Procese stohastice stationare

8/13/2019 Procese stohastice stationare

1/14

Procese stohastice staionare (n raport cu timpul)

Dac se analizeaz o vibraie aleatoare, atunci variaia mrimii n jurul unei valorimedii (sub aspectul amplitudinii medii i a caracterului general al vibraiei), cu stabilitate

mare n timp, definete caracterul staionar al acestui tip de proces stohastic. Astfel detipuri de procese stohastice staionare pot fi exemplificate prin existena vibraiilorstructurii unui avion n regim stabil de zbor, vibraiile structurii unui automobil n regimstabilizat de deplasare, zgomotele aleatoare ntr-un aparat de radio, vibraiile reelelor decabluri sub influena vntului n regim stabilizat.

Caracteristicile unui proces staionar sunt aceleai indiferent de intervalul de timpales pentru analiz,ceea ce nseamn c el nu depinde de momentul iniial.

Prin definiie, un proces stohastic este staionar dac parametrii statistici nu semodific odat cu translaia axei timpului.

Pentru aceste procese se remarc faptul c att caracterul ct i amplitudineavariaiilor aleatoare nu au modificri importante n timp. Deoarece proprietatea de

staionaritate implic faptul c toate mrimile statistice (momentele de ordin n) suntinvariante la orice schimbare de dou argumente i la orice schimbare a originii valorilortimpului, rezult c densitatea de repartiie a acestui proces este o funcie independent detimp. n acest caz (cnd momentele de ordin n sunt independente de timp), funcia aleatoareeste staionar n sens restrns (strict/tare).

p(x1(t1), x2 (t2 ),xk (tk )) = p(x1, x2 ,xk )Se poate ns defini i o staionaritate care implic numai invariana momenului de

ordin unu (media procesului) i a momentului asociat de ordin doi (funcia deautocorelaie).

Astfel n cazul n care cele dou mrimi de ansamblu ale procesului staionar nudepind de momentul t n care se consider realizrilex1,x2,.....xi,...xN, cnd numrul acestora

este foarte mare (N->), adic:mx(t1)=mx(t2)=.....=mx=constR(t1,)=R(t2,)=....=R()=const

atunci acest gen de staionaritate se numete staionaritate slab sau n sens larg.Pentru a ilustra deosebirea dintre cele dou tipuri distincte de procese (staionar i

nestaionar),nfigur se prezint evoluia n timp a realizrilorx1,x2,...xi,...xN.

Se constat existena unui proces nestaionar (fig.a) cu mxconst i a unui proces staionar(fig.b) cu mx=const.


2/14

n consecin, datorit ipotezei de staionaritate a procesuluix(t), vom aveaurmtorii parametriistatistici caracteristici de ansamblu:

Valoarea medie (momentul de ordin unu) este constant n timpmx(t) = const = mx

Valoarea medie ptratic (momentul de ordin 2) este constant n timp

m x2

(t)= const = mx2

Dispersia (momentul centrat de ordin 2) este constant n timp2x(t)= const = 2x

Funcia de autocorelaie (momentul asociat de ordin doi) depinde numai deparametrul :

Rxx (t1, t2 ) = Rxx ()Funcia de autocovarian (momentul centrat asociat de ordin 2) depinde numai de

parametrul :Kxx (t1, t2 ) = Kxx ()

n acest caz, relaia de legtur dintre parametrii statistici devine:Kxx ()= Rxx ()-mx2

Mai mult, pentru =0, relaia de mai sus devine:Kxx (0)= Rxx (0)-mx2Deoarece =0 implic t1=t2=t, relaia anterioar este echivalent cu relaia:

2x=mx2-m2xPentru cazul particular al unui proces staionar cu media zero, mx=0, din ultimele

dou ecuaiirezult c dispersia procesului este egal cu valoarea funciei de autocorelaien origine, adic:

Kxx (0)= Rxx (0)=mx2= 2x

ObservaieCombinaia liniar a unor procese staionare genereaz tot un proces staionar.

Analiza Fourier a semnalelor stohastice. Densitatea spectral deputere

Dup cum s-a artat, pentru unproces determinist definit printr-un semnal dat sepoate realiza o descompunere a semnalului ntr-un numr mare de semnale armonice dediverse frecvene i amplitudini.

Dac transformata Fourier direct se aplic unui semnal atunci se obine funciaspectral (caracteristica spectral) a semnalului, care este un parametru de semnal. Funciaspectral, care este tot o mrime complex, poate fi continu sau discret (periodic sau

neperiodic).Atunci cnd mrimea astfel obinut este continu ease mai numete i densitatespectral de amplitudine complex, X(j) sau X(ejTs ). Modulul acestor mrimi, |X(j)| sau|X(ejTs)|, poart denumirea de densitate spectral de amplitudine, iar argumentul lor, (j)sau (ejTs), densitatespectral de faz.


3/14

Dac funcia spectral este discret ea se mai numete i spectru de amplitudinecomplex. Corespunztor, i mrimile de caracterizare n coordonate polare se numescspectru de amplitudine, respectiv spectru de faz.

Pentru a analiza un proces stohastic staionar se poate utiliza, n continuare,noiunea de funciespectral, cu deosebirea c amplitudinile oscilaiilor componente suntvariabile aleatoare. n acest caz, spectrul unui semnal aleator staionar, x(t), va fi constituitprin distribuia valori medii ptratice(sau a varianelor pentru mx=0) n funcie defrecvene. Avnd n vedere c realizrile unei funciialeatoare sunt funcii neperiodice,analiza semnalului trebui realizat cu ajutorul integralei Fourier,obinndu-se astfeldensitatea spectral de amplitudine complex.

Funcia spectral (densitatea spectral de amplitudine complex) a unui semnaldeterminist neperiodic se determin cu relaia:

dtetxjX tj )()(

Reprezentarea semnalului n domeniul temporal se poate face sub forma

dejXtx tj)(2

1)(

n acest caz valoarea medie ptratic pe intervalul T (puterea medie a semnalului pe osarcinunitar) poate fi determinat astfel:

dtdejXtx

Tdttxtx

Tdttx

Tm

tj

TT

T

TTtx

)(2

1)(1

lim)()(1

lim)(1

lim2

2

2

)(2

djXjXT

ddtetxjXT T

tj

T)()(

2

11lim)()(

2

11lim

n relaia de mai sus s-a schimbat ordinea de integrare, iar cu X( j) s-a notatconjugate complex a transformatei Fourier.

Folosind proprietatea:

)()()( 2 jXjXjX

din relaia anterioar se obine:


4/14

djXdttx

)(2

1)( 22

Aceast relaie reprezint varianta teoremei Parseval pentru semnalele continueneperiodice, deterministe sau stohastice ergodice, i evalueaz energia semnalului fie ndomeniul temporal fie n domeniul frecvenial.

Un semnal aleator staionar, x(t), poate fi analizat cu ajutorul transformatei Fourierdoar dac satisface condiia de ergodicitate; n caz contrar nici partea real i nici parteaimaginar ale transformatei Fourier nu converg spre o valoare staionar. Deci n aceastsituaie nu prezintinteres descrierea unei singure realizri, motiv pentru care se impune o nou caracterizare,valabil pentru orice alt realizare a semnalului aleator x(t) neergodic.

Prin utilizarea conceptului de densitate spectral de amplitudine dar i a noiunii dedensitate spectral de putere (mrime opional n cazul semnalelor deterministe) se evitproblema convergenei, fiind aplicabile tuturor realizrilor unui proces stohastic.

Fie realizarea x(t) a unui proces stohastic staionar, care ncepe la t=- i continu

pn la t=+. Din cauza intervalului infinit de integrare, nu poate fi calculat transformataFourier, X(j), motiv pentru care se determin transformata Fourier pe axa real n care seindividualizeaz un interval de timp simetric, egal cu T.

Dac, prin definiie, se noteaz:

)(1

lim)( 2 jXT

ST

x

atunci, printr-un proces de trecere la limit, valoarea medie ptratic a semnalului x(t) nraport cu funcia X(j) se poate exprima sub forma:

Mrimea S() reprezint densitatea spectral a mediei ptratice a realizrii x(t) saudensitatea spectral de putere a semnalului iar mrimea X2 ( j) se numete densitatespectral de energie asemnalului.

Se observ c semnificaia ei fizic esteaceea a unei puteri medii elementare,ntruct integral acesteia pe tot domeniul pulsaiilor furnizeaz o valoare proporional cuputerea medie total, coninut n semnal.


5/14

Forma funcie Sx() reflect modalitatea n care este distribuit coninutul armonic

sau, mai exact, funcia Sx() exprim distribuia valorilor medii ptratice (varianelorpentru mx=0) ale unei anumite realizri din procesul stohastic n banda de frecvene.

Dimensiunea densitii spectrale Sx() depinde de natura realizrii x(t) ca partecomponent a procesului stohastic. Densitatea spectral Sx() stabilit pentru o anumitrealizare particular este valabil pentru ansamblul realizrilor unui proces staionar,deoarece deriv din modulul |X(j)| care, fiind independent de faz, este comun multor

transformate X(j) corespunztoare mai multor realizri x (t). n cazul proceselor staionare neergodice, densitatea spectral de putere Sx()

determinat pentru o anumit realizare particular este valabil pentru ansamblulrealizrilor numai cu un anumit grad de aproximare. Aproximaia apare din faptul cpentru fiecare realizarej a ansambluluiva exista densitatea spectral de putere S jx() corespunztoare realizrii xj(t), care suntdiferite de la o realizare la alta (caracter aleator). Deci pentru ntregul proces stohasticstaionar neergodic, densitatea spectral de putere Sx() se definete mai precis ca fiindmedia densitilor spectraleSjx() ale ansamblului realizrilor:

unde M este operatorul de mediere.

A doua definiie a densitii spectrale de putere (Relaiile Wiener - Hincin)

Definiia densitii spectrale de putere pentru cazul proceselor stohastice staionareeste foarteasemntoare cu cea utilizat pentru procesele staionare deterministe;diferena de fond const n faptul c n cazul proceselor stohastice staionare (neergodice)ea este obinut prin medierea densitilor spectrale corespunztoare realizrilor

ansamblului.Pe de alt parte, pentru a putea determinan acest fel densitatea spectral deputere, transformata Fourier trebuie s fie definit i, suplimentar, semnalul trebuie s aibputerea medie nul.

O definiie mai general, valabil att pentru cazul proceselor deterministestaionare ct i pentru procesele stohastice staionare, poate fi dat cu ajutorul funciei deautocorelaie. Astfel, dacse ine seama de expresia funciei de autocorelaie


6/14

atunci prin aplicarea transformatei Fourier direct se obine:

Notnd t+= se obine d=d, iar e-j(-t)= e-je-jt. Atunci:

adica:

Atunci funcia de autocorelaie poate fi exprimat sub forma:

Ultimele dou formulele sunt cunoscute ca fiind relaiile Wiener-Hincin.Deoarece Sx() i Rxx() sunt funcii pare, relaiile anterioare pot fi exprimate i sub

forma:

n locul densitii spectrale de putere, exprimat prin Sx(), se folosete mrimeaadimensional normalizate sub forma:

Condiia de echivalen a celor dou definiii

Dup cum s-a artat, pentru un proces stohastic staionar, prima definiie adensitii spectral de putere a fost formulat sub forma:


7/14

Lema: Pentru o funcie arbitrar f(.) are loc relaia de integrare:

DemonstraiePrin schimbarea de variabil =t-s, ds=-d se obine :

Noua regiune de integrare n planul -t este prezentat mai jos:

Dac se schimb ordinea de integrare atunci pentru [T,0] limitele de integrareale variabilei t devin T/2 respectiv + T/2; de asemenea, pentru (0,T] limitele deintegrare ale variabilei t sunt T/2i respectiv T/2.

Se obine:

Densitatea spectral de putere a unei realizri a procesului stohastic poate fiexprimat astfel:

Atunci conform primei definiii a densitii spectrale de putere se poate scrie:

Conform lemei demonstrat anterior relaia de mai sus este echivalent cu:


8/14

Concluzie: Cele dou definiii sunt echivalente numai n condiiile n care ultimultermen al egaliti este nul, adic funcia de autocorelaie descrete suficient de rapid.Acest fapt are loc totdeauna atunci cnd semnalul nu conine componente periodice.

Pentru funcia de intercorelaie a dou semnale aleatoare x(t) i y(t), definit subforma

se obine densitatea interspectral de putere, Sxy(j):

adic:

i respectiv

ObservaieDeoarece funcia de intercorelaie nu este o funcie par atunci densitatea

interspectral de putere este o funcie complex.

Exemple de semnale aleatoare special

Procese stohastice de tip zgomot alb. Caracterizare frecvenialPentru descrierea i caracterizarea proceselor stohastice sub aspectul structurii

interne se folosesc doi parametrii fundamentali: densitatea spectral de putere i funcia deautocorelaie.Zgomotul alb este un semnal aleator staionar centrat, M{x(t)}=0.Acest model matematicse poate defini ca un semnal aleator cu spectru alb, adic cu aceeai valoare a densitiispectral de putere pentru toate frecvenele.


9/14

n fig.a. se prezint graficul densitii spectrale de putere S(), reprezentat printr-o

dreapt care evideniaz faptul c toate pulsaiile au aceeai ordonat. n acest caz,densitatea spectral caracterizeaz un proces de band larg.

Acest proces stohastic este denumit zgomot alb, analog cu lumina alb cu spectrulvizibil aproximativ uniform, fiind sugerat imaginea luminii albe compuse dintr-o mulimede radiaii monocromatice cu densiti spectrale egale.

Deoarece Sx()=S0, atunci funcia de autocorelaie are forma:

reprezentat n fig.b., n care lipsete interdependena ntre valorile anterioare iposterioare ale semnalului, timpul de corelare fiind nul iar funcia de autocorelaiereprezent o funcie impuls.

Acesta este un semnal pur aleator.Se pune problema dac exist astfel de procese staionare. Dac x(t) este un semnal

aleator continuu, atunci conform egalitii Parseval, puterea unui astfel de semnal esteinfinit deci el nu poate fi realizat practic, necesitnd un generator de putere infinit.

Aceste dificulti eseniale au condus la ncercarea de a aproxima zgomotul albcontinuu de band nelimitat cu procese stohastic avnd band finit.

Funcia de densitate spectral de putere a unui semnal, x(t), de acest tip se poateexprima sub forma:

i este reprezentat n figura de mai jos.


10/14

Funcia de autocorelaie se deduce aplicnd transformata Fourier invers:

i are reprezentarea n fig.b.

Realizarea fizic a unui semnal cu funcia de densitate spectral de putere arpresupune existena unui filtru trece-jos ideal, care s atenueze complet componentele cupulsaii superioare valorii limit c. Filtrele trece-jos reale atenueaz considerabilfrecvenele nalte ns nu pot conduce la asemenea variaii discontinue ale funciei dedensitate spectral. n practic zgomotele albe sunt frecvent aproximate cu semnalecaracterizate de funcia densitate spectral ca n figura de mai jos.

Matematic, aceste funcii se exprim prin relaiile:

sau

n care = 1/TF este un coeficient care indic lrgimea benzii de frecvene pentru funcia dedensitate spectral. Variaiile n timp ale unor asemenea semnale cu coninut diferit defrecvene suntreprezentate n figura de mai jos.


11/14

Semnalul fiind centrat, adic mx =0, integrnd densitatea spectral de putere pe

ntregul domeniul de frecvene, se deduce dispersia:

Substituind aceast valoare n relaia densitii spectrale de putere aceasta devine:

Dac se are n vedere c

atunci din relaia anterioar se poate calculafuncia de autocorelaie a semnalului:

n baza acestei relaii se pot reprezenta funciile de autocorelaie ale semnalelor(corelogramele) ca n figura de mai jos. Cu ct parametrul care determin banda defrecvene a semnalului va fimai mare, cu att funcia de autocorelaie va fi mai apropiat defuncia impuls.


12/14

De asemenea n privina legturii dintre aspectul semnalului i funcia densitatespectral de putere se constat c pentru mrimile care variaz mai lent -1 - frecvenelereprezentate n densitatea spectral sunt mai mici (graficul densitii spectrale de puteremai ngust) iar funcia de autocorelaie Rx() descrete mai lent la creterea timpului decorelare .

Dac se are n vedere faptul c

atunci n cazul semnalelor staionare ergodice de medie nenul, mx 0 , rezult ctevaproprietiale funciei de autocorelaie:

Cunoscnd valorile acestei funcii, determinat experimental cu ajutorul

corelatoarelor automate (analogice sau numerice), se pot determina puterea total a

semnalului, Rxx(0), valoarea medie i dispersia 2x=Rxx(0)-Rxx().

Pe lng aceste informaii privind parametrii procesului stohastic formacorelogramei furnizeaz unele indicaii asupra coninutului n frecvene. Astfel, pentru unproces aleator staionar ideal (zgomot alb de band infinit) corelograma are aspectul unui

impuls Dirac. n cazul unui proces aleator staionar real de band limitat, n funcie delrgimea acesteia se obine o form mai apropiat sau nu de cazul ideal.

Cnd procesul stohastic este neperiodic, pentru valori mari ale timpului de corelare,, funcia de autocorelaie tinde ctre ptratul valorii medii, (mx)2, (figura anterioar), iar ncazul n care valoarea medie este nul aceasta va tinde ctre zero.

ns, atunci cnd n procesul stohastic este ascuns un fenomen cu variaie periodic,corelograma va tinde, pentru valori mari ale timpului de corelare, , la o funcie periodic


13/14

de (figura de mai jos). Pe baza acestor performane ale funciei de autocorelaie, Rxx(),pot fi evideniate sau extrase semnale periodice ascunse ntr-un proces stohastic staionar.

n acest mod se pot elabora metodologii de diagnosticare vibroacustic a mainilor

i utilajelor,semnalele periodice fiind determinate de anumite elemente componente aleacestora.


14/14

Procese stohastice stationare

Documents

Transcript of Procese stohastice stationare