PROBLEME
Studiul de caz nr. 1
O societate comercială producătoare de confecţii de îmbrăcăminte se
aprovizionează cu stofă de la doi furnizori F1 şi F2. Societatea a achiziţionat în luna
septembrie 1500 metri liniari de stofă, după cum urmează:
600 de metri liniari de stofă de la furnizorul F1;
900 metri liniari de stofă de la furnizorul F2.
La recepţia mărfurilor s-a constatat faptul că 195 metri liniari de stofă nu
corespund din punct de vedere calitativ, stabilindu-se totodată că rebuturile provin de
ambii furnizori, după cum urmează:
90 metri liniari de stofă provin de la furnizorul F1;
105 metri liniari de stofă provin de la furnizorul F2.
Pe baza datelor menţionate, conducerea societăţii a decis să renunţe la colaborarea
cu furnizorul F1, motivând această opţiune prin slaba calitate a materialelor furnizate.
Analiza deciziei adoptate de către această societate poate fi realizată cu ajutorul
modelelor econometrice (ex: testul diferenţei dintre două medii, testul χ2, metoda
coeficientului de asociere al lui Yulle).
Rezolvare:
Pentru fundamentarea econometrică a deciziei adoptate de către conducerea
societăţii este necesar să se sistematizeze informaţiile cunoscute într-un tabel de forma:
Tabelul 1
Furnizori (xi)Calitatea materialelor (yj) Total (Ni)Nesatisfăcătoare Satisfăcătoare
F1 90 510 600F2 105 795 900
Total (Nj) 195 1305 (nij) 1500 (N)
variabila independentă;
x1 = furnizorul F1
x2 = furnizorul F2;
variabila dependentă;
y1 = materiale nesatisfăcătoare din punct de vedere calitativ (rebuturi);
y2 = materiale satisfăcătoare din punct de vedere calitativ;
nij = frecvenţele condiţionate ale variabilei Y;
exemplu: n11 = materiale nesatisfăcătoare trimise de furnizorul F1;
n22 = materiale bune trimise de furnizorul F2;
Ca urmare a sistematizării datelor a rezultat o serie statistică bidimensională cu
două variabile binare X şi Y, rezultând totodată două distribuţii marginale:
şi două distribuţii condiţionate ale variabilei Y (calitatea produselor) în funcţie de
furnizori:
Ni = frecvenţele marginale ale variabilei X;
Nj = frecvenţele marginale ale variabilei Y;
= numărul total al observaţiilor.
Studiind modul de distribuire al frecvenţelor nij se pot face următoarele observaţii:
a) există o independenţă totală între cele două variabile, dacă:
= constant;
= constant;
b) există o dependenţă strictă între cele două variabile dacă frecvenţele
condiţionate nij se distribuie numai pe diagonala principală a tabelului (corelare pozitivă,
x1 cu y1 şi x2 cu y2), pentru celelalte elemente ale tabelului aceste frecvenţe fiind egale cu
zero;
c) există o dependenţă statistică dacă frecvenţele condiţionate n ij se distribuie
într-un mod diferit de cele două cazuri amintite anterior (a şi b); în această situaţie,
analiza statistică va conduce la una dintre următoarele concluzii:
acceptarea variantei a (independenţă totală între cele două variabile);
acceptarea variantei c (dependenţă slabă, medie sau puternică).
Analizând datele din tabelul anterior (Tabelul 1) se poate observa faptul că
distribuţia frecvenţelor condiţionate nij se încadrează în varianta c. Astfel, pentru a
analiza decizia adoptată de către conducerea societăţii considerate este necesar să
utilizăm testul diferenţei dintre două medii.
Aplicarea acestui test presupune parcurgerea următoarelor etape:
I. determinarea procentului mediu al materialelor necorespunzătoare din punct de
vedere calitativ pe fiecare furnizor în parte
II. calculul dispersiilor pentru fiecare dintre cei doi furnizori
III. alegerea pragului de semnificaţie ά şi preluarea valorii acestuia din tabelul
distribuţiei respective
ά = pragul de semnificaţie (riscul) cu ajutorul căruia se alege decizia corectă (de
regulă, în economie se lucrează cu un prag de semnificaţie de 0,05 (5%) sau
cel mult de 0,01 (1%).
tά = argumentul distribuţiei normale, dacă n ≥ 30 sau argumentul distribuţiei
Student, dacă n < 30;
Pentru exemplul considerat:
ά = 0,05 tα = t0,05 = 1,96.
IV. compararea valorii empirice a variabilei tc cu valoarea sa teoretică t0,05
→ variabilele sund dependente
→ variabilele sund independente
tc = 1,84 < t0,05 = 1,96
V. interpretarea rezultatelor testului
Deoarece tc = 1,84 < t0,05 = 1,96 putem afirma – cu o probabilitate de 95% – faptul
că între calitatea materialelor livrate de către cei doi furnizori F1 şi F2 nu există o
diferenţă semnificativă. În aceste condiţii, decizia conducerii societăţii de a renunţa la
colaborarea cu furnizorul F1 datorită unei calităţi mai slabe a produselor livrate nu este
justificată.
Studiul de caz nr. 2
Utilizând datele menţionate în cazul exemplului nr. 1, putem stabili relaţia
existentă între cele două variabile (X = furnizori şi Y = calitatea materialelor) şi implicit
justeţea deciziei conducerii societăţii considerate de a renunţa la colaborarea cu
furnizorul F1, cu ajutorul testului χ2.
Rezolvare:
Aplicarea testului χ2 presupune parcurgerea următoarelor etape:
I. stabilirea pragului de semnificaţie α şi alegerea valorii teoretice χ2ά;v
ά = pragul de semnificaţie;
v = (k – 1)(m – 1) → numărul gradelor de libertate
unde:
m = numărul de grupe în funcţie de variabila Y (yj, j = );
k = numărul de grupe în funcţie de variabila X (x i, i = ), preluat din tabela
distribuţiei χ2 în funcţie de pragul de semnificaţie ά şi de numărul gradelor de
libertate v.
ά = 0,05
v = (2 – 1)(2 – 1) = 1
În acest caz, valoarea teoretică χ2ά;v este:
χ20,05;1 = 3,84.
II. determinarea frecvenţelor teoretice nij* (frecvenţele teoretice în cazul
independenţei totale a variabilelor)
III. determinarea valorii empirice a variabilei aleatoare χ2c
IV. compararea valorii empirice a variabilei aleatoare χ2c cu valorea teoretică χ2
ά;v
χ2c = 3,54 < χ2
0,05;1 = 3,84 → variabile X şi Y sunt independente
V. interpretarea rezultatelor testului
Pe baza calculelor menţionate anterior, se poate afirma faptul că cele două
variabile X şi Y sunt independente şi, ca urmare, calitatea materialelor livrate nu
depinde de tipul furnizorilor. Pe baza acestor fapte, se poate concluziona faptul că
decizia societăţii de a renunţa la colaborarea cu furnizorul F1 datorită unei calităţi mai
slabe a materialelor furnizate nu este justificată.
Studiul de caz nr. 3
Se consideră situaţia societăţii producătoare de confecţii de îmbrăcămine
menţionată în exemplul nr. 1. Decizia conducerii acestui agent economic de a renunţa la
colaborarea cu furnizorul F1 datorită calităţii nesatisfăcătoare a materialelor furnizate
poate fi analizată şi cu ajutorul metodei coeficientului de asociere al lui Yulle.
Rezolvare:
Pe baza datelor menţionate în exemplul nr. 1 şi sintetizate în tabelul 1, metoda
coeficientului de asociere al lui Yulle poate fi aplicată parcurgând următoarele etape:
I. determinarea valorii coeficientului de asociere
Coeficientul de asociere al lui Yulle este definit în intervalul [-1;1], având
următoarea semnificaţie:
θ = -1 → corelaţie strict negativă între variabile;
θ = 0 → independenţă între variabile;
θ = 1 → corelaţie strict pozitivă între variabile.
II. determinarea abaterii medii pătratice
III. determinarea valorii raportului
IV. stabilirea pragului de semnificaţie α şi alegerea valorii teoretice tα
ά = 0,05
tα = 1,96
V. compararea valorii empirice cu valorea teoretică tα
< t0,05 = 1,96
VI. interpretarea rezultatelor testului
Pe baza inegalităţii menţionate la punctul V, putem afirma – cu o probabilitate de
95% – faptul că valoarea empirică θc nu este semnificativ diferită de zero, astfel că se
cele două variabile X şi Y sunt independente. Astfel, decizia conducerii societăţii
considerate de a renunţa la colaborarea cu furnizorul F1 datorită unei calităţi mai slabe a
materialelor furnizate poate fi considerată ca fiind nefondată.
Studiul de caz nr. 4
Se consideră o societate comercială cu activitate de producţie care, în urma unor dificultăţi
economice, este nevoită să îşi reorganizeze activitatea şi să renunţe la o parte din angajaţii săi. Situaţia
disponibilizărilor efectuate de către acest agent economic este sintetizată – în funcţie de tipul şi gradul
de calificare a personalului – în tabelul următor:
Tip de personal
(xi)
Calificarea profesională a persoanelor concediate (yj) Total persoane
(Ni)Necalificaţi Calificare medie Calificare
superioarăPersonal direct
productiv275 125 100
300 150 50 500Personal indi-rect productiv
165 75 60150 50 100 300
Personal administrativ
110 50 40100 50 50 200
Total persoane (Nj)
550 250 200 1000
Cu ajutorul testul χ2 se poate stabili dacă disponibilizările de personal au fost
făcute în mod judicios, parcurgând în acest sens următoarele etape:
I. Stabilirea variabilelor
→ tipul personalului;
→ treptele de calificare a personalului concediat;
II. Stabilirea valorii teoretice a variabilei χ2ά;v
ά = 0,05 (5%) → pragul de semnificaţie (riscul);
v = (k – 1)(m – 1) = (3 – 1)(3 – 1) = 4
χ20,05;4 = 9,49.
III. Calculul frecvenţelor teoretice nij*
IV. Calculul valorii empirice a variabilei aleatoare χ2c
V. Compararea valorii empirice χ2c cu valoarea sa teoretică χ2
ά;v
χ2c = 72 > χ2
0,05;4 = 9,49
VI. Interpretarea rezultatelor testului
Deoarece valoarea empirică a variabilei aleatoare χ2c este mai mare decât valoarea
teoretică χ2ά;v, putem afirma faptul că cele două variabile X şi Y sunt dependente
statistic, ceea ce înseamnă că distribuţia persoanelor disponibilizate ţine cont de tipul
personalului şi de gradul de calificare a acestuia.
Ţinând cont de constatările anterioare se poate afirma faptul că disponibilizarea
personalului a fost făcută corespunzător. În acest sens, putem menţiona faptul că în
numărul total al persoanelor concediate predomină personalul necalificat, urmat de
personalul cu o calificare medie şi – în final – de cel cu o calificare superioară.
Studiul de caz nr. 5
Pentru a exemplifica metodologia de calcul utilizată în cazul asocierii dintre o
variabilă independentă şi o variabilă numerică dependentă, vom considera cazul firmei
Hewlett – Packard. În momentul introducerii în procesul de fabricaţie a modelului de
imprimantă HP LaserJet 1020, firma considerată a fost nevoită să aleagă între două
modele de role de tragere a hârtiei R1 şi R2, cele două modele având preţuri sensibil
egale, diferenţa dintre ele fiind făcută de fiabilitate. În acest sens, au fost efectuate o
serie de teste menite să aprecieze uzura fiecărui tip de rolă de tragere în funcţie de
numărul colilor tipărite (gradul de uzură la 10000 coli printate). Pentru aceste încercări
au fost utilizate loturi de câte 100 role de tragere din fiecare model. Rezultatele testelor
efectuate pot fi sintetizate într-un tabel de forma:
Tabelul 2Rolă de tragere
(xi, i = )
Gradul de uzură al rolelor la 10000 coli printate(yj, j = ) Total
(Ni)10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 - 60R1 10 20 20 30 20 100R2 20 25 30 15 10 (nij) 100
Total(Nj)
30 45 50 45 30 200
Cu ajutorul modelelor econometrice (metoda analizei variaţiei, testul χ2, tesul
diferenţei dintre două medii) se poate stabili dacă alegerea unui anumit model de rolă de
tragere a hârtiei este posibilă exclusiv pe baza datelor menţionate anterior, iar în cazul în
care această decizie poate fi adoptată se poate stabili modelul de rolă ce face faţă cel mai
bine cerinţelor firmei.
Rezolvare:
I. Definirea variabilelor
X → modelul de rolă de tragere a hârtie → variabila nominală;
Y → gradul de uzură al rolelor la 10000 coli printate → variabila numerică;
II. Stabilirea relaţiei dintre variabile
Studiind modul de distribuire al frecvenţelor nij se poate constata faptul că este
posibil să existe o dependenţă statistică între cele două variabile (vezi exemplul nr. 1),
situaţie în care analiza econometrică va conduce la una dintre următoarele concluzii:
acceptarea variantei a (independenţă totală între cele două variabile);
acceptarea variantei c (dependenţă slabă, medie sau puternică).
III. Stabilirea rezistenţei medii la uzură şi a dispersiei pentru primul model de rolă de
tragere a hârtiei
Pentru a determina rezistenţa medie la uzură şi dispersia pentru modelul de rolă
R1, informaţiile cunoscute vor fi sintetizate într-un tabel de forma:
Tabelul 3Gradul de uzură al rolei de tragere R1
yj n1j
10 – 20 15 10 - 3 - 30 9020 – 30 25 20 - 2 - 40 8030 – 40 35 20 - 1 - 20 2040 – 50 45 30 0 0 050 – 60 55 20 1 20 20Total - 100 - - 70 210
k = mărimea intervalului de grupare;
k = 10;
yj = centrul intervalelor de grupare;
a = valoarea centrului de interval de grupare cu frecvenţa (n1j) cea mai mare;
a = 45;
rezistenţa medie la uzură a rolei de tragere R1
dispersia pentru rola de tragere R1
IV. Stabilirea rezistenţei medii la uzură şi a dispersiei pentru cel de al doilea model
de rolă de tragere a hârtiei
Tabelul 4Gradul de uzură al rolei de tragere R2
yj n2j
10 – 20 15 20 - 2 - 40 8020 – 30 25 25 - 1 - 25 2530 – 40 35 30 0 0 040 – 50 45 15 1 15 1550 – 60 55 10 2 20 40Total - 100 - - 30 160
k = 10; a = 35;
rezistenţa medie la uzură a rolei de tragere R2
dispersia pentru rola de tragere R2
V. Determinarea rezistenţei medii la uzură şi a dispersiei pe ansamblul celor două
modele de role de tragere a hârtiei (distribuţia marginală a variabilei Y)
Tabelul 5
Gradul de uzură al rolelor de tragere
yj Nj
10 – 20 15 30 - 2 - 60 12020 – 30 25 45 - 1 - 45 4530 – 40 35 50 0 0 040 – 50 45 45 1 45 4550 – 60 55 30 2 60 120Total - 200 - 0 330
k = 10; a = 35;
rezistenţa medie la uzură a celor două modele de role de tregere a hârtiei
dispersia ce caracterizează cele două modele de role de tragere a hârtiei
VI. Determinarea varianţelor (varianţa totală, varianţa dintre grupe, varianţa
reziduală)
varianţa totală V02
varianţa dintre grupe Vx2
varianţa reziduală Vu2
VII. Stabilirea semnificaţiei rezultatelor cu ajutorul testului Fisher – Snedecor
Pentru a stabili dacă rezultatele obţinute sunt semnificative este necesar să
verificăm următoarea relaţie:
Fc ≥ Fά; v1; v2
Fά;v1;v2 → valoarea teoretică preluată din tabela distribuţiei Fisher – Snedecor în
funcţie de pragul de semnificaţie ά şi numărul gradelor de libertate v1 =
k – 1 şi v2 = N – k (k = 2).
F0,05;1;198 = 3,89.
Fc = valoarea empirică a variabilei Fisher – Snedecor;
Fc = 11,423 ≥ Fά;v1;v2 = 3,89 → inegalitatea se verifică;
Cu ajutorul testului Fisher – Snedecor am stabilit faptul că rezultatele obţinute
sunt semnificative pentru problema considerată, astfel că este indicat să se continue
rezolvarea acestui studiu de caz până la identificarea soluţiei optime a acestuia (alegerea
celui mai bun model de rolă de tragere a hârtiei).
VIII. Determinarea contribuţiei relative a factorului esenţial X – modelul de rolă de
tragere a hârtiei – la variaţia totală
IX. Determinarea raportului de corelaţie empirică
X. Interpretarea rezultatelor testului
După cum se poate observa din calculele anterioare, modelul de rolă de tragere a
hârtiei nu este un factor care să afecteze în mod decisiv gradul de uzură al acestor
componente (contribuţia factorului esenţial X – modelul de rolă e tragere a hârtiei – la
variaţia totatlă este de numai 5,45%). Acest rezultat este confirmat de şi către valoarea
raportului de corelaţie empirică R, a cărui mărime (0,233) tinde către zero, ceea ce
înseamnă că între cele două variabile (modelul de rolă de tragere a hârtiei şi gradul de
uzură al acestora la 10000 coli printate) există o corelaţie foarte slabă.
Pe baza acestor constatări, putem afirma faptul că nu este posibilă alegerea unui
anumit model de rolă de tragere a hârtiei pe baza gradului de uzură al respectivei
componente la 10000 coli printate. În acest sens, se recomandă ca opţiunea firmei pentru
un anumit model de rolă să fie bazată pe alte criterii de alegere.
Observaţie: În cazul studiilor de caz ce se referă la asocierile dintre o variabilă
alternativă independentă şi o variabilă numerică dependentă pot fi utilizate şi alte
metode şi procedee statistice, precum: testul χ2 sau testul diferenţei dintre două medii,
însă volumul de muncă implicat de acestea este semnificativ mai mare.
Studiul de caz nr. 6
Analiza corelaţiei dintre două variabile numerice poate fi exemplificată prin
studierea relaţiei existente între valoarea mijloacelor de producţie şi valoarea cifrei
anuale de afaceri a unor societăţi comerciale cu activitate de producţie. În acest sens,
poate fi utilizat un eşantion format din 200 agenţi economici pentru care au fost studiate
cele două caracteristici menţionate anterior. Rezultatele obţinute în urma acestui studiu
statistic pot fi sistematizate într-un tabel de forma:
Tabelul 6
Grupe de societăţi în funcţie de valoarea
mijloacelor de producţie
(mii RON) (xi)
Grupe de societăţi în funcţie de valoarea cifrei de afaceri în anul 2005
(mii RON) (yj)Total(Ni)
0 – 5050 – 100
100 - 150
150 – 200
200 – 250
250 - 300
Sub 10 5 3 2 - - - 1010 – 20 3 8 5 4 - - 2020 – 30 - 5 12 5 3 - 2530 – 40 - 5 10 20 15 10 6040 – 50 - - 11 13 15 11 50Peste 50 - - - 5 10 20 35
Total (Nj) 8 21 40 47 43 41 200
Cu ajutorul modelelor econometrice, pe baza datelor menţionate anterior, se poate
stabili dacă – pentru eşantionul considerat – există o relaţie între cei doi indicatori
economico – financiari ce fac obiectul analizei (se poate stabili dacă valoarea anuală a
cifrei de afaceri este determinată în mod direct de valoarea mijloacelor de producţie de
care dispune fiecare societate în parte).
Rezolvare:
I. Definirea variabilelor
X → valoarea mijloacelor de producţie → variabilă factorială;
Y → valoarea cifrei de afaceri → variabilă rezultativă.
Datele acestei probleme compun o serie bidimensională, analiza acesteia facându-
se după regulile menţionate în cazul asocierii a două variabile alternative. După cum se
poate observa frecvenţele nij înregistrează valorile cele mai mari de-a lungul diagonalei
principale a tabelului ceea ce înseamnă că între cele două variabile X şi Y se manifestă o
legătură statistică directă. Analiza unei astfel de legături statistice poate fi realizată cu
ajutorul mai multor procedee, precum metoda analizei variaţei şi metoda regresiei.
Pentru acest exemplu vom utiliza metoda analizei variaţiei, aplicând aceleaşi
reguli ca şi în cazul asocierii dintre o variabilă alternativă independentă şi o variantă
numerică dependentă.
II. Calculul mediilor ( = cifra de afaceri medie pentru fiecare grupă de societăţi)
şi a dispersiilor ( ) pentru fiecare grupă de societăţi (criteriul de grupare fiind
acela al valorii mijoacelor de producţie)
calculul cifrei de afaceri medii şi a dispersiei pentru acele societăţi ce dipun de
mijloace de producţie cu o valoare mai mică de 10 mii RON;
Tabelul 7Cifra de afaceri
(mii RON)yj n1j
0 – 50 25 5 0 0 050 – 100 75 3 1 3 3100 – 150 125 2 2 4 8
Total - 10 - 7 11
yj = centrul intervalelor de grupare;
k = mărimea intervalului de grupare; k = 50;
a = valoarea centrului de interval de grupare cu frecvenţa (n1j) cea mai mare = 25;
Cifra de afaceri medie
= 60 mii RON/societate comercială
Dispersia
= 1525
calculul cifrei de afaceri medii şi a dispersiei pentru acele societăţi ce dipun de
mijloace de producţie cu o valoare cuprinsă între 10 şi 20 mii RON;
Tabelul 8Cifra de afaceri
(mii RON) yj n2j
0 – 50 25 3 -1 - 3 350 – 100 75 8 0 0 0100 – 150 125 5 1 5 5150 – 200 175 4 2 8 16
Total - 20 - 10 24
k = 50; a = 75;
Cifra de afaceri medie
= 100 mii RON/societate comercială
Dispersia
= 2375
calculul cifrei de afaceri medii şi a dispersiei pentru acele societăţi ce dipun de
mijloace de producţie cu o valoare cuprinsă între 20 şi 30 mii RON;
Tabelul 9Cifra de afaceri
(mii RON) yj n3j
50 – 100 75 5 - 1 - 5 5100 – 150 125 12 0 0 0150 – 200 175 5 1 5 5200 – 250 225 3 2 6 12
Total - 25 - 6 22
k = 50; a = 125;
Cifra de afaceri medie
= 137 mii RON/societate comercială
Dispersia
= 2056
calculul cifrei de afaceri medii şi a dispersiei pentru acele societăţi ce dipun de
mijloace de producţie cu o valoare cuprinsă între 30 şi 40 mii RON;
Tabelul 10Cifra de afaceri
(mii RON) yj n4j
50 – 100 75 5 - 2 - 10 20100 – 150 125 10 - 1 - 10 10150 – 200 175 20 0 0 0200 – 250 225 15 1 15 15250 – 300 275 10 2 20 40
Total - 60 - 15 85
k = 50; a = 175;
Cifra de afaceri medie
= 187,5 mii RON/societate comercială
Dispersia
= 3385,42
calculul cifrei de afaceri medii şi a dispersiei pentru acele societăţi ce dipun de
mijloace de producţie cu o valoare cuprinsă între 40 şi 50 mii RON;
Tabelul 11Cifra de afaceri
(mii RON) yj n5j
100 – 150 125 11 - 2 - 22 44150 – 200 175 13 - 1 - 13 13200 – 250 225 15 0 0 0250 – 300 275 11 1 11 11
Total - 50 - - 24 68
k = 50; a = 225;
Cifra de afaceri medie
= 201 mii RON/societate comercială
Dispersia
= 2824
calculul cifrei de afaceri medii şi a dispersiei pentru acele societăţi ce dipun de
mijloace de producţie cu o valoare mai mare de 50 mii RON;
Tabelul 12Cifra de afaceri
(mii RON) yj n6j
150 – 200 175 5 - 2 - 10 20200 – 250 225 10 - 1 - 10 10250 – 300 275 20 0 0 0
Total - 35 - - 20 30
k = 50; a = 275;
Cifra de afaceri medie
= 246,43 mii RON/societate comercială
Dispersia
= 1326,62
III. Determinarea cifrei de afaceri medie ( ) şi a dispersiei aferente acesteia
pentru întreg eşantionul analizat
Tabelul 13Cifra de afaceri
(mii RON) yj Nj
0 – 50 25 8 - 3 - 24 7250 – 100 75 21 - 2 - 42 84100 – 150 125 40 - 1 - 40 40150 – 200 175 47 0 0 0200 – 250 225 43 1 43 43250 – 300 275 41 2 82 164
Total - 200 - 19 403
k = 50; a = 175;
Cifra de afaceri medie
= 179,75 mii RON/societate comercială
Dispersia
= 5015
IV. Calculul varianţelor
varianţa totală
varianţa dintre grupe
varianţa reziduală
V. Stabilirea semnificaţiei rezultatelor cu ajutorul testului Fisher – Snedecor
Fc ≥ Fά; v1; v2
F0,05;1;198 = 3,89
195,35 ≥ 3,89
Cu ajutorul testului Fisher – Snedecor am stabilit faptul că rezultatele obţinute
sunt semnificative pentru problema considerată, astfel că este indicat să se continue
rezolvarea acesteia pentru a stabili cât mai exact care este relaţia între cele două
variabile numerice (valoarea mijloacelor de producţie şi cifra de afaceri).
VI. Determinarea contribuţiei relative a variabilei X – valoarea mijloacelor de
producţie – la variaţia totală a variabilei Y – cifra de afaceri
VII. Determinarea raportului de corelaţie empirică
VII. Interpretarea rezultatelor testului
Pe baza demonstraţiei anterioare putem stabili faptul că valoarea mijloacelor de
producţie este un factor ce influenţează în mare măsură cifra de afaceri anuală a firmelor
analizate (contribuţia relativă a factorului X – valoarea mijloacelor de producţie – la
variaţia cifrei de afaceri fiind de aproximativ 50%). De asemenea, valoarea raportului de
corelaţie empirică (0,705) demonstrează faptul că între cele două variabile numerice X –
valoarea mijloacelor de producţie şi Y – valoarea cifrei de afaceri există o dependeţă
ridicată.
Studiul de caz nr. 7
Se consideră următoarea situaţie a înzestrării cu linii moderne de producţie a unui eşantion de
1000 societăţi comerciale din domeniul panificaţiei în perioada 1993 – 2005:
Tabelul 14Anul Numărul de linii moderne de producţie
la 1000 de societăţi comerciale1993 77,21994 79,11995 81,11996 84,81997 85,11998 86,81999 91,32000 95,22001 98,42002 97,72003 100,42004 104,72005 114,2
Pe baza informaţiilor menţionate anterior se poate stabili un model aditiv cu două
componente prin care să fie descris fenomenul studiat (evoluţia înzestrării cu linii de
producţie moderne) şi pot fi estimate componentele acestui model.
Rezolvare:
I. Reprezentarea grafică a datelor
Evoluţia înzestrării cu linii de producţie moderne a societăţilor din panificaţie în perioada 1993 - 2005
0
20
40
60
80
100
120
1993
19941995
19961997
1998
19992000
20012002
20032004
2005
Anul
Lin
ii d
e p
rod
ucţ
ie m
od
ern
e la
100
0 so
ciet
ăţi
După cum se poate observa din tabelul de mai sus şi din graficul anterior, în cei
13 ani supuşi observaţiei, gradul de înzestrare cu linii de producţie moderne a
societăţilor comerciale din domeniul panificaţiei a înregistrat o creştere permanentă şi
relativ constantă. Astfel, putem observa faptul că reprezentarea grafică a acestei evoluţii
corespunde în mare parte cu reprezentarea unei drepte. Pe baza acestei concluzii putem
deduce modelul ce caracterizeaza evoluţia înzestrării cu linii de producţie moderne a
firmelor de panificaţie în perioada considerată:
yt = f(t) + ut
unde:
yt = numărul de linii de producţie moderne la 1000 de societăţi comerciale din
domeniul panificaţiei;
f(t) = componenta trend, descrisă de o ecuaţie de forma:
ut = variabila reziduală.
II. Estimarea componentelor modelului
= estimarea trendului;
= estimarea variabilei reziduale;
Estimarea componentei trend poate fi realizată cu ajutorul metodei celor mai
mici pătrate. Această metodă presupune minimizarea funcţiei următoare:
Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din:
Tabelul 15Anul (t) yt t2 yt ∙ t
1 77,2 1 77,22 79,1 4 158,2
3 81,1 9 243,34 84,8 16 339,25 85,1 25 425,56 86,8 36 520,87 91,3 49 639,18 95,2 64 761,69 98,4 81 885,610 97,7 100 97711 100,4 121 1104,412 104,7 144 1256,413 114,2 169 1484,691 1196 819 8872,9
Pentru a putea estima parametrii modelului a fost utilizat pachetul de
programe Eviews cu ajutorul căruia au fost obţinute următoarele rezultate:
Dependent Variable: yt
Method: Least Squares (metoda celor mai mici pătrate)Sample: 1993 – 2005Included observations: 13
Variable CoefficientSemnif.
ind.Std.
ErrorSemnif.
ind.t –
StatisticSemnif. ind.
Prob
C 72,7346 1,386 52,4785 0,000 p( )t 2,7522 0,1746 15,7612 0,000 p( )
R-squared 0,9576 R2 Mean dependent
var92,0000
Adjusted R-squared
0,9537 Rc2 S.D. dependent
var10,9530 sy
S.E. of regression
2,3557Akaike info
criterion4,6922 AIC
Sum 61,0441 Schwarz 4,7791 SC
squared resid
criterion
Log likelihood
-28,4994 L F-statistic 248,4160 Fc
Durbin-Watson
stat1,2079 d Prob (F-statistic) 0,0000 P(F)
Pe baza acestor parametrii au fost calculate valorile estimate ale variabilei y şi
cele ale variabilei reziduale ut.
Valorile acestor variabile sunt prezentate în tabelul următor, tabel ce a fost elaborat cu ajutorul
pachetului de programe EViews.
Actualyt
Fitted Residual Residual Plot(graficul reziduurilor)
77,2 75,4868 1,7132 . *.79,1 78,2390 0,8610 . * .81,1 80,9912 0,1088 . * .84,8 83,7437 1,0566 . * .85,1 86,4956 -1,3956 . * .86,8 89,2478 -2,4478 * .91,3 92,0000 -0,7000 . * .95,2 94,7522 0,4478 . * .98,4 97,5044 0,8956 . * .97,7 100,2566 -2,5566 * .100,4 103,0088 -2,6088 * .104,7 105,7610 -1,0610 . * .114,2 108,5132 5,6868 . . *77,2 75,4868 1,7132 . *.
III. Testarea semnificaţiei parametrilor şi a modelului
a) dispersia variaţiei reziduale
unde:
T = numărul de termeni ai seriei;
T = 13;
k = numărul variabilelor explicative;
k = 1.
b) abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori
ά = 0,01
v = n – k – 1 = 13 – 1 – 1 = 11
t0,01;11 = 3,106.
După cum se poate observa, pentru valoarea considerată a pragului de semnifica-
ţie (ά = 0,01), cei doi estimatori înregistrează valori semnificativ diferite de zero.
c) valoarea raportului de corelaţie
Pentru a verifica semnificaţia raportului de corelaţie calculat anterior va fi utilizat
testul Fisher – Snedecor.
ά = 0,01
v1 = k = 1
v2 = T – k – 1 = 11
F0,01;1;11 = 9,65.
Fc = 248,416 > F0,01;1;11 = 9,65
Pe baza inegalităţii menţionate anterior, pentru o valoare a pragului de
semnificaţie ά = 0,01, putem concluziona că valoarea raportului de corelaţie R este
semnificativ diferită de zero.
d) Testarea independeţei valorilor variabilei reziduale cu ajutorul testului Durbin –
Watson
ά = 0,01
T = 13 → numărul observaţiilor
k =1 → numărul variabilelor exogene
Pentru valorile menţionate anterior, vom prelua din tabela distribuţiei Durbin –
Watson valorile (pentru cazul n = 15): d1 = 0,81 şi d2 = 1,07.
Deoarece d = 1,21 > d2 = 1,07 şi d = 1,21 < 4 – d2 = 2,79 putem afirma faptul că
ipoteza independenţei variabilelor reziduale poate fi acceptată.
e) Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor cu ajutorul testului White
Pentru a verifica ipoteza de homoscedasticitate a erorilor vom utiliza pachetul de
programe EViews cu ajutorul căruia vom obţine următoarele rezultate:
White Heteroskedasticity TestF-statistic 5,3762 Probability 0,0260Obs*R-squared 6,7357 Probability 0,0345Test Equation:Dependent Variable: ut
2
Method: Least SquaresSample: 1993 – 2005 Included observations: 13
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 7,9641 6,4478 1,2352 0,2450t -3,4209 2,1182 -1,6150 0,1374t2 0,3282 0,1472 2,2293 0,0499
R-squared 0,5181 Mean dependent var 4,6957Adjusted R-squared 0,4218 S.D. dependent var 8,6629S.E. of regression 6,5875 Akaike info criterion 6,8074Sum squared resid 433,9527 Schwarz criterion 6,9378Log likelihood -41,2481 F-statistic 5,3762Durbin–Watson stat 2,0327 Prob (F-statistic) 0,0260
Analizând datele afişate de programul EViews putem deduce următoarea inega-
litate:
Fc = 5,3762 < F0,01;2;10 = 7,56.
Pe baza acestei constatări putem afirma faptul că, pentru un prag de semnificaţie ά
= 0,01 (t0,01;10 = 3,169), estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi, astfel că
ipoteza de homoscedesticitate se verifică.
f) Verificarea verosimilităţii modelului cu ajutorul metodei analizei variaţiei
Sursa de variaţie
Măsura variaţiei Nr. grade
de libertate
Dispersia corectată
Valoarea testului FFc Fά;v1;v2
Variaţia explicată
de tendinţă
k = 1 F0,01;1;11=9,65
Variaţia reziduală
T – k – 1 = 11
Variaţia totală
T – 1= 12
Deoarece Fc = 248,416 > F0,01;1;11 = 9,65 putem afirma faptul că – pentru o valoare
a pragului de semnificaţie ά = 0,01 – modelul propus este acceptat.
Ecuaţia analizei variaţiei este următoarea:
Pe baza acestei relaţii de calcul putem afirma faptul că modelul explică 95,76%
din variaţia totală a numărului de linii moderne de producţie la 1000 de societăţi
comerciale din domeniul panificaţiei.
Pe baza calculelor menţionate anterior putem stabili modelul econometric, după
cum urmează:
(1,386) (0,1746)
R = 0,9786
d = 1,21
Studiul de caz nr. 8
Pe baza informaţiilor prezentate în exemplul nr. 7 şi a modelului aditiv prin care a
fost descrisă înzestrarea cu linii moderne de producţie a unui eşation de 1000 societăţi
comerciale cu activitate în domeniul panificaţie este posibilă previzionarea fenomenului
pentru perioadele imediat următoare (anii 2006 şi 2007), parcurgându-se în acest sens
următoarele etape:
I. Definirea modelului aditiv cu două componente pe baza căruia se va realiza
prognoza
II. Analiza capacităţii de prognoză a modelului considerat cu ajutorul indicatorilor
elaboraţi de H. Theil
Cu ajutorul pachetului de programe EViews au fost efectuate calculele necesare
testării capacităţii de prognoză a modelului elaborat anterior, rezultatele obţinute cu
această ocazie putând fi sintetizate în tabelul următor:
Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelului elaborat pentru estimarea evoluţiei înzestrării
agenţilor economici din domeniul panificaţiei cu linii moderne de producţie (numărul de linii moderne
de producţie la 1000 societăţi comerciale) în ţara noastră în perioada 1993 – 2005
Tabelul 4.1.4Denumirea indicatorului Simbolul indicatorului Valoarea indicatorului
Coeficientul Theil T 0,0117Ponderea abaterii TA 0,0000Ponderea dispersiei TD 0,0108Ponderea covarianţei TC 0,9892
Pe baza acestei analize putem observa faptul că indicatorii calculaţi (coeficientul
Theil, ponderea dispersiei şi ponderea abaterii) înregistrează valori mici, ceea ce
înseamnă că modelul cercetat posedă o bună capacitate de prognoză, astfel că el poate fi
utilizat pentru previzionarea înzestrării cu linii moderne de producţie a societăţilor
comerciale din domeniul panificaţiei în perioada următoare de timp. Ca urmare a acestei
constatări putem trece la calculul efectiv al valorilor înregistrate de fenomenul studiat în
anii 2006 şi 2007.
III. Previzionarea numărului de linii moderne de producţie la 1000 societăţi
comerciale din domeniul panificaţiei în anul 2006
linii moderne de producţie la 1000 societăţi comerciale
Abaterea standard a nivelului previzionat al fenomenului analizat va fi egală cu:
Intervalul de încredere al prognozei fenomenului – în cazul în care se consideră
un prag de semnificaţie ά = 0,01 (pentru care se preia din tabela distribuţiei Student
valoarea t0,01;11 = 3,106) – se poate calcula după cum urmează:
IV. Previzionarea numărului de linii moderne de producţie la 1000 societăţi
comerciale din domeniul panificaţiei în anul 2007
linii moderne de producţie la 1000 societăţi comerciale
Abaterea standard a nivelului previzionat al fenomenului analizat va fi egală cu:
Intervalul de încredere al prognozei fenomenului va fi:
Concluzii:
Pe baza analizei anterioare se poate aprecia – cu o probabilitate de 99% - faptul că
în anul 2006 nivelul fenomenului considerat va fi cuprins în intervalul [102,8;119,8], în
timp ce în anul 2007 valoarea acestui fenomen va fi inclusă în intervalul [105,3;122,8].
V. Evaluarea prognozei fenomenului studiat
Siguranţa prognozei este o mărime dată de probabilitatea (p) cu care este estimat
intervalul de încredere.
Precizia prognozei poate fi determinată cu ajutorul relaţiilor de mai jos:
eroarea absolută
eroarea relativă
După cum se poate observa valorile corespunzătoare erorilor relative de prognoză
înregistrază, pentru fiecare dintre cei doi ani ai prognozei, valori inferioare pragului de
15%, astfel că putem considera rezultatele obţinute ca fiind semnificative pentru
realizarea de previziuni în conformitate cu acest test.
Studiul de caz nr. 9
Se consideră o societate de transporturi ce doreşte să achiţioneze – pentru
dezvoltarea activităţii sale – un autocamion, având posibilitatea de a opta pentru una din
următoarele variante X1, X2, X3, X4.
În tabelul următor sunt prezentate preţurile de achiziţie, întreţinere şi reparaţii
corespunzătoare duratei de funcţionare a fiecărei variante de autocamion:
- mii -Anul 1 2 3 4 5
Cheltuieli
AutocamionC1 C2 C3 C4 C5
X1 365.000 35.000 - - -X2 435.000 35.000 45.000 - -X3 535.000 28.000 52.000 65.000 -X4 715.000 25.000 43.000 55.000 85.000
Notă: Cele patru autocamioane se consideră că au acelaşi randament tehnic
Pe baza datelor menţionate anterior, este posibilă alegerea variantei optime,
utilizând drept criteriu de alegere valoarea nominală a costurilor de exploatare.
Rezolvare:
Dacă nu se ţine cont de rata dobânzii, în cazul aplicaţiei practice, trebuie calculat
costul anual de exploatare pentru fiecare autocamion, după care va fi ales acela care are
cel mai mic cost anual de folosinţă. Astfel:
mii lei/an;
mii lei/an;
mii lei/an;
mii lei/an.
În condiţiile obţinerii acestor rezultate, este necesar să fie achiziţionat
autocamionul X3 deoarece, după cum se poate observa, are cel mai mic cost anual de
exploatare – 170000 mii lei/an. Această decizie nu este însă optimă deoarece
autocamioanele nu au o durată de funcţionare uniformă: X1 (r1 = 2), X2 (r2 = 3), X3 (r3 =
4), X4 (r4 = 5). În consecinţă, costul minim anual de exploatare va fi calculat pentru toate
autocamioanele în funcţie de durata de funcţionare maximă – r = 5 ani:
mii lei/an;
mii lei/an
mii lei/an
mii lei/an
Concluzia care se desprinde în urma efectuării calculelor este aceea că decizia
corectă este aceea de a achiziţiona autocamionul X4 deoarece, pe o perioadă de 5 ani,
acesta are cel mai mic cost anual de folosinţă – 184.600 mii lei/an.
Studiul de caz nr. 10
În cazul societăţii de transporturi menţionată în cadrul exemplului nr. 9, decizia de
achiziţionare a unuia din cele patru modele de autocamion poate fi fundamentată şi pe
valoarea actualizată a costurilor de exploatare.
Astfel, în vederea calculării costului anual de folosinţă va fi utilizată următoarea
formulă, care ţine seama de valoarea actualizată a costului, de rata dobânzii şi de faptul
că durata de funcţionare nu este uniformă:
unde:
a = rata dobânzii.
Costul minim anual de folosinţă, în cazul în care rata dobânzii este constantă şi
egală cu 10%, va fi calculat astfel:
mii lei/an;
mii lei/an;
mii lei/an;
mii lei/an.
Pe baza rezultatelor obţinute în urma efectuării calculelor se ajung la concluzia că,
ţinând cont de valorile actualizate ale costurilor şi de rata dobânzii, costul minim anual
de folosinţă a fost obţinut în cazul autocamionului X2, acesta fiind varianta de achiziţie
optimă recomandată pentru cazul considerat.
Studiul de caz nr. 11
Se consideră o societate producătoare de încălţăminte în cazul căreia se presupune
că sunt puse în funcţiune n(t) maşini pentru croit de acelaşi tip. La intervale de
timp de funcţionare egale se înregistrează numărul de maşini rămase în funcţiune din
cele n(0) maşini pentru croit iniţiale.
În anul 0 au fost puse în fucţiune în cadrul firmei 20000 maşini pentru croit
pielea, în următorii ani numărul acestora suferind următoarele:
t n(t) n(t-1)-n(t)
0 1 2 3 4 50 20000 1 - - -1 20000 1 0 0 02 19960 0,998 40 0,002 0,0023 19800 0,99 160 0,008 0,0084 18000 0,9 1800 0,09 0,0915 17000 0,85 1000 0,05 0,0566 14000 0,7 3000 0,15 0,1767 8000 0,4 6000 0,3 0,4298 4000 0,2 4000 0,2 0,59 2000 0,1 2000 0,1 0,510 0 0 2000 0,1 1
>10 0 0 0 0 1
Prin definiţie, durata de funcţionare a unei maşini reprezintă intervalul de timp
derulat între punerea sa în funcţiune şi momentul considerat. De reţinut este faptul că
timpul sau durata de funcţionare diferă în funcţie de natura maşinii.
Mărimea reprezintă probabilitatea de funcţionare la
momentul t a unui maşini pentru croit pusă în funcţiune la momentul 0 unde: n(0)
reprezintă numărul de maşini pentru croit puse în funcţiune în momentul iniţial, iar n(t)
numărul de maşini pentru croit din cele n(0) existente în funcţiune la momentul t.
Se acceptă faptul că maşinile de un anumit tip constituie un ansamblu omogen din
punct de vedere statistic, respectiv că, pentru fiecare maşină din populaţia observată,
există o posibilitate „a priori” ca toate celelalte maşini de acelaşi tip să urmeze funcţia
probabilităţii de funcţionare:
Pornind de la datele din tabelul anterior, se pot calcula o serie de indicatori, după
cum urmează:
a) Probabilitatea de funcţionare a unei maşini pentru croit pielea după t ani de
utilizare.
- pentru ani probabilitatea de funcţionare a unei maşini pentru croit va fi:
b) Probabilitatea ca o maşină pentru croit să nu mai fie în funcţiune după t ani de
utilizare (probabilitate contrară) se va putea determina astfel:
, unde j(t) reprezintă durata de funcţionare a unei maşini
pentru croit.
Probabilitatea ca o maşină pentru croit să nu mai fie în funcţiune după şase ani
este:
c) Probabilitatea ca o maşină pentru croit pielea să fie scoasă din funcţiune într-un
interval cuprins între t-1 şi t este următoarea:
unde: reprezintă funcţia de scoatere din funcţiune a unei maşini pentru croit
Probabilitatea ca o maşinpă pentru croit să fie scoasă din funcţiune în intervalul
şi , utilizând datele anterior, este:
d) Numărul de maşini pentru croit ce trebuie achiziţionate de societatea producătoare
de încălţăminte în vederea desfăşurării în condiţii optime a procesului de producţie.
Numărul de maşini pentru croit care vor trebui achiziţionate la începutul celui de-
al şaselea an de către societatea producătoare de încălţăminte care deţine aceste utilaje,
în momentul în care aceasta are nevoie în cel de-al şaselea an de 20000 de maşini pentru
croit în stare de funcţionare, va fi:
maşini pentru croit
e) Probabilitatea de avarie reprezintă probabilitatea condiţionată ca o maşină care a
funcţionat fără nici o avarie până în momentul t-1 să aibă o defecţiune în intervalul t-1 şi
t. Fie această probabilitate condiţionată care se poate scrie în felul următor:
De unde rezultă că:
Pentru t = 6 ani, de pildă, probabilitatea de avarie este:
Prin intermediul probabilităţii de avarie poate fi evaluat riscul de a menţine în
funcţiune o maşină de croit care a atins o durată t de funcţionare. Este deci o mărime
caracteristică foarte importantă.
f) Rata de aprovizionare
Fie n(0) numărul de maşini de croit puse în funcţiune le momentul t = 0 (n(0) =
20000). Dacă reprezintă probabilitatea de funcţionare a maşinilor, acestea vor
rămâne în funcţiune la momentul t dacă nu va fi efectuată nici o înlocuire:
Numărul de maşini pentru croit aflate încă în funcţiune într-un moment viitor t,
provenite din aprovizionare va fi:
unde g(k) reprezintă numărul de maşini înlocuite în intervalul k-1 şi k.
Deci, numărul de maşini pentru croit aflate în stare de funcţiune la momentul t
este egal cu suma maşinilor aflate în stare de funcţionare pentru fiecare interval de timp
cuprins între k = 1 şi k = t înmulţit cu numărul de maşini pentru croit în stare de
funcţionare provenite din cele n(0) maşini puse în funcţiune la momentul iniţial t = 0 şi
care au urmat aceeaşi lege de funcţionare.
Numărul de maşini de croit în stare de funcţionare la momentul t va fi:
- pentru
- pentru
- pentru
- pentru
.................................................................................................................................
- pentru
unde g(t) reprezintă funcţia sau volumul aprovizionării.
Pentru caz concret revenim la exemplul iniţial – dacă societatea producătoare de
încălţăminte a înlocuit în cel de-al patrulea an 1000 de maşini pentru croit, atunci
numărul de maşini aflate în funcţiune în cel de-al şaptelea an va fi:
maşini pentru croit
Numărul de maşini pentru croit care trebuie înlocuite în cel de-al şaptelea an
pentru a avea în funcţiune 20000 de maşini va fi, în acest caz:
maşini pentru croit
Dacă societatea a înlocuit în cel de-al patrulea an 1000 de maşini, în cel de-al
cincilea an 2000 de maşini, iar în cel de-al şaselea an 4000 de maşini, atunci numărul de
maşini pentru croit care trebuie înlocuite în cel de-al şaptelea an pentru a avea în
funcţiune 20000 de maşini va fi egal cu:
maşini pentru croit
maşini pentru croit
Top Related