8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
1/130
Dreptul de copyright:
Cartea downloadata de pe site-ul http://www.mateinfo.ro/ nu poate fi publicata pe unalt site si nu poate fi folosita in
scopuri comerciale fara specificarea sursei si acordul autorului
Adrian Stan
http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/http://www.mateinfo.ro/8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
2/130
1. Multimea numerelor reale
1.. Scrierea in baza zece :
abcd =a10 3 +b 10 2 +c 10+d
a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitatilor;
a,efg =a10+e 10 1 +f 10 2 +g 10 3 = =a 10+e0.1+f0.01+g0.001
e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.
2. Fractii
-Fractii zecimale finite: a,b = ab 10 ; a,bc = abc 100 ;
-Fractii zecimale periodice:- simple: a,(b) = ab a 9 ; a,(bc) = abc a 99 ;
mixte: a,b(c) = abc ab 90 ; a,b(cd) = abcd ab 990 ;
3.. Rapoarte si proportii
a b se numeste raportb0; a b = an bn =k, nQ * ,
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
3/130
k se numeste coeficient de proportionalitate ;
Proprietatea fundamentala a proportiilor:
a b = c d ad=bc
4. Proportii derivate :
a b = c d{ b a = d c sau d b = c a sau a c = b d a ab = c cd sau ab b = cd d a b= a+c b+d sau a b = ac bd sau a 2 b 2 = c 2 d 2 .
5. Sir de rapoarte egale : a 1 b 1 = a 2 b 2 =.........= a n b n = a 1 + a 2 + a 3 +....+ a n b 1 + b 2+ b 3 +.....+ b n ; ( a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i( b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt direct
proportionalea 1 b 1 = a 2 b 2 =..= a n b n =k .
( a 1 , a 2 , a 3 ,...... a n )i( b 1 , b 2 , b 3 ,.... b n ) sunt invers
proportionale a 1 b 1 = a 2 b 2 =..= a n b n
6. Modulul numerelor reale Proprietati: | a | def { a, a0 0, a=0a, a0
1. | a |0,aR ; 2. | a |=0,a=0 ;
3. | a |=| a |, aR ; 4. | a |=| b |,a=b ;
5. | ab |=| a || b | ; 6. | a b |= | a | | b | ;
7. | | a || b | || ab || a |+| b | ;
8. | x |=a,x=a, a0 ;
9. | x |a, x[a,a], a0 ;
10. | x |a,x[,a][a,+], a0 .
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
4/130
7. Reguli de calcul in R
1. ( a+b ) 2 = a 2 +2ab+ b 2 ;
2. ( ab ) 2 = a 2 2ab+ b 2 ;
3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;
4. ( a+b+c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab+2bc+2ca
5. ( a+b ) 3 = a 3 +3 a 2 b+3a b 2 + b 3 ;
6. ( ab ) 3 = a 3 3 a 2 b+3a b 2 b 3 ;
7. a 3 b 3 =(ab)( a 2 +ab+ b 2 ) ;
8. a 3 + b 3 =(a+b)( a 2 ab+ b 2 ) .
8. Puteri cu exponent intreg
a n def a aa......a n factori
1. a o =1; a 1 =a; 0 n =0; 5. ( a m ) n = a mn 2. a m+n = a m a n 6. a n = 1 a n ,a0 3.
(ab) n = a n b n 7. ( a b ) n = a n b n ,b0 4. a m a n = a mn ;a0 8. a m = a n m=n.
9. Proprietatile radicalilor de ordinul doi
1. a 2 =| a |0,aR
2. a b = a b
3. a b = a b ,b0
4. a n = ( a ) n = a n 2 ,
5. a b = a+ a 2 b 2 a a 2 b 2
unde a -b=k .
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
5/130
10. Medii
Me dia aritmetica m a = x+y 2
Media geometrica m g = xy
Me dia ponderata m p = px+qy p+q ;p,qponderile
Me dia armonica m h = 2 1 x + 1 y = 2xy x+y .
Inegalitatea mediilor
2xy x+y xy x+y 2
11. Ecuatii
ax+b=0x= b a ,a0
x 2 =ax= a , a0 ;
ax 2 +b x+c=0x 1,2 = b b 2 4ac 2a .
a0, b 2 4ac0.
| x |=a, a0x=a.
x =a, a0x= a 2
[ x ]=aaxa+1x[a,a+1) .
12. Procente
p % din N = p 100 N
D = Spn 10012 . Dobndaobtinuta prin depunerea la banca a unei sume Sde bani pe o perioada de nluni cu
procentul pal dobndei anuale acordate de banca .
Ct la suta reprezinta numarul a din N.
x % din N =a x= a100 N .
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
6/130
13. Partea intreaga
1. x=[ x ]+{ x } ,xR , [ x ]Z si { x }[0,1)
2. [ x ]x< [ x ]+1 [ x ]=aax
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
7/130
2. Inegalitati
1. a>1 a k1 < a k k1
a ( 0,1 ) a k < a k1 k1
2. 00 a+ 1 a 2 a 1 k + k+1 = k+1 - k .
5. a 2 + b 2 2 ( a+b 2 ) 2 ab a,bR
6. a 2 + b 2 a+b a+b 2 ab 2 1 a + 1 b ,a,b>0
7. a 2 + b 2 + c 2 ab+bc+ca a,b,c R
8. 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ( a+b+c ) 2 a,b,c R
9. a 2 + b 2 + c 2 a+b+c 1 3 ( a+b+c ) a,b,c R
10. a+b+c 3 3 ( a + b + c )a,b,c0
11. ( n1 )( a 1 2 +...+ a n 2 )2( a 1 a 2 +... a 1 a n + a 2 a 3 +...+ a n1 a n )
12. n( a 1 2 +...+ a n 2 ) ( a 1 +...+ a n ) 2 , nN
13. a n + b n 2 ( a+b 2 ) 2 ,nN,a,b>0.
14. 0< a b 0.
1< a b a b > a+r b+r ,r>0
15. | x | a ( a>0 ) axa.
16. | ab || a |+| b | , a,bR sauC .
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
8/130
17. | a 1 a 2 ... a n || a 1 |+...+| a n | , in R sau C .
18. | | a || b | || ab | in R sau C .
19. 1 n 2 = 1 n n 1 ( n1 )n = 1 n1 1 n
1 n! < 1 ( n1 )n = 1 n1 1 n
20. a,bZ , m,nZ , m nQ | m a 2 n b 2 |1.
21. Numerele pozitive a,b,c pot fi lungimile laturilor unui triunghi daca si numai daca x,y,z R + * a.i a=y+z,
b=x+z, c=x+y.
22. ( a b ) ab 1 ab a,b>0 ,
23. a,b,cR + * a+b c + b+c a + c+a b 6.
24. Daca x 1 ,..., x n 0 si x 1 +...+ x n =k constant atunci produsul x 2 x 2 ... x n e maxim cnd x 1 =...= x n = k n .
25. Daca. x 1 ,..., x n
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
9/130
( a 1 +...+ a n n ) 1 ( a 1 +...+ a n n ) 1 , a i , b i R + ,, ,R.
32. ( a 1 2 +...+ a n 2 n ) 1 2 a 1 +...+ a n n
33.Inegalitatea lui Bernoulli:
( 1+a ) n 1+na,a1,nN.
3.Multimi. Operatii cu multimi.
1. Asociativitatea reuniunii si a intersectiei:
A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C
2. Comutativitatea reuniunii si a intersectiei:
A B=B A A B=B A
3. Idempotenta reuniunii si intersectiei:
A A=A A A=A
4. A =A A =
5. Distributivitatea reuniunii fata de intersectie:
A (B C)=(A B) (A C)
6. Distributivitatea intersectiei fata de reuniune:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
10/130
A (B C)=(A B) (A C)
7. A,B E, (A B)= A B (A B)= A B
8. A E, ( A)=A
9. A\B= (A B)10. A\(B C)=(A\B)\C
A\(B C)=(A\B) (A\C)
(A B)\C=(A\C) (B\C)
(A B)\C=A (B\C)=(A\C) B
11. A(B C)=(AB) (AC)
A(B C)=(AB) (AC)
A(B\C)=(AB)\ (AC)
ABBA
A B ( x) (x A=>x B)
A B ( x)((x A) (x B))
x A B (x A) (x B)
x A B (x A) (x B)
x C EA (x E) (x A)
x A\B (x A) (x B)
12. Relatiile lui de Morgan
1. (p q)=p q, (p q)= p q .2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).
3. p p=A, p p = F.
4. p q p q.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
11/130
5. p q (p q) (q p) ( p q) ( q p).6. p A = p , p A=A
7. p q = q p , p q = q p
8. (p)=p9. p p =F , p p =A
10. (p q) r = p (q r)
(p q) r = p (q r)
11. p F = p p F = F
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
12/130
4. Progresii
1. Siruri
Se cunosc deja sirul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,sirul numerelor pare 2,4,6, Din obs ervatiile directe asupra acestor
siruri, un sir de numere reale este dat in forma a 1 , a 2 , a 3 ,..... unde a 1 , a 2 , a 3 sunt termenii sirului iar indicii 1,2,3, reprezinta
pozitia pe care ii ocupa termenii in sir.
Definitie: Se numeste sir de numere reale o functie f: N*R, definita prin f(n)=a n
Notam ( a n ) nN* sirul de termen general , a n
Observatie: Numerotarea termenilor unui sir se mai poate face incepnd cu zero: a 0 , a 1 , a 2 ,.....
a i , i 1 se numeste termenul de rang i.
Un sir poate fi definit prin :
a) des crierea elementelor multimii de termeni. 2,4,6,8,..
b) cu ajutorul unei formule a n =2n
c) printr-o relatie de recurenta. a n+1 = a n +2
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
13/130
Un sir constant este un sir in care toti termenii sirului sunt constanti : 5,5,5,5,..
Doua siruri ( a n ) n , ( b n ) n sunt egale daca a n = b n ,nN
Orice s ir are o infinitate de termeni.
2. Progresii aritmetice
Definitie: Se numeste progresie aritmetica un sir in care diferenta oricaror doi termeni consecutivi este un numar
constant r, numit ratia progresiei aritmetice.
1. Relatia de recurenta intre doi termeni consecutivi:
a n+1 = a n +r,n1
2. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice
a n = a n1 + a n+1 2
3. Termenul generaleste dat de :
a n = a 1 +( n1 )r
4. Suma oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu suma termenilor extremi :
a k + a nk+1 = a 1 + a n
5. Suma primilor n termeni :
S n = ( a 1 + a n ) n 2
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
14/130
6. Sirul termenilor unei progresii aritmetice:
a 1 , a 1 +r, a 1 +2r, a 1 +3r ,.
a m a n =( mn )r
7. Trei numere x1,x 2, x3se scriu in progresie aritmetica de forma :
x 1= u v x 2= u x 3= u + v u,v .
8. Patru numere x 1,x 2, x3, x4 se scriu in progresie aritmetica astfel:
x 1= u 3v, x 2= u v , x 3= u + v , x 4= u + 3v, u,v .
9. Daca a ia k a k+1 a k+1 a k+2
4. Progresii geometrice
Definitie : Se numeste progresie geometricaun sir in care raportul oricaror doi termeni consecutivi este un numar
constant q, numit ratia progresiei geometrice.
1. Relatia de recurenta : b n+1 = b n q,n1
2. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu termeni pozitivi b n = b n1 bn+1
3. Termenul generaleste dat de : b n = b 1 q n1
4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu produsul extremilor
b k b nk+1 = b 1 b n
5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :
S n = b 1 1 q n 1q
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
15/130
6. Sirul termenilor unei progresii geometrice :
b 1 , b 1 q, b 1 q 2 ,... b 1 q n ,....
7. Trei numere x1,x 2, x3se scriu in progresie geometrica de forma :
x 1= u v x2= u x 3= u v ,u,vR * +
8. Patru numere x1,x 2, x3, x4 se scriu in progresie geometrica astfel :
x 1 = u v 3
x 2 = u v
x3= u v
x 4= u v 3 u,vR * +
5. Functii
I. Fie : AB.
1 ) Functia este injectiva,daca
x,y A, x y=> (x) (y).
2) Functia este injectiva,daca din (x)= (y) =>x=y.
3) Functia f este injectiva, daca orice paralela la axa 0x intersecteaza graficul functiei incel mult un punct.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
16/130
II.
1)Functia este surjectiva, daca y B, exista cel putin un punct x A, a.i. (x)=y.
2) Functia este surjectiva, daca (A) =B.
3) Functia este surjectiva, daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B,intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct.
III.
1) Functia este bijectiva daca este injectiva si surjectiva.
2) Functia este bijectiva daca pentru orice y B exista un singur x A a.i. (x) =y(ecuatia (x)=y,are o singura solutie,pentru orice y din B)
3) Functia este bijectiva daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B,intersecteaza graficul functiei intr-un punct si numai unul.
IV.
1A: AA prin 1A(x) =x, x A.
1) Functia : AB este inversabila , daca exista o functie g:BA astfel inct g o =1Asi o g =1 B, functia g este inversa functiei si se noteaza cu
-1.
2) (x) = y x= -1(y)
3) este bijectiva este inversabila.
V. Fie :AB si g: BC, doua functii.
1) Daca si g sunt injective, atunci g o este injectiva.
2) Daca si g sunt surjective,atunci g o este surjectiva.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
17/130
3) Daca si g sunt bijective, atunci g o este bijectiva.
4) Daca si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o este (strict) crescatoare.
5) Daca si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o este (strict) descrescatoare.
6) Daca si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci g o este descrescatoare.
7) Daca este periodica, atunci g o este periodica.
8) Daca este para, atunci g o este para.
9) Daca si g sunt impare, atunci g o este impara,
10) Daca este impara si g para, atunci g o este para.
VI. Fie : A B si g:BC, doua functii.
Daca g o este injectiva, atunci este injectiva.
Daca g o este surjectiva, atunci g este surjectiva.
Daca g o este bijectiva, atunci este injectiva si g surjectiva.
Daca ,g: A B iar h: B C bijectiva si h o = ho , atunci = g.
VII. Fie : AB si X,Y multimi oarecare.
Functia este bijectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile
u,v: XA,din o u= o v, rezulta u=v.
Functia este surjectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile u,v :BY, din uo = vo , rezulta u=v
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
18/130
VIII.
1)Daca :AB este strict monotona,atunci este injectiva.
2) Daca : RR este periodic si monotona, atunci este constanta.
3) Daca : RR este bijectiva si impara,atunci -1 este impara.
4) Fie A finita si :AA. Atunci este injectiva este surjectiva.
IX. Fie : E F, atunci
1) injectiva ( ) g : F E (surjectiva) a.i. g o =1 E.
2) surjectiva ( ) g : EF (injectiva) a.i. o g =1 F
3) bijectiva inversabila.
X. Fie : E F.
1)Functia este injectiva daca si numai daca ( ) A,B E
(A B) = (A) (B).
2) Functia este surjectiva daca si numai daca ( ) B F exista A E, astfel inct (A)=B.
3) Functia este injectiva daca (A B)= (A) (B),
A, B E.
XI. Fie : E F si AE, B E, atunci
(A) ={y F ***TRANSLATION ERROR*** x A a.i. (x)=y}
-1 (B) = {x E (x) B}.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
19/130
1.Fie : E F si A,B E, atunci
a) A B => (A) (B),
b) (A B)= (A) (B),
c) (A B) (A) (B),
d) (A) (B) (A B).
2.Fie : E F si A,B F atunci
a) A B => -1 (A) -1 (B),
b) -1 (A) -1 (B) --1 (A B),
c) -1 (A) -1 (B) = -1 ( A B),
d) -1 (A) -1 (B) = -1 (A B),
e) -1 (F) = E.
Functia de gradul al doilea
Forma canonica a functiei f:RR, f(x)=a x 2 +bx+c, a,b,c R,a0 este f(x)=a ( x+ b 2a) 2 4a ,xR ;
Graficul functieieste o parabola de vrf V( b 2a , 4a ) , unde = b 2 4ac
a0 f este convexa;
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
20/130
0 ; x1,x2 C
f(x) >0,xR ;
V( b 2a , 4a ) - punct de minim;
=0 , x1=x2 R
f(x) 0,xR ;
f(x)=0x= b 2a
0, x 1 x 2 R f(x) 0,x(, x 1 ][ x 2 ,+) ;
f(x)
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
21/130
Pentru x( , b 2a ) functia este strict descrescatoare;
Pentru x[ b 2a ,+), functia este strict crescatoare
a
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
22/130
=0 , x1=x2 R
f(x) 0,xR ;
f(x)=0x= b 2a
0, x 1 x 2 R
f(x) 0,x[ x 1 , x 2 ] ;
f(x)
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
23/130
C={ z| z=a+ib, a,bR, i 2 =1 }
- multimea numerelor complexe.
z=a+ib=Re z+Im z
OPERATII CU NUMERE COMPLEXE
Fie z 1 =a+ib, z 2 =c+id . Atunci:
1. z 1 = z 2a=c si b=d .
2. z 1 + z 2 =(a+c)+i(b+d).
3. z 1 z 2 =(a cbd)+i(ad+bc). 4. z 1 =aib, conjugatullui z 1
5. z 1 z 2 = ac+bd c 2 + d 2 +i bcad c 2 + d 2
6. 1 z 1 = a a 2 + b 2 i b a 2 + b 2 .
PUTERILE LUI i
1. i 4k =1 ;
2. i 4k+1 =i ;
3
. i 4k+2 =1 ; 4. i 4k+3 =i ;
5. i n = 1 i n , i 1 = 1 i =i ;
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
24/130
6. i n = (i) n = (1) n i n ={ i n ,n par i n ,n impar
PROPRIETATILE MODULULUI | z |= a 2 + b 2 - modulul nr. complexe
1. | z |0,| z |=0z=0 2. z z = | z | 2 3. | z |=| z | 4. | z 1 z 2 |=| z 1 | | z 2 |
5. | z 1 z 2 |= | z 1 | | z 2 | , z 2 0
6. | | z 1 || z 2 | || z 1 z 2 || z 1 |+| z 2 | 7. | z n |= | z | n
8. zC; zRImz=0z= z
ECUATII:
z 2 =a+ib z 1,2 = a+ib z 1,2 =[ a+ a 2 + b 2 2 i a+ a 2 + b 2 2 ]
+ daca b pozitiv; - daca b negativ
a x 2 +bx+c=0 x 1,2 = b b 2 4ac 2a daca = b 2 4ac0 sau x 1,2 = bi 2adaca 0
NUMERE COMPLEXE SUB FORMA GEOMETRICA
Forma trigonometrica a numerelor complexe:
z= (cos+isin) , =arctg b a +k, k={ 0, (a,b)I 1, (a,b)II,III 2, (a,b)IV = | z|= a 2 + b 2 se numeste raza polara a lui z
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
25/130
Fie z1= 1 (cos 1 +isin 1 ) si z2= 2 (cos 2 +isin 2 ) ;
z1=z2 1 = 2 ,si exista kZ a.i 1 = 2 +k
z 1 z 2 = 1 2 [cos( 1 + 2 )+isin( 1 + 2 ) z 1 = 1 (cos
1 isin 1 )
1 z 1 = 1 1 [cos( 1 )+isin( 1 )] z 2 z 1 = 2 1 [cos( 2 1 )+isin( 2 1 ) ]
z 1 n = 1 n (cosn 1 +isinn 1 ),nR z 1 n = 1 n (cos 1 +2k n +isin 1 +2k n ),k0,n1
7. FUNCTIA EXPONENTIALA
Def. f: R (0,), f(x)= a x ,a0,a1
Daca a 1 f este strict crescatoare
x 1 x 2 a x 1 a x 2
Daca a ( 0,1 ) f este strict descrescatoare
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
26/130
x 1 x 2 a x 1 a x 2
Proprietati:
Fie a,b ( 0, ),a,b1,x,yR
a x a y = a x+y ( a b ) x = a x a y ( a x ) y = a x y a x a y = a xy ,a0 ( a b ) x = a x b x ,b0 a 0 =1 a x = 1 a x
,a0 pentru a0,nu se defineste a x
Tipuri de ecuatii:
1. a f(x) =b,a0,a1,b0f(x)= log a b
2. a f(x) = a g(x) ,a0,a1f(x)=g(x)
3. a f(x) = b g(x) ,a,b0,a,b1f(x)=g(x) log a b
4. ecuatii exponentiale reductibile la ecuatii algebrice printr-o substitutie.
5. ecuatii ce se rezolva utiliznd monotonia functiei exponentiale.
Inecuatii
a>1, a f(x) a g(x) f(x)g(x)
a (0,1) a f(x) a g(x) f(x)g(x)
FUNCTIA LOGARITMICA
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
27/130
Def: f:(0,) R, f(x)= log a x , a0,a1 ,x>0
Daca a 1 f este strict crescatoare
x 1 x 2 log a x 1 log a x 2
Daca a ( 0,1 ) f este strict descrescatoare
x 1 x 2 log a x 1 log a x 2
Proprietati:
Fie a,b c( 0, ),a,b,c1,x,y(0,),mR
a y =x0y= log a x log a xy= log a x+ log a y log a x y = log a x log a y
log a a m =m, log a b m =m log a b log a b= log c b log c a , 1 log a b = log b a a log b c =c log b a , x= a log a x log a 1=0, log a a=1.
Tipuri de ecuatii:
1. log f(x) g(x)=b,f,g0,f1g(x)=f (x) b
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
28/130
2. log a f(x)= log a g(x)f(x)=g(x)
3. log a f(x)= log b g(x)f(x)= a log b g(x)
4. ecuatii logaritmice reductibile la ecuatii algebrice printr-o substitutie.
5. ecuatii ce se rezolva utiliznd monotonia functiei logaritmice.
Inecuatii
a>1, log a f(x) log a g(x)f(x)g(x)
a (0,1) log a f(x) log a g(x)f(x)g(x)
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
29/130
8. BINOMUL LUI NEWTON
In 1664 Isaac Newton(1643-1727) a gas it urmatoarea formula pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Desi formula era cunoscuta
inca din antichitate de catre matematicianul arab Omar Khayyam(1040-1123), Newtona extins-o si pentru coeficienti rationali.
TEOREMA: Pentru orice numar natural n si a si b numere reale exista relatia:
( a+b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n1 b+ C n 2 a n2 b 2 +..........+ C n k a nk b k +.....+ C n n b n (1)
Numerele C n 0 , C n 1 ,...., C n n se numesc coeficientii binomiali ai dezvoltarii;
Este necesar sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii sicoeficientul binomial al acelui termen. Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+..
Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar coeficientul binomial esteC4
1 =4;
Pentru (a-b)navem urmatoarea forma a binomului lui Newton:
( ab ) n = C n 0 a n C n 1 a n1 b+ C n 2 a n2 b 2 ...........+ (1) k C n k a nk b k +.....+ (1) n C n n b n (1)
Proprietati:
1. Numarul termenilor dezvoltarii binomului (a+b)neste n+1;
Daca n=2k coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltarii este C nk si es te cel mai mare.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
30/130
Daca n=2k+1 C nk si C n
k+1 sunt egali si sunt cei mai mari;
C noCnn daca n este par, n=2k
C no
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
31/130
9. Vectori si operatii cu vectori
Definitie:
Se numeste segment orientat, o pereche ordonata de puncte din plan;
Se numeste vector, multimea tuturor segmentelor orientate care au aceeasi directie,aceeasi lungime si acelasi sens cu ale unui segment orientat.
Observatii:
Orice vector AB se caracterizeaza prin:
- modul(lungime,norma), dat de lungimea segmentului AB;- directie, data de dreapta AB sau orice dreapta paralela cu aceasta;
- sens, indicat printr-o sageata de la originea A la extremitatea B.
Notatii: AB vectorul cu originea A si extremitatea B;
| AB | = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 - modulul vectorului AB unde A(x0,y0), B(x.y).
Definitie:
Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeasi directie, acelasi sens si acelasi modul.Doi vectori se numesc opusi daca au aceeasi directie, acelasi modul si sensuri contrare:
- AB = BA .
Adunarea vectorilor se poate face dupa regula triunghiului sau dupa regula
paralelogramului:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
32/130
v = 0 =0 sau v = 0 ,R
Daca 0, v 0 | v |=| | | v |, v are directia si sensul vectoruluiv daca 0 si sens opus lui v daca 0 .
Definitie:
Doi vectori se numesc coliniaridaca cel putin unul este nul sau daca amndoi sunt nenulisi au aceeasi directie. In caz contrar se numesc necoliniari.
vectori coliniarivectori necoliniari
Teorema:
Fie u 0 si v un vector oarecare.
Vectorii u si v sunt coliniariR a.i. v =u .
Punctele A, B, C sunt coliniareAB si AC sunt coliniari Ra.i. AB = AC .
AB| |CDAB si CD sunt coliniari;
Daca u si v sunt vectori necoliniari atunci x,yR a.i. xu +y v = 0 x=y=0 .
Teorema: Fie a si b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , exista,R(unice) astfel inct v = a + b .
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
33/130
Vectorii a si b formeaza o baza.
, se numesc coordonatele vectorului v in baza ( a , b ) .
Definitie:
Fie XOY un reper cartezian. Consideram punctele A(1,0), B(0,1). Vectorii i = OA si j = OB se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1,directiile axelor si sensurile semiaxelor pozitive cu OX si OY.
Baza ( i , j ) se numeste baza ortonormata.
v = A'B' + A''B'' =xi +y j x=x B- xA, y=yB- yA
v =p r OX v i +p r OY v j | AB |= ( x B x A ) 2 + ( y B y A )2
Teorema:
Fie u (x,y), v (x',y') . Atunci:
1) u + v are coordonatele (x+x.y+y);
2) R,v are coordonatele ( x, y);
3) u (x,y), v (x',y') sunt coliniari x x' = y y' =k,x',y'0. xy'x'y=0.
4) Produsul scalar a doi vectori nenuli. u v =| u | | v |cos unde =m( u
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
34/130
, v ) ,[0,].
cos= xx'+yy' x 2 + y 2 (x') 2 + (y') 2
[0, 2 ] u v 0;( 2 ,] u v 0
Fie u (x,y), v (x',y') nenuli. Atunci: u v =0u v xx'+yy'=0.
u u = | u | 2 0, u . u u =0u =0. i i = j j =1; i j =0.
Vectori de pozitie. Daca r A , r B sunt vectori de pozitie,atunci: AB = r B r A
10. Functii trigonometrice
Semnul functiilor trigonometrice:
Sin: [ 2 , 2 ][ 1,1 ]
arcsin:[-1,1] [ 2 , 2 ]
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
35/130
Cos: [ 0, ][ 1,1 ]
arccos:[-1,1] [ 0, ]
Tg: ( 2 , 2 )R
arctg:R ( 2 , 2 )
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
36/130
Reducerea la un unghi ascutit
Fie u(0, 2 ) Notam sgn f= semnul functiei f; cof = cofunctia lui f
sin( k 2 u )={ sgnf(k 2 u)sinu,k=par sgnf(k 2 u)cosu,k=impar Analog pentrucelelalte;
In general, f(k 2 u)={ sgnf(k 2 u)f(u),k=par sgnf(k 2 u)cof(u),k=impar
Ecuatii trigonometrice
Fie x un unghi, a un numar real si kZ .
sinx=a,| a |1x= (1) k arcsina+k,dac a[0,1]
= (1) k+1 arcs in| a |+k,dac a [1,0]
cosx=a,| a |1x=arccosa+2k,dac a[0,1]
= arccosa+(2k+1),dac a [1,0]
tgx=a,aRx=arctga+k
arcsin(sinx)=ax= (1) k a+k
arccos(cosx)=ax=a+2k
arctg(tgx)=ax=a+k
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
37/130
sinf(x)=sing(x)f(x)= (1) k g(x)+k
sinf(x)=sing(x)f(x)= (1) k g(x)+k
tgf(x)=tgg(x)f(x)=g(x)+k,kZ
Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii care contin aceeasi functie a aceluiasi unghi;
Ecuatii omogene in sin x si cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin 2x+bsin x .cos x+ ccos 2x=0
Ecuatii trigonometrice care se rezolva prin descompuneri in factori;
Ecuatii simetrice in sin x si cos x;
Ecuatii de forma:asinx+bcosx+c=0 |: asinx+tgcosx= c a x+= (1) k arcsin( c a cos)+k
| asinx+bcosx | a 2 + b 2
Observatie importanta:Prin ridicarea la putere a unei ecuatii trigonometrice pot aparea solutii straine iar prin impartirea unei ecuatii
trigonometrice s e pot p ierde s olutii;
FORMULE TRIGONOMETRICE
1. sin 2 + cos 2 =1cos= 1 sin 2 ; sin= 1 cos 2 R
2. tg= sin 1 sin 2 = 1 cos 2 cos t g 2 +1= 1 cos 2 ;
3. cos= 1 1+t g 2 ; sin= tg 1+t g 2 ;
4. cos(+)=coscossinsin ;
5. cos()=coscos+sinsin ;
6. sin(+)=sincos+sincos ;
7. sin()=sincossincos ;
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
38/130
8. tg(+)= tg+tg 1tgtg ; tg ()= tgtg 1+tgtg ;
9. ctg(+)= ctgctg1 ctg+ctg ; ctg()= ctgctg+1 ctgctg ;
10. sin2=2sincos;
11. cos2= cos 2 sin 2 =2 cos 2 1=12 sin 2
12. cos 2 = 1+cos2 2 ; s in 2 = 1cos2 2 ;
13. cos 2 = 1+cos 2 ;sin 2 = 1cos 2 ;
14. tg 2 = 1cos 1+cos ; ctg 2 = 1+cos 1cos
15. tg2= 2tg 1t g 2 ; ctg2= ct g 2 1 2ctg ;
16. tg= 2tg 2 1t g 2 2 ; ctg= 1t g 2 2 2tg 2 ;
17. sin3=3sin4 sin 3 ; tg3= 3tgt g 3 13t g 2 cos3=4 cos 3 3cos; ctg3= ct g 3 3ctg 3ct g 2 1 ;
18. tg 2 = sin 1+cos = 1cos s in = 1 ctg 2 ;
19. sin= 2tg 2 1+t g 2 2 ; cos = 1t g 2 2 1+t g 2 2 ;
sina+sinb=2sin a+b 2 cos ab 2 sinasinb=2sin ab 2 cos a+b 2
cosacosb=2sin a+b 2 sin ab 2 cosa+cosb=2sin ab 2 cos a+b 2
tgatgb= sin(ab) cosacosb ctga+ctgb= sin(a+b) sinasinb ctgactgb= sin(ba) sinasinb
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
39/130
cosacosb= cos(a+b)+cos(ab) 2
arcsinx+arcsiny=arcsin(x 1 y 2 +y 1 x 2 )
arcsin x+arccos x= 2 arctg x +arcctg x= 2
arctg x+arctg 1 x = 2 arccos(-x)= -arccos x
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
40/130
11. ECUATIILE DREPTEI IN PLAN
1. Ecuatia carteziana generala a dreptei:
ax+by+c=0 (d)
Punctul M(x 0,y0) da x 0 +b y 0 +c=0
2. Ecuatia dreptei determinata de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):
y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1
3. Ecuatia dreptei determinata de un punct M(x0,y0) si o directie data( are panta m)
y-y0=m(x-x0)
4. Ecuatia explicita a dreptei (ecuatia normala):
y=mx+n, unde m=tg= y 2 y 1 x 2 x 1 este panta dreptei si n este
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
41/130
ordonata la origine.
5. Ecuatia dreptei prin taieturi: x a + y b =1, a,b0.
6. Fie (d): y=mx+n si (d): y=mx+n
Dreptele d si d sunt paralele m=msi n n.
Dreptele d si d coincid m=msi n=n.
Dreptele d si d sunt perpendiculare mm= -1.
Tangenta unghiului a celor doua drepte este tg=| mm' 1+mm' |
7. Fie d: ax+by+c=0si d: ax+by+c=0cu a,b,c 0. si =m( d,d')
Dreptele d si d sunt paralele a a' = b b' c c'
Dreptele d si d coincida a' = b b' = c c'
Dreptele d si d sunt concurente a a' b b'
ab-ba 0.
cos= v v ' | v | | v ' | = a a ' +bb ' a 2 + b 2 a ' 2 +b ' 2 unde v ( b , a ), v ' (b ' ,a ' ) sunt vectorii directori ai dreptelor d si d.
Dreptele d si d sunt perpendiculare, dd'aa ' +bb ' =0
8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) in plan.
Dreptele AB si CD sunt paralele, AB|| CD R*,a. AB = CD sau
mAB=mCD.
Dreptele AB si CD sunt perpendiculare, ABCDAB CD =0
Conditia ca punctele A(x 1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) sa fie coliniare este:
y 3 y 1 y 2 y 1 = x 3 x 1 x 2 x 1
9. Distanta dintre punctele A(x1,y1) si B(x2,y2) este AB= ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
42/130
Distanta de la un punct M0(x0,y0) la o dreapta h de ecuatie (h): ax+by+c=0 este datade:
d( M 0 ,h)= | a x 0 +b y 0 +c | a 2 + b 2 .
12. CONICE
1.CERCUL
Definitie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal departate de un punct fix, numit centru se numeste cerc.
C(O,r)={M(x,y)|OM=r}
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
43/130
1. Ecuatia generala a cercului
A(x + y ) + Bx + Cy + D = 0
2. Ecuatia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza r
(x - a) + (y + b) = r ; x + y = r
3. Ecuatia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2)
(x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0
4. Ecuatia tangentei dupa o directie
O(0,0) : y = mx r 1+m
O(a,b) : y-b = m(x-a) r 1+m
5. Ecuatia tangentei in punctul M(x 0, y0)
(x x0) + (y y0) = r respectiv
(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r
6. Ecuatia normala a cercului
x + y + 2mx + 2ny + p = 0 cu
O(-m; -n) si r = m + n - p
7. Ecuatia tangentei in punctul M(x 0,y0)
x x0+ y y 0+ m(x + x 0) + n(y + y0) + p = 0
8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuatie
y = mx + n este
d(0,d) = |mab+n| m+1 sau ( d= |ax0+by0+c| a+b )
9. Ecuatiile tangentelor din punctul exterior M(x 0, y0)
I. Se scrie ecuatia 4 si se pune conditia ca M sa apartina cercului de ecuatie 4.
II. y - y 0= m(x - x 0)
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
44/130
x + y = r , =0
2. ELIPSA
Definitie:Locul geometric al punctelor din plan care au suma distantelor la doua puncte fixe, constanta, se numeste
elipsa.
F,F- focare, FF distanta focala
E= { M(x,y)| MF+MF'=2a }
MF,MF- raze focale
1.Ecuatia elipseix a + y b =1 , b = a - c
2.Ecuatia tangentei la elipsa
y = mx am+b
3.Ecuatia tangentei in punctul M(x 0, y0) la elipsa
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
45/130
xx0 a + yy0 b =1 , m= b a x0 y0
4.Ecuatiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0) la elipsa
VAR I Se scrie ecuatia 2 si se pune conditia ca M sa apartina elipsei de ecuatie 2 deunde rezulta m
VAR IISe rezolva sistemul y y 0 = m(x-x0)
,
cu conditia = 0
3. HIPERBOLA
Definitie: Locul geometric al punctelor dinplan a caror diferenta la doua puncte fixe este constanta, se numeste hiperbola
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
46/130
H: = { M(x,y) | |MF MF| = 2a }
y = b a x --ecuatia asimptotelor
1. Ecuatia hiperbolei
x a y b =1 , b = c - a ;
Daca a = b => hiperbola echilaterala
2.Ecuatia tangentei la hiperbola
y = mx amb
3. Ecuatia tangentei in punctul M(x 0, y0)
xx0 a yy0 b =1 , m= b a x0 y0
4. Ecuatiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0)
VAR I. Se scrie ecuatia 2 si se pune conditia ca M sa apartina hiperbolei de ecuatie 2, de unde rezulta m.
VAR II. Se rezolva sistemul
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
47/130
y - y0= m(x - x 0)
x a y b =1 , cu = 0
4. PARABOLA
Definitie:Locul
geometric al punctelor egal departate de un punct fix, (numit focar) si o dreapta fixa (numita directoare), se numeste
parabola.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
48/130
P: = { M(x, y) | MF = MN }
(d): x = p 2 ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem duce tangente la o parabola).
1. Ecuatia parabolei
y = 2px
2. Ecuatia tangentei la parabola
y = mx + P 2m
3. Ecuatia tangentei in M (x 0, y0)
yy0= p(x + x 0)
4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x 0, y0)
VAR I. Se scrie ecuatia 2 si se pune conditia ca M (ecuatia 2) => m
VAR II. Se rezolva sistemul
y - y0= m(x - x 0)
y = 2px cu = 0
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
49/130
13. ALGEBRA LINIARA
1. MATRICE.
Adunarea matricelor ( a b c d )+( x y z t )=( a+x b+y c+z d+t ) a( x y z t )=( axay az at )
Inmultirea matricelor ( a b c d ) ( x y z t )=( ax+bz ay+bt cx+dz cy+dt )
Transpusa unei matrice ( a b c d ) T =( a c b d )
2. DETERMINANTI.
| a b c d |=adbc ; | a b c d e f g h i |=aei+dhc+gbfcegfhaibd
Proprietati:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
50/130
1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse;
2. Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atuncideterminantul matricei este nul;
3. Daca intr-o matrice schimbam doua linii(sau coloane) intre ele obtinem o matrice care
are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale.
4. Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice atunci determinantul sau este nul;
5. Daca toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt inmultite cu unelement a, obtinem o matrice al carei determinant este egal cu a inmultit cu determinantulmatricei initiale.
6. Daca elementele a doua linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proportionale atunci
determinantul matricei este nul;
7. Daca la o matrice patratica A de ordin n presupunem ca elementele unei linii i sunt deforma a ij = a ij ' + a ij ''
atunci det A = det A +det A;
8. Daca o linie (sau coloana) a unei matrice patratice este o combinatie liniara decelelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul.
9. Daca la o linie (sau coloana) a matricei A adunam elementele altei linii (sau coloane)inmultite cu acelasi element se obtine o matrice al carei determinant este egal cudeterminantul matricei initiale;
10. Determinantul Vandermonde: | 1 1 1 a b c a2 b 2 c 2 |=(ba)(ca)(cb) ;
11. Daca intr-un determinant toate elementele de deasupra diagonalei principale sau de
dedesubtul ei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu acf; | a 0 0 b c 0 d e f |=acf
12. Factor comun
| ax ay az bm bn bp u v r |=ab| x y z m n p u v r |
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
51/130
3. Rangul unei matrice
Fie A M m,n (C) , r N, 1rmin(m,n) .
Definitie: Se numeste minor de ordinul r al matricei A, determinantul format cuelementele matricei A situate la intersectia celor r linii si r coloane.
Definitie: Fie A O m,n o matrice . Numarul natural r este rangul matricei A existaun minor de ordinul r al lui A, nenul iar toti minorii de ordin mai mare dect r+1 (dacaexista) sunt nuli.
Teorema: Matricea A are rangul r exista un minor de ordin r al lui A iar toti
minorii de ordin r+1 sunt zero.
Teorema: Fie A M m,n (C),B M n,s (C) . Atunci orice minor de ordinul k ,1kmin(m,s) al lui AB se poate scrie ca o combinatie liniara de minorii de ordinul k allui A (sau B).
Teorema: Rangul produsului a doua matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecareimatrice.
Definitie:M n (C) . A este inversabila det A 0.( A este nesingulara).
Teorema: Inversa unei matrice daca exista este unica.
Observatii: 1) det (AB) =det A det B.
2) A 1 = 1 detA A* ( A A A*= ( (1) i+j d ij ) i,j A 1 )
3) A -1 M n (Z) det A = 1 .
Stabilirea rangului unei matrice:
Se ia determinantul de ordinul k-1 si se bordeaza cu o linie (respectiv cu o coloana).Daca noul determinant este nul rezulta ca ultima linie(respectiv coloana )este combinatieliniara de celelalte linii (respectiv coloane).
Teorema: Un determinant este nul una din coloanele (respectiv linii) este ocombinatie liniara de celelalte coloane(respectiv linii).
Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numarul maxim de coloane(respectiv
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
52/130
linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv liniile) lui A astfel inct nici unadintre ele sa nu fie combinatie liniara a celorlalte.
4. Sisteme de ecuatii liniare
Forma generala a unui sistem de m ecuatii cu n necunoscute este:
(1 { a 11 x 1 + a 12 x 2 +...........+ a 1n x n = b 1 ............................................. a m1
x 1 + a m2 x 2 +..........+ a mn x n = b m sau b i
Unde A (aij)1im , 1jn - matricea coeficientilor necunoscutelor.
Matricea A =( a 11 ... a 1n b 1 ... a m1 .... a mn b m ) se numeste matricea extinsa asistemului.
Definitie: Un sistem de numere 1 , 2 ,....... n se numeste solutie a sistemului (1)
j=1 n a ij j = b i ,i= 1,m .
Definitie:
- Un sistem se numeste incompatibil nu are solutie;
- Un sistem se numeste compatibil are cel putin o solutie;
- Un sistem se numeste compatibil determinat are o singura solutie;
- Un sistem se numeste compatibil nedeterminat are o infinitate de solutii;
Rezolvarea matriceala a unui sistem
Fie A, BM n (C) .
A 1 |AX=BX= A 1 B X j = 1 detA i=1 n a ij b i , j=1,n .
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
53/130
Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Teorema lui Cramer: Daca det A not 0 , atunci sistemul AX=B are o solutieunica Xi= i .
Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuatii liniare este compatibil rangulmatricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.
Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuatii liniare este compatibil toti minoriicaracteristici sunt nuli.
Notam cu m-numarul de ecuatii;
n- numarul de necunoscute;
r -rangul matricei coeficientilor.
I m=n=r Sistem compatibil determinat 0
II m=r n Sistem compatibil nedeterminat Minorul principaleste nenul
III
n=r m
Sistem compatibil determinat
sau
Daca toti minorii
caracteristici suntnuli
Sistem incompatibil Exista cel putin unminor caracteristicnenul
IV rn,rm Sistem compatibil nedeterminatsau
Daca toti minoriicaracteristici suntnuli
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
54/130
Sistem incompatibil Exista cel putin unminor caracteristicnenul
Teorema: Un sistem liniar si omogen admite numai solutia banala 0
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
55/130
14. SIRURI DE NUMERE REALE
1. Vecinatati. Puncte de acumulare.
Definitia 1: Se numeste sir , o functie f : N R definita prin f(n) = a n .
Notam ( a n ) nN : a 0 , a 1 , a 2 ,.............sau a 1 , a 2 , a 3 ,........ ...
Orice sir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al sirului ( a n ) nN .
Definitia 2: Doua siruri ( a n ) n N , ( b n ) nN sunt egale a n = b n ,nkN
Definitia 3: Fie a R. Se numeste vecinatate a punctului a R, o multime V pentru care >0 si un interval
deschis centrat in a de forma (a- , a+ ) V.
Definitia 4: Fie D R. Un punct R se numeste punct de acumulare pentru D daca in orice vecinatate a lui
exista cel putin un punct din D- { } V (D- { } ) . Un punct x D care nu e punct de acumulare se
numeste punct izolat.
2. Siruri convergente
Definitia 5: Un sir ( a n ) nN este convergent catre un numar a R daca in orice vecinatate a lui a se afla toti
termenii sirului cu exceptia unui numar finit si scriem a n n a sau lim a n =a n
a se numeste limita sirului .
Teorema 1: Daca un sir e convergent , atunci limita sa este unica.
Teorema 2: Fie ( a n ) nN un sir de numere reale. Atunci:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
56/130
( a n ) nN este monoton crescator a n a n+1 ,nN sau a n+1 a n 0,sau an+1 a n 1 ;
( a n ) nN este stict crescator a n a n+1 ,nN sau a n+1 a n 0,sau an+1 a n 1 ;
( a n ) nN este monoton descrescator a n a n+1 ,nN sau a n+1 a n
0,sau a n+1 a n 1 ;
( a n ) nN este strict descrescator a n a n+1 ,nN sau a n+1 a n 0,sau an+1 a n 1 .
Definitia 6. Un sir ( a n ) nN este marginit M R astfel inct | a n |M sau
,R astfel nct a n .
Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice sir monoton si marginit este convergent.
Definitia 7: Daca un sir are limita finita sirul este convergent.
Daca un sir are limita infinita + sau sirul este divergent.
Teorema 4: Orice sir convergent are limita finita si este marginit dar nu neaparat monoton.
Teorema 5: Lema lui Cesaro:
Orice sir marginit are cel putin un subsir convergent.
Definitia 8: Un sir e divergent fie daca nu are limita, fie daca are o limita sau daca admite doua subsiruri care au limite
diferite.
OBS: Orice sir crescator are limita finita sau infinita.
Teorema 6: Daca ( a n ) nN R + * este un sir strict crescator si nemarginit atunci lim a n =+ lim 1 a n =0
n . Un sir descrescator cu termenii pozitivi este marginit de primul termen si de 0.
3. Operatii cu siruri care au limita
Teorema 7: Fie ( a n ) nN , ( b n ) nN siruri care au limita: a n n a , b n n b .
Daca operatiile
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
57/130
a+b,ab
a b , a b au sens atunci irurile a n + b n , a n b n , a n , a n b n , a n b n , a n b n aulimit .
lim( a n + b n )= lim a n +lim b n ; lim( a n b n )=lim a n .lim b n ;
n n n
lim( a n )=lim a n ; lim a n b n = lim a n lim b n lim a n b n = (lim a n ) lim b n
lim( log a a n )= log a ( lim a n ) lim a n k = lim a n k
Prin conventie s-a stabilit: += ; a+=,a R; a+(-)=-; -+(-)=-; a= ,a>0;
a=-,a
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
58/130
lim n q n ={ 0,dac q (1,1) 1,dac q=1 ,dac q1 nu exist,dac q1 lim n ( a 0 n p + a 1 n p1 +....+ a p )={ , a 0 0 , a 0 0
lim n a 0 n p + a 1 n p1 +.......+ a p b 0 n q + b 1 n q1 +.....+ b q ={0,dac pq a 0 b 0 ,dac p=q ,dac pq i a 0 b 0 0 ,dac pq i a 0 b 0 0.
lim ( 1+ 1 n ) n =e2,71...... lim ( 1+ 1 x n ) x n =e
n x n
lim ( 1+ x n ) 1 x n =e lim sin x n x n =1
x n 0 x n 0
lim arcsin x n x n = 1 lim tg x n x n =1
x n 0 x n 0
lim arctg x n x n =1 lim ln(1+ x n) x n =1
x n 0 x n 0
lim a x n 1 x n =lna lim ( 1+ x n ) r 1 x n =r
x n 0 x n 0
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
59/130
lim e x n x n p = lim ln x n x n p =0
x n x n
15. LIMITE DE FUNCTII
Definitie: O functie f:D RR are limita laterala la stnga ( respectiv la dreapta) inpunctul de acumulare x 0 exist l s R (respectiv l d R) a. i. lim f(x)= l s ,(respectiv lim f(x) = l d ).
x x 0 x x 0 x x 0 x x 0
Definitie: Fie f:D RR , x 0 D un punct de acumulare. Functia f are limita in x 0l s ( x 0 )= l d ( x 0 )
Proprietati:
1. Daca lim f(x) exista, atunci aceasta limita este unica. x x 0
2. Daca lim f(x) =l atunci lim| f(x) |=| l |. x x 0
x x 0 Reciproc nu.
3. Daca lim| f(x) |=0 limf(x)=0 x x 0
4. Fie f,g:D
RR ,
U o vecinatate a lui x 0
D astfel inct f(x) g(x)
x
DU{ x 0 } si daca exista limf(x),limg(x) x x 0 ,x x 0 limf(x) limg(x) x x 0 x x0
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
60/130
5. Daca f(x)g(x)h(x)xDU{ x 0 } i limf(x)=limh(x)=llimg(x)=l.
x x0xx0 xx0
6.
Daca | f(x)l |g(x) xDU{ x 0 } i limg(x)=0limf(x)=l
7. Dac limf(x)=0 i M0 a..| g(x) |Mlimf(x)g(x)=0 .
8. Dac f(x)g(x) i limg(x)=+limf(x)=+. Dac f(x)g(x) i limg(x=limf(x)=.
OPERATII CU FUNCTII
Dac exist limf(x)= l 1 ,limg(x)= l 2 i au sens operatiile l 1 + l 2 , l 1 l 2 , l 1 l 2 , l1 l 2 , l 1 l 2 , l 1
atunci:
1. lim(f(x) g(x))= l 1 l 2 .
2. limf(x)g(x)= l 1 l 2
3.lim f(x) g(x) = l 1 l 24.lim f (x) g(x) = l 1 l 2
5.lim f(x) = l 1
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
61/130
0, daca q( 1,1 )
lim x qx=
1, daca q=1
, daca q>1
nuexista,
daca q 1
0, daca q( 1,1
)
lim x qx
= 1, daca q=1
, daca q>1
nuexista,
daca q 1
lim x 2
tgx=
x> 2
lim x 2tgx=+
X< 2
0, daca q( 1,1 ) lim x 2tgx=
x> 2
lim x 2tgx=
x> 2
P(X)=a0xn+ a1x
n-1 + ..+an,a0 0 lim x P(x)= a 0 () n
lim x a 0 x p + a 1 x p1+.......+ a p b 0 x q + b 1 x q1 +.....+
b q ={ 0,dacpq a 0 b 0,dac p=q
,dac pq ia 0 b 0 0,dac pqi a 0 b 0 0.
a>1 limx a x = lim x
a x=0
a
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
62/130
lim x qx=
1, daca q=1
, daca q>1
nuexista,
daca q 1
lim x 2tgx=+
X< 2
lim x 2tgx=+
X< 2
lim x 2tgx=
x> 2
lim x 2tgx=+
X< 2
lim x 2tgx=
x> 2
lim x 2tgx=+
X< 2
(0,1) lim x a x =0 lim x a x = a>1 lim x log a x= lim x 0 log a x=
a (0,1) lim x log a x= lim x 0 log a x=
lim x 0 sinx x =1 lim u( x ) 0 sinu( x ) u( x ) =1
lim x 0 tgx x =1 lim u( x ) 0 tgu( x ) u( x ) =1
lim x 0 arcsinx x =1 lim u( x ) 0 arcsinu( x ) u( x ) =1
lim x 0 arctgx x =1 lim u( x ) 0 arctgu( x ) u( x ) =1
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
63/130
lim x 0 ( 1+x ) 1 x =e lim u( x ) 0 ( 1+u( x ) ) 1 u( x ) =e
lim x ( 1+ 1 x ) x =e lim u( x ) ( 1+ 1 u( x ) ) u( x ) =0
lim x 0 ln( 1+x ) x =1 lim u( x ) 0 ln( 1+u( x ) ) u( x ) =1
lim x 0 a x 1 x =lna lim u( x ) 0 a u(x) 1 u( x ) =lna
lim x 0 ( 1+x ) r 1 x =r lim u( x ) 0 ( 1+u( x ) ) r 1 u( x ) =r
lim x x k a x =0 lim u( x ) u ( x ) k a u( x ) =0
lim x lnx x k =0 lim u( x ) lnu( x ) u ( x ) k =0
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
64/130
16. FUNCTII CONTINUE
DEFINITIE. O functie f : D R R se numeste continua in punctul de acumulare x0 D oricare ar fi
vecinatatea V a luif(x0) , exista o vecinatate U a luix0,astfel inct pentru orice
x U D f(x) V.
DEFINITIE. f : D R R este continua inx0 D fare limita in x0 si lim f(x) = f (x0)
sau ls(x0) = ld(x0) = f(x0).
x0 se numeste punct de continuitate.
Daca functia nu este continua in x0 f.se numeste discontinua inx0 si x0 se numeste punct de discontinuitate.
Acesta poate fi:
- punct de discontinuitate de prima speta daca ls(x0), ld(x0)finite, dar f(x0);
- punct de discontinuitate de a doua speta daca cel putin o limita laterala e infinita sau nu exista.
DEFINITIE.f este continua pe o multime ( interval) este continua in fiecare punct a multimii ( intervalului).
Functiile elementare sunt continue pe domeniile lor de definitie.
Exemple de functii elementare: functia constanta c, functia identicax, functia polinomialaf(x) = a0xn+ a1x
n-1+
.......an , functia rationala f(x)/g(x), functia radical f(x) n , functia logaritmica log f(x), functia putere xa, functia
exponentiala ax, functiile trigonometricesin x, cos x, tg x, ctg x.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
65/130
PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCTII INTR-UN PUNCT DE ACUMULARE
DEFINITIE. Fief : D R R. Dacaf are limita
l R in punctul de acumularex0 D
f: D { x0} R, f(x) = { f (x),xD l,x= x 0
este o functie continua inx0 si se numeste prelungirea prin continuitate a luif inx0.
OPERATII CU FUNCTII CONTINUE
T1. Dacaf,g:DR sunt continue inx0
( respectiv pe D) atuncif+g, f, f g,f /g, fg, f
sunt continue inx0 ( respectiv pe D); R, g 0.
T2. Dacaf:DR e continua inx0D ( respectiv pe D) | f(x) | e continua in x0 ( respectiv pe D).
Reciproca nu e valabila.
T3. Fief:DR continua in inx0A sig:B A continua inx0B, atuncig f e continua inx0A.
lim f( g (x) = f( lim g(x))
xx0 xx0
Orice functie continua comuta cu limita.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
66/130
PROPRIETATILE FUNCTIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL
LEMA. Daca f este o functie continua pe un interval [ a,b] si daca are valori de semne contrare la extremitatile
intervalului
( f(a) ( f(b)
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
67/130
Dacaf :I R are P.D. atunci f( I) e interval.
( Reciproca e in general falsa).
CONTINUITATEA FUNCTIILOR INVERSE
T1. Fief : I R R o functie monotona a.i.
f( I) e interval. Atunci f este continua.
T2. Orice functie continua si injectiva pe un
interval este strict monotona pe acest interval.
T3. Fief : I R, I, J Rintervale.
Dacaf e bijectiva si continua atunci inversa sa
f-1e continua si strict monotona.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
68/130
17. DERIVATE
FUNCTIA DERIVATA
C 0
x 1
xn nxn-1
xa axa-1
ax a x lna
ex e x
1 x - 1 x 2
1 x n - n x n+1
x 1 2 x
x n 1 n x n1 n
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
69/130
sin x cosx
cos x -sinx
tg x 1 cos 2 x
ctg x - 1 sin 2 x
arcsin x 1 1 x 2
arccos x - 1 1 x 2
arctg x 1 1+ x 2
arcctg x - 1 1+ x 2
lnx 1 x log a x 1 xlna
(u v) = v. uv-1.u+ u v.v.lnu
f(x)= ax+b cx+d f(x)= | a b c d | (cx+d) 2
REGULI DE DERIVARE
(f.g)=fg+fg
( f ) ' = f'
( f g ) ' = f ' gf g ' g 2
( f 1 ) ' ( f( x 0 ) )= 1 f ' ( x 0 )
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
70/130
18. STUDIUL FUNCTIILOR
CU AJUTORUL DERIVATELOR
Proprietati ge nerale ale functiilor derivabile .
1.Punctele de extrem ale unei functii.
Fie un interval si f: R.
Definitie. Se numeste punct de maxim (respectiv de minim)(local) al functiei f , un punct a pentru care exista o
vecinatate V a lui a astfel inct f( x )f( a )( respectiv.f( x ) )f( a )x V.
Un punct de maxim sau de minim se numeste punct de extrem.
a se numeste punct de maxim(respectiv de minim) global daca f( x )f( a )( resp.f( x
)f( a ) ) . x .
Obs.1.O functie poate avea intr-un interval mai multe puncte de extrem.(vezi desenul).
Obs.2.O functie poate avea intr-un punct a un maxim (local), fara a avea in a cea mai mare valoare din interval.(vezi
desenul f( a )
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
71/130
-puncte de maxim
-puncte de minim
TEOREMA LUI FERMAT
Daca f este o functie derivabila pe un interval si x 0 I 0 un punct de extrem,atunci f ' ( x 0 )=0 .
Interpretare geometrica:
Deoarece f ' ( x 0 )=0 tangenta la grafic in punctul ( x 0 ,f( x 0 ) ) este paralela cu
OX.
Obs.1. Teorema este adevarata si daca functia este derivabila numai in punctele de extrem.
Obs.2. Conditia ca punctul de extrem x 0 sa fie interior intervalului este esentiala.
(daca ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca f ' ( x 0 )0 ). Ex. f( x )=x.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
72/130
Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevarata.(se pot gasi
functii astfel inct f ' ( x 0 )=0 dar x 0 sa nu fie punct de
extrem).
Solutiile ecuatiei f ' ( x )=0 se numesc puncte critice . Punctele de extrem se gasescprintre acestea.
Teorema lui Fermat da conditii suficiente (dar nu si necesare) pentru ca derivata intr-unpunct sa fie nula.
O alta teorema care da conditii suficiente pentru ca derivata sa se anuleze este :
TEOREMA LUI ROLLE.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
73/130
Fie f: I R, a,b I, a
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
74/130
TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a cresterilor finite)
Fie f: I R,I (interval, a,b I, a
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
75/130
Consecinta 1. Daca o functie are derivata nula pe un interval,atunci ea este constanta pe acest interval.
Daca o functie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de intervale proprietate nu mai ramne adevarata in general.
Expl.
Consecinta 2. Daca si sunt doua functii derivabile pe un interval I si daca au derivatele egale atunci ele
difera
printr-o constanta.
Daca si sunt definite pe o reuniune disjuncta de intervale, proprietatea e falsa in general. Expl.
Consecinta 3.
Daca pe I e strict crescatoare pe I.
Daca pe I e strict descrescatoare I.
Consecinta 4. Daca . are derivata in si
Daca e derivabila in
Consecinta 5.Daca pe I pastreaza semn constant pe I.
ETAPELE REPREZENTARII
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
76/130
GRAFICULUI UNEI FUNCTII
1. Domeniul de definitie;
2. Intersectia graficului cu axele de coordonate :
Intersectia cu axa Ox contine puncte de forma{x,0},unde x este o radacina a ecuatieif(x)=0 {daca exista}.
Intersectia cu axa Oy este un punct de forma {0,f{0}} {daca punctul 0 apartine
domeniului de definitie}
3. Studiul continuitatii functiei pe domeniul de definitie :
Daca functia este definita pe R se studiaza limita functiei la iar daca este definita peun interval se studiaza limita la capetele intervalului.
4.Studiul primei derivate :
a. Calculul lui f.
b. Rezolvarea ecuatiei f(x)=0.Radacinile acestei ecuatii vor fi eventuale puncte demaxim sau de minim ale functiei ;
c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Acestea reprezinta intervalelede monotonie pentru f.
5.Studiul derivatei a doua :
a.Se calculeaza f
b.Se rezolva ecuatia f(x)=0. Radacinile acestei ecuatii vor fi eventuale puncte deinflexiune ale graficului
c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pecare f>0 functia este convexa si pe cele pe care f
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
77/130
a= daca cel putin una din aceste limite are sens si exista in R.
b) Asimptotele verticale sunt drepte de forma x=x0, daca exista cel putin o limita lateralaa functiei in x0, infinita.
c) Asimptotele oblice sunt drepte de forma y=mx+n, unde
, analog si pentru -.
7. Tabelul de variatie;
8. Trasarea graficului.
19. PRIMITIVE
Primitive. Proprietati.
Fie I un interval din R.
Definitia 1. Fie f: I R. Se spune ca f admite primitive pe I daca F : I R astfel inct
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
78/130
a) F este derivabila pe I;
b) F(x) =f(x), x I.
F se numeste primitiva lui f. ( I poate fi si o reuniune finita disjuncta de intervale).
Teorema 1.1 Fie f : I R. Daca sunt doua primitive ale functiei f, atunci
exista o constanta c R astfel inct x I.
Demons tratie : Daca sunt primitive atunci sunt derivabile x I
, x I. , c= constanta
OBS 1. Fiind data o primitiva a unei functii, atunci orice primitiva F a lui f are forma F = + c , c= cons tanta
f admite o infinitate de primitive.
OBS 2. Teorema nu mai ramne adevarata daca I este o reuniune disjuncta de intervale Expl: f: R- , f(x) = x
F = , G=
F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e cons tanta . Contradictie cu T 1.1
OBS 3. Orice functie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.
Se stie ca derivata oricarei functii are Proprietatea lui Darboux , rezulta ca f are Proprietatea lui Darboux. F =f.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
79/130
OBS 4. Daca I este interval si f(I) nu este interval atunci f nu admite primitive.
Daca presupunem ca f admite primitive atunci din OBS 3 rezulta ca f are P lui Darboux, rezulta f(I) este interval ceea ce este o
contradictie.
OBS 5. Orice functie continua definita pe un interval admite primitive.
Definitia 2. Fie f: I R o functie care admite primitive. Multimea tuturor primitivelor lui f se
numeste integrala nedefinita a functiei f si se noteaza prin simbolul dx. Operatiade calculare a primitivelor unei functii(care admite primitive ) se numeste integrare.
Simbolul a fost propus pentru prima data de Leibniz, in 1675.
Fie F(I)= Pe aceasta multime se introduc operatiile :
(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,
(f)(x)=.f(x) , constanta
C=
dx = .
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
80/130
Teorema 1.2 Daca f,g:I R sunt functii care admit primitive si R, 0, atuncifunctiile f+g, f admit
de asemenea primitive si au loc relatiile:
(f+g) =f +g, f=f, 0, f =f +C
Formula de integrare prin parti.
Teorema 1.1 Daca f,g:RR sunt functii derivabile cu derivatele continue, atuncifunctiile fg, fg, fg admit primitive si are loc relatia:
f(x)g(x)dx =f(x)g(x)- f(x)g(x)dx
Formula schimbarii de variabila
(sau metoda substitutiei).
Teorema: Fie I,J intervale din R si
1) este derivabila pe I;
2) f admite primitive. (Fie F o primitiva a sa.)
Atunci functia (f o ) admite primitive, iar functia F o este o primitiva a lui (f o ) adica:
5. Integrarea functiilor trigonometrice
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
81/130
Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosind formula integrarii prin parti, fie metoda substitutiei. In
acest caz se pot face substitutiile:
1. Daca functia este impara in sin x,
R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.
2. Daca functia este impara in cos x,
R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.
3. Daca functia este para in raport cu ambele variabile R(-sin x,-cos x) atunci tg x=t.
4. Daca o functie nu se incadreaza in cazurile 1,2,3,atunci se utilizeaza substitutiile universale:
5. Se mai pot folosi si alte formule trigonometrice:
sin 2x=2sin x .cos x,
Integrarea functiilor rationale
Definitie: O functie f:IR , I interval, se numeste rationala daca R(x)= unde f,g sunt
functii polinomiale.
Daca grad f grad g, atunci se e fectueaza impartirea lui f la g f=gq+r, 0 grad r
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
82/130
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
83/130
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
84/130
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
85/130
28.
29.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
86/130
Bibliografie:
- Arno Kahane. Complemente de matematica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1958.
- C. Nastasescu,C. Nita, Gh. Rizescui:Matematica-Manual pentru clasa a IX-a,E.D.P., Bucuresti, 1982.
- C. Nastasescu, C Nita, I. Stanescu: Matematica-Manual pentru clasa a X-a-Algebra, E.D.P., Bucuresti,1984.
- E. Beju, I. Beju:Compendiu de matematica, editura Stiintifica si Enciclopedica,Bucuresti, 1996.
- E. Rogai,Tabele si formule matematice,Editura tehnica,1983.
- Mica enciclopedie matematica, Editura tehnica, Bucuresti,1980.
- Luminita Curtui, Memorator de Matematica-Algebra, pentru clasele 9-12,Editura Booklet,2006.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
87/130
Probleme propuse si rezolvate
1.Sa se determine numerele intregi a si b astfel inct
Rezolvare:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
88/130
Ridicam la puterea a doua expresia data:
Din egalarea termenilor asemenea intre ei rezulta : ab=2 si 2a2+3b2=14 rezulta: a=1 sib=2.
2.Daca =7, sa se calculeze a4+ .
Rezolvare:
Ridicam la puterea a doua relatia data: ( )2=49, a2+ =51 procednd analog se
obtine .
3.Aflati X din X.3 2008= (3 2008 1) : (1+ )
Rezolvare:
, dupa formula
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
89/130
4. Sa se calculeze: unde
Rezolvare:
5. Stiind ca sa se calculeze partea intreaga a numarului
Rezolvare:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
90/130
6.Se da numarul x =
Sa se arate ca x = 4
Sa se calculeze (X+2)2007
Rezolvare:
a)
x =
b. x =2007
=
0
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
91/130
7. Daca , sa se calculeze .
Rezolvare:
8.Sa se calculeze suma
S = .
Rezolvare: S=
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
92/130
Am adaugat si am scazut 1.
9.Calculati:
Rezolvare:
10.De terminati astfel inct
Rezolvare
11. Sa se rezolve ecuatia: (2x-4)(2x-3)(2x+1)(2x+2)=-6
Rezolvare:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
93/130
Ecuatia data este echivalenta cu:
(2x-4)(2x+2)(2x-3)(2x+1)=-6 (4x2 4x-8) (4x 2 4x-3)=-6
Notam 4x2 4x-8=t
t(t-5)=-6 t2
-5t+6=0 t1=2 si t2=3
4x 2 4x-8=2 x 1,2= 4x2 4x-8=3 x 3,4= .
12 . Se da ecuatia:
x + 18x + 1 = 0. Se cere sa se calculeze , unde x1, x2sunt solutiileecuatiei .
Rezolvare :
Fie A = . Se ridica la puterea a treia
A = x1 + x 2 + 3 A
Cum x1+ x
2= 18 x
1+x
2=1 (Relatiile lui Viete)
A - 3A + 18= 0 ; Solutia reala a acestei ecuatii este A = -3 ; restul nu sunt reale
A + 3A -3A -9A+6A+18=0
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
94/130
A (A+3) 3A (A+3)+6(A+3)=o
(A+3)(A -3A+6)=0
A=-3
13. Doua drepte perpendiculare intre ele in punctul M(3;4) intersecteaza axa OY inpunctual A si OX in punctual B.
a) sa se scrie ecuatia dreptei AB
b) sa se arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt perpendiculare ,unde 0
este originea sistemului.
Rezolvare :
Scriem ecuatiile dreptelor AM si MB
cum AM
Aflam coordonatele lui A:
- din (1) cnd
Aflam coordonatele lui B:
- din (2) cnd
Fie P(x,y) mijlocul lui AB
panta dreptei AB este
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
95/130
Panta dreptei OM este evident
A
M(3,4)
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
96/130
O B
14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere:
a) perimetrul triunghiului ABC si natura sa ;
b) coordonatele centrului de greutate;
c) ecuatia dreptei BC;
d) ecuatia medianei AM si lungimea sa;
e) ecuatia inaltimii din A pe BC si lungimea sa ;
f) ecuatia dreptei care trece prin A si face un unghi de 300cu axa OX;
g) ecuatia dreptei care trece prin A si este paralela cu BC;
h) ecuatia bisectoarei din A si lungimea ei
i) aria triunghiului ABC.
Rezolvare:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
97/130
a) Aplicnd formula distantei pentru cele trei laturi ale triunghiului
obtinem:
AB = , BC = ,AC = ;
Se verifica cu reciproca teoremei lui Pitagora ca triunghiul este dreptunghic cu unghiul
de 900 in vrful A.
b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula:
;
c) Ecuatia dreptei BC se scrie folosind formula:
5x+10y-10=0 x+2y-2=0
(forma generala a dreptei )sau (forma normala);
d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M ecuatia medianei este:
11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii medianei AM se poate folosifaptul ca intr-un triunghi dreptunghic mediana corespunzatoare ipotenuzei este jumatatedin ipotenuza:
AM = , altfel se poate aplica formula distantei.
e) Fie AD inaltimea din A AD si BC sunt perpendiculare ceea ce inseamna ca
produsul pantelor este egal cu -1. Cum panta dreptei BC este panta lui AD este 2.Ramne sa scriem ecuatia dreptei care trece prin A si are panta 2 :
y-6=2(x-2) 2x-y+2=0 este ecuatia inaltimii din A;
Pentru calculul inaltimii (intr-un triunghi dreptunghic) este convenabil sa aplicamformula:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
98/130
AD = ;
Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecuatiile dreptelor BC si AD pentru adetermina coordonatele lui D.
f) y-6= (x-2); Am aplicat formula y-y0=m(x-x0) in conditiile in care panta este tg300
g) y-6= (x-2) unde este panta dreptei BC .
h) Fie AE bisectoarea unghiului A.
Din teorema bisectoarei k= k= .Folosindu-ne de raportul in care un punct
imparte un segment rezulta coordonatele lui E . Atunci ecuatia bisectoarei este:
21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea bisectoarei ne putem folosi si de
formula care este utilizata de obicei cnd se cunoaste masura
unghiului a carei bisectoare se calculeaza. AE = .
i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este data de formula A = .
Se va insista pe faptul ca daca triunghiul nu ar fi fost dreptunghic ar fi trebuit sa secalculeze distanta de la A la dreapta BC adica tocmai lungimea inaltimii iar aceasta s-arputea face mai simplu folosind formula :
Distanta de la un punct M0(x0,y0) la o dreapta h de ecuatie (h): ax+by+c=0 este datade:
.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
99/130
15. Sa se rezolve ecuatia:
Rezolvare : Ecuatia data este echivalenta cu :
Ridicam la puterea
Din monotonia functiei care e strict crescatoare ecuatia are solutieunica
16 . Sa se rezolve ecuatia: 2x x
x x 3 3
2007 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1
Rezolvare:
Ecuatia data este echivalenta cu:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
100/130
x
x 3 3
2007 = (2006 + 1) . Ridicam la puterea 1/3 =>
x x
3 3
2007 = 2006 +1 =>
x x
3 3
2007 2006 =1 (*)
Din monotonia functiei f(x) = (1+ a)x a xcare e strict crescatoare => ecuatia (*) are
solutie unica: x = 3
17. Sa se determine numarul de cifre din care este compus numarul 72007.
Rezolvare:
102 < abc
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
101/130
(*) 10 p-1 N < 10 p, unde preprezinta numarul de cifre ale lui N.
Din (*) => lg 10 p-1 lg N p-1 lg N
lg N = 2007 lg 7 1696 de cifre.
18. Sa se arate ca matricea A = e inversabila , unde :
2006 ori de 1
Rezolvare :
A e inversabila ultima cifra a numarului det A
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
102/130
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
103/130
Probleme - sinteze
I. NUMERE REALE. APLICATII.
1. Sa se calculeze:
a) .
b)
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
104/130
2. Daca a=2006.2007, aratati ca
3. Sa se calculeze numarul
4. Comparati numerele:
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
105/130
5. Daca
6. Aratat i ca numarul e pat rat perfect.
7.Sa se arate ca expresia
8. Sa se aduca la o forma mai simpla expresia:
9. Care numar este mai mare: .
10*. Sa se arate ca: a)
11.Sa se arate ca: .
12. Stabiliti valoarea de adevar a p ropozitiei:
13. Sa se afle x stiind ca
14. Sa se afle numerele intregi x pentru care
15. Sa se verifice egalitatile:
16. Sa se ordoneze crescator numerele: .
17. Sa se rationalizeze numitorii fractiilor:
. ; ; d) ; e) .
18. Sa se determine radacina patrat a a numarului a=
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
106/130
19. Sa se determine cel mai mare numar natural n cu proprietatea:
.
20. Fie a,b,c numere rationale astfel inct ab+ac+bc=1. Sa se demonst reze ca: .
21. Sa se demonstreze ca nu este un numar rational.
II. PROGRESII ARITMETICE
1. Sa se scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice daca :
a) =-3 ; r=5 b) =7 ;r=2 c) = 1,3 ; r= 0,3
2. Sa se gaseasca primii doi termeni ai progres iei aritmetice :
a) b)
3. Sa s e calculeze primii cinci termeni ai s irului cu termenul general
a) =3n+1 ; b) = 3 + (-1) c) = n
4. Fie o progres ie aritmetica . Daca se dau doi termeni ai progresiei sa se afle ceilalti :
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
107/130
5. Fie o progresie aritmetica. Se dau :
se cere a
b) se cere a
c) se cere
d) se cere
6. Sa se gaseasca primul termen si ratia unei progresii aritmetice daca :
7. Sirul este dat prin formula termenului general.
a) x =2n-5 ; b) x =10-7n. Sa se arate ca e o progresie aritmetica. Sa se afle primul termen si ratia.
8. . Sa se afle S daca :
9.Cunoscnd Sn sa se gasesca :
a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice daca Sn =5n +3n ; Sn =3 n ; Sn = .
b) = ?, r= ? daca Sn = 2 n +3n ;
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
108/130
10. Este progresie aritmetica un sir pentru care :
a) Sn = n -2n ; b) Sn= 7n-1 ; c) Sn = -4 n +11.
11. , S10 = 100, S30 =900 . Sa se calculeze S50.
12. Determina x R astfel inct urmatoarele numere sa fie in progresie aritmetica.
a) x-3, 9, x+3 ; b) c)
13. Sa se rezolve ecuatiile :
a) 1+7+13+.+x =280 ;
b) 1+3+5+..+x = 169 ;
c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+..+(x+28) = 155 ;
d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ..+(x+25) = 338 ;
e) x+(x+5)+(x+10)++(x+100) = 2100.
14. Sa se arate ca urmatoarele numere sunt in progresie aritmetica :
a) (a+b) , a +b , (a-b) ;
b) ;
c)
15. Sa se arate ca daca numerele sunt in progresie aritmetica atunci numerele sun t in progresie
aritmetica.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
109/130
16. Fie o progresie aritmetica.
Sa se arate ca : .
17. Fie ecuatia ax +bx+c =0 cu solutiile x1,x2. Daca numerele a,b,c sunt in progresie aritmetica atunci exista relatia : 2(x1+x2)+x1.x2 +1
= 0
18. Sa se demonstreze : a)
b)
c)
III. PROGRESII GEOMETRICE
1. Sa se scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b ) daca :
a) b)
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
110/130
c) d)
e)
2. Sa se gaseasca primii doi termeni ai progresiei geometrice (b ) :
a) b)
3. Daca se cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b )
a) , sa se gaseasca
b) ,. .
4. Sa se scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin :
a) b)
c) d)
5. Este progresie geometrica un sir pentru care suma primilor n termeni este :
a) Sn = n -1 ; b) Sn = ; c) Sn =
6. Sa se determine x a.i. numerele urmatoare sa fie in progresie geometrica :
a) a+x, b+x, c+x ; b) ; c) ;
7. Sa se gaseasca primul termen b1 si ratia q a progresiei geometrice (b ) daca :
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
111/130
a) b) c)
8.Sa se calculeze sumele :
a)
b)
c)
d)
e) 1+11+111+1111+1111111 (de n ori 1)
f) 3+33+333+..33333..3
g) 7+77+777+..77777(de n ori 7)
h)
9. Sa se rezolve ecuatiile :
a)
b)
IV. LOGARITMI
1. Sa se logaritmeze expresiile in baza a: a) E=a 2 .
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
112/130
b) E= .
c) E=
2. Sa se determine expresia E stiind ca : lg E=2 lga- lgb-3 lg3.
3. Sa se arate ca log26+log62>2.
4. Sa se calculeze expres iile: a)
b)
c) E=log225-log2 .
d)
e)
f)
g)
5. Sa se arate ca expresia: E= este independenta de valorile strict mai mari ca 1 ale
variabilelor x,z,y.
6. Sa se calculeze expres iile: a) E= .b) E=
7.Sa se calculeze suma:
8. Sa se arate ca daca a,b,c sunt in progresie geometrica atunci are loc
egalitatea:
9. Sa se arate ca daca x, y, z sunt in progres ie geometrica atunci sunt in progres ie aritmetica.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
113/130
PRIMITIVE
1. Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii.
1. (3x 2. x(x-1)(x-2)dx
3. 4.
5. 6.
7. x 8.
9. ( e 10. (x
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
114/130
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21.
2..Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii compuse.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11.
12.
13. 14.
3. Sa se calculeze primitivele urmatoare utiliznd metoda integrarii prin parti:
1. 2. 3.
4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
115/130
13. 14. 15.
16. 17.
18.
19. 20. 21.22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. 45.
46. 47.
3. Sa se calculeze integralele prin metoda substitutiei
1. 2. 3. 4.
5. 6.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
116/130
7. 8. 9.
10.
11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18.
19. 20. 21. 22.
23. 24.
25. 26. 27. 28.
29. 30. 31. 32.
33. 34. 35.
36 . 37. 38.
4. Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii trigonometrice :
1. 2. 3. 4.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
117/130
5. 6.
7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18.
19. 20.
5.Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii rationale:
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13.
14. 15.
16. 17.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
118/130
18. 19.
20. 21.
22. 23.
24. 25.
26. 27.
28. 29.
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
119/130
ISTORICUL NOTIUNILOR MATEMATICE
Sec. 18 i.e.n. mesopotamieniicreeaza primele tabele de inmultire;
sec. 6 i.e.n. este cunoscuta asemanarea triunghiurilor de catre Thales;
Sec. 5 i.e.n. pitagorienii introduc notiunile de numar prim, numar compus, numererelativ prime, numere prime perfecte;
Sec. 4 i.e.n.
Aristotel (384-322 i.e.n) filozof grec a introdus notiunile de perimetru,teorema, silogism.
Sec. 3 i.e.n.
Matematicianul grec Euclid(330-275 i.e.n ) cel care a intemeiat celebra scoaladin Alexandria (in 323 i.e.n) a introdus notiunile de semidreapta, tangenta la ocurba, puterea unui punct fata de un cerc sau sfera, sau denumirile de paralelogram,poliedru, prisma, tetraedru. A enuntat teorema catetei si a inaltimii pentru un triunghidreptunghic si a demonstrat concurenta mediatoarelor unui triunghi;
Apolonius din Perga(262-200 i.e.n), unul din cei mai mari geometri ai antichitatiiintroduce pentru prima data denumirile pentru conice, de elipsa, hiperbola, parabolasi notiunile de focare, normale si defineste omotetia si inversiunea si da oaproximare exacta a lui cu patru zecimale.
este data aria triunghiului in functie de laturi sau in functie de raza cerculuiinscris si semiperimetru;
Eratostene din Cyrene(275-195 i.e.n) introduce metoda de determinare atuturor numerelor prime mai mici dect un numar dat, metoda cunoscuta sub numelede Ciurul lui Eratostene
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
120/130
in prima carte din Elementele lui Euclid este cunoscuta teorema impartirii curest si algoritmul lui Euclid pentru aflarea c.m.m.d.c. a doua numere intregi
85-168 matematicianul grec Ptolemeuprezinta in cartea sa Almagest, pe lngavaste cunostinte de astronomie si trigonometrie si diviziunea cercului in 360 de particongruente si exprimarea acestora in fractii sexagesimale.
Sec. 3 s-a dat formularea teoremei celor trei perpendiculare de catre Pappos;acesta a mai dat si definitia conicelor precum si teorema despre volumul corpurilorde rotatie
Sec. 7
sunt cunoscute regulile de trei directa si inversa de catre Bragmagupta,matematician indian;
Arhimede(287-212 i.e.n) precursor al calculului integral, a determinat aria sivolumul elipsoidului de rotatie si ale hiperboloidului de rotatie cu pnze.
1202- Leonardo Fibonacci (1170-1240) matematician italian introduce notatiapentru fractia ordinara;
1228- Fibonacci introduce denumirea pentru numarul zero, precum si sistemul denumeratie zecimal. Tot prin opera sa Liber abaci sunt introduse pentru data in
Europa numerele negative, fiind interpretate ca datorii;
1150- este descrisa extragerea radacinii patrate si a celei cubice in cartea Lilavati a matematicianului indian Bhaskara(1114-1185), tot el prezinta sioperatiile de inmultire si impartire cu numere negative;
1515- rezolvarea ecuatiilor de gradul al treilea cu o necunoscuta de catre Scipiodel Fero, iar mai trziu de Niccolo Tartaglia in 1530, si pe acelea de gradul alpatrulea de Ludovico Ferrari in 1545. Acestea au fost facute cunoscute abia in
1545 de catre Girolamo Cardano(1502-1576) in lucrarile sale, desi promiseseautorilor lor sa nu le divulge;
1591-matematicianul francez Francois Viete(1540-1603) introduce formulelecunoscute sub numele de relatiile lui Viete;
1614- inventarea logaritmilor naturali de catre John Neper(1550-1617);
1637- este introdusa notiunea de variabila de catre Rene Descartes(1596-1650),cel care a introdus literele alfabetului latin pentru notatii si a folosit coordonatelecarteziene (definite dupa numele sau), reducnd problemele de geometrie laprobleme de algebra;
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
121/130
1640- este introdusa denumirea pentru cicloida de catre Galileo Galilei (1564-1642);
1654- inceputul crearii teoriei probabilitatilor datorat corespondentei dintre PierreFermat(1601-1665) si Blaise Pascal(1623-1662) si dezvoltarea combinatoriciiodata cu aparitia lucrarii lui Pascal, Combinationes;
1656- matematicianul englez John Wallis(1616-1703) introduce simbolul cu
notatiile si a denumirilor de interpolare respectiv mantisa
1670- este determinat semnul sinusului si desenata sinusoida respectiv secantoidade catre John Wallis);
1678- este data teorema lui Ceva de catre Ceva Giovani(1648-1734);
1679- in Varia opera mathematica aparuta postum, a lui Pierre Fermat(1601-1665), a fost data Marea teorema a lui Fermat, reguli de integrare, definitiaderivatei.
1692- este scris primul manual de calcul integral de catre matematicianul elvetianJean Bernoulli(1667-1748) Lectiones mathematicae de methodo integraliumaliisque, tiparit abia in 1742 si de asemenea a mai scris un manual de calculdiferential, descoperit abia in 1920.
Regula lui lHospital este data de catre Jean Bernoulli lui Guillaume delHospital pe care acesta o publica in 1696;
1690- este propusa denumirea de integrala de catre Jacques Bernoulli(1654-1705)
1692- sunt descoperite proprietatile spiralei logaritmice (Jacques Bernoulli)
1694- este descoperita curba numita lemniscata, caracterizata de inegalitatea
(1+x)n 1+nx (Jacques Bernoulli);
1696-1697- introducerea calculului variational, punerea problemei izoperimetrelorde catre Jean Bernoulli.
1705- este data Legea numerelor mari de catre Jacques Bernoulli;
1711- realizarea dezvoltarii in serie a functiilor ex, sinx, cosx,arcsinx, de catrematematicianul englez Isaac Newton(1642-1727) cel care a pus bazele calcululuidiferential si integral concomitent cu Gottfried Leibniz(1646-1716);
8/13/2019 Prof. Adrian Stan - Pregtire bacalaureat matematic. Culegere cu teorie i probleme
122/130
1729- este demonstrata existenta radacinilor complexe in numar par a unei ecuatiialgebrice cu coeficienti reali de catre Mac Laurin Colin(1698-1746;
1731- utilizarea sistemului de axe perpendiculare pentru a determina pozitia unuiobiect in functie de cele trei coordonate;
1733- crearea trigonometriei sferoidale de catre Alexis Clairaut(1713-1765); 1735- Matematicianul elvetianLeonhard Euler(1707-1783) introduce si calculeaza
constanta e= =0,577215..., n;
1739- introducerea conceptului de integrala curbilinie de catre Alexis Clairaut;
1746- relatia lui Stewart este demonstrata de Mathew Stewart dupa ce inprealabil ea ii fusese comunicata de catre Robert Simson in 1735;
1747
este enuntata problema celor trei corpuri de catre Clairaut;
introducerea metodei multiplicatorilor nedeterminati in studiul sistemelor deecuatii diferentiale de catre Jean Le Rond DAlembert(1717-1783);
1750- Gabriel Cramer da o regula de rezolvare a sistemelor cunoscuta subdenumirea de metoda lui Cramer;
1755- sunt puse bazele calculului variational de catre Lagrange(1736-1813)concomitent cu Euler,
1765- inceputul crearii geometriei descriptive de catre Gaspard Monge(1746-1818);
1766- crearea mecanicii analitice de catre Joseph Lagrange(1736-1813) cue
Top Related