Predarea matematicii pentru elevi de performanta Conf.dr.Cringanu JenicaObiectivele disciplinei:- Identificarea conexiunilor utile dintre matematica elementara si cea universitara; - Obinerea unor noi inegaliti, pornind de la inegaliti celebre n matematic; - Valorificarea si configurarea de modele ludice in predarea elementelor de analiza combinatorie; - Dezvoltarea interesului i a motivaiei pentru studiul i aplicarea elementelor de analiz combinatoric; - Identificarea celor mai potrivite metode de predare a funciilor i a ecuaiilor funcionale; - Exprimarea i redactarea corect i coerent n limbaj formal sau n limbaj cotidian, a rezolvrii sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme.

Competene:- Utilizarea corecta a algoritmilor matematici in rezolvarea de probleme cu grade diferite de dificultate; - Generalizarea unor proprieti prin modificarea contextului iniial de definire a problemei sau prin mbuntirea sau generalizarea algoritmilor; - Folosirea corecta a terminologiei specifice matematicii in contexte variate; - Analiza unei situaii problematice i determinarea ipotezelor necesare pentru obinerea concluziei; - Folosirea corect a terminologiei specifice matematicii n contexte variate; - Dobndirea unei imagini de ansamblu a matematicii elementare ca parte a unui sistem aflat n permanent evoluie i interaciune cu lumea nconjurtoare. Coninutul cursului: Cap. I. Inegalitati celebre in matematica elementara .......................................... 4 ore Modalitati de integrare a inegalitatilor lui Holder, Minkowski, Cauchy, Bernoulli, Cebisev in pregatirea suplimentara. Metoda inductiei matematice in predarea inegalitatilor. . CapII. Analiza combinatorie....................................................................................4 ore Principiul includerii si al excluderii. Probleme de combinatorica a multimilor. Identitati combinatorii, formulele de inversiune si numerele lui Stirling, Bell, Fibonacci, Catalan. Cap.III. Probleme de teoria functiilor.................................................................... 4 ore Functii injective, surjective, bijective. Ecuatii functionale. Cap.IV. Tehnici moderne de rezolvare a problemelor date la concursurile scolare.................................................................................................................................2 ore Coninutul seminariilor: Aplicaii la temele de la curs.

CAP. I. Inegaliti celebre n matematica elementarChiar daca avem impresia ca stim totul despre aceasta lume eleganta a inegalitatilor, totdeauna mai avem ceva de descoperit. Inegalitatea lui HLDER () ai, bi R, i =1, n , p,q > 1,n 1/p

1 1 + =1 p q1/q

n n | aibi | | ai |p | bi |q . i=1 i=1 i=1

p =q =2

Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski-Schwartz: () ai, bi R, i = 1, n n n n ai bi ai2 bi2 . i =1 i =1 i =1 Aplicatie. Fie x1, x2, , xn >0 astfel incat x1+ x2+ + xn=1. Atunci 1 1 1 + + ... + n 2 . x1 x2 xn Obtineti alte inegalitati particularizand inegalitatea lui Cauchy.2

Rezolvare. Se obtine din inegalitatea lui Cauchy luand ai = xi , bi = 1 xi

Inegalitatea lui MINKOWSKI () ai, bi R, i = 1, n , p 1 Ce se obtine pentru p=2 ?

n p | ai + bi | i =1

1/ p

n | ai | p i =1

1/ p

n + | bi | p i =1

1/ p

.

Inegalitatea lui JENSEN Fie I R, interval i f: I R, convex. Atunci () ai I, i > 0, i = 1, n avem n i xi f i =1 n i i =1 f : (0, ) R f ( x ) = ln x

f (x )i =1 i i

n

i =1

n

.

i

Inegalitatea mediilor ponderate: () x1, x2,,xn > 0, 1, 2,..., n > 0

xi =1 n

n

i i

Ce inegalitati se obtin luand: a) , , n 2 b) ,

i =1

i

xii i =1n

i . i=1 n

1

1= 2 = = n =

1 n

Inegalitatea mediilor () x1, x2,, xn > 0,

xi =1

n

i

n

n x1 x2 ...xn

,

Incercati sa demonstrati inegalitatea mediilor folosind metoda inductiei matematice. Inegalitatea lui CEBEV () ai, bi R, i = 1, n , a1 a2 . . . an, b1 b2 . . . bn

aibii =1

n

n

aii =1

n

n

b .i =1 i

n

n

Inegalitatea lui BERNOULLI () n N, a > -1, (1 + a)n 1 + na.

Cum se demonstreaza inegalitile de mai sus ?

metoda induciei matematice reducerea la alte inegalitati cunoscute folosind funciile derivabile

Incercati sa demonstrati !

Vom aplica aceste inegalitati in: obtinerea altor inegalitati rezolvarea unor probleme de minim i maxim rezolvarea unor probleme propuse n revistele de matematic, concursuri i olimpiadele colare. 1. Fie a1, a2,,an, b1, b2,,bn > 0. Atuncin

( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) ... ( an + bn )

n a1 a2 ...an + n b b2 ...bn 1 (Olimpiada U.R.S.S.)

2. Fie a1, a2,,an > 0 astfel nct a1 a2 an = 1. Atunci (1+a1)(1+a2)(1+an) 2n. (Concurs R.D.G.)2 2 2 3. S se determine minimul expresiei E = x1 + x2 + ... + xn tiind c x1+x2++xn=1.

4. S se demonstreze inegalitatea: x( y + z) + 3 y ( x + z) z ( x + y) + 3 3 2 (x+y+z), x, y, z R+. 3 (G.M. 1/1992)

5. Artai c dac a, b, c R*+ i a + b + c = k, avem inegalitatea: a ( b + 1) + b ( c + 1) + c ( a + 1) k ( k + 3) . 6. Fie x, y, z (0; ) astfel nct x + y + z = 1 . S se arate c: 2

1 1 1 + + 9. y+z z+x x+ y n ce caz avem egalitate? (Baraj, Vrancea, 2001) 7. Artai c dac a, b, c > 0, avem inegalitatea: b+c c+a a+b 3 + + . 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 2 8. Fie a,b R i a2 + b2 = 1. S se afle cea mai mare valoare a expresiei E = a b (a+b). (G.M. 5/1992) 9. Fie x,y > 0. S se calculeze cea mai mare valoare pe care o poate lua expresia: xy . x + y x y2 + x + y3 3 2

(Concursul Radu Miron, 2002) 10. Fie n 3 natural i s= xn 1 xn x1 x2 + + ... + + x1 + x2 x2 + x3 xn 1 + xn xn + x1

unde x1, x2, , xn R*+. S se arate c s < n-1. S se determine mulimea tuturor valorilor lui s cnd x1, x2,, xn variaz n R*+. (Etapa final, 1987)

CAP. II. Analiza combinatorieStiti sa numarati? E o intrebare care pare simpla in matematica; si un copil de clasa I-a ar raspunde DA. Raspunsul se dovedeste a fi foarte complicat cand este vorba de numararea submultimilor cu anumite proprietati ale unei multimi, de impartirea unei multimi in submultimi, de aranjarea elementelor unei multimi intr-un anumit fel. Vom enunta doua principii de baza in analiza combinatorie, pe care le vom folosi apoi in rezolvarea unor probleme. 1. Principiul lui Dirichlet (sau Principiul cutiei) A fost utilizat pentru prima data de Dirichlet (1805-1859) in teoria numerelor. Ulterior, F. P. Ramsey a generalizat acest principiu, numerele lui Ramsey constituind unul din capitolele importante din combinatorica. Formulare intuitiva : Daca incercam sa punem n+1 bile in n cutii, atunci exista o cutie care contine cel putin doua bile. Partitie ? Formulare matematica : Fie A o multime nevida, iar A 1 ,A 2 ,,A n o partitie a lui A. Daca avem n+1 elemente din A, a1, a2,an, an+1, atunci exista o submultime Ai a partitiei care sa contina cel putin 2 elemente ale multimii { a1,a2,an,an+1}. Incercati sa aplicati principiul cutiei:

Intr-un grup de 13 persoane exista doua nascute in aceeasi luna. Se da un cub de latura 1. Sa se arate ca oricum am alege 28 de puncte interioare, cel putin doua dintre ele sunt situate la distanta mai mica sau egala cu .

2. Principiul includerii si al excluderii Acest principiu foarte important este o generalizare a regulei de calcul pentru cardinalul reuniunii de multimi finite, nu neaparat disjuncte.

card(AB) = card A+ card B card (AB)

A

B

Ce devine formula pentru trei multimi A, B, C ? A C

B

Teorema. Fiind date n multimi finite A1, A2,, An, atunci card( Ai ) = card Ai i= 1i =1 n

n

1 0 astfel nct f(n) a n2, () n N. Atunci f nu poate fi surjectiv. 5. Fie f: N N injectiv. Atunci exist lim f(n) = . n 6. Gsii funciile f: Q Q pentru care f(1) = 2 i () x, y Q avem: f(x y) = f(x) f(y) f(x+y) + 1. 7. S se determine toate funciile f: Z R astfel nct f(-1) = f(1) i pentru orice numere ntregi x,y avem f(x) + f(y) = f(x + 2xy) + f(y 2xy). 8. S se determine toate funciile f: N N care verific pentru orice numere naturale x,y relaia f(x + f(y)) = f(f(x)) + f(y). 9. tiind c f: R R, f(0) = a, a R, s se determine expresia funciei f, dac: f(x + y) = x y + f(y + 1), x,y R. 10. Determinai funcia f: R\{-1} R care verific relaia: 1 x f(x) + 2 f = x, () x R. 1+ x 11. S se determine funcia f: R \ {-1;1} R care verific relaia: x+3 x 3 f(x) f -f = x, () x R \ {-1;1}. 1 x 1+ x (C.M. 1986) 12. Fie f: R R, astfel nct a f(x) + b f(3 x) = -3x + 5, pentru orice x R, a, b fiind constante reale. S se determine funcia f stiind ca f(1) = 2 i f(2) = 5. 13. S se determine funciile f i g: R R tiind c

2f(x) + f(1-y) + g(x) g(y) = 3 (x+1)2 6y, ()x,y R. 14. S se arate c nu exist funcii f : Z Z cu proprietatea : f(f(x)) = x+1, ()xZ.

Bibliografie: 1. M. Becheanu, B. Enescu, R. Gologan, M. Baluna, Zece lectii alese de matematica elementara , SSMR, Ed. Paralela 45, 1998; 2. M. Becheanu, A patruzeci si treia OIM, 2002, GMB12/2002; 3. T. Andreescu, D. Andrica, O introducere in studiul ecuatiilor diofantice, Ed. Gil, Zalau, 2002; 4. I. Tomescu, Probleme de combinatorica si teoria grafurilor, EDP, Bucuresti, 1981; 5. M.Lascu, L. Panaitopol, Inegalitati, Ed. Gil, Zalau, 1996; 6. M.Ganga, Teme si probleme de matematica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1991; 7. D. Serbanescu, L. Panaitopol, Probleme de teoria numerelor si combinatorica pentru juniori, Ed. Gil, Zalau, 2003; 8. M. Becheanu, Probleme alese din olimpiadele de matematica, Ed. Gil, Zalau, 1996; 9. J. Cringanu, C. Ursu, Culegere de probleme pentru concursurile scolare clasele IX-X, Ed. Porto Franco, Galati, 1992; 10. Colectia revistei Gazeta matematica; 11. Colectia revistei de matematica a societatii de stiinte matematice Galati.