2
3
4
ÃncercÄri de fiabilitate
ÃncercÄri complete;
ÃncercÄri cenzurate;
ÃncercÄri trunchiate.
Teoria estimaÈiei
5
ðŽðð ðð, ðð ðð
ððð¡ðŸ â áŸ0, á»ð¡1
ðŽðð ðð â ðð, ðð ðð+ð
ðð ðð1
1 â ð¹(ð¡á»
ðð ðð1
1 â ð¹(ð¡á»
ððð¡ðŸ â ââ, 0
ðŽðð ðð â ðð, ðð ðð+ð
ðŽðð ðð, ðð ðð
ðð ðð1
á»1 â ð¹(ð¡= ðœ â ðð ð¡ â γ â ðœ â ððð
ð¹ ð¡ = ðð ð †ð¡ = 1 â ðâ
ð¡âðŸð
ðœ
ðŸ
ðŠ = ðð ðð
1
1 â ð¹(ð¡)
ðŽ = âðœ â ððð ðµ = ðœ
ð¥ = ðð(ð¡ â á»
6
ðð ðð1
1 â ð¹(ð¡á»
ððð¡
ðŽðð ðð â ðð, ðð ðð+ð
ðŽðð ðð, ðð ðð
ðŸ1ðŸð+1 > ðŸð
ðð ðð1
1 â ð¹(ð¡á»
ððð¡
ðŽðð ðð â ðð, ðð ðð+ð
ðŽðð ðð, ðð ðð
ðŸ â áŸ0, á»ð¡1
Æž
ðŸ
100 1000 1 104
7
ðð ðð1
1 â ð¹(ð¡á»
ððð¡
ðŽðð ðð, ðð ðð
ð¡1 ð¡2 ð¡3
ðŠ1
ðŠ2
ðŠ3
âðŠ
âðŠ
à·ðŸ =ð¡1 â ð¡3 â ð¡2
2
ð¡1 + ð¡3 â 2 â ð¡2
ðº = ð=1
ð
ðð2 =
ð=1
ð
ðŽ + ðµ â ðð ð¡ð â ðŸ â ðŠð2 = ððð.
ð â
ð=1
ð
ðð2 ð¡ð â ðŸ â
ð=1
ð
ð¡ð â ðŸ
2
â
ð=1
ððŠð
ð¡ð â ðŸâ
â
ð=1
ð
ðŠð â
ð=1
ð
ðð2 ð¡ð â ðŸ â
ð=1
ð
ðŠð â ðð ð¡ð â ðŸ â
ð=1
ð
ðð ð¡ð â ðŸ â
ð=1
ð1
ð¡ð â ðŸâ
â ð â
ð=1
ð
ðŠð â ðð ð¡ð â ðŸ â
ð=1
ð
ðŠð â
ð=1
ð
ðð ð¡ð â ðŸ â
ð=1
ððð ð¡ð â ðŸ
ð¡ð â ðŸ= 0
ðµ =ð â Ïð=1
ð ðŠð â ðð ð¡ð â ðŸ â Ïð=1ð ðŠð â Ïð=1
ð ðð ð¡ð â ðŸ
ð â Ïð=1ð ðð2 ð¡ð â ðŸ â Ïð=1
ð ðð ð¡ð â ðŸ2
ðŽ =Ïð=1
ð ðŠð â Ïð=1ð ðð2 ð¡ð â ðŸ â Ïð=1
ð ðŠð â ðð ð¡ð â ðŸ â Ïð=1ð ðð ð¡ð â ðŸ
ð â Ïð=1ð ðð2 ð¡ð â ðŸ â Ïð=1
ð ðð ð¡ð â ðŸ2
ðŸ
8
c ( )
50 40 30 20 10 0 10 20 30 40
0
2
4
ðŸ
ð ðŸ
ðŸ
1
ðœ+
1
ðâ
ð=1
ð
ðð ð¡ð â ðŸ âÏð=1
ð ð¡ð â ðŸðœ â ðð ð¡ð â ðŸ + ð â ð â ð¡ð â ðŸ
ðœ â ðð ð¡ð â ðŸ
Ïð=1ð ð¡ð â ðŸ ðœ + ð â ð â ð¡ð â ðŸ ðœ
= 0
ð =1
ðâ
ð=1
ð
ð¡ð â ðŸðœ â ð â ð â ð¡ð â ðŸ
ðœ
΀1 ðœ
ð â ðœ âÏð=1
ð ð¡ð â ðŸðœâ1 + ð â ð â ð¡ð â ðŸ
ðœâ1
Ïð=1ð ð¡ð â ðŸ ðœ + ð â ð â ð¡ð â ðŸ ðœ
â ðœ â 1 â
ð=1
ð
ðð1
ð¡ð â ðŸ= 0
.
ðŸ + ð â ð€1
ðœ+ 1 =
1
ðâ
ð=1
ð
ð¡ð
ð2 â Î2
ðœ+ 1 â Î
1
ðœ+ 1
2
=1
ð â 1â
ð=1
ð
ð¡ð â Ò§ð¡2.
ðŸ +ð
ðâ
1ðœ
â ð€1
ðœ+ 1 = ð¡1
àµ
ð = Ò§ð¡
ð2 = ð 2 .ðž ð 1 = ð¡ 1
9
ð ð, ð =ð¶ðð ð, ð
ð ð â ð ð
ð ðŸ =Ïð=1
ð ðð ð¡ð â ðŸ â ðŠð âÏð=1
ð ðð ð¡ð â ðŸ â Ïð=1ð ðŠð
ð
Ïð=1ð ðð2 ð¡ð â ðŸ â
Ïð=1ð ðð ð¡ð â ðŸ
2
ðâ Ïð=1
ð ðŠð2 â
Ïð=1ð ðŠð
2
ð
à·ðŸ ð ðŸ
10
ð = 10, ð = 6
ð¡ð: 46, 64, 83, 105,
123, 150
ð = 10, ð = 10
ð¡ð: 200, 370, 500,
620, 730, 840, 950,
1050, 1160, 1400
11
ðŸ
12
ð¶1 â ð â âðð 1 âð â 0.3
ð + 0.4
΀1 ðœ
+ ð¶2 â ð¶3 â ð + ð â 1 + ð¶4 ⶠððð.
1 â ð
1 + ð=
1 â2
9 â ðððð+ ð§ðŒ
2â
29 â ðððð
΀1 2
1 â2
9 â ððððâ ð§ðŒ
2â
29 â ðððð
΀1 2
΀3 ðœ
ððð ⥠ðððððð
ððð †ðððððð¥
ððð †ððð
ððð â¥ð
1 + ðâ ððð +
ððð + 2 â ððð + 2 â ððð§ðŒ2â 2 â ðð 1 â 1 + ð2
1 + ð
ð¶1
ð¶2
ð¶3
ð¶4
ð:
ð = ð + ð â 1
ðððð¥
ð
ð
ð ð
13
10â12,
ð = 120ð = 40
ð, ð = 2.226 â 104
Graf
ððð †ðððððð¥
ððð †ððð
ððð ⥠ðððððð
ð
ð
ððð ⥠ðŽ â ððð + ðµ
ð¶ð ð, ð
14
15
â ð¡ð , ð =ð!
ð â ð !â à·
ð=1
ð
ð ð¡ð â 1 â ð¹ ð¡ððâð
1
áðœ+
1
ðâ
ð=1
ð
ððð¡ð âÏð=1
ð ð¡ððœâ ððð¡ð + ð â ð â ð¡ð
ðœâ ððð¡ð
Ïð=1ð ð¡ð
ðœ+ ð â ð â ð¡ð
ðœ= 0
à·ððœ =
1
ðâ
ð=1
ð
ð¡ððœ+ ð â ð â ð¡ð
ðœ
΀áðœ ðœ = ð£ ð, ð Èi áðœ â ln ΀à·ð ð = ð ð, ð
ð¡ð ðð + 1
16
1
⢠Date iniţiale:
⢠ð â volumul eÅantionului;
⢠r â nivelul de cenzurare
2
⢠Generarea a ð numere aleatorii uniforme (ððð, ð = 1, ð), în intervalul áŸ0,1]
3
⢠Calculul timpilor de deteriorare (ð¡ð) prin utilizarea funcÈiei inverse
de repartiÈie, ecuaÈia: ð¡ð = ðð1
1âððð
4⢠Ordonarea crescÄtoare a valorilor ð¡ð, obÅ£inute la pasul 3
5
⢠Trunchierea acestor valori la nivelul ð, prin reÅ£inerea valorilor:
⢠ð¡ 1 †ð¡ 2 †⯠†ð¡ ð †⯠†ð¡ ð
6
⢠Estimarea parametrilor repartiÅ£iei Weibull, pe baza celor ð valori determinate la pasul 5, prin rezolvarea sistemului de ecuaÅ£ii (1.84)
7
⢠Calculul valorilor variabilelor aleatorii specifice:
⢠áðœ1 = ð£ ð, ð Èi áðœ1 â ðð Æžð1 = ð ð, ð
8⢠Se repetÄ paÅii 1 ÷ 7 de ðð ðð ori
9
⢠Se determinÄ cuantilele veriabilelor aleatorii, considerând cele ðð ðð realizate pentru fiecare caz în parte
10
⢠Date de ieÅire:⢠fiÅiere ASCII (*. prn) care conÅ£in valorile cuantilelor.
1 â ðŒ
áðœ
ð£1â
ðŒ2
ð + 1, ð< ðœ <
áðœ
ð£ðŒ2
ð, ð
ðœ0:
17
1 â ðŒ
Æžð â ðð¥ðâð
1âðŒ2
ð + 1, ð
áðœ< ð < Æžð â ðð¥ð
âððŒ2
ð, ð
áðœ
ð0
ð = 15ð¡ð = 300 ððð,
ð = 100, 300 .
ááðœ = 1.22à·ð = 268
.
1 â ðŒ = 0.90,
1.22
1.836= 0.664 < ðœ <
1.22
0.7198= 1.695
1 â ðŒ = 0.90
268 â ðð¥ðâ0.4755
1.22< ð < 268 â ðð¥ð
â0.876
1.22
181.496 < ð < 549.731
18
ð ð¡ = ðœ â ð â ð¡ðœâ1 â ðâðâð¡ðœ
ðð ðœ = ðœð = ðð, ð = 1, ð
â ð ðœð =ðŒð
ðð â ðððâ1
ð€ ððâ ðâðâðŒð
â ð, ðœ ð¡ð =ð!
ð â ð !â à·
ð=1
ð
ð ð¡ð â 1 â ð¹ ð¡ððâð =
= ð¶ â ðð â ðœð â ð¢ðœâ1 â ðâðâð£
ð ð¡1, ð¡2, ⯠, ð¡ð ð, ðœð =ðð â â ð ðœð â â ð, ðœ ð¡ð
0â
Ïð=1ð ðð â â ð ðœð â â ð, ðœ ð¡ð â ðð
=
=ðð â ð
ð â ðœðð â ð¢ðœðâ1 â ðâðâð£ð â
ðŒððð â ðððâ1
Î ððâ ðâðâðŒð
ðð ð
19
ðœð :
ðð ðœ = ðœð ð¡ð = ððð = න
0
â
ð ð¡1, ð¡2, ⯠, ð¡ð ð, ðœð â ðð =
=ðð â ðœð
ð+1 â ð¢ðœðâ1 âðŒð
ðð
Î ððâ
Î ð + ððð£ð + ðŒð ð+ðð
ðð ð
ð ð ð¡1, ð¡2, ⯠, ð¡ð =
ð=1
ð
ð ð¡ð ð, ðœð =
=
Ïð=1ð ðð â ðœð
ð â ð¢ðœðâ1 âðŒð
ðð
Î ððâ ðâðâ ð£ð+ðŒð â ðð+ððâ1
ðð ð
ð ðð , ð = ðð â ð2
ðð ð
áðœð = ðž ðœ ð¡ð =
ð=1
ð
ððð â ðœð =
=
Ïð=1ð ðð â ðœð
ð+1 â ð¢ðœðâ1 âðŒð
ðð
Î ððâ
Î ð + ððð£ð + ðŒð
ð+ðð
Ïð=1ð ðð â ðœð
ð â ð¢ðœðâ1 âðŒð
ðð
ð€ ððâ
Î ð + ððð£ð + ðŒð
ð+ðð
áðð = ðž ð ð¡ð = න0
â
ð â ðð ð ð¡ð â ðð =
=
Ïð=1ð ðð â ðœð
ð â ð¢ðœðâ1 âðŒð
ðð
ð€ ððâ
Î ð + ðð + 1ð£ð + ðŒð ð+ðð+1
Ïð=1ð ðð â ðœð
ð â ð¢ðœðâ1 âðŒð
ðð
ð€ ððâ
Î ð + ððð£ð + ðŒð
ð+ðð
20
βi pi
áðœðµð¿ðŒðž
1
⢠Date iniţiale:
⢠ð â volumul eÅantionului;
⢠r â nivelul de cenzurare
2
⢠Generarea a ð numere aleatorii uniforme (ððð, ð = 1, ð), în intervalul áŸ0,1]
3
⢠Calculul timpilor de deteriorare (ð¡ð) prin utilizarea funcÅ£iei
inverse de repartiÅ£ie, ecuaÅ£ia: ð¡ð = ðð1
1âððð
4⢠Ordonarea crescÄtoare a valorilor ð¡ð, obÅ£inute la pasul 3
5
⢠Trunchierea acestor valori la nivelul ð, prin reÅ£inerea valorilor:
⢠ð¡ 1 †ð¡ 2 †⯠†ð¡ ð †⯠†ð¡ ð
6
⢠Estimarea parametrilor repartiÅ£iei Weibull, pe baza celor ð valori determinate la pasul 5, prin rezolvarea sistemelor de ecuaÅ£ii (1.103) Åi (1.104)
7
⢠Calculul valorilor variabilelor aleatorii specifice:
⢠áðœ1,ðµð¿ðŒðž = ð ð, ð Èi áðœ1,ðµð¿ðŒðž â ðð Æžð1,ðµð¿ðŒðž = ð ð, ð
8⢠Se repetÄ paÅii 1 ÷ 7 de ðð ðð ori
9
⢠Se determinÄ cuantilele veriabilelor aleatorii, considerând cele ðð ðð realizate pentru fiecare caz în parte
10
⢠Date de ieÅire:⢠fiÅiere ASCII (*. prn) care conÅ£in valorile cuantilelor.
áà·ðŸðµð¿ðŒðž = ðŽ(ð, ð, 1á» â ððð¡1 + ðŽ(ð, ð, 2á» â ððð¡2 + â¯+ ðŽ(ð, ð, ðá» â ððð¡ðáð¿ðµð¿ðŒðž = ð¶(ð, ð, 1á» â ððð¡1 + ð¶(ð, ð, 2á» â ððð¡2 + â¯+ ð¶(ð, ð, ðá» â ððð¡ð
,
ááðœðµð¿ðŒðž =
1
áð¿ðµð¿ðŒðžÆžððµð¿ðŒðž = ð
à·ðŸðµð¿ðŒðž
.
΀ðœ áðœðµð¿ðŒðž = ð ð, ð
ð ð, ð
ð 1 ðð , ðð â áðœðµð¿ðŒðž †ð 2 ðð , ðð â áðœðµð¿ðŒðž †⯠†ð ðð ðð ðð , ðð âáðœðµð¿ðŒðž ,
àµðœð = ðŠð
â²
ðð = ðð.
21
αi qi
ð .
ð = ððœð ð ð¥ = ðð â ðâððâð¥
ðð
áðð = ðð â ð=1
ððð¥ð + ðð â ðð â ð¥ð
â1
2 â ð â ððáðð
â ð2 ð¥, 2 â ð
ð = ð2 â ð
ð ðð =1
áððð
ð
â Î ð
â ðððâ1 â ðð¥ð â ΀ð â ðð áðð
ð2 = ΀áðð 2 â ð
á
ðð = ð
ðŒð =ð
áðð= ð â Æžððð
ðœð
ð ð¥ =1
2 ΀ð 2 â Π΀ð 2â ð¥ ΀ð 2â1 â ðâ ΀ð¥ 2
ð¹ ðŠ = 0
ðŠ
ð2 1
2âð2 ΀ð 2âΠ΀ð 2â ðŠ
ð
2â1 â ð
âðŠ
2âð2 â ððŠ
22
ð ðð ðð = 1000 ð = ð = 5; 10; 20 ðœ = ð = 1
ð ð àŽ€ð
ðððð ðððð¥ ð ð2
ð ð ð ð2
ðœ ð ð = 20 ð = 15.
Ò§ð
23
ð¥1, ð¥2, ⯠, ð¥ð , ⯠, ð¥ð ,
â ð¥ð , ð = à·
ð=1
ð
ð ð¥ð â 1 â ð¹ ð¡ðnâr =ðð â ðâðâ Ïð=1
ð ð¥ð+ ðâð âð¡ð
áð =ð
Ïð=1ð ð¥ð+ ðâð âð¡ð
2 â ð â áð
ððŒ2,2âð
2 †ð â€2 â ð â áð
ð1â
ðŒ2,2âð
2
ð¥1,1, ð¥2,1, ⯠, ð¥ð,1, ⯠ð¥ð,1ð¥1,2, ð¥2,2, ⯠, ð¥ð,2, ⯠, ð¥ð,2â®ð¥1,ð, ð¥2,ð, ⯠, ð¥ð,ð, ⯠, ð¥ð,ð
ð1â, ð2
â,⯠, ððâ,⯠, ðð
â Ξ = Ò§ðâ =
Ïð=1ð áðð
â
ð
áð1â â Ò§ðâ, áð2
ââ Ò§ðâ, ⯠, áððâ â Ò§ðâ
λð¿â = áð â áð â ð
1âðŒ2
λðâ = áð â áð â ð ðŒ
2
24
ð = 10
ð = 20
ð = 30:
1000100101
99
90
80706050
40
30
20
10
5
3
2
1
ti
Pe
rce
nt
Mean 88.41
N 10
AD 0.223
P-Value 0.913
Exponential - 95% CI
Probability Plot of sample size n=10
10001001010.1
99
90
80706050
40
30
20
10
5
3
2
1
ti
Pe
rce
nt
Mean 46.72
N 30
AD 0.177
P-Value 0.973
Exponential - 95% CI
Probability Plot of sample size n=30
ð = 100001 â ðŒ = 0.90
25
ðâ
ð = ð = 20 ð = 20 Èð ð = 5.
0.0140.0120.0100.0080.0060.0040.002
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
C3
Fre
qu
en
cy
Histogram of C3
0.00800.00640.00480.00320.00160.0000-0.0016
800
700
600
500
400
300
200
100
0
C4
Fre
qu
en
cy
Histogram of C4
Histograma estimaÈiilor Æžððâ Histograma estimaÈiilor Æžðð
ââ Ò§ðâ
26
ð ð
ð ð¡ =ð¡
ð2â ð
â12â
ð¡ð
2
, ð > 0, ð > 0
ð1 ð2 ð1,2~ð(ðŠ, 0, ðá» = 0
1=
2= ð
ð = ð12 + ð2
2
â ð¥ð , ð =ð!
ð â ð !â ðâ2âð â à·
ð=1
ð
ð¥ð â ðâ
12âð2
â Ïð=1ð ð¥ð
2+ ðâð âð¥ð2
à·ð =1
2 â ð, ðâ ð¯Î£
2 ð¯Î£2 =
ð=1
ð
ð¥ð2 + ð â ð â ð¥ð,ð
2:
ð°0 ð = ðŒð,ð ð , ð, ð = 1, ð, ðŒð,ðð = ðž â
ð2ðððâ ð¥, ðð
ððð â ððð ðð=ðððð â ðð
ð°0 ð ð,ðâ1 ΀1 2
â ð© ð§, 0,1
27
ð à·ð = âð2ððâ ð¥ð , ð
ðð2ð=à·ð
â1
=1
à·ð2â
3
à·ð2â ð¯Î£
2 â 2 â ð
â1
ð Ί =ðð ð
ð ðâ ð ð ,
Ί = ð ð ,
ð Ί = ð Ί
Ί + ð§ðŒ2â ð Ί †Ί †Ί + ð§1âðŒ
2â ð Ί.
ð ð
ð à·ð ,
ð = 20 ð = 15
ð¯Î£2 =
ð=1
ð
ð¥ð2 + 20 â 15 â ð¥ð
2 = 135.
à·ð =1
2 â 15â 135
12
= 2.121. 1.670 †ð †2.572
28
1 â = 0.90 ð§0.95 = âð§0.05= 1.645
Æžð =ð â à·ð2
2
àµ1 2
= 1.253 â à·ððà·ð =
1.253 â à·ð
1à·ð2
â3à·ð2
â ð¯Î£2 â 2 â ð
2.093 †ð †3.222
ð ð¥ð = à·ð â 2 â ðð1
1 â ð
΀1 2
ðà·ð¥ð = à·ð â2 â ðð
11 â ð
1à·ð2
â3à·ð2
â ð¯Î£2 â 2 â ð
1.891 †à·ð¥0.90 †7.242
ð 0 ð 0 = ðâ12â
ð¥0à·ð
2
ð ð 0 =ð¥0à·ð
â ðâ12â
ð¥0à·ð
2
â1
1à·ð2
â3à·ð2
â ð¯Î£2 â 2 â ð
ð¹0 ð¹0 = 1 â ðâ12â
ð¥0à·ð
2
ð ð¹0 =ð¥0à·ð
â ðâ12â
ð¥0à·ð
2
â1
1à·ð2
â3à·ð2
â ð¯Î£2 â 2 â ð
0.805 †ð 0 †0.984
0.016 †ð¹0 †0.195
ðð = ð. ð
29
ð
ð~âð© ð¡, ð, ð ,
ð ð ð ð = ððð, ÎŒ Ï
ð~ð© ððð¡, ð, ð
ð¯ð/ð= eð+ðâΊâ1 ð¹ð ð¡ð .
ð=ð
ð
ð¶ðð â ð¹ð¿
ð â 1 â ð¹ð¿ðâð =
ðŒ
2
ð=ð
ð
ð¶ðð â ð¹ð
ð â 1 â ð¹ððâð = 1 â
ðŒ
2
ð¹ð =1
1 +ð â ð + 1
ðâ â±
1âðŒ2,2â ðâð+1 ,2âð
ð¹ð¿ =1
1 +ð â ð + 1
ðâ â±ðŒ
2,2â ðâð+1 ,2âð
ð=ð
ð
ð¶ðð â ð¹ð ð¥ ð
ðâ 1 â ð¹ð ð¥ ð
ðâð= 0.50 ð¹ð ð¥ ð =
1
1 +ð â ð + 1
ðâ ð¹0.50,2â ðâð+1 ,2âð
30
31
1 â ðŒ = 0.90
ð = 20000
32
33
ð ð¶ ð¡ = ð 1 ð¡ â ⯠â ð ð ð¡ = à·
ð=1
ð
ð ð ð¡ ð ð¶ ð¡ = ðâðð¶âð¡ = ðâ Ïð=1
ð ðððâð¡
ðð¶ â
ððð
ð ðð¶ ð¿ = ððð 0.9 â
ð¿ð¿10
1.1
â ðâððð¶âð¿
ð§ðð¶ = âðð 0.9
ð¿10= ððð¶
ðœ = ΀10 9 ðœ = ΀9 8
34
ð¿â = 50 000
ð§ðð¶ = ððð¶ = âðð 0.9
50000= 2.107 â 10â6 ΀defectÄri orÄ
ððð , ð = 1,ð â 1 ððð¶7.01 %
35
ð ð¶ ð¡ = ðâ30.06â10â6âð¡.
ððŽð = 100 â 10â6 ΀defectÄri orÄ .
ð ð¡ = ð130.06â10â6âð¡ .
36
ðœð = ðœ
ðð = ðâ
1ðœ â ð
ð¡ð ð = ðâ
1ðœ â ð¡ð
1
áðœð®+
1
ðâ
ð=1
ð
ððð¥ð âÏð=1
ð ð¥ððœð® â ððð¥ð
Ïð=1ð ð¥ð
ðœð®= 0
à·ðð®ðœð® =
1
ðâ
ð=1
ð
ð¥ððœð®
.
áðœð ðœ
= ð£ ð, ð
áðœð â ððà·ð
ð= ð ð,ð
áðœð â ððÆžð¡0.10
ð¡0.10= ð ð,ð, 0.10
37
ð = 20
ð = 5ð = 4 ðð = 450 áŸððð]
4000 áŸððð]
102, 138, 193, 267, 319,
]à·ðŸ = 63.759 áŸâ
38
39
5.813 â 107
40
ianuarie ÷ decembrie 2004
41
42
43
ð ðŸ = 0.9835,
ð ð¡ = ðâ
ð¡â306.325474.36
1.38
.
44
45
46
47
48
49
50
51
52
Top Related