8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
1/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatereBibliografie
UNIVERSITATEA DIN PITE STI¸
˘ ˘
FACULTATEA DE MATEMATICA - INFORMATICA
˘
DOMENIUL DE DISERTA¸TIE MATEMATICA
RELATII METRICE ÎN PLAN
Coordonator:
Lect.univ.dr.
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
2/126
Absolvent:
Pitesti, 16 Iulie 201
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
3/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatereBibliografie
Cuprins
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
4/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Teorema sinusurilor
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
5/126
Se !"#si$e%&˘ a; b; c > 0; a; b; c l&tu%ile ∆ ABC , &tu#!i u%'&t"&%e&˘ %el&¸tie
este e!(i)&le#t&*˘
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
6/126
a=b=
c = 2R +1
si# A
si# B
si# C
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
7/126
R =%&& !e%!ului !i%!u's!%is ∆ ABC .
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
8/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Teorema cosinusurilor
Se !"#si$e%&˘ a; b; c > 0; a; b; c l&tu%ile ∆ ABC; &tu#!i &u l"! u%'&t"&%ele˘ %el&¸tii*
2
2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
9/126
2
2
b2
+ c 2
a2
a
= b
+ c
2_ b _ c _ !"s A , !"s A =
+2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
10/126
2 _ b
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
11/126
c
2
2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
12/126
2
a2
+ c 2
b2
b
= a
+ c
2_ a _ c _ !"s B , !"s B =
+/
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
13/126
2 _
a
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
14/126
c
2
2
2
a2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
15/126
a
+ b2 c 2
c
= a
+ b
2_ a _ b _ !"s C , !"s C =
+
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
16/126
2 _ a
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
17/126
b
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
18/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
19/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
20/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: În orice triunghi oarecare, ABC , are loc rela¸tia:
3(GA2 + GB2 + GC 2) = BC 2 + CA2 + AB2;
(5)
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
21/126
( )
unde G este centrul de greutate al triunghiului.
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
22/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: Fie un triunghi ABC avnd lungi!ile laturilor egale cu a; b; c si¸ un "unct "elatura BC:
#tunci are loc rela¸tia($te%art):
c 2 _ C + b
2 _ B A
2 _ BC = B _ C _ BC
(&)
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
23/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
24/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: În orice triunghi oarecare, ∆ ABC; cu !edianele AA! ; BB! si¸ CC ! ; au loc
rela¸tiile:AA
! 2
=2(b2
+ c 2)
a2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
25/126
'
BB! 2
=
2(a22
b2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
26/126
'
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
27/126
CC ! 2
=
2(a2
+ b2)
c 2
'
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
28/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
29/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi tie: # "%i!e △ABC eist&˘ %el& ti&*
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
30/126
si#( A B)
a2
b2
=
si#(
A + B)
c 2
Propozi¸tie:
#"%i!
e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
31/126
b _ !"s C
c _ !"s B=b
2
c 2
a
Propozi¸tie:#"%i!e △ ABC eist&˘%el&¸ti&*
si# A
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
32/126
(b2 + c 2 a2) _ tg A = (a2 + c 2
b2) _ tg B
Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
si#B
si#C
=
r
2
2R
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
33/126
22
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
34/126
+3
+4
+5
+10
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela tii metrice în triunghi
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
35/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
36/126
si#2
A
+ si#2B
+ si#2
C
= 1
r
+11
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
37/126
2R
2
2
2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
38/126
Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
39/126
!"sA!"s
B!"sC
=
p
+12
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
40/126
2
R
22
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
41/126
Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
42/126
p
= "
+1/
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
43/126
rr ar b r c
u#$e* r a; r b ; r c su#t %&ele !e%!u%il"% e#s!%ise ∆ ABC:
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
44/126
Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
a(b + c )+
b(c + a)+
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
45/126
+
c (a + b)
= +1
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
46/126
r a(r b + r c )
r b (r c + r a)
r c (r a + r b )
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
47/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
48/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
49/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic R l tii t i î t l t
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
50/126
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
51/126
a(bc )
+
b(c a)
+c (ab)
= 2+1
r a(r b
r (r
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
52/126
r b (r c
r a)
r c (r a
r b )
r c )
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
53/126
Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
1+1
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
54/126
1+1
=1
+16
r a
r b
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
55/126
r c
r
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
56/126
Propozi¸tie: # "%i!e △ ABC eist&˘ %el&¸ti&*
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
57/126
bc !"s A + ca !"s B + ab !"s C = R +13
a si# A + b si# B + c si# C
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
58/126
Propozi¸tie: # "%i!e t%iu#7(i, "&%e!&%e, ABC &%e l"! %el&¸ti&*
( p a)r a = ( p b)r b = ( p c )r c = ":
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereR l t i hi il
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
59/126
Rezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: D&!&˘ # este !e#t%ul !e%!ului #s!%is # △ ABC &tu#!i lu#7i'ilel&tu%il"% A#; B#; C# su#t*
A# =
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
60/126
bc ( pa)
p
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
61/126
B#=
ac ( pb)
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
62/126
p
:
C# =
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
63/126
ab( p
b)
p
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
64/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
65/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
66/126
BibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: D&!&˘ # este !e#t%ul !e%!ului #s!%is # △
ABC si¸ G este !e#t%ul $e 7%eut&te &l ∆ ABC &tu#!i lu#7i'e& l&tu%ii #G este*
#G2 = p2 + 2r 2 + 16Rr
5
Rela tii metrice în triunghiul oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
67/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: D&!&˘ $ este !e#t%ul !e%!ului !i%!u's!%is △ ABC si¸ % este "%t"!e#t%ul △ ABC &tu#!i lu#7i'e& l&tu%ii $% este*$%
2 = 5R 2 (a2 + b2 + c 2);
+14
# 8u#!¸tie $e R si¸ l&tu%ile △ ABC si¸$%
2 = R2(1 4 !"s A !"s B !"s C);
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
68/126
$% R (1 4 !"s A !"s B !"s C );+15
# 8u#!¸tie $e R si¸ u#7(iu%ile △ ABC:
Rela tii metrice în triunghiul oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
69/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: D&!&˘ $ este !e#t%ul !e%!ului !i%!u's!%is △ ABC si¸ # este !e#t%ul !e%!ului#s!%is △ ABC &tu#!i lu#7i'e& l&tu%ii $# este*
$# = R (R 2r ):
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
70/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
71/126
¸ g
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Teorema lui Pitagora
#t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC , !u i9"te#u&, AB = c si¸ !&tetele, AC = b si¸BC = a, su'& 9&t%&tel"%˘ lu#7i'il"% !&tetel"% este e7&l&˘ !u 9&t%&tul˘ lu#7i'iii9"te#uei, &$i!&*˘
2 2 2 2 2 2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
72/126
AB2 = AC 2 + BC 2 & c 2 = b2 + a2
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
73/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Teorema catetei
#t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC , !u i9"te#u&, AB = c si¸ !&tetele, AC = b si¸ BC = a,lu#7i'e& u#ei !&tete este 'e$i& 7e"'et%i!&˘ $i#t%e lu#7i'e& 9%"ie!¸tiei s&le 9ei9"te#u&˘ si¸ lu#7i'e& i9"te#uei, &$i!&*˘
p
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
74/126
p
AB = B _ BC; AC = C _ BC
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
75/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Teorema înal¸˘timii
#t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC , !u i9"te#u&, AB = c si¸ !&tetele, AC = b si¸ BC = a,
#&l¸˘ti'e& este 'e$i& 7e"'et%i!&˘ & 9%"ie!¸tiil"% !&tetel"% 9ei9"te#u&,˘ &$i!&*˘
A2 = B C
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
76/126
A B _ C
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
77/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Teorema unghiului de /0'
#t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC , !u i9"te#u&, BC = a, !&tetele, AC = b, AB = c ,
m(BAC = 50
'
) si¸ m( ACB = /0
'
), lu#7i'e& !&tetei "9use u#7(iului $e /0
'
este:u'&t&te˘ $i# lu#7i'e& i9"te#uei, &$i!&*˘
AB = BC
2 :
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
78/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
79/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: În orice triunghi dre"tunghic, ABC , cu i"otenu*a, BC = a, catetele, AC = b, AB = c , are loc rela¸tia:
b sin B + c sin C = sina
A :
Propozi¸tie: În
orice
triunghi dre"tunghic, ABC , cu i"otenu*a, BC = a, catetele, AC = b, AB = c , are locrela¸tia:b cos C c cos B =
b2
a
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
80/126
c 2
:
Propozi¸tie: Înoricetriunghidre"tunghic, ABC ,
cui"ot
enu*a, BC = a, catetele, AC = b, AB = c , are loc rela¸tia:
c 2 _ tg B = b2 _ tg C:
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
81/126
(2)
(2)
(22)
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
82/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic
Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecare
BibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
Aplica¸tii
Propozi¸tie: În orice triunghi dre"tunghic, ABC , cu i"otenu*a, BC = a,
catetele, AC = b, AB = c , are loc rela¸tia:
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
83/126
sin(B C )
b2
c 2
(23)
=
:
sin(B + C )
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
84/126
a
2
Propozi tie: În orice triunghi dre"tunghic ABC cu i"otenu*a BC = a catetele AC = bAB i G t l d t t l l ti
3(GA2 + GB2 + GC 2) = 2BC 2:(2')
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
85/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
86/126
Aplica¸tii
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC se !u#"s! i9"te#u& BC si¸ B,&tu#!i &%i& t%iu#7(iului este*
" = a2 si# 2B :
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i!, ABC se !u#"s! i9"te#u& BC si¸ C ,&tu#!i &%i& t%iu#7(iului este*
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
87/126
" = a2 si# 2C :
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
88/126
Aplica¸tii
Rezolarea triunghiurilor oarecare
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s! t"&te l&tu%ile, &tu#!i se 9"t$ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s! $"u&˘ l&tu%i si¸ u#7(iul $i#t%e ele, &tu#!i
se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s!* u# u#7(i, " l&tu%&˘ &l&tu%&t˘&˘ si #&l ˘ti'e& $us&˘ $i# ;%8ul !u#"s!ut &tu#!i se 9"t $ete%'i#&
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
89/126
&l&tu%&t & si¸ #&l¸ ti'e& $us& $i# );%8ul !u#"s!ut, &tu#!i se 9"t $ete%'i#&si¸ !elel<e ele'e#te.
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
90/126
Aplica¸tii
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s!* u# u#7(i, " l&tu%&˘ si¸ #&l¸˘ti'e& 9e%9e#$i!ul&%&˘ 9e l&tu%& !u#"s!ut&,˘ &tu#!i se 9"t $ete%'i#& si¸!elel<e ele'e#te.
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i se !u#"s!* " l&tu%&,˘ se'i9e%i'et%ul si¸ u#7(iul "9us l&tu%ii
!u#"s!ute, &tu#!i se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i se !u#"s!* " l&tu%&,˘ se'i9e%i'et%ul si¸ u# u#7(i &l&tu%&t˘l&tu%ii !u#"s!ute, &tu#!i se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
91/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
92/126
Aplica¸tii
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s!* &%i&, se'i9e%i'et%ul si¸ u# u#7(i, &tu#!i
se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i "&%e!&%e se !u#"s!* r a; r b ; r c %&ele !e%!u%il"%e#s!%ise t%iu#7(iului, &tu#!i se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
93/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
94/126
Aplica¸tii
Rezolarea triunghiurilor dreptunghice
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s!* !&tetele b si¸ c , &tu#!i se 9"t$ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s!* " !&tet&˘ si¸ i9"te#u& a, &tu#!i se 9"t
$ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s!* " !&tet&˘ si¸ u# u#7(i &s!u¸tit &tu#!ise 9"t $ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
95/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
96/126
Aplica¸tii
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s!* i9"te#u& si¸ u# u#7(i &s!u¸tit, &tu#!i
se 9"t $ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
Propozi¸tie: D&!&˘ #t%-u# t%iu#7(i $%e9tu#7(i! se !u#"s! i9"te#u& si¸ su'& !&tetel"%, &tu#!i se9"t $ete%'i#& si¸ !elel<e ele'e#te.
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
97/126
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
98/126
Aplica¸tii
Aplica¸tie
Se !"#si$e%&˘ a; b; c > 0; a; b; c l&tu%ile △ ABC , # !&%e &%e l"! %el&¸ti&*si#2 B + si#2 C = si#2 A:+2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
99/126
Atu#!i* ∆ ABC este $%e9tu#7(i!.
Rela¸tii metrice în triunghiul oarecareRela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în triunghiul dreptunghic Rela¸tii metrice în patrulatereRezolvarea triunghiurilor oarecareBibliografieRezolvarea triunghiurilor dreptunghice
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
100/126
Aplica¸tii
!emonstra¸tieDi# te"%e'& si#usu%il"% &)e'*
a
=
b=c
;
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
101/126
si# A
si# B
si# C
&tu#!i %el&¸ti& (2) $e)i#e*
b2 _ si#2 A+
c 2 _ si#2 A= si#2 A , b2 + c2 = a2: a2 a2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
102/126
+ = si#2 A , b2 + c 2 = a2: a2 a2
Di# %e!i9%"!& te"%e'ei lui Pit&7"%& %eult&˘ !&*˘ ∆ ABC este $%e9tu#7(i!+ A =
50':
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatere
Rela¸tii metrice în patrulatere Aplica¸tii
Bibliografie
Rela¸tii metrice în patrulatere
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
103/126
Propozi¸tie: Fie ABC u# 9&t%ul&te% &%
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
104/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
105/126
9&t%u "%i 9&t%&tul˘ se7'e#tului !&%e u#e¸ste 'i:l"&!ele$i&7"#&lel"%.A$i!&*˘
AB2 + BC 2 + C2 + A2 = AC 2 + B2 + () 2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
106/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatereRela¸tii metrice în patrulatere Aplica¸tii
Bibliografie
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
107/126
!e"ini¸tie: A#ti!e#t%ul u#ui 9&t%ul&te% i#s!%i9ti
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
108/126
2
e2
u#$e AC = m; B = n; R %&& !e%!ului #s!%is si¸ e este $ist¸t&$i#t%e 'i:l"&!ele $i&7"#&lel"%
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
109/126
$i#t%e 'i:l"&!ele $i&7"#&lel"%.
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
110/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatereRela¸tii metrice în patrulatere Aplica¸tii
Bibliografie
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
111/126
RezolareN"t&'˘ l&tu%ile AB = l ; BC = l 2; A = l 3 si¸ u#7(iu%ile = *; C = +: Du!e'9e%9e#$i!ul&%ele AA! ; BB! 9e C si¸ 9e%9e#$i!ul&%& A( 9e BB! :# △ AA! *
A =
*;
!"s =
A!
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
112/126
A
) A! = A !"s
A
si# =
AA!
) AA! = l
3 si# *:
l 3
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
113/126
# △BB! C *
BB! = l 2 si# +; B
! C = l 2 !"s + B
! ( = A! A = l 3 si# *;
(B = BB! B! ( = l 2 si# + l 3 si# *:
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatere
Rela¸tii metrice în patrulatere
Aplica¸tii
Bibliografie
# △ A(B*A(
2 = l
2
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
114/126
(B2 = l 2 (l 2 si# +
l 3 si# * )2
m(B) = m(B) + m(B2)
u#$e
+
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
115/126
si¸
A(
A(
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
116/126
si# B2 =
) B2 = &%!si#
:
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
117/126
l
l
O
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
118/126
A( = A! B! = A! + B!
A! =
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
119/126
B! = A! B!
l ,2
(l 2 si# + l 3 si# * )
2 A !"s ;
$u9&˘ !&%e si¸
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
120/126
C = B!
+ B! C =
l ,2
(l 2 si# +
l 3 si# * )2 + l 2 !"s +:
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
121/126
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
122/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatere
Bibliografie
#i$liogra"ie
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
123/126
C. F%i7i"iu, Rela¸tii metrice în triunghi si¸ patrulater , >&l&¸ti, 2010?
I. C(i¸tes!u, M. C(i%i¸t&,˘ Geometria patrulaterului, E$itu%& Te"%&,1554? I. Su)"%") Curs de matematici superioare, E$. Te(#i!&,˘ 15?
F. Tu%t"iu, Probleme de Trigonometrie, E$itu%& Te(#i!&,˘ @u!u%e¸sti1546? T. L&les!u, Geometria triunghiului, E$itu%& A9"ll", C%&i")&,155/?
V. @"s"B, L. Ni!"les!u, Probleme practice de geometrie, E$. Te(#i!&,˘
@u!u%e¸sti, 1540?
Concursul Gazeta Matematica:"Rela¸˘tii metrice în triunghiul
oarecare", 2011?Probleme din revista Gazeta Matematica˘ cd!#$% ?
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
124/126
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatere
Bibliografie
R i t d M t ti ˘
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
125/126
Revista de Matematica˘ , -aia are, 23/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, 0cto!1rie, 2/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, artie, 2/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, $e"te!1rie, 2/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, 0cto!1rie, 2'/Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, $e"te!1rie, 2'/
Revista &lectronica˘ Mate'n(o!ro, Fe1ruarie, 25/)iitori*limpici!ro+ "Rela¸tii metrice în triunghiul oarecare",222.
Rela¸tii metrice în triunghi Rela¸tii metrice în patrulatere
Bibliografie
8/20/2019 Prezentare RELATII METRICE ÎN PLAN
126/126
VA MUL¸TUMESC!
Top Related