Probleme de matematici speciale

1. Sisteme simetrice şi ecuaŃii cu derivate parŃiale de ordinul întâi liniare şi cvasiliniare

1. Să se determine integralele prime ale sistemului simetric xy

dz

yz

dy

xz

dx−== .

2. Să se integreze sistemul simetric yx

dz

zyx

dy

xy

dx

−=

++=

−.

3. Să se afle integralele prime ale sistemului zxy

dz

y

dy

x

dx

+−== .

4. Să se afle integralele prime ale sistemului de ecuaŃii diferenŃiale sub formă simetrică

yx

dz

zx

dy

zy

dx

+=

+=

+.

5. Să se afle integralele prime ale sistemului de ecuatii diferentiale sub formă simetrică

z

dz

y

dy

zyx

dx==

++ 22.

6. Să se afle integralele prime ale sistemului de ecuaŃii diferenŃiale sub formă simetrică

)()()( 222222 yxz

dz

zxy

dy

zyx

dx

−=

+=

+−.

7. Să se integreze sistemul simetric de ecuaŃii diferenŃiale:

12

3

31

2

23

1

xx

dx

xx

dx

xx

dx

−=

−=

−

8. Să se afle soluŃia generală a ecuaŃiei 0

22

=∂∂+

+∂∂

+∂∂

z

u

z

yx

y

uy

x

ux .

9. Să se rezolve problema Cauchy

==

>=∂∂

−∂∂

xz0ycurbaprintrececare

0x0y

zx

x

zy

.

10. Să se găsească soluŃia generală a ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi

cvasiliniară yxy

zx

x

zy −=

∂∂

+∂∂

11. Să se găsească soluŃia generală a ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi

cvasiliniară yzy

zx

x

zxy =

∂∂

−∂∂ 2

12. Să se integreze următoarea ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi cvasiliniară

)1( 22 xxy

uy

x

uxy +−=

∂∂

−∂∂

13. Să se integreze următoarea ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi cvasiliniară

( ) ( ) ( ) uz

uyx

y

uxz

x

uzy =

∂∂

++∂∂

++∂∂

+

14. Să se integreze următoarea ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi cvasiliniară

( ) xyz

uuz

y

uy

x

ux =

∂∂

++∂∂

+∂∂

15. Să se afle suprafaŃa integrală a ecuaŃiei cu derivate parŃiale de ordinul întâi

cvasiliniară xyy

zz

x

zz −=

∂∂

−∂∂

care conŃine curba

=

=2

1

yz

x

16. Să se integreze ecuaŃia diferenŃială cu derivate partiale de ordinul întâi liniare:

,0x

ux

x

ux

x

ux

3

3

2

2

1

1 =∂∂

+∂∂

+∂∂

.xxu 211x3

−==

2. Forme canonice ale ecuaŃiilor cu derivate parŃiale de ordinul doi, cvasiliniare. Problema Cauchy pentru ecuaŃii hiperbolice

1. AduceŃi la forma canonică

0ux16y

uy4

x

ux2

y

uy3

yx

uxy2

x

ux 4

2

22

2

2

22 =+

∂∂

+∂∂

−∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

R: y

x,xy

3

=η=ξ conduc la 0UU1U

4

1U2

=+η∂

∂ξ

−ξ∂

∂η

+η∂ξ∂

∂

2. Să se aducă la forma canonică

0y

uxsin

y

uxsin

yx

uxcos2

x

u2

22

2

2

2

=∂∂

−∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

R: xsinyx,xsinyx −+=η+−=ξ conduce la 0U

42

=η∂ξ∂

∂

3. Să se aducă la forma canonică

0y

uy

yx

uxy2

x

ux

2

22

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

.

R: y,x/y =η=ξ duce la forma canonică 0U2

2

=η∂

∂.

4. Să se aducă la forma canonică

0y

uy

x

u2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

în domeniul y>0

R: y2,x =η=ξ conduce la forma canonică 0U1UU

2

2

2

2

=η∂

∂η

−η∂

∂+

ξ∂∂

.

5. Să se rezolve 0y

u2

yx

u3

x

u2

22

2

2

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

cu condiŃiile 2y3)y,0(x

u,0)0,x(u =∂∂

=

R: ( ) 223 xy3yx9x7y,xu +−=

6. Să se determine soluŃiile generale ale ecuaŃiilor:

a. 0y

u3

yx

u2

x

u2

22

2

2

=∂∂

−∂∂

∂−

∂∂

R: ( ) ( ) ( )y3xgyxfy,xu ++−=

b. 0x

ua

yx

u2

=∂∂

+∂∂

∂

R: ( ) ( ) ( ) ayexgyfy,xu −+=

c. 2y

u

x

u3

y

u2

yx

u5

x

u3

2

22

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

∂−

∂∂

R: ( ) ( ) ( ) 7

xy3

eyx2gy3xfyxy,xu

−

++−+−=

d. )y,x(fyx

u2

=∂∂

∂

R: ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ηξηξ++=x

x

y

y0 0

dd,fygxfy,xu

e. 0y

uy

x

ux

2

22

2

22 =

∂∂

−∂∂

R: ( ) ( ) ( )y/xg|xy|xyfy,xu +=

f. 0y

uy

yx

uxy2

x

ux

2

22

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

IndicaŃie: se va folosi problema 3.

g. 0x

ux2

y

uy3

yx

uxy2

x

ux

2

22

2

2

22 =

∂∂

−∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

R: ( ) ( ) ( )y/xg|xy|xyfy,xu 34/3+=

h. ( )22

2

2

2

2

yx16y

u

x

u−=

∂∂

−∂∂

R: ( ) ( ) ( ) ( )yxgyxfyxy,xu222 −+++−=

7. Să se rezolve problemele Cauchy

a. 0y

u2

x

u6

y

u

yx

u6

x

u9

2

22

2

2

=∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

, ( ) 1x0,xu += , ( ) 2x250,xy

u−=

∂∂

R: ( ) ( )1xy6y9xe2y3xxy6y9xy,xu 22y222 −++++++−−= −

b. 0y

uy

x

ux

y

uy

x

ux

2

22

2

22 =

∂∂

−∂∂

+∂∂

−∂∂

, ( ) xe1,xu = , ( ) xxe1,xy

u −=∂∂

R: ( )2

ee

2

eey,xu

y/xy/xxyxy −− ++

−=

c. 0y

u9

x

u2

2

2

2

=∂∂

−∂∂

, ( ) xsin0,xu = , ( ) 2x0,xy

u=

∂∂

R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )33t3xt3x

18

1

2

t3xsint3xsiny,xu −−++

−+−=

8. Să se rezolve următoarele probleme:

a.

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )

=∂∂

+−=

==

∞×∈∂∂

−∂∂

00,xt

u

2x2x0,xu

0t,1ut,0u

,01,0t,x,x

ua

t

u

34

2

22

2

2

R: ( )( )

( ) ( )∑∞

=

π+⋅π++π

=1k

55x1k2sinat1k2cos

1k2

196t,xu

b.

Transformate Laplace

1. Să se determine transformata Laplace a funcŃiilor:

a.

≥

<=

0t,t2sint

0t,0)t(f

2

b.

∉

≤≤=

]2,1[t,0

2t1,t)t(f

c. ( )

π<

π≥

π−

=

3t,0

3t,

3tsin

tf

d. ( )

<

≥

π−

=

0t,0

0t,3

tsintf

e. ( )

<

≥τπ= ∫ τ−

0t,0

0t,de2

tf

t

0

2

IndicaŃie: Dacă ( ) ( )tfetg t= atunci ( ) ( )t

1tgt'g

π+= . Se aplică proprietăŃile

transformatei Laplace şi rezultă ( )1pp

1pF

+= .

f. ( )

<

≥τ⋅τ= ∫ τ−

0t,0

0t,desintf

t

0

t

g. ( )( )

∈τ+<≤τ+

<=

Nn,1ntn,h)1n(

0t,0tf , unde Rh∈ şi 0>τ sunt fixate.

2. Să se determine inversele următoarelor transformate Laplace

a. ( )2pp

8ppF

2 −++

=

b. ( )( )22

2

p1

p21pF

+

+=

c. ( )( )32 1p

1pF

+=

d. ( )( )( )32

11p

1pF

+−=

3. Să se rezolve prin utilizarea transformatelor Laplace următoarele ecuaŃii şi sisteme de

ecuaŃii diferenŃiale:

1. ( ) ( ) ( ) te6tx2t'x3t''x −=+− , ( ) ( ) 00'x,20x ==

R: ( )2

ee2tx

tt −+=

2. ( ) ( ) tcost'xt'''x =+ , ( ) ( ) ( ) 00''x,20'x,00x =−== .

R: ( ) tsin2

3tcost

2

1tx −−=

3. ( )( ) ( ) ( ) tsintxt''x2tx 4 =++ , ( ) ( ) ( ) ( ) 00'''x0''x0'x0x ==== .

R: ( ) tsint8

1tcost

8

3tsin

8

3tx 2−−=

4. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

+=+−

=+++− 1e3tx2t'yt''x

ttytxt'yt'x

t, ( ) ( ) 10'x,00x −== , ( ) 00y = .

R: ( ) 1etx t −= − , ( ) tty =

5.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

+=

+=

+=

tytxt'z

tztxt'y

tztyt'x

, ( ) ( ) ( ) 10z0y0x ===

R: ( ) ( ) ( ) t2etztytx ===

6. tcos)t('x)t('''x 2=+ , 1)0(''x,3/1)0('x,1)0(x −=== .

R: t2sin12

1tcost

2

1)t(x −+=

7.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

++=

+−=

++−=

tztytxt'z

tztytxt'y

tztytxt'x

, ( ) ( ) ( ) 10z0y,00x ===

R: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t2etz,t2chty,t2shtx ===

8. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

=+++

=+++++

t2t'y2t''ytx2t'x2

1tyt'yt''ytxt'x2t''x, ( ) ( ) ( ) ( ) 20'y,10y,20'x,00x −====

R: ( ) ( ) ( ) ( )tcosetty,tsinettx tt −− +−=+=

9.

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )

−=

−=

+−=

tzt''z

tytxt''y

tztxty3t''x

, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00'z,10z,10'y,00y,00'x0x ==−====

R: ( ) ( ) t2sin8

3t2cos

4

3t1

4

3tx +−−= , ( ) ( ) tcost2sin

8

1t2cos

4

1t1

4

3ty −−+−= ,

( ) tcostz = .

Calcul variaŃional

1. Să se determine funcŃiile y(x) care extremizează funcŃinalele următoare

a. ( )

( )∫+

=b

0

2

dxxy

x'y1]y[I

IndicaŃie: ( )y

'y1'y,y,xF

2+= nu depinde de x, deci constF

'y

F'y =−∂∂

de unde

2'y1

Ky

+= . Luând θ= tg'y găsim

( )2

2cos1Ky

θ+= de unde prin derivare în raport cu

x şi înlocuirea θ= tg'y rezultă dx

d2sinKtg

θ⋅θ⋅−=θ . Prin integrarea acestei ecuaŃii

diferenŃiale rezultă ( ) L2sin22

Kx +θ+θ−= . ObŃinem astfel ecuaŃiile parametrice ale

curbei integrale.

b. [ ] ∫+

=b

a

2

dxy

'y1yI

IndicaŃie: Ca la exerciŃiul precedent rezultă 2

22

y

yK'y

−±= care se poate integra fie

direct fie prin substituŃia θ= sinKy care conduce la θθ

±=sin

cos

dx

dy, de unde

θθ±= dsinKdx şi în final CcosKx +θ±= , θ= cosKy . Curba integrală este un cerc.

c. [ ] ( )∫π

−=2/

0

22 dxy'yyI , ( ) ( ) 12/y,00y =π=

R: ( ) xsinxy =

d. ( )∫ +=1

0

2 dx'y'xy]y[I , ( ) 00y = , ( ) 4/11y =

R: ( )4

xx2xy

2−=

e. ∫=2

1

22 dx'yx]y[I , ( ) ( ) 12y,31y ==

R: ( ) 1x

4xy −=

f. ( )∫ +=e

1

2 dxy2'xy]y[I , ( ) ( ) eey,01y ==

R: ( ) 1xlnxxy −+=

g. ( )∫ ++=1

0

2 dxxy12'yy'y]y[I , ( ) ( ) 41y,10y ==

R: ( ) 1x2xxy 3 ++=

h. ( )∫ −++=2ln

0

x22 dxey2y2'y]y[I , ( ) ( )8

312lny,00y ==

R: ( ) x3x2 eexy −−=

i. ( )∫ +=2

0

2 dx'y1y]y[I , ( ) ( ) 52y,20y ==

R: ( ) 12

2xxy

2

+

+=

2. Să se determine extremalele următoarelor funcŃionale:

a. ( )∫ ++=1

0

222 dxy4'y5''y]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1sh1'y,1ch1y,00'y,00y ====

R: ( ) ( )x2shxy =

b. ( )∫ ++=1

0

222 dxy'y2''y]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1sh1'y,01y,10'y,00y −====

R: ( ) ( ) ( )xshx1xy −=

c. ( )∫ −=1

0

22 dx''yyx720]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 21'y,01y,10'y,00y ====

R: ( ) xxxxxy 236 +−−=

d. ( )∫− −=0

1

2 dx'''yy240]y[I , ( ) ( ) ( ) 161''y,2

91'y,11y =−−=−=− , ( ) ( ) ( ) 00''y0'y0y ===

R: ( ) xx32

x3

2

xxy 2

36

+−+=

e. ( )∫ +=1

0

22 dx''y'y]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ch1'y,1sh1y,10'y,00y ====

R: ( ) ( )xshxy =

f. ( )∫π

+−=2/

0

222 dx''yyx]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 12/'y,02/y,00'y,10y −=π=π==

R: ( ) ( )xcosxy =

g. ∫=1

0

2 dx''y]y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 11'y0'y,01y0y −====

R: ( ) xx3x2xy 23 +−=

3. Să se determine extremalele urmoarelor probleme variaŃionale:

a. ( )∫ ++=1

0

22 dxy2'z'y]z,y[I , ( ) ( ) 2/31y,10y == , ( ) ( ) 11z,00z ==

R: ( ) ( ) xxz,12/xxy 2 =+=

b. ( )∫ +=1

0

22 dx'z'y]z,y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 21z,00z,11y,00y ====

R: ( ) ( ) x2xz,xxy ==

c. ( )∫ −=2

1

2 dx'z'xy'z]z,y[I , ( ) ( ) ( ) ( ) 2/12z,11z,6/12y,11y ==−==

R: ( )3

1

x3

4xy

3−= , ( )

x

1xz =

Bibliografie

1. Dorin Bena, Matematici Speciale (exerciŃii şi probleme), Editura Printech, Bucureşti,

2001

2. Ioana Bârză, Matematici Speciale (culegere de probleme rezolvate), Editura Psyche,

Bucureşti, 2003

3. Cristian Costinescu, Mathématiques Avancées (récueil de problèmes), Litografia

UTCB, 1996

4. V.S. Vladimirov, V.P. Mihailov, A.A. Vaşarin, H.H. Karimova, I.V. Sidorov, M.I.

Sabunin, Culegere de Probleme de EcuaŃiile Fizicii Matematice, Nauka, Moscova, 1974

(în limba rusă)