece prin B1.
A'
C' B1
B'X
A
B
C
Primul punct al lui Brocard
