Metode Numerice

Metode numerice pentru rezolvarea ecuatiilor numerice neliniare si transcendente.

Cuprins:Ecuatii neliniare si transcendente Metoda bisectiei Metoda coardei Metoda lui Newton

Ecuatii neliniare si transcendente Ecuaiile algebrice neliniare - ecuaii care conin necunoscut la puterea diferit de unu, de exemplu: n unde n1.

y a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ai x i ,i 0

Ecuaiile algebrice transcendente - ecuaii din care nu poate fi obinut soluie analitic n mod evident,de exemplu:

ecuaiile iraionale de tipul ecuaiile exponeniale ecuaiile logaritmice ecuatii trigonometrice

,

(unde i= 0,1,...,n) ( k=0,1,...,n),

Metoda bisectiei Este cea mai simpl i totodat cea mai sigur metoda de rezolvare numeric a ecuaiilor neliniare i transcendente. Singurul ei dezavantaj reprezint un ritm lent de convergen, care cere un numr mare de operaii matematice. Metoda are ca baza teorema valorii intermediare din analiza matematic i are ca o idee reducerea progresiv a intervalului de examinare a funciei date prin njumtirea pentru a localiza rdcina cutat.

Schema obinerii soluiei prin metoda njumtirii intervalului(bisectiei).

Metoda coardeiMetoda const n inlocuirea funciei date f(x), continua pe un interval [a,b], printr-o dreapta g(x) care trece prin extremitile A si B definite astfel c f(a)f(b) < 0. Rdcina precis a funciei date f(x) se aproximeaza prin punctul de intersectie a dreptei g(x) cu axa ox ( fig. 1.2. ) NOT. Convergena metodei se obine mai rapid dect in cazul metodei de njumtire a intervalului.

Fig.1.2 Schema obinerii soluiei prin metoda coardei.

Metoda tangentei (Newton) Fie o ecuaie neliniara sau trascendent de forma f(x)=0 i fie ca functia f(x) are pe intervalul [a,b] o singur rdcina reala, iar prima derivata f /(x) si cea a dou f //(x) sunt continuie i nu menin semnul constant n intervalul dat. Metoda const in aproximarea rdcinii precise cu abscisa punctului de intersecie a tangentei cu axa Ox, care este dus la curba f(x) in punctul k cu coordonatele {xk ,f(xk)} alese n mod corespunztor. Altfel spus, arcul de curb f(x) se inlocuiete cu o tangent la curba intr-un punct k care se deplaseaza in direcia rdcini (fig 1.3):

Fig. 1.3. Schema obinerii soluiei prin metoda tangentei.

Not. Metoda aceast area viteza de convergen mai superioara dect celelalte metode. Principalul dezavantaj const in faptul ca metoda Newton nu poate fi aplicat la orice funcie sau pentru orice domeniu [a,b]. Daca punctul iniial x0 nu este ales in mod corespunzator,atunci nu va avea loc convergena spre rdcina . De aceea in practic se recomand s inceapa cautarea rdcini folosind metoda njumtairii intervalului, iar dup un anumit numr de pai pentru accelerarea convergenei se trece la metoda Newton( tangentei ).

Realizat : Cernalevschi Valerie Controlat : Uzunova Ludmila

The end