7/25/2019 Note de Seminar 13
1/6
Seminar 13
Serii de puteri
Probleme rezolvate
Problema 13.1. Sa se dezvolte n serie de puteri urmatoarele functii n jurul punctuluix0= 0
a) f(x) = (arcsin x)2 , x(1, 1);
b) f(x) = sh2x
2, xR;
c) f(x) = 11 x2 , x(1, 1);
d) f(x) = sin 2x cos3x, x R;
e) f(x) = 3x
x2 + 5x+ 6 , x=2,3;
f) f(x) = ln2 x3 +x
, x(3, 2);
g) f(x) = arctg x, x R.
Solutie 13.1. a) Folosim formula lui MacLaurin si avem
f(x) =
n=0
f(n)(0)
n! xn.
Ne ramane sa calculam f(n)(0).Derivata de ordinul ntai este
f(x) = 2 arcsin x 11 x2 .
Obtinem
1 x2 f(x) = 2 arcsin x si derivand nca o data:x
1 x2 f(x) +
1 x2f(x) = 2
1 x2
1
7/25/2019 Note de Seminar 13
2/6
2 SEMINAR 13. SERII DE PUTERI
va rezultaxf(x) + (1x2)f(x) = 2. Derivand de n ori, cu ajutorul formulei luiLeibniz se obtine
xf(n+1)(x)
C1nf
(n)(x) + (1
x2)f(n+2)(x) + C1n
(
2x)f(n+1)(x)
C2n
2f(n)(x) = 0.
Pentru x = 0 rezulta relatia de recurenta: f(n+2)(0) = n2f(n)(0). Procedand ca si laProblema 8.5 se obtine f(2p)(0) = 2 4p1 [(p 1)!]2 si f(2p+1)(0) = 0. Seria de puteri alui f este:
f(x) =n=1
2 4n1 [(n 1)!]2(2n)!
x2n.
b) Functia sinus hiperbolic este definita prin
sh x= ex ex
2 .
Folosind dezvoltarea n serie a functiei exponentiale
ex =n=0
xn
n! = 1 +x+
x2
2 +
x3
3! + ,
va rezulta
f(x) =12
+1
4ex +
1
4ex =1
2+
1
4
n=0
xn
n! +
1
4
n=0
(1)nxnn!
=1
4
n=1
xn
n![1 + (1)n] =1
2
p=1
x2p
(2p)!.
c) Folosind seria binomiala
(1 +x) =n=0
( 1) ( n+ 1)n!
xn = 1 +x+( 1)
2 x2 + ,
se obtine
f(x) = (1 x2) 12 = 1 +n=1
xn
n!1
2
1
2 1
1
2 n+ 1
= 1 +
n=1
(1)n 1 3 (2n 1)2nn!
xn.
d) Folosind dezvoltarea n serie a functiei sinus:
sin x=n=0
(1)n x2n+1
(2n+ 1)!=x x
3
6 +
x5
5! ,
obtinem
f(x) =1
2(sin5x sin x) =1
2
n=0
(1)n52n+1 1
(2n+ 1)!x2n+1.
7/25/2019 Note de Seminar 13
3/6
3
e) Despartim n fractii simple
f(x) = 3x
x2 + 5x+ 6=
3x
(x+ 2)(x+ 3)=
A
x+ 2+
B
x+ 3,
cu A =6 si B= 9. Folosim seria geometrica
1
1 x =n=0
xn = 1 +x+x2 +x3 + ,
si obtinem
f(x) =6x+ 2
+ 9
x+ 3=
31 + x2
+ 3
1 + x3=3
n=0
x
2
n+ 3
n=0
x
3
n
=n=0
3(1)n+1
2n +(1)n
3n1
xn
f) Folosim dezvoltarea n serie a functiei logaritm
ln(1 +x) =n=1
(1)n1 xn
n =x x
2
2 +
x3
3 ,
si obtinem
f(x) = ln(2
x)
ln(3 +x) = ln 2 + ln1
x
2 ln 3 ln1 +
x
3
= ln 2 n=1
xn
2nn ln 3
n=1
(1)n1 xn
3nn= ln
2
3
n=1
1
2n+
(1)n13n
xn
n
g) Derivata functiei se poate dezvolta n serie n felul urmator:
f(x) = 1
1 +x2 =
n=0
(1)nx2n.
Va rezulta prin integrare ca
f(x) =n=0
(1)n x2n+1
2n+ 1+ C.
Pentru x= 0 avem f(0) =C. Dar f(0) = arctg 0 = 0. Obtinem C= 0 si
arctg x=n=0
(1)n x2n+1
2n+ 1.
7/25/2019 Note de Seminar 13
4/6
4 SEMINAR 13. SERII DE PUTERI
Problema 13.2. Sa se calculeze suma seriilor
a)
n=0
(n+ 1)xn d)
n=1
(
1)n1n(2n
1)x2n
b)n=1
n+ 3
3n e)
n=1
(1)n+1n(2n 1)
c)n=1
(n 1)xn f)n=0
(1)nn22nn!
.
Pentru problemele a), c) si d) sa se calculeze si raza de convergenta a seriilor.
Solutie 13.2. a) Raza de convergenta a unei serii de puteri
n=0anxn se poate calcula
cu formula
R= limn |an
||an+1| .Cu aceasta raza de convergenta a seriei date este
R= limn
n+ 1
n+ 2= 1.
Pentru a calcula suma seriei pornim de la seria geometric a
n=0
xn+1 = x
1 x .
Derivand fiecare membru se obtine
n=0
xn+1
=
x
1 x
, adican=0
(n+ 1)xn = 1
(1 x)2 .
b) Scriemn=1
n+ 3
3n =
n=1
n+ 1
3n + 2
n=1
1
3n.
Folosind rezultatul de la a) obtinem
n=1
n+ 1
3n
=
n=0
n+ 1
3n
1 =
11 132 1 =
5
4
.
Cu ajutorul seriei geometrice
n=1
1
3n =
n=1
1
3
n=
1
3 1
1 13=
1
2.
Asadarn=1
n+ 3
3n =
5
4+ 2 1
2=
9
4.
7/25/2019 Note de Seminar 13
5/6
5
c) Raza de convergenta este R = limnn1n
= 1. Suma seriei se calculeaza pornind dela seria
n=1
xn1 = 1
1
x.
Prin derivare se obtinen=1
(n 1)xn2 = 1(1 x)2 .
Inmultind cu x2 egalitatea anterioara, rezulta
n=1
(n 1)xn = x2
(1 x)2 .
d) Raza de convergenta este
R = limn
|(1)n1
n(2n 1)||(1)n(n+ 1)(2n+ 1)| = limn n(2n 1)(n+ 1)(2n+ 1) = 1.
Pentru a calcula suma seriei consideram
n=1
(1)n1x2n =n=1
x2n = 11 +x2
1
= x2
1 +x2.
Derivand aceasta relatie de doua ori obtinem
n=1
(1)n12n(2n 1)x2n2 =
x2
1 +x2
=
2x
(1 +x2)2
=2(1 3x2)
(1 +x2)3 .
Impartind cu 2 si nmultind cu x2 rezulta
n=1
(1)n1n(2n 1)x2n = x2(1 3x2)(1 +x2)3
.
e) Consideram suma seriei
n=1
(1)n+1x2n2 =n=1
x2n1 = 11 +x2
.
Integrandn=1
(1)n+1 t0
x2n2 dx= t0
dx1 +x2,
se obtinen=1
(1)n+1 t2n1
2n 1= arctg t.
Integrand din nou
n=1
(1)n+1 12n 1
u0
t2n1dt=
u0
arctg t dt,
7/25/2019 Note de Seminar 13
6/6
6 SEMINAR 13. SERII DE PUTERI
rezultan=1
(1)n+1 u2n
2n(2n 1)= u0
arctg t dt.
Inmultind relatia cu 2 si luand u= 1 avem
n=1
(1)n+1 1n(2n 1)= 2
10
arctg t dt= 2
t arctg t
1
0
10
t
1 +t2dt
=
2 ln(1 +t2)
10
=
2 ln 2.
f) Calculam suma seriei generale
n=0n2xn
n! =
n=1n2xn
n! =
n=1nxn
(n 1)! =
n=1(n 1)xn(n 1)! +
n=1xn
(n 1)!
=n=2
(n 1)xn(n 1)! +x
n=1
xn1
(n 1)! =n=2
xn
(n 2)!+xex
=x2n=2
xn2
(n 2)!+xex =x2ex +xex.
Pentru x=12
rezultan=0
(1)nn22nn!
=1
4e
1
2 12
e1
2 = 14
e.
Probleme propuse
13.3. Sa se dezvolte n serie de puteri urmatoarele functii n jurul punctului x0 = 0
a)f(x) = 1
2x 3 , x=3
2; e)f(x) = 3
1 +x, x R;
b)f(x) = 1
(x 1)(3x+ 1) , x= 1,1
3; f)f(x) =
1
2ln
1 + x
1 x , x(1, 1);
c)f(x) = cos2 x, x R; g)f(x) = ln(x+
1 +x2), xR;
d)f(x) =ex2
, xR; h)f(x) = arcsin x, x[1, 1].13.4. Sa se calculeze suma seriilor
a)n=0
(1)nn(n+ 1)xn d)n=1
x2n
2n 1
b)n=1
n2
2n e)
n=1
n2 + 2n
n! xn.
Top Related