Probleme de matematici speciale
1. Sisteme simetrice şi ecuaŃii cu derivate parŃiale de ordinul întâi liniare şi cvasiliniare
1. Să se determine integralele prime ale sistemului simetric xy
dz
yz
dy
xz
dx−== .
2. Să se integreze sistemul simetric yx
dz
zyx
dy
xy
dx
−=
++=
−.
3. Să se afle integralele prime ale sistemului zxy
dz
y
dy
x
dx
+−== .
4. Să se afle integralele prime ale sistemului de ecuaŃii diferenŃiale sub formă simetrică
yx
dz
zx
dy
zy
dx
+=
+=
+.
5. Să se afle integralele prime ale sistemului de ecuatii diferentiale sub formă simetrică
z
dz
y
dy
zyx
dx==
++ 22.
6. Să se afle integralele prime ale sistemului de ecuaŃii diferenŃiale sub formă simetrică
)()()( 222222 yxz
dz
zxy
dy
zyx
dx
−=
+=
+−.
7. Să se integreze sistemul simetric de ecuaŃii diferenŃiale:
12
3
31
2
23
1
xx
dx
xx
dx
xx
dx
−=
−=
−
8. Să se afle soluŃia generală a ecuaŃiei 0
22
=∂∂+
+∂∂
+∂∂
z
u
z
yx
y
uy
x
ux .
9. Să se rezolve problema Cauchy
==
>=∂∂
−∂∂
xz0ycurbaprintrececare
0x0y
zx
x
zy
.
10. Să se găsească soluŃia generală a ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi
cvasiliniară yxy
zx
x
zy −=
∂∂
+∂∂
11. Să se găsească soluŃia generală a ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi
cvasiliniară yzy
zx
x
zxy =
∂∂
−∂∂ 2
12. Să se integreze următoarea ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi cvasiliniară
)1( 22 xxy
uy
x
uxy +−=
∂∂
−∂∂
13. Să se integreze următoarea ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi cvasiliniară
( ) ( ) ( ) uz
uyx
y
uxz
x
uzy =
∂∂
++∂∂
++∂∂
+
14. Să se integreze următoarea ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi cvasiliniară
( ) xyz
uuz
y
uy
x
ux =
∂∂
++∂∂
+∂∂
15. Să se afle suprafaŃa integrală a ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi
cvasiliniară xyy
zz
x
zz −=
∂∂
−∂∂
care conŃine curba
=
=2
1
yz
x
16. Să se integreze ecuaŃia diferenŃială cu derivate partiale de ordinul întâi liniare:
,0x
ux
x
ux
x
ux
3
3
2
2
1
1 =∂∂
+∂∂
+∂∂
.xxu 211x3
−==
2. Forme canonice ale ecuaŃiilor cu derivate parŃiale de ordinul doi, cvasiliniare. Problema Cauchy pentru ecuaŃii hiperbolice
1. AduceŃi la forma canonică
0ux16y
uy4
x
ux2
y
uy3
yx
uxy2
x
ux 4
2
22
2
2
22 =+
∂∂
+∂∂
−∂∂
−∂∂
∂+
∂∂
R: y
x,xy
3
=η=ξ conduc la 0UU1U
4
1U2
=+η∂
∂ξ
−ξ∂
∂η
+η∂ξ∂
∂
2. Să se aducă la forma canonică
0y
uxsin
y
uxsin
yx
uxcos2
x
u2
22
2
2
2
=∂∂
−∂∂
−∂∂
∂+
∂∂
R: xsinyx,xsinyx −+=η+−=ξ conduce la 0U
42
=η∂ξ∂
∂
3. Să se aducă la forma canonică
0y
uy
yx
uxy2
x
ux
2
22
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
.
R: y,x/y =η=ξ duce la forma canonică 0U2
2
=η∂
∂.
4. Să se aducă la forma canonică
0y
uy
x
u2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
în domeniul y>0
R: y2,x =η=ξ conduce la forma canonică 0U1UU
2
2
2
2
=η∂
∂η
−η∂
∂+
ξ∂∂
.
5. Să se rezolve 0y
u2
yx
u3
x
u2
22
2
2
=∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
cu condiŃiile 2y3)y,0(x
u,0)0,x(u =∂∂
=
R: ( ) 223 xy3yx9x7y,xu +−=
6. Să se determine soluŃiile generale ale ecuaŃiilor:
a. 0y
u3
yx
u2
x
u2
22
2
2
=∂∂
−∂∂
∂−
∂∂
R: ( ) ( ) ( )y3xgyxfy,xu ++−=
b. 0x
ua
yx
u2
=∂∂
+∂∂
∂
R: ( ) ( ) ( ) ayexgyfy,xu −+=
c. 2y
u
x
u3
y
u2
yx
u5
x
u3
2
22
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
∂−
∂∂
R: ( ) ( ) ( ) 7
xy3
eyx2gy3xfyxy,xu
−
++−+−=
d. )y,x(fyx
u2
=∂∂
∂
R: ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ηξηξ++=x
x
y
y0 0
dd,fygxfy,xu
e. 0y
uy
x
ux
2
22
2
22 =
∂∂
−∂∂
R: ( ) ( ) ( )y/xg|xy|xyfy,xu +=
f. 0y
uy
yx
uxy2
x
ux
2
22
2
2
22 =
∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
IndicaŃie: se va folosi problema 3.
g. 0x
ux2
y
uy3
yx
uxy2
x
ux
2
22
2
2
22 =
∂∂
−∂∂
−∂∂
∂+
∂∂
R: ( ) ( ) ( )y/xg|xy|xyfy,xu 34/3+=
h. ( )22
2
2
2
2
yx16y
u
x
u−=
∂∂
−∂∂
R: ( ) ( ) ( ) ( )yxgyxfyxy,xu222 −+++−=
7. Să se rezolve problemele Cauchy
a. 0y
u2
x
u6
y
u
yx
u6
x
u9
2
22
2
2
=∂∂
+∂∂
−∂∂
+∂∂
∂−
∂∂
, ( ) 1x0,xu += , ( ) 2x250,xy
u−=
∂∂
R: ( ) ( )1xy6y9xe2y3xxy6y9xy,xu 22y222 −++++++−−= −
b. 0y
uy
x
ux
y
uy
x
ux
2
22
2
22 =
∂∂
−∂∂
+∂∂
−∂∂
, ( ) xe1,xu = , ( ) xxe1,xy
u −=∂∂
R: ( )2
ee
2
eey,xu
y/xy/xxyxy −− ++
−=
c. 0y
u9
x
u2
2
2
2
=∂∂
−∂∂
, ( ) xsin0,xu = , ( ) 2x0,xy
u=
∂∂
R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )33t3xt3x
18
1
2
t3xsint3xsiny,xu −−++
−+−=
8. Să se rezolve următoarele probleme:
a.
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )
=∂∂
+−=
==
∞×∈∂∂
−∂∂
00,xt
u
2x2x0,xu
0t,1ut,0u
,01,0t,x,x
ua
t
u
34
2
22
2
2
R: ( )( )
( ) ( )∑∞
=
π+⋅π++π
=1k
55x1k2sinat1k2cos
1k2
196t,xu
b.
Transformate Laplace
1. Să se determine transformata Laplace a funcŃiilor:
a.
≥
<=
0t,t2sint
0t,0)t(f
2
b.
∉
≤≤=
]2,1[t,0
2t1,t)t(f
c. ( )
π<
π≥
π−
=
3t,0
3t,
3tsin
tf
d. ( )
<
≥
π−
=
0t,0
0t,3
tsintf
e. ( )
<
≥τπ= ∫ τ−
0t,0
0t,de2
tf
t
0
2
IndicaŃie: Dacă ( ) ( )tfetg t= atunci ( ) ( )t
1tgt'g
π+= . Se aplică proprietăŃile
transformatei Laplace şi rezultă ( )1pp
1pF
+= .
f. ( )
<
≥τ⋅τ= ∫ τ−
0t,0
0t,desintf
t
0
t
g. ( )( )
∈τ+<≤τ+
<=
Nn,1ntn,h)1n(
0t,0tf , unde Rh∈ şi 0>τ sunt fixate.
2. Să se determine inversele următoarelor transformate Laplace
a. ( )2pp
8ppF
2 −++
=
b. ( )( )22
2
p1
p21pF
+
+=
c. ( )( )32 1p
1pF
+=
d. ( )( )( )32
11p
1pF
+−=
3. Să se rezolve prin utilizarea transformatelor Laplace următoarele ecuaŃii şi sisteme de
ecuaŃii diferenŃiale:
1. ( ) ( ) ( ) te6tx2t'x3t''x −=+− , ( ) ( ) 00'x,20x ==
R: ( )2
ee2tx
tt −+=
2. ( ) ( ) tcost'xt'''x =+ , ( ) ( ) ( ) 00''x,20'x,00x =−== .
R: ( ) tsin2
3tcost
2
1tx −−=
3. ( )( ) ( ) ( ) tsintxt''x2tx 4 =++ , ( ) ( ) ( ) ( ) 00'''x0''x0'x0x ==== .
R: ( ) tsint8
1tcost
8
3tsin
8
3tx 2−−=
4. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
+=+−
=+++− 1e3tx2t'yt''x
ttytxt'yt'x
t, ( ) ( ) 10'x,00x −== , ( ) 00y = .
R: ( ) 1etx t −= − , ( ) tty =
5.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
+=
+=
+=
tytxt'z
tztxt'y
tztyt'x
, ( ) ( ) ( ) 10z0y0x ===
R: ( ) ( ) ( ) t2etztytx ===
6. tcos)t('x)t('''x 2=+ , 1)0(''x,3/1)0('x,1)0(x −=== .
R: t2sin12
1tcost
2
1)t(x −+=
7.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
++=
+−=
++−=
tztytxt'z
tztytxt'y
tztytxt'x
, ( ) ( ) ( ) 10z0y,00x ===
R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t2etz,t2chty,t2shtx ===
8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
=+++
=+++++
t2t'y2t''ytx2t'x2
1tyt'yt''ytxt'x2t''x, ( ) ( ) ( ) ( ) 20'y,10y,20'x,00x −====
R: ( ) ( ) ( ) ( )tcosetty,tsinettx tt −− +−=+=
9.
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )
−=
−=
+−=
tzt''z
tytxt''y
tztxty3t''x
, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00'z,10z,10'y,00y,00'x0x ==−====
R: ( ) ( ) t2sin8
3t2cos
4
3t1
4
3tx +−−= , ( ) ( ) tcost2sin
8
1t2cos
4
1t1
4
3ty −−+−= ,
( ) tcostz = .
Calcul variaŃional
1. Să se determine funcŃiile y(x) care extremizează funcŃinalele următoare
a. ( )
( )∫+
=b
0
2
dxxy
x'y1]y[I
IndicaŃie: ( )y
'y1'y,y,xF
2+= nu depinde de x, deci constF
'y
F'y =−∂∂
de unde
2'y1
Ky
+= . Luând θ= tg'y găsim
( )2
2cos1Ky
θ+= de unde prin derivare în raport cu
x şi înlocuirea θ= tg'y rezultă dx
d2sinKtg
θ⋅θ⋅−=θ . Prin integrarea acestei ecuaŃii
diferenŃiale rezultă ( ) L2sin22
Kx +θ+θ−= . ObŃinem astfel ecuaŃiile parametrice ale
curbei integrale.
b. [ ] ∫+
=b
a
2
dxy
'y1yI
IndicaŃie: Ca la exerciŃiul precedent rezultă 2
22
y
yK'y
−±= care se poate integra fie
direct fie prin substituŃia θ= sinKy care conduce la θθ
±=sin
cos
dx
dy, de unde
θθ±= dsinKdx şi în final CcosKx +θ±= , θ= cosKy . Curba integrală este un cerc.
c. [ ] ( )∫π
−=2/
0
22 dxy'yyI , ( ) ( ) 12/y,00y =π=
R: ( ) xsinxy =
d. ( )∫ +=1
0
2 dx'y'xy]y[I , ( ) 00y = , ( ) 4/11y =
R: ( )4
xx2xy
2−=
e. ∫=2
1
22 dx'yx]y[I , ( ) ( ) 12y,31y ==
R: ( ) 1x
4xy −=
f. ( )∫ +=e
1
2 dxy2'xy]y[I , ( ) ( ) eey,01y ==
R: ( ) 1xlnxxy −+=
g. ( )∫ ++=1
0
2 dxxy12'yy'y]y[I , ( ) ( ) 41y,10y ==
R: ( ) 1x2xxy 3 ++=
h. ( )∫ −++=2ln
0
x22 dxey2y2'y]y[I , ( ) ( )8
312lny,00y ==
R: ( ) x3x2 eexy −−=
i. ( )∫ +=2
0
2 dx'y1y]y[I , ( ) ( ) 52y,20y ==
R: ( ) 12
2xxy
2
+
+=
2. Să se determine extremalele următoarelor funcŃionale:
a. ( )∫ ++=1
0
222 dxy4'y5''y]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1sh1'y,1ch1y,00'y,00y ====
R: ( ) ( )x2shxy =
b. ( )∫ ++=1
0
222 dxy'y2''y]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1sh1'y,01y,10'y,00y −====
R: ( ) ( ) ( )xshx1xy −=
c. ( )∫ −=1
0
22 dx''yyx720]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 21'y,01y,10'y,00y ====
R: ( ) xxxxxy 236 +−−=
d. ( )∫− −=0
1
2 dx'''yy240]y[I , ( ) ( ) ( ) 161''y,2
91'y,11y =−−=−=− , ( ) ( ) ( ) 00''y0'y0y ===
R: ( ) xx32
x3
2
xxy 2
36
+−+=
e. ( )∫ +=1
0
22 dx''y'y]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ch1'y,1sh1y,10'y,00y ====
R: ( ) ( )xshxy =
f. ( )∫π
+−=2/
0
222 dx''yyx]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 12/'y,02/y,00'y,10y −=π=π==
R: ( ) ( )xcosxy =
g. ∫=1
0
2 dx''y]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 11'y0'y,01y0y −====
R: ( ) xx3x2xy 23 +−=
3. Să se determine extremalele urmoarelor probleme variaŃionale:
a. ( )∫ ++=1
0
22 dxy2'z'y]z,y[I , ( ) ( ) 2/31y,10y == , ( ) ( ) 11z,00z ==
R: ( ) ( ) xxz,12/xxy 2 =+=
b. ( )∫ +=1
0
22 dx'z'y]z,y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 21z,00z,11y,00y ====
R: ( ) ( ) x2xz,xxy ==
c. ( )∫ −=2
1
2 dx'z'xy'z]z,y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 2/12z,11z,6/12y,11y ==−==
R: ( )3
1
x3
4xy
3−= , ( )
x
1xz =
Bibliografie
1. Dorin Bena, Matematici Speciale (exerciŃii şi probleme), Editura Printech, Bucureşti,
2001
2. Ioana Bârză, Matematici Speciale (culegere de probleme rezolvate), Editura Psyche,
Bucureşti, 2003
3. Cristian Costinescu, Mathématiques Avancées (récueil de problèmes), Litografia
UTCB, 1996
4. V.S. Vladimirov, V.P. Mihailov, A.A. Vaşarin, H.H. Karimova, I.V. Sidorov, M.I.
Sabunin, Culegere de Probleme de EcuaŃiile Fizicii Matematice, Nauka, Moscova, 1974
(în limba rusă)
Top Related