PROCESE STOCHASTICE
Notă introductivă
Cursul îşi propune să acopere un minim de noţiuni necesare înţelegerii
modelelor matematice dezvoltate pe piaţa de capital. Materialul este structurat în
patru capitole.
Primul capitol are ca obiectiv o trecere în revistă a unor noţiuni
fundamentale din teoria probabilităţilor la care se fac referiri pe parcusul
cursului.
Capitolul doi tratează aspecte legate de mişcarea browniană punând accent
pe caracterul markovian al acesteia.
Capitolul trei este o introducere în calculul stochastic, care ocupă un loc
central atât în formularea matematică a problemelor de pe piaţa obligaţiunilor,
acţiunilor, contractelor futures, opţiunilor cât şi în rezolvarea lor.
In capitolul patru sunt prezentate prin intermediul elementelor de calcul
stochastic o serie de rezultate asociate mişcării browniene.
Noţiunile teoretice abordate sunt însoţite de aplicaţii din domeniul
financiar.
Cursul include şi o secţiune de exerciţii şi proiecte ce urmează a fi
discutate în cadrul orelor de seminar.
2
CUPRINS
Pag.
Capitolul 1 - Noţiuni preliminare 4
1.1. Spaţiu de selecţie 4
1.2. Noţiunea de σ -algebră 4
1.3. Noţiunea de măsură 6
1.4. Noţiunea de probabilitate 8
1.5. Valoarea medie a unei variabile aleatoare 9
1.6. Integrabilitate uniformă 11
1.7. Independenţă 11
1.8. Probabilităţi echivalente 12
1.9. Variabile aleatoare gaussiene 13
1.10. Tipuri de convergenţă 14
1.11. Proces stochastic 17
1.12. Medie condiţionată 19
1.13. Martingale 26
1.14. Timp de oprire 29
1.15. Proces Markov 36
Capitolul 2 - Mişcarea Browniană 38
2.1. Construcţia unei mişcări browniene 39
2.2. Mers aleatoriu 42
2.3. Proprietăţi ale mişcării browniene 44
2.4. Traiectoriile unei mişcări browniene 49
2.5. Proprietatea de martingal 50
2.6. Timp de lovire 52
2.7. Mişcarea browniană multidimensională 54
2.8. Integrala Weiner 55
2.9. Mişcarea browniană geometrică 59
3
Capitolul 3 – Calcul Stochastic 65
3.1. Integrala stochastică 65
3.2. Ecuaţii diferenţiale stochastice 79
3.3. Exemple de porcese Itô 89
Capitolul 4 – Probleme asociate mişcării browniene 103
4.1. Regula de schimbare a probabilităţii 103
4.2. Timp de lovire 112
4.3.Alte probleme asociate mişcării browniene 124
Exerciţii 137
Dicţionar de termeni financiari 142
4
Capitolul 1
Noţiuni preliminare
Capitolul cuprinde noţiuni fundamentale din teoria probabilităţilor ce urmează a
fi utilizate pe parcursul cursului: probabilitate, proces stochastic, martingal, timp de
oprire.
1.1. Spaţiu de selecţie
Definiţia 1. Fie Ω mulţimea tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment
aleator oarecare. Elementele mulţimii Ω le numim evenimente elementare iar mulţimea
Ω o numim spaţiu de evenimente elementare sau spaţiu de selecţie.
1.2. Noţiunea de σ -algebră
Definiţia 2. Fie Ω o mulţime nevidă. Familia A de submulţimi din Ω se
numeşte algebră, dacă sunt verificate următoarele axiome:
1. A∈A implică A∈A , unde A reprezintă complementara mulţimii A , mai
precis, A∉Ω∈ ωω , ;
2. A∈BA, implică A∈∪ BA
Observaţie. 1. Din definiţia 2 şi din faptul că AA∪=Ω rezultă A∈Ω . Prin
urmare şi A∈φ , deoarece Ω=φ ; 2. Cum BABA ∪=∩ şi A∈BA, rezultă
A∈∩ BA .
Definiţia 3. Familia F de submulţimi din Ω se numeşte σ -algebră sau câmp
sau corp borelian de evenimente dacă verifică următoarele axiome:
1. ∈φ F
2. ∈Ω F
3. ∈Α F implică ∈Α F
4. pentru orice ∈ΑΑΑ ,....,, 321 F rezultă ∈∞
=U
1iiA F şi ∈
∞
=I
1iiA F .
5
Observaţie. F reprezintă mulţimea evenimentelor asociate experimentului
aleator sau altfel spus, F conţine toate submulţimile lui Ω .
Exemple de σ -algebre. Fie Ω un spaţiu arbitrar de evenimente elementare.
Cea mai “săracă” σ -algebră a spaţiului Ω este submulţimea Ω,φ iar cea mai
“bogată” σ -algebră conţine toate submulţimile spaţiului Ω .
Considerăm experimentul clasic ce constă în aruncarea de două ori a unei
monede perfecte. In acest caz, spaţiul de evenimente elementare este mulţimea
TTTHHTHH ,,,=Ω şi folosind definiţia este uşor de verificat că mulţimea F
formată din toate submulţimile spaţiului Ω şi mulţimea TTTHHTHH ,,,,,Ω= φG
sunt σ -algebre.
σ -algebra poate fi interpretată ca informaţia pe care o avem la un anumit
moment, ne spune ce evenimente cunoaştem. In exemplul nostru F este σ -algebra în
care ştim toate rezultatele obţinute în urma aruncării monedei, în timp ce G este
σ -algebra în care ştim numai rezultatul primei aruncări. Presupunem că moneda a fost
aruncată de două ori dar nu cunoaştem rezultatul aruncării, ştim numai dacă rezultatul se
află sau nu în G . De exemplu, se spune că rezultatul aruncării nu este φ dar este în Ω .
Mai mult se poate spune că rezultatul aruncării nu se află în HTHH , dar se află în
TTTH , , cu alte cuvinte ştim doar că rezultatul primei aruncări este T dar nu ştim
nimic despre rezultatul celei de-a doua aruncări. Se spune că σ -algebra G conţine
informaţia până la momentul unu. Analog, putem spune că F conţine informaţia
completă. σ -algebra trivială Ω,φ nu conţine informaţii, faptul că rezultatul aruncării
este φ sau se află în Ω nu ne spune nimic despre eveniment.
Dacă Ω⊆A atunci familia Ω= ,,, φAAAF este σ -algebra (algebra) generată
de mulţimea A . Această familie reprezintă un caz particular al familiilor generate de
partiţii, altfel spus, dacă ,...,...,, 21 nAAAA = este o partiţie numărabilă a lui Ω adică
,...,....,, 21 nAAA sunt submulţimi nevide ale lui Ω cu proprietăţile:
......21 ∪∪∪∪=Ω nDAA , φ=∩ ji DD , ji ≠ , 1, ≥ji ,
atunci familia formată din mulţimile reprezentate ca reuniuni finite numărabile de
elemente ale partiţiei şi mulţimea vidă este o σ -algebră.
Propoziţia 1. Orice intersecţie de σ -algebre este o σ -algebră.
6
Observaţie. Afirmaţia nu este adevărată pentru reuniunea de σ -algebre. Mai
precis, o reuniune de σ -algebre nu este o întotdeauna o σ -algebră.
Definiţia 4. Fie F şi G două σ -algebre astfel încât FG ⊂ ( G∈A implică
F∈A ), atunci G este o sub-σ -algebră a σ -algebreiF .
Definiţia 5. σ -algebra generată de familia de mulţimi F este intersecţia
tuturor σ -algebrelor ce conţin F .
Definiţia 6. Dacă 1F şi 2F sunt două σ -algebre, notăm prin 21 FF ∨ ,
σ -algebra generată de familia 21 FF ∪ şi reprezintă intersecţia tuturor σ -algebrelor
ce conţin σ - algebrele 1F şi 2F .
Propoziţia 2. Fie F o familie de submulţimi ale lui Ω . Atunci există o
σ -algebră minimală, sau altfel spus σ -algebra generată de familia de mulţimi F ,
notată ( )Fσ , ce conţine toate mulţimile din care este formată familia F .
1.3. Noţiunea de măsură
Definiţia 7. Spaţiul Ω înzestrat cu o σ -algebră F de submulţimi ale lui Ω se
numeşte spaţiu măsurabil sau câmp (borelian) de evenimente şi se notează prin ( )F,Ω .
Definiţia 8. Fie ( )F,Ω şi ( )E,E două spaţii măsurabile. O funcţie f definită
pe Ω cu valori în E este ( )EF, - măsurabilă, sau simplu măsurabilă, dacă ( ) F∈− Af 1
pentru orice A din E, , unde
( ) ( ) AfAfdef
∈Ω∈=− ωω 1 .
Definiţia 9. Fie ( )F,Ω un spaţiu măsurabil. Se numeşte variabilă aleatoare
reală o funcţie măsurabilă X definită pe Ω cu valori în R. Altfel spus o funcţie X
pentru care ( ) F∈− AX 1 oricare ar fi A din RB , unde RB reprezintă σ - algebra
mulţimilor boreliene din R . Faptul că X este măsurabilă poate fi exprimat şi prin
( ) F ∈≥ aX ωω, , pentru orice a real.
Observaţie. Fie TTTHHTHH ,,,,,Ω= φG . Presupunem că pentru fiecare
eveniment din G ştim dacă acesta are loc sau nu. Atunci dacă variabila aleatoare X
este G -măsurabilă putem calcula valoarea lui X .
7
Revenind la exemplul aruncării monedei de două ori considerăm X numărul de
apariţii ale evenimentului H în cele două aruncări. In aceste condiţii X este
F -măsurabilă dar nu este G -măsurabilă. Fie ( ) aXAa ≥Ω∈= ωω , . Atunci rezultatul
experimentului este:
<≤<≤<≤Ω
adacăadacăHHadacăTHHTHHadacă
22110,,0
, , , ,
φ
Dacă 2=a se observă că evenimentul asociat este HH . Cum F conţine toate
submulţimile lui Ω rezultă că evenimentul F∈HH . Se observă că pentru orice
valoare a lui a , evenimentul aA aparţine lui F , deci X este măsurabilă în raport cu
σ -algebra F . Dar, G∉HH , rezultă că există cel puţin o valoare a lui a pentru care
evenimentul aA nu aparţine lui G şi prin urmare X nu este măsurabilă în raport cu
σ -algebra G .
Propoziţia 3. Dacă X este o variabilă aleatoare reală G -măsurabilă şi f este
o funcţie boreliană atunci ( )Xf este G -măsurabilă.
Definiţia 10. σ -algebra generată de o variabilă aleatoare X definită pe
( )F,Ω , notată prin ( )Xσ , este mulţimea părţilor lui Ω , de forma ( )AX 1− , unde
RA B∈ . ( )Xσ este inclusă în F .
Observaţie. O variabilă aleatoare reală X este F măsurabilă dacă ( ) F⊂Xσ .
Definiţia 11. σ -algebra generată de o familie de variabile aleatoare
[ ]( )TtX t ,0, ∈ , notată prin ( )TtX t ≤,σ , este intersecţia σ -algebrelor ce conţin familia
( ) AX t1− pentru orice t din [ ]T,0 şi RA B∈ .
8
1.4. Noţiunea de probabilitate
Definiţia 12. O probabilitate pe ( )F,Ω este o aplicaţie P definită pe
σ -algebra F de submulţimi din Ω cu valori în intervalul [ ]1,0 , care verifică
următoarele axiome:
1. ( ) 1=ΩP
2. ( ) 0=φP
3. ( )∑∞
=
∞
=
=
11 nn
nn APAP U , pentru ,....., 21 AA din F , disjuncte două câte două.
Notaţie: Fie A din F , atunci putem scrie ( ) ∫∫Ω
== dPdPAP AA
1 , unde A1 este o
funcţie definită pe Ω prin ( ) 1=ωA1 dacă A∈ω şi ( ) 0=ωA1 dacă A∉ω .
Din definiţia probabilităţii putem obţine o serie de proprietăţi, cum ar fi:
1. ( ) ( ) 1=+ APAP , pentru orice A din F ( A reprezintă complementara mulţimii
A );
2. dacă BA ⊂ atunci ( ) ( )BPAP ≤ şi ( ) ( ) ( )ABPAPBP −+= , unde
ABAB ∩=− ;
3. dacă nA este un şir crescător (respectiv descrescător) de mulţimi din F şi
Un
nAA = , (respectiv In
nAA = ) atunci A aparţine σ -algebrei F şi
( ) ( )nAPAP lim= .
4. teorema clasei monotone: dacă P şi Q sunt două probabilităţi pe spaţiul
probabilistic ( )PF,,Ω astfel încât ( ) ( )AQAP = pentru orice mulţime A dintr-o
familie C de mulţimi închise la intersecţii finite (dacă C∈21 ,CC atunci
C∈∩ 21 CC ) şi F este σ -algebra generată de C , atunci QP = în raport cu
F .
Definiţia 13. Spunem despre o mulţime A că este neglijabilă dacă ( ) 0=AP .
Definiţia 14. Spunem că o proprietate este adevărată aproape sigur dacă este
adevărată cu excepţia unei mulţimi neglijabile.
Definiţia 15. Un spaţiu ( )PF,,Ω este complet dacă conţine toate mulţimile A
astfel încât ( ) 0,:inf =⊂∈ BABBP F .
9
Definiţia 16. Fie X o variabilă aleatoare definită pe spaţiul probabilistic
( )P,,FΩ . Legea de probabilitate a variabilei aleatoare X este probabilitatea XP
definită pe ( )RR B, prin ( ) ( ) ( )AXPAXPAPX ∈=∈= ωω; , pentru orice A din RB .
Definiţia 17. Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este o funcţie
crescătoare definită pe R prin ( ) ( )xXPxF ≤= .
Definiţia 18. Densitatea unei variabile aleatoare X , notată ( )xf , este derivata
funcţiei de repartiţie în condiţiile în care această derivată există. Putem scrie
( ) ( )∫=∈A
dxxfAXP .
Definiţia 19. Dacă două variabile aleatoare au aceeaşi lege de probabilitate
sau aceeaşi funcţie de repartiţie sau aceeaşi densitate spunem că sunt egale în lege.
Altfel spus, dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare pentru care are loc relaţia
( ) ( )aYPaXP ≤=≤ , pentru orice a din R atunci X şi Y au aceeaţi lege de
probabilitate. Notăm YXlegeîn
= .
1.5. Valoarea medie a unei variabile aleatoare
Definiţia 20. Valoarea medie a unei variabile aleatoare X , notată ( )XE , este
cantitatea ( )∫∫ =Ω R
X xxdPXdP , în condiţiile în care acestă integrală există.
Observaţie. Există variabile aleatoare pentru care valoarea medie nu poate fi
calculată. Altfel spus, integrala ∫Ω
XdP nu are sens.
Definiţia 21. Spunem că variabila aleatoare X este integrabilă dacă X are
media finită ( ∞<XE ).
Notaţie: Notăm cu ( )Ω1L mulţimea variabilelor aleatoare integrabile.
Definiţia 22. Analog, media unei funcţii boreliane Φ , cu ( )XΦ integrabilă,
este cantitatea ( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ Φ=Φ=ΦΩ R
X xdPxdPXXE .
Dacă variabila aleatoare X admite o densitate f atunci au loc relaţiile:
( ) ( )∫=R
dxxxfXE şi ( )( ) ( ) ( )∫Φ=ΦR
dxxfxXE .
10
Cunoaştem legea de probabilitate a variabilei aleatoare X dacă pentru orice
funcţie boreliană mărginită Φ cunoaştem valoarea medie ( )( )XE Φ . Dacă X şi Y sunt
două variabile aleatoare şi Φ este o funcţie boreliană mărginită atunci egalitatea
( )( ) ( )( )YEXE Φ=Φ implică egalitatea în lege a variabilelor aleatoare X şi Y .
Observaţie. Egalitatea în lege nu implică egalitatea aproape sigură. De exemplu,
dacă X este o variabilă gaussiană a cărei valoare medie este 0, atunci are loc egalitatea
XXlegeîn
−=
dar nu şi egalitatea aproape sigură. Pentru a avea egalitate în lege este
suficient ca egalitatea ( )( ) ( )( )YEXE Φ=Φ să fie verificată pentru o clasă suficient de
mare de funcţii, cum ar fi funcţiile de forma xeλ , unde R∈λ .
Definiţia 23. Funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare reale X este
funcţia ( ) ( ) ( )∫==R
XitxitX dxPeeEtψ (transformata Fourier a legii de probabilitate a
lui X ) .
Dacă variabila aleatoare X admite o densitate ( )xf atunci funcţia sa caracteristică este
dată de expresia ( )∫R
itx dxxfe . Funcţia caracteristică descrie legea de probabilitate a unei
variabilei aleatoare . Dacă transformata Fourier ψ aparţine spaţiului ( )dxL1 atunci
densitatea asociată în mod unic este dată de formula ( ) ( )dttexf itx∫∞
∞−
−= 21 φπ
.
Legea unei variabile aleatoare poate fi descrisă şi de transformata Laplace
( ) ( )Xdef
eE λλ =Ψ . Pentru a cunoaşte legea de probabilitate a unei perechi de variabile
( )YX , este suficient să cunoaştem valoarea medie ( )( )YXE µλ +exp pentru orice
pereche ( )µλ, .
Exemplu. X este o variabilă gaussiană a cărei lege de probabilitate este
( )2,σmN dacă şi numai dacă transformata Laplace este dată de expresia
( )
+=
2exp
22σλλλ meE X .
Proprietăţi ale mediei unei variabile aleatoare:
1. ( ) ( ) ( )YbEXaEbYaXE +=+ pentru oricare două constante reale a şi b ;
11
2. Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare astfel încât YX ≤ aproape sigur
atunci ( ) ( )YEXE ≤ ;
3. Inegalitatea lui Jensen: dacă X este o variabilă aleatoare şi dacă Φ este o
funcţie convexă astfel încât ( )XΦ este integrabilă atunci ( )( ) ( )( )XEXE Φ≥Φ .
1.6. Integrabilitate uniformă
Definiţia 24. O familie de variabile aleatoare ( )IiX i ∈, este uniform
integrabilă dacă 0sup →∫≥aX
ii
i
dPX pentru a tinzând la ∞ .
Dacă există o variabilă aleatoare Y din ( )PL1 astfel încât YX i ≤ , pentru orice
i atunci familia de variabile aleatoare ( )IiX i ∈, este uniform integrabilă.
1.7. Independenţă
Definiţia 25. Două sub-σ -algebre 1F şi 2F sunt independente dacă are loc
egalitatea ( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩ , pentru orice A şi B din 1F şi respectiv 2F .
Pentru ca două σ -algebre 1F şi 2F să fie independente este necesar şi suficient să aibă
loc relaţia ( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩ pentru orice A din 1C şi B din 2C , unde iC este o
familie de mulţimi închise la intersecţie cu ( ) ii FC =σ .
Definiţia 26. O variabilă aleatoare X şi o sub-σ -algebră G sunt independente
dacă ( )Xσ , σ -algebra generată de X şi G sunt independente.
Propoziţia 4. O variabilă aleatoare X şi o sub-σ -algebră G sunt
independente dacă şi numai dacă are loc egalitatea ( ) ( ) ( )xXPAPxXAP ≤=≤∩
pentru orice x din R şi orice A din G .
Observaţie. Două variabile aleatoare X şi Y sunt independente dacă
σ -algebrele generate ( )Xσ şi respectiv ( )Yσ sunt independente.
Exemplu. Considerăm experimentul aruncării de două ori a unei monede
perfecte şi definim σ -algebrele: TTTHHTHH ,,,,,1 Ω= φF şi
TTHTTHHH ,,,,,2 Ω= φF . Deoarece ( ) ( ) ( ) ( )41
==== TTPTHPHTPHHP
rezultă 1F şi 2F sunt independente.
12
Propoziţia 5. Două variabile aleatoare X şi Y sunt independente dacă şi numai
dacă are loc egalitatea ( ) ( ) ( ) ( )yYPxXPyYxXP ≤≤=≤∩≤ pentru orice x şi y din R .
Proprietăţi:
1. dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci ( ) ( ) ( )YEXEXYE = .
Reciproca nu este adevărată;
2. dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente atunci ( )Xf şi ( )Yg sunt
independente;
3. dacă variabile aleatoare X şi Y sunt independente atunci media ( )( )YXE ,ϕ este
dată de relaţia: ( )( ) ( )( ) ( )( )YgEXfEYXE ==,ϕ , unde ( ) ( )( )YxExf ,ϕ= şi
( ) ( )( )yXEyg ,ϕ= .
Propoziţia 6. Două variabile aleatoare X şi Y sunt independente dacă şi numai
dacă este verificată egalitatea ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )YgEXfEYgXfE = pentru orice funcţii f
şi g boreliene mărginite.
Definiţia 27. O familie de sub-σ -algebre ( )Nii ∈,F este independentă dacă
( )∏≤≤≤≤
=
nii
nii APAP
11I , pentru orice iA din iF şi pentru orice n .
1.8. Probabilităţi echivalente
Definiţia 28. Două probabilităţi P şi Q definite pe acelaşi spaţiu ( )F,Ω sunt
echivalente dacă are loc relaţia: ( ) 0=AP ⇔ ( ) 0=AQ .
Dacă P şi Q sunt două probabilităţi echivalente atunci o proprietate adevărată
P -aproape sigur este adevărată Q -aproape sigur.
Propoziţia 7. Dacă P şi Q sunt două probabilităţi echivalente există o variabilă
aleatoare Y , strict pozitivă, F -măsurabilă, cu ( ) 1=YEP numită densitate Radon-
Nikodym, astfel încât YdPdQ = , sau altfel scris ( ) ∫=A
YdPAQ . Reciproc, dacă Y este o
variabilă aleatoare strict pozitivă, F -măsurabilă, pentru care ( ) 1=YEP , atunci relaţia
( ) ( )ZYEZE PQ = defineşte o probabilitate Q , echivalentă cu probabilitatea P . Relaţia
( ) ( )ZYEZE PQ = se poate obţine în urma calculului următor:
13
( ) ( )∫ ∫∫ ==== ZYEZYdPdPdPdQZZdQZE PQ .
Exemplu. 1. Fie P o probabilitate pe ( )F,Ω şi fie X o variabilă aleatoare
repartizată Bernoulli definită prin: ( ) pXP == 1 , ( ) pXP −== 10 . Fie
( )XXY −+= 1µλ o variabilă aleatoare a cărei valoare medie este 1 pentru
( ) 11 =−+ pp µλ , λ ,µ 0> . Fie YdPdQ = atunci ( ) pXQ λ= . In raport cu
probabilitatea Q , X este o variabilă aleatoare cu o repartiţie Bernoulli de parametru
pλ .
2. Fie X o variabilă aleatoare repartizată normal ( )2,σmN în raport cu P şi fie
Y o variabilă aleatoare definită prin expresia ( )
−−= 22
21exp σhmXhY . Dacă
YdPdQ = atunci în raport cu Q , X este o variabilă aleatoare repartizată normal după
legea ( )22 ,σσhmN + .
Demonstraţie. Este suficient să calculăm ( ) ( ) XYEXE PQ λλ expexp = şi să
verificăm relaţia ( ) ( )
++=
2expexp
222 σλσλλ hmXEQ .
1.9. Variabile aleatoare gaussiene
Definiţia 29. O variabilă aleatoare X este gaussiană de lege ( )2,σmN dacă
densitatea sa este dată de expresia:
( ) ( )2
2
2exp
21
σπσmxxf −
−= .
Definiţia 30. Un vector aleator ( )TnXXXX ,....,, 21= se numeşte gaussian dacă
orice combinaţie liniară ∑=
n
iii Xa
1
este o variabilă gaussiană cu valori reale.
Observaţie. Legea de probabilitate a unui vector gaussian X este descrisă de valoarea
medie şi de matricea de covarianţă [ ]njniji ,1;,1, ==
=Γ
σ , unde
( ) ( ) ( )jijiji XEXEXXE −=,σ . Legea de probabilitate a vectorului aleator X admite o
densitate dacă matricea de covarianţă Γ este inversabilă.
14
Propoziţia 8. Dacă două variabile aleatoare X şi Y formează un vector
gaussian de covarianţă 0 atunci cele două variabile aleatoare sunt independente.
Propoziţia 9. Fie ( )YX , un vector gaussian. Există atunci o constantă α astfel
încât variabilele aleatoare X şi YX α− sunt independente.
Propoziţia 10. Dacă X şi Y sunt două variabilele aleatoare gaussiene
independente, atunci bYaX + , unde a şi b sunt constante, este o variabilă gaussiană.
In aceste condiţii vectorul ( )YX , este gaussian. Afirmaţia are loc numai în cazul în
care cele două variabile sunt independente.
Propoziţia 11. Dacă X este o variabilă gaussiană a cărei lege de probabilitate
este ( )2,σmN , atunci pentru orice λ real are loc relaţia ( )
+=
2exp
22σλλλ meE X .
Reciproca este adevărată. Adică, dacă pentru orice λ real are loc egalitatea
( )
+=
2exp
22σλλλ meE X , atunci legea variabilei aleatoare X este ( )2,σmN .
1.10. Tipuri de convergenţă
Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic dat.
Convergenţa aproape sigură
Definiţia 31. Un şir de variabile aleatoare nX converge aproape sigur la X ,
XXas
n → , dacă pentru aproape toţi ω are loc relaţia ( ) ( )ωω XXnn ∞→→ . Altfel spus,
nX converge aproape sigur la X dacă ( ) ( ) ( ) 1lim: == ωωω XXP nn.
Observaţie. 1. Dacă pentru orice ω , ( )ωq este o proprietate a lui ω atunci q are loc
aproape sigur dacă ( ) 1=qP . 2. Acest tip de convergenţă depinde de alegerea
probabilităţii P . Dacă probabilitatea Q este echivalentă cu probabilitatea P şi dacă
XXasP
n
→ atunci XXasQ
n
→ .
Teorema convergenţei monotone: Dacă nX este un şir monoton cresător
( )1+≤ nn XX sau descrescător ( )1+≥ nn XX de variabile aleatoare şi dacă XXas
n →
atunci are loc relaţia ( ) ( )nXEXE lim= .
15
Teorema convergenţei dominante (Lebesgue): Dacă nX este un şir de
variabile aleatoare convergente aproape sigur la X şi dacă există o variabilă
aleatoare Y integrabilă astfel încât YX n ≤ atunci ( )nXE converge la ( )XE .
Legea numerelor mari. Dacă ( )1, ≥iX i este un şir de variabile aleatoare
independente două câte două, identic repartizate cu media finită, atunci ∑=
n
iiX
n 1
1
converge aproape sigur la ( )1XE .
Convergenţa în ( )Ω2L
Definiţia 32. Fie ( )222
XEdPXXdef
== ∫Ω
. Spunem că variabila aleatoare
X este din spaţiului ( )Ω2L dacă ∞<2
X .
Definiţia 33. Fie nX şi X din ( )Ω2L . Şirul de variabile aleatoare ( )nX
converge în ( )Ω2L la X dacă ( ) ( )22
2XXEXX nn −=− tinde la 0 pentru n tinzând
la ∞ .
Observaţie. Convergenţa în 2L depinde de alegerea probabilităţii P .
Propoziţia 12. Dacă ( )nX converge în ( )Ω2L la X atunci ( )2nXE converge la
( )2XE . Reciproca nu este adevărată.
Observaţie. 1. Spaţiul ( )Ω2L este un spaţiu Hilbert înzestrat cu produsul scalar
∫Ω
= XYdPYX , . In particular ( )Ω2L este un spaţiu complet. 2. Dacă un şir converge în
2L există un subşir al său convergent aproape sigur.
Legea numerelor mari poate fi rescrisă astfel: dacă ( )1, ≥iX i este un şir de
variabile aleatoare independente, identic repartizate, de dispersie finită atunci
∑=
n
iiX
n 1
1 converge în 2L la ( )1XE .
Propoziţia 13. Dacă un şir de variabile aleatoare gaussiene este convergent în 2L atunci limita sa este o variabilă gaussiană.
16
Pentru 1>p , notăm cu p
X cantitatea pozitivă definită prin:
( ) ( )ppp
pXEdPXX == ∫
Ω
. Spaţiul ( )ΩpL poate fi înzestrat cu o normă p
X astfel
încât ∞<p
X . Un şir de variabile aleatoare nX din ( )ΩpL este convergent dacă
există variabila aleatoare X astfel încât ( ) 0→− pn XXE .
Observaţie. Convergenţa în pL pentru 1>p implică convergenţa în qL pentru orice q ,
pentru care pq <<1 .
Convergenţa în probabilitate
Definiţia 34. Un şir de variabile aleatoare nX converge în probabilitate la X ,
XXP
n → , dacă pentru orice 0>ε , ( ) 0→≥− εXXP n pentru n tinzând la ∞ .
Proprietăţi:
1. Convergenţa aproape sigură implică convergenţa în probabilitate.
2. Convergenţa în probabilitate implică convergenţa apropape sigură a unui subşir
al său.
3. Convergenţa în 2L implică convergenţa în probabilitate.
Convergenţa în lege
Definiţia 35. Un şir de variabile aleatoare nX converge în lege la variabila
aleatoare X , XX n
L
→ , dacă pentru orice funcţie Φ continuă şi mărginită,
( )( ) ( )( )XEXE n Φ→Φ pentru n tinzând la ∞ .
Fie nΨ şi Ψ funcţiile caracteristice ale variabilelor aleatoare nX şi respectiv X
atunci, pentru orice t convergenţa în lege este definită şi de convergenţa ( ) ( )ttn Ψ→Ψ .
Dacă X este o variabilă aleatoare cu o funcţie de repartiţie F continuă şi dacă
nX este un şir de variabile aleatoare cu funcţiile de repartiţie ( )xFn convergente la
( )xF pentru orice x , atunci nX converge în lege la X şi reciproc.
Proprietate: Convergenţa în probabilitate implică convergenţa în lege.
Teorema limită centrală. Dacă ( )0, ≥iX i este un şir de variabile aleatoare
identic repartizate, independente, cu varianţa finită 2σ atunci are loc relaţia:
17
( )( )1,0
11 N
n
XnEXn
ii L
→−∑
=
σ
1. 11. Proces stochastic
Fie tF o σ -algebră, sau altfel spus informaţia la momentul t .
Definiţia 36. Se numeşte filtrare o familie crescătoare de sub-σ -algebre ale lui
F , adică st FF ⊂ pentru orice st ≤ .
Definiţia 37. Un proces sochastic sau proces aleatoriu este o familie de
variabile aleatoare [ )( )∞∈ ,0; tX t definite pe acelaşi spaţiu de probabilitate.
Deci, un proces stochastic este format dintr-un şir (de obicei infinit) de variabile
aleatoare ,.....,, 321 XXX dependente de parametrul timp.
In general procesele stochastice pot fi împărţite în patru categorii distincte în
funcţie de tipul variabilei aleatoare Xt , adică de starea procesului (dacă este discretă
sau continuă) şi a parametrului timp (dacă este discret sau continuu):
1. Xt discret, t discret
• Considerăm experimentul aruncării unui zar şi notăm cu
,.....,, 321 XXX rezultatele obţinute în urma fiecărei aruncări. Experimentul este
un proces Bernoulli al cărui spaţiu de evenimente este format din stările 1, 2, 3,
4, 5 şi 6. In acest caz variabilele aleatoare sunt independente.
• Considerăm acelaşi proces Bernoulli unde notăm cu ......,.,, 4321 YYYY suma
stărilor obţinute în urma aruncării zarului, astfel: 11 XY = , 212 XXY += ,
3213 XXXY ++= ,.....Spaţiul stare este format din toate numerele întregi
pozitive. Se observă că variabilele aleatoare Y sunt corelate.
• Lanţurile Markov
2. Xt discret, t continuu
• Procesul Poisson – numărul persoanelor care intră într-o bancă din momentul
deschiderii până la momentul t. X(t) are o repartiţie Poisson cu o medie t⋅δ ,
unde δ reprezintă rata sosirilor. X nu sunt independnente iar spaţiul de selecţie
este format din toate numerele întregi nenegative.
18
• Procesul firelor de aşteptare (queuing) – persoanele nu numai intră în bancă dar
şi ies – este necesară cunoaşterea distribuţiei timpului pe care o persoană îl
petrece în bancă.
3. Xt continuă, t continuu
• Mişcarea Browniană (proces de difuzie)
4. Xt continuă, t discret – serii cronologice
• Fluctuaţiile lunare ale ratei inflaţiei
• Fluctuaţiile zilnice ale bursei
• Fluctuaţiile anuale ale PIB
Se pot studia tendinţele (sistematice sau sezoniere) şi se pot construi modele ale căror
parametri urmează a fi estimaţi.
Definiţia 38. Un proces stochastic ( )0, ≥= tXX t este adaptat în raport cu o
filtrare tF dacă pentru orice t , variabila aleatoare tX este tF -măsurabilă .
Definiţia 39. Spunem că un proces stochastic are traiectorii continui sau este
continuu dacă aplicaţiile ( )ωtXt → sunt continue pentru aproape toţi ω .
Definiţia 40. Un proces stochastic este numit càdlàg dacă traiectoriile sale sunt
continui la dreapta şi au limită la stânga. Un proces stochastic este numit càglàd dacă
traiectoriile sale sunt continui la stânga şi au limită la dreapta.
Definiţia 41. Dat un proces stochastic X , îi putem asocia filtrarea naturală X
tF , adică familia crescătoare de σ -algebre tsX sX
t ≤= F ,σ .
Definiţia 42. Un proces stochastic ( )0, ≥= tAA t este crescător dacă 00 =A şi
aplicaţia tAt → este crescătoare, adică ( ) ( )ωω st AA ≤ aproape sigur, pentru orice
st ≤ .
Definiţia 43. Spunem că un proces stochastic ( )0, ≥= tVV t este cu variaţie
mărginită pe [ ]t,0 dacă KVVi
ttt
iii
≤−∑ +1sup ,unde sup este considerat pentru it ,
tttt ii ≤≤≤≤≤ +10 ...0 .
Definiţia 44. Spunem că un proces stochastic ( )0, ≥= tVV t este cu variaţie
19
finită pe [ ]t,0 dacă ∞<−∑ +i
ttt
iii
VV1
sup ,unde sup este considerat pentru it ,
tttt ii ≤≤≤≤≤ +10 ...0 .
Definiţia 45. Un proces stochastic ( )0, ≥= tVV t este cu variaţie finită dacă
este cu variaţie finită pe intervalul [ ]t,0 , pentru orice t .
Definiţia 46. Un proces stochastic X este gaussian dacă orice combinaţie
liniară finită de ( )0, ≥tX t este o variabilă aleatoare gausiană, altfel spus dacă pentru
orice n , orice it cu ni ≤≤1 şi orice ia , ∑=
n
iti i
Xa1
este o variabilă aleatoare reală
gaussiană.
Un proces gaussian este descris de medie şi de matricea de covarianţă.
Un spaţiu gaussian este un sub-spaţiu vectorial închis din ( )Ω2L de variabile
aleatoare reale gaussiene centrate (cu media 0). Spaţiul gaussian generat de un proces
stochastic este sub-spaţiul lui ( )Ω2L generat de variabilele aleatoare reale centrate
( )( )0, ≥− tXEX tt .
1.12. Medie condiţionată
Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic fixat.
Cazul discret
Fie A şi B două evenimente din Ω . Probabilitatea ca un eveniment A să aibă
loc ştiind că are loc evenimentul B este dată de formula ( ) ( )( )BP
BAPBAP ∩= , pentru
orice eveniment B astfel încât ( ) 0≠BP
Proprietate. ( )BP . este o probabilitate pe Ω .
Considerăm cazul unei variabile aleatoare X cu valori în ( )nxxx ,....,, 21 . Fie B
fixat şi ( ) ( )BAPAQ = . QE , media variabilei X în raport cu Q este dată de formula:
( ) ( ) ( )( )∑ ∑
∩====
j j
jjjjQ BP
BxXPxxXQxXE .
20
Putem scrie ( ) ∫ ==∩=B
xXj dPBxXPj
1 unde jxX =1 ia valoarea 1 dacă ( )jxX =∈ω şi 0
în rest. Având în vedere relaţia ∑ ==j
xXj Xxj
1 obţinem:
( )( ) ( ) ∫∑ =
∩=
Bj
jj XdP
BPBPBxXP
x 1 . Mai precis, relaţia poate fi rescrisă astfel:
( ) ( ) ( )∫ ∫==B B
QQ XdPBPXEdPXE .
Notaţie. ( ) ( )XEBXE Q= .
Dacă B este σ - algebra generată de B şi ( )BXE este variabila aleatoare definită prin
( ) ( ) ( ) cBc
B BXEBXEXE 11 ⋅+⋅=B , atunci are loc relaţia ( ) ∫∫ =DD
XdPdPXE B , pentru
orice D din B .
Caz particular: Fie X şi Y variabile aleatoare ale căror valori sunt
( )nxxx ,...,, 21 şi respectiv ( )dyyy ,...,, 21 astfel încât oricare ar fi i , ( ) 0≠= iyYP .
Atunci putem defini ( ) ( )ijij yxyYxXP ;µ=== . Se observă că pentru orice iy ,
( )iy;. µ defineşte o probabilitate pe ( )nxxx ,...,, 21 . Putem defini media variabilei
aleatoare X în raport cu această lege prin:
( ) ( ) ( ) ( ) ∫∑∑==
======iyYij
ijjj
ijji XdPyYP
yxxyYxXPxyYXE 1;µ .
Definim funcţia Ψ astfel încât ( ) ( )ii yYXEy ==Ψ . Este uşor de verificat relaţia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )XEYXEEYEyyYPyYXEyYPi i
iiii ==Ψ=Ψ====∑ ∑ .
Notăm prin ( ) ( )YXEY =Ψ media condiţionată a variabilei aleatoare X ştiind
variabila aleatoare Y . Această funcţie are următoarele caracteristici:
1. ( )YΨ este Y - măsurabilă
2. ( )( ) ( ) ( )( )YYEXYE ΨΦ=Φ ,pentru orice funcţie Φ .
Fie acum, X o variabilă aleatoare reală, integrabilă definită pe spaţiul ( )P,,FΩ
şi G o sub-σ -algebră a lui F .
21
Definiţia 47. Media condiţionată ( )GXE este unica variabilă aleatoare,
G -măsurabilă pentru care are loc egalitatea
( ) ∫∫ =AA
XdPdPXE G , oricare ar fi A din G .
Definiţia 48. Media condiţionată ( )GXE este unica variabilă aleatoare
G -măsurabilă care verifică egalitatea ( )[ ] ( )XYEYXEE =G , pentru orice variabilă
aleatoare Y , mărginită, G -măsurabilă.
Definiţia 49. Media condiţionată a unei variabile aleatoare integrabile X în
raport cu variabila aleatoare Y , notată ( )YXE este o funcţie de Y : ( ) ( )YYXE ψ= ,
unde RR →:ψ este o funcţie boreliană.
Proprietăţi.
1. Media condiţionată ( )YXE este o variabilă ( )Yσ -măsurabilă
2. ( ) ∫∫ =AA
XdPdPYXE , oricare ar fi A din ( )Yσ .
Proprietatea 2 este echivalentă cu egalitatea ( ) ( )( ) ( )( )YXEYYXEE φφ = , pentru orice
funcţie boreliană mărginită φ , sau ( )∫ ∫∈ ∈
=BY BY
XdPdPYXE pentru orice B din B .
Definiţia 50. Fie un şir finit sau numărabil de mulţimi ,.....,, 321 BBB , disjuncte
două câte două, a căror reuniune este spaţiul Ω , cu ( )iBP pozitive. Fie G , σ -algebra
formată din toate reuniunile finite sau numărabile de mulţimi iB . Atunci probabilitatea
condiţionată a lui A cunoscând σ -algebra G este dată de formula
( ) ( )( ) ( )∑ ∩
=i
Bi
iiBP
BAPAP ω1G .
Exemplu. Fie Ω mulţimea tuturor rezultatelor posibile obţinute în urma
aruncării unei monede perfecte de trei ori, aruncările sunt independente.
Fie 3F σ -algebra formată din toate submulţimile lui Ω . Fie 1F σ -algebra formată din
TTTTTHTHTTHHHTTHTHHHTHHH ,,,,,,,,,Ωφ , deci evenimentele ce pot fi
determinate ştiind rezultatul primei aruncări. Fie 2F σ -algebra formată din
evenimentele ce pot fi determinate ştiind rezultatele primelor două aruncări, adică
22
TTTTTHTHTTHHHTTHTHHHTHHH ,,,,,,,,,Ωφ şi toate mulţimile obţinute
din reuniunea acestora.
Fie HHHA = . Calculăm ( )1FAP , ( )2FAP , ( )3FAP .
Fie HTTHTHHHTHHHC ,,,1 = şi TTTTTHTHTTHHC ,,,2 = . Pe mulţimea 1C
probabilitatea condiţionată este dată de formula ( ) ( )( )1
11 CP
CAPCAP ∩= . Prin înlocuiri
corespunzătoare obţinem ( )( ) 4
12181
1
==CP
HHHP . Pe mulţimea 2C probabilitatea
condiţionată este dată de formula ( ) ( )( )2
22 CP
CAPCAP ∩= . Inlocuind obţinem ( )
( ) 02
=CP
P φ .
Prin urmare probabilitatea de apariţie a evenimentului HHHA = ştiind informaţia la
momentul 1 este 41 dacă rezultatul primei aruncări este H şi 0 în caz contrar. Deci
putem scrie ( )14
11 CAP 1=F .
Fie acum HHTHHHD ,1 = , HTTHTHD ,2 = , THTTHHD ,3 = ,
TTTTTHD ,4 = . σ -algebra 2F este formată din toate reuniunile posibile formate cu
mulţimile iD , 4,1=i . Atunci ( ) ( )( ) 2
14181
11 ===
DPHHHPDAP şi ( ) 0=iDAP pentru
4,2=i . Prin urmare ( )12
12 DAP 1=F , altfel spus probabilitatea ca evenimentul
HHHA = să aibă loc cunoscând rezultatul primelor două aruncări este 21 dacă
rezultatul primelor două aruncări este H şi 0 în caz contrar.
Propoziţia 14. ( )GXE este G -măsurabilă, adică dacă ( )GXEY = atunci
( ) G∈> aY pentru orice a real.
Demonstraţie. Prin definiţie ( ) ( )( ) ∑∑ ⋅=⋅∩
==i
BiBi i
iii
bBP
BXEXEY 11G , unde
( ) ( )iii BPBXEb ∩= . Mulţimea ( )aY ≥ este reuniunea mulţimilor iB pentru care
abi ≥ , dar orice reuniune de mulţimi iB este în G .
Exemplu. Fie 4321
4632 BBBBY 1111 ⋅+⋅+⋅+⋅= şi 5,3=a . Atunci
( ) G∈∪=≥ 43 BBaY .
23
Propoziţia 15. Dacă G∈C şi ( )GXEY = atunci ( ) ( )CXECYE ∩=∩
Demonstraţie. Cum ( )( ) iB
i i
i
BPBXE
Y 1⋅∩
= ∑ şi iB sunt disjuncte două câte două atunci,
( ) ( )( ) ( )jB
j
jj BXEE
BPBXE
BYEj
∩=∩
=∩ 1 .
Dacă ..........21
∪∪∪∪=njjj BBBC atunci însumând relaţia de mai sus după kj
obţinem ( ) ( )CXECYE ∩=∩ .
Propoziţia 16. Fie Z o variabilă aleatoare G -măsurabilă şi
( ) ( )AXEAZE ∩=∩ pentru orice G∈A . Atunci ( )GXEZ = .
Demonstraţie. Cum Z este G -măsurabilă rezultă Z este constantă pe fiecare mulţime
iB . Fie iz valoarea lui Z pe iB , atunci putem scrie ∑=i
Bi izZ 1 . Prin urmare, are loc
egalitatea ( ) ( ) ( )iiii BXEBZEBPz ∩=∩= .
Propoziţia 17. 1. Dacă YX ≤ atunci ( ) ( )GG YEXE ≤ . Altfel spus dacă Y este
mai mare decât X atunci valoarea estimată pentru Y este mai mare decât valoarea
estimată pentru X .
2. Fie a şi b două constante atunci ( ) ( ) ( )GGG YbEXaEbYaXE +=+
3. Dacă X este G -măsurabilă, atunci ( ) XXE =G . Altfel spus dacă cunoaştem G şi
X este G -măsurabilă atunci ştim X şi cel mai bun estimator al variabilei aleatoare
X este X .
4. ( )[ ] ( )XEXEE =G , adică media valorii estimate pentru X este valoarea medie a
variabilei aleatoare X .
5. X este independentă de G , ( ) ( )XEXE =G , adică dacă cunoaşterea lui G nu ne
oferă alte informaţii despre X , atunci cea mai bună estimare a variabilei aleatoare X
este EX .
Demonstraţie. Afirmaţiile 1 şi 2 rezultă din definiţie. Pentru a demonstra afirmaţia 3
observăm că dacă XZ = atunci Z este G - măsurabilă şi ( ) ( )CZECXE ∩=∩
pentru orice C din G . Din propoziţia 16 rezultă ( )GXEZ = .
24
Pentru a demonstra afirmaţia 4 considerăm Ω=C şi ( )GXEY = . Atunci au loc
egalităţile ( ) ( ) EXCXECYEEY =∩=∩= . Pentru a demonstra afirmaţia 5,
considerăm EXZ = . Z este constantă deci G -măsurabilă. Din independenţă, dacă
G∈A atunci ( ) ( ) ( )APEXEEXXEAXE AA ⋅=⋅==∩ 11 . Dar cum Z este constantă
rezultă ( ) ( )APEXAZE ⋅=∩ . Propoziţia 16 implică ( )GXEZ = .
Propoziţia 18. Dacă variabila aleatoare Y este G -măsurabilă, atunci
( ) ( )GG XYEXYE = .
Propoziţia 19. Dacă G şi H sunt două σ -algebre astfel încât GH ⊂ atunci
are loc egalitatea ( )( ) ( ) ( )( )HGHGH XEEXEXEE == .
Demonstraţie. ( )HXE este H -măsurabilă şi cum GH ⊂ rezultă ( )HXE este
G -măsurabilă. Prima egalitate rezultă din afirmaţia 3 a propoziţiei 17. Fie acum W
expresia din membrul drept. W este H -măsurabilă şi dacă GH ⊂∈C atunci
( ) ( )( ) ( )CXECXEECWE ∩=∩=∩ G .
Propoziţia 20. Dacă X este o variabilă aleatoare atunci cel mai bun estimator
al său din mulţimea de variabile aleatoare G -măsurabile este ( )GXEY = .
Demonstraţie. Fie Z o variabilă aleatoare G -măsurabilă, arbitrară. Atunci putem
calcula
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−=+−=− 22222 22 ZXZEXEZEXZEXEZXE GGGGGG
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−++−=−+−=+−= 22222222 22 ZYYXYEXEZYYXEZZYXE GGGG
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22222 2 ZYYXEZYYEXYEXE −+−=−++−= GGGG .
Se ţine cont de faptul că Y este G -măsurabilă. Din afirmaţia 4 a propoziţiei 16 rezultă
( )( ) ( )( ) ( )( )222 ZYEYXEZXE −+−=− . Membrul drept este mai mare sau egal cu
( )( )2YXE − deoarece ( ) 02 ≥− ZY . Deci eroarea de estimare a variabilei aleatoare X
prin Z este mai mare decât eroarea estimării lui X prin Y , iar aceste erori vor fi egale
dacă şi numai dacă ZY = . Deci Y este estimarea cea mai bună.
Observaţie. Mulţimea variabilelor aleatoare formează un spaţiu liniar iar
mulţimea variabilelor aleatoare G -măsurabile este un subspaţiu al acestuia. Dată
variabila aleatoare X , media condiţionată ( )GXEY = este egală cu proiecţia lui X pe
25
subspaţiul variabilelor aleatoare G -măsurabile. Pentru a demonstra acest lucru
verificăm faptul că Y şi YX − sunt ortogonale, altfel spus produsul scalar dintre Y şi
YX − este 0. Cum ( )YXYX −+= iar produsul scalar dintre Y şi YX − este definit
prin ( )( )YXYE − trebuie să demonstrăm ( )( ) 0=−YXYE . Deoarece
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0=−=−=−=− YYYYXEYYXYEYXYE GGG
rezultă ( )( ) ( )( )( ) 0=−=− GYXYEEYXYE .
Dacă ( )YX , este o pereche de variabile independente şi φ este o funcţie
boreliană mărginită atunci are loc relaţia ( )( ) ( )( )[ ] YyyXEYYXE == ,, φφ .
Varianţa condiţionată este definită prin ( ) ( ) ( )GGG XEXEXVar 22 −= . Fie φ o
funcţie convexă atunci are loc relaţia: ( )( ) ( )( )FF XEXE φφ ≥ .
Propoziţia 21. Fie P o probabilitate şi fie Q o probabilitate echivalentă cu P
definită prin LdPdQ = . Atunci are loc următoarea relaţie: ( ) ( )( )G
GG
LELXE
XEP
PQ = .
Demonstraţie. Trebuie determinată variabila aleatoare Z , G -măsurabilă astfel încât să
aibă loc egalitatea: ( ) ( )XYEZYE QQ = pentru orice variabilă aleatore Y G -măsurabilă.
Având în vedere faptul că variabilele aleatoare Y , Z sunt G -măsurabile putem scrie:
( ) ( ) ( )( )GLZYEELZYEZYE PPPQ == şi ( ) ( ) ( )( )GLXYEELXYEXYE PPPQ == .
Egalitatea fiind verificată pentru orice Y rezultă egalitatea ( ) ( )GG LXELZE PP = .
Definiţia 51. Fie X şi Y două variabile aleatoare reale. Legea condiţionată a
variabilei aleatoare X în raport cu variabila Y este familia de legi definită pe R ,
notată prin ( )dxy,µ astfel încât are loc ( )[ ] ( ) ( )∫∞
∞−
Φ==Φ dxyxyYXE ,µ , pentru orice
funcţie Φ boreliană mărginită.
Dacă se cunoaşte legea condiţionată atunci calcularea mediei şi varianţei
condiţionate se reduce la calcularea mediei şi respectiv varianţei. Prin urmare, expresia
[ ] ( )∫∞
∞−
== dxyxyYXE ,µ
26
reprezintă pentru orice y media unei variabile aleatoare de lege ( )dxy,µ . Dacă ( )yxf ,
este densitatea unei perechi de variabile aleatoare ( )YX , atunci are loc formula
( ) ( )( )∫
=
R
duyufdxyxfdxy
,,,µ .
Cazul gaussian
Dacă perechea de variabile aleatoare reale ( )YX , este gaussiană, densitatea
condiţionată a variabilei X în raport cu variabila Y este o lege gaussiană de medie
liniară în Y şi de varianţă c independentă de Y . Relaţia ( ) baYYXE += implică
( ) ( ) bYaEXE += şi ( ) ( )( ) ( ) ( )YbEaYEYXYEEXYE +== 2 . De unde rezultă relaţiile:
( )VarY
YXCova ,= , ( ) ( )YaEXEb −= , ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222 baYEXEYXEYXEc +−=−= .
Generalizare: dacă ( )YX , este un vector gaussian densitatea condiţionată a lui X în
raport cu Y este o lege gaussiană cu media liniară în Y şi cu varianţa c independentă
de Y .
1.13. Martingale
Cazul discret
Fie nF o filtrare dată.
Definiţia 52. Un şir de variabile aleatoare ( )NnX n ∈ , formează un
nF -martingal dacă:
1. nX este integrabilă pentru orice n din N
2. nX este adaptată la nF ( nX este nF -măsurabilă pentru orice n )
3. ( ) nnn XXE =+ F1 pentru orice n din N .
Cazul multidimensional: O familie de vectori ( )0, ≥nSn , unde nS iau valori în dR ,
este un martingal, dacă famiile ( )NnS in ∈, sunt martingale pentru orice i , cu di ≤≤1 .
27
Exemple. 1. Fie ,....., 21 XX un şir de variabile aleatoare independente cu media
0 şi fie ( )nn XX ,...,1σ=F , σ -algebra generată de ,....., 21 XX , atunci ∑=
=n
iin XM
1 este
un martingal. Pentru a demonstra acest lucru este suficient să verificăm axiomele din
definiţia 52. Cum ∑∑ ≤==
n
ii
n
iin XEXEME
1
rezultă că axioma 1 este verificată.
Axioma 2 este uşor de verificat. Având în vedere independenţa variabilelor aleatoare
,....., 21 XX verificăm axioma 3. In acest scop calculăm ( )nnME F1+ :
( ) ( ) nnnnnnnn MEXMXEXXXME =+=++++= +++ 11211 ... FF .
2. Fie ,....., 21 XX un şir de variabile aleatoare independente cu media 0 şi varianţa 1. Fie
( )nn XX ,...,1σ=F , σ -algebra generată de ,....., 21 XX . Atunci nSM nn −= 2 , unde
∑=
=n
iin XS
1, este un martingal. Axiomele 1 şi 2 sunt uşor de verificat. Verificăm axioma
3: ( ) ( ) ( )12 211
21 +−++= +++ nXSXSEME nnnnnnn FF . Cum nS este nF -măsurabil rezultă
relaţia ( ) 22nnn SSE =F . Deoarece ( ) ( ) 0222 111 === +++ nnnnnnnn EXSXESSXE FF şi
( ) 121
21 == ++ nnn EXXE F , efectuând înlocuirile corespunzătoare obţinem
( ) nnn MME =+ F1 .
3. Considerăm o serie de aruncări independente ale unei monede perfecte şi fie 1 euro
capitalul iniţial de care dispunem. Considerăm că dacă rezultatul aruncării este
evenimentul H capitalul se dublează iar dacă rezultatul aruncării este evenimentul T
capitalul devine 0. Fie nM capitalul de care dispunem la momentul n . Altfel spus fie
nXXX ,...,, 21 un şir de variabile aleatoare independente, ale căror valori sunt 2 şi
respectiv 0 cu probabilităţi egale cu 21 . Atunci nn XXXM ...21= pentru
care ( )nn XX ,...,1σ=F , σ -algebra generată de ,....., 21 XX , este un martingal. Cum
nnM 20 ≤≤ axioma 1 este verificată. Pentru a verifica axioma 3 ţinem cont de relaţia
11 =+nEX , atunci calculând ( )nnME F1+ obţinem relaţia :
( ) ( ) nnnnnnnn MEXMXEMME === +++ 111 FF .
28
Propoziţia 22. ( ) ( )FF XEXE ≤ .
Demonstraţie. Relaţia XXX ≤≤− implică ( ) ( ) ( )FFF XEXEXE ≤≤− şi cum
( )FXE este nenegativă obţinem inegalitatea căutată.
Propoziţia 23. Fie ,...., 21 FF σ -algebre date şi fie X o variabilă aleatoare
fixată cu ∞<XE . Atunci ( ) nn MXE =F este un martingal.
Demonstraţie. Axioma 1 din definiţia martingalului este verificată deoarece
( )( ) ∞<=≤ XEXEEME nn F iar axioma 2 este evidentă. Verificăm axioma 3:
( ) ( )( ) ( ) nnnnnn MXEXEEME === ++ FFFF 11 .
Propoziţia 24. ( ) nnpn XXE =+ F pentru orice n şi p din N
Cazul continuu
Fie tF o filtrare dată.
Definiţia 53. O familie de variabile aleatoare [ )( )∞∈ ,0, tX t este un martingal
în raport cu filtrarea ( )tF dacă sunt verificate axiomele:
1. tX este integrabilă pentru orice t
2. tX este tF -măsurabilă pentru orice t
3. ( ) sst XXE =F pentru orice ts ≤ .
Observaţie. Spunem că X este un martingal dacă filtrarea de referinţă este
filtrarea naturală a lui X .
Dacă au loc axiomele 1. şi 2. dar în locul axiomei 3. are loc axioma
3’. ( ) sst XXE ≤F pentru orice ts ≤ , atunci familia de variabile aleatoare
[ )( )∞∈ ,0, tX t este un supermartingal în raport cu filtrarea tF .
Dacă au loc axiomele 1. şi 2. dar în locul axiomei 3. are loc axioma
3’’. ( ) sst XXE ≥F pentru orice ts ≤ , atunci familia de variabile aleatoare
[ )( )∞∈ ,0, tX t este un submartingal în raport cu filtrarea tF .
Exemple. 1. Dacă X este un martingal atunci 2X este un submartingal. 2. Dacă
X este un martingal şi A un proces crescător atunci AX + este un submartingal.
29
Propoziţia 25. Dacă X este un martingal atunci are loc relaţia ( ) ( )0XEXE t =
pentru orice t .
Propoziţia 26. Dacă ( )TtX t ≤, este un martingal, procesul este complet
determinat de valoarea sa terminală ( )tTt XEX F= .
Observaţie. Această proprietate este utilizată frecvent în domeniul financiar.
Un martingal continuu cu variaţie mărginită este egal cu o constantă. Prin
urmare, dacă M este un astfel de martingal iar V este variaţia sa atunci are loc relaţia:
( ) ( )( )[ ] [ ] [ ]iiiiii tttttttt MMKEMMVEMMEME −≤−≤−=
+++∑ 111supsup22 ,
unde membrul drept converge aproape sigur la 0 în cazul unei partiţii rafinate.
Inegalitatea lui Doob: Dacă X este un martingal continuu atunci are loc
inegalitatea: ( )22 4sup TsTs
XEXE ≤
≤.
Propoziţia 27. Dacă g este o funcţie convexă atunci are loc inegalitatea:
( )( ) ( )( )GG XgEXEg ≤ , în condiţiile în care valorile medii există.
Propoziţia 28. Dacă nM este un martingal, g este o funcţie convexă şi toate
mediile există, atunci ( )nMg este un submartingal.
Demonstraţie. Din inegalitatea lui Jensen rezultă inegalitatea:
( )( ) ( )( ) ( )nnnnn MgMEgMgE =≥ ++ FF 11 .
1.14. Timp de oprire (stopare)
Considerăm un spaţiu înzestrat cu o filtrare tF . Notăm
=∞ U
ttFF σ .
Definiţia 54. Un timp de oprire, sau regulă de oprire sau variabilă de oprire
este o variabilă aleatoare τ cu valori în ∞+∪R astfel încât tt F∈≤τ pentru orice
t din R .
Exemplu. O constantă pozitivă este un timp de oprire.
Unui timp de oprire τ îi asociem o σ -algebra τF , numită σ -algebra
evenimentelor anterioare lui τ , definiă prin RttAA t ∈∀∈≤∩∈= ∞ ,FFF ττ .
30
Proprietăţi:
1. Dacă T este un timp de oprire, atunci variabila aleatoare T este TF -măsurabilă;
2. Dacă S şi T sunt timpi de oprire atunci TS ∧ este un timp de oprire. In
particular, tT ∧ este timp de oprire.
3. Dacă S şi T sunt timpi de oprire astfel încât TS ≤ atunci are loc
incluziunea TS FF ⊂ .
4. Fie ( )0, ≥tX t un proces stochastic şi T timp de oprire finit. Definim TX prin
( ) ( ) ( )ωω ωTT XX = . Dacă un proces stochastic X este continuu şi adaptat atunci
TX este TF -măsurabilă.
Dacă T este un timp de oprire şi M este un ( )tF -martingal, procesul Z definit
prin Ttt MZ ∧= este un tF -martingal. In particular, ( ) ( )0MEME Tt =∧ .
Teorema de oprire a lui Doob (Optional Sampling Theorem). Dacă M este un
tF -martingal continuu şi S şi T sunt doi timpi de oprire astfel încât KTS ≤≤ , K
fiind o constantă finită atunci TM este integrabil şi are loc relaţia: ( ) SST MME =F .
Propoziţia 29. Dacă pentru orice timp de oprire mărginit are loc relaţia
( ) ( )0XEXE T = atunci, procesul X este un martingal.
Definiţia 55. Un martingal este de pătrat integrabil dacă ( )tt MEM F∞= şi
∞<∞2M .
Definiţia 56. tM este un martingal local dacă există un şir de timpi de oprire
nS convergent la ∞ astfel încât pentru orice n , nStM ∧ este un martingal de pătrat
integrabil.
Definiţia 57. Un proces M adaptat càglàd este un martingal local dacă există
un şir crescător de timpi de oprire nτ astfel încât nτ tinde la ∞ şi ( )0, ≥∧ tMnt τ este un
martingal pentru orice n .
Observaţie. Un martingal local pozitiv este un martingal.
31
Timp de oprire optim
Considerăm experimentul aruncării unei monede perfecte. După fiecare aruncare
trebuie să luăm decizia de a opri sau de a continua experimentul. Fie 1Y , 2Y ,.....
variabile aleatoare independente reprezentând aruncările astfel încât
( ) ( )2111 =−=== ii YPYP , unde prin 1=iY am notat apariţia evenimentului H după
aruncarea i şi prin 1−=iY apariţia evenimentului T după aruncarea i . Dacă ne oprim
după a n -a aruncare obţinem o recompensă ( )nn YYYfX ,...,, 21= . Problema care ne
preocupă este de a determina timpul de oprire pentru care recompensa este maximă.
Reamintim faptul că prin regulă de oprire (sau timp de oprire sau variabilă de oprire)
înţelegem o variabilă aleatoare τ cu valori în mulţimea ,....3,2,1 pentru care
evenimentul n=τ depinde numai de valorile din trecut ale variabilelor nYYY ,...,, 21 şi
nu de valorile viitoare ,...., 21 ++ nn YY . Dacă τ este o regulă de oprire atunci ( )τXE
măsoară recompensa medie asociată regulii de oprire τ . Fie C clasa tuturor regulilor de
oprire pentru care ( ) ∞<τXE . ( )ττ
XEVC∈
= sup valoarea şirului nX şi dacă τ este o
regulă de oprire pentru care ( ) VXE =τ atunci spunem căτ este o regulă de oprire
optimă.
Considerăm funcţia definită prin 1
...,1min 21 +−+++=
nnYYYX nn , pentru
1≥n . Ca regulă de oprire τ considerăm primul întreg 1≥n astfel încât
1...21 =+++ nYYY (1). In aceste condiţii are loc relaţia:
( ) ( ) 01
11
...,1min 21 >
+−=
+−+++=
ττ
ττ
ττ EEYYYEXE (2).
Pentru a arăta că regula de oprire (1) este optimă demonstrăm că pentru orice altă regulă
de oprire valoarea medie ( )τXE este negativă. Pentru a demonstra acest lucru folosim
lema lui Wald.
32
Lema lui Wald. Fie 1Y , 2Y ,..... variabile aleatoare independente, identic
repartizate, astfel încât ( ) ∞<= µiYE . De asemenea fie τ orice timp de oprire al
şirului 1Y , 2Y ,..... pentru care ( ) ∞<τE . Atunci
∑=
τ
1iiYE există întotdeauna şi are loc
relaţia ( )τµτ
EYEi
i =
∑=1
.
Revenind la exemplul nostru aplicăm lema lui Wald variabilelor aleatoare 1Y , 2Y ,.....
reprezentând aruncările succesive ale unei monede perfecte. 1Y , 2Y ,..... sunt variabile
aleatoare independente identic repartizate ce verifică relaţia ( ) ( ) 0211
211 =⋅−+⋅=iYEµ .
Mai mult τ reprezintă orice regulă de oprire pentru care ( ) ∞<τE , deci în particular
dacă C∈τ atunci ( ) 0...21 =+++ τYYYE . Acest lucru implică :
( ) ( )21
1...21 −≤
+−+++≤
ττ
ττ EYYYEXE .
Deci, pentru alte legi de oprire ( ) 0<τXE , iar ( )ττ
XEC∈
sup este dat de relaţia (2).
Considerând τ conform relaţiei (1), adică primul întreg 1≥n astfel încât
1...21 =+++ nYYY şi din faptul că ( )ττ
XEVC∈
= sup rezultă ( ) 0>= τXEV . Prin urmare
regula de oprire (1) este optimă.
Fie acum ∏=
+
+=
n
i
in
nY
nnX
1 21
12 , ,...3,2,1=n funcţia care defineşte recompensa
primită (funcţia obiectiv). Dacă în urma aruncării de n ori a unei monede perfecte
rezultatul obţinut în urma fiecărei aruncări este H atunci recompensa obţinută este
12+n
n n
. In caz contrar recompensa este 0. Presupunem că ne aflăm la pasul n şi
rezultatul obţinut în urma fiecărei aruncări este H , prin urmare recompensa este 1
2+n
n n
.
Care este media condiţionată a recompensei ştiind că înainte de oprire mai are loc o
aruncare? Rezultatul este dat de relaţia:
( ) ( )n
nnn
nn Xn
nn
nnnXXE >
++
=+
+=
+
=+
+ 212
221
21
12 1
1 .
33
Această relaţie sugerează să nu ne oprim deoarece recompensa după încă o aruncare
1+nX condiţionată de nX este mai mare decât recompensa obţinută în absenţa unei alte
aruncări. Dar dacă în urma unei noi aruncări rezultatul este T atunci câştigul final este
0. Deci în acest caz nu există o regulă de orpire optimă dar există totuşi o regulă de
oprire. Considerăm regulile de oprire kτ , ,....3,2,1=k unde kτ impune oprirea după
aruncarea k indiferent de şirul de rezultate obţinute. Pentru o astfel de regulă de oprire
are loc relaţia ( )1
0211
12
21
+=⋅
−+
+⋅=
kk
kkXE k
k
kkτ. Pentru k tinzând la ∞ în relaţia
obţinută şi având în vedere formula ( )ττ
XEVC∈
= sup obţinem 1=V . Prin urmare există
regulă de oprire dar nu există o regulă de oprire optimă.
Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie ...3,2,1, =nnF un şir crescător de
σ -algebre din F . Fie 1Y , 2Y ,..... variabile aleatoare cu funcţia comună de repartiţie
F definită pe ( )P,,FΩ . Presupunem că variabilele aleatoare 1Y , 2Y ,..... pot fi observate
secvenţial şi notăm prin ,...., 21 XX şirul de recompense coresunzătoare. Dacă ne oprim
la pasul n atunci, ( )nn YYYfX ,....,, 21= . Se presupune că variabilele aleatoare ,...., 21 XX
sunt măsurabile în raport cu σ -algebrele ,...., 21 FF . O regulă de oprire (sau variabilă de
oprire sau timp de oprire) este o variabilă aleatoare ( )ωττ = definită pe ( )P,,FΩ cu
valori întregi pozitive ce verifică următoarele două condiţii:
1. ( )( ) 1: =∞<ωτωP , adică regula de oprire ia valori finite cu probabilitatea 1;
2. ( ) nn F∈=ωτω : pentru orice n , adică decizia de oprire la momentul n
depinde numai de informaţia inclusă în σ - algebra nF .
In general σ -algebra nF este arbitrară dar în unele aplicaţii considerăm
( )nn YYY ,..., 21σ=F . Colecţia tuturor mulţimilor A din F astfel încât nnA F∈=∩ τ
pentru orice întreg n este o σ -algebra în F , notată prin τF . τ şi τX sunt
τF -măsurabile.
Pentru orice regulă de oprire τ , recompensa la momentul τ este variabila aleatoare τX
definită prin
=
== =
∞
=∑ în rest
n dacăXIXX n
nn
n
01
τττ , pentru ,.....2,1=n , unde nI =τ este
34
funcţia indicator ce ia valoarea 1 pe mulţimea ( ) n=ωτω, şi 0 în rest. Ca şi în cazul
precedent valoarea V reprezintă ( )ττ
XEC∈
sup .
Pentru o regulă de oprire τ dată, valoarea medie ( )τXE este finită ( ( ) ∞<τXE ) dacă şi
numai dacă: ( ) ( ) ( ) ∞<===∑∞
=
nPnXEXEn
n τττ1
. Având în vedere aceste lucruri, ne
interesează în ce condiţii există un timp optim de oprire.
Teorema de existenţă a unui timp optim de oprire. Fie ,....,, 321 XXX un şir
de variabile aleatoare pe ( )P,,FΩ astfel încât: (1) relaţia ∞<
nn
XE sup are loc cu
probabilitate 1 şi (2) pentru n tinzând la ∞ , nXlim tinde la ∞− cu probabilitate 1.
Există, atunci o regulă de oprire optimă.
Observaţie. Teorema nu spune nimic despre natura regulii de oprire.
In cazuri particulare putem vorbi despre natura regulii de oprire. Considerăm funcţia de
recompensă definită prin ncYYYX nn −= ,...,,max 21 pentru ,...3,2,1=n şi 0>c , unde c
reprezintă costul fix al fiecărei observaţii.
Propoziţia 30. Fie 1Y , 2Y ,..... un şir de variabile aleatoare pe ( )P,,FΩ
independente, identic repartizate, cu funcţia de repartiţie F . Fie funcţia de recompensă
definită prin relaţia ncYYYX nn −= ,...,,max 21 , pentru ,...3,2,1=n şi 0>c . Dacă
( ) ∞<2nYE pentru ,...3,2,1=n atunci există o regulă de oprire care maximizează
valoarea medie ( )τXE şi care este de forma: dacă VY ≥ atunci se ia decizia de oprire
şi dacă VY < se ia decizia de continuare. V este unica soluţie a ecuaţiei:
( ) ( )∫∞
=−Y
cYdFVY .
Exemplu (Căutarea unui loc de muncă). Considerăm cazul unei persoane care
este în căutarea unui loc de muncă. Presupunem că persoana primeşte o ofertă în fiecare
zi, iar căutarea are loc zilnic până în clipa în care acceptă o ofertă. Fie 0>c costul
generării unei oferte. Există două posibilităţi de selecţie a ofertei: selecţie cu revenire
adică toate ofertele sunt reţinute sau selecţie fără revenire atunci când ofertele care nu
sunt acceptate sunt eliminate. Fie nY variabile aleatoare ce reprezintă ofertele la
momentele ,...3,2,1=n .şi presupunem că persoana cunoaşte parametrii funcţiei de
35
repartiţie F a salariului corespunzător. De asemenea, presupunem că persoana se află
în condiţii de risc neutru şi are ca obiectiv maximizarea câştigului net. Decizia se referă
la oprirea procesului de căutare, deci la acceptarea unei oferte. Funcţia de recompensă
este definită prin:
ncYYYX nn −= ,...,,max 21 pentru ,...3,2,1=n şi 0>c pentru cazul în care
selecţia este cu revenire;
ncYX nn −= pentru cazul în care selecţia este fără revenire, altfel spus,
recompensa este diferenţa dintre oferta curentă şi costul total de căutare.
Considerăm cazul căutării cu revenire.
Propoziţia 31. Fie 1Y , 2Y ,...... un şir de variabile aleatoare identic repartizate,
cu funcţia de repartiţie F . Fie 0>c un număr dat şi definim nn
XZ sup= , unde
ncYYYX nn −= ,...,,max 21 pentru ,...3,2,1=n . Dacă valoarea medie a lui F există,
atunci −∞→nXlim pentru ∞→n , cu probabilitatea 1. Dacă varianţa lui F este
finită, atunci ( ) ∞<ZE .
Observaţie. Propoziţia 31 ne ajută să stablim existenţa unei reguli optime în problema
de căutare a unui loc de muncă. Dacă media şi varianţa lui F există atunci condiţiile
din teorema de existenţă a unui timp optim de oprire au loc. Astfel, dacă
( ) ∞<2nYE atunci propoziţia 31 şi teorema de existenţă a unui timp optim de oprire
implică existenţa unei reguli de optimizare în cazul problemei studiate. Natura regului
de optimizare în modelul căutării unui loc de muncă este descrisă de propoziţia 30. Mai
precis, pentru orice ofertă de salariu Y , regula de oprire optimă este de forma:
1. se acceptă oferta dacă VY ≥ ;
2. se continuă căutarea dacă VY <
valoarea V este cunoscută sub numele de „reservation wage” iar regula de oprire este
cunoscută sub numele de „reservation wage property”.
Considerăm prima observaţie 1Y din şirul de variabile aleatoare independente,
identic repartizate 1Y , 2Y ,...... In acest caz, câştigul mediu ce are la bază „reservation
wage property” este ( ) cYVE −1,max . Din definiţia lui V câştigul mediu optim
satisface relaţia : ( ) cYVEV −= 1,max (3). Dar:
36
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+±=+= ∫ ∫ ∫∫ ∫∞ ∞∞ V
V V
V
V
YYdFYdFVYdFVYYdFYdFVYVE00
1,max
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−+=−++= ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∞ ∞∞∞ ∞
00 VV
V
V V
YdFVYYdFVYdFVYYdFYdFVYdFV
( ) ( )∫∞
−+=V
YdFVYV . (4)
Inlocuind relaţia (4) în relaţia (3) obţinem ecuaţia ( ) ( )∫∞
=−Y
cYdFVY (din propoziţia
30).
Fie ( ) ( ) ( )∫∞
−=V
YdFVYVH . Funcţia H este convexă, nenegativă, strict descrescătoare şi
verifică proprietăţile: (1) pentru ∞→V , ( ) 0lim →VH ; (2) pentru 0→V ,
( ) ( )1lim YEVH → ; (3) ( ) ( )( )VFdV
VdH−−= 1 , ( ) 02
2
≥dV
VHd .
Observaţie. Cu cât costul căutării 0>c este mai scăzut cu atât V este mai mare şi
durata căutării este mai lungă.
1.15. Proces Markov
Definiţia 58. Fie X un proces stochastic şi fie ( )tF filtrarea sa canonică.
Spunem că X este un proces Markov dacă pentru orice t şi orice variabilă aleatoare
mărginită Y din ∞F are loc egalitatea ( ) ( )tttt XYEYE θθ oo =F , unde θ este un
operator definit prin susu XX +=θo .
O altă definiţie: pentru orice n , orice funcţie F mărginită definită pe nR şi orice it ,
ni ,...,2,1= astfel încât nttt <<< ...21 are loc egalitatea:
( )( ) ( )( )ststststststs XXXXFEXXXFEnn ++++++ = ,...,,,...,,
2121 sF .
In particular, pentru orice funcţie boreliană mărginită f şi orice st > are loc egalitatea:
( )( ) ( )( )stst XXfEXfE =F .
Definiţia 59. Spunem că X este un proces tare Markov dacă proprietatea de
mai sus este adevărată pentru orice pereche ST , de timpi de oprire finiţi, cu ST > .
37
Observaţie. Un proces stochastic este proces Markov dacă comportamentul său ulterior
poate fi estimat numai pe baza informaţiei din prezent, fără a cunoaşte modul în care s-
a ajuns la ea. De exemplu, este posibil ca pe piaţa de capital evoluţia preţului acţiunilor
să nu fie markoviană dar procesul cumulat să aibă proprietatea Markov.
Bibliografie
G. Grimmett, D. Stirzaker - Probability and Random Processes. Oxford University Press, New-York, 1982.
G. Grimmett, D. Stirzaker - One Thousand Exercises in Probability. Oxford University Press, New-York, 2001.
J. Jacod, P. Protter - Probability Essentials. Springer, Berlin, 1997
J. Neveu - Bases mathématiques du calcul des probabilités. Masson, Paris, 1964
D. Stirzaker - Elementary Probability. Cambridge University Press, Cambridge, 1994
D. Williams - Probability with Martingales. Cambridge University Press, Cambridge, 1991
38
Capitolul 2
Mişcarea Browniană
Mişcarea browniană reprezintă cel mai important proces stochastic ce stă la baza
construirii modelelor matematice de pe piaţa de capital. Asocierea acestui proces cu
evoluţia pieţei a fost făcută la începutul secolului 20 când Bachalier a pus în evidenţă
caracterul markovian al mişcării browniene.
Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie ( )0, ≥tBt un proces stochastic pe
acest spaţiu.
Definiţia 2.1. Procesul stochastic ( )0, ≥tBt este o mişcare Browniană standard
dacă sunt verificate axiomele :
1. ( ) 100 ==BP ;
2. pentru orice ts ≤ creşterea st BB − este o variabilă aleatoare reală, normal
distribuită după legea ( )stN −,0 ;
3. pentru orice n şi orice it astfel încât nttt ≤≤≤≤ ...0 10 variabilele aleatoare
( )0011
,,....., ttttt BBBBBnn
−−−
sunt independnente.
Altfel spus: ( )ωtt BB = este o mişcare browniană standard dacă:
1. 00 =B aproape sigur;
2. st BB − este o variabilă aleatoare normal distribuită cu media 0 şi varianţa
st − pentru ts < ;
3. st BB − este independentă de σ -algebra generată de srBr ≤; ;
4. cu probabilitate 1, aplicaţia ( )ωtXt → este o funcţie continuă de t .
Observaţie. Dacă ts ≤ atunci din axiomele (1) şi (2) rezultă:
( ) ( ) ( )tstsstst BBCovstBBCovVarBVarBBBVarst ,2,2 −+=−+=−=− .
Deci pentru ts ≤ , ( ) sBBCov ts =, . Atunci pentru tsr << are loc relaţia:
( ) ( ) ( ) 0,,, =−=−=− rrBBCovBBCovBBBCov rsrtrst
39
Dacă, de asemenea, presupunem că variabilele aleatoare tB cumulate sunt gausiene
rezultă st BB − sunt independente de rB şi deci st BB − sunt independente de
σ -algebra generată de srBr ≤; .
Fie ( )RRC ,+=Ω spaţiul funcţiilor continue definite pe +R cu valori în R . Pe
Ω construim funcţiile tB definite prin ( ) ( )tBt ωω = şi înzestrăm acest spaţiu cu o
măsură (măsură Weiner) astfel încât tB să fie o mişcare Browniană.
Filtrarea naturală este tsBst ≤= ,σF .
Definiţia 2.2. Procesul stochastic ( )0, ≥tX t este o mişcare browniană cu
originea în a (cu starea iniţială a ), dacă tt BaX += , unde a este o constantă şi tB o
mişcare browniană standard.
Definiţia 2.3. ( )0, ≥tX t este un proces brownian general sau o mişcare
browniană cu deriva µ dacă tt BtxX σµ ++= şi tB este o mişcare browniană.
Observaţie. 1. tX este o variabilă gaussiană cu media tx µ+ şi varianţa t2σ .
2. Variabilele aleatoare ( )ntt tttXXii
≤≤≤−+
...., 101 sunt independnente.
2.1. Construcţia unei mişcări browniene (Lévy-Cielsieski)
Fie ie funcţii din 2L cu valori în intervalul [ ]1,0 . Funcţiile ie formează un
sistem ortogonal complet dacă 12 =∫ ie pentru ji = şi ∫ = 0jiee pentru ji ≠ .
Combinaţii liniare finite ale acestor funcţii formează o submulţime densă în [ ]1,02L .
Notăm ∫=1
0
, fggf şi 21, fff = .
Propoziţia 2.1. 1. ∑=
n
iieef
11, converge în 2L la f ; 2. ∑
∞
=
=1
22 ,i
ieff ;
Dacă f şi g sunt din 2L atunci ∑∞
=
=1
,,,i
ii egefgf .
40
Demonstraţie. Fie ∑=
−=n
iiin eeffg
1, . Cum ie formează un sistem ortogonal rezultă
∑∑==
=n
ii
n
iii aea
1
22
1. Având în vedere acest lucru obţinem inegalitatea:
=−+=−+=≤ ∑∑∑∑====
n
ii
n
ii
n
iii
n
iiin efeffeeffeeffg
1
2
1
22
1
2
1
22 ,2,,,2,0
∑=
−=n
iieff
1
22 , . Trecem la limită şi pentru ∞→n obţinem inegalitatea lui Bessel:
∑∞
=
≤1
22,i
i fef . Din inegalitatea lui Bessel rezultată că pentru ∞→mn, seria
∑+=
=−n
miimn efgg
1
22 , tinde la 0. Cum 2L este un spaţiu complet rezultă că ng este
convergent în 2L , de exemplu la ∞g . Fie i un indice fixat, atunci pentru in ≥ are loc
relaţia 0,,, =−= iiin efefeg . Relaţia Cauchy-Schwartz implică
0,,, →−≤−=− ∞∞∞ ininini eggeggegeg , pentru ∞→n . Prin urmare
0, =∞ ieg pentru orice i . Cum sistemul ie este complet rezultă 0=∞g , deci are loc
axioma (1).
Axioma (2) rezultă din relaţia ∑=
−=n
iin effg
1
222 , şi din faptul că 0→ng .
Axioma (3) rezultă din egalitatea ( )222
21, gfgfgf −−+= şi din aplicarea
axiomei (2) funcţiilor f , g şi gf + .
Pentru a construi o mişcare browniană considerăm un caz particular de sistem
ortogonal complet, şi anume funcţiile Haar. Fie 100 ≡ϕ . Pentru un indice i întreg
pozitiv şi pentru un indice 12,...,2,1 −= ij definim funcţia ( )xijϕ astfel:
( ) 212 −i pentru ( ) ( ) ii jxj 212222 −<≤− ,
( )xijϕ = ( ) 212 −− i pentru ( ) ii jxj 22212 <≤− ,
0 în rest.
41
Este uşor de verificat faptul că 1, =klij ϕϕ pentru ki = şi lj = şi 0 în rest.
Definim acum o mişcare browniană pentru cazul în care [ ]1,0∈t . Fie atunci
funcţia ( ) ( )∫=t
ijij dsst0
ϕψ . Fie ijY un şir de variabile aleatoare independente, identic
repartizate, cu o repartiţie normală standard. Fie ( ) ( )tYtV 00000 ψ= şi ( ) ( )∑−
=
=12
1
i
jijiji tYtV ψ .
Fie ( )∑∞
=
=0i
it tVX . Atunci tX , cu [ ]1,0∈t este o mişcare browniană.
Demonstrăm mai întâi convergenţa seriei. Fie ( )
≥= −2sup itVA i
ti . Atunci are loc
relaţia:
( ) ( ) [ ]( ) ( )( )≤>≤∃≤∈>≤∃≤ −−−− 221-i-121 2 :2 1,0 :2 iYjPtpentruitYjPAP iji
ijiji
i ψ
( )( ) 4222211 222 iiiij
i i
eiYP −−−+− ≤>≤ ,
din care rezultă că ( )∑ ∞<i
iAP . Având în vedere acest rezultat putem aplica lema
Borel-Cantelli. Prin urmare 01
=
∞
=
∞
=IUj jn
nAP . Deci dat ω , există I cu Ii ≥ pentru
care iA∉ω . Astfel pentru Ii ≥ , ( )( ) 2sup −≤ itVit
ω pentru orice t . Cum seria ∑ −
ii 2
este convergentă rezultă seria ( )( )∑i
i tV ω este uniform convergentă. Cum ( )tVi este
continuă pentru fiecare i rezultă că nu numai seria converge uniform pentru fiecare ω
dar şi limita este o funcţie continuă de t .
Mai departe, cum tX este o combinaţie liniară de variabile ijY rezultă tX este
variabilă gaussiană deci media este 0. Arătăm acum faptul că pentru
ts ≤ , ( ) sXXCov ts =, .
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]∑∑∑ =
=
jitijsij
lktklkl
jisijijts YYEXXCov
,,0,0
,,0
,,0 1,1,1,1,, ϕϕϕϕ .
Din propoziţia 2.1. rezultă că pentru ts < ultimul termen al egalităţii de mai sus este
[ ] [ ] sts =,0,0 1,1 .
42
Pentru a construi o mişcare browniană pentru orice 0≥t procedăm în felul
următor: fie tX şi tX ′ două mişcări browniene independente, unde 1≤t . Fie tt XtY 1′= .
Atunci definim variabila aleatoare tZ astfel: ( )
>−+≤
=1
1
11 tpentruYYXtpentruX
Zt
tt
. Pentru
0≥t , tZ este o mişcare browniană.
2.2. Mers aleatoriu
Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie pe acest spaţiu o familie de variabile
aleatoare ,....,, 321 XXX independente, identic repartizate, cu o repartiţie Bernoulli
caracterizată prin ( ) ( )2111 =−=== ii XPXP , *Ni∈ . Acestei familii de variabile
aleatoare îi asociem şirul ( )0, ≥nSn definit prin 00 =S , ∑=
=n
iin XS
1(Fig.1). Spunem că
nS este un mers aleatoriu simetric simplu. Printr-un calcul simplu se arată că valoarea
medie şi varianţa sunt egale cu ( ) 0=nSE şi respectiv ( ) nSVar n = .
Fig. 1
Observaţie. Şirurile ( )nmSS nm ≥− , şi ( )nSSS ,...,, 10 sunt independente iar nm SS − şi
nmS − au aceeaşi lege.
43
Fie N fixat. Definim o familie de variabile aleatoare kNk S
NU 1
= , indexată prin
numere reale de forma Nk , unde Nk ∈ . Pentru această variabilă media
este 0=
NkUE iar varianţa
NkUVar
Nk =
.
Verificăm proprietăţile de independenţă şi staţionaritate:
1. dacă 'kk ≥ , Nk
Nk UU '− este independent de
≤ '; kpU
Np ;
2. dacă 'kk ≥ , Nk
Nk UU '− şi
NkkU '− au aceeaşi lege .
Pornind de la familia de variabile aleatoare NkU definim un proces continuu în timp
( )0, ≥tUt impunând funcţiei tUt → condiţia de afinitate între Nk şi
Nk 1+ (Fig.2).
Fig. 2
In acest scop, N fiind fixat, se observă că pentru orice t din +R există un unic ( )tk în
N , astfel încât ( ) ( )Ntkt
Ntk 1+
<≤ . Definim variabila aleatoare
44
−
−+= +
Nk
Nk
Nk
Nt UU
NktNUU 1 ,
unde ( )tkk = . Pentru 1=t obţinem ( )( ) N
NN SNXNVar
XNESU 1
1
11 =
−= . Atunci din
teoarema limită centrală rezultă că ( )1,01 NU N → , în lege. Analog NtU converge în lege
la ( )tN ,0 pentru orice t din [ ]1,0 . In aceste condiţii putem spune că NU converge în
lege la o mişcare browniană B . Această convergenţă în lege a procesului NU se mai
numeşte şi principiul invarianţei lui Donsker.
Observaţie. Această proprietate este utilizată atunci când sunt realizate simulări.
2.3. Proprietăţi ale mişcării browniene
Considerăm mişcarea browniană ( )0, ≥= tBB t şi fie tsBst ≤= ,σF filtrarea
sa naturală.
Propoziţia 2.2. Procesul B este un proces gaussian a cărui repartiţie este
caracterizată de media 0 şi covarianţa ( ) tsBBCov st ∧=, .
Demonstraţie. Caracterul gaussian al procesului B rezultă din egalitatea
( )∑∑ ==−=
+
n
i ttitn
i i iiiBBbBa
00 1, unde 1+−= iii bba pentru 1−≤ ni şi nn ba = . Deoarece
procesul este centrat covarianţa este egală cu ( )st BBE . Dacă ts ≤ atunci are loc relaţia:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) sBEBEBBEBBBBEBBE ssstssstst =+−=+−= 22 .
Generalizare: Procesul ( )0, ≥++= tBtxX tt σµ este un proces gaussian cu
media tx µ+ şi covarianţa ( )( ) ( )( )[ ] ( )tsXEXXEXE sstt ∧=−− 2σ .
Notaţie. Fie ( )( ) ( )( )ssx BxfEBfE += media lui ( )sBf atunci când B este o mişcare
browniană a cărei stare iniţială este x . Analog, fie ( ) ( )ABxPABP ssx ∈+=∈
probabilitatea variabilei aleatoare sB când B este o mişcare browniană a cărei stare
iniţială este x şi fie ( )daBP sx ∈ densitatea variabilei aleatoare sB când B este o
mişcare browniană a cărei stare iniţială este x .
45
Propoziţia 2.3. Dacă ( )0, ≥tBt este o mişcare browniană atunci tB are
următoarele proprietăţi:
1. tt BB −=ˆ este o mişcare browniană;
2. 2
~ctt cBB = , 0>c , este o mişcare browniană;
3. t
tBBt 1= , orice 0>t , 00 =B este o mişcare browniană.
Demonstraţie. Este suficient să verificăm caracterul gaussian al proceselor şi să
calculăm mediile şi covarianţele corespunzătoare. Verificăm pentru afirmaţia 2
axiomele din definiţia mişcării browniene.
1. 0~000 2 === cBcBB c .
2. tB~ are traiectorii continue şi dacă ts < atunci
( ) ( ) sc
scBBCovcBBCov ctcsts === 222 1~,~
22 .
Creşterile ( ) ( )22222
~~cscsctcscstsst BBccBcBBB −=−=−
+++ fiind multipli de variabile
aleatoare normal repartizate admit o repartiţie normală. Cum creşterile 222 cscsct BB −+
au media 0, rezultă şi creşterile sst BB ~~ −+ au media 0 iar varianţa este dată de expresia:
( ) ( )( ) ( ) tc
tcBBEccBcBEBBE cscsctcscstsst ==−=−=−+++ 2
22222 1~~22222 .
3. Dacă 4321 tttt <≤< atunci 24
23
22
21 ctctctct <≤< iar intervalele
[ ]22
21 , ctct şi [ ]2
42
3 , ctct sunt disjuncte, prin urmare creşterile corespunzătoare
sunt independente. Prin înmulţirea cu o constantă c aceste creşteri rămân independente
şi deci creşterile 34
~~tt BB − şi
12
~~tt BB − sunt şi ele independente.
4. 0limlim~lim 22000
===→→→ cttctttt
BccBB .
Proprietatea Markov. Pentru orice s , procesul stochastic ( )0, ≥tWt definit
prin sst
def
t BBW −= + este o mişcare browniană independentă de σ - algebra sF .
Propoziţia 2.4. Pentru o funcţie boreliană mărginită f şi pentru u şi t astfel
încât tu > are loc relaţia ( )( ) ( ) ( )( )tutu BBfEBfE σ=F .
46
Demonstraţie. Având în vedere faptul că tu > putem construi creşterile
corespunzătoare procesului şi aplicăm proprietăţile mediei condiţionate:
( )( ) ( )( ) ( )ttttutu BtuBBBfEBfE ,−Φ=+−= FF ,
unde ( ) ( )( ) ( )( )xYfExBBfExtu tu +=+−=−Φ , iar Y şi tu BB − au aceeaşi lege de
repatiţie ( )tu −,0N .
Analog se demonstrează relaţia ( ) ( )( ) ( )ttu BtuBBfE ,−Φ=σ . Prin urmare putem scrie
( ) ( ) ( ) dysxyyf
sxs
R 2exp
21,
2−−=Φ ∫π
.
Observaţie. Această proprietate poate fi scrisă şi cu ajutorul mediei condiţionate, astfel
putem spune că variabila aleatoare uB condiţionată de tB are o lege gaussiană de medie
tB şi varianţă tu − . Atunci ( ) ( )( ) ( )tsBtxBtxB BEBEEuuu ≤≤≤ == 111 σF , pentru ut ≤ .
Propoziţia 2.5. (Proprietatea tare Markov). Fie T timp de oprire cu valori
finite. Atunci are loc relaţia ( )( ) ( ) ( )( )TsTTsT BBfEBfE σ++ =F . In particular, pentru
orice timp de oprire finit T , procesul ( )0, ≥tWt definit prin TTt
def
t BBW −= + este o
mişcare browniană independentă de TF .
Exemplu (ecuaţia căldurii). Fie ( )xtg , densitatea unei variabile gaussiene centrate de
varianţă t . Fie ( ) ( ) ( )yxtgtxy
tyxtq −=
−−= ,
2exp
21,,
2
π densitatea de tranziţie a
mişcării browniene. Atunci putem scrie ( ) ( )dyyxtqxBdyBP sst ,,==∈+ .
Derivata la dreapta a densităţii de tranziţie q este dată de ecuaţia:
( ) ( )yxtyqyxt
tq ,,
21,, 2
2
∂∂
=∂∂ .
Derivata la stânga a densităţii de tranziţie q este dată de ecuaţia:
( ) ( )yxtxqyxt
tq ,,
21,, 2
2
∂∂
=∂∂ .
47
Având în vedere proprietatea de staţionaritate a creşterilor unei mişcări browniene,
putem afirma că pentru orice funcţie boreliană mărginită are loc relaţia:
( )( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−== dyyxtTqyfxBBfE tT ,, .
Fie
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−+
∞
∞−
+===+== dyytgyxfxBBfExBfEdyyxtqyffxtu sstt ,,,,,
soluţia sistemul ( ) ( )
=∂∂
+∂∂
−
=
021
,,0
2
2
xu
tu
xffxu . (1)
Pentru a calcula valoarea medie ( )( )TBfE este suficient să rezolvăm sistemul (1) şi să
observăm că ( )( ) ( )fTuBfE T ,0,= . De asemenea, obţinem ( )( ) ( )fxTuxBfE T ,,=+ .
Mai mult, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xBfEfxtudyytgyxffxtxu
t +′′=′′=+′′=∂∂
∫∞
∞−
,,,,,2
2
(2).
Atunci putem scrie:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∂∂
=∂∂
=−=−+T T
T dsfxsxudsfxs
tufxufxTuxfxBfE
0 02
2
,,21,,,,0,, ,
de unde rezultă relaţia ( )( ) ( ) ( )( )∫ +′′+=+T
sT dsxBfExfxBfE02
1 .
Generalizând putem spune că funcţia ( ) ( )fxtTufxtv ,,,, −= este soluţia sistemului
( ) ( )
=∂∂
+∂∂
=
021
,
2
2
xv
tv
xfxTv
Cu condiţia ( ) ( )( )xBfEfxv T +=,,0 .
Propoziţia 2.6. Dacă f este o funcţie de clasă 1bC în parametrul timp şi de
clasă 2bC în parametrul stare atunci are loc relaţia
( )( ) ( ) ( ) ( )∫
+′++′′+=+
t
stsxxt dsBxsfBxsfExfBxtfE0
,,21,0, .
48
Demonstraţie. Fie ( ) ( )( )tBxtfEfxtu += ,,, . Din relaţiile (1) şi (2) rezultă
( ) ( ) ( )fxtufxtufxtdtdu
xxt ∂+∂= ,,21,,,, . Prin urmare putem scrie
( ) ( )fxttFfxtu ,,,,, = , unde ( ) ( )( )tBxsfEfxtsF += ,,,, . Aplicând teorema de
derivare a funcţiilor compuse obţinem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )fxtuBxstfEfxtt
tFfxtt
sFfxt
dtdu
xxt ∂+
+∂∂
=∂∂
+∂∂
= ,,21,,,,,,,,, .
Integrând relaţia în raport cu t rezultă:
( ) ( ) ( ) ( )∫
+∂++=−
t
sxxst dsBxsfBxsfEfxufxtu0
,21,,,0,, .
Observaţie. Acest rezultat poate fi generalizat la un proces X definit prin
tt BtxX σµ ++= . Funcţia ( ) ( )( )tBtxtfEfxtu σµ ++= ,,, verifică relaţia:
( ) ( ) ( ) ( )fxtufxtufxtufxtdtdu
txxx ∂+∂+∂= ,,,,,,21,, 2 µσ şi ( ) ( )xffxu =,,0 .
Fie L operatorul definit prin ( ) fff xxx ∂+∂= µσ 2
21L .
Propoziţia 2.7. Dacă f este o funcţie de clasă 1bC în parametrul timp şi de
clasă 2bC în parametrul stare atunci are loc relaţia
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]dsBsxsfBsxsfExfBtxtfE sts
t
t σµσµσµ ++∂++++=++ ∫ ,,,0,0
L .
Propoziţia 2.8. Dacă 0=uL atunci ( )tBtu , este un martingal.
Demonstraţie. Având în vedere că mişcarea browniană este un proces ale cărui creşteri
sunt independente rezultă
( )( ) ( )( ) ( )( )ss BxstxsBxstst BstuEBxstsuEBtuE =−=− −=+−+= F ,,, , ,
unde ( ) ( )yxtsuytu xs ++= ,,, . De asemenea,
( )( ) ( ) ( )∫+=− =
t
xsxsstxs dBuuBstuE0
,,, ,0,0, ωω ωL .
49
Din ipoteză ( ) 0=uL deci 0, =xsuL . Prin urmare axioma 3 din definiţia martingalului
este verificată: ( )( ) ( ) ( )sBxxsst BsuuBtuEs
,0,0, , == = F .
2.4. Traiectoriile unei mişcări browniene
Traiectoriile unei mişcări browniene sunt continue.
Propoziţia 2.9. Fie n fixat şi tjt nj 2= pentru j cu valori între 0 şi n2 . Atunci
( ) ( )[ ] ttBtBsa
jjj
n ..2
1
21 →−∑
=− pentru ∞→n .
Demonstraţie. Fie ( ) ( )[ ]∑=
−−=n
jjj
nt tBtBZ
2
1
21 , atunci ( ) tZE n
t = . Dorim să arătăm că
( )( ) 02→− tZE n
t . Avem în vedere faptul că dacă X este o variabilă a cărei lege de
repartiţie este ( )2,0 σN şi variabila 2X are varianţa 42σ putem demonstra
convergenţa: ( ) 0→ntZVar . Calculăm varianţa variabilei n
tZ :
( ) ( ) ( )[ ] nn
jn
jjj
nt
tttBtBVarZVarnn
2
21
2
1
22
1
21 2
22
2 +
==− =
=−= ∑∑ .
Prin urmare ( ) ∑∑∞
=
∞
=
∞<=
−
11
2
2nn
n
nt
ttZE . Deci ( )∑∞
=
∞<−1
2
n
nt tZ şi termenul general
converge aproape sigur la 0.
Propoziţia 2.10. Fie σ o partiţie a intervalului [ ]t,0 , tttt n =≤≤≤= ...0 10 .
Fie tV variaţia traiectoriei mişcării browniene în intervalul [ ]t,0 definită prin
( ) ( ) ( )∑ −=+i ttt ii
BBV ωωω σ 1sup . Atunci ( ) ∞=ωtV aproape sigur.
Demonstraţie. ∑∑=
≥−+
n
iik
kni tt YBB2
0supsup
1 σ , unde **
1 kk ttk BBY −=+
iar punctele
sunt definite astfel: tkt nk 2* = . Majorând n
tZ obţinem ∑=
−≤
+
n
kkk
kttk
nt YBBZ
2
0**
1sup .
Cum traiectoriile sunt uniform continue pe intervalul [ ]t,0 , pentru n tinzând la ∞ ,
50
termenul kk tt BB −
+1 tinde la 0 aproape sigur. Seria ∑
=
n
kkY
2
0 este crescătoare şi nu poate
avea limită finită dacă ntZ nu converge la 0.
2.5. Proprietatea de martingal
Propoziţia 2.11. Mişcarea browniană tB este un martingal. Analog, procesul
( )0,2 ≥− ttBt este un martingal. Reciproc, dacă X este un proces continuu astfel încât
X şi ( )0,2 ≥− ttX t sunt martingale atunci X este o mişcare browniană.
Demonstraţie. Calculăm mediile condiţionate ţinând cont de independenţa creşterilor în
cazul mişcării browniene şi de egalitatea ( ) ( )XEXE =G pentru, X şi G independente.
Fie ts ≤ , atunci ( ) ( ) ( ) ssssstt BBEBBEBE +=+−= 0FFFs . Analog se arată
egalităţile: ( )( ) stBBE sst −=− F2 şi
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222 22 sststssstsststsst BBEBEBBBEBBBBEBBE −=−+=−+=− FFFFFPrin urmare obţinem ( ) sBtBE sst −=− 22 F .
Observaţie. Analog se demonstrează că dacă tB este o mişcare browniană atunci
22taaX te − este un martingal.
Propoziţia 2.12. Fie 1B şi 2B două mişcări browniene independente. Produsul
21BB este un martingal.
Demonstraţie. Pentru demonstraţie putem utiliza proprietatea următoare: fie F şi G
două σ -algebre , X şi Y două variabile aleatoare astfel încât F∨X şi G sunt
independente şi G∨Y şi F sunt independente. Atunci are loc egalitatea
( ) ( ) ( )GG FF YEXEXYE =∨ .
Altă metodă: utilizăm faptul că ( )2121 BB + este un proces gaussian de covarianţă st ∧
deci o mişcare browniană. Prin urmare ( ) ( )( ) ttBtB −+ 2212
1 este un martingal. Dar cum
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )tBtBttBttBttBtB 2122
21
221 2
121
21
+−+−=−+ obţinem rezultatul căutat.
51
Definiţia 2.4. Spunem că procesul B este o ( )tG - mişcare browniană dacă B şi
( )0,2 ≥− ttBt sunt ( )tG -martingale.
Propoziţia 2.13. Pentru orice λ real, procesul
≥
− 0,
21exp 2 ttBt λλ este
un martingal. Reciproc, dacă X este un proces continuu astfel încât
≥
− 0,
21exp 2 ttX t λλ este un martingal, atunci pentru orice λ real procesul X
este o mişcare browniană.
Demonstraţie. Independenţa implică egalitate:
( ) ( ) ( ) ( )
−−−=
−−− stBBEstBBE stsst
22
21exp
21exp λλλλ F . Media din
membrul drept se calculează ca transformata Laplace a unei variabile gaussiene.
Obţinem
( ) ( ) 121exp 2 =
−−− stBBE st λλ şi
−=
− sBtBE sst
22
21exp
21exp λλλλ F .
Pentru a demonstra reciproca se ţine cont de caracterizarea variabilei gaussiene prin
intermediul transformatei Laplace.
Generalizare
Propoziţia 2.14. Fie spaţiul ( )Pt ,,, FFΩ şi fie B o tF - mişcare browniană pe
acest spaţiu. Dacă tt BtX σµ += atunci, pentru orice β real
≥
+− 0,
21exp 22 ttX t βσµββ este un tF - martingal. Reciproc, dacă X este un
proces stochastic continuu astfel încât
≥
+− 0,
21exp 22 ttX t βσµββ este un
tF -martingal, există atunci B o tF - mişcare browniană astfel încât tt BtX σµ += .
Demonstraţie. Cum
≥
− 0,
21exp 2 ttBt λλ este un martingal, trebuie doar să ţinem
cont de faptul că ( )tXB tt µσ
−=1 şi să facem subtituţia βσλ = .
52
2.6. Timp de lovire
Propoziţia 2.15. Fie ( )0, ≥tBt o mişcare browniană şi fie a un număr real. Fie
aBtT ta =≥= ;0inf . Atunci aT este un timp de lovire finit aproape sigur, cu
( ) ∞=aTE . Pentru 0≥λ are loc relaţia ( ) ( )λλ 2expexp aTE a −=− .
Demonstraţie. Variabila aleatoare aT este un timp de oprire. Prin urmare pentru 0>a
avem aBtT ta ≥≥= ;0inf . Se obţine atunci relaţia
( )εεεε
−>∪∩=−>∈∃∀=
≥=≤ ∈≤∈
≤+ aBaBQsaBtT sQstsQss
tsa ,:sup
care spune că tTa ≤ se obţine din reuniuni şi intersecţii numărabile de elemente din
tF , prin urmare aparţine acestei σ -algebre.
Pentru a calcula transformata Laplace a legii variabilei aleatoare aT , mai precis
( )aTeE λ− , utilizăm faptul că aTt ∧ este timp de oprire mărginit şi teorema de orpire a lui
Doob. Astfel, pentru orice t avem ( ) 12
exp2
=
∧−∧ aTt TtBE
a
λλ . Cum t tinde la ∞ ,
şi aT este finit are loc relaţia aBBaa TTt =→∧ . De asemenea putem scrie:
( )
−→
∧−∧ aaTt TaTtB
a 2exp
2exp
22 λλλλ .
Pentru aT infinit avem aBaTt ≤∧ şi ( ) ∞→=∧ tTt a .
Prin urmare ( ) 02
exp2
→
∧−∧ aTt TtB
a
λλ . Trecând la limită şi utilizând teorema
convergenţei dominante a lui Lebesgue, ( )λλ aTE aTa−=
−∞< exp
2exp
2
1 . Pentru a
obţine ( )aTE derivăm în raport cu λ şi punem condiţia 0=λ .
De asemenea, se poate spune că pentru 0>a şi 0>λ , martingalul
( )
∧−∧ aTt TtB
a 2exp
2λλ este mărginit, deci este uniform integrabil şi se aplică teorema
de oprire a lui Doob pentru ∞=t .
53
Se observă că pentru 0<a , aWtaBtT tta −=≥==≥= ;0inf;0inf , unde
BW −= . Egalitatea ( ) ( )λλ 2expexp aTE a −=− nu este adevărată pentru orice a .
Dacă 0<a şi 0>λ , termenul din membrul stâng este mai mic decât 1 în timp ce
termenul din membrul drept este mai mare decât 1.
Densitatea variabilei aleatoare aT pentru 0>a este dată de formula
−
ta
t
a2
exp2
2
3π şi se determină aplicând inversa transformatei Laplace.
In mod analog se obţin următoarele rezultate:
• Fie aBtT ta =≥= ;0infˆ , cu 0>a atunci ( ) ( )[ ] 12coshˆexp
−=− λλ aTE a .
• Dacă ba ≤≤ 0 atunci ( )ab
bTTP ba −=< .
• Dacă c şi d sunt reali pozitivi şi dc TTT −∧= atunci
( )( )( )dc
dTEcTT +=
− = λ
λλsinh
sinh2
exp2
1 şi ( )( )( )( )2cosh
2cosh2
exp2
dcdcTE
+−
=
−
λλλ .
Generalizare
Dacă tt BtX += µ şi aXtT ta =≥= ;0inf µ atunci utilizând martingalul
≥
+− 0,
21exp 22 ttX t βσµββ putem spune că pentru 0>µ şi 0>λ are loc
relaţia
( ) ( )λµµλ µ 2expexp 2 +−=− aaTE a ,
unde 22
21 βσµβλ += .
Pentru 0=λ obţinem ( )∞<aTP . Dacă a şi µ au acelaşi semn atunci această cantitate
este 1.
54
2.7. Mişcarea browniană multidimensională
Fie ( ) ( ) ( )( )Tntttt BBBB ,.....,, 21= un proces stochastic n -dimensional. Spunem că
B este o mişcare browniană multidimensională dacă procesele stochastice ( )( )niB i ≤,
sunt mişcări browniene independente. tB este un proces cu creşteri independente.
Pentru fiecare pereche ( )ba, procesul ( ) ( )21tt bBaB + este un proces gaussian. Este uşor de
verificat faptul că ( ) ( )( )21
22
1tt
def
t bBaBba
B ++
= este o mişcare browniană.
Dacă B este o mişcare browniană n -dimensională atunci are loc relaţia
( ) ( )tsnBBE sTt ∧= .
Procesul n -dimensional B este o mişcare browniană dacă şi numai dacă
procesele ( )iB şi ( ) ( ) tBB jiji
,δ− sunt martingale, unde 1, =iiδ şi 0, =jiδ pentru ji ≠ .
Dacă 1B şi 2B sunt două mişcări browniene independente cu valori reale, atunci
produsul 21BB este un martingal.
Spunem că mişcările browniene cu valori reale 1B şi 2B sunt corelate şi au
coeficientul de corelaţie ρ , dacă ( ) ( ) ttBtB ρ−21 este un martingal.
Fie procesul 3B definit prin ( ) ( ) ( )( )tBtBtB 12231
1 ρρ
−−
= . Atunci 3B este un
martingal. Din relaţia
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−−−+−
=− 212
21
2222
23 12
11 ρρρρ
ttBtBtBtBttB
( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ][ ]ttBtBttBttB ρρρρ
−−−+−−
= 122
122
22 21
1
rezultă ( )( ) ttB −23 este un martingal şi deci 3B este o mişcare browniană. Se poate
demonstra că 1B şi 3B sunt independente iar 31BB este un martingal . In cazul în care
31BB este un martingal, există o mişcare browniană ( )3B independentă de ( )2B astfel
încât ( ) ( ) ( )3221 1 BBB ρρ −+= şi pentru orice pereche ( )ba,
procesul ( ) ( )( )21
22 21 bBaB
abbaBt +
++=
ρ este o mişcare browniană.
55
2.8. Integrala Weiner
Definiţia 2.5. Fie ( )+RL2 mulţimea funcţiilor boreliene f definite pe +R cu
valori în R de pătrat integrabile, adică ( )∫∞
∞<0
2 dssf . Acest spaţiu înzestrat cu norma
( )21
0
22
= ∫
∞
dssff este un spaţiu Hilbert.
Funcţii scară
Pentru ( ]vuf ,1= , avem ( ) ( ) ( )uBvBdBsf s −=∫∞
0
.
Fie f o funcţie scară, atunci putem scrie ( ) ( ) ( )( )∑∫=
−−
∞
−=n
iiiis tBtBfdBsf
111
0
.
Variabila aleatoare ( ) ( )∫∞
=0
s
defdBsffI este o variabilă gaussiană de medie 0 şi varianţă
( )∫∞
0
2 dssf . Cum B este o variabilă gaussiană centrată rezultă că ( )fI este o variabilă
gaussiană centrată. Mai mult varianţa variabilei ( )fI este dată de relaţia:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∑ ∫∑=
∞
=−−−− =−=−=
n
i
n
iiiiiii dssfttftBtBVarffIVar
1 0
2
11
211
21 .
Integrala este liniară ( ) ( ) ( )gIfIgfI +=+ . Dacă f şi g sunt funcţii scară atunci
( ) ( )( ) ( ) ( )∫+
=R
dssgsfgIfIE şi prin urmare putem scrie relaţia:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =++=+=+ gIfIEgIVarfIVargIfIVargfIVar 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫∞ ∞∞∞
++++=0 00
2
0
22 2 dssgsfdssgdssfdssgf .
56
Cazul general
Dacă f aparţine ( )+RL2 , există un şir de funcţii scară nf convergent în ( )+RL2
la f , adică un şir care verifică relaţia ( )∫∞
∞→→−
0
2 0nn dxxff . In acest caz, şirul nf este
şir Cauchy în ( )+RL2 . Şirul de variabile aleatoare ( )∫∞
=0
snn dBsfF este un şir Cauchy în
spaţiul Hilbert ( )Ω2L , prin urmare este convergent. Este suficient să demonstrăm că
limita depinde numai de f şi nu de alegerea lui nf . Fie
( ) ( ) ( )∫∫∞
∞→
∞
==00
lim snns
defdBsfdBsffI , limita fiind considerată în ( )Ω2L . In aceste condiţii
spunem că ( )fI este integrala stochastică sau integrala Weiner a lui f în raport cu B .
Subspaţiul ( )Ω2L al variabilelor aleatoare ( )∫∞
0sdBsf coincide cu spaţiul gaussian
generat de mişcarea browniană.
Proprietăţi
Aplicaţia ( )fIf → definită pe ( )+RL2 cu valori în ( )Ω2L este liniară şi
verifică proprietatea de izometrie. Liniaritatea se referă la relaţia ( ) ( ) ( )gIfIgfI +=+
iar izometria se referă la faptul că norma lui ( )fI este egală cu norma lui f . Norma lui
( )fI este norma pe ( )Ω2L definită prin ( ) ( )( )( )22 fIEfI = iar norma lui f este
norma pe ( )+RL2 definită prin ( )dssff ∫∞
=0
22 .
Proprietatea de izometrie implică ( ) ( )( ) ( ) ( )∫+
=R
dssgsfgIfIE .
Fie f din ( )+RL2 . Variabila ( )fI este o variabilă aleatoare gaussiană cu media
0 şi varianţa ( )∫+R
dssf 2 din spaţiului gaussian generat de ( )0, ≥tBt , iar pentru orice t
verifică relaţia: ( ) ( )∫∫ =
+
t
Rst dssfdBsfBE
0
. Acestă relaţie este o caracterizare a
57
integralei stochastice în sensul următor: dacă pentru orice t , ( ) ( )∫=t
t dssfZBE0
atunci
( )∫∞
=0
sdBsfZ .
Demonstraţie. Este suficient să observăm egalitatea:
( ) ( ) ( )
=
∫∫∫++ R
s
t
sR
s dBsfdBEdBsftBE0
.
Fie f din ( )+RL2 . Definim variabila aleatoare ( ) [ ] ( ) ( )∫ ∫∞
=t
sts dBsfsdBsf0 0
,01 .
Analog, pentru orice T şi pentru funcţii f care verifică condiţia ( )∫ ∞<T
dssf0
2 ,
putem defini ( )∫t
sdBsf0
ceea ce permite definirea integralei stochastice pentru o clasă
mai largă de funcţii. Notăm acestă clasă prin 2locL .
Propoziţia 2.16. Fie f din 2locL şi fie ( )∫=
t
st dBsfM0
. Atunci:
1. dacă procesul M este un martingal continuu, atunci variabila aleatoare tM
are media 0 şi varianţa ( )∫t
dssf0
2 .
2. procesul M este un proces gaussian centrat, cu creşteri independente, a cărui
covarianţă este ( )∫∧st
duuf0
2 .
3. procesul ( )
≥− ∫
t
t tdssfM0
22 0, este un martingal.
4. dacă f şi g sunt din 2locL atunci are loc relaţia
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∧
=
stt s
uu duugufdBugdBufE00 0
.
58
Demonstraţie. Considerăm cazul în care f este o funcţie elementară şi trecem la
limită. Pentru a verifica faptul că M un martingal demonstrăm că pentru
( ]∑=
− −=
n
itti ii
ff1
,1 11 are loc relaţia : ( ) ( )
=−= ∫
t
ssusst dBufEMME FF0 .
Presupunem 1+≤<< ii ttst , atunci ( ) ( )( )ssti
t
ssu BBEfdBufE FF −=
∫ şi relaţia
precedentă este demonstrată.
Presupunem 11 ++ ≤<≤≤< jjii ttttst , atunci
( ) ( ) ( ) ( ) =
−+−+−=
++∑∫
−
+=ssti
j
ikttkttj
t
ssu BBfBBfBBfEdBufE
ikkjFF
11
1
1
( ) ( ) ( ) 011
1
1=−+−+−=
++∑−
+=sstistt
j
ikksttj BBEfBBEfBBEf
ikkjFFF
Analog se procedează în celelelate cazuri. In particular are loc relaţia:
( ) ( )( ) ( ) =
=−=− ∫ s
t
susstsst dBufEMMEMME FFF
2222
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ∧−∧=−= +∧∧+tttttfBBtfE kkksttttk kk 1
22
1F .
Propoziţia 2.17. Dacă f este o funcţie de clasă 1C atunci are loc formula:
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′−=t t
ss dsBsftBffdBsf0 0
.
Demonstraţie. Pentru a demonstra formula este suficient să arătăm că are loc egalitatea:
( ) ( ) ( )
′−=
∫∫ dsBsfBtfBEdBsfBE s
t
tu
t
su00
. Membrul stâng este egal cu ( )∫∧ut
dssf0
.
Membrul drept se calculează având în vedere egalităţile:
( )( ) ( )( )uttfBtfBE tu ∧= şi ( ) ( )( )∫∫ ∧′=
′
tt
su dsussfdsBsfBE00
.
59
In aceste condiţii relaţia căutată rezultă aplicând formula clasică de integrare prin părţi
pentru o expresie de tipul ( )∫ ′b
dssfs0
.
Observaţie. Formula poate fi rescrisă în forma: ( )( ) ( ) ( )dttfbdBtftfBd ttt ′+= .
2.9. Mişcarea browniană geometrică
Definiţia 2.6. Fie B o mişcare browniană şi fie b şi σ două constante. Atunci
procesul stochastic
+
−= tt BtbXX σσ 2
0 21exp se numeşte mişcare browniană
geometrică sau proces log-normal. Prin urmare xBtbX tt ln21ln 2 ++
−= σσ iar
variabila din membrul drept are o lege de repartiţie normală.
Propoziţia 2.18. Procesul btt eX − este un martingal.
Din expresia ( ) ( )
−+−
−= stst BBstbXX σσ 2
21exp rezultă caracterul markovian
al lui X . Caracterul markovian al lui X şi proprietăţile mişcării browniene permit
calcularea următoarei medii condiţionate:
( ) ( ) ( ) =
−+−
−= sstsst BBstbEXXE FF σσ 2
21exp
( )( ) ( ) ( ) =
−+−
−−= ssts BBstEstbX Fσσ 2
21expexp
( )( ) ( ) ( ) ( )ststb
ssts XXEeXBstEstbX ==
+−
−−= −
−σσ 2
21expexp .
Analog, fie G o variabilă aleatoare cu legea de repartiţie ( )1,0N , atunci are loc relaţia:
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) =
−+−
−==
= sXx
ststst BBstbxfEXXfEXfE σσ 2
21expF
( )
( ) ( )∫∞
∞−
=
−+−
−=
=
−+−
−=
dyyqstystbXf
stGstbxfE
s
Xx s
,0,121exp
21exp
2
2
σσ
σσ
60
Observaţie. Acest proces este deseori utilizat pentru modelarea preţului activelor.
Randamentul unui activ între două date fixate este dat de variabila gaussiană
( ) ( )st BBstb −+−
− σσ 2
21 .
Calcularea momentelor unei mişcări browniene geometrice este relativ simplă.
De exemplu, ( ) btt eXXE 0= . Pentru calcularea momentului de ordinul doi este
suficientă următoarea transformare:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
+−+=+−= ttt BttbEXBtbEXXE σσσσσ 22
21|2exp22exp 222
022
02
( )[ ]tbX 220 2exp σ+= . Prin urmare ( )1
222 −= tbtt eexVarX σ .
Raportul lui Sharp este dat de formula ( )
t
t
VarXxXE −
.
Proces Ornstein-Uhlenbeck
Propoziţia 2.19. Ecuaţia lui Langevin ∫ ++−=t
tst VBdsaVV0
0σ (sau altfel scris
ttt dBdtaVdV σ=+ ) are ca soluţie unică variabila aleatoare
( )∫ −−− +=t
sastta
t dBeVeV0
0 σ .
Observaţie. Variabila aleatoare 0V , mişcarea browniană B şi constantele a şi σ sunt
date.
Demonstraţie. Fie ( )0, ≥= tXX t procesul definit prin ( )∫ −−− +t
sastta dBeVe
00 σ .
Verificăm faptul că X este soluţie a ecuaţiei lui Langevin. Aplicând formula integrării
prin părţi obţinem: ( ) ∫ ∫∫
−== −−−−
t t
ssa
tatat
ssaat
t
sast dsBeaBeedBeedBe
0 00
σσσ .
Atunci are loc relaţia: ∫−− −+=t
ssaat
tta
t dsBeaeBVeX0
0 σσ .
61
Calculăm dsduBeeadsBdsVedsXs
uua
tas
t
s
tsa
t
s
−+= ∫∫∫∫∫ −−
00000
0
σσ . Calculând integrala
dublă din membrul drept rezultă ∫ ∫ ∫∫
−= −−−
t t tasat
s
t
u
asu
ua dseedsBa
dseBdue0 0 0
1 .
Inlocuirea rezultatului obţinut în relaţia precedentă implică:
( ) ( )0
00
0
1 VBXdsBeaeVdsXa tt
t
stsaat
t
s ++−=+−= ∫∫ −− σσ .
Prin urmare X verifică ecuaţia lui Langevin.
Analog, notând tat
t VeY −= şi aplicând formula integrării prin părţi
tat
tat
tat
t dBedtVaedVedY σ−−− =−= obţinem soluţia ∫ −+=t
sas
t dBeYY0
0 σ .
Propoziţia 2.20. Dacă 0V este o variabilă aleatoare reală, gaussiană,
independentă de mişcarea browniană (în particular dacă 0V este o constantă) atunci,
procesul V , numit proces Ornstein-Uhlenbeck, este gaussian cu media
( ) ( )0VEeVE tat
−= şi covarianţa [ ] ( ) ( )∫ −−−−−− +=s
autaustasats dueeveeVV
0
2,cov σ , pentru
ts ≤ şi v varianţa lui 0V . Procesul V este un proces Markov.
Demonstraţie. Având în vedere forma soluţiei ecuaţiei lui Langevin şi faptul că media
integralei stochastice este 0, rezultă ( ) ( )0VEeVE tat
−= şi
[ ] =
++= ∫∫ −−−−
t
uauatat
s
uauasas
ts dBeeeVdBeeeVVV0
00
0 ,cov,cov σσ
( ) =
+= ∫∫−−−−
t
uau
s
uauatasatas dBedBeeeeVeV
00
200 ,cov,cov σ
∫∧
−−−− +=ts
auatasatas dueeeeve0
22σ .
Caracterul gaussian este uşor de stabilit iar unicitatea se demonstrează prin reducere la
absurd.
62
In particular, dacă 0V este o constantă ( 0=v ) atunci [ ] ( ) ( )12
,cov 22
−= +− astsats ee
aVV σ şi
( ) ( )ata
VVar t 2exp12
2
−−=σ .
Scriind ( )∫ −−− +=s
uaussa
s dBeVeV0
0 σ şi ( ) ( )∫ −−−− +=s
uauttaats
s dBeVeeV0
0 σ obţinem pentru
ts ≤ relaţia:
( ) ( )∫ −−−− +=t
su
autastst dBeeVV σ sau ( )∫ −−−
+ +=t
uautta
sst BdeeVV0
~σ ,
unde susu BBB −= +~ este o mişcare browniană independentă de sF şi deci de sV . In
particular, ( )( ) ( )( ) ( )( )sststa
ssst VVfEYeVfEVfE +−
+ =+= FF , unde Y este o variabilă
aleatoare independentă de sF , ceea ce stabileşte caracterul markovian al lui V .
Calculul poate fi refăcut utilizând relaţia ( )( )( ) ( )( )xss
taxs VYeVfE Ψ=+− F , unde
( ) ( )( ) ( )( )( )yt
ta VfEYyefEy =+=Ψ − şi ( ) ( )∫ −−− +=t
sasttax
t dBexeV0
σ .
Propoziţia 2.21. Variabila aleatoare ∫t
sdsV0
, este o variabilă aleatoare
gaussiană, cu media aeV
at−−10 şi varianţa ( )
−−+−−
−−
aet
ae
a
atat 11
2 2
22
3
2 σσ .
Modelul Vasicek
O generalizare a modelului precedent este ecuaţia ( ) ttt dBdtrbadr σ+−= . In
această formă el este utilizat pentru studierea fluctuaţiei ratei dobânzii şi este cunoscut
sub numele de modelul lui Vasicek.
Forma explicită a soluţiei ecuaţiei este ( ) ( )∫ −−− ++−=t
uutaat
t dBebebrr0
0 σ .
Notăm tt Vbr =− , atunci procesul V este soluţia ecuaţiei lui Langevin. Egalitatea
( ) ( ) ( )∫ −−−− ++−=t
su
utastast dBebebrr σ , ts ≤ , stabileşte caracterul markovian al lui r .
63
Dacă 0r este constantă, atunci tr este o variabilă gaussiană cu media ( ) bebr at +− −0 şi
varianţa ( )ata
2exp12
2
−−σ . Procesul r este gaussian cu covarianţa:
( ) ( ) ( )12
, 22
−= +− astsats ee
arrCov σ , ts ≤ .
Propoziţia 2.22. Pentru ts < , şi pentru procesul r definit mai sus au loc
următoarele formulele:
( ) ( ) ( ) bebrrrE stasst +−= −− şi ( ) ( )( )sta
st ea
rr −−−= 22
12
var σ .
Propoziţia 2.23. Variabila aleatoare ∫t
sdsr0
este o variabilă gaussiană cu media
( )aebrbtdsrE
att
s
−−−+=
∫
10
0
şi varianţa ( )
−−+−−
−−
aet
ae
a
atat 11
2 2
22
3
2 σσ .
Demonstraţie. Prin definiţie ∫ +−+=t
tst Bdsraabtrr0
0 σ . De unde rezultă relaţia:
[ ] ( ) ( )
+++−−−−=+++−= ∫∫ −−−
t
t
uutaat
tt
t
s BabtrdBebebra
Babtrra
dsr σσσ 00
000
11 .
In general, pentru st ≥ au loc formulele:
( ) ( )( )
( )stMa
ebrstbdurEsta
ss
t
su ,1
=−
−+−=
−−
∫ F
( )( )( )
( )stVa
esta
ea
durVarsta
stas
t
su ,11
2 2
22
3
2
=
−−−+−−=
−−−−∫
σσF .
Cum variabila ∫t
su dur este gaussiană cu media şi varianţa condiţionate de sF cunoscute
atunci are loc relaţia:
( ) ( )
+−=
− ∫ stVstMdurE s
t
su ,
21,expexp F .
64
Observaţie. Acest calcul este utilizat pentru evaluarea obligaţiunilor cu cupon zero:
dacă ( )TtB , este valoarea unei obligaţiuni cu cupon zero a cărei termen de scadenţă
este T , atunci
( )
−= ∫ t
T
tu durETtB Fexp,
şi
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
−−−+−−
−−+−=
−−−−
−−
aest
sae
aaebrstbTtB
stasta
sta
s1
21
41exp, 2
22
3
2 σσ
Bibliografie
D. Revuz, M. Yor - Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer, Berlin, 1991
A. Borodin, P. Salminen - Handbook of Brownian Motion: facts and formulae. BirkhÄauser, 1996
Malliaris A. G. - Stochastic Methods in Economics and Finance, Advanced Textbooks in Economics, vol. 17, Elsevier Science, 1982
65
Capitolul 3
Calcul stochastic
In acest capitol definim variabile aleatoare de forma
( ) ( )ωωω
=→ ∫
t
sst dBXY0
,
unde ( )0, ≥tX t este un proces sigur (determinat) şi ( )0, ≥tBt este o mişcare
browniană. Problema care apare este legată de elementul diferenţial sdB , deoarece
funcţia sBs → nu este derivabilă. Un instrument adecvat a fost introdus în 1942 de K.
Itô. Acest instrument se numeşte integrală stochastică şi permite construirea în anumite
condiţii a variabilei ( )ωtY sub forma unui martingal.
3.1. Integrala stochastică
3.1.1. Definiţie
Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic, fie B o mişcare browniană pe acest spaţiu
şi fie ( )tsBst ≤= ,σF filtrarea naturală a mişcării browniene B .
Definiţia 3.1. Spunem că un proces θ este elementar dacă există un şir de
numere reale jt , nttt ≤≤≤≤ ....0 10 şi un şir de variabile aleatoare jθ din ( )Ω2L ,
jtF -măsurabile, cu proprietatea jt θθ = pentru orice ( ]1, +∈ jj ttt , mai precis
( ) ( ) ( ]( )∑−
=+
=1
0, 1
n
jttjs s
jj1ωθωθ .
Definiţia 3.2. Definim integrala Weiner a procesului elementar θ în raport cu
mişcarea browniană B prin relaţia :
( ) ( )( )∫ ∑∞ −
=+ −=
0
1
01
n
jjjjss tBtBdB θθ .
66
Atunci au loc relaţiile: 00
=
∫∞
ss dBE θ şi
=
∫∫∞∞
0
2
0ssss dBEdBVar θθ .
Obţinem:
( ) ( )( )∑∫−
=+ ∧−∧=
1
01
0
n
jjjj
t
ss ttBttBdB θθ ,
de unde rezultă cotinuitatea aplicaţiei ∫→t
ss dBt0
θ . Fie jT un şir crescător de timpi de
oprire nTTT ≤≤≤≤ ....0 10 , şi fie ( ) ( ) ( ]( )∑−
=+
=1
0, 1
n
jTTjs s
jj1ωθωθ , unde jθ este un şir de
variabile aleatoare din ( )Ω2L , jTF - măsurabile. In aceste condiţii putem defini
următoarea integrală:
( ) ( )( )∑∫−
=+ ∧−∧=
1
01
0
n
jjjj
t
ss tTBtTBdB θθ .
Cazul general
Definiţia integralei Weiner poate fi extinsă la o clasă mai largă de procese
stochastice.
Definiţia 3.3. Procesele θ continue la stânga cu limită la dreapta, tF -adaptate
pentru care ∞<
= ∫
∞
0
22 dtE t
defθθ , se numesc procese càglàd de pătrat integrabile,
adică procese din ( )+×Ω RL2 . Notăm cu Γ mulţimea acestor procese.
Observaţie. Procesele elementare aparţin mulţimii Γ .
Definiţia 3.4. Spunem că nθ converge la θ în ( )+×Ω RL2 dacă 02 →− nθθ
pentru ∞→n .
Observaţie. Aplicaţia θθ → defineşte o normă care face din Γ un spaţiu complet.
Putem defini ∫∞
0ss dBθ pentru orice proces θ din Γ : privim θ prin prisma
proceselor elementare. In acest sens, fie nnθθ
∞→= lim , unde ( ]
( )
∑=
+=
nk
jtt
njn jj
1, 1
~ 1θθ cu njθ
~ din
67
jtF , limita fiind considerată în ( )+×Ω RL2 . Atunci integrala ∫∞
0ss dBθ este limita în
( )Ω2L a sumei ( )
( ) ( )( )jj
nk
j
nj tBtB −+
=∑ 1
1
~θ iar media şi varianţa au valorile 0 şi respectiv
( )
−∑ +
jjjj ttE 1
2~θ . Atunci au loc relaţiile:
. 00
=
∫∞
ss dBE θ şi
=
∫∫∞∞
0
2
2
0
dsEdBE sss θθ
Notăm [ ] ( )∫ ∫∞
=t
stsss dBsdB0 0
,01θθ . Dacă θ este un proces elementar atunci
( )∑∫ ∧∧ −=+
itttti
t
ss iiBBdB
1
0
θθ . Mai general, dacă τ este timp de oprire procesul ( ] ( )tτ,01
este adaptat şi definim ( ] ( )∫ ∫∧
=t t
ssss dBsdBτ
τθθ0 0
,01 .
3.1.2. Proprietăţi
Fie Λ mulţimea proceselor θ adaptate, càglàd din ( )+×Ω RLloc2 cu proprietatea
( ) ∞<
∫t
s dsE0
2 ωθ , pentru orice t .
Liniaritatea. Fie a şi b două constante şi fie ( )2,1; =iiθ două procese din Λ .
Atunci are loc relaţia: ( ) ∫∫∫ +=+t
ss
t
ss
t
sss dBbdBadBba0
2
0
1
0
21 θθθθ .
Proprietatea de martingal
Propoziţia 3.1. Fie ∫=t
sst dBM0
θ , unde θ aparţine Λ . Atunci:
1. procesul M este un martingal cu traiectorii continui.
2. dacă dsdBNt
s
t
sst ∫∫ −
=
0
2
2
0
θθ , procesul ( )0, ≥tNt este un martingal.
Demonstraţie. Demonstraţiile celor două proprietăţi se fac mai întâi pentru cazul în
care procesele sunt elementare şi apoi prin trecere la limită pentru procese din Λ .
68
Proprietatea de martingal se transcrie astfel: ∫∫ =
s
uus
t
uu dBdBE00
θθ F , pentru
orice st ≥ , sau 0=
∫ s
t
suu dBE Fθ şi în particular rezultă 0=
∫t
suu dBE θ .
Proprietatea 2 este echivalentă cu relaţia
=
∫∫t
ssus
t
suu duEdBE FF 2
2
θθ .
Pentru a defini tM pentru Tt ≤ este suficient să punem condiţia ca procesul θ să fie
din [ ]( )TL ,02 ×Ω , adică să fie adaptat şi ∞<
∫T
t dtE0
2θ . In aceste condiţii ( )TtM t ≤,
este un martingal.
Propoziţia 3.2. Media procesului tM este ( ) 0=tME iar varianţa este
( ) ( )∫=t
st dsEMVar0
2θ . Fie φ din Λ , atunci are loc relaţia:
=
∫∫∫t
ss
t
ss
t
ss dsEdBdBE000
φθφθ .
Dacă ( ) ∫=t
sst dBM0
θθ şi ( ) ∫=
t
sst dBM0
ϕϕ atunci procesul ( ) ( ) ∫−t
sstt dsMM0
ϕθϕθ
este un martingal.
Demonstraţie. Este suficient să observăm faptul că ( )∫ +t
sss dB0
φθ şi
( ) ( )∫∫ +−
+
t
ss
t
sss dsdB0
22
0
φθφθ sunt martingale.
Propoziţia 3.3. Fie τ un timp de oprire şi fie θ un proces BF -adaptat astfel
încât ∞<
∫τ
θ0
2dsE s . Atunci 00
=
∫τ
θ ss dBE şi
=
∫∫ττ
θθ0
2
2
0
dsEdBE sss .
Exemplu. Pentru orice t are loc relaţia ( )∫ −=t
tss tBdBB0
2
21
69
Demonstraţie. Prin definiţie ( )∑∫ −=+ iii ttt
t
ss BBBdBB1
lim0
. Egalitatea
( ) ( ) ( )∑∑∑===
−−−=−+++
n
itt
n
itt
n
ittt iiiiiii
BBBBBBB0
2
0
22
0111
2
implică relaţia:
( ) [ ]tBBBBdBB t
t n
ittntss ii
−=
−−=∫ ∑
=+
2
0 0
22
21lim
21
1 .
Propoziţia 3.4. Fie θ din Λ , atunci are loc următoarea relaţie :
[ ]∫∫∫ =
≤
≤
T
u
T
uu
s
uuTs
duEdBEdBE0
2
2
0
2
0
44sup θθθ .
Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din inegalitatea lui Doob.
3.1.3. Proces Itô
Definiţia 3.5. Un proces X este un proces Itô dacă ∫∫ ++=t
ss
t
st dBdsbxX00
σ ,
unde b este un proces adaptat astfel încât ∫t
s dsb0
există (în sens Lebesque) aproape
sigur pentru orice t şi σ este un proces din Λ .
Procesul Itô poate fi scris şi în forma
=+=
xXdBdtbdX tttt
0
σ.
Coeficientul b este cunoscut sub numele de derivă iar σ este coeficientul de difuzie.
Scrierea tttt dBdtbdX σ+= este unică. Adică dacă ttttttt dBdtbdBdtbdX σσ ~~+=+=
atunci bb ~= şi σσ ~= . In particular, dacă X este un martingal local 0=b şi reciproc.
Proprietăţi. 1. Dacă σ este un proces din Λ atunci
( ) ( ) ( )∫+=t
st dsbEXEXE0
0 şi pentru orice st ≥ are loc relaţia:
( )
+=+
++= ∫∫∫∫
t
ssus
s
uu
t
ssu
s
ust dubEXdBdubEdubXXE FFF00
0 σ .
70
2. Dacă 0≡b şi Λ∈σ atunci procesul X este un martingal continuu.
Reciproca este adevărată: în condiţii bine stabilite de integrabilitate şi măsurabilitate
orice martingal continuu poate fi scris în forma ∫+t
ss dBx0
φ .
Fie X un proces Itô, tttt dBdtbdX σ+= , atunci având în vedere de condiţiile
de integrabilitate putem defini ∫ ∫∫ +=t t
sss
t
ss
def
ss dBdsbdX0 00
σθθθ .
Croşetul unui proces Itô. Fie Z un martingal continuu de pătrat integrabil,
( ) ∞<2sup tt ZE . Se poate demonstra că există un proces crescător continuu A astfel
încât ( )0,2 ≥− tAZ tt este un martingal. Procesul A se numeşte “croşetul” lui Z şi
notăm tt ZZA ,= sau
tt ZA = .
Demonstraţie. Se are în vedere descompunerea următoare:
( )∑ ∧∧ −+=+
2220
21 kk ttttt ZZZZ = ( )( )∑ ∑ ∧∧∧∧∧ −+−+
+++
2220 111
2kkkkk tttttttttt ZZZZZZ
t
t
ss AdZZZ ++→ ∫0
20 2
Observaţie. Croşetul unei mişcări browniene este t . Croşetul unei integrale stochastice
∫=t
sst dBM0
θ este ∫t
s ds0
2θ . Croşetul a două martingale locale continue este dat de
formula: ( )tttt
NNMMNMNMNM ,,,21, −−++= . Croşetul a două
integrale stochastice ∫+=t
sst dBHxX0
, ∫+=t
sst dBKyY0
este definit prin
∫=t
sstdsKHYX
0
, .
Propoziţia 3.5. Croşetul a două martingale continue M şi N este egal cu
variaţia pătratică a acestor procese şi este dat de formula
( )( )∑=
−−=++
n
ittttt iiii
NNMMNM1
11lim, .
Observaţie. Dacă P şi Q sunt două probabilităţi echivalente atunci croşetul lui
M în raport cu P este egal cu croşetul lui M în raport cu Q . Spunem că două
71
martingale continue sunt ortogonale dacă croşetul lor este nul sau dacă produsul lor este
un martingal.
Extindem definiţia croşetului pentru cazul proceselor Itô în felul următor: dacă
( ) ( ) ( ) iiii dBtdttbtdX σ+= , 2,1=i sunt două procese Itô atunci croşetul lor este prin
definiţie croşetul martingalelor corespunzătoare. Croşetul unui proces Itô X este dat de
formula: ∫==t
stt dsXA0
2σ .
Observaţie. Spunem că două mişcări browniene sunt corelate dacă croşetul lor este
t ρ . O mişcarea browniană poate fi caracterizată ca un martingal continuu de medie 0
şi de croşet t .
3.1.4. Lema lui Itô
Formula lui Itô a apărut ca o necesitate de a stabili o regulă de derivare a
expresiilor de forma ( )( )tBf , unde ( )xf este o funcţie diferenţiabilă. Dacă ( )tB ar fi
diferenţiabilă atunci conform regulii de derivare a funcţiilor compuse rezultă:
( )( ) ( )( ) ( )tBtBftBft
′′=∂∂ ,
sau în formă diferenţială: ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tdBtBfdttBtBftBdf ′=′′= .
Dar, ( )tB nu este diferenţiabilă şi în particular are variaţii pătratice diferite de 0, prin
urmare formula corectă mai conţine un termen:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )dttBftdBtBftBdf ′′+′=21 , unde ( ) ( )tdBtdBdt = .
Integrând obţinem:
Propoziţia 3.6. (formula lui Itô sau formula de schimbare a variabilelor). Fie
tB o mişcare browniană şi f o funcţie definită pe R cu valori în R , de clasă 2C .
Atunci ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′′+′=−t t
ssst dsBfdBBfBfBf0 0
0 21 .
Observaţie. Comparând această formulă cu teorema fundamentală de calcul:
( ) ( ) ( )∫ ′=−t
dssfftf0
0 , se observă că în formula lui Itô apare şi un termen de ordinul
72
doi. Demonstraţia formulei lui Itô are la bază teorema lui Taylor. Prima integrală din
membrul drept este o integrală Itô iar a doua este o integrală Riemann.
Fie X un proces Itô definit prin ecuaţia tttt dBdtbdX σ+= . Atunci:
Generalizare (formula lui Itô). Fie f o funcţie definită pe R cu valori în R ,
de clasă 2C cu derivata mărginită. Atunci
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ′′+′+=t t
sssst dsXfdXXfXfXf0 0
20 2
1 σ
sau altfel scris
( ) ( ) ( ) dtXfdXXfXdf ttttt2
21 σ′′+′= . (1)
Demonstraţie. Cum ( ) ( ) ( )∑ ++=
10 ktt XfXfXf rezultă
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )kkkkkkkkkk tttttttttt XXoXXXfXXXfXfXf −+−′′+−′=−
++++ 1111
2
21
şi trecem la limită.
Formula (1) poate fi rescrisă astfel:
( ) ( ) ( ) ( ) tttttttt dBXfdtXfdtbXfXdf σσ ′+′′+′= 2
21 . Aplicând croşetul obţinem
relaţia: ( ) ( ) ( ) ( ) tttttttt dBXfXdXfdtbXfXdf σ′+′′+′=21 .
Observaţie. Formula este uşor de reţinut în forma:
( ) ( ) ( ) tttttt dXdXXfdXXfXdf ⋅′′+′=21 ,
dacă ţinem cont de formula lui Taylor şi de regulile de calcul: 0=⋅ dtdt , 0=⋅ tdBdt ,
dtdBdB tt =⋅ .
Exemplu. Fie tB o mişcare browniană, 22tBX tt σσ −= şi ( ) xexf = . Atunci
tBXtt
2σσ == , ( ) ( ) xexfxf =′′=′ şi
∫∫∫∫ +=+−+=−t
sX
tX
tX
t
sXB dBedsedsedBee sssst
00
2
0
2
0
2 121
21
211
2
σσσσσσ .
73
Aplicaţii: 1. Calculăm ( )( )tXfE şi ( )( )stXfE F în condiţiile în care f ′ şi σ
sunt mărginite.
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
′′+′+= ∫
t
sssst dsXfbXfEXfEXfE0
20 2
1 σ =
= ( )( ) ( ) ( ) dsXfbXfEXfEt
ssss∫
′′+′+
0
20 2
1 σ .
Analog obţinem ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
′′+′+= ∫
t
suuusst duXfubXfEXfXfE s2 FF
21 σ =
= ( ) ( ) ( ) ( ) duXfubXfEXft
ssuuus ∫
′′+′+ F2
21 σ .
2. ( )∫ −=t
tss tBdBB0
2
21
3. ( ) ( )
+= dtdXXXd tttt
2
21expexp σ
4. tXt xeS = , unde tt WtX σσµ +
−= 2
21 , reprezintă soluţia unică a ecuaţiei
( )ttt dWdtSdS σµ += ,
Propoziţia 3.7. Fie ( ) ( )∫ ∫++=t t
ssst dBXdsXbXX0 0
0 σ unde b şi σ sunt
funcţii mărginite definite pe R cu valori în R . Dacă f este o funcţie de clasă 2C definită pe R cu valori în R , cu derivatele mărginite, verificând relaţia:
( ) ( ) ( ) ( ) 021 2 =′′+′ xfxxfxb σ pentru orice x atunci procesul ( )Xf este un martingal.
Demonstraţie. Se aplică formula lui Itô.
Observaţie. 1. Funcţia f este numită funcţie scară şi este definită prin
( ) ( ) ( )∫ ∫
−=
x
c
u
c
dudvvvbxf 2/2exp σ .
74
2. Operatorul L aplicat unei funcţiei f din 2C stabileşte relaţia
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxxfxbxf ′′+′= 2
21σL . Operatorul L este generatorul infinitezimal al
procesului de difuzie X . L verifică relaţia ( ) ( )( ) ( )t
xfXfExf tx
t
−=
→0limL .
Propoziţia 3.8. Fie f o funcţie definită pe RR ×+ de clasă 1C în raport cu t ,
de clasă 2C în raport cu x , cu derivatele mărginite, atunci are loc relaţia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dsXsfdXXsfdsXsfXfXtf ss
t
xxss
t
xs
t
tt2
0000 ,
21,,,0, σ∫∫∫ ′′+′+′+= .
Observaţie. Relaţia precedentă poate fi rescrisă astfel:
( ) ( ) ( ) ( ) ttxttxxttt dXXtfdtXtfXtfXtdf ,,21,, 2 ′+
′′+′= σ =
( ) ( ) ( )ttxxttxtt XdXtfdXXtfdtXtf ,
21,, ′′+′+′= .
Aplicaţie. 1. Fie X un proces stochastic:
( ) ( ) s
t
s
t
st dBXsdsXsbXX ∫∫ ++=00
0 ,, σ .
Dacă f este o funcţie definită pe RR ×+ cu valori în R astfel încât xf ′ σ este
mărginită şi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,21,,, 2 =′′+′+′ xtfxtxtfxtbxtf xxxt σ atunci ( )( )0,, ≥tXtf t este
un martingal.
Operatorul L definit pe funcţiile din 2,1C prin
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtfxtxtfxtbxtf xxx ,,21,,, 2 ′′+′= σL
este generatorul infinitezimal al procesului de difuzie.
Dacă f este o funcţie definită pe RR ×+ cu valori în R astfel încât xf ′ σ este
mărginită şi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtrfxtfxtxtfxtbxtf xxxt ,,,21,,, 2 =′′+′+′ σ (2)
75
atunci ( )( )0,, ≥− tXtfe trt este un martingal. In acest caz
( ) ( )( )tTrT
trt XTfeEXtfe F,, −− = .
Dacă f verifică relaţia ( ) ( )xhxTf =, şi este soluţie a ecuaţiei (2) atunci
( ) ( )( )tTrT
trt XheEXtfe F−− =, .
2. Fie X un proces stochastic (o mişcare browniană geometrică) astfel încât
( )ttt dBrdtXdX σ+= , unde r şi σ sunt două constante. Atunci procesul
( )0, ≥− tXe trt este un martingal. Este suficient să observăm că ( ) tt
rtt
rt dBXeXed σ−− =
şi să verificăm condiţiile de integrabilitate. Soluţia ecuaţiei ( )ttt dBrdtXdX σ+= ,
xX =0 , unde r şi σ sunt două constante este
−+= tBrtxX tt
2
21exp σσ . Spunem
că X este o mişcare browniană geometrică sau un proces log-normal.
3. Fie X un proces stochastic definit prin ecuaţia ( ) ( )( )ttt dBtdttbXdX σ+= unde b
şi σ sunt funcţii. Atunci procesul ( )
≥
− ∫ 0,exp
0
tXdssb t
t
este un martingal.
Cazul multidimensional
Propoziţia 3.9. Fie ( )2,1, =iX i două procese Itô definite prin ecuaţiile:
( ) ( ) ( ) tiii dBtdttbtdX σ+= .
Fie f o funcţie de clasă 2C definită pe 2R cu valori în R . Atunci are loc relaţia:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tdXtXtXftdXtXtXftXtXdf 2212121121 ,,, ′+′= +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )dttXtXtfttftf 2122222112
2111 ,2
21 σσσσ ′′+′′+′′ ,
unde if ′ este derivata în raport cu ix , 2,1=i şi ijf ′′ derivata de ordinul doi în raport cu
ji xx , .
In formă restrânsă putem scrie:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )∑∑ ′′+′== ji
jiijii
i dttXtXftdXtXtXftXXdf,
2121
2
121 ,
21,, σσ .
76
Formula lui Itô implică formula de integrare prin părţi:
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dttttdXtXtdXtXtXXd 21122121 σσ++= ,
unde cantitatea ( ) ( )tt 21 σσ corespunde croşetului ( ) ( )∫=t
tdsssXX
02121 , σσ .
Propoziţia 3.10. Fie ( )2,1, =iX i două procese Itô astfel încât
( ) ( ) ( ) ( )tdBtdttbtdX iiii σ+= , unde 1B şi 2B sunt două mişcări browniene
independente. Atunci are loc formula:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )+′+′= tdXtXtXftdXtXtXftXtXdf 2212121121 ,,,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]dtttXtXfttXtXf 222122
212111 ,,
21 σσ ′′+′′+ .
Cazul general: Fie ( )0, ≥tX i un proces Itô multidimensional, compus din procesele
( )( )nitX i ≤, astfel încât tttt dBvdtudX += . Altfel spus:
+
=
ppnpp
p
p
nn dB
dBdB
vvv
vvvvvv
dt
u
uu
dX
dXdX
.........
...........................
.........2
1
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
2
1
2
1
.
Fie f o funcţie de clasă 2,1C definită pe nRR ×+ . Atunci
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑==
′′+′+′=n
jijitijit
n
iittt tdXtdXXtftdXXtfdtXtfXtdf
1,1
,21,,, ,
unde dtdBdB ijji δ= , 0=dtdBi , 0=dtdt .
Propoziţia 3.11. Fie ( )2,1, =iX i două procese Itô astfel încât
( ) ( ) ( ) ( )tdBtdttbtdX iiii σ+= , unde 1B şi 2B sunt două mişcări browniene corelate cu
coeficientul de corelaţie ρ . Atunci are loc relaţia:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )+′+′= tdXtXtXftdXtXtXftXtXdf 2212121121 ,,,
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]dtttXtXftttXtXfttXtXf 222122212112
212111 ,,2,
21 σσρσσ ′′++′′+ .
Observaţie. In acest caz regula de înmulţire se modifică dtdBdB ρ=21 .
77
Aplicaţie. Fie 1B şi 2B două mişcări browniene corelate, şi fie 3B definită prin
relaţia ( )12231
1 BBB ρρ
−−
= . Fie ( ) ( )
−= ttBtM ii
2
21exp, λλλ . Aceste procese
sunt martingale pentru orice λ şi are loc relaţia ( ) ( ) ( )tdBtMtdM iii λ= . De unde, având
în vedere faptul că, mişcările browniene 3B şi 1B au croşetul nul, obţinem
[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )tMtdMtdMtMtMMd 313131 += . Acest produs este un martingal, ceea ce
implică ( ) ( )( )( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( )tBEtBEtBtBE 3131 expexpexp µλµλ =+ , de unde obţinem
independenţa mişcărilor browniene 3B şi 1B . Pentru a obţine independenţa proceselor
utilizăm expresia ( ) ( ) ( ) ( )
−= ∫∫
tt
ii dsssdBstM0
2
0 21exp λλ .
3.1.5. Formula Black-Scholes
Fie S preţul unui activ cu risc de pe o piaţă financiară . Preţul activului este
modelat de ecuaţia:
( )( )tbBSdBSdsSbSS ts
t
s
t
st 2exp 20
000 σσσ −+=++= ∫∫ ,
unde B este o mişcare browniană iar b şi R∈σ . Fie 0>T , timpul de maturitate.
Studiem funcţia ( )TSh care reprezintă câştigul obţinut în urma investiţiei pe piaţa
financiară. Considerăm ca instrument financiar opţiunea call europeană, atunci
( ) ( )+−= Kxxh .
Construim un portofoliu, dependent de timp, compus din opţiunea call şi tβ părţi din
activul cu risc.Valoarea portofoliului este dată de formula tttt SCV β+= , unde
( )tt StCC ,= reprezintă preţul opţiunii call. Presupunem că portfoliul este cu
autofinanţare, adică verifică relaţia: tttt dSdCdV β+= . Aplicând formula lui Itô
obţinem:
( ) ( ) ( ) ( ) ttttttt
tttttt dBStxCSSdtSt
xCS
SttCSt
xCbSSbdV
∂∂
++
∂∂
+∂∂
+∂∂
+= ,,2
,, 2
222
σσβσ
β
78
Rezultă că portofoliul este fără risc dacă ( ) 0, =∂∂
+ tttt StxCSS σσβ sau ( )tt St
xC ,∂∂
=β .
In aceste condiţii ( ) ( ) dtStxCS
SttCdV t
ttt
∂∂
+∂∂
= ,2
, 2
222σ.
Portofoliul are randamentul r dacă dtrVdV tt = sau ( )dtSCrdSdC tttttt ββ +=+ .
Inlocuind tβ prin valoarea sa obţinem :
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,2
,, 2
222
=−∂∂
+∂∂
+∂∂
ttt
ttt StrCStxCS
SttCSt
xCrS
σ,
cu condiţia terminală ( ) ( )TT ShSTC =, . Cum tS este o variabilă aleatoare cu valori în
+R rezultă C satisface ecuaţia ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,2
,, 2
222
=−∂∂
+∂∂
+∂∂ xtrCxt
xCxxt
tCxt
xCrx σ cu
condiţia terminală ( ) ( )xhxTC =, .
In cazul opţiunii call europene ( ) ( )+−= Kxxh ecuaţia devine:
( ) ( ) ( ) ( )21, dErfKedxErfxtC tTr −−−= ,
unde Erf reprezintă funcţia eroare a lui Gauss
( ) duexErfx
u∫∞−
−= 22
21π
, ( )( )
tTKxed
tTr
−+=
−
σln
21
1 şi tTdd −−= σ12 .
Analog se procedează în cazul dublării portofoliului format din tα părţi ale unui
activ fără risc rtt
st eSdsSrSS 00
0
00
0 =+= ∫ şi tγ părţi ale unui activ cu risc. Valoarea
portofoliului la momentul t este dată de formula ttttt SSV γα += 0 şi ipoteza de
autofinanţare este asigurată de relaţia: ttttt dSdSdV γα += 0 .
Punem condiţia ( )tt StCV ,= . Printr-o grupare a termenilor în expresiile tdV şi
respectiv tdC obţinem:
( ) σσγ tttt SStxCS ,∂∂
= sau ( )tt StxC ,∂∂
=γ
79
deoarece
( ) ( ) ( ) ( )tt
ttttttttttt StxCS
SttCSt
xCbSSbrSSt
xCSrS ,
2,,, 2
22200
∂∂∂
+∂∂
+∂∂
=+=∂∂
+ γαα
Dar ( )ttttt StCSS ,0 =+ γα , de unde rezultă ( ) ( )ttttt StxCSStCS ,,0
∂∂
−=α şi regăsim
ecuaţia:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,2
,, 2
222
=−∂∂
+∂∂
+∂∂
ttt
ttt StrCStxCS
SttCSt
xCrS
σ,
cu condiţia terminală ( ) ( )TT ShSTC =, .
In cazul opţiunii call europene avem ( ) ( ) ( ) ( )21, dErfKedxErfxtC tTr −−−= , unde
( ) duexErfx
u∫∞−
−= 22
21π
, ( )( )
tTKxed
tTr
−+=
−
σln
21
1 şi tTdd −−= σ12 .
De asemenea putem calcula ( ) ( )1, dErfStxC
tt =∂∂
=γ care reprezintă un factor de
acoperire a pieţei.
Observaţie. Folosind formula lui Itô se poate stabili o formulă probabilistă pentru
determinarea preţului opţiunii call ( ) ( ) ( )( )tTTtr
t KSEeStC F+− −=, .
3.2. Ecuaţii diferenţiale stochastice
3.2.1. Teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei
Definiţia 3.6. O ecuaţie diferenţială stochastică este o ecuaţie de forma
( ) ( )∫∫ ++=t
ss
t
st dBXsdsXsbxX00
,, σ , (3)
sau în forma restrânsă:
( ) ( )
=+=
xXdBXtdtXtbdX tttt
0
,, σ
unde B este o mişcare browniană.
Observaţie. In această ecuaţie necunoscuta este procesul stochastic X .
80
Definiţia 3.7. Fie date b şi σ două funcţii definite pe nRR ×+ cu valori reale.
Fie dat spaţiul probabilistic ( )P,,FΩ înzestrat cu o filtrare ( )tF şi o ( )tF -mişcare
browniană B . O soluţie a ecuaţiei (3) este un proces stochastic X , continuu,
( )tF -adaptat care verifică egalitatea ( ) ( )∫ ∫++=t t
ssst dBXsdsXsbxX0 0
,, σ P -aproape
sigur pentru orice t . Integralele ( )dsXsbt
s∫0
, şi ( )∫t
ss dBXs0
,σ au acelaşi semn.
Fie tB o mişcare browniană. Demonstrăm existenţa şi unicitatea soluţiei unei
ecuaţii diferenţiale stochastice de forma:
( ) ( ) tttt dBXdtXbdX σ+= , xX =0 .
Existenţa. Fie ( ) xtX =0 pentru orice t şi fie
( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫++=+
t t
siii dBsXdssXbxtX0 0
1 σ .
Fie 0t arbitrar, fixat. Demonstrăm existenţa (şi unicitatea) până la momentul arbitrar 0t .
Are loc următoarea inegalitate:
( ) ( ) ( ) ( )222
2
00
221
21 ttxcdsxbdsxxctEX
tt
++≤
++≤ ∫∫σ .
Cum ( ) 222 22 yxyx +≤+ rezultă:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) +
−≤− ∫ −
≤+
≤
2
01
21 sup2sup s
r
iitr
iitr
dBsXsXErXrXE σσ
( )( ) ( )( )( )
−+ ∫ −
≤
2
01sup2 dssXbsXbE
r
iitr
.
Aplicând inegalitatea lui Doob, primul termen din membrul drept al inegalităţii este
mărginit de
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ≤−=
− ∫∫ −−
t
ii
t
sii dssXsXEdBsXsXE0
21
2
01 88 σσσσ
81
( ) ( )∫ −−≤t
ii dssXsXEc0
213 .
Al doilea termen din membrul drept este mărginit de
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫ −−− −≤−≤
−
t
ii
t
ii
t
ii dssXsXEcdssXbsXbEtdssXbsXbE0
214
0
210
2
01 22
unde pentru prima inegalitate am aplicat inegalitatea lui Hölder.
Fie ( ) ( ) ( ) 21sup rXrXEtg ii
tri −
≤−= . Fie a suficient de mare astfel încât pentru 0tt ≤ au
loc inegalităţile: ( ) atg ≤1 şi ( ) ( )∫≤+
t
ii dssgatg0
1 .
Deci, ( ) ∫ =≤t
taadsatg0
22 , ( ) ∫ =≤
t
tasdsaatg0
2323 2 şi prin inducţie obţinem
( ) ( )!11 −≤ − itatg iii . Cum ( )( ) ( )( ) ∞<−≤ ∑∑ − 21121 !1 itatg ii
i atunci pentru m şi n
suficient de mari, expresia ( ) ( )21
2sup
−
≤sXsXE nm
tspoate lua o valoare mică. Prin
urmare există tX astfel încât ( ) 0sup 2 →−≤
tnts
XsXE pentru ∞→n . Cum iX este
continuă în t rezultă tX este continuă. Trecând la limită în relaţia
( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫++=+
t t
siii dBsXdssXbxtX0 0
1 σ
rezultă că pentru ∞→i tX verifică ecuaţia ( ) ( )∫∫ ++=t
ss
t
st dBXdsXbxX00
σ .
Unicitatea. Fie tX şi tX ′ două soluţii ale ecuaţiei ( ) ( )∫∫ ++=t
ss
t
st dBXdsXbxX00
σ .
Fie ( ) 2sup rrtr
XXEtg ′−=≤
. Există 0>a astfel încât ( )tg este mărginită de a şi are loc
inegalitatea ( ) ( )∫≤t
dssgatg0
. Atunci ( ) ∫ =≤t
taadsatg0
2 , ( ) 223
0
2 tasdsaatgt
=≤ ∫ ,
etc. Astfel ( ) ( ) 0!11 →−≤ −− itatg ii sau ( ) 0=tg .
82
Teorema de existenţă. A. Fie b şi σ două funcţii continue;
B. există K astfel încât pentru orice [ ]Tt ,0∈ , Ryx ∈, au loc relaţiile:
1. ( ) ( ) ( ) ( ) yxKytxtytbxtb −≤−+− ,,,, σσ
2. ( ) ( ) ( )2222 1,, xKxtxtb +≤+ σ
C. condiţia iniţială 0X este independentă de ( )0, ≥tBt şi este de pătrat integrabilă ,
atunci pentru Tt ≤ există o soluţie unică a ecuaţiei (3) cu traiectorii continue. Mai
mult această soluţie verifică relaţia ∞<
≤≤
2
0sup t
TtXE .
Propoziţia 3.12. Fie ρ o funcţie boreliană definită pe ( )∞,0 cu valori în
( )∞,0 astfel încât integrala funcţiei 1−ρ este divergentă în vecinătatea lui 0. Dacă
( ) ( ) ( )yxysxs −≤− ρσσ 2,, şi b este lipchitziană, adică ( ) ( ) yxKysbxsb t −≤− ,,
pentru orice yx, din R şi ts ≤ atunci există o soluţie unică a ecuaţiei (3).
Proprietatea Markov
Fie ( )tsX xts ≥,, soluţia ecuaţiei (3) – procesul se află în starea x la momentul
t . Aceasta are forma
( ) ( ) u
s
t
xtu
s
t
xtu
xts dBXuduXubxX ∫∫ ++= ,,, ,, σ .
In condiţiile teoremei de existenţă putem scrie x
tXts
xs XX
,0,,0 = , ts ≤ ceea ce afirmă că
soluţia ecuaţiei (3) este un proces Markov în raport cu filtrarea tF :
( )( ) ( )( ) ( )ttsts XtsXXfEXfE ,,Φ==F , unde ( ) ( )( )xtsXfExts ,,, =Φ , ts ≥ .
Acest rezultat permite calcularea mediei condiţionate.
In particular. dacă ( ) ( )∫∫ ++=s
tu
xtu
s
t
xtu
xts dBXduXbxX ,,, σ obţinem un proces Markov
omogen
( )( ) ( )( ) ( ) ( )tttsts XtsXtsXXfEXfE ,,, −Ψ=Φ==F ,
unde ( ) ( )( ) ( )( )xts
xts XfEXfExts ,0,,, −==Φ şi ( ) ( )( )x
uXfExu ,0, =Ψ .
83
Observaţie. O pereche de variabile aleatoare ( )YX , poate fi markoviană fără ca fiecare
componentă să fie markoviană.
Teorema de comparaţie. Fie ( ) ( )( ) ( )( ) tiiii dWtXdttXbtdX σ+= , 2,1=i unde
ib este lipschitziană şi ( ) ( )[ ] yxkyx −≤− 2σσ . Presupunem ( ) ( )00 21 XX ≥ şi
( ) ( )xbxb 21 ≥ . Atunci ( ) ( )tXtX 21 ≥ .
Exemple: Martingale exponenţiale
Propoziţia 3.13. Fie θ din Λ şi 0Z o constantă. Soluţia ecuaţiei
tttt dBZdZ θ= este
−= ∫ ∫
t t
ssst dsdBZZ0 0
20 2
1exp θθ . Mai mult, dacă
∞<
∫T
s dsE0
2
21exp θ procesul ( )TtZt ≤, este un martingal al cărui medie este 0Z .
Demonstraţie. Din definiţie Z este un martingal local. Aplicând formula lui Itô
verificăm faptul că
−= ∫ ∫
t t
ssst dsdBZZ0 0
20 2
1exp θθ este soluţia ecuaţiei date.
Notând ∫ ∫−=t t
ssst dsdBU0 0
2
21 θθ obţinem relaţia dtdBdU tttt
2
21θθ −= ,de unde rezultă
( ) ttttttt dBZdtdUUdZ θθ =
+= 2
21exp .
Observaţie. Procesul Z , notat prin ( )tBθE este numit exponenţiala lui Doléans-Dade .
Dacă 0Z este strict pozitivă atunci acest proces este un martingal local pozitiv. Relaţia
∞<
∫T
s dsE0
2
21exp θ este numită condiţia lui Novicov. In această condiţie
( ) 0ZZE T = şi ( )TtZt ≤, este un martingal. Dacă această condiţie nu este verificată
atunci procesul ( )TtZt ≤, este un martingal local pozitiv deci un supermartingal şi
( ) 0ZZE T ≤ .
Propoziţia 3.14. Fie f astfel încât ( ) ( ) yxCytfxtf −≤− ,, şi
( ) Csf ≤′ 0,sup . Atunci ( ) ( )∫ ∫−t t
sss dsBsfdBBsf0 0
2,21, este un martingal.
84
3.2.2. Ecuaţii cu derivate parţiale
Fie b şi σ două funcţii date, definite pe [ ] RT ×,0 cu valori în R , verificând
ipotezele teoremei de existenţă. Fie A un operator definit pentru funcţiile de clasă 2,1C
prin expresia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtxtfxtbxtfxtfxtAf xxxt ,,21,,,, 2σ′′+′+′= .
Fie ( )tuX txu ≥,, procesul Itô definit prin
( ) ( )∫ ∫++=u
t
u
ts
txs
txs
txt
txu dBXsdsXsbXX ,,,, ,, σ , tu ≥ (4),
cu starea iniţială în t dată de relaţia xX txt =, .
Observaţie. ( ) ( ) ( )xtfxtfxtAf t ,,, L+′= , unde L este operatorul infinitezimal a lui X .
Problema parabolică
Căutăm soluţiile problemei parabolice
( )( ) ( )
==
xgxTfxtAf
,0,
, pentru orice x din R şi t din [ ]T,0 ,
unde g este o funcţie definită pe R cu valori în R .
Dacă f este o soluţie a problemei parabolice şi X este o soluţie a ecuaţiei (4) formula
lui Itô conduce la relaţia :
( ) ( ) ( ) ( ) s
u
t
txs
txsx
txu dBXsXsfxtfXuf ∫ ′+= ,,, ,,,, σ .
în particular, pentru T avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s
T
t
txs
txsx
txT
txT dBXsXsfxtfXgXTf ∫ ′+== ,,,, ,,,, σ şi
dacă integrala este un martingal obţinem ( ) ( )( )txTXgExtf ,, = .
Propoziţia 3.15. In condiţii de regularitate soluţia problemei parabolice
( )( ) ( )
==
xgxTfxtAf
,0,
, pentru orice x din R şi t din [ ]T,0 ,
85
unde g este o funcţie definită pe R cu valori în R , este ( ) ( )( )txTXgExtf ,, = iar txX ,
este procesul Itô definit prin ( ) ( )∫ ∫++=u
t
u
ts
txs
txs
txt
txu dBXsdsXsbXX ,,,, ,, σ , tu ≥ cu
condiţia iniţială în t dată de xX txt =, .
Generalizare
Fie α o constantă pozitivă. Determinăm soluţia problemei parabolice:
( ) ( )xtfxtAf ,, α= , pentru orice x din R şi t din [ ]T,0 (5)
( ) ( )xgxTf =, .
Dacă f este soluţie a ecuaţiei (5) şi X este soluţie a ecuaţiei (4) atunci formula lui Itô
implică următoarea relaţie:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) stx
s
T
t
txsx
txT dBXssXsftxtfTXTf ,,, ,exp,exp,exp, σααα −′+−=− ∫
şi dacă integrala este un martingal obţinem ( ) ( )( ) ( )( )txTXgtTExtf ,exp, −−= α . Având
în vedere caracterul markovian are loc şi relaţia
( ) ( )( ) ( )( )xXXgtTExtf TT =−−= αexp, ,
unde ( ) ( )∫ ∫++=s s
uuus dBXuduXubXX0 0
0 ,, σ .
Propoziţia 3.16. Soluţia problemei
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xtxtfxtbxtfxtfxtf xxxt ,,21,,,, 2σα ′′+′+′=
( ) ( )xgxTf =,
este ( ) ( )( ) ( )( )Ttx XgtTExtf −−= αexp, , .
86
Formula Black-Scholes
Evaluarea unei opţiuni europene revine la determinarea soluţiei ecuaţiei cu
derivate parţiale:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,21,, 2
222 =−
∂∂
+∂∂
+∂∂ xtrCxt
xCxxt
tCxt
xCxr σ , 0≥x unde ( ) ( )+−= KxxTC , .
Fie S un proces cu valori în +R . Soluţia unei astfel de ecuaţii este:
( ) ( ) ( )( )+−− −= KSeExtC txT
tTr ,, ,
unde ( )utx
utx
u dBrduSdS σ+= ,, şi xS txt =, .
Cum ( ) ( )( )tTrGtTtxT xeS −−+−= 2, 2σσ , unde G este un gaussian, atunci pentru 0=t valoarea
medie se calculează astfel:
( )( ) ( )( )( ) =≥−=− −≥
−+− KSPKeSeEKSeE TrT
KSx
TrTx
TrT
T1
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )xKTrGTPKeexEe rT
xKTrGTTrGTrT ln22
ln22
2
2
≥−+−= −≥−+
−+− σσσσ
σσ 1
Observaţie. Calculul de mai sus permite calcularea factorului delta, adică variaţia
preţului unei opţiuni la o variaţie de un punct a preţului activului de bază.
Formula lui Feyman-Kac
Propoziţia 3.17. Fie k o funcţie continuă definită pe R cu valori în +R şi fie
g o funcţie continuă definită pe R cu valori în R astfel încât:
( ) ∞<+∫∞
∞−
− dyeyxg y α2 , pentru orice x din R şi 0>α .
Atunci funcţia f definită prin ( ) ( ) ( )
−−= ∫∫
∞ t
stx dsBktBdtgExf00
exp α este unica
soluţie din 2C mărginită de ( ) gffk +′′=+21α .
Demonstraţie. Considerăm procesul cu variaţie mărginită ( )0, ≥tZt definit prin
( )∫+=t
st dsBktZ0
α . Aplicând lema lui Itô procesului:
87
( ) ( ) dseBgeBfU st Zt
sZ
t
def
t−− ∫+=
0
,
unde f este o funcţie de clasă 2C obţinem relaţia:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) dteBgBfBkBfdBeBfdU tt Zttstt
Ztt
−−
++−′′+′= α
21 .
Procesul U este un martingal dacă termenul cu variaţie finită este nul adică, dacă
( ) ( )( ) ( ) ( ) 021
=++−′′ xgxfxkxf α . Se observă apoi că ( ) ( ) ( )xfxuBu == ,0,0 0 şi se
verifică relaţia ( )( ) 0→− tZt eBfE . Condiţiile de pozitivitate pentru α şi k şi de
mărginire pentru g garantează existenţa unei soluţii continue şi mărginite a ecuaţiei
diferenţiale.
Modele financiare
Fie tB o mişcare browniană şi fie tS o acţiune sau un alt instrument financiar
cu risc. Fie tttt dBSdtSdS σµ += ecuaţia care modelează comportamentul acestui
instrument financiar, altfel spus modificarea relativă a valorii acţiunii este o mişcare
browniană cu derivă tt
t dBdtS
dSσµ += . Aplicând formula lui Itô se verifică faptul că
soluţia ecuaţiei diferenţiale stochastice are forma: ( )( )tBt
teSS 20
2σµσ −+= .
De asemenea, presupunem existenţa unei obligaţiuni fără risc tβ , a cărei
ecuaţie este dtrd tt ββ = de unde rezultă rtt e0ββ = .
Presupunem că la momentul t cumpărăm un număr de a acţiuni, atunci preţul
acestora la momentul t este taS . Dacă la momentul ht + vindem pachetul format din
cele a acţiuni obţinem un profit egal cu ( )tht SSa −+ , unde htaS + reprezintă suma
obţinută pe cele a acţiuni la momentul ht + . In cazul vânzării short, 0<a , formula
pentru profit este aceeaşi.
Presupunem că la momentul it deţinem un pachet format din ia acţiuni şi
păstrăm pachetul până la momentul iit + . Profitul net total pe întreaga perioadă este
88
( )∑−
=
−+
1
01
n
itti ui
SSa . Pentru ti aa = şi 1+<≤ ii ttt profitul net total coincide cu integrala
stochastică ∫t
tt dSa0
. Se poate presupune că ia depinde de toate informaţiile până la
momentul it , adică de it
F . Dacă presupunem cazul ideal în care tranzacţiile sunt
continue şi dacă ta este adaptat atunci profitul net obţinut în urma tranzacţionării
pachetului de acţiuni este ∫t
ss dSa0
. Analog profitul net obţinut în urma tranzacţionării
obligaţiunilor este ∫t
ssdb0
β .
Perechea ( )ba, se numeşte strategie de trading (de vânzare/cumpărare).
Strategia este cu autofinanţare dacă
∫ ∫++=+=t t
ssssttttt dbdSaVbSaV0 0
0 ββ ,
pentru orice t . Presupunem că tranzacţiile nu necesită plata unor comisioane.
Considerăm cazul opţiunilor call europene: în cazul opţiunilor pe acţiuni, dacă
considerăm că valoarea unui pachet de acţiuni va creşte substanţial, am putea obţine un
profit mai mare dintr-o investiţie mai mică cumparand opţiuni call pe acest pachet de
acţiuni. Aceste opţiuni ne dau dreptul de a cumpăra pachetul de acţiuni la o dată fixată
T cu preţul de exercitare K mai mic decât preţul pieţei. Problema care ne interesează
este legată de evaluarea corectă a preţului unei opţiuni la momentul 0. Dacă la
momentul T , KST ≤ opţiunea nu este utilă. Dacă KST > atunci utilizăm opţiunea
pentru a cumpăra pachetul de acţiuni la preţul de exercitare K , după care vindem
acţiunile la preţul pieţei TS . Astfel profitul realizat este KST − . Deci în cazul
opţiunilor call europene profitul la momentul T este ( ) ( )0,max KSKS TT −=− + .
89
3.3. Exemple de procese Itô
3.3.1. Mişcare browniană geometrică
Considerăm ecuaţia diferenţială stochastică
tttttt dBXdtbXdX σ+= , xX =0 , (6)
unde b şi σ sunt două procese adaptate mărginite. Considerăm cazul coeficienţilor
determinişti. Conform teoremei de existenţă această ecuaţie admite o soluţie unică de
forma:
( ) ( ) ( )
−+∫ ∫ ∫t t t
s dssdBsdssbx0 0 0
2
21exp σσ .
Ecuaţia (6) poate fi scrisă în forma ( ) ( ) tt
t dBtdttbX
dXσ+= .
Observaţie. Martingalul bttt eXM −= este soluţie a ecuaţiei ttt dBMdM σ= .
Propoziţia 3.18. Soluţia ecuaţiei [ ]ttt dBbdtXdX σ+= este
+
−= tt BtbXX
21exp 2
0 σσ
sau
( ) ( )
−+−
−= stst BBstbXX
21exp 2 σσ .
Este uşor de demonstrat faptul că ecuaţia [ ]ttt dBbdtXdX σ+= , xX =0 are soluţie
unică. Fie Y o altă soluţie a ecuaţiei date. Ştim că X nu se anulează atunci
( ) [ ]tt
t dBdtX
Xd 11 σµ −= , unde 2σµ +−= b .
Fie tZ un proces definit prin t
tt X
YZ = . Acest proces verifică ecuaţia diferenţială
( ) ( ) 02 =−+−+= ttt dBdtbZdZ σσσµ ,
adică 0=tdZ , cu soluţia 0ZZt = .
90
3.3.2. Modelul Cox-Ingersoll-Ross
Pentru a determina un model matematic al fluctuaţiei ratei dobânzii se poate
porni de la analiza ecuaţiei diferenţiale stochastice
( ) tttt dBrdtrkdr σθ +−= . (7)
Pentru 0≥θk unica soluţie a ecuaţiei este un proces pozitiv. Nu se poate obţine o
formă explicită a acestei soluţii. Fie xr soluţia ecuaţiei (7), unde xr x =0 . Se poate
demonstra că dacă 0;0inf0 =≥= xt
defx rtT şi 22 σθ ≥k atunci ( ) 10 =∞=xTP . Dacă
220 σθ <≤ k şi 0>k atunci ( ) 10 =∞<xTP iar dacă 0<k atunci ( ) ( )1,00 ∈∞<xTP .
Media variabilei aleatoare tr se poate calcula cu ajutorul formulei
( ) ( )
−+= ∫
t
st dsrEtkrrE0
0 θ , unde integrala stochastică este un martingal.
Propoziţia 3.19. Fie r procesul ce verifică ecuaţia ( ) tttt dBrdtrkdr σθ +−= .
Media condiţionată este dată de formula
( ) ( ) ( )( )stkstksst eerrE −−−− −+= 1θF
iar varianţa condiţionată este dată de formula
( )( ) ( )( ) ( )( )
ke
keerrVar
stkstkstk
sst 21 2222 −−−−−− −
+−
=θσσF .
Demonstraţie. Prin definiţie, pentru ts ≤ are loc relaţia
( ) ∫∫ +−+=t
suu
t
sust dBrdurkrr σθ
şi aplicând formula lui Itô obţinem:
( ) ( )∫ ∫∫ =++−+=t
s
t
su
t
suuuust durdBrdurrkrr 22322 22 σσθ
( ) ( )∫∫∫ +−++=t
suu
t
su
t
sus dBrdurkdurkr 23222 222 σσθ .
91
Având în vedere că mediile integralelor stochastice de mai sus sunt 0, atunci pentru
0=s obţinem relaţiile:
( ) ( )
−+= ∫
t
ut durEtkrrE0
0 θ şi ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −++=t
u
t
ut durEkdurEkrrE0
2
0
220
2 22 σθ .
Fie ( ) ( )trEt =Φ . Pentru a determina soluţia ecuaţiei ( ) ( )
Φ−+=Φ ∫
t
duutkrt0
0 θ o
transformăm într-o ecuaţie diferenţială ( ) ( )( )tkt Φ−=Φ′ θ , pentru care ( ) 00 r=Φ .
Atunci obţinem ( )( ) ( ) ktertrE −−+= θθ 0 .
Analog, introducem ( ) ( )2trEt =ψ şi rezolvând ecuaţia ( ) ( ) ( ) ( )tktkt Ψ−Φ+=Ψ′ 22 2σθ
obţinem ( ) ( ) ( )
−+−= −−− ktktkt
t eerek
rVar 12
1 0
2 θσ .
Media condiţionată a lui r şi varianţa condiţionată a lui r pot fi determinate aplicând
proprietatea Markov. Astfel, obţinem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )stkstks
stksst eererrE −−−−−− −+=−+= 1θθθF
şi
( )( ) ( )( ) ( )( )
ke
keerrVar
stkstkstk
sst 21 2222 −−−−−− −
+−
=θρσF .
Valoarea unei obligaţiuni cu cupon zero
Propoziţia 3.20. Fie ecuaţia diferenţială stochastică
( ) tttt dBrdtrbadr σ+−= .
Atunci ( )tt
T
tu rtGdurE ,exp =
− ∫ F , unde ( ) ( ) ( )( )tTxtTxtG −Ψ−−Φ= exp, ,
( ) ( )( )( ) γγ γ
γ
2112+−+
−=Ψ s
s
eaes , ( )
( )
( )( )
22
2
212
ρ
γ
γ
γγγ
ab
s
sa
eaes
+−+=Φ
+
, 222 2ργ += a .
92
Demonstraţie. Fie txr , soluţia ecuaţiei ( ) stx
stx
stx
s dBrdsrbadr ,,, ρ+−= , pentru care
xr txt =, şi
−= ∫
s
t
txu
ts durR ,exp . Din proprietatea Markov rezultă că există G astfel
încât ( )tt
s
t
txu rtGdur ,exp , =
− ∫ F . Presupunem că G este de clasă 2,1C . Aplicăm
martingalului ( ) ts
txs RrsG ,, formula lui Itô. Obţinem relaţia:
( ) ( ) ( ) ( ) tT
T
ts
txs
txs
txs
ts
tT
txT MMdsrs
xGr
xGrba
tGGrRxtGRrTG −+
∂∂
+∂∂
−+∂∂
+−+= ∫ ,21,, 2
2,2,,, σ
unde tM este o integrală stochastică. Dacă G verifică ecuaţia
( ) 021
2
22 =
∂∂
+∂∂
−+∂∂
+−xGx
xGxba
tGxG σ (8)
şi ( ) 1, =xTG pentru orice x , atunci ( ) tMMrtGRR TtttT −−+= , , unde M este un
martingal. In particular, obţinem relaţiile
( ) ( )xGRREdsrE T
T
s ,0exp 00
==
− ∫ şi ( )xtGdurE
T
t
txu ,exp , =
− ∫ .
Soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale (8) este dată de expresia
( ) ( ) ( )( )tTxtTxtG −Ψ−−Φ= exp, ,
unde ( ) ( )( )( ) γγ γ
γ
2112+−+
−=Ψ s
s
eaes , ( )
( )
( )( )
22
2
212
ρ
γ
γ
γγγ
ab
s
sa
eaes
+−+=Φ
+
, 222 2ργ += a .
Observaţie. Dacă notăm cu ( )TtB , valoarea unei obligaţiuni cu cupon zero
atunci ecuaţia diferenţială stochastică este de forma
( ) ( ) ( )( )ttt dBrtTdtrTtBTtdB ,,, −+= σ , unde ( ) ( ) ruru Ψ=σσ , .
93
3.3.3. Procese Bessel
Norma euclidiană a unei mişcări browniene n - dimensionale
Fie 1>n şi fie ( )nBBBB ,...,, 21= o mişcare browniană n -dimensională.
Definim un proces stochastic X prin tt BX = adică ( ) ( )∑=
=n
iit tBX
1
22 . Formula lui
Itô ne conduce la rezultatul următor:
( ) ( )∑=
+=n
iiit ndttdBtBdX
1
2 2 .
Procesul β definit prin
( ) ( )∑=
==n
iii
ttt
tt tdBtB
BdBB
Xd
1
11β , 00 =β
fiind exprimat ca o sumă de martingale, este un martingal continuu iar croşetul său este
t . Atunci β este o mişcare browniană iar egalitatea ( ) ndtdBBXd ttt += 22 poate fi
scrisă sub forma ( ) ndtdXXd ttt += β22 . Aplicând formula lui Itô obţinem
ttt X
dtnddX2
1−+= β ,
unde β este o mişcare browniană. Pentru 2tt XV = rezultă relaţia:
ndtdVdV ttt += β2 .
In condiţiile de mai sus spunem că X este un proces Bessel (BES) de dimensiune n şi
V este un proces Bessel pătratic de dimensiune n (BESQ).
Generalizare
Fie W o mişcare browniană reală. Având în vedere inegalitatea
yxyx −≤− , teorema de existenţă afirmă că pentru orice 0≥δ şi 0≥α
ecuaţia ttt dWZdtdZ 2+= δ , pentru care α=0Z admite o soluţie unică. Soluţia este
cunoscută sub numele de proces Bessel pătratic de dimensiune δ ( δBESQ ) . In
particular, dacă 0=α şi 0=δ soluţia 0≡Z este unică. Din teorema de comparaţie
94
rezultă că, dacă δδ ′≤≤0 iar ρ şi ρ′ sunt procese Bessel pătratice de dimensiuni δ
şi respectiv δ ′ , ce au aceeaşi stare iniţială, atunci tt ρρ ′≤≤0 aproape sigur. In cazul
în care 2>δ procesul Bessel pătratic de dimensiune δ cu starea iniţială α nu va
atinge niciodată starea 0 şi este un proces de tranziţie. Dacă 20 << δ procesul ρ
atinge starea 0 în timp finit şi este reflectat instantaneu. Dacă 0=δ procesul rămâne în
0. Deci Z verifică 0≥tZ pentru orice t .
Definiţia 3.8. Pentru orice 0≥δ şi 0≥α unica soluţie tare a ecuaţiei
∫++=t
sst dWt0
2 ρδαρ
se numeşte proces Bessel pătratic de dimensiune δ cu starea iniţială α , ( δBESQ ).
Definiţia 3.9. Fie ρ un proces Bessel pătratic de dimensiune δ cu starea
iniţială α . Procesul ρ=R se numeşte proces Bessel de dimensiune δ cu cu starea
iniţială α=a ( ( )δBES ) .
Definiţia 3.10. Numărul ( ) 12 −= δν se numeşte indexul procesului Bessel.
Un proces Bessel R cu un index 0≥ν este un proces de difuzie cu valori în +R
al cărui generatorul infinitezimal este dat de expresia
dxd
xdxd
dxd
xdxd
21
21
212
21
2
2
2
2 −+=
++=
δνL .
Deci, pentru orice f din 2cC procesele ( ) ( )∫−
t
st dsRfRf0
L sunt martingale.
Pentru 1>δ un proces Bessel de dimensiune δ verifică relaţia ∞<
∫t
sRdsE
0
şi
este soluţie a ecuaţiei ∫−
++=t
stt ds
RWR
0
12
1δα .
Folosind indexul, ecuaţia de mai sus poate fi rescrisă astfel:
∫
+++=
t
stt ds
RWR
0
121να .
95
Pentru 1=δ procesul Bessel de dimensiune 1 este de forma tttt LBR +== β , unde
B şi β sunt mişcări browniene şi L este timpul local al unei mişcări browniene B .
Pentru 1<δ este necesară introducerea valorii principale a integralei ∫t
sRds
0
. Atunci
∫−
++=t
stt ds
RWR
0
1 v.p.2
1
δα ,
unde valoarea principală este definită prin ( )∫ ∫∞
− −=t
txt
s
dxLLxdsR0 0
021 v.p. δ iar familia
de timpi locali este definită utilizând formula ( ) ( )∫∫∞
−=0
1
0
dxxLxdsR xt
t
sδφφ . Analog,
generatorul infinitezimal al procesului Bessel pătratic ρ este dxd
dxdx δ+= 2
2
2A , deci
pentru orice f din 2KC procesele de forma ( ) ( )∫−
t
st dsff0
ρρ A sunt martingale.
Proprietăţi
Propoziţia 3.21. Dacă ( )0, ≥ttρ este un proces Bessel pătratic de dimensiune
δ a cărui stare iniţială este x , atunci ( )0,1≥t
c ctρ este un proces Bessel pătratic de
dimensiune δ a cărui stare iniţială este cx .
Demonstraţie. Ecuaţia
tdWxt
sst δρρ ++= ∫0
2
implică
tdWccc
xctc
dWcc
xc
t
scs
ct
ssct 1221
0
21
0
δρδρρ +
+=++= ∫∫ .
Fie ctt cu ρ1
= , înlocuind în relaţia precedentă obţinem tWducxu
t
sst ~20
δ++= ∫ , unde
96
≥= 0,1~ tW
cW tct este o mişcare browniană.
Fie ( )++=Ω RRC , spaţiu canonic, fie R aplicaţia canonică definită
prin ( ) ( )tRt ωω = , fie ( )tsRst ≤= ,σR filtrarea canonică şi fie ( )ναP legea de
probabilitate a procesului Bessel de index ν a cărui stare iniţială este α , adică ( ) ( ) 10 == ανα RP .
Notaţie. Legea procesului Bessel pătratic de dimensiune δ cu starea iniţială x (pe
spaţiul canonic ( )++=Ω RRC , ) este notată prin δxQ .
Propoziţia 3.22. Intre procesele ( )νBES , cu indexul 0≥ν şi ( )0BES are loc
relaţia ( ) ( )tx
t
s
ttx P
Rds
xR
P RR 0
02
2
2exp
−
= ∫
ννν , unde ( )νP este legea unui proces
Bessel cu index ν .
Demonstraţie. In raport cu ( )0P , procesul canonic R verifică ecuaţia
dtR
dWdRt
tt 21
+= . Procesul
−
= ∫t
s
tt R
dsxR
L0
2
2
2exp νν
este un ( )0P -martingal
nenegativ. Intr-adevăr, conform formulei lui Itô obţinem ( ) tttt dWRLdL lnν= , prin
urmare procesul L este un martingal local. Se observă că ν
≤
≤≤ xR
L t
Ttt
Ttsupsup . Procesul
2R este un proces Bessel pătratic de dimensiune 2, egal în lege cu procesul 22 ~yt BB +
unde B şi B~ sunt mişcări browniene independente. Prin urmare ktR este integrabil
pentru 2≥k . Procesul R fiind suma dintre un proces crescător şi un martingal este
submartingal. Inegalitatea lui Doob implică ( )kTk
k
tTt
RECRE ≤
≤sup . Din teorema lui
Girsanov rezultă dtR
dRRRddtR
dRt
ttt
t
+−=−−
211ln,
21 νν , deci în raport cu
( ) ( )0xtx PLP =ν se obţine o mişcare browniană.
Notaţie. QP * convoluţia lui P şi Q .
97
Propoziţia 3.23. δδδδ ′++
′ = yxyx QQQ * , altfel spus, suma a două procese Bessel
pătratice independente este un proces Bessel pătratic.
Demonstraţie. Considerăm cazul general. Fie X şi Y două procese Bessel pătratice
independente de dimensiuni δ şi respectiv δ ′ , cu stările iniţiale x , respectiv y .
Fie YXZ += . Atunci ( ) ( )∫ ++′+++=t
sssst dBYdBXtyxZ0
212δδ .
Fie 3B o altă mişcare browniană, independentă de ( )21, BB . Procesul W definit prin
∫∫ => +
+=
t
sZs
sssst
Zt dBZ
dBYdBXW
ss
0
30
21
00 11
este o mişcare browniană şi are loc relaţia: ( ) ∫+′+++=t
sst dWZtyxZ0
2δδ .
Funcţii Bessel
Funcţiile Bessel ( ) ( )∑∞
= ++Γ
=
02
2
1!22 nn
n
nnzzzIν
ν
ν şi ( ) ( ) ( )( )z
zIzIzK
sin2 ππ νν
ν−
= −
verifică ecuaţia diferenţială Bessel: ( ) ( ) ( ) ( ) 0222 =+−′+′′ xuxxuxxux ν .
Densităţi de tranziţie
Fie δxE media în raport cu δ
xQ . Propoziţia 3.23. implică relaţia
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 110
1 expexpexp −−−=−
δδ λρλρλρ ttxtx EEE
şi cum în raport cu 1xQ variabila aleatoare tρ este pătratul unei variabile gaussiene se
poate verifica relaţia: ( )( )
+−
+=−
tx
tE tx λ
λλ
λρ21
exp21
1exp1 .
Atunci
( )( )( )
+−
+=−
tx
tE tx λ
λλ
λρ δδ
21exp
211exp 2 .
98
Procesul Bessel şi procesul Bessel pătratic sunt procese Markov şi densităţile lor de
tranziţie sunt cunoscute. Densitatea de tranziţie ( )νtq a unui proces ( )νBESQ este dată de
expresia
( ) ( )
+−
=
txy
Ityx
xy
tyxqt ν
νν
2exp
21,
2
,
iar procesul Bessel de index ν are densitatea de tranziţie ( )νtp definită prin
( ) ( )
+−
=
txyI
tyx
xy
tyyxpt ν
νν
2exp,
22
,
unde νI este funcţia Bessel de index ν .
Pentru 0=x probabilitatea de tranziţie a unui proces Bessel pătratic de index ν
este dată de formula: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
−+Γ= −+−
tyytyq2
exp12,0 11 ννν ν .
Pentru 0=x probabilitatea de tranziţie a unui proces Bessel de index ν este
dată de formula: ( ) ( ) ( ) ( )( )
−+Γ= +−+−−
tyytyp2
exp12,02
1211 νννν ν .
Pentru un proces Bessel de dimensiune δ au loc următoarele relaţii:
( ) ( ) ( )( )λ
λ
ν
νν
λν
22
bKaK
abeE bT
a
=− , pentru ab <
( ) ( ) ( )( )λ
λ
ν
νν
λν
22
bIaI
abeE bT
a
=− , pentru ba <
Observaţie. Pentru ab < , deoarece ( ) ( ) ( ) ( )bTaba eETP λν
λ
ν −
→=∞<
0lim are loc relaţia
( ) ( )ν
ν2
=∞<
abTP ba . Pentru z în vecinătatea lui 0 are loc relaţia ( ) ( ) ν
ν ν −zczK ~ .
Propoziţia 3.24. ( ) ( ) ( )
−
=
−−
−
∫ 2
02
22 exp
2exp t
tr
t
str aR
rR
ERdsaRE
γνγν µ ,
unde 222 νµγ += .
99
Demonstraţie. Fie ( )0, ≥tRt un proces Bessel cu un index ν şi cu starea iniţială 0>r .
Din relaţia ( ) ( )∫∞
−−Γ
=0
1exp11 αα α
vvxdvx
rezultă
( )
( ) ( )( ) ( )( )2
0
12 exp11
trt
r vREdvvR
E −Γ
=
∫∞
− ναα
ν
α .
Fie 0≥α . Din egalitatea ( ) ( )( )( )
+
−+
=− + tr
tRE tr v21
vexpv211vexp
2
12
νν şi printr-o
schimbare de variabilă obţinem ( )
( ) ( ) ( ) ( )∫ −−Γ
=
−−t
tr rtd
RE
21
0
212 vexpv21vv11 αναα
ν
α.
De asemenea are loc relaţia:
( ) ( ) =
+−−
=
−− ∫∫
t
st
tr
t
str R
dsaRrR
ERdsaRE
02
2220
02
22
2exp
2exp νµµ ν
ν
( ) ( )
−
=
−2exp t
tr aR
rR
Eγν
γ , unde 22 νµγ += .
Cum ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) =+−
Γ=
−
∫∞
−
0
2122
vexpvv1exp1trt
tr RaEdaR
RE γα
αγ
α
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫
∞+−−
+++
−++Γ
=0
211
v21vexpv21vv1
taartad γα
α atunci,
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫∫
∞+−−
−
+++
−++Γ
=
−−
0
211
02
22
v21vexpv21vv1
2exp
taartad
rRdsaRE
t
str
γαγν
ν
αµ
unde ( ) ( )ννµνγα −+=−= 22
21
21 .
Propoziţia 3.25. Pentru δBESQ are loc relaţia:
( )
−=
− −∫ bxbbdsbQ sx tanh
21expcosh
21exp 2
1
0
2 δδ ρ .
100
Demonstraţie. Pentru orice funcţie local mărginită F procesul
( ) ( )
−= ∫∫
t
s
t
ss
def
t dssFdWsFZ0
2
0 21exp ρρ
este un martingal local. Procesul δBESQ ρ verifică ecuaţia dtdWd ttt δρρ += 2 ,
atunci
( ) ( ) ( )
−−= ∫∫
t
s
t
sst dssFdsFZ0
2
0 21
21exp ρδρ . (9)
Dacă F este diferenţiabilă atunci formula de integrare prin părţi ne conduce la
următorul rezultat:
( ) ( ) ( ) ( )sdFFtFdsFt
ss
t
s ∫∫ −−=0
00
0 ρρρρ (10)
şi înlocuind relaţia (10) în expresia (9) obţinem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
+−
−−= ∫∫
t
ss
t
tt sdFdssFdssFxFtFZ0
2
0 210
21exp ρρδρ
Fie ΦΦ′
=F astfel încât pentru b dat, Φ satisface relaţia Φ=Φ ′′ 2b , ( ) 10 =Φ ,
( ) 01 =Φ′ . Este uşor de arătat că ( ) ( ) ( ) ( )btbbtt sinhtanhcosh −=Φ . Atunci
( ) ( ) ( )( )
−Φ−−= ∫
t
stt dsbtxFtFZ0
2
2ln0
21exp ρδρ
este un martingal şi are loc relaţia
( ) ( ) ( ) ( )
−Φ−Φ′−=== ∫ dsRbxEZEZE s
1
0
2
10 21ln
20
21exp1 δ
Pentru ( )bcosh
11 =Φ şi ( ) bb tanh0 −=Φ′ obţinem rezultatul căutat.
101
3.3.4. Procesul Cox-Ingersoll-Ross
Procesul Cox-Ingersoll-Ross este soluţia ecuaţiei diferenţiale stochastice:
( ) tttt dWrdtrkdr σθ +−= (11)
Schimbarea de variabilă (variabila timp)
Schimbarea variablei timp după formula ( ) 42ttA σ= reduce studiul soluţiei
ecuaţiei (11) la cazul 2=σ .
Dacă 42tt rZσ
= atunci ( ) tttt dBZdtZkdZ 2+−′= ϑ , unde 42σkk =′ şi B este o
mişcare browniană. Procesul CIR definit în relaţia (11) este un proces de forma
( )
−= − 1
4
2ktkt
t ek
er σρ , unde ( )( )0, ≥ssρ este un proces ( )αδBESQ cu 2
4σθδ k
= . In
particular dacă 242 >
σθk procesul nu atinge starea 0.
Din a doua teoremă de existenţă rezultă faptul că ecuaţia (11) admite o soluţie unică,
nenegativă. Presupunem 22 σθ ≥k şi notăm 0; 0inf0 =≥= xt
defx rtT primul moment în
care este atinsă starea 0. Atunci ( ) 10 =∞=xTP , adică procesul r nu atinge starea
(poziţia) 0. Pentru 220 σθ <≤ k şi 0>k , ( ) 10 =∞<xTP iar pentru 0<k are loc
relaţia ( ) ( )1,00 ∈∞<xTP .
Probabilităţi de tranziţie pentru procesul CIR
Propoziţia 3.26. Densitatea de tranziţie ( ) ( )drstrfrdrrP st ρρ ,; −==∈ este
dată de formula ( )
+−
= kt
ktktkt
rec
Icrere
cetrf ρρ
ρρ ν
ν1
2exp
2,,
2
,
unde ( )14
2
−= ktek
c σ şi 122 −=
σθν k .
102
In particular, fie ( )ρtr un proces CIR a cărei valoare iniţială este ( ) ρρ =0r . In aceste
condiţii variabila aleatoare ( ) cerY kttt ρ= are densitatea
( ) ( )dyyIyeedyYP yt α
α νν
ν
ε22
2
2
2−
−
=∈
unde cρα = . Aceasta este o lege chi-pătrat, necentrată cu ( )12 += νδ grade de
libertate şi α parametrul de necentralitate.
Dacă ( )y,,2 αδχ este funcţia de repartiţie cumulată atunci
( )
−==>
cKe
crrP
T
T
µρσθχρµ ,,41 2
20 , unde ( )1
4
2
−= kTek
c σ .
Bibliografie
Jeanblanc M. - Course de Calcul Stochastique, 2002
J. Ma, J. Yong
- Forward-Backward Stochastic Differential Equations, volume 1702 of Lecture Notes in Maths. Springer-Verlag, Berlin, 1999
B. Oksendal - Stochastic Differential Equations. Springer, Berlin, 1992
P. Protter - Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, Berlin, 1990
Simon Thomas
- Elements de Calcul Stochastique, 2002 – note de curs
Steven E. Shreve - Stochastic Calculus and Finance, 1997 – note de curs
103
Capitolul 4
Probleme asociate mişcării browniene
Capitolul include subiecte legate de condiţiile în care un proces stochastic poate
fi reprezentat printr-o integrală stochastică.
4.1. Regula de schimbare a probabilităţii
4.1.1. Teorema lui Girsanov
Propoziţia 4.1. Fie P şi Q două probabilităţi echivalente pe spaţiul ( )TF,Ω .
Există atunci ( )TtLt ≤, , un P - tF martingal strict pozitiv astfel încât PLQ T= în
raport cu TF şi ttt PLQ FF = . Altfel spus, pentru orice variabilă aleatoare X
Q -integrabilă, tF -măsurabilă şi pentru Tt ≤ are loc egalitatea ( ) ( )XLEXE tPQ = .
Mai mult, 10 =L şi ( ) 1=tP LE pentru orice Tt ≤ .
Demonstraţie. Dacă restricţiile probabilităţilor P şi Q la TF sunt echivalente există o
variabilă aleatoare TL , TF -măsurabilă astfel încât PLQ T= în raport cu TF (teorema
lui Radon-Nikodym). Spunem că TL este densitatea lui Q în raport cu P şi
( ) ( )XLEXE TPQ = pentru orice variabilă X TF -măsurabilă şi Q -integrabilă. In
particular, variabila aleatoare TL este strict pozitivă şi ( ) 1=TP LE . Fie ( )tTPt LEL F= .
Din construcţie ( )TtLt ≤, este un martingal şi este densitatea Radon-Nikodym
tF -măsurabilă a lui Q în raport cu P pe tF . Prin urmare, dacă X este tF -măsurabilă
şi Q integrabilă atunci:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )tPtTPPtTPPTPQ XLELXEEXLEEXLEXE ==== FF .
In acest caz are loc ( ) QLP T1−= şi ( ) ( )YLEYE TQP
1−= iar ( )TtLt ≤− ,1 este un
Q -martingal.
Observaţie. Vorbim despre legea unei variabile aleatoare sau al unui proces, în raport
cu P sau Q în funcţie de probabilitatea cu care este înzestrat spaţiul. O proprietate
104
adevărată P -aproape sigur este adevărată Q -aproape sigur. O variabilă
aleatoare P -integrabilă nu este în mod necesar şi Q -integrabilă.
Propoziţia 4.2. M este un Q -martingal dacă şi numai dacă LM este un
P -martingal.
Demonstraţie. Fie M un Q -martingal. Utilizând formula lui Bayes şi proprietatea de
P -martingal a lui L , pentru ts ≤ obţinem relaţia:
( ) ( )s
sttPstQs L
MLEMEM
FF == .
Reciproca rezultă din formula lui Bayes.
Teorema lui Girsanov. Fie ( )0, ≥tBt o mişcare browniană pe spaţiul
( )P,,FΩ şi ( )tF filtrarea sa canonică. Fie
−= ∫∫
t
s
t
sst dsdBL0
2
0 21exp θθ , Tt ≤ ,
unde θ este un proces ( )tF adaptat (sau altfel spus, tttt dBLdL θ= ). Presupunem
( ) 1=TLE . Fie TT
def
T dPLdQ FF = . Atunci ∫+=t
stt dsBB0
~ θ , unde B~ este o Q -mişcare
browniană.
Observaţie. In condiţia lui Novikov ∞<
∫T
sP dsE0
2
21exp θ , TL este o variabilă
aleatoare pozitivă a cărei medie este 1 în raport cu P iar L este un P -martingal. Dacă
L nu are media 1 atunci L este un supermartingal al cărui medie este strict mai mică
decât 1.
Demonstraţie. In cazul în care m=θ , unde m este o constantă, utilizăm
caracterizarea mişcării browniene prin proprietatea de martingal a expresiei
− tBt 2
exp2λλ . Demonstrăm că
− tBt 2
~exp2λλ este un Q -martingal sau că
( ) ( ) ( )( )
++−+=
−− tmmBmtmtBL ttt 2
21exp
2exp 22
2
λλλλλ
105
este un P -martingal. In cazul general se poate verifica că B~ este un Q -martingal
deoarece LB~ este un P -martingal. Croşetul Q -semimartingalului B coincide cu cel al
termenului ce reprezintă martingalul sau cel al Q -martingalului B~ . Croşetul nu
depinde de alegerea probabilităţii. Croşetul lui B este egal cu croşetul lui B~ şi este
egal cu t . Deoarece ( ) tt LtB −2~ este un P -martingal, rezultă tBt −2~ este un
Q -martingal.
Propoziţia 4.3. Fie Z un P -martingal local continuu şi fie Q o probabilitate
definită pe tF prin dPLdPZZdQ ttt =
−=
21exp . Dacă N este un P -martingal
local continuu, procesul
≥−=− 0,,1, tLN
LNZNN
tt
ttt este un Q -martingal
local continuu al cărui croşet este t
N .
Demonstraţie. Martingalul
−=
ttt ZZL21exp verifică relaţia ttt dZLdL = .
Procesul ( )0,, ≥− tZNNtt este un Q -martingal local. Utilizând formula lui Itô
verificăm faptul că ( )0,, ≥− tZNLNLtttt este un P -martingal local.
Utilizând spaţiul canonic rescriem rezultatul de mai sus. Legea mişcării
browniene W este absolut continuă. Analog legea mişcării browniene cu deriva ν ,
definită prin ( )ttt tW FF WW
−=
2 exp
2ννν unde W este aplicaţie canonică, este
absolut continuă. Altfel spus relaţia poate fi scrisă în forma :
( ) ( )( ) ( )
≤
−=≤ tuXFtXtuXF utu ,
2exp,
2ννν WW , pentru orice funcţie F .
Considerăm cazul particular ( ) ( )tu XftuXF =≤, . Termenul ( ) ( )( )tuXF u ≤,νW poate
fi scris atunci în forma ( ) ( )( ) ( )( )tWfEXf tt νν +=W , unde termenul W din membrul
drept este o mişcare browniană şi deci ( )0, ≥+ ttWt ν este o mişcare browniană cu
106
deriva ν . Termenul ( )
≤
− tuXFtX ut ,
2exp
2ννW din membrul drept devine
( ) ( )
−=
− tttt WftWEXftX
2exp
2exp
22 ννννW ,
unde W este o mişcare browniană. Din teorema lui Girsanov rezultă că dacă W este o
mişcare browniană în raport cu P şi ttt dPtWdQ FF
−=
2exp
2νν atunci
( ) ( )( ) ( )( )tWfEWfEWftWE tQtQttP ννν +==
− ~
2exp
2
,
unde W~ este o mişcare browniană în raport cu Q .
Observaţie. 1. Acest lucru poate fi generalizat la cazul în care t este timp de oprire şi
de asemenea la cazul în care schimbarea de probabilitate este de forma
−∫ ∫
t t
sss dsdW0 0
2
21exp θθ .
2. Dacă L este soluţia ecuaţiei tttt dBLdL θ= cu 10 =L , P se poate scrie în funcţie de
Q în felul următor dQLdP T1−= , unde
( ) ( )
+−= ∫∫−
TT
sT dssdBsL0
2
0
1
21exp θθ
şi B este o mişcare browniană în raport cu P .
L poate fi scris ca o mişcare browniană în raport cu Q în forma:
( ) ( )
−−= ∫∫−
TT
sT dssBdsL0
2
0
1
21~exp θθ .
Procesul ( )0,1 ≥− tLt este un Q -martingal şi dacă X este din TF atunci are loc relaţia
( ) ( )XLEXE TQP1−= .
107
Propoziţia 4.4. Dacă X este un proces stochastic definit prin relaţia
tt BtX += ν şi dacă aXtT ta =≥= ;0infν este timp de lovire a nivelului a , atunci
pentru λ astfel încât 022 >+ λν are loc relaţia
( )( ) ( )λννλ ν 2expexp 2 +−=− aaTE a .
Demonstraţie. Se observă că pentru 0>λ are loc relaţia:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) =−=−=− ∞<∞< aaTaaTa TTETE 1W1 λλλ ννν
ν expexpexp
( ) ( ) ( )
+−=
−
−=
∞<aa
Taa
T TeTTXaa
λνλνν νν 2
21expexp
21exp 22 W1W .
Observaţie. Dacă 0>νa atunci ( ) 1=∞<νaTP , în caz contrar ( ) 1<∞<ν
aTP . Atunci
( )
+−=∈ t
taae
t
dtdtTP aa
22
3 21exp
2ν
πνν .
Cazul vectorial
A. Mişcări browniane standard independente
Dacă ( )1B şi ( )2B sunt două mişcări browniene independente în raport cu P şi
dacă dPLdQ t= , unde 21ttt LLL = cu i
tL definit prin
( ) ( ) ( )( )
−= ∫∫
ti
s
ti
si
sit dsdBL
0
2
0 21exp θθ ,
are loc relaţia ( ) ( ) ( ) ( )( )2211tttttt dBdBLdL θθ += şi se arată că în raport cu Q ,
( ) ( ) ( ) ( )∫−=t
iit
it dssBB
0
~ θ sunt mişcări browniene independente.
B. Mişcări browniene corelate
Fie ( )1B şi ( )2B două mişcări browniene corelate în raport cu P , fie ρ
coeficientul de corelaţie, tF filtrarea naturală a celor două mişcări browniene ( )1B , ( )2B
şi ttt dPLdQ FF = unde ( ) ( ) ( ) ( )( )2211tttttt dBdBLdL θθ += . In raport cu Q ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ +−=t
jiit
it dsssBB
0
~ ρθθ sunt mişcări browniene corelate, coeficientul de
108
corelaţie fiind ρ . Pentru a demonstra că ( )1~B este o Q -mişcare browniană este
suficient să demonstrăm că ( )1LB este un Q -martingal local. Formula lui Itô ne
conduce la relaţia
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )dtdtLdtdBLdBdBLBLBd ρθθρθθθθ 21211221111 +++−++= .
4.1.2. Aplicaţii – modele financiare
Fie S un proces care verifică ecuaţia diferenţială stochastică
( ) ( ) ( ) ( )( )tdWtdttbtStdS σ+= .
Putem determina o unică probabilitate Q echivalentă cu P astfel încât
( ) ( ) ( ) ( )( )tdBtdttrtStdS σ+= , unde B este o Q -mişcare browniană iar r este o
dobânda fără risc. Este suficient să considerăm ttt dPLdQ FF = , unde L este soluţia
ecuaţiei ( ) ttt dWtLdL θ= , pentru care 10 =L şi ( ) ( ) ( ) ( )( )trtbtt −−= −1σθ , integrabil.
Prin urmare
( ) ( ) ( )( ) dtt
trtbdWdttdWdB ttt σθ −
+=−=
este o Q - mişcare browniană şi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ttt dBtdttrdttdBtdttbdWtdttb σθσσ +=++=+ .
Probabilitatea Q este numită probabilitate de risc neutru. Dacă ( )
−= ∫
t
t dssrR0
exp
este coeficientul de actualizare atunci procesul SR verifică relaţia ( ) tttttt dBRSRSd σ=
şi este un Q -martingal local.
Observaţie. SR reprezintă procesul de actualizare a preţului unui instrument financiar.
Valoarea unui activ pe o piaţă financiară completă
Fie r o constantă şi fie un portofoliu format dintr-un activ cu valoarea ξ .
Valoarea portofoliului se dublează în urma unui proces de autofinanţare. Notăm cu tV
valoarea portofoliului la momentul t . ξ este o variabilă aleatoare pozitivă, TF
măsurabilă, integrabilă. In cazul opţiunilor call europene ξ este egală cu
109
( ) ( )0,max KSKS TT −=− + , unde K reprezintă preţul de exercitare a opţiunii la
momentul T şi TS reprezintă valoarea de piaţă a activului la momentul T .
Propoziţia 4.5. Procesul VR este un Q -martingal şi
( ) ( ) tttTQtTTQ RVREVRE == FF ξ .
Demonstraţie. Presupunem existenţa unui portofoliu a cărui valoare se dublează în
urma unui proces de autofinanţare, astfel încât valoarea sa la momentul t este dată de
relaţia: ttttt SSV πα += 0 , pentru care ξ=TV . Condiţia de autofinanţare este prin
definiţie ttttt dSdSdV πα += 0 . Dacă notăm prin trt
t VeV −=~ şi trt
t SeS −=~ valorile
actualizate atunci este uşor de demonstrat că ttt SdVd ~~ π= sau în forma integrală:
∫∫ +=+=t
sssss
t
sst BdRSVSdVV0
00
0~~~ σππ (1).
Se observă că oricărui proces π şi oricărei valori iniţiale x îi putem asocia un
parametru α . Este suficient să se calculeze ∫+=t
sst SdVV0
0~~ π şi să se aleagă tα astfel
încât tttttrt
t SSVeV πα +== 0~ .
Procesul V~ este o integrală stochastică în raport cu un Q -martingal , este prin
urmare un Q -martingal local. Dacă este un martingal atunci are loc relaţia:
( ) ( )trT
QtTQt eEVEV FF ξ−== ~~ . (2)
Portofoliul de acoperire se obţine din ecuaţia (1). Cum π este cunoscut trebuie doar să
considerăm ( ) ttttttt
t SVSVS
~~10 ππα −=−= . Rămâne de demonstrat existenţa lui π .
Pentru evaluarea activului,ξ , trebuie identificată probabilitatea de risc neutru, calculată
media ( )trT
Q eE Fξ− şi identificat π . Cum valoarea activului, ξ este pozitivă rezultă că
şi valoarea tV a portofoliului obţinut prin dublarea valorii activului este de asemenea
pozitivă.
In cazul modelului Black-Scholes, ( ) ( )( )tdBbdttStdS σ+= , unde b şi σ sunt
110
constante, atunci ( )( )tt BdrdttSdS ~σ+= , unde B~ este o Q -mişcare browniană şi S
este o mişcare browniană geometrică. Pentru σ
µθ r−−= şi ttt dBLdL θ= are loc relaţia
dPLdQ t= . Mişcare browniană B~ este dată de relaţia dtdBBd θ−=~ .
Se poate calcula media condiţionată (2) în cazul ( )+−= KSTξ . Din
proprietatea Markov rezultă expresia ( )tt StFV ,= pentru care
( ) ( ) ( ) ( )21, dNKedxNxtF tTr −−−= .
Fie ( ) ( )xtFextF rt ,,~ −= . Având în vedere că ( )tStF ,~ este un martingal atunci formula
lui Itô implică ( ) ( ) ( )∫ ∂∂
+=t
uut SdSuxFSFStF
00
~,,0~,~ . Cum derivata martingalului
( )tStF ,~ este 0 regăsim ecuaţia de evaluare .
Observaţie. Dacă ( )tt StxF ,∂∂
=π , atunci termenul ( )tStxF ,∂∂ este factorul Delta al
opţiunii call.
De asemenea obţinem relaţia:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )kSrT
Qrt
KSrT
TQrt
tTtTr
Qt TTeEKeeSEeKSeEV >−−
>−−+−− −=−= 11F .
0SeS rt
t−
este un martingal pozitiv de medie 1 şi facem o schimbare de probabilitate.
Notăm trt
t MSeS 0=− , unde M este Q -martingal ce verifică relaţia ttt dBMdM σ= .
Acesta este un martingal pozitiv de medie 1 deci poate fi utilizat în schimbarea de
probabilitate. Fie dQMQ t=ˆ . Procesul dtBB σ−=ˆ este o mişcare browniană în raport
cu Q şi ( )( ) ( )( )BddtrSdtBdrdtSdS ttttˆˆ 2 σσσσ ++=++= .
Atunci:
+
+=
+
−+= TTT BTrSBTrSS ˆ
2expˆ
2exp
2
0
22
0 σσσσσ şi
( ) ( ) ( )000ˆ
0SKSQSMESeSE TSKSTQKS
rTTQ TT
>== >>− 11 .
111
Noţiunea de arbitraj
In teoria financiară modernă noţiunea de arbitraj este extem de importantă. Se
referă la circumstanţe în care cumpărarea şi vânzarea simultană a unor instrumente
financiare pe diferite pieţe conduc la obţinerea unui profit fără risc.
In termeni probabilistici este vorba de un portofoliu adaptat π a cărui valoare finală
obţinută în urma unei strategii de autofinanţare este pozitivă:
( ) 00 =πV , ( ) 0≥πTV , ( ) 0>TVE
Exemple. 1. Rata de schimb valutar. Considerăm o acţiune XY tranzacţionată pe
pieţele din New York şi Londra. Presupunem că valoarea acţiunii XY pe piaţa new
yorkeză este de $155 în timp ce pe piaţa londoneză este evaluată la £100 în condiţiile în
care paritatea liră/dollar este 1,6 (£1= $1,6). Un arbitrajor poate cumpăra şi vinde
simultan 100 de acţiuni XY obţinând un profit fără risc (cumpără la New York şi vinde
la Londra) în absenţa costurilor de tranzacţie: ( ) 500$$155-£1001,6$/£100 =×× .
2. Tranzacţionarea unei valori mobiliare pe pieţe diferite (ex. aur). Presupunem că
valoarea curentă a unei uncii de aur este de $398 (preţul spot) şi avem un acord de
cumpărare în trei luni a unei cantităţi de aur pentru un preţ de $390 (contract futures).
Presupunem că pentru împrumutarea unei uncii de aur pe o perioadă de trei luni
dobânda lunară solicitată este de 10% iar pentru un depozit pe 3 luni la bancă dobânda
lunară este de 4%. Această situaţie crează condiţii de arbitraj. Astfel un arbitrajor poate
împrumuta o uncie de aur, o vinde la preţul curent de $398, depozitează banii pe trei
luni şi simultan se angajează într-un contract futures de cumpărare în trei luni a unei
uncii de aur la preţul de $390.
Costul împrumutului unei uncii de aur este 95,9$411,0398$ =×× în timp ce dobânda
obţinută în urma constituirii depozitului bancar este 98,3$414,0398$ =×× . După trei
luni arbitrajorul va avea un capital egal cu $398+$3,98-$9,95=$392,03 şi cumpărând o
uncie la preţul prevăzut în contractul futures obţine un profit de $2,03. Costurile de
tranzacţie au fost presupuse egale cu 0.
112
4.2. Timp de lovire
Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie pe acest spaţiu definită o mişcare
browniană ( )0, ≥tWt a cărei stare iniţială este 0. Fie ( )0, ≥= tF tF filtrarea sa naturală
şi fie X un proces stochastic continuu. Definim timpul de lovire (sau de atingere) a
nivelului (sau a stării) a , ( )XTa , prin relaţia
( ) aXtXT ta =≥= :0inf .
Primul moment în care procesul X se află deasupra nivelului a este dat de expresia
( ) aXtXT ta ≥≥=+ :0inf .
Primul moment în care procesul X se află sub nivelului a este dat de expresia
( ) aXtXT ta ≤≥=− :0inf .
Observaţie. 1. Pentru xX =0 şi xa > are loc relaţia aa TT =+ . 2. Unele traiectorii ale
mişcării browniene vor lovi nivelul 0>a direct, altele vor avea un traseu mai amplu
trecând prin valori negative pentru ca după un timp suficient de mare să ajungă în
poziţia a . Astfel aT va avea o anumită distribuţie.
4.2.1. Legea de probabilitate a unui timp de lovire şi principiul maximului – cazul
mişcării browniene
Fie ( )tt MW , o pereche de variabile aleatoare unde tW este o mişcare browniană
iar sts
t WM≤
= sup , altfel spus M este maximul mişcării browniene pe intervalul [ ]t,0 .
M este un proces crescător cu valori nenegative.
Propoziţia 4.6. (Principiul simetriei). Pentru y≤0 şi yx ≤ are loc relaţia:
( ) ( )xyWPyMxWP ttt −≥=≥≤ 2, .
Demonstraţie. Fie yWtT ty ≥=+ :inf primul moment în care mişcarea browniană
depăşeşte nivelul (starea) y . Acesta este un F -timp de oprire (sau stopare) şi pentru
0≥y are loc relaţia : ( ) ( )yMtT ty ≥=≤+ . Mai mult pentru 0≥y şi având în vedere
continuitatea traiectoriilor mişcării browniene timpul de oprire +yT este şi timp de lovire
113
a nivelului y , adică yWtTT tyy ===+ :inf şi yWyT = . Prin urmare, au loc
egalităţile:
( ) ( ) ( )tTyxWWPtTxWPyMxWP yTtyttt y≤−≤−=≤≤=≥≤ ,,, .
Notaţie: ( ) ( )yyAP TAPTE =1 . Având în vedere proprietatea tare Markov obţinem:
( ) ( )( ) ( )( )ytTyTttTyTt TETyxWWPEtTyxWWPyyyyΦ=−≤−=≤−≤− ≤≤ 11, ,
unde ( ) ( )yxWPu ut −≤=Φ −~ şi
≥−= + 0,~ uWWW
yy TuT
def
u este o mişcare browniană
independentă de ( )yt TtW ≤, având aceeaşi lege cu W~− . Prin urmare
( ) ( )xyWPu ut −≥=Φ −~ . Atunci
( )( ) ( )( ) ( )tTxyWPTxyWWPETE ytyTttTytT yyy≤−≥=−≥−=Φ ≤≤ ,211 .
Deci ( ) ( )yMxyWPyMxWP tttt ≥−≥=≥≤ ,2, . Deoarece yxy ≥−2 , membrul
drept al relaţii este egal cu ( )xyWP t −≥ 2 , ceea ce implică faptul că pe mulţimea
xyWt −≥ 2 timpul de lovire yT este mai mic decât t , sau yM t ≥ .
Propoziţia 4.7. Fie W o mişcare browniană cu starea iniţială 0 şi fie
( )tsWM st ≤≤= 0,sup . Atunci
pentru 0≥y şi yx ≤ ( )
−−
=≤≤
tyx
txyMxWP tt
2, NN (3)
pentru 0≥y şi yx ≥ ( ) ( )
−−
=≤=≤≤
ty
tyyMPyMxWP ttt NN,
pentru 0≤y ( ) 0, =≤≤ yMxWP tt .
Densitatea perechii ( )tt MW , este dată de expresia:
( ) ( ) ( ) dxdytyxxy
tdyMdxWP yxytt
−−−=∈∈ ≤≥ 2
2exp22,2
30 π11 .
Demonstraţie. Din principiul simetriei, pentru 0≥y şi yx ≤ rezultă:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyWPxWPyMxWPxWPyMxWP ttttttt −≥−≤=≥≤−≤=≤≤ 2,, .
114
Pentru 0≥y şi yx ≥ , cum tt WM ≥ rezultă ( ) ( )yMyWPyMxWP tttt ≤≤=≤≤ ,, .
Pentru yx = în (3) rezultă ( ) ( )
−−
=≤≤=≤
ty
tyyMyWPyMP ttt NN, .
Pentru 0≤y , cum 00 =≥ MM t rezultă ( ) 0, =≤≤ yMxWP tt .
Observaţie. Fie 0:0inf =>= tBtτ atunci ( ) 10 ==τP
Propoziţia 4.8. Fie W o mişcare browniană şi pentru orice 0>y definim
yWtT ty == :inf . Procesul crescător ( )0, ≥yTy are creşteri independente şi
staţionare. De asemenea este verificată proprietatea ( )0,2legeîn
≥= yTT yy λλ .
Demonstraţie. Proprietatea de creştere rezultă din continuitatea traiectoriilor mişcării
browniene. Pentru yz > are loc relaţia yzWWtTTyy TtTyz −=−≥=− +:0inf .
Din proprietatea Markov rezultă independenţa şi staţionaritatea. Fie 0>λ atunci
proprietatea de scalare a mişcării browniene implică
yWtyWtT tty ==
== ~:inf1:inf 2
legeîn λ
λλ ,
unde W~ este o mişcare browniană definită prin tt WW 2
1~λλ
= .
Propoziţia 4.9. tM şi tW au aceeaşi lege de probabilitate.
Legea de probabilitate a unui timp de lovire. Pentru un nivel 0>x legea de
probabilitate a timpului de lovire xWsT sx == :inf poate fi dedusă în felul următor:
( ) ( ) ( ) ( )
≤=≤=≤=≤=≤ t
GxPtGxPWxPMxPtTP ttx 2
2
,
unde G reprezintă o variabilă aleatoare gaussiană cu media 0 şi varianţa 1.
Deci 2
2legeîn
GxTx = şi densitatea variabilei aleatoare xT este dată de expresia:
( ) dtt
xt
xdtTP tx 0
2
3 2exp
2≥
−=∈ 1
π
Pentru 0<x , având în vedere simetria mişcării browniene obţinem
xttx TxWtxWtT −=−=−===legeîn
:inf:inf
115
şi atunci pentru orice 0≠x are loc relaţia:
( ) dtt
x
t
xdtTP tx 0
2
3 2exp
2≥
−=∈ 1
π.
In particular, pentru 0≠x au loc relaţiile ( ) 1=∞<xTP şi ( ) ∞=xTE .
Legea infimului în cazul mişcării browniene are la bază aceeşi metodă de
calcul, observând că ( ) ( )sts
sts
sts
def
t BWWm≤≤≤
−=−−== supsupinf , unde WB −= este o
mişcare browniană. Deci au loc relaţiile (4):
pentru 0≤y şi yx ≥ ( )
−−
−=≥≥
txy
txymxWP tt
2, NN
pentru 0≤y şi yx ≤ ( )
−
−=≥≥
ty
tyymxWP tt NN,
pentru 0≥y ( ) 0, =≥≥ ymxWP tt
pentru 0≤y , ( )
−
−=≥
ty
tyymP t NN .
Dacă mişcarea browniană W porneşte din starea z la momentul 0 şi
0:inf0 == tWtT atunci pentru 0>z şi 0>x obţinem egalităţile:
( ) ( ) ( )zmdxzWPtTdxzWPtTdxWP ttzttz −>∈+=>∈+=>∈ − ,,, 000 .
Pentru 0>z diferenţiind în (4) în raport cu x obţinem:
( ) ( ) ( ) dxtzx
txz
ttTdxWP x
tz
+−−
−−=>∈ >
2exp
2exp
2,
220
0 π
1.
Propoziţia 4.10. Fie yT timpul de lovire al nivelului y , cu y din R ,
corespunzător unei mişcari browniane standard. Atunci pentru 0>λ are loc relaţia:
( )λλ yTE y −=
− exp
2exp
2
.
Demonstraţie. Pentru orice 0>λ procesul
≥
− 0,
2exp
2
ttWtλλ este un
martingal. Fie 0≥y , 0≥λ şi yT timpul de lovire al nivelului y atunci martingalul
116
( )
≥
∧−∧ 0,
2exp
2
tTtW yTt y
λλ este mărginit de yeλ . Teorema de selecţie opţională a
lui Doob implică 12
exp2
=
− yT TWE
y
λλ . Din relaţiile ( ) 1=∞<yTP şi yWyT =
obţinem transformata Laplace a lui yT . Cazul pentru care 0<y rezultă din studiul
mişcării browniene W− .
Observaţie. Pentru a aplica teorema de selecţie opţională a lui Doob trebuie să
verificăm dacă martingalul ( )
∧−∧ yTt TtW
y 2exp
2λλ este uniform integrabil. In cazul
0>λ şi 0<y o aplicare necorespunzătoare a teoremei conduce la egalitatea cu 1 şi
−=
− y
yyT TEeTWE
y 2exp
2exp
22 λλλ λ .
Ceea ce înseamnă că termenii
− yTE
2exp
2λ şi ( )λy−exp sunt egali. Acest lucru
este fals deoarece cantitatea
− yTE
2exp
2λ este mai mică decât 1 în timp ce
cantitatea ( )λy−exp este strict mai mare decât 1.
4.2.2. Timp de lovire - cazul mişcării browniene cu derivă
Considerăm cazul în care tt WtX += ν , unde W este o mişcare browniană. Fie
( )tsXM sX
t ≤= ,sup , ( )tsXm sXt ≤= ,inf şi ( ) yXtXT ty =≥= 0inf . Reamintim că
( ) ( )AXW t ∈ν reprezintă probabilitatea ca mişcarea browniană tX cu deriva ν să
aparţină lui A .
Propoziţia 4.11. Pentru 0≥y şi xy ≥ are loc relaţia:
( ) ( )
−−−
−=≤≤
ttyxe
ttxyMxX yX
tt 2 , NN 2 νν ννW
Pentru 0≤y şi xy ≤ are loc relaţia:
117
( ) ( )
++−−
+−=≥≥
ttyxe
ttxymxX yX
tt 2 , NN 2 νν ννW .
Demonstraţie. Teorema Cameron-Martin implică:
( ) ( )
−=≥≤
≥≤ yMxWtX
tt Wtt
tWEyMxX ,
2
2
exp, 1W ννν .
Din principiul de simetrie, pentru 0≥y şi xy ≥ rezultă egalitatea:
( ) ( )yMWyxPyMxWP Wtt
Wtt ≥−≥=≥≤ ,2,
Deci
( ) =
−−=
−
≥≤−≥≤ yMxWytyMxWt Wtt
Wtt
tWyEtWE ,2
2
,
2
22exp
2exp 11
νννν
−−= −≥ xyWt
yt
tWEe 2
22
2exp 1 ννν .
Aplicând din nou teorema Cameron-Martin obţinem:
( )xytWPtWE txyWt t−≥−=
−− −≥ 2
2exp 2
2
ννν 1 .
Prin urmare, pentru 0≥y şi xy ≥
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−≥=+−≥=≥≤ txyXetxyWPeyMxX ty
tyX
tt 222, 2 2 νν νννν WW
( ) ( )
−+−=−≤=+−≥−=
ttxyeyxXPetxyWPe y
ty
ty
N νν ννν 222 222 .
De unde rezultă
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =≥≤−≤=≥≤ yMxXxXyMxX Xttt
Xtt ,, ννν WWW
−−−
−=
ttyxe
ttx y NN νν ν 22 .
Pentru 0≤y şi xy ≤ obţinem
( ) ( ) ( )( )=≤+≥+=≤≥≤
ysWxtWPymxX ststXtt inf, , νννW
118
( ) ( )
+−=−≥−=
−≥−−−≤−−=
≤ ttxyeytWPeysWxtWP y
ty
sts
t
N νννν νν 2sup, 22
In particular, principiile maximului şi minimului unei mişcări browniene cu
derivă pot fi deduse ţinând cont de relaţiile:
( ) ( ) ( ) ( )yMyXyM Xtt
Xt ≤≤=≤ ,νν WW şi ( ) ( ) ( ) ( )ymyXym X
ttXt ≥≥=≥ ,νν WW ,
din unde obţinem:
( ) ( )
−−−
−=≤
ttye
ttyyM yX
t NN 2 νν ννW , 0≥y
( ) ( )
−−+
+−=≥
ttye
ttyyM yX
t NN 2 νν ννW , 0≥y
( ) ( )
+−
+−=≥
ttye
ttyym yX
t NN 2 νν ννW , 0≤y
( ) ( )
++
−=≤
ttye
ttyym yX
t NN 2 νν ννW , 0≤y .
şi
( ) ( )( ) ( ) ( )
−−−
−=≤=≥
ttye
ttyyMtXT yX
ty NN 2 νν ννν WW , 0>y
( ) ( )( ) ( ) ( )
+−
+−=≥=≥
ttye
ttyymtXT yX
ty NN 2 νν ννν WW , 0<y
In particular, pentru t tinzând la ∞ în expresia lui ( ) ( )( )tXTy ≥νW obţinem pentru
0≤ν : ( ) ( ) yy eT 21 νν −=∞=W .
Transformata Laplace a unui timp de lovire în cazul mişcării browniene cu
derivă se obţine din teorema Cameron-Martin:
( ) ( ) ( )
+−=
− WTWEXT yTy y 2
exp2
exp222 λννλνW , unde ( ) ( ).νW este media
în raport cu ( )νW . Din propoziţia 4.10 expresia din membrul drept este egală cu
( ) ( ) ( )2222 exp21exp λνλν νν +−=
+− yeWTEe y
yy .
119
Prin urmare, ( ) ( ) ( )22 2
exp2
exp λνλ νν +−=
− yeXT y
yW . Pentru 0=λ şi
0<y ν obţinem ( ) ( ) yy eT 2νν =∞<W .
Acest lucru demonstrează faptul că probabilitatea ca o mişcare browniană cu
derivă pozitivă să lovească un nivel negativ este diferită de 1. In cazul 0>y ν are loc ( ) ( ) 1=∞<yTW ν . Acest lucru este explicat de faptul că ( ) ttWt ν+ tinde la ν pentru t
tinzând la ∞ , deci deriva conduce procesul către infinit. In cazul 0>y ν pentru 0=λ
obţinem ( ) ( )( ) νν yXTW y = . Pentru 0<y ν timpul mediu de oprire este infinit .
4.2.3. Timp de lovire - cazul mişcării browniene geometrice
Fie ( )ttt dWdtSdS σµ += , xS =0 , unde 0>σ . Altfel spus, fie
( )( ) tXtt xeWtxS σσσµ =+−= 2exp 2 ,
unde tt WtX += ν şi 2σ
σµν −= .
Notăm prin ( ) ( )
=≥==≥= xaXtaStST tta ln1:0inf:0inf
σ primul timp de
lovire al nivelului a . Atunci ( ) ( )XTSTa α= , unde ( )xaln1σ
α = . Atunci când un nivel
b este asociat mişcării browniene S , notăm ( )xbln1σ
β = . Din rezultatele anterioare
obţinem legea de probabilitate a timpului de lovire şi principiile maximului şi
minimului corespunzătoare lui S pe intervalul [ ]t,0 .
Principiile maximului şi minimului
Pentru ab > şi xb > are loc relaţia:
( ) ( )
−−−
−=≤≤=≤≤
tte
ttMXPbMaSP X
ttStt
NN νβαναβα βν 2,, 2 .
Pentru ba > şi xb < are loc relaţia:
( ) ( )
++−−
+−=≥≥=≥≥
tte
ttmXPbmaSP X
ttStt
NN νβαναβα βν 2,, 2 .
120
Prin urmare pentru xa > sau 0>α
( )( ) ( ) ( ) ( ) =≤≤−=≤−=≥=< aMaSPaMPaMPtSTP Stt
St
Sta ,11
−−+
+−=
−−+
−−=
tte
tt
tte
tt αννααννα αναν NNNN 221 .
Pentru xa < sau 0<α
( )( ) ( ) ( )
++
−=≥−=≤=<
tte
ttamPamPtSTP S
tSta
αννα αν NN 21 .
Transformata Laplace a unui timp de lovire în cazul unei mişcări browniene
geometrice
Din egalitatea ( ) ( )XTSTa α= obţinem
( ) ( ) ( )
−=
− XTSTE a α
ν λλ2
exp2
exp22
W .
Din relaţia ( ) ( ) ( )22 2
exp2
exp λναλ ανα
ν +−=
− eXTW rezultă
( ) ( )222
exp2
exp λναανλ+−=
− STE a .
4.2.4. Timp de lovire – cazul unui proces Vasicek
Propoziţia 4.12. Fie ( )0, ≥trt un proces Vasicek definit prin
( ) ttt dWdtrkdr σθ +−= , ρ=0r şi fie 0:0inf0 =≥= trtT . Pentru orice 0>ρ
funcţia de densitate a lui T este dată de relaţia:
( ) ( )( )
+−−−
= ktke
ktktf kt coth
2exp
sin2222
22
23
ρθθρσπσ
ρ .
Demonstraţie. Considerăm cazul în care 0=θ şi 1=σ . Procesul Vasicek este dat de
relaţia
+= ∫−
s
tkskt
t dBexer0
.
121
Atunci ( ) xWtdBextrtT tAs
tks
t −==
=+==≥= ∫ :inf0:inf0:0inf0
0 şi aplicând
teorema lui Dubins scriem martingalul s
tks dBe∫
0
ca o mişcare browniană W pentru care
( ) dsetAt
ks∫=0
2 . Prin urmare ( )xWtAT t −=≥= :0inf0 şi are loc relaţia:
( ) ( ) ( ) ( )( )tdAWTPtAdtTP xx ∈′=∈ −00 .
Fie S o mişcare browniană geometrică cu factorul σ determinist . S verifică
ecuaţia:
( )( )ttt dWtrdtSdS σ+= , xS =0 .
Fie ( ) ( ) ( )
=+−=== ∫∫t
s
t
ta dWsdssrttaStST00
2
21:inf:inf ασσ , unde
( )xaln=α .
Observaţie. Volatilitatea σ reprezintă caracteristica unei valori mobiliare de a
înregistra fluctuaţii mari de preţ într-o perioadă scurtă de timp.
Procesul ( )∫=t
st dWsU0
σ este o mişcare browniană şi poate fi reprezentat prin ( )tAZ ,
unde Z este o mişcare browniană şi ( ) ( )dsstAt
∫=0
2σ . Fie C inversa funcţiei A putem
defini atunci
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=+−=
=+−= αα utAa ZuurCuCZtArttST
21:inf
21:inf .
Problema s-a redus la studiul timpului de lovire a unei margini neconstante ( )urC−α ,
de către o mişcare browniană cu derivă
≥− 0,
21 uuZu .
Observaţie. Fie ( ) ( ) thVtVT th =≥= :0inf , unde h este o funcţie deterministă şi V
un proces de difuzie. Există un număr mic de cazuri pentru care legea lui ( )VTh este
cunoscută în mod explicit.
122
4.2.5. Timp de lovire a unei bariere
Cazul mişcării browniene
Fie ba << 0 şi aT , bT timpi de lovire a nivelurilor a şi respectiv b definiţi
astfel: aWtT ta =≥= :0inf , bWtT tb =≥= :0inf şi fie ba TTT ∧=* timpul de
ieşire din tunel. Fie tM şi tm maximul şi respectiv minimul mişcării browniene pe
intervalul [ ]t,0 .
Propoziţia 4.13. Fie W o mişcare browniană şi ba TTT ∧=* . Atunci pentru
orice xba ,, cu bxa << au loc relaţiile:
( )abxbTTP bax −
−=< şi ( ) ( ) 2* xababxTE −−+= .
Demonstraţie. Martingalul ( )0, ≥∧∧ tWba TTt este mărginit astfel încât
( ) ( ) ( )abxbaxTTx TTbPTTaPWExba
<+<== ∧ .
Rezultatul se obţine din egalitatea
( ) ( ) 1=<+< abxbax TTPTTP .
( )( )0,2 ≥∧∧−∧∧ tTTtW baTTt ba fiind un martingal atunci:
( ) ( )baxTTtx TTtEWExba
∧∧−= ∧∧22 .
Trecând la limită, pentru t tinzând la infinit obţinem:
( ) ( ) ( )baxabxbax TTETTPbTTPax ∧−<+<= 222 ,
deci are loc relaţia ( ) ( ) 2xababxTTE bax −−+=∧ .
Propoziţia 4.14. Transformata Laplace a timpului *T este dată de expresia:
( )( )( )( )2cosh
2cosh*2
exp2
babaTE
−+
=
−
λλλ .
Legea de probabilitate pentru ( )ttt WmM ,, este dată de relaţia:
( ) ( )∫=∈≤<≤E
ttt dxxtEWbMmaP ,, ϕ ,
123
unde pentru [ ]baE ,⊂ are loc relaţia:
( ) ( )( ) ( )( )∑∞
−∞=
−+−−−
−+−=
k
abkbxt
abkxtt
xt 22 2221exp2
21exp
21,
πϕ .
Demonstraţie. Transformata Laplace a timpului *T se obţine din teorema de selecţie
opţională a lui Doob:
=
−
+
−=
+
−2
*2
exp2
exp2
*TbaWEba
Tλλλ
−
−
+
−
−
= == ab TTTTTEbaTEab
*
2
*
2
2*exp
2exp
2*exp
2exp 11
λλλλ
Utilizând W− obţinem următorul rezultat:
=
−
+
−−=
+
−2
*2
exp2
exp2
*TbaWEba
Tλλλ
−
−−
+
−
−−
= == ab TTTTTEabTEab
*
2
*
2
2*exp
23exp
2*exp
23exp 11
λλλλ
Rezolvând sistemul liniar rezultă:
( )( )( )
( )( )( )
−=
−
−−
=
−
=
=
abbTE
abaTE
a
b
TT
TT
λλλ
λλλ
sinhsinh
2*exp
sinhsinh
2*exp
*
2
*
2
1
1
Rezultatul căutat se obţine din relaţia:
−+
−=
− == ab TTTT
TETETE *
2
*
22
2*exp
2*exp*
2exp 11
λλλ
Cazul mişcării browniane cu derivă
Fie tt WtX += ν o mişcare browniană cu derivă şi fie βα TTT ∧=* cu
βα << 0 . Din teorema Cameron-Martin rezultă:
124
( ) ( ) =
−
−=
− *
2exp*
2 exp*
2exp
22
*
2
TTWEXT TνννλνW
=
+−+
+−= == βα
λννλνν TTTTTT TWETWE *
22
**
22
* *2
exp*2
exp 11
( ) ( )
+−+
+−= == βα
λννβλννα TTTT TETE *
22
*
22
*2
expexp*2
expexp 11 .
Sistemul
( )( )( )
( )( )( )
−=
−
−−
=
−
=
=
abbTE
abaTE
a
b
TT
TT
λλλ
λλλ
sinhsinh
2*exp
sinhsinh
2*exp
*
2
*
2
1
1
implică:
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( )αβµµανβ
αβµµβναλν
−−
+−
=
−
sinhsinhexp
sinhsinhexp*
2exp
2
XTW ,
unde 222 λνµ += . In particular, pentru βα −= formula precedentă devine:
( ) ( ) ( )( )22
2
cosh
cosh*2
expλνβ
νβλν
+=
− XTW .
4.3. Alte probleme
4.3.1. Teorema de reprezentare a unui proces previzibil
Fie B o mişcare browniană, F filtrarea sa naturală şi fie ( )tsBst ≤= ,σF .
Definiţia 4.1. Fie ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic şi fie ( ) Nnn ∈F o filtrare
asociată acestui spaţiu. Un proces stochastic ( ) 0>nnH este previzibil în raport cu
filtrarea ( ) Nnn ∈F dacă pentru orice 0>n , variabila aleatoare nH este 1−nF -măsurabilă.
Propoziţia 4.15. Fie M un ( )tF - martingal astfel încât ∞<≤
2sup tTt
ME . Există
un unic proces previzibil H , cu ∞<
∫ dsHET
s0
2 , astfel încât are loc relaţia :
125
∫+=t
sst dBHMM0
0 ,
pentru orice t din intervalul [ ]T,0 . Dacă M este un ( )tF - martingal local există un
unic proces previzibil H astfel încât oricare ar fi t are loc relaţia:
∫+=t
sst dBHMM0
0 .
Demonstraţie. Dacă F este o variabilă aleatoare ∞F -măsurabilă, de pătrat integrabilă
atunci admite reprezentarea ( ) ∫∞
+=0
ssdBHFEF .
Fie H mulţimea variabilelor aleatoare care verifică proprietatea de reprezentare,
demonstrăm că H este închisă în 2L şi conţine variabile aleatoare de forma
( )∞= BfF & E , unde ( ]∑ −=
itti ii
f ,11λ sunt totale în 2L . Se obţine rezultatul căutat pentru
cazul martingalelor mărginite după care se generalizează.
Fie B o P -mişcare browniană cu filtrarea canonică ( )tF şi fie θ un proces
( )tF -adaptat ce verifică condiţia lui Novikov ∞<
∫ dsET
s0
2
21exp θ . Fie Q
probabilitatea echivalentă a lui P definită pe tF prin
dPLdPdsdBdQ t
t
ss
t
s =
−= ∫∫
0
2
0 21exp θθ .
Din teorema lui Girsanov rezultă faptul că dsBBt
st
def
t ∫−=0
~ θ este o ( )tF -Q -mişcare
browniană. In general, filtrarea lui B~ este diferită de cea a lui B , tt FF ⊂~ . In această
situaţie se aplică teoarema de reprezentare a unui proces previzibil: dacă M este un
tF -Q -martingal local, există un proces tF -previzibil H astfel încât pentru orice t are
loc relaţia: ∫+=t
sst BdHMM0
0~ .
Este suficient să scriem reprezentarea P -martingalului ML şi având în vedere formula
lui Itô să deducem reprezentarea lui M în raport cu probabilitatea Q . Dacă
126
( )tttt dBdtSdS σµ += în raport cu probabilitatea P , atunci procesul de actualizare
verifică relaţia ttt BdSSd ~~~ σ= .
Calcul Malliavin
Definiţia 4.2. Spaţiul Cameron-Martin este spaţiul funcţiilor γ definite pe
spaţiul Weiner [ ]( )1,00C=Ω prin ( ) ( )dssgtt
∫=0
γ unde [ ]( )TLg ,02∈ .
Fie RF →Ω: o variabilă aleatoare a cărei derivată în raport cu direcţia γ ,
dacă există, este dată de formula: ( ) ( )( )εγωε
ωγ += FddFD .
Spunem că F este diferenţiabilă dacă există [ ]( )Ω×∈ TL ,02ψ astfel încât
( ) ( ) ( )dttgtFDT
∫=0
,ωψωγ .
Atunci putem scrie ( ) ( )ωψω ,tFDt = .
Derivata Malliavin poate fi definită şi în felul următor: fie ( ) ( )∫=T
sdWshhW0
,
pentru [ ]( )TLh ,02∈ . Pentru o funcţie netedă f derivata unei variabile aleatoare
( ) ( )( )nhWhWfF ,...,1= este procesul stochastic ( )TtFDt ≤, definit prin:
( ) ( )( ) ( )thhWhWxfFD i
n
in
it ∑
= ∂∂
=1
1 ,..., .
4.3.2. Ecuaţii diferenţiale stochastice retrograde
Fie date: ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic, B o mişcare browniană
d -dimensională pe acest spaţiu, filtrarea sa naturală ( )tF F= , b o funcţie definită pe
( )dnn RRR ×+ ×× , uniformă, lipschitziană
( ) ( ) ( )21212211 ,,,, yyxxKyxtbyxtb −+−≤− şi ζ o variabilă TF -măsurabilă de
pătrat integrabilă.
127
Problema este de a rezolva ecuaţia diferenţială retrogradă
( ) ttttt dBYdtYXtbdX *,, −=− verificând condiţia terminală ζ=TX , adică
determinarea perechii ( )YX , F -adaptată astfel încât:
( ) s
T
ts
T
tsst dBYdsYXsbX ∫∫ −+= *,,ζ . (5)
Un caz simplu este cel în care b nu depinde de X şi Y . Dacă există o soluţie a
ecuaţie ( ) s
T
ts
T
tt dBYdssbX ∫∫ −+= *ζ atunci variabila ( )dssbX
t
t ∫+0
este tF -măsurabilă şi
este egală cu expresia ( ) s
T
ts
T
dBYdssb ∫∫ −+ *
0
ζ . Aplicând media condiţionată în ambii
membri obţinem relaţia ( ) ( )
+=+ ∫∫ t
Tt
t dssbEdssbX F00
ζ , de unde rezultă că procesul
( )dssbXt
t ∫+0
este un martingal cu valoarea terminală ( )dssbT
∫+0
ζ cunoscută. Din
teorema de reprezentare a unui proces previzibil rezultă că există un proces Y astfel
încât ( ) ∫∫ +=+t
ss
t
st dBYydsXsbX00
, , de unde obţinem soluţia căutată.
Definiţia problemei. Fie date: ( )P,,FΩ un spaţiu probabilistic, W o mişcare
browniană n -dimensională pe acest spaţiu, filtrarea sa naturală F , ζ o variabilă
aleatoare TF -măsurabilă de pătrat integrabilă şi o familie F -adaptată de procese
( )yxtf ,,,⋅ , x , y ndd RR ××∈ cu valori în dR . Problema care ne interesează constă în
determinarea soluţiei unei ecuaţii diferenţiale stochastice pentru care condiţia terminală
şi forma termenului derivă sunt date.
Presupunem că ecuaţia diferenţială stochastică este de forma:
( ) ttttt dWYdtYXtfdX *,, −=− ,
unde *Y reprezintă transpusa matricei Y , iar condiţia terminală este ζ=TX . Altfel
scris pentru ts < ecuaţia are forma: ( ) ∫∫ −=−t
suu
t
suuts dWYduYXufXX *,, .
128
Soluţia căutată este perechea ( )YX , de procese F -adaptate ce satisfac ecuaţia:
( ) s
T
ts
T
tsst dWYdsYXsfX ∫∫ −+= *,,ζ .
Existenţa soluţiei problemei.
Definiţia 4.3. Spaţiul [ ]( )dRTL ,,02 este format din mulţimea proceselor
stochastice cu valori în dR , de pătrat integrabile, tF -progresiv măsurabile, adică
mulţimea proceselor Z pentru care ∞<
∫ dsZET
s
2
0
.
Propoziţia 4.16. Presupunem că pentru orice pereche ( )yx, din ndn RR ××
procesul ( )yxf ,., este progresiv măsurabil, cu ( ) [ ]( )dRTLf ,,00,0.,., 2∈ . De asemenea
presupunem că funcţia ( ),.,.,ωtf este uniform lipschitziană adică are loc inegalitatea:
( ) ( ) ( )21212211 ,,,, yyxxKyxtfyxtf −+−≤− .
In aceste condiţii există o unică pereche ( )YX , din [ ]( ) [ ]( )dd RTLRTL ,,0,,0 22 × ce
satisface ecuaţia (5).
Demonstraţie. Considerăm cazul 1== dn şi demonstrăm unicitatea soluţiei în acest
caz. Fie ( )11 ,YX şi ( )22 ,YX două soluţii din [ ]( ) [ ]( )dd RTLRTL ,,0,,0 22 × . Notăm
21 XXX s −=∆ şi 21 YYYs −=∆ . Aplicând formula lui Itô pentru ( )2sX∆ obţinem
relaţia:
( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫ ∆∆−∆−−=∆+∆T
t
T
tssssssss
T
tst dWYXdsXYXsfYXsfdsYX 2,,,,2 221122 .
Având în vedere faptul că integrala stochastică este un martingal şi ţinând cont de
proprietatea Lipschitz a funcţiei f rezultă inegalitatea:
( )( ) ( ) ( ) ( )
∆+
∆≤
∆+∆ ∫∫∫
T
ts
T
ts
T
tst dsYEXdscEdsYEXE 2222
21 .
Prin urmare unicitatea rezultă din teorema lui Gronwall.
129
Demonstrăm existenţa soluţiei. Pasul 1. Considerăm cazul particular:
tttt dWYdtfdX −=− , ζ=TX , unde f este din ( )dRH 2 . Având în vedere relaţia:
( ) ( )∫ ∫
+=+
t T
tt dssfEdssfX0 0
Fζ
obţinem
+= ∫ t
T
tst dsfEX Fζ , Tt ≤≤0 .
Teorema de reprezentare ne conduce la existenţa variabilei [ ]( )RTLY ,,02∈ astfel încât
martingalul ( )0, ≥tX t admite reprezentarea ∫+=t
sst dWYXX0
0 .
Pasul 2. Considerăm ecuaţia ( ) tttt dWYdtYtfdX −=− , , ζ=TX , unde ( )ytf , este
progresiv măsurabilă cu ( )0,0,,ωtf din 2L şi ( ),.,ωtf uniform lipschitziană.
Construim un şir iterativ de procese ( )nn YX , cu ( ) 00 ≡tY . Având în vedere pasul 1
construim soluţia ( )11 ,YX a ecuaţiei ( ) ( ) ( ) tdWtYdttftdX 111 −=− , ( ) ζ=TX 1 , unde
( ) ( )( )tYtftf 01 ,= este cunoscută. Din primul pas rezultă că şirul ( )nn YX , cu 1≥n
aparţine [ ]( ) [ ]( )RTLRTL ,,0,,0 22 × . Demonstrăm faptul că şirul converge la soluţia
căutată. Aplicăm lema lui Itô şirului ( ) ( )( )21 tXtX nn −+ . Inlocuind acest şir în ecuaţia
diferenţială sochastică obţinem:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) tnnnnnn dWtYtYdttYtftYtftXtXd 111 ,, −−+ −−−=−− .
Atunci rezultă:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ≤
−+− ∫ −+
T
tnnnn dssYsYEtXtXE 2
12
1
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
−+−≤ ∫ ∫ −+
T
t
T
tnnnn dssYsYdssXsXcE 2
12
1 .
Din relaţia 222
2
22 bccacb
caab +≤= obţinem:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) +
−≤
−+− ∫∫ +++
T
tnn
T
tnnnn dssXsXE
cKdssYsYtXtXE 2
122
12
11
130
( ) ( )∫ −−+T
tnn dssYsYEc 2
12 . Fie ( ) ( ) ( )( )
−= ∫ − dssXsXEet
T
tnn
ctn
21ϕ şi
( ) ( ) ( )( )
−= ∫ − dssYsYEet
T
tnn
ctn
21ψ . Inlocuind aceste relaţii în expresia de mai sus
obţinem relaţia: ( ) ( ) ( )ttt nnn ψψϕ21
1 ≤+′− + .
Integrând inegalitatea obţinem ( ) ( ) ( )∫∫ ≤+ +
T
tn
T
tnn dssdsst ψψϕ
21
1 . In particular rezultă
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ≤+≤ +
T
tn
T
nnn dssdss 10
1 2100 ψψϕϕ .
Tinând cont de relaţia ( ) ( ) ( )ttt nnn ψψϕ21
1 ≤+′− + şi cum ( ) 0≤′ tnϕ rezultă
( ) ( )0212~01 n
nn c ψψ +≤ −+ deci cele două serii ( )0nϕ şi ( )0ψ sunt convergente iar
şirurile nX şi nY sunt convergente în 2L .
Pasul 3. Considerăm următoarea relaţie de recurenţă:
( ) 00 ≡tY , ( ) ( ) ( )( ) ( ) s
T
tn
T
tnnn dWsYdssYsXsftdX ∫∫ −=− − ,, 1 , ( ) ζ=TX n , Tt ≤≤0 .
Şirul ( ) ( )( ) 10,, ≥≤≤ nnn TttYtX este un şir Cauchy deci converge la o pereche ( )YX ,
care este soluţia căutată.
Exemplu. operaţiuni de hedging
Considerăm o piaţă financiară compusă din d instrumente financiare, un proces
de consum adaptat c şi un agent care în urma unei investiţii pe piaţa financiară doreşte
să obţină un capital final TX . Capitalul asociat unui portofoliu ( )dii ,...1,0, =π este dat
de relaţia ( ) ( )∑=
+=d
i
ititt StStX
1
00 ππ .
Condiţia de autofinanţare ( ) ( ) dtcdStdStdX t
d
i
ititt −+= ∑
=1
00 ππ permite scrierea
următoarei relaţii: ( ) ttttttt dWdtcdtrbdX σππ ** +−−= 1 unde 1 este un vector
131
d -dimensional cu componentele egale cu 1. Trebuie determinată soluţia următoarei
ecuaţii:
( ) ttttt dWYdtYXtbdX *,, += ,
unde ( ) ( ) ( )ωω tcrbyrxyxtb −−+= 1*,,, iar portofoliul ( )dii ,...1,0, =π este de forma
1* −= ttt Y σπ .
In acest caz procesul ∫+t
sstt dsRcXR0
este un martingal în raport cu Q , deci
+= ∫ t
T
tssTTPtt dsHcHXEXH F , unde H este produsul dintre factorul de discount şi
densitatea Radon-Nikodym.
Teorema de comparaţie. Fie if , 2,1=i cu ( ) ( )yxtfyxtf ,,,, 21 ≤ , două
procese ce satisfac ipotezele precedente. Fie iζ două variabile aleatoare
TF -măsurabile, de pătrat integrabile astfel încât 21 ζζ ≤ . Fie ( )ii YX , o soluţie a
ecuaţiei
( ) ( ) ti
ti
tit
iit dWYdtYXtbdX *,, −=− .
Atunci it
it YX ≤ oricare ar fi Tt ≤ .
Demonstraţie. Fie 21ttt XXY −= şi 21ˆ
ttt YYY −= . Procesul Y este soluţie a ecuaţiei
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) tttttttytxt dWYdtYXtbYXtbYtbXtbYd *22222111 ˆ,,,,ˆˆ −−+∆+∆=− ,
21 ζζ −=tY
unde
( ) ( )2121
1211111 ,,,,
tt XXtt
ttttty XX
YXtbYXtbb
≠×
−−
=∆ 1
( ) ( )2121
2111111 ,,,,
tt YYtt
tttttx YY
YXtbYXtbb
≠×
−−
=∆ 1
Demonstraţia se încheie având în vedere caracterul lipschitzian al lui 1b . In particular 1txb∆ şi 1
tyb∆ sunt mărginite.
132
4.3.3. Regula de schimbare a parametrului timp
Fie A un proces crescător, adică un proces nul în 0, continuu la dreapta şi
adaptat. Inversul procesului crescător A este un proces C definit prin
uAtC tu >= inf , cu convenţia ∞=φinf . Procesul C este crescător, continuu la
dreapta şi verifică relaţiile: uAtC tu≥=− inf şi uAtC tu <=> . De asemenea
sAsC ≥ şi tCuA ut >= inf . Pentru orice u , variabila aleatoare uC este un timp de
oprire. Dacă A este continuu şi strict crescător atunci C este continuu şi are loc relaţia
( )( ) ttAC = . Printr-o schimbare a variabilei timp obţinem formula
: ( ) ( )∫ ∫∞ ∞
∞<=0 0
dsCfdAsfsCss 1 .
Observaţie. Dacă M este un martingal continuu de pătrat integrabil există un unic
proces crescător continuu notat cu M pentru care procesul ( )0,2 ≥− tMMtt este un
martingal. In cazul în care ∫+=t
sst dBHMM0
0 croşetul lui M este procesul crescător
dsHMt
st ∫=0
2 .
Teorema Dubins Schwartz. Dacă M este un martingal continuu pentru care
∞=∞
MM , atunci există o mişcare browniană W astfel încât tAt WM = , unde
tt MMA ,= .
Demonstraţie. Fie MA = şi tCt MW = unde C este inversul procesului A .
Procesul tMtC= este crescător iar W este un martingal în raport cu
tCF . Prin
urmare W este o mişcare browniană şi deci tAt WM = .
Propoziţia 4.17. Păstrând notaţiile din teorema Dubins Schwartz putem face
următoarea afirmaţie: dacă Z este un proces progresiv măsurabil astfel încât
∞<∫∞
ss MdZ0
2 atunci procesul tC
def
t ZY = verifică relaţiile: ∞<∫∞
0
2dsYs ;
∫∫ =tM
uu
t
ss dWYdMZ00
; ∫ ∫=tC t
uuvv dWYdMZ0 0
.
133
Observaţie. 1. ( ) ∫=t
ss dMHtZ0
1 şi ( ) ∫=tA
uu dWYtZ0
2 sunt martingale care au acelaşi
croşet. 2. In cazul ∫=t
sst dBHM0
are loc relaţia ( ) dsHtAt
s∫=0
2 . Dacă H este pozitiv şi
continuu atunci ( )sAH s ′= . Considerând ( )
∫=tA
st dWM0
obţinem:
( )
( ) tttt
tA
s dBtAdBHdMdWd ′===
∫0
.
Aplicaţii. 1. Procesul Bessel
Propoziţia 4.18. Fie W o mişcare browniană . Procesul ( )( )0,exp ≥+ ttWt ν ,
unde +∈ Rν este un proces Bessel de indice ν pentru care ( ) ( ) ( )( )νν νtt ARtW =+exp ,
unde ( ) ( )( )dssWAt
st ∫ +=0
2exp νν şi ( )νR sunt procese BES de indice ν .
Demonstraţie. Fie procesul crescător ( ) ( )( )dssWAt
st ∫ +=0
2exp νν şi fie
uAtC tu =≥= :0inf inversul său . Faptul că
( )( )∫ +==t
t
C
sC dssWtA0
2exp ν implică
( )( ) ttC dCCWdtt
ν+= 2exp . Procesul continuu W~ definit prin ( )∫ +=utC
ssu dWsWW0
exp~ ν
este un martingal, procesul crescător fiind egal cu ( ) udssWutC
s =+∫0
2exp ν şi este o
mişcare browniană. Din definiţia lui W~ putem scrie ( )∫ +=t
ssA dWsWWt
0
exp~ ν sau
( ) ttA dWtWWdt
ν+= exp~ .
Demonstrăm că ( )uC
def
u CWRu
ν+= exp este un proces Bessel. Formula lui Itô ne
conduce la următoarea relaţie:
134
( ) ( )( ) ( ) ( )dttWWddttWdtdWtWtWd tAtttt t νννννν +
++=++++=+ exp
21~exp
21expexp
sau ( ) ( )dssWWtW t
t
At t ννν +
+++=+ ∫
0
exp21~1exp . Prin urmare
( ) ( )dssWWCW s
C
uC
u
u u ννν +
+++=+ ∫
0
exp21~1exp şi
( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫∫∫ +
=+
+=+=+
=
u
Cs
u
s C
Cs
u
C
C
s CWdsdC
CWCW
dCCWdssWuu
u
u
u
0000 expexp2exp
expexpuu
uu
ννν
νν
.
Atunci forma diferenţială este
( ) ( )uu
CW
duWdCWdu
uC
uC ννν
+
++=+
exp21~exp
şi u
uu RduWddR
++=
21~ ν . Rezultatul căutat se obţine având în vedere relaţia
( )tWR tAt ν+= exp şi unicitatea soluţiei ecuaţiei diferenţiale asociate procesului
( )νBES .
2. Procesul Cox-Ingersoll-Ross
Propoziţia 4.19. Dacă r este soluţie a ecuaţiei ( ) tttt dWrdtbradr σ++= ,
α=0r , unde b este o funcţie continuă, atunci
( ) ( ) ( )
≥
=≥ ∫ 0,
410,
0
2
tdssRt
trtlegeîn
t βσβ
,
unde ( ) ( )∫−=s
dttbs0
expβ şi R este un proces BESQ cu indexul 2
4σ
δ a= .
Demonstraţie. Fie ( ) ( )∫ =−=t
ttt trdssbr0
exp βρ . Din formula lui Itô rezultă
( ) ( ) ( )∫ ∫++=t
s
t
t dWssdssa0 0
0 ρβσβρρ .
135
Definim procesul crescător ( ) ( ) ( )dsssuCu
∫=0
2 ρβσ . Atunci procesul invers al său este
( ) ( ) tuCutA == inf . Aplicând formula de schimbare a timpului obţinem:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
∫∫ ++=tA
s
tA
tA dWssdssa00
0 ρβσβρρ .
Cum ( ) ( )( )tAtA
β1
=′ rezultă ( ) ( )( )∫++=t
stA dZsAat0
0 ρρρ , unde Z este o mişcare
browniană.
Propoziţia 4.20. Dacă r este soluţie a ecuaţiei ( )( ) tttt dWrdtrtadr σλ +−= ,
xr =0 , unde λ este o funcţie continuă, atunci
( ) ( ) ( )
≥
Λ
Λ=≥ ∫ 0,
410,
0
2legeîn
tdsst
trt
tσρ ,
unde ( ) ( )
=Λ ∫
s
dtts0
exp λ şi ρ este un proces Bessel pătratic de dimensiune 2
4σ
a .
Demonstraţie. Fie ( ) ( )trdssrZ t
t
tt Λ=
= ∫
0
exp λ . Aplicând formula lui Itô obţinem:
( ) ( )∫ ∫ Λ+Λ+=t
s
t
st dWZsdssaZZ0 0
0 σ .
Definim funcţia crescătoare ( ) ( )∫ Λ=u
dssuC0
2
4σ . Atunci inversa sa este
( ) ( ) tuCutA == :inf . Aplicând o schimbare de variabilă (timp) obţinem
( ) ( ) ( )( )( )
∫ ∫ Λ+Λ+=tA tA
sstA dWZsdssaZZ0 0
0 σ .
Procesul ( )( )
∫ ΛtA
ss dWZs0
σ este un martingal iar procesul crescător asociat este dat de
relaţia: ( )( )
( )∫∫ =Λt
sA
tA
s dsZdsZs00
2 4σ , deci
136
( ) ( ) s
t
s
t
ssAtA
def
t dBtadBZtaZZ ∫∫ ++=++==0
200
20 2424 ρσ
ρσ
ρ ,
unde B este o mişcare browniană.
Propoziţia 4.21. Densitatea de tranziţie a procesului ( )0, ≥trt definit prin
( )( ) tttt dWrdtrtadr σλ +−= , xr =0 , unde λ este o funcţie continuă este dată de
relaţia:
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )( )
ΛΛ
Λ
ΛΛ+
−ΛΛ
==∈ts
tsrItsr
tstsr
tstsrdrrP st ,
,,,2
,exp,2
,*
2
**
ρρ
ρρ ν
ν
,
unde ( ) ( )
=Λ ∫
t
s
duuts λexp, , ( ) ( )∫ Λ=Λt
s
duusts ,4
,2
* σ şi 12 2 −= σν a .
Bibliografie
Henk C. Tijms
- A First Course in Stochastic Models, John Wiley & Sons Ltd, 2003
Kannan D.
- An Introduction to Stochastic Processes, Probability and Applied Mathematics, Elsevier, 1979
D. Nualart
- The Malliavin calculus and related topics. Springer-Verlag, 1995
Potter Philip E.
- Stochastic Integration and Differential Equations (Applications of Mathematics-Stochastic Modelling and Applied Probability 21), second edition, Springer, 2004
137
Exerciţii
1. Considerăm modelul binomial al variaţiei preţului acţiunilor pe o piaţă
financiară. Presupunem că valoarea iniţială (la momentul 0) a unei acţiuni XYZ este 0S
şi la momentul T∆ există două posibilităţi, fie preţul acţiunii creşte cu un procent u la
valoarea uS0 fie scade cu un procent d la valoarea dS0 . Condiţia de dobânda fără risc
implică faptul că la momentul T∆ , $1 va avea valoarea $ Tre ∆ .
a. Presupunem ued Tr << ∆ . Să se demonstreze că în aceste condiţii preţul unei
opţiuni call europene cu timpul de maturitate T∆ şi preţul de exercitare K este
( ) ( )+∆−
+
∆−
−
−
−+−
−
− KdSdu
ueKuSdu
de TrTr
0011
b. Ce se întâmplă în cazul în care condiţia ued Tr << ∆ nu este verificată?
2. Presupunem că la cursul de schimb al zilei £100 valorează $280. Un speculator
estimează că până la sfârşitul anului paritatea liră -dollar va fi $2,6 cu o probabilitate
de 2/3 şi $3,0 cu o probabilitate 1/3. Acesta cumpără o opţiune put europeană ce îi dă
dreptul să vândă la sfârşitul anului cele £100 cu $290. Preţul plătit pentru opţiune este
$20. Rata dobânzii fără risk este 0. Utilizând modelul binar cu un singur pas fie
construiţi o strategie prin care una din părţi obţine profit, fie demonstraţi că preţul plătit
este cel corect. Determinaţi probabilităţile de risc neutru, adică probabilităţile p şi
p−1 de creştere şi respectiv scădere a lirei în raport cu care ( ) 0SSeE TTr =∆− . Având în
vedere că 0=r , verificaţi dacă în aceste condiţii preţul corect al opţiunii este
( )( )+− TSKE (unde media este calculată în raport cu aceste probabilităţi.
3. Paritatea Put-Call. Fie tC şi tP preţurile unei opţiuni call europene şi respectiv
put europene cu timpul de maturitate T şi preţul de exercitare K . Presupunem că rata
dobânzii fără risc este o constantă r (costul împrumutării unui dollar pentru s unităţi de
timp este $ rse . Să se demonstreze că pentru orice Tt ≤ are loc
relaţia : ( )tTrttt KeSPC −−−=− .
138
4. Presupunem că preţul unui activ are o distribuţie lognormală, adică ( )0log SST
are o distribuţie normală cu media µ şi varianţa 2σ . Să se calculeze ( )TSE .
5. Fie 0T şi 1T două momente astfel încât 10 TT < . O opţiune forward start este un
contract care permite deţinătorului să primească la momentul 0T , fără extra costuri, o
opţiune cu maturitatea 1T şi preţul de exercitare 0TS (preţul activului la momentul 0T ).
Presupunem că preţului acţiunii i se poate asocia un model binar cu doi paşi astfel încât
preţul activului la momentul 0T este fie uS0 , fie dS0 iar la momentul 1T este 20uS ,
udS0 sau 20dS , unde ( )( ) ( )( ) ueeeed TTrrTTTrrT <≤< −− 010010 ,max,min , r fiind rata
dobânzii fără risc. Să se determine preţul corect al opţiunii la momentul 0. Utilizând
modelul Black-Scholes determinaţi valoarea opţiunii forward start.
6. Fie 0≥ttB o mişcare browniană standard. Precizaţi care din următoarele
procese sunt mişcări browniene:
0≥− ttB
0
2≥tctcB , unde c este o constantă
01 ≥tBt
02 ≥− ttt BB
Justificaţi răspunsul.
7. Fie 0≥ttB o mişcare browniană standard. Fie aBtT ta =≥= :0inf timpul de
lovire a nivelului a . Să se demonstreze egalitatea ( )( ) ( )θθ 2expexp aTE a −=− . Să se
calculeze ( )aTE şi ( )∞<aTP .
8. Fie Ttt ≤≤0F o filtrare naturală asociată mişcării browniene standard TttB ≤≤0 .
Care din următoarele procese sunt tF - martingale:
a. ( )tBσexp
b. 2ctcB , unde c este o constantă
139
c. ∫−t
st dsBtB0
9. Fie f este o funcţie elementară. Arătaţi că procesul ( )∫=t
sst dBBsfM0
, ,
definit de integrala Itô este un martingal.
10. Verificaţi relaţia ( )∫∫ =
t
s
t
ss dsBEdBBE0
2
2
0
.
11. Utilizând formula lui Itô scrieţi ecuaţiile diferenţiale stochastice pentru
următoarele procese, în care 0≥ttB reprezintă mişcarea browniană standard:
3tt BY =
−= tBY tt
2
21exp σσ
tt tBY =
12. a. Utilizând formula lui Itô pentru funcţia ( ) 2, xxtf = arătaţi că
( )∫ −=t
tss tBdBB0
2
21 ,
unde 0≥ttB o mişcare browniană standard.
b.Utilizând formula lui Itô pentru funcţia ( ) 3, xxtf = arătaţi că
dtBBdBBt t
ttss∫ ∫−=0 0
32
31 , unde 0≥ttB o mişcare browniană standard.
13. Fie 0≥ttB o mişcare browniană şi fie ( )tt BZ αexp= . Utilizaţi formula lui Itô
pentru a scrie ecuaţia diferenţială stochastică asociată procesului tZ . Să se arate relaţia
( )( )
= tBE t 2
expexp2αα .
140
14. (Procesul Ornstein-Uhlenbeck) Fie 0≥ttB o mişcare browniană. Procesul
Ornstein-Uhlenbeck 0≥ttX este unica soluţie a ecuaţiei Langevin:
ttt dBdtXdX +−= α , xX =0 .
Verificaţi relaţia ∫−− +=t
sstt
t dBeexeX0
ααα şi utilizând această expresie calculaţi media
şi varianţa variabilei aleatoare tX .
15. Presupunem că preţul tS al unui activ este dat de relaţia tttt dBSdtSdS σµ += ,
unde tB este mişcarea browniană standard. Fie r rata dobânzii fără risc. Preţul unui
activ fără risc este dat de relaţia dtrSdS tt00 = . Fie ( )tt HH ,0 portofoliul care la
momentul t este compus din 0tH unităţi din activul fără risc, 0
tS şi tH unităţi din
activul cu risc, tS . In fiecare din cazurile prezentate mai jos determinaţi 0tH pentru
care portofoliul ( )tt HH ,0 verifică condiţia de autofinanţare ttttt dSHdSHdV += 00 :
a. 1=tH
b. ∫=t
ut duSH0
c. tt SH =
Reamintim că valoarea portofoliului la momentul t este dată de formula
ttttt SHSHV += 00 .
16. Delta-hedging. Cum preţul unui activ poate fi privit ca o mişcare browniană
geometrică rezultă că există parametrii µ şi σ astfel încât preţul activului poate fi
modelat de ecuaţia tttt dBSdtSdS σµ += . Ne propunem ca pe baza acestui activ să
determinăm valoarea unei opţiuni europene. Fie ( )tStV , valoarea opţiunii la momentul
t . Ştim că pentru anumite funcţii, la momentul T , ( ) ( )TT SfSTV =, . Atunci:
a. utilizând formula lui Itô exprimaţi valoarea V a opţiunii ca soluţie a unei
ecuaţii diferenţiale stochastice.
141
b. fie un portofoliu compus dintr-o opţiune şi o cantitate negativă δ− de active.
Notăm cu π valoarea acestui portofoliu. Presupunând că portofoliul verifică condiţia de
autofinanţare, determinaţi ecuaţia diferenţială stochastică verificată de π .
c. determinaţi valoarea lui δ pentru care termenul stochastic se anulează.
Teme pentru proiect:
• Modelul binomial al preţului unui activ
• Timp de oprire în cazul opţiunii americane
• Optimizarea capitalului
• Modelul Heath-Jarrow-Morton
• Modelul Hull-White
• Modelul Cox-Ingersoll-Ross
• Modelul bifactorial (Duffie & Kan)
• Schimbare de numerar
• Problema ruinării
142
Dicţionar de termeni financiari
Acoperire (Coverage)
Marja de siguranţa pentru plata serviciului datoriei aferent unei obligaţiuni
municipale bazate pe venituri. Reprezintă numărul de ori (de exemplu, acoperire 150%)
cu care câştigurile nete anuale depăşesc serviciul anual al datoriei. Poate fi o valoare
absolută sau relativă.
Active (Assets)
(1) Totalitatea bunurilor având valoare comercială deţinute de către o companie,
instituţie sau persoană fizică. Activele pot fi tangibile, cum ar fi stocurile, utilajele,
clădirile şi terenurile, sau intangibile, cum ar fi brevetele şi mărcile. (2) Partea stângă a
bilanţului în care sunt înscrise activele. (3) în cazul fondurilor de investiţii,
instrumentele financiare care alcătuiesc portofoliul se mai numesc şi active financiare
(bani, acţiuni, obligaţiuni s.a.)
Active curente (circulante) (Current assests)
Numerar precum şi active care se estimează că vor fi transformate în numerar,
în maxim un an, cum ar fi instrumentele financiare tranzacţionabile, creanţele,
stocurile. De regulă, activele curente nu sunt foarte profitabile, dar tind să confere
lichiditate şi siguranţă operaţiunilor unei firme.
Acţiune (Stock)
Instrument financiar ce reprezintă proprietatea într-o corporaţie şi conferă un
drept asupra câştigurilor şi activelor acesteia. De regulă, o actiune comună dă dreptul
deţinătorului sau să voteze cu ocazia alegerii directorilor in consiliul de administraţie
sau cu ocazia supunerii la vot a altor probleme, în adunarea generală a acţionarilor sau
prin intermediul unui mandat (proxy). In general, o acţiune preferenţială nu conferă
dreptul la vot, dar are un drept prioritar asupra câştigurilor şi asupra activelor
companiei fată de o acţiune comună - dividendele aferente acţiunilor preferenţiale
trebuie plătite înaintea dividendelor aferente acţiunilor comune. O corporaţie poate
autoriza şi alte clase de acţiuni, fiecare cu propriul său set de drepturi contractuale.
143
Bursa de mărfuri (Commodity exchange)
Piaţa organizată şi reglementată care oferă un sistem prin care pot fi încheiate
tranzacţiile cu mărfuri. In majoritatea cazurilor, acesta constă într-un ring de
tranzacţionare unde brokerii cumpărători şi vânzători se întâlnesc într-o zonă cunoscută
sub denumirea de trading pit. Astfel, deşi la unele burse sistemul de tranzacţionare este
computerizat, oferind un program pentru tranzacţionarea electronică prin terminale
aflate la distanţă, unele tranzacţii se desfăşoară încă în ringul bursei prin licitaţie cu
strigare deschisă. Tranzacţiile se pot derula în sistem imediat, sau la termen. In cazul
tranzacţiilor efectuate în sistem imediat, livrarea mărfii se face pe loc (on
spot/immediate delivery); în cazul tranzacţiilor la termen, livrarea mărfii se face la o
anumită dată în viitor (future delivery). Scopul tranzacţiilor la termen este acela de a
asigura o protecţie (hedge) împotriva risculului modificării preţului unei mărfi într-o
anumită perioadă de timp. Bursa este prevăzută cu departamente care supraveghează
toate tranzacţiile care au loc în ring şi stabileşte regulile de desfăşurare a tranzacţiilor
astfel încât afacerile să fie încheiate în mod eficient, corect şi într-o manieră etică. In
plus, bursa, funcţionând pe principiul transparenţei, colectează şi transmite informaţiile
referitoare la preţul şi mărimea tranzacţiilor astfel încât investitorii să poată cunoaşte
situaţia pieţei în orice moment.
Bursa de Opţiuni din Chicago (Chicago Board of Options Exchange (CBOE))
In Statele Unite, bursa înregistrată unde se tranzacţionează opţiuni pe acţiuni. A
fost prima bursă la care s-au tranzacţionat astfel de contracte.
Bursa de valori (Stock Exhange)
Piaţa organizată şi reglementată pe care valorile mobiliare (acţiunile comune,
instrumentele financiare echivalente cu acţiunile comune şi obligaţiunile) sunt
tranzacţionate de către membrii bursei, acţionând ca agenţi (brokeri) şi ca principali
(dealeri sau traderi). O astfel de piaţă presupune existenţa unui loc (ring de
tranzacţionare) în care brokerii şi traderii se întâlnesc pentru a executa ordinele de
cumpărare şi de vânzare ale clienţilor lor individuali şi instituţionali. Fiecare bursă
impune membrilor săi propriile cerinţe; New York Stock Exchange are cele mai severe
exigenţe.
144
Contract futures (Futures contract)
Acord de a cumpăra sau de a vinde o cantitate specificată dintr-un activ denumit
activ de bază (de exemplu, o marfă sau un instrument financiar) la o dată viitoare, la un
preţ predeterminat. Prin acest acord părţile se obligă să-şi preia reciproc riscul
pierderilor potenţiale cauzate de evoluţia preţului, printr-un transfer zilnic al unui flux
de numerar compensator determinat prin marcare la piaţă (mark to market). Contractul
futures angajează părţile să respecte două categorii de obligaţii: (1) obligaţia născută
din executarea unui contract de vânzare-cumpărare (a unei cantităţi specificate din
activul de bază, la un anumit preţ, la o dată viitoare când va avea loc o compensare
finală, adică efectuarea plăţii şi transferul dreptului de proprietate asupra activului de
bază); (2) obligaţia de a participa la un sistem de redistribuire a unui flux de numerar
care compensează zilnic pierderile potenţiale înregistrate de cealaltă parte a
contractului. Contractele futures sunt standardizate pentru a putea fi tranzacţionate activ
pe piaţă (la o bursă organizată). Emisiunea lor este deschisă, nedefinită, continuă şi
variabilă ca mărime, instituţia emitentă (bursa desemnată să tranzacţioneze acele
contracte) punând la dispoziţia investitorilor un număr nelimitat de contracte grupate pe
clase, subclase şi serii pentru toate datele de livrare posibile. Preţul de tranzacţionare al
unui contract futures este stabilit între cumpărător şi vânzător folosind fie sistemul de
licitaţie cu strigare deschisă, fie sistemul de tranzacţionare electronic. Un contract
futures obligă cumpărătorul să cumpere activul de bază şi vânzătorul să îl vândă, cu
excepţia cazului în care cumpărătorul şi/sau vânzătorul îşi acoperă poziţia înainte de
scadenţă, ceea ce se poate întâmpla dacă aceştia doresc să obţină un profit sau să
limiteze o pierdere. Acest lucru contrastează cu tranzacţionarea opţiunilor în care
cumpărătorul unei opţiuni poate alege dacă să exercite sau nu opţiunea până la data
exercitării.
Contract forward (Forward contract)
Acord între două părţi prin care acceptă să cumpere, respectiv să vândă o
anumită cantitate din activul de bază (o marfă, un instrument financiar guvernamental,
o valută sau alt instrument financiar) la un anumit preţ, cu livrarea la o dată viitoare
specificată şi în condiţii stabilite în prezent. O deosebire faţă de contractele futures o
constituie faptul că aceste contracte nu sunt standardizate; ele sunt contracte
145
personalizate încheiate între două părţi. Astfel, termenii pentru contractele forward sunt
stabiliti de comun acord între cumpărător şi vânzător şi pot fi diferiţi de cei stabiliţi
pentru contractele futures de către bursa la care acestea se tranzacţionează. O altă
deosebire este că aceste contracte nu se tranzacţionează pe o piaţă organizată şi nu
există o casă de compensaţie care să preia riscul de neîndeplinire a obligaţiilor
contractuale de către una din părţi. De asemenea, contractele forward nu sunt lichide.
Ele sunt transferate foarte greu şi, de obicei, nu pot fi anulate decât cu acordul celeilalte
părţi care, de multe ori, se obţine prin plata unor penalităţi. Denumit şi contract "to
arrive", contractul forward este predecesorul contractului futures actual.
Coeficient de corelaţie (Correlation coefficient)
Instrument statistic de măsură a gradului de dependenţă dintre două variabile,
cum ar fi de exemplu rentabilitaţile a două investiţii diferite. In cazul majorităţii
perechilor de investiţii, rentabilităţile sunt corelate pozitiv, deşi corelaţia poate fi slabă.
Uneori o investiţie poate creşte în timp ce cealaltă poate să scadă, caz în care corelaţia
este negativă sau invers. Coeficientul de corelaţie variază între -1 şi +1. Cu cât
coeficientul de corelaţie este mai apropiat de +1, cu atât este mai mare tendinţa ca
rentabilităţile să evolueze în tandem. La valori negative, coeficientul indică o corelaţie
inversă, iar atunci când acesta este egal cu zero, el indică lipsa unei corelaţii.
Coeficientul Alfa (Alpha)
Coeficient care compară randamentul real al unui fond de investiţii cu
perfomanţa estimată, la un anumit nivel de risc, de către coeficientul Beta. O valoare
pozitivă a coeficientului Alfa indică faptul că performanţele fondului sunt mai bune
decât valoarea previzionată de către coeficientul Beta. Dimpotrivă, o valoare negativă a
coeficientului Alfa indică o performanţă a fondului mai slabă decât performanţa
estimată de coeficientul Beta pentru fondul respectiv. Formula de calcul a
coeficientului Alfa este: Alfa = (F - T) - Beta x (B - T), unde F = randamentul total al
fondului, T = randamentul bonurilor de trezorerie de 90 de zile, iar B (benchmark) =
randamentul total al celui mai reprezentativ fond de acelaşi tip (din aceeaşi categorie).
Vezi Coeficientul Beta, R-pătrat.
146
Coeficientul Beta (Beta)
Coeficient care măsoară volatilitatea unei acţiuni în raport cu piaţa acţiunilor
sau cu categoria din care face parte. Standard & Poor’s 500 Stock Index are un
coeficient Beta egal cu 1. Orice acţiune care are un coeficient Beta mai mare decât 1
este mai volatilă decât piaţa, şi orice acţiune al cărei coeficient Beta este mai mic decât
1 se estimează că va creşte şi va scădea mai încet decât piaţa. Un investitor care este
foarte preocupat de conservarea capitalului ar trebui să se axeze pe acţiuni care au un
coeficient Beta mic în timp ce un investitor care este dispus să-şi asume riscuri mari în
încercarea de a obţine câştiguri mari ar trebui să caute acţiuni care au un coeficient Beta
mare.
Coeficientul Beta al unui portofoliu (Portfolio beta score)
Instrument de măsură a volatilităţii unui portofoliu, comparativ cu un indice de
referinţă, cum ar fi S&P 500. Valori ale coeficientului Beta peste 1,0 indică un
portofoliu volatil sau agresiv, valori mai mici decât 1,0 indică un portofoliu mai stabil
sau defensiv. De exemplu, un portofoliu cu un coeficient Beta de 1,25 se estimează că
va fi cu 25% mai volatil decât indicele. Coeficientul Beta al unui portofoliu se
calculează însumând valorile obţinute pentru fiecare instrument financiar deţinut în
portofoliu prin înmulţirea coeficientului Beta al instrumentului financiar cu ponderea pe
care acesta o are în cadrul portofoliului.
Contract futures pe o valută (Foreign currency future)
Contract care creează obligaţia de a cumpăra sau de a vinde în viitor o cantitate
stabilită dintr-o anumită valută.
Contract spot (Spot commodity contract)
Contract care presupune că livrarea mărfii către cumpărător este efectuată
imediat după ce a fost încheiată tranzacţia, spre deosebire de un contract futures sau
forward care presupune că livrarea mărfii se va efectua în viitor. Aceste contracte sunt
tranzacţionate pe piaţa cash (spot).
147
Contract swap (Swap contract)
Instrument financiar derivat închis, prin care participanţii schimbă riscul şi
avantajele aferente unor obligaţii contractuale de plată variabile sau fixe, cu riscul şi
avantajele aferente unor obligaţii contractuale de plată fixe sau variabile. Participanţii
sunt numai persoane juridice angajate în contracte de emisiune a instrumentelor
financiare transferabile cu grad de rating diferit, contracte comerciale, plăţi în moneda
naţională sau alte valute, precum şi în activităţi de arbitraj, hedging şi speculaţie.
Contractele swap nu au loc între partenerii contractelor economice principale de
vânzare/cumpărare, ci separat, între aceştia şi un intermediar specializat care îşi asumă
separat riscul variaţiei de preţ. Deoarece asemenea contracte nu sunt standardizate, ele
nu se pot tranzacţiona pe o piaţă organizată şi reglementată, ci se negociază individual
(pe piaţa OTC).
Cupon (Cupon)
(1) Parte detaşabilă a unei obligaţiuni la purtător care reprezintă un drept de
plată a dobânzii, indicând cuantumul dobânzii care trebuie plătită, data şi locul unde va
fi făcută plata. In general, cupoanele se plătesc semestrial. Ele sunt prezentate agentului
de plăţi al emitentului sau sunt depuse de către investitor la o bancă comerciala pentru a
încasa plata. (2) Rata dobânzii plătită de o obligaţiune.
Factorul Delta (Delta)
Variaţia preţului unei opţiuni la o variaţie de un punct a preţului activului de
bază. De exemplu, un factor delta de 0,5 indică faptul că preţul opţiunii va creşte cu o
jumătate de punct la fiecare creştere de un punct a activului de bază. Factorul delta ia în
considerare timpul rămas până la expirarea opţiunii, volatilitatea activului de bază şi
relaţia dintre preţuri. In cazul unei opţiuni call, prima opţiunii creşte atunci când preţul
activului de bază creşte; în cazul unei opţiuni put, prima opţiunii creşte atunci când
preţul activului de bază scade. Factorii delta sunt disponibili la orice casă de
compensaţie care operează tranzacţii cu opţiuni. Aceşti factori variază zilnic. Pe măsură
ce se apropie data expirării, factorul delta al opţiunilor în bani se apropie de 1.
148
Factorul gammma (Gamma)
Derivata financiara care masoara variatia asteptata a factorului delta al unei
optiuni atunci cand pretul activului de baza creste sau scade. De exemplu, daca o
optiune pe o actiune are un factor delta de 60% si un factor gamma de 5%, o crestere de
un punct a pretului actiunii de baza va determina o crestere de 5% a factorului delta, de
la 60% la 65%.
Factorul theta (Theta)
Derivata care măsoar erodarea primei unei opţiuni cauzată de trecerea timpului.
Se ştie că, la expirare, o opţiune nu va mai avea valoare de timp, ci doar valoare
intrinsecă, în cazul în care va avea. Theta are ca scop previzionarea ratei zilnice de
erodare a primei. Dacă presupunem, de exemplu, că o opţiune are o primă de 3 şi un
factor theta de 0,06, acest lucru înseamnă că în fiecare zi prima se va eroda cu 0,06.
Astfel, după prima zi ea va scădea la 2,94, după a doua zi la 2,88 şi aşa mai departe.
Factorul vega (Vega)
Derivata care măsoară efectul asupra primei unei opţiuni pe care îl are o
modificare a factorului de volatilitate a acţiunii de bază. De exemplu, dacă acţiunea
XYZ are un factor de volatilitate de 30%, iar prima curentă este de 3, atunci un factor
vega de 0,08 va indica faptul că prima va creşte la 3,08 dacă factorul de volatilitate
creşte cu 1%, adică la 31%. Atunci când acţiunea devine mai volatilă, prima va creşte
în aceeaşi proporţie. Factorul vega măsoară sensibilitatea primei la aceste variaţii ale
volatilităţii.
Hedge/Hedging (Hedging)
(1) Angajarea unei poziţii pe piaţa futures opusă faţă de poziţia deţinută pe piaţa
cash (spot) pentru a înlocui temporar o tranzacţie care urmează să fie făcută pe piaţa
cash (spot), ca protecţie împotriva riscului ca preţul să aibă o evoluţie nefavorabilă pe
piaţa cash. De exemplu, vânzarea short de contracte futures în anticiparea vânzării
viitoare a unei mărfi pe piaţa cash (spot), ca protecţie împotriva unei eventuale scăderi
a preţului, sau cumpărarea de contracte futures în anticiparea cumpărării viitoare a unei
mărfi pe piaţa cash (spot), ca protecţie împotriva unei eventuale creşteri a preţului. Prin
149
cumpărarea sau vânzarea short de contracte futures, riscul modificării preţului este
transferat speculatorilor care sunt dispuşi să accepte acest risc în speranţa obţinerii unor
profituri rapide. (2) Se referă la orice combinaţie de poziţii long şi short în instrumente
financiare, contracte futures şi opţiuni, în care o poziţie tinde să reducă riscul celeilalte;
orice strategie folosită pentru a reduce riscul unei investiţii. De exemplu, un manager
de portofoliu se poate proteja parţial împotriva riscului de scădere a pieţei transferând o
parte mai mare a portofoliului în instrumente financiare echivalente cu numerarul. Ca
alternativă, managerul ar putea vinde contracte futures pe indici de acţiuni. Dacă piaţa
scade, câştigurile din contractele futures vândute short vor compensa într-o măsură mai
mare sau mai mică scăderea în valoare a portofoliului.
Instrumente financiare derivate (Derivatives)
Instrumente financiare a căror valoare depinde de (deriva din) valoarea altui
activ, cum ar fi o acţiune, o obligaţiune, o marfă sau un indice al preţurilor acţiunilor.
Instrumentele financiare derivate fluctuează în tandem cu activul de bază. Aceste
instrumente produc adesea un efect de levier, ceea ce le face şi mai volatile. Ele pot fi
utilizate atât în scopuri speculative, cât şi pentru a reduce sau a controla un risc nedorit.
Opţiunile şi contractele futures sunt instrumente financiare derivate standardizate dar,
există şi instrumente financiare derivate care sunt create special pentru a satisface
anumite cerinţe.
Obligaţiune (Bond)
(1) Instrument financiar de credit, purtător de dobândă sau cu discont, care
reprezintă o datorie pe termen lung, emisă de autorităţile publice sau de corporaţii.
Emitentul plăteşte dobânda la intervale de timp specificate (de regulă semestrial) şi
răscumpără obligaţiunile atunci când împrumutul este programat să fie rambursat, adică
la data scadenţei (maturity date) sau mai devreme, la data răscumpărării (call date).
Deţinătorii obligaţiunilor au un document de tip IOU de la emitent, dar nu au drepturi
în cadrul companiei aşa cum au acţionarii. O obligaţiune poate fi la purtător sau
nominativă, în formă materializată sau în formă dematerializată. O obligaţiune
garantată (secured bond) este garantată de un colateral (de exemplu, un activ fix) care
poate fi vândut de către deţinătorul obligaţiunii în cazul în care emitentul nu plăteşte
dobânda sau principalul atunci când acestea devin scadenţe. O obligaţiune negarantată
150
(unsecured bond/debenture) este garantată de integritatea companiei emitente şi nu de
un anumit colateral. O obligaţiune convertibilă conferă deţinătorului acesteia dreptul de
a converti obligaţiunea în alte instrumente financiare ale companiei emitente la o dată
viitoare şi în anumite condiţii prestabilite. (2) De asemenea, în finanţe, este obligaţia
unei persoane de a achita datoria contractată de către altcineva în cazul în care debitorul
nu îşi îndeplineşte obligaţiile de plată.
Obligaţiune cu cupon zero (Zero-coupon bond)
Obligaţiune care nu face plăţi periodice ale dobânzii către deţinătorul său. O
obligaţiune cu cupon zero este emisă cu un discont faţă de valoarea sa nominală şi
creşte treptat în valoare pe măsură ce se apropie de scadenţă. Astfel, venitul unui
investitor dintr-o obligaţiune cu cupon zero provine doar din creşterea în valoare. Plata
finală la scadenţă cuprinde atât dobanda acumulată, cât şi principalul.
Opţiune (Option)
Contract care conferă deţinătorului său dreptul, dar nu şi obligaţia, de a cumpăra
(în cazul unei opţiuni call) sau de a vinde (în cazul unei opţiuni put) un anumit activ
denumit activ de bază, la un preţ prestabilit, într-o anumită perioadă de timp. Dacă
acest drept nu este exercitat în perioada de timp specificată, opţiunea expiră. Vezi Call
option, Put option.
Opţiune americana (American option)
Opţiune a cărei exercitare depinde de preţul mediu al activului de bază pe o
anumită perioadă de timp până la expirarea opţiunii.
Opţiune call implicită (Call option)
La unele emisiuni de obligaţiuni, opţiune implicită ce dă emitentului dreptul de
a răscumpara obligaţiunile la un preţ prestabilit, de obicei la valoarea nominală, înainte
de scadenţă.
151
Opţiune call în afara banilor (Out-of-the-money call)
Opţiune call al cărei preţ de exercitare este mai mare decât valoarea curentă de
piaţă a activului de bază. De exemplu, o opţiune XYZ Dec. 60 Call va fi în afara
banilor dacă acţiunea XYZ se vinde la 55$ per acţiune.
Opţiune call în bani (In-the-money call)
Opţiune call pentru care preţul de piaţă al activului de bază este mai mare decât
preţul de exercitare al contractului.
Opţiune call pe un contract futures (Call futures option)
Opţiune tranzacţionată la bursă care îi conferă cumpărătorului dreptul, dar nu şi
obligaţia, să angajeze o poziţie în contractul futures de bază la un preţ de exercitare
prestabilit, în orice moment înainte de expirarea opţiunii. In cazul în care opţiunea este
exercitată, cel care a vândut short opţiunea call are obligaţia să livreze contractul
futures.
Opţiune de cumpărare (Call)
Pe piaţa opţiunilor: opţiune care dă deţinătorului său dreptul, dar nu şi obligaţia
de a cumpăra activul de bază la un preţ prestabilit şi înainte de o anumită dată. In cazul
opţiunilor pe acţiuni, un investitor care consideră că preţul unei acţiuni va creşte
substanţial, ar putea obţine un profit mai mare dintr-o investiţie mai mică cumpărând
opţiuni call pe acea acţiune decât ar obţine dacă ar cumpăra acţiunea respectivă. Pentru
vânzător, care trebuie să renunţe la dreptul său de proprietate asupra acţiunilor în
favoarea cumpărătorului, când opţiunile sunt exercitate, acestea pot produce un venit
suplimentar.
Opţiune europeană (European option)
Opţiune care poate fi exercitată numai la data expirării sale, spre deosebire de
opţiunea americană pe care deţinătorul o poate exercita în orice moment până la data
expirării, inclusiv data expirării.
152
Opţiune put (de vânzare) (Put option)
Opţiune care dă deţinătorului dreptul, dar nu şi obligaţia, de a vinde activul de
bază la un preţ prestabilit, la o anumită dată sau înainte de o anumită dată. De exemplu,
cumpărătorul opţiunii XYZ Mai 70 Put are dreptul de a vinde 100 de acţiuni XYZ la
70$ vânzătorului opţiunii, înainte de expirarea contractului în luna mai. Cumpărătorul
opţiunii put speră că preţul acţiunii va scădea, în timp ce vânzătorul opţiunii put speră
că preţul acţiunii va rămâne stabil, ori că va creşte sau va scădea cu o valoare mai mică
decât prima pe care acesta a încasat-o.
Opţiune put în afara banilor (Out-of-the-money put)
Opţiune put al cărei preţ de exercitare este mai mic decât valoarea curentă de
piaţă a activului de bază. De exemplu, o opţiune XYZ Dec. 60 Put va fi în afara banilor
dacă acţiunea XYZ se vinde la 65$ per acţiune.
Opţiune put în bani (In-the-money put)
Opţiune put pentru care preţul de piaţă al activului de bază este mai mic decât
preţul de exercitare al contractului.
Opţiune put pe un contract futures (Put futures option)
Opţiune tranzacţionată la bursă care îi conferă cumpărătorului dreptul, dar nu şi
obligaţia, să vândă contractul futures de bază la un preţ de exercitare prestabilit, în orice
moment înainte de expirarea opţiunii. In cazul în care opţiunea este exercitată, cel care
a vândut short opţiunea put are obligaţia să accepte livrarea contractului futures.
Portofoliu (Portfolio)
Totalitatea investiţiilor de diverse tipuri deţinute de către un investitor
individual sau instituţional. Un portofoliu poate cuprinde acţiuni, obligaţiuni, contracte
futures, investiţii în sectorul imobiliar, instrumente echivalente cu numerarul sau alte
active financiare. Scopul unui portofoliu este de a reduce riscul prin diversificare. Cu
cât sunt mai diversificate investiţiile din cadrul unui portofoliu, cu atât este mai
probabil ca investitorul să obţină aceeaşi rentabilitate ca cea a pieţei instrumentelor
financiare transferabile.
153
Preţul de exercitare (Exercise price)
Preţ unitar la care activul de bază al unei opţiuni poate fi cumpărat (în cazul
unei opţiuni call) sau vândut (în cazul unei opţiuni put) într-o perioadă specificată de
timp. De exemplu, o opţiune call pe acţiunea XYZ dă dreptul deţinătorului ei să
cumpere 100 de acţiuni XYZ în orice moment în urmatoarele trei luni la un preţ de
exercitare de 63$. Preţul de exercitare este stabilit de către bursă în momentul emiterii
opţiunii. In cazul opţiunilor pe contracte futures, bursa fixează un preţ în funcţie de
preţul de închidere al zilei precedente pentru contractele futures de bază. Incepând cu
acel preţ, sunt stabilite preţuri de exercitare mai mari sau mai mici, la intervale fixate de
bursă.
Preţul spot (Spot price)
Preţul curent de livrare al unei mărfi tranzacţionate pe piaţa spot (cash).
Piaţa cash (Cash market)
Piaţa pe care se fac tranzacţii ce presupun cumpărarea sau vânzarea imediată a
unui anumit produs. Pieţele cash reprezintă opusul pieţelor futures pe care se fac
tranzacţii ce presupun livrarea produsului la un moment viitor, specificat în contract.
De asemenea mai este denumită piaţa spot.
Randament (Yield)
In general, este venitul încasat dintr-o investiţie, exprimat procentual din preţul
curent al acesteia. O anumită investiţie poate avea mai multe randamente datorită
numeroaselor metode folosite la calcularea lui. De exemplu, în cazul obligaţiunilor,
randamentul poate fi: (1) Randamentul curent (current yield). Este rata dobânzii
împarţită la preţul de cumpărare. De exemplu, o obligaţiune care se vinde la 1.000$, cu
o rata a dobânzii de 10%, are un randament curent de 10%. Dacă, aceeaşi obligaţiune s-
ar vinde la 500$, ea ar oferi un randament de 20% unui investitor care ar cumpăra-o la
500$ (pe măsură ce preţul unei obligaţiuni scade, randamentul ei creşte şi viceversa).
(2) Randamentul până la scadenţă/răscumparare/restituire (yield to maturity/call/put) al
unei obligaţiuni care ia în considerare plăţile dobânzii, preţul de cumpărare, valoarea de
răscumparare şi timpul rămas până la scadenţă/răscumpărare/restituire.
154
Rata de schimb valutar (Exchange rate)
Preţul la care o valută poate fi schimbată în altă valută. Ratele de schimb valutar
sunt influenţate de o serie de factori economici, politici, sociali, juridici, unii dintre ei
cu variaţie zilnică.
Riscul ratei dobânzii (Interest rate risk)
(1) Unul din riscurile care afectează toţi investitorii atunci când profitul oţtinut
este egal sau mai mic decât rata dobânzii fără risc (adică a bonurilor de trezorerie) sau
rata echivalentă a dobânzii calculată în funcţie de categoria de risc a investiţiilor. Cele
mai afectate de riscul ratei dobânzii sunt instrumentele financiare de credit şi unele
instrumente financiare cu venit fix cum ar fi acţiunile preferenţiale. Preţurile acţiunilor
comune sunt, de asemenea, afectate de modificările ratelor dobânzii, deşi legătura este
mai puţin evidentă în acest caz. Investitorii caută ca, prin strategii cu instrumente
financiare derivate, să atenueze efectele nefavorabile ale riscului ratei dobânzii. (2)
Riscul ca preţul unei obligaţiuni să scadă pe măsură ce ratele dobânzii cresc. Managerii
de portofoliu evaluează riscul ratei dobânzii pentru un fond de investiţii calculând
durata acestuia.
Speculaţie (Speculation)
Asumarea unor riscuri peste medie în speranţa obţinerii unor rentabilităţi peste
medie, în general într-o perioadă de timp relativ scurtă. Speculaţia implică cumpărarea
unui anumit activ financiar pe baza preţului sau potenţial de vânzare şi nu pe baza
valorii sale prezente. Intr-o speculaţie siguranţa principalului şi venitul curent sunt de o
importanţă secundară. Când fac speculaţii, profesioniştii utilizează adesea diverse
tehnici de hedging, cum ar fi tranzacţiile cu opţiuni, vânzarea short, ordinele stop şi
tranzacţiile cu contracte futures, cu scopul de a-şi limita pierderile. Speculaţia implică
un risc care poate fi analizat şi evaluat, la fel ca şi în cazul unei investiţii; ceea ce le
deosebeşte este însă gradul de risc.
Speculator (Stag)
Speculator care, de regulă, cumpără şi vinde acţiuni pentru profituri imediate şi
nu păstrează valorile mobiliare ca investiţie.
155
Tranzacţie fără risc (Riskless transaction)
(1) Tranzacţie ce asigură un profit traderului care o iniţiază, eliminând riscul de
înregistrare a unei pierderi deoarece poziţia de deschidere pe o piaţă este acoperită de
poziţia de închidere pe o altă piaţă. Un arbitrajor poate obţine un profit tranzacţionând
pe baza diferenţei între preţurile aceleiaşi valori mobiliare pe pieţe diferite. De
exemplu, dacă aurul se tranzacţionează la 400$ uncia la New York şi la 398$ la Londra,
un trader care acţionează repede ar putea cumpăra un contract futures pe aur la Londra
şi să-l vândă la New York cu un profit fără risc. (2) Pe piaţa OTC, este o tranzacţie a
unui dealer în care acesta face o cumpărare sau o vânzare pentru a executa ordinul unui
client. Astfel, dacă un client doreşte să cumpere 500 de acţiuni XYZ la 80$ per acţiune,
dealerul poate cumpăra 500 de acţiuni XYZ dintr-o altă sursă la 791/4$ şi poate revinde
acţiunile clientului la un markup de 75 cenţi. In Statele Unite, mărimea unui markup
sau markdown care se percepe în cazul tranzacţiilor fără risc este reglementată de
NASD. De asemenea, denumită tranzacţie simultană (simultaneous transaction).
Valoare mobiliară (Security)
Instrument care poate indica proprietatea în cadrul unei companii (o acţiune), o
relaţie de credit cu o companie sau cu o autoritate publică (o obligaţiune), ori un drept
la proprietate (un drept de subscriere, o opţiune pe o acţiune, o garanţie).
Volatilitate (Volatility)
Caracteristica unei valori mobiliare de a înregistra fluctuaţii mari de preţ într-o
perioadă scurtă de timp. Un instrument de măsură a volatilităţii relative a unei acţiuni
este coeficientul beta.
Bibliografie
Dicţionar financiar http://www.eafacere.ro/dictionar_financiar.asp