MINISTERUL EDUCAIEI I CERCETRII Universitatea tefan cel Mare SuceavaFacultatea de tiine Economice i Administra ie PublicStr. Universitii nr. 25 bis, 720225 Suceava, Tel: decanat - 0230 520263, secretar iat 0230 216147/303;304
Forma de nvmnt: I.D. Program de studiu : Contabilitate i informatic de gestiune Anul I, sem I
MATEMATICI FINANCIARE I
ACTUARIALE Curs pentru nvmnt la distan
Lect. univ. dr. Anamaria MACOVEI
2012
CUPRINS
INTRODUCERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Cap. I. Analiz matematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1.1. iruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1.2. Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.1.3. Serii de numere reale cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.1.4. Serii alternate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 I.2. IRURI I SERII DE FUNCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.2.1. iruri de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 I.2.2. Serii de funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I.2.3. Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I.2.4. Seria Taylor i seria MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 I.3. FUNCII REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I.3.1 Mulimi i puncte n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 19 I.3.2. Topologia n spaiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 20 I.3.3. iruri de puncte din spaiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 22 I.3.4. Funcii definite pe mulimi din spaiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 23 I.3.5. Limit funciilor definite pe mulimi din spaiul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n\ 23 I.3.6. Continuitatea funciilor vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 I.3.7. Derivatele funciilor reale de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I.3.8. Difereniala funciilor reale de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I.3.9. Formula lui Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 I.3.10. Extremele funciilor reale de n variabile reale (n 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 I.3.11. Extreme condiionate (cu legturi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Cap. II Elemente de calcule financiare i actuariale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II.1. DOBNDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II.1.1. Dobnda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II.1.2. Dobnda simpl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 II.1.3. Dobnda compus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 II.1.4. Comparaii ntre dobnda simpl i dobnda compus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 II.1.5. Procent i risc de plasare. Devalorizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 II.2. OPERAIUNI DE SCONT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 II.2.1. Noiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 II.2.2. Scont simplu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II.2.3. Scont compus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 II.3. PLI EALONATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 II.3.1 Anuiti posticipate temporare (APT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 II.3.2. Anuiti anticipate temporare (AAT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 II.4. RAMBURSAREA MPRUMUTURILOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 II.4.1. Rambursarea mprumuturilor prin anuiti posticipate (rate anuale posticipate), cu procent unic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
II.4.2. Rambursarea mprumuturilor prin anuiti anticipate (rate anuale anticipate), cu procent unic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
II.4.2.1. Rambursarea mprumuturilor prin anuiti anticipate (rate anuale anticipate), cu procent unic, cu dobnda calculat anticipat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
II.4.2.1. Rambursarea mprumuturilor prin anuiti anticipate (rate anuale anticipate), cu procent unic, cu dobnda calculat posticipat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
II.5. OBLIGAIUNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1
II.51. Noiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 II.5.2. Rambursarea la paritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
II.5.2.1 Rambursarea la paritate prin rate anuale egale posticipate . . . . . . . . . . . . . . 78 II.5.2.2 Rambursarea la paritate prin amortismente anuale constante posticipate . . . 79
II.5. 3. Rambursarea supraparitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II.5.3.1 Rambursare supraparitate prin rate anuale constante posticipate . . . . . . . . . 80
II.6. ACIUNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II.6.1. Noiuni generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 II.6.2. Evaluarea unei aciuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 II.6.3. Indicatori n burs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 II.6.4. Conversie obligaiuni aciuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 II.7. TEORIA ASIGURRILOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 II.7. 1. Funcii biometrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 II.7. 2. Calculul asigurrilor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 II.7. 3. Tipuri de asigurri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Testul de verificare final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Rspunsuri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 BIBLIOGRAFIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
INTRODUCERE
ntr-o economie de pia, unde fenomenele economice sunt din ce n ce mai complexe,
specialistul din acest domeniu are nevoie de o pregtire superioar, constnd n cunotine multiple i profunde n vederea observrii i rezolvrii acestor fenomene pe baze stiinifice. Modelele matematice analizeaz calitatea i cantitatea proceselor economice i evoluia lor. Matematica prin caracterul su general creaz modele abstracte ale fenomenelor economice.
Cursul de MATEMATICI FINANCIARE I ACTUARIALE, elaborat pe baza programei analitice aprobate n cadrul Departamentului de Contabilitate, Finane i Informatic Economic, se adreseaz studenilor care urmeaz specializarea: Contabilitate i Informatic de Gestiune, forma de nvmnt: nvmnt la distan.
Unitatea de studiu este capitolul care, n esen, pune n eviden noiuni i concepte teoretice din baza de cunotine matematice ale unui absolvent de liceu, noiuni i concepte teoretice noi, definiii, teoreme, consecine, proprieti, formule de calcul, exerciii i probleme rezolvate, exerciii i probleme propuse i teste de evaluare.
Scopul cursului este de a sigura studenilor din anul I pregtirea matematic necesar nelegerii noiunilor i tehnicelor de specialitate cu referire la modelarea economic.
Obiectivele principale ale acestui curs sunt: prezentarea aparatului matematic i a unor tehnici de baz specifice irurilor i
seriilor numerice, irurilor i seriilor de funcii, funciilor de mai multe variabile; conceptul de probabilitate cu formule de calcul; noiuni de matematici financiare i anume dobnda, scontul i pli ealonate .
Structura cursului ine seama de problematica tratat pentru aceeai specializare la forma de nvmnt zi, adaptat n funcie de specificul modului de organizare a nvmntului la distan.
Timpul de studiu individual, estimat pentru parcurgerea materialui prezentat n curs este de 3-4 ore/sptmn.
Mod de evaluare: examen scris conform planificrii din sesiunea de examene; nota final se stabilete, procentual, astfel: - test final: 40% - examen scris: 60%.
Recomandare: Manuale de clasa a XI- a i a XII-a din liceu.
2
3
Cap. I. Analiz matematic
n acest capitol sunt prezentate ntr-o sintez accesibil specialitilor n economie cteva elemente de baz din teoria irurilor i seriilor de numere reale, irurilor i seriilor de funcii i din teoria funciilor de mai multe variabile, punndu-se accent pe derivatele pariale a funciilor de mai multe variabile . O seciune important a acestui capitol este cea legat de teoria extremelor cu aplicaii n problema ajustrii analitice care permit elaborarea prognozelor economice i a extremelor condiionate.
I.1. IRURI I SERII DE NUMERE REALE
I.1.1. iruri de numere reale
Fie { }0,1, 2,=` mulimea numerelor naturale i { }* 1, 2,=` .
Definiia I. 1.1[3]: Se numete ir de numere reale o funcie , :f ` \ . Notm valorile ei prin: ( ) ,nf n a n= \ ` .
Se noteaz ( ) ( )n nn na sau a` , unde an este termenul general al irului dac n nu este finit i termenul de rang n (de ordin n) dac n este fixat. Definiia I.1.2: irul ( )n na ` se numete monoton cresctor dac 1, ( )n na a n+ ` i monoton descresctor dac 1, ( )n na a n+ ` . Definiia I.1.3: irul ( )n na ` se numete strict cresctor dac 1, ( )n na a n+< ` i strict descresctor dac 1, ( )n na a n+> ` . Definiia I.1.4: Un ir ( )n na ` este mrginit dac exist un numr real M > 0, astfel nct:
|an| < M, )( n` sau M < an . Definiia I.1.6: Numrul a se numete limita irului i vom scrie lim nn a a = pentru n . Teorema I.1.1 (caracterizarea irurilor convergente): irul ( )n na ` este convergent ctre a\ dac i numai dac, pentru orice 0 > exist un rang ( )N ` , astfel nct, oricare ar fi
( )n N , s avem: na a < . Definiia I.1.7: Un ir care nu este convergent se numete ir divergent . Pentru a = + sau a = , avem:
( ) ( )lim ( ) 0, ( ) , , ( )n nn a N a n N = + > > ` ( ) ( )lim ( ) 0, ( ) , , ( )n nn a N a n N = > < `
Definiia I.1.8: Se numete ir cu limit un ir pentru care, ,lim aann = { },a = + \ \ . Teorema I.1.2: Orice ir monoton are limit. Teorema I.1.3 ( Weierstrass): Orice ir monoton i mrginit este convergent.
4
Exerciii rezolvate:
S se arate c irurile urmtoare sunt convergente i s se afle limitele lor.
a) ( )2
21
1n n
n+ ++ ; b)
222 11...3
11211
n.
Rezolvare:
a) an= ( )2
21
1n n
n+ ++
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
22 2 21
2 22 2
1 3 31 1 1 11
12 2 1n
n
n n nn n naa n nn n n n+ + + ++ + + + += = + ++ + + + an+1 an
an = 1 - ( )21+nn 1 irul este cresctor i mrginit de 1, deci convergent.
lim nn a+ = limn+ ( )22
11
+++
nnn
= 1
b) an =
222 11...311
211
n
( )( ) 11
1111...
311
211
11111...
311
211
2
222
22221 +=
+
=+
nn
nna
an
n an an+1
an =( ) ( )
21
2111...
324
2131...
313
212
2222
2
3
2
2
2
+=+=n
nn
nnn
n
irul este descresctor i mrginit de 1 / 2, deci convergent. limn+ an= limn+
1 12 2
nn+ = .
Teorama I.1.4 (Lema lui Cesaro): Orice ir mrginit conine un subir convergent. Definiia I.1.8: Un ir ( ) INnna se numete fundamental (ir Cauchy) dac i numai dac: pentru orice 0 > , exist ( )N ` astfel nct ( ) , exist
( )N ` astfel nct ( )( ) , ( ) , n p nn N p a a +
5
n p na a+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sin sin 2 sin sin ( 1) sin ( )... ...1 2 2 3 1 1 2 1
x x n x n x n p xn n n n n p n p
+ ++ + + + + + + + + + + +
( )sin sin 2 sin...1 2 2 3 1
x x n xn n
+ = ( ) ( ) ( ) ( )sin ( 1) sin ( )...
1 2 1n x n p x
n n n p n p+ ++ ++ + + + +
( ) ( ) ( ) ( )1 1...
1 2 1n n n p n p+ ++ + + + +
Dar ( ) ( )1
1n p n p+ + + = 1 1
1n p n p+ + +
Avem npn aa + 1 1 1 1 1 1...1 2 2 3 1n n n n n p n p + + + + + + + + + + =1 1
1 1n n p+ + +
1 11n n
<
6
limn
n
n
ab
= limn
1
1
n n
n n
a ab b
++
=
2 2 2 2 21 2 ... ( 1) 1 2 ...lim( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2)n
n n nn n n n n n+ + + + + =+ + + + +
( )[ ]
21lim
( 1) ( 2) ( 3)nn
n n n n+ =+ + +
1 1lim3( 2) 3n
nn+ =+ .
I.1.2. Serii de numere reale
Definiia I.2.1: Fie ( )n na ` un ir de numere reale. Se numete serie de numere reale (serie numeric) un ir de numere reale desprite ntre ele prin semnul +:
1 21 1
... ...not not not not
n n n n nn n n n
a a a a a a a
= + + + + = = = = ` ,
unde an este termenul general al seriei. Fie
1 1 2 1 2 1 2, , ... , ... , ...n nS a S a a S a a a= = + = + + + sau 1 11 , 1n n n
S aS S a n+
= = +
S-a obinut astfel un nou ir ( )n nS ` , numit irul sumelor pariale al seriei. Reciproc, dac sunt cunoscute sumele pariale Sn, se poate forma seria
1n
na
= cu termenii:
1 1 2 2 1 1, , ... , , ...n n na S a S S a S S = = = pentru care, termenul general al irului sumelor pariale este chiar Sn.
Definiia I.2..2: Seria 1
nn
a
= se numete convergent dac irul ( )n nS ` este convergent.
Definiia I.2.3: Dac lim nnS S= , vom spune c S este suma seriei i vom scrie 1 nnS a
== .
Definiia I.2.4: Seria 1
nn
a
= se numete divergent dac irul ( )n nS ` nu este convergent sau irul
( )n nS ` nu are limit. Definiia I.2.5: Dac lim nn S = , vom spune c suma seriei este + sau . Exemplu (seria geometric): Fie seria
01 ... ...n n
nq q q
== + + + + numit serie geometric cu raia q.
( )0
1convergent , cu suma , 1, 11
divergent , pentru q 1 sau q 1
n
n
pentru qqq este
=
Exemplu: Fie seria
1
1 1 112 3n n
== + + + " , numit seria armonic simpl este divergent.
Exemplu (seria armonic generalizat): Fie seria 1 1 11 ... ...2 3 n
+ + + + + , numit serie armonic generalizat. Aceast serie este convergent pentru > 1 i divergent pentru 1 . Proprietatea I.2.1: Modificarea ordinii unui numr finit de termeni ai seriei nu modific natura i nici suma ei ,n caz de convergen. Proprietatea I.2.2: Dac la o serie se adaug sau se scoate un numr finit de termeni, se obine o nou serie de aceeai natur. Pentru seriile convergente, suma se modific.
7
Proprietatea I.2.3: Prin gruparea termenilor unei serii se obine o nou serie care are aceeai natur cu seria dat la nceput. Proprietate I.2.4 (Condiia necesar de convergen) [9]: Dac seria n
na este convergent atunci
irul ( )n na ` este convergent la zero.
Exerciii rezolvate:
S se calculeze limn an: a) 1 11
3 73 7
n n
n nn
+ +
=
++ ; b) 1 3 sin 3n nn
a
= , ( )0, / 2a .
Rezolvare:
a) Notm: an = 1 13 7
3 7
n n
n n+ +++ , limn an = limn 1
1
37 17 1
737 17
nn
nn
++
+ = +
.
b) Notm: an = 3 sin 3n
n
a , limn an = lim 3 sin 3
nnn
a =
sin3lim
3
n
n
n
a
a aa = .
Proprietatea I.2.5: Dac seria n
na este convergent, atunci irul sumelor pariale este mrginit.
Teorema I.2.1 (Criteriul general de convergen al lui Cauchy): Seria nn
a este convergent dac i numai dac irul sumelor pariale ( )n nS ` este fundamental , adic pentru orice 0 > exist
( )N ` astfel nct, pentru orice ( ) *n N i p ` , s avem: 1 2n p n n n n pS S sau a a a + + + + < + + +
8
I.1.3. Serii de numere reale cu termeni pozitivi Definiia I.3.1: O seria n
na se numete cu termeni pozitivi , dac an > 0, ( ) n ` .
Teorema I.3.1 (Criteriul comparaiei): 1. Fie seriile n
na , n
nb , unde an > 0, bn > 0, ( ) n ` . Dac exist un numr natural k, astfel
nct ( ) knba nn , , atunci: dac seria n
nb este convergent, atunci seria n
na este convergent;
dac seria nn
a este divergent, atunci seria nn
b este divergent. 2. Fie seriile n
na , n
nb , unde an > 0, bn > 0, ( ) n ` . Dac exist un numr natural k, astfel
nct ( ) knb
ba
an
n
n
n ++ ,11 , atunci: dac seria n
nb este convergent, atunci seria n
na este convergent;
dac seria nn
a este divergent, atunci seria nn
b este divergent.
Exerciii rezolvate:
S se studieze natura seriilor: a) 1 3 7nn
nn
= + ; b) ( ) ( ) ( )
=
2
3 2...22n
n eee .
Rezolvare:
a) Avem: 13 7 3 3n nn n nn na b
n n= < = = + .
Dar, 13
n
nn n
b = este serie geometric cu raia ( )1 1,13
q = , deci convergent. Conform criteriului comparaiei 1, seria dat va fi convergent. b) Notm: an = ( ) ( ) ( )n eee 2...22 3
=+n
n
aa 1 12 + n e
11 112 1
n n
n
+ + + =1-
n1
=
1
11
n
n =
n
n
bb 1+
Dar 2 2
11nn n
bn
= == este divergent, deci conform criteriului comparaiei 2, seria dat va fi
divergent.
Teorema I.3.2 (Criteriul de comparaie cu limit): Fie seriile nn
a , nn
b , unde an > 0, bn > 0, ( ) n ` i lim n
nn
alb
= . Dac 0 < l < , atunci cele dou serii au aceeai natur. Dac l = 0 i seria n
nb este convergent, atunci n
na este convergent.
Dac l = + i seria nn
b este divergent, atunci nn
a este divergent.
9
Observaie: De obicei, drept serie de comparaie se ia seria armonic generalizat 1n n .
Exerciii rezolvate:
S se studieze natura seriilor: a) 3
21
32 4n
n nn n
= + ; b) 21ln
1nn nn
=
++ .
Rezolvare:
a) Notm: an = 3
2
32 4
n nn n + ; bn = 3 2
1n
. Calculm limn =
n
n
ba
3
22
2
3 2
332 4lim lim 31 2 4n n
n nnn n
n nn
+ = = + .
Deci, conform criteriului comparaie cu limit cele dou serii au aceeai natur. Dar seria 3 2
1 1
1n
n nb
n
= == ,
seria armonic generalizat cu 2 13
= , este divergent i, prin urmare, seria dat va fi divergent.
b) Notm: an = 2ln
1n nn++ ; bn =
1n
; limn =
n
n
ba
limn 2
ln1
n nn++ n = limn
2
22
ln1
11
nnn
nn
+ +
=1
Deci cele dou serii au aceeai natur. Dar 1 1
1n
n nb
n
= == este divergent i, prin urmare, seria dat va
fi divergent. Teorema I.3.3 (Criteriul raportului): Fie seria n
na , unde an > 0, ( ) n ` .
Dac exist un numr natural k i un numr real q, astfel nct 1 1, ( )n
n
a q n ka+ < , atunci seria este convergent.
Dac exist un numr natural k i un numar real q, astfel nct ( ) knq
aa
n
n >+ ,11 , atunci seria este divergent. Teorema I.3.4 (Criteriul raportului cu limit): Fie seria de termeni pozitivi n
na , ( ) n ` i
presupunem c exist 1lim nn
n
ala+
= . Dac l < 1, atunci n
na este convergent.
Dac l > 1, atunci nn
a este divergent.
Exerciii rezolvate:
S se stabileasc natura seriilor: a) ( )( )n nn
!2! 2 ; b)
1
3 !nn
n
nn
= .
Rezolvare:
10
a) Notm: an = ( )( )!2
! 2
nn
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 21
2 2
1 ! 2 ! ! 1 2 ! 1 1lim lim lim lim 1 .2 2 1 42 2 ! ! 2 ! 2 1 2 2 !
nn n n n
n
n n n n na nla nn n n n n n+
+ + + = = = = = 1, deci seria noastr este divergent.
Teorema I.3.5 (Criteriul rdcinii): Fie seria de termeni pozitivi n
na , ( ) n ` .
Dac exist un numr natural k i un numr real q, astfel nct ( ) knqan n ,1 , atunci seria este divergent.
Teorema I.3.6 (Criteriul rdcinii cu limit): Fie seria cu termeni pozitivi nn
a , ( ) n ` i presupunem c exist lim n n
nl a
= .
Dac l < 1, atunci seria este convergent. Dac l > 1, atunci seria este divergent.
Exerciii rezolvate:
S se stabileasc natura seriilor: a) 1
n
n
an tgn
=
, (0, / 2)a ; b) ( )2 21 5 1 2 nn n n n n= + + . Rezolvare:
a) Notm: an = nan tg
n
l = limn
nna = lim lim lim
n
nn n n
atga a nn tg n tg a aan nn
= = =
Dac 1a < , adic ( )0,1a , atunci seria dat este convergent. Dac a > 1 i (0, / 2)a , adic (1, / 2)a , atunci seria dat este divergent. Dac 1a = , se aplic un alt criteriu. b) Notm: an = ( )2 25 1 2 nn n n n+ + l = lim
nn
na = limn ( )2 25 1 2n n n n+ + = limn 2 27 15 1 2nn n n n++ + + = 27 , seria noastr este divergent.
11
Teorema I.3.7 (Criteriul lui Raabe-Duhamel cu limit): Fie seria cu termeni pozitivi nn
a , ( ) n ` i presupunem c exist
1
lim 1nn
n
al na +
= .
Dac l < 1, atunci seria este divergent. Dac l > 1, atunci seria este convergent.
Exerciii rezolvate:
S se studieze natura seriilor: a) ( )1
1 3 5 ... 2 12 4 6 ... 2n
nn
=
; b) ( )( ) ( )1 !2 1 2 2 ... 2n n n
= + + + . Rezolvare:
a) Notm: ( )n
nan 2...64212...531
=
1
2 2 1lim 1 lim 1 lim 12 1 2 1 2
nn n n
n
a n nl n na n n +
+ = = = = 1, deci seria este convergent.
I.1.4. Serii alternate Definiia I.4.1: Se numete serie alternat o serie cu proprietatea c semnele termenilor alterneaz (produsul a doi termeni consecutivi este strict negativ). O serie alternat se scrie
( ) 11 2 3 41
... 1 n nn
a a a a a
= + + = , 0na , ( ) n ` sau
( )1 2 3 41
... 1 n nn
a a a a a
= + + = , 0na , ( ) n `
Teorema I.4.1 (Criteriul lui Leibnitz): Fie seria alternat ( ) 11
1 n nn
a
= , 0na , ( ) n ` . Dac
irul ( )n na ` este descresctor i converge la zero, adic lim 0nn a = , atunci seria este convergent. Exemplu: Fie ( ) 1
1
1 1 1 11 1 ...2 3 4
n
n n
= = + + numit seria armonic alternat, convergent.
Definiia I.4.2: Seria nn
a se numete absolut convergent dac seria modulelor nn
a este convergent. Definiia I.4.3: Seria n
na se numete semiconvergent dac este convergent, iar seria
modulelor nn
a este divergent.
12
Teorema I.4.2: Dac seria nn
a este convergent i 0na , ( ) n ` , atunci seria alternat ( ) 1
11 n n
na
= este convergent.
Exerciii rezolvate:
S se studieze natura seriilor: a) ( ) ( )( )2
31
21
1
nn
nn
nn
++
=
+ + ; b) ( )1
1
11ln
n
n n
+
= .
Rezolvare:
a) Notm: an = ( )( )
2
3
21
n
n
nn
+
+++ ;
321
2
4 3 14 4
n
n
n
a n na n n
++ + += + +
an este un ir descresctor.
limn an = limn
( )( )
2
3
21
n
n
nn
+
+++ = limn
22 1 01 1
nnn n
++ = + + Conform criteriului lui Leibnitz seria noastr este convergent.
b) Fie an = 1 1
ln n n = bn lim
n an = limn1
ln n = 0
Dar 1 1
1n
n nb
n
= == este divergent i, prin urmare, seria dat va fi divergent.
Deci seria noastr este semiconvergent.
Exerciii propuse: S se studieze natura seriilor:
a) 3
1
1n n n
= + ; b) 13 , 0
n
nn
an a
=>+ ; c) 1
3 15nnn
=
+ ; d) 1
, 0!
n
n
a an
= ;
e) ( )1
1n
n
nn
= ; f)
2
1
1 , 0n
n
n a an
=
+ > ; g) 21(2 )!
4 ( !)nnnn
= ; h) 3
1
11 2 3 ... nn n
= + + + + ; i) ( )
=
+ +1
1
2131
nn
n n ; j) ( )1
( 1)( ) , 0n
nn n a n a
=+ + > ; k) ( ) 11 2
1
( 1)1n
nn
n
nn
+ ++
=
+ .
I.2. IRURI I SERII DE FUNCII
I.2.1. iruri de funcii Definiia 2.1.1: Fie A \ o submulime a numerelor reale, nevid i { } , :If f A ` \ , o familie de funcii reale definite pe aceeai mulime A. Dac mulimea indicilor I coincide cu mulimea numerelor naturale ` , atunci spunem c avem un ir de funcie reale i notm ( )n nf ` sau ( )n nf sau ( )( )n nf x . Definiia 2.1.2: Dac irul de numere reale ( )( )0n nf x este convergent, atunci 0x A se numete punct de convergen al irului de funcii ( )n nf ` . Definiia 2.1.3: Totalitatea punctelor de convergen ale irului de funcii ( )n nf ` formeaz mulimea de convergen a irului ( )n nf ` notat cu
13
C = { 0x A ( )( )0n nf x este convergent }. Definiia 2.1.4: Fie funcia :f C \ . Dac ( ) ( )lim ,nnf x f x x A= , atunci funcia f se numete funcie limit, pe mulimea A, a irului de funcii ( )n nf ` . Definiia 2.1.5: irul de funcii ( )n nf ` este simplu convergent (punctual convergent), pe mulimea A ctre funcia :f A\ , dac pentru orice 0 > , exist ( ),N x ` (depinde de i de x), astfel nct:
( ) ( ) ( ) ( ), ,nf x f x n N x < , ( ) x A . Vom nota: sn Af f . Definiia 2.1.6: irul de funcii reale ( )n nf ` este uniform convergent pe mulimea A ctre funcia f, dac pentru orice 0 > , exist ( ) ( )N depinde numai de ` astfel nct:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AxNnxfxfn , exist ( )N ` astfel nct:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,n mf x f x n m N x A < . Teorema 2.1.2 (Criteriul majorrii): irul de funcii ( )n nf ` este uniform convergent pe mulimea A ctre funcia f, dac exist un ir de numere reale ( )n n ,cu proprietile: ( )0,n n ` , lim 0nn = , ( ) ( ) ( ),n nf x f x n ` .
Proprieti ale irurilor uniform convergente
Teorema 2.1.3: Limita unui ir uniform convergent de funcii mrginite este o funcie mrginit. Teorema 2.1.4: Limita unui ir uniform convergent de funcii continue este o funcie continu. Teorema 2.1.5: Fie ( )n nf ` un ir de funcii derivabile pe intervalul I \ . Dac irul ( )n nf ` converge uniform pe I ctre o funcie f i irul derivatelor ( )n nf ` converge uniform ctre o funcie g pe I, atunci f este derivabil pe I i gf = .
I.2.2. Serii de funcii
Definiia 2.2.1: Fie ( )n nf ` un ir de funcii definite pe A. Seria ......21 ++++ nfff se numete serie de funcii. O serie de funcii se noteaz prescurtat :
1 *, ,n n n
n nf f f
=
` .
Pentru 0x A , x0 fixat, obinem seria de numere reale ( ) ( ) ( ) ( ) ...... 002011
0 ++++==
xfxfxfxf nn
n .
Definiia 2.2.2: Funciile ...,,...,, 21 nfff se numesc termeni ai seriei de funcii. Observaie: Se observ c o serie de funcii este echivalent cu o familie de serii numerice. Ca i n cazul seriilor de numere, se pot construi sumele pariale ale seriei de funcii:
1 1 2 1 2 1 2, , ... , ... , ...n nS f S f f S f f f= = + = + + + obinndu-se un ir de funcii ( )n nS . Definiia 2.2.3: irul de funcii ( )n nS , unde 1 2 ...n nS f f f= + + + se numete ir al sumelor pariale ale seriei de funcii.
14
Definiia 2.2.4: Fie ( )n nf ` un ir de funcii definite pe A. Seria de funcii nn
f este convergent ntr-un punct 0x A ,dac irul ( )n nS , al sumelor pariale este un ir de funcii convergent n x0. Punctul 0x A n care seria n
nf este convergent se numete punct de convergen al seriei.
Definiia 2.2.5: Fie ( )n nf ` un ir de funcii definite pe A. Seria de funcii nn
f este convergent ntr-un punct 0x A dac i numai dac seria de numere ( )0n
nf x este convergent. Mulimea
punctelor x A pentru care seria nn
f este convergent se numete mulimea de convergen a seriei de funcii n
nf notat cu C = { 0x A ( )
nn xf 0 este convergent }.
Definiia 2.2.6: Seria nn
f se numete simplu convergent (punctual convergent) pe mulimea A \ ctre funcia f, dac irul sumelor pariale ( )n nS este simplu convergent pe mulimea A ctre funcia f. Definiia 2.2.7: Seria n
nf este simplu convergent pe A ctre funcia f dac pentru orice x A ,
seria de numere ( )nn
f x este convergent ctre f(x). Definiia 2.2.8: Seria de funcii n
nf este simplu convergent pe mulimea A ctre funcia f, dac
pentru orice 0 > , exist ( ),N x ` astfel nct: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,nS x f x n N x x A < .
Definiia 2.2.9: Seria de funcii nn
f este uniform convergent pe mulimea A ctre funcia f, dac pentru orice 0 > , exist ( )N ` astfel nct:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,nS x f x n N x x A < .
Criterii de convergen uniform a seriilor de funcii Teorema 2.2.1 (Criteriul lui Cauchy): Seria de funcii n
nf este uniform convergent pe mulimea
A dac i numai dac pentru orice 0 > , exist ( )N ` astfel nct: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ... , , 1,n p n n n pS x S x f x f x n N p x A + + + = + + < .
Teorema 2.2.2 (Criteriul lui Weierstrass): Fie :nf A\ . Seria de funcii nn
f este uniform convergent pe A dac exist o serie de numere pozitive, convergent, n
n astfel nct
( ) ( ) ( ), ,n nf x n x A ` .
Proprieti ale seriilor uniform convergente Teorema 2.2.3: O serie uniform convergent de funcii mrginite are ca sum o funcie mrginit. Teorema 2.2.4: Dac exist limita unei serie uniform convergent de funcii atunci exist i limita sumei acestei serii i are loc relaia:
( ) ( )( )0 01 1
lim limn nx x x xn nf x f x
= ==
Teorema 2.2.5: O serie uniform convergent de funcii continue are ca sum o funcie continu.
15
Teorema 2.2.6: Fie o serie de funcii nn
f derivabile pe intervalul I \ . Dac seria nn
f este uniform convergent pe I ctre f i seria derivatelor
nnf este uniform convergent pe I ctre g,
atunci funcia sum f este derivabil i gf =' .
I.2.3. Serii de puteri Definiia 2.3.1: Se numete serie de puteri o serie de funcii de forma
20 1 2
0... ...n nn n
na x a a x a x a x
== + + + + + ,
unde ( )n na ` este un ir numeric i x \ . Definiia 2.3.2: Numerele an , n ` , se numesc coeficienii seriei de puteri. Teorema 2.3.2 (Teorema lui Abel):
1) Dac seria de puteri 0
nn
na x
= este convergent ntr-un punct 0 0x , atunci ea este absolut
convergent n orice punct x, cu 0x x< . 2) Dac seria de puteri
0
nn
na x
= este divergent ntr-un punct x1, atunci ea este divergent n orice
punct x, cu 1x x> . Observaie. Conform teoremei lui Abel, pot s apar urmtoarele trei situaii: 1) Seria de puteri s convearg numai n x = 0 i pentru orice { }\ 0x\ s fie divergent. 2) Seria de puteri s convearg pentru orice x\ 3) Exist r > 0 astfel nct , dac x r< seria converge, iar dac x r> , seria este divergent Teorema 2.3.3: Pentru orice serie de puteri
0
nn
na x
= exist un numr [ ] ,0R astfel nct:
1) ( ) Rxcux seria este divergent. Definiia 2.3.3: Numrul [ ] ,0R din teorema precedent se numete raza de convergen a seriei de puteri
0
nn
na x
= .
Teorema 2.3.4: Pentru orice serie de puteri 0
nn
na x
= exist un numr [ ] ,0R , unde R este raza
de convergen, astfel nct: 1. seria este absolut convergent pe intervalul (R, R), numit interval de convergen, 2. seria este divergent pe ( ) ( ) ,, RR , 3. seria este uniform convergent pe intervalul [r, r], cu 0 < r < R, fr a preciza comportarea seriei n punctele x =R i x = R.
16
Teorema 2.3.5 ( teorema lui Cauchy - Hadarmard ): Fie seria de puteri 0
nn
na x
= i R raza sa de
convergen. Dac n nn aL = lim (finit sau infinit) atunci:
=++=
+
17
a) Notm an = ( )( )!3
! 3
nn
. Calculm limn
1n
n
aa+ = lim
n( )
( )( )( )31 1 27
3 1 3 2 3 3 27n
Rn n n
+ = =+ + + Pentru x ( )27, 27 seria este absolut convergent.
b) Notm an = ( )
2
11
n nn+ . Calculm limn
1n
n
aa+ = lim
n( )( )( )
2
2
1 11 1
1 1n
n nr
n
+ + = = + +
Pentru x ( )1,1 seria este absolut convergent. Pentru x = 1 avem ( ) 2
1
11
n
n
nn
= +
an = ( )221
1 1 1n n
n n++ + + = an+1
limn an = limn 2 1
nn + = 0, Conform criteriului lui Leibnitz seria noastr este convergent.
Pentru x = -1 avem 21 1n
nn
= + an = 2 1
nn + ; bn =
1n
limn
n
n
ab
= limn 2 1
nn + n = 1
Dar 1 1
1n
n nb
n
= == este divergent i, prin urmare, seria dat va fi divergent.
Mulimea de convergen este ] ]1,1 .
Exerciii propuse:
S se studieze convergena seriilor de puteri:
a) 1
n n
nn x
= ; b)
=1n
n
nx ; c)
4 31
11
n
n
n xn n
=
++ + .
I.2.4. Seria Taylor i seria MacLaurin
O serie de puteri de forma
( ) ( ) ( ) ( ) ...... 020201000
+++++==
nn
n
nn xxaxxaxxaaxxa , ( 2.4.1)
unde x0 este un numr real, oarecare, se numete serie Taylor.
Dezvoltarea funciilor n serii Taylor Definiia 2.4.1: Fie intervalul I i :f I \ o funcie indefinit derivabil n 0x I . Atunci seria de funcii:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...!
..."!2
'!1 0
00
20
00
0 +++++ xfnxxxfxxxfxxxf n
n
(2. 4.2)
se numete serie Taylor a funciei f n punctul x0.
18
Definiia 2.4.2: Sumele pariale Tn ale seriei Taylor (2.4.2) sunt polinoame definite pe \ , prin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )000
20
00
0 !..."
!2'
!1xf
nxxxfxxxfxxxfxT n
n
n++++= (2.4.3)
numite polinoame Taylor. Definiia 2.4.3: Egalitatea , ( ) ( ) ( )n nf x T x R x= + sau dezvoltat
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xRxfnxxxfxxxfxxxfxf n
nn
+++++= 0002
00
00 !
..."!2
'!1
reprezint formula Taylor ataat funciei f n punctul x0, iar Rn(x) se numete restul formulei Taylor. Teorema 2.4.1: Seria Taylor a funciei f n punctul x0 este convergent ntr-un punct x I X , ctre valoarea f(x) a funciei f n punctul x, dac i numai dac valorile n x ale resturilor Rn ale formulei lui Taylor formeaz un ir ( )n nR , convergent ctre zero, adic ( )lim 0nn R x = . Observaie: n ipoteza ( )lim 0nn R x = , are loc egalitatea
( ) ( ) ( ) ( )( ) XIxxfnxxxfxxxfxf n
n
++++= ...,!
...'!1
)( 00000 . (2. 4.4)
Definiia 2.4.4: Egalitatea (2. 4.4) se numete formula de dezvoltare a funciei f n serie Taylor n jurul punctului x0.
Definiia 2.4.5: Egalitatea ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...0!
...0'!1
0 ++++= nn
fnxfxfxf se numete formula de
dezvoltare n serie MacLaurin a funciei f.
Definiia 2.4.6: Seria Taylor ( ) ( ) ( ) ( )( ) ...0!
...0"!2
0'!1
02
++++ nn
fnxfxfxf se numete serie
MacLaurin a funciei f. Observaie: Aplicnd formula dezvoltare n serie MacLaurin pentru funciile elementare exp, sin, cos,ln rezult pentru ( ) n ` formulele: ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3 4 2 3 41
1 02 4 6 2 3 5 7 2 1
0 0
ln 1 ... 1 ; 1 ... ;2 3 4 2! 3! 4! !
cos 1 ... 1 ; sin ... 1 ;2! 4! 6! 2 ! 3! 5! 7! 2 1
n nn x
n nn n
n n
n n
x x x x x x x xx x e xn n
x x x x x x x xx x xn n
+
= =+
= =
+ = + + = = + + + + + =
= + + = = + + = +
( )2 3 2 30 0
2 3
1 11 ... 1 , 1; 1 ... , 1;1 1
1 1 11 1 ....2 8 16
n n n
n nx x x x x x x x x x
x x
x x x x
= == + + = = + + + + = +
+ = + + +
Exerciii rezolvate:
1. S se dezvolte n serie MacLaurin urmtoarele funcii: a) 1ln1
xx
+ ; b)
2xe .
Rezolvare:
a) ( ) ( )( ) ( ) ( )1
ln ln 1 ln 11
xf x x x
x+= = +
( ) ( )1 1 0 21 1
f x fx x
= + =+ ; ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 0 0
1 1f x f
x x = + =+
.
19
( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) ( ) ( ) ( )1 11 ! 1 !1 0 1 ! 1 11 1
n nn nn n
n nf x f n
x x+ + = + = + +
( ) ( ) ( )0
02 1 !
n n parfn n impar
== =
( ) ( ) ( )1
2 1
1 1
1 ! 1 12
! 2 1
nn
n
n n
n xf x xn n
+
= =
+ = = , ( )1,1x . b) tim c:
2 3 4
01 ...
2! 3! 4! !
nx
n
x x x xe xn
== + + + + + = i nlocuind x cu x2 obinem:
24 6 8 2
2
01 ...
2! 3! 4! !
nx
n
x x x xe xn
== + + + + + =
Exerciii propuse:
S se dezvolte n serie MacLaurin funciile: a) ln( 2)x + ; b) 2 35 6x
x x+ + .
I.3. FUNCII REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE
I.3.1. Mulimi i puncte n n\
Fie n\ produsul cartezian a n mulimi egale cu dreapta real \ , n` , adic: n\ = \ \ ... \ .
Definiia 3.1.1: Mulimea n\ este mulimea sistemelor ordonate de n numere reale, adic: ( ){ }1 2, , , , 1,n n ix x x x x i n= = =\ \ .
I.3.1.1 Structura de spaiu vectorial
Pe spaiul n\ se pot defini o parte din structurile de pe dreapt i anume structura algebric
i structura topologic. 1) Adunarea vectorilor: Fie x = (x1, x2, ... , xn) i y = (y1, y2, ... , yn) din n\ , atunci
x + y = ( x1 + y1, x2 + y2,, ... , xn + yn). Punctul 0 = (0, 0, ... ,0) n\ se numete punct origine, iar punctul -x = (- x1, - x2, ... , - xn) n\ este opusul punctului x = (x1, x2, ... , xn). Mulimea n\ formeaz un grup comutativ fa de operaia de adunare 2) nmulirea cu un scalar: Fie x = (x1, x2, ... , xn) n\ i \ , atunci x = ( x1, x2, ... , xn) n\ . Proprieti: - (x + y) = x + y; - ( + ) x = x + x;
- ( x) = ( ) x; - 1 x = x. Definiia 3.1.2: Fa de operaiile:
( ) ( )1 1 2 2 1 2, , , , , , , ,n n nx y x y x y x y x x x x + = + + + = \ mulimea n\ se organizeaz ca spaiu liniar (vectorial), iar elementele sale se numesc vectori. 3) nmulirea vectorilor: Fie x = (x1, x2, ... , xn) i y = (y1, y2, ... , yn) din n\ , atunci
20
x y = (x1 y1, x2 y2,, ... , xn yn). Proprieti: - x (y z) = (x y) z; - x y = y x;
- x (y + z) = x y + x z; - (x y) = ( x) y = x ( y).
I.3.1.2. Produsul scalar Definiia 3.1.3: Fie x = (x1, x2, ... , xn) i y = (y1, y2, ... , yn) din n\ . Se definete produsul scalar dintre x i y ca fiind numrul (x, y) dat de egalitatea:
x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = =
n
iii yx
1 .
Proprieti: - (x, x) 0, (x, x) = 0 x = 0; - (x, y) = (y, x); - (x + y, z) = (x, z) + (y, z); - (x, y) = ( x, y) = (x, y); - (z x, y) = (x, z y).
Definiia 3.1.4: Doi vectori x, y n\ se numesc ortogonali dac produsul lor scalar este zero: (x, y) = 0.
I.3.1.3. Norma spaiului n\ Definiia 3.1.5: Fie x = (x1, x2, ... , xn) n\ . Se numete norma vectorului x numrul pozitiv ( ) 2 2 21 2, ... nx x x x x x= = + + + . Proprieti
0, 0 0; ; ;
; ; ;
, .
x x x x x x y x y
x y x y x x x y x y
x y x y x y x y
= = = + + = + +
I.3.1.4. Distana n spaiul n\ Definiia 3.1.6: Aplicaia [ ]: 0,n nd +\ \ se numete distan dac d(x,y) = yx . Proprieti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0, , 0 ; , , ; , , , .d x y d x y x y d x y d y x d x z d x y d y z = = = + Se verific, cu uurin, c ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1
1
, , , ..., , , ...,n
i i n ni
d x y x y x x x y y y=
= = = este o distan n n\ .
I.3.2. Topologia n spaiul n\ Definiia 3.2.1: Fie n intervale pe o dreapt, I1, I2, ... , In, unde ( ), , 1,k k kI a b k n= = . Se numete interval n - dimensional, produsul cartezian In = I1 I2 ... In.
In = {( x1, x2, ... , xn), x1 I1, x2 I2, ... , xn In }. Definiia 3.2.2: Intervalele I1, I2, ... , In se numesc laturile intervalului n dimensional. Definiia 3.2.3: Dac toate intervalele I1, I2, ... , In sunt deschise, nchise sau mrginite atunci In se numete intervalul n dimensional deschis, nchis sau mrginit. Definiia 3.2.4: Fie 0 nx \ i r > 0. Se numete sfer deschis cu centrul n x0 i de raz r mulimea:
( ) ( ){ }0 0, ,nrS x x x d x x r=
21
( ) ( ){ }0 0' , ,nrS x x x d x x r= \ sau ( ) { }0 0' ,nrS x x x x x r= \ . Teorema 3.2.1: Orice sfer deschis cu centrul n x0 coine un interval n-dimensional ce conine pe x0 i reciproc, orice asemenea interval conine o sfer deschis cu centrul n x0. Definiia 3.2.6: Se numete vecintate a punctului 0 nx \ , orice mulime nV \ cu proprietatea c exist o sfer deschis cu centrul n x0 inclus n V, adic: ( )0 0rx S x V . Teorema 3.2.2: O mulime V este vecintate a punctului 0 nx \ dac i numai dac exist un interval n-dimensional In astfel ca VIx n 0 . Definiia 3.2.7: Fie A o submulime a spaiului n\ i Ax 0 . Punctul 0 nx \ se numete punct interior mulimii nA \ , dac exist o vecintate V a lui x0 inclus n mulimea A, adic:
0 0 .nx V A sau x I V
Definiia 3.2.8: Se numete mulime deschis o mulime care conine numai puncte interioare, adic dac este egal cu interiorul su, A = int A. Definiia 3.2.9: Punctul 0 nx \ se numete punct exterior mulimii nA \ , dac x0 este punct interior complementarei lui A, adic exist o vecintate V a punctului 0 0,
cx cu x V A . Definiia 3.2.10: Punctul 0 nx \ se numete punct aderent mulimii nA \ , dac orice vecintate a lui x0 conine cel puin un punct din A, adic: ( )VAV , vecintate a lui x0. Vom nota mulime punctelor aderente cu A . Definiie 3.2.11: O mulime care-i conine toate punctele aderente, adic este egal cu nchiderea sa, A = A , se numete mulime nschis. Teorema 3.2.3: O mulime A este nchis dac i numai dac CA este deschis. Teorema 3.2.4: Reuniunea unei familii de mulimi deschise este o mulime deschis. Teorema 3.2.5: Reuniunea unei familii finite de mulimi nchise este o mulime nschis. Teorema 3.2.6: Intersecia unei familii finite de mulimi deschise este o mulime deschis. Teorema 3.2.7: Intersecia unei familii oarecare de mulimi nchise este o mulime nschis. Definiia 3.2.12: Punctul 0 nx \ se numete punct frontier al mulimii A, dac orice vecintate V a lui x0 conine puncte din A i puncte din CA sau este aderent att lui A, ct i mulimii CA,
VA , VCA . Mulimea punctelor frontier ale mulimii A se noteaz Fr(A) i se numete frontiera mulimii A. Definiia 3.2.13: Punctul 0 nx \ se numete punct de acumulare al mulimii A dac orice vecintate V a lui x0 conine cel puin un punct al mulimii A, diferit de x0, adic: { }( ) ( )VAxV ,0 vecintate a lui x0. Definiia 3.2.14: Punctul 0x A se numete punct izolat al mulimii A dac exist o vecintate V a punctului x0, astfel nct { }0V A x = , adic nu sunt puncte de acumulare. Teorema 3.2.7: Punctul x0 este punct de acumulare a lui A dac i numai dac orice vecintate V a lui x0 conine o infinitate de puncte din A. Teorema 3.2.8: O mulime A este deschis dac i numai dac i conine toate punctele sale de acumulare. Definiia 3.2.15: O mulime nA \ se numete mrginit, dac exist o sfer cu centru n origine, care conine mulimea A, adic exist M astfel nct ( ) MxAx : , sup
x Ax
< + .
Definiia 3.2.16: Mulimile nchise i mrginite din n\ se numesc mulimi compacte.
22
I.3.3. iruri de puncte din spaiul n\ Definiia 3.3.1: O funcie : nf ` \ , ( ) ,nkf k x k= \ ` se numete ir de puncte din spaiul n\ . Se noteaz ( ) 1 2, , ... , , ...k kkx sau x x x` , unde xk este termenul general al irului de puncte. Definiia 3.3.2: Un punct 0 nx \ este limita unui ir ( )k kx ` de puncte din spaiul n\ , dac n afara fiecrei vecinti a lui x0 se afl cel mult un numr finit de termeni ai irului, adic:
00lim xxsauxx kkk = . Definiia 3.3.3: irul ( )k kx ` se numete convergent ctre un numr 0 nx \ , dac orice vecintate a lui x0 conine termenii irului, cu excepia unui numr finit de termeni sau pentru orice 0 > exist ( )N ` astfel nct: ( )0 , ( )kx x k N < . Teorema 3.3.1: Un punct 0 nx \ este limita unui ir ( ) INkkx de puncte din spaiul n\ dac i numai dac pentru orice 0 > exist ( )N ` astfel nct: ( )0 , ( )kx x k N < . Teorema 3.3.2: Avem 0lim xxkk = dac i numai dac 0lim 0 = xxkk . Proprietatea 3.3.1: Limita unui ir convergent este unic. Proprietatea 3.3.2 (Criteriul de convergen): Fie ( )k k ` un ir de numere. Dac
0 , ( )k kx x k < ` i 0k , atunci 0xxk . Proprietatea 3.3.3: Dac 0xxk , atunci 0xxk sau kkkk xx = limlim Proprietatea 3.3.4: Orice ir convergent ( )k kx ` de puncte din spaiul n\ este mrginit, adic:
( )( ) , , ( )kM x M k N < ` . Proprietatea 3.3.5: Dac 0xxk i 0yyk , atunci
a) 00 yxyx kk ++ sau ( ) kkkkkkk yxyx +=+ limlimlim ; b) 00 yxyx kk sau ( ) kkkkkkk yxyx = limlimlim ; c) ( ) ( )00 ,, yxyx kk sau ( ) ( )kkkkkkk yxyx = lim,lim,lim .
Proprietatea 3.3.5: Dac 0xxk i 0 0, ,k k \ , atunci 00 xxkk sau ( ) kkkkkkk xx = limlimlim . Proprietatea 3.3.6: Orice subir al unui ir convergent este convergent i are aceeai limit . Proprietatea 3.3.7: Prin schimbarea ordinei termenilor unui ir convergent se obine tot un ir convergent i cu aceeai limit . Proprietatea 3.3.8: Prin scoaterea sau adugarea unui numr finit de termeni unui ir convergent se obine tot un ir convergent i cu aceeai limit . Proprietatea 3.3.9: Un punct na\ este punct de acumulare al unei mulimi nA\ dac i numai dac exist un ir axk format din puncte distincte din A. Proprietatea 3.3.10: O mulime nA\ este nchis dac i numai dac o dat cu orice ir convergent de puncte din A, limita irului aparine de asemenea lui A. Definiia 3.3.4: Un ir ( )k kx ` de puncte din spaiul n\ se numete fundamental (ir Cauchy) dac i numai dac pentru orice 0 > exist ( )N ` astfel nct: ( ), ( ) ,m nx x m n N < . Teorema 3.3. 3(criteriul lui Cauchy): Un ir ( )k kx ` de puncte din spaiul n\ este convergent dac i numai dac este ir fundamental.
23
Teorema 3.3.4 ( Lema lui Cesaro ): Orice ir mrginit de puncte din spaiul n\ conine un subir convergent. Teorema 3.3.5 ( Weierstrass Bolzano ): Orice mulime mrginit i infinit are cel puin un punct de acumulare.
I.3.4. Funcii definite pe mulimi din spaiul n\
Definiia 3.4.1: Fie E n\ i funcia f : E m\ , aadar argumentul funciei f este un vector din
n\ , iar valorile funciei sunt vectori. Spunem c funcia f este o funcie vectorial de variabil vectorial, notat f (x) sau f ( x1, x2, ... , xn ), unde x este o variabil vectorial din n\ i x1, x2, ... , xn sunt coordonatele lui x. Definiii 3.4.2: Fie E n\ i funciile f : E m\ , g : E m\ . Operaii cu funciile vectoriale sunt: 1) f + g : E m\ definit astfel: (f + g)(x) = f (x) + g (x), x E; 2) f g : E m\ definit astfel: (f g)(x) = f (x) g (x), x E; 3) f : E m\ definit astfel: ( f)(x) = f (x), x E i \ ; 4) f / g : E m\ definit astfel: (f / g)(x) = f (x) / g (x), x E; 5) f : E \ definit astfel: f (x) = )(xf , x E; ( )
===
m
iiffff
1
2, .
Definiia 3.4.3: Fie E n\ , F m\ i funciile f : E F, g : F p\ . Definim compunerea funciilor vectoriale astfel h : E p\ , unde h = g D f sau h (x) = (g D f) (x) = g ( f(x)), x E. Definiia 3.4.4: Fie E n\ , F m\ i funcia biunivoc f : E F. Definim inversa funciei vectoriale f astfel f -1 : F E, cu proprietatea ( f -1 D f ) (x) = x i ( f D f -1 ) (y) = y, y F . Definiia 3.4.5: Fie E n\ i funcia f : E m\ . Se spune c funcia f este mrginit pe mulimea E, dac mulimea valorilor f (E) m\ este mrginit, adic exist Vr(a) m\ care conine mulimea valorilor f (E). Teorema 3.4.1: Fie E n\ i funcia vectorial f : E m\ . Atunci funcia f este mrginit dac i numai dac exist un numr real M astfel nct pentru orice x E s avem ( )f x M . Corolarul 3.4.1: Funcia vectorial f : E m\ este mrginit dac i numai dac ( )x f x definit pe E este mrginit, adic sup ( )
x Ef x
< + .
Teorema 3.4.2: Funcia vectorial f : E m\ este mrginit dac i numai dac toate componentele sale reale sunt mrginite.
I.3.5. Limita funciilor definite pe mulimi din spaiul n\ Definiia 3.5.1: Numim funcie real de n variabile reale o funcie : nf A \ \ . Argumentul funciei f este un vector 1 2( , ,..., )
t nnx x x x A= \ , de aceea f se mai numete
funcie real de variabil vectorial. A este domeniul de definiie al funciei; f (A) este mulimea n care funcia f ia valori; f este legea de coresponden ntre ( )nA i f A \ \ . Vom nota: ( )1 2, , , ny f x x x= .
Fie nA \ , x0 un punct de acumulare pentru mulimea A i : mf A \ . Definiia 3.5.2: Se spune c un vector ml\ este limita funciei f n punctul x0, dac pentru orice ( )U V l ( n m\ ), exist 0( )V V x ( n n\ ) astfel nct ( ) x V A , 0x x , ( )f x U , adica
24
0
lim ( )x x
l f x= . Definiia 3.5.3: Se spune c un vector l\ este limita funciei f n punctul (x0, y0) dac pentru orice ( )U V l , exist 0 0( , )V V x y astfel nct ( ) ( , )x y V A , 0x x , ( , )f x y U , adica
00
lim ( , )x xy y
l f x y
= .
Definiia 3.5.4: Se spune c un vector ml\ este limita funciei f n punctul (x0, y0), dac pentru orice 0 > , exist ( ) 0 > astfel nct 0 0( ) ( , ) ( , )x y x y , ( , )x y A : cu 0 ( )x x < ,
0 ( )y y < s avem ( )f x l < , adica 00
lim ( , )x xy y
l f x y
= .
Proprietile limitei Proprietatea 3.5.1: Limita unei funcii vectoriale ntr-un punct, dac exist, este unic. Proprietatea 3.5.2: Dac
0
lim ( )x x
f x l = , atunci 0lim ( )x x f x l = . Proprietatea 3.5.3: Avem
0
lim ( )x x
f x l = dac i numai dac [ ]0lim ( ) 0x x f x l = . Proprietatea 3.5.4: Dac
0
lim ( ) 0x x
f x , atunci exist 0( )V V x astfel nct ( ) x V A , 0x x , ( ) 0f x .
Proprietatea 3.5.5: Funcia f are limit n x0 dac i numai dac pentru orice 0 > , exist 0( )V V x astfel nct ( ) ,x x V A , 0x x , 0x x atunci are loc relaia ( ) ( )f x f x < .
Proprietatea 3.5.6: Dac : mf A \ i :h A \ , dac 0
lim ( ) 0x x
h x = i dac exist un vector ml\ i o vecintate V a lui x0, astfel nct s avem ( ) ( )f x l h x pentru ( ) x V A , 0x x , atunci
0
lim ( )x x
f x l = . Proprietatea 3.5.7: Dac : mf A \ i : mg A \ , au limite n x0 , atunci funciile
: mf g A+ \ , : mf g A \ au limite n x0 i [ ]
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x
f x g x f x g x + = + [ ]
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x
f x g x f x g x = . Proprietatea 3.5.8: Dac : mf A \ i : A \ , au limite n x0, atunci funcia : mf A \ au limite n x0 i [ ]
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x
x f x x f x = . Teorema 3.5.1: Fie funcia : n mf A \ \ i funciile 1 2, ,..., :mf f f A \ , componentele sale reale 1 2: { , ,..., }mf f f f= . Atunci
0
lim ( )x x
f x l = dac i numai dac 0lim ( )i ix x f x l = , 1,i m= , unde 1 2: { , ,..., }
mml l l l= \ .
Limite pariale i iterate
Fie 1 2( , ,..., )nf x x x o funcie vectorial de n variabile, :n mf A \ \ . Din aceast
funcie putem obine funciile sale pariale: 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2: ( , ,..., ), : ( , ,..., ), ... , : ( , ,..., )n n n n nf x f x x x f x f x x x f x f x x x
Atunci 1 2lim ( ) lim ( , ,..., )i i i i
i i nx a x af x f x x x = , 1,i n= dac ai este punct de acumulare al
mulimii { }1 2, ( , ,..., )i i i nA x x x x x A= \ . Limita funciei fi este un numr care depinde de celelalte n 1 variabile reale, diferite de xi. 1 2lim lim ( , ,..., )
j j i inx a x a
f x x x , i j .
25
Aceast limit este un numr care depinde de celelalte n 2 variabile diferite de xi i xj. Se poate considera limita iterat a acestei funcii n raport cu toate variabilele pe rnd. Aceast limit este un numr care nu mai depinde de nici una din variabile. Aceasta se numete limita iterat a funciei f. Observaie: Pornind de la funcii reale de n variabile reale particularizm pentru funcii reale de dou variabile reale. Pentru funcia f (x, y), 2: mf A \ \ i punctul de acumulare (x0 , y0) se pot considera i alte tipuri de limite, numite limite pariale i anume: ( )
00
lim ,x xy y
f x y=
limit parial n raport cu y;
( )0
0
lim ,x xy y
f x y=
limit parial n raport cu x. De asemenea, se pot defini limitele iterate ,adic:
( )0 0
lim lim ,x x y y
f x y sau ( )0 0lim lim ,y y x x f x y . Teorema 3.5.2: Dac exist limita funciei ntr-un punct i una din limitele iterate n acest punct, atunci aceste limite sunt egale. Observaie: Legtura ntre limita funciei n raport cu ansamblul variabilelor i limite iterate: - dac ( )
00
( ) lim ,x xy y
f x y
, precum i una dintre limitele iterate n 0 0( , )x y , atunci cele dou limite coincid; - dac limita nu exist, limitele iterate pot exista. - dac exist una din cele trei limite ( )
00
lim ,x xy y
f x y l
= sau ( )0 0
lim lim ,x x y y
f x y sau ( )0 0lim lim ,y y x x f x y nu rezult c i celelalte dou limite exist. - dac exist limitele iterate ale funciei f n 0 0( , )x y i sunt egale nu rezult c exist limita funciei n (a, b) n raport cu ansamblul variabilelor.
I.3.6. Continuitatea funciilor vectoriale
Definiia 3.6.1: Fie : nf A \ \ , 0x A . Se spune c funcia f este continu n punctul x0, dac pentru orice vecintate U a lui f (x0) exist o vecintate V a lui x0 astfel nct orice x V A s avem ( )f x U . Definiii echivalente: 1) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac ( )( ) k kx ` , kx A , 0kx x , 0kx x :
0( ) ( )kf x f x ; 2) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac pentru orice 0 > , exist ( ) 0 > astfel nct 0( ) x x , x A : cu 0 ( )x x < s avem 0( ) ( )f x f x < ; 3) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac pentru orice 0 > , exist 0( )V V x astfel nct ( ) x V A , 0( ) x x s avem 0( ) ( )f x f x < ; 4) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac pentru orice 0( ( ))U V f x , exist
0 > astfel nct ( ) x A , 0( ) x x i 0x x < implic ( )f x U . 5) Funcia f este continu n punctul 0 1 2( , ,..., )nx a a a A= dac i numai dac pentru orice
0 > ( )0( ) ( ( ))U V f x , exist ( ) 0 > astfel nct 1 2( ) ( , ,..., )nx x x x A = cu 1 1 ( )x a < , 2 2 ( )x a < , ... , ( )n nx a < s avem: 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., )n nf x x x f a a a <
6) Funcia f este continu n punctul x0 dac i numai dac ( )0
0lim ( )x x f x f x = , ( )
00lim ( ) 0x x f x f x =
26
7) Dac funcia f este continu n toate punctele mulimii A, spunem c f este continu pe mulimea A.
Proprieti: Proprietatea 3.6.1: Dac f este continu n raport cu x0, 0x A atunci ( )f x este continu n raport cu x0. Proprietatea 3.6.2: Dac f este continu n raport cu x0 i 0( ) 0f x , atunci exist V o vecintate a punctului x0 pe care funcia f este diferit de 0. Proprietatea 3.6.3: Dac f este continu n raport cu x0 atunci exist V o vecintate a punctului x0 pe care funcia f este mrginit. Proprietatea 3.6.4: Dac
0
lim ( )x x
f x exist n m\ , atunci funcia f se poate prelungi prin
continuitate n punctul x0, punnd: 0
0( ) lim ( )x xf x f x= Proprietatea 3.6.5: Dac f i g este continu n raport cu x0, iar : A \ este continu n raport cu x0, atunci f + g, f g, ( f, g) i f sunt continue n raport cu x0. n particular funcia f sunt continue n raport cu x0 oricare ar fi \ . Proprietatea 3.6.6: Fie nE \ , mF \ . Dac funcia :f E F este continu n x0, 0x E , iar
: pg F \ este continu n 0 0( )y f x F= , atunci funcia compus : pg f E D \ este continu n x0. Proprietatea 3.6.6: Funcia vectorial f este continu n x0 dac i numai dac fiecare din componentele sale reale 1 2, ,..., :mf f f E \ este continu n x0. Proprietatea 3.6.7: Dac f este continu n raport cu ansamblul variabilelor, atunci ea este continu n acel punct n raport cu fiecare variabil n parte. Reciproca nu este, n general, adevrat.
I.3.7. Derivatele funciilor reale de mai multe variabile reale
III.3.7.1. Derivate pariale Definiia 3.7.1.1: Fie 2:f E \ \ i (x0, y0 ) un punct interior lui E. Funcia f este derivabil parial n raport cu x n punctul (x0, y0 ), dac
( ) ( )0
0 0 0
0
, ,limx x
f x y f x yx x , exist i este finit.
Aceast limit se noteaz cu ( ) ( )0 0' 0 0 ,,x f x yf x y sau x
i se va numi derivata parial de ordinul nti a funcie f n raport cu x n punctul (x0, y0).
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0 0'0 0
0
, , ,, limx x x
f x y f x y f x yf x y
x x x = = .
Analog se definete funcia f este derivabil parial n raport cu y n punctul (x0, y0)
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0 0'0 0
0
, , ,, limy y y
f x y f x y f x yf x y
y y y = = .
Definiia 3.7.1.2: Dac funcia f este derivabil parial n raport cu x (n raport cu y) n fiecare punct al lui A E , vom spune c funcia f este derivabil parial n raport cu x (n raport cu y) pe mulimea A. Observaie: Regul practic de derivare parial: cnd se deriveaz parial n raport cu x, se consider y constant, iar cnd derivm parial n raport cu y, se consider x constant. Observaie: Dac ( ) ( )' '0 0 0 0, ,x yf x y sau f x y sunt + sau , vom spune c f are derivat n punctul (x0, y0 ), dar nu este derivabil n (x0, y0 ). Derivata parial ntr-un punct msoar viteza de variaie a
27
funciei n raport cu variabila respectiv. Derivatele pariale ale funciilor n care intervin sume, produse, cturi de funcii se calculeaz dup regulile stabilite la funcii de o singur variabil real. Teorema 3.7.1.1: Dac derivata parial xf ( respectiv yf ) exist n punctul (x0, y0 ), atunci funcia f este continu n (x0, y0 ) n raport cu x ( respectiv y). Observaie: Dac exist ambele derivate pariale ( )' 0 0,xf x y i ( )' 0 0,yf x y atunci funcia f ( x, y) este continu n (x0, y0 ) n raport cu fiecare variabil n parte, dar nu n mod necesar n raport cu ansamblul variabilelor. Teorema 3.7.1.2: Fie (x0, y0 ) un punct interior al lui E. Dac derivatele pariale xf i yf exit pe o vecintate V a lui (x0, y0 ), atunci pentru orice punct ( , )x y V exist un numr cuprins ntre x0 i x i un numr cuprins ntre y0 i y astfel nct:
0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x yf x y f x y f y x x f x y y = + . Teorema 3.7.1.3: Fie (x0, y0 ) un punct interior al lui E. Dac funcia f are derivate pariale mrginite ntr-o vecintate V a lui (x0, y0 ), atunci ea este continu n (x0, y0 ). Consecina 3.7.1.1: Dac derivata parial xf i yf exist pe o vecintate a lui (x0, y0 ), i sunt continue n (x0, y0 ), atunci funcia f este continu n (x0, y0 ). Consecina 4.1.2: Dac derivata parial xf i yf exist pe E i sunt continue sau mrginite pe E, atunci funcia f este continu pe E . Definiia 3.7.1.3: Fie 3:f E \ \ i (x0, y0, z0 ) un punct interior lui E. Funcia f este derivabil parial n raport cu x n punctul (x0, y0, z0 ), dac
( ) ( )0
0 0 0 0 0
0
, , , ,limx x
f x y z f x y zx x , exist
i este finit. Aceast limit se noteaz cu ( ) ( )0 0 0' 0 0 0 , ,, ,x f x y zf x y z sau x
i se va numi derivata parial de ordinul nti a funciei f n raport cu x n punctul (x0, y0, z0 ).
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0 0 0 0 0'0 0 0
0
, , , , , ,, , limx x x
f x y z f x y z f x y zf x y z
x x x = = .
Analog se definete funcia f este derivabil parial n raport cu y n punctul (x0, y0, z0 )
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0 0 0 0 0'0 0 0
0
, , , , , ,, , limy y y
f x y z f x y z f x y zf x y z
y y y = = .
i funcia f este derivabil parial n raport cu z n punctul (x0, y0, z0 ),
( ) ( ) ( ) ( )0
0 0 0 0 0 0 0 0'0 0 0
0
, , , , , ,, , limz z z
f x y z f x y z f x y zf x y z
z z z = = .
Definiia 3.7.1.6: Fie 1 2( , ,..., ) :n
nf x x x E \ \ i (x01, x02, ... , x0n) un punct interior lui E. Funcia f este derivabil parial n raport cu xi n punctul (x01, x02, ... , x0n), dac
0
01 02 0 1 0 1 0 01 02 0
0
( , ,..., , , ,..., ) ( , ,..., )limi i
i i i n n
x xi i
f x x x x x x f x x xx x
+
, exist i este finit. Aceast limit se
noteaz cu ' 01 02 001 02 0( , ,..., )( , ,..., )
i
nx n
i
f x x xf x x x saux
i se va numi derivata parial de ordinul
nti a funciei f n raport cu xi n punctul (x01, x02, ... , x0n).
0
' 01 02 0 01 02 0 1 0 1 0 01 02 001 02 0
0
( , ,..., ) ( , ,..., , , ,..., ) ( , ,..., )( , ,..., ) limi
i i
n i i i n nx n x x
i i i
f x x x f x x x x x x f x x xf x x xx x x
+
= = . Definiia 3.7.1.4: Fie 2: mf E \ \ , 1 2( , ,..., )mf f f f= i (x0, y0 ) un punct interior lui E. Funcia f este derivabil parial n raport cu x n punctul (x0, y0 ), dac toate componentele sale au derivat parial n raport cu x n punctul (x0, y0).
28
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 0 0 2 0 0 0 0' 0 0 , , , ,, , ,..., m mx f x y f x y f x y f x yf x y x x x x = =
\ .
Definiia 3.7.1.5: Fie 2:f E \ \ i ( )0 0,x y E . Expresia ( ) ( )00 ,, f x yR x y x= se numete valoarea medie a funciei f (x, y) n raport cu x. Expresia ( ) ( )00 ,, f x yR x y y= se numete valoarea medie a funciei f ( x, y) n raport cu y.
Definiia 3.7.1.5: Expresia ( ) ( )0 0, ,fM x y x yx= se numete valoarea marginal a funciei f ( x,
y) n raport cu variabila x. Expresia ( ) ( )0 0, ,fM x y x yy= se numete valoarea marginal a
funciei f ( x, y) n raport cu variabila y. Definiia 3.7.2.6: Se numete elasticitatea parial a funciei f ( x, y) n raport cu variabila x, n
punctul ( 0 0,x y ), expresia ( ) ( ) ( )00 0 0 00 0, ,,xx fE x y x y
f x y x= . Se numete elasticitatea parial a
funciei f ( x, y) n raport cu variabila y, n punctul ( 0 0,x y ), expresia
( ) ( ) ( )00 0 0 00 0, ,,yy fE x y x y
f x y y= .
Exerciii rezolvate:
1. Pornind de la definiie, s se calculeze derivatele pariale de ordinul nti n punctul indicat pentru funcia: 2( , ) ln(2 3 )f x y x y= + n (1,1) Rezolvare:
( ) ( ) ( ) ( )'1
1,1 ,1 1,11,1 lim
1x xf f x f
fx x
= = 2
1
ln(2 3) ln 5lim1x
xx+ = 21
4 4lim2 3 5x
xx
= =+
( ) ( ) ( ) ( )'1
1,1 1, 1,11,1 lim
1y yf f y f
fy y
= = 1ln(3 2) ln 5lim
1yy
y+ = 1
3 3lim3 2 5y y
= =+
2. Fie ( )2 2( , ) xyf x y x y e= + . S se verifice ecuaia: ( , ) ( , ) 2 ( , )f fx x y y x y f x yx y + = Rezolvare:
( ) ( )2 2 2 21 1( , ) 2 2x x xy y yf x y x e x y e x y x ex y y = + + = + +
( ) ( )( ) ( )
2 2 3 3 22
2 22 3 2 3 3 32 2
1 1( , ) ( , ) 2 2
22 2 2 2 ( , )
x xy y
x x xy y y
f fx x y y x y x x y x e y x y x y ex y y y
y x yx y x x y y x x ye e x y e f x yy y
+ = + + + + ++ + + += = = + =
3. Se d funcia 2
: , ( , ) x x yf f x y e + =\ \ \ . S se arate c: M(x,0) M(1,y) = f(x,0) f(1,y). Rezolvare:
( ) ( )2 2 3 3 22 21( , ) 2 2x x xy y yf xx y y e x y e x y x y ey y y = + + = +
29
f (x,0) = ex; f (1,y) = e1+y; 2
( , ) (1 2 ) x x yf x y x y ex
+ = + ; yxxex
yf 22 +=
;
( ) ( ) xexxfxM =
= 0,0, ; ( ) ( ) yeyyfyM +=
= 1,1,1 M(x,0) M(1,y) = f(x,0) f(1,y) = ex e1+y
4. Se d funcia f (x, y) = ln (x2 y + x y2), x,y > 0. S se verifice ecuaia: [ ] [ ] 3( , )x y
E f E ff x y
+ = Rezolvare:
2
2 2
2( , )f x y yx yx x y x y
+= + 2
2 2
2( , )f x y xx yy x y x y
+= +
( ) ( ))()ln(
2,),( 2222
22
xyyxxyyxxyyxyx
xf
yxfxfEx ++
+==
( ) ( ))()ln(
2,),( 2222
22
xyyxxyyxxyyxyx
yf
yxfyfEy ++
+==
[ ] [ ]),(
3)()ln(
332222
22
yxfxyyxxyyxxyyxfEfE yx =++
+=+
Exerciii propuse:
1. S se arate c funcia ( , ) yf x y arctgx
= verific ecuaia: 2 2
2 2( , ) ( , ) 0f fx y x y
x y + =
2. Fie ( , ) ln yf x y x y xx
= + . S se verifice ecuaia: ( , ) ( , ) ( , )f fx x y y x y x y f x yx y
+ = +
3. Se d funcia 2 2( , )f x y x y= + , x, y > 0. Artai c: [ ] [ ] 1=+ fEfE yx . 4. Se d funcia de producie de tip Coob Douglas: 1( , )f x y x y = . S se arate c suma elasticitilor pariale n orice punct este 1.
I.3.7. 2. Derivate pariale de ordin superior Definiia 3.7.2.1: Fie 2:f E \ \ , derivabil parial n raport cu x, respectiv cu y, oricare ar fi ( ),x y E . Dac derivatele pariale ( ) ( )' ', ,x yf x y i f x y definite pe E, exist, sunt la rndul lor derivabile parial n raport cu x i y, derivatele lor pariale se numesc derivate pariale de ordinul doi ale funciei f i se noteaz:
( ) ( )22 "2, ,xf x yf f x yx x x = =
; ( ) ( )22 "2, ,yf x yf f x yy y y = =
;
( ) ( )2 ", ,yxf x yf f x yy x y x = =
; ( ) ( )2 ", ,xyf x yf f x yx y x y = =
.
Definiia 3.7.2.2: Derivatele pariale de ordinul doi 2 2
,f fx y y x se numesc derivate pariale
mixte de ordinul al doilea i, n general, nu sunt egale.
30
Definiia 3.7.2.3: O funcie de n variabile 1 2( , ,..., )nf x x x poate avea n derivate pariale de
ordinul nti i n2 derivate pariale de ordinul doi: i jx x
f , , 1,i j n= . Observaie: Criteriul urmtor d condiii suficiente ca derivatele pariale mixte s fie egale. Teorema 3.7.2.1 (Criteriul lui Schwarz): Dac funcia 2:f E \ \ are derivate pariale mixte de ordinul doi ntr-o vecintate a punctului ( )0 0,x y E i acestea sunt continue n (x0, y0 ), atunci
( ) ( )" "0 0 0 0, ,xy yxf x y f x y= . Consecina 3.7.2.1: Dac derivatele pariale mixte "xyf i
"yxf exist i sunt continue pe E, atunci
ele sunt egale pe E i avem: " "xy yxf f= . Teorema 3.7.2.2 (Criteriul lui Young): Dac funcia f are derivate pariale de ordinul nti xf i
yf ntr- o vecintate V a lui (x0, y0 ) i dac xf i yf sunt difereniale n (x0, y0 ), atunci derivatele pariale mixte de ordinul doi exist n (x0, y0 ) i sunt egale n acest punct: ( ) ( )" "0 0 0 0, ,xy yxf x y f x y= . Consecina 3.7.2.2: Dac derivatele pariale de ordinul nti xf i yf exist i sunt difereniale pe E, atunci toate derivatele pariale de ordinul doi exist pe E, iar derivatele pariale mixte sunt egale pe E i avem: " "xy yxf f= . Consecina 3.7.2.3: Dac derivatele pariale de ordinul n 1 exist pe o vecintate V a lui (x0, y0 ) i sunt difereniabile n (x0, y0 ), atunci exist toate derivatele pariale de ordin n n (x0, y0 ) i derivatele mixte, n care variabilele n raport cu care se deriveaz intervin de acelai numr de ori, sunt egale n (x0, y0 ). Consecina 3.7.2.4: Dac toate derivatele pariale de ordinul doi ale funciei f exist ntr-o vecintate V a lui (x0, y0 ) i dac sunt continue n (x0, y0 ), atunci: ( ) ( )" "0 0 0 0, ,xy yxf x y f x y= . Definiia 3.7.2.4: Fie 3:f E \ \ , derivabil parial n raport cu x, respectiv cu y, respectiv cu z, oricare ar fi ( ), ,x y z E . Dac derivatele pariale ( ) ( ) ( )' ' ', , , , , , ,x y yf x y z f x y z i f x y z definite pe E, exist, sunt la rndul lor derivabile parial n raport cu x, y i z, derivatele lor pariale se numesc derivate pariale de ordinul doi ale funciei f i se noteaz:
( ) ( )22 "2, , , ,xf x y zf f x y zx x x = =
; ( ) ( )22 "2, , , ,yf x y zf f x y zy y y = =
;
( ) ( )22 "2, , , ,zf x y zf f x y zz z z = =
; ( ) ( )2 ", , , ,xyf x y zf f x y zx y x y = =
;
( ) ( )2 ", , , ,yxf x y zf f x y zy x y x = =
; ( ) ( )2 ", , , ,xzf x y zf f x y zx z x z = =
;
( ) ( )2 ", , , ,yzf x y zf f x y zy z y z = =
; ( ) ( )2 ", , , ,zyf x y zf f x y zz y z y = =
;
( ) ( )2 ", , , ,zxf x y zf f x y zz x z x = =
.
Exerciii rezolvate:
1. S se determine derivatele pariale de ordinul doi pentru funciile:
a) ( ) 2,f x y x y= ; b) ( ) ( ), sinf x y x x y= + ; Rezolvare:
31
a) ( )2 2 ( , ) ( , ) 2 2f fx y x y xy yx x x x = = =
, ( )2 22 ( , ) ( , ) 0f fx y x y xy y y y = = = ; ( )2 2( , ) ( , ) 2f fx y x y x xx y x y x = = = , ( )
2
( , ) ( , ) 2 2f fx y x y xy xy x y x y
= = = .
b) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 ( , ) ( , ) sin cos 2cos sinf fx y x y x y x x y x y x x yx x x x = = + + + = + + ( )( ) ( )2 2 ( , ) ( , ) cos sinf fx y x y x y x x yy y y y = = + = + ( )( ) ( ) ( )2 ( , ) ( , ) cos cos sinf fx y x y x x y x y x x y
x y x y x = = + = + +
( ) ( )( ) ( ) ( )2 ( , ) ( , ) sin cos cos sinf fx y x y x y x x y x y x x yy x y x y
= = + + + = + +
Exerciii propuse:
1. S se determine derivatele pariale de ordinul doi pentru funciile: a) ( ) ( )2, cosf x y x y= + ; b) ( ) ( )2, ln 1f x y x y= + + .
I.3.8. Difereniala funciilor reale de mai multe variabile reale Definiia 3.8.1: Fie 2:f E \ \ i 0 0( , )x y un punct interior mulimii E . Funcia f este difereniabil n punctul 0 0( , )x y dac exist dou numere reale i i o funcie
2: E \ \ , continu i nul n punctul 0 0( , )x y , adic ( )00
0 0lim , ( , ) 0x xy y
x y x y
= = , astfel
nct, pentru orice punct ( ),x y E , s existe egalitatea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0 0 0, , ,f x y f x y x x y y x y x x y y = + + + . (3.8.1)
Definiia 3.8.2: Dac mulimea E este deschis (format numai din puncte interioare) i dac f este difereniabil n orice punct al mulimii E, spunem c f este difereniabil pe mulimea E. Observaie: Egalitatea (3.8.1) se scrie: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0, , ,f x y f x y x x y y x y d = + + Lema 3.8.1: Dac funcia ( ),x y definit pe E, are limita 0 n punctul 0 0( , )x y , atunci exist dou funcii ( )1 ,x y i ( )2 ,x y definite pe E, au limita 0 n punctul 0 0( , )x y i care verific egalitate:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0, , ,x y d x y x x x y y y = + , ( ),x y E Reciproc, dac funcilei ( )1 ,x y i ( )2 ,x y definite pe E, au limita 0 n punctul 0 0( , )x y , atunci exist o funcie ( ),x y definit pe E, cu limita 0 n punctul 0 0( , )x y , care s verifice egaliatatea precedent.
Proprieti Proprietatea 3.8.1: Funcia f este diferenial n punctul 0 0( , )x y dac i numai dac exist dou numere reale i , i dou funcii ( )1 ,x y i ( )2 ,x y definite pe E, continue n punctul
32
0 0( , )x y i nule n acest punct: ( )00
0 0lim , ( , ) 0i ix xy y
x y x y
= = , 1,2i = , astfel nct pentru orice
( ),x y E s avem egaliatetea: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 0 2 0, , , ,f x y f x y x x y y x y x x x y y y = + + + .
Proprietatea 3.8.2: Dac funcia f este difereniabil n punctul 0 0( , )x y ED
, atunci ea are derivate pariale n 0 0( , )x y i , n plus,
' '0 0 0 0( , ), ( , )x yf x y f x y = = . Egalitatea din definiie a
difereniabilitii se scrie atunci astfel: ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0 0 0, ( , ) ( , ) ( , ) ,x yf x y f x y f x y x x f x y y y x y d = + + ;
sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 1 0 0 0 2 0, ( , ) ( , ) , ( , ) ,x yf x y f x y f x y x y x x f x y x y y y = + + +
Consecina 3.8.1: Dac f este difereniabil pe mulimea E, atunci ea are derivate pariale ' 'x yf i f pe E. Reciproca nu este adevrat. Teorema 3.8.1: Dac funcia f este difereniabil n punctul 0 0( , )x y , atunci ea este continu n acest punct. Teorema 3.8.2 ( Condiie suficient pentru difereniabilitate n punct): Dac funcia f are derivate pariale de ordinul nti n raport cu x i y ntr-o vecintate V a punctului 0 0( , )x y i dac aceste derivate pariale sunt continue n 0 0( , )x y , atunci funcia f este difereniabil n 0 0( , )x y . Aadar, pentru o funcie difereniabil n punctul 0 0( , )x y , putem scrie:
( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0 0 0, ( , ) ( , ) ( , ) ,x yf x y f x y f x y x x f x y y y x y d = + + (3.8.2) Definiia 3.8.3: Diferena ( ) ( )0 0, ,f x y f x y se numete creterea funciei f corespunztoare creterilor 0x x i 0y y ale variabilelor x i y. Pentru creteri mici ale argumentelor x i y, din ( ) ( )
00
0 0lim , , 0x xy y
x y x y
= = , deducem c diferena ( ) ( )0 0, ,f x y f x y poate fi aproximat cu funcia liniar n x, y ,
( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0, ,x yf x y x x f x y y y + . (3.8.3) Definiia 3.8.4: Funcia liniar din (3.8.3) se numete difereniala funciei f n punctul 0 0( , )x y i se noteaz ( )0 0, ; ,df x y x y . Aadar, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 0 0 0 0 0 0, ; , , ,x ydf x y x y f x y x x f x y y y= + i reprezint, aproximativ ,creterea funciei f n 0 0( , )x y , adic
( ) ( ) ( )0 0 0 0, ; , , ,df x y x y f x y f x y . Obinem ( ) ( ) ( )' ', , ,x ydf x y f x y dx f x y dy= + sau, dac nu se pun n eviden variabilele x i y,
' 'x y
f fdf f dx f dy dx dyx y
= + = + (3.8.4)
Definiia 3.8.5: Expresia d dx dyx y = + se numete operator de difereniere.
Definiia 3.8.6: Fie 3:f E \ \ i 0 0 0( , , )x y z un punct interior mulimii E . Funcia f este difereniabil n punctul 0 0 0( , , )x y z dac exist trei numere reale , i i o funcie
3: E \ \ , continu i nul n punctul 0 0 0( , , )x y z , adic ( )00
0
0 0 0lim , , ( , , ) 0x xy yz z
x y z x y z
= = ,
astfel nct, pentru orice punct ( ), ,x y z E , s existe egalitatea
33
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0 0
2 2 20 0 0
, , ( , , )
, ,
f x y z f x y z x x y y z z
x y z x x y y z z
= + + ++ + +
.
Definiia 3.8.7: Pentru 3:f E \ \ , avem 1 2 3
1 2 3
f f fdf dx dx dxx x x
= + +
1 2 31 2 3
d dx dx dxx x x = + + , operator de difereniere.
Definiia 3.8.8: Pentru funcia 2 0 0: , ( , )f E i x y E D
\ \ se pot defini i difereniale de ordin superior. Funcia f este difereniabil de k ori n punctul 0 0( , )x y sau f are diferenial de ordinul k n 0 0( , )x y , dac toate derivatele pariale de ordinul k 1 ale lui f exist ntr-o vecintate V a lui 0 0( , )x y i acestea sunt difereniabile n 0 0( , )x y . Difereniala de ordinul k a funciei f n punctul 0 0( , )x y este dat de egalitatea
0 0 0 0( , ) ( , )k
kd f x y dx dy f x yx y
= + (3.8.5)
sau, dac nu punem n eviden punctul 0 0( , )x y ,
k
kd f dx dy fx y
= + (3.8.6)
n aceast egalitate exponentul k indic faptul c binomul din paranteze trebuie dezvoltat n mod formal dup binomul lui Newton, iar rezultatul se nmulete formal cu f. Operatorul din relaia (3.8.6) este operatorul de difereniere de ordinul k i se obine prin ridicarea formal la puterea k a operatorului de difereniere de ordinul unu. Avem, ( )1k kd f d d f= .
2 2 2 22 2 2
2 22f f fd f dx dy f dx dx dy dy
x y x x y y = + = + +
Exerciii rezolvate:
1. S se calculeze ( ),df x y pentru urmtoarele funcii:a) ( ), , 0xf x y yy
= , b) ( ) ( )2 3, lnf x y x y= + Rezolvare:
a) ' ' 21( , ) , ( , )x y
xf x y f x yy y
= = ; ( ) 2 21, x x y dx x dydf x y d dx dyy y y y = = =
b) 2
' '2 3 2 3
2 3( , ) , ( , )x yx yf x y f x y
x y x y= =+ + ; ( ) dyyx
xdxyx
xyxdf 323222, +++=
2. S se calculeze ( ), ,df x y z pentru urmtoarele funcia ( ), , ln( )y z xf x y z x y z= . Rezolvare: ( ), , ln( )y z xf x y z x y z= ln ln lny x z y x z= + +
( , , ) lnf yx y z zx x
= + ; ( , , ) lnf zx y z xy y
= + ; ( , , ) lnf xx y z yz z
= + ;
( ), , ( ln )ydf x y z z dxx
= + + ( ln )z x dyy+ + ( ln )x y dz
z+
34
3. Se d funcia de producie de tip Coob Douglas: 1( , )f x y x y = . Pentru 13
= s se calculeze f ( 2, 2) i df ( 2, 2); Rezolvare:
Pentru 13
= funcia de producie de tip Coob Douglas devine 1 23 3( , )f x y x y=
1 2 2 213 3 3 31 1( , )
3 3f x y x y x yx
= = 1 2 1 113 3 3 32 2( , )
3 3f x y x y x yy
= =
( ) 1 2 2 2 1 13 3 3 3 3 31 2,3 3
df x y d x y x y dx x y dy = = +
( ) 1 2 2 2 1 13 3 3 3 3 31 2 1 22, 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3
df d dx dy dx dy = = + = +
4. S se calculeze d2f pentru urmtoarele funcii: a) ( ) 2 2, 3f x y x y= + ; b) ( ),f x y = xarctgy
,
c) ( ) ( ) ( ) 3, , ln , 0, , ,f x y z ax by cz ax by cz x y z= + + + + > \ . Rezolvare:
a)2 2 2 2
2 2 22 2( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )f f fd f x y dx dy f x y x y dx x y dx dy x y dy
x y x x y y = + = + +
( )2 2 2 2 2 2( , ) 3 2 6d f x y d x y dx dy= + = + , deoarece
2 2 2
2 2( , ) 2 , ( , ) 6 , ( , ) 2, ( , ) 0, ( , ) 6f f f f fx y x x y y x y x y x yx y x x y y
= = = = = .
b) 2 2 2 2 2 22 2
1( , ) [2 ( ) 2 ]xd f x y d arctg xydx y x dxdy xydyy x y
= = + ,
deoarece ( , )f x yx
= 22 yxy+ ; ( , )
f x yy
= 22 yxx+ ;
2
2 ( , )f x y
x = 22
2yx
xy+ ;
2
2 ( , )f x y
y = 22
2yx
xy+ ;
2
( , )f x yx y = 22
22
yxxy
+
.
c) 2
2
2 2 22 2 2
2 2 2
2 2 2
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
2 ( , , ) 2 2 ( , , )
d f x y z dx dy dz f x y zx y z
f f fx y z dx x y z dy x y z dzx y z
f f fx y z dx dy dy dz x y z dx dzx y y z x z
= + + = = + + +
+ + +
( ) ( ) ]222[1,, 2222222
2 dxdzacdydzbcdxdyabdzcdybdxaczbyax
zyxfd +++++++=
deoarece:
( )2 2
22 ( , , ) ;f a f ax y z
x x ax by czax by cz = = + ++ + ;
35
( )2 2
22 ( , , ) ; ( , , )f b f bx y z x y z
y y ax by czax by cz = = + ++ +
( )2 2
22 ( , , ) ; ( , , )f c f cx y z x y z
z z ax by czax by cz = = + ++ + ;
( )2
2( , , ) ; ( , , )f ab f bcx y z x y z
x y y z ax by czax by cz = = + ++ +
( )2
2( , , )f acx y z
z x ax by cz = + + . Aceste rezultate se introduc n expresia lui d
2 f .
Exerciii propuse:
1. S se calculeze ( ),df x y pentru urmtoarele funcii:
a) ( ), , 0tgxf x y yy
= b) ( ), , 0yf x y x x= > c) ( ) ( )2 3, cosf x y x y xy= + + 2. S se calculeze difereniala de ordinul nti pentru funcia ( ), , 2y z xf x y z x y z= + ; 3. Fie funcia f : \ 2 \ definit astfel: 22)(),( yxeyxyxf += . S se calculeze
f ( -1, 2), df ( -1, 2) i df ( -1, 2) (1, -1); 4. S se calculeze d2f pentru urmtoarele funcii:
a) ( ) 4 2, 3 sinf x y x y y x= + ; b) ( ),f x y = cosxe y ; c) ( ), ,f x y z = sinxye z .
I.3.9. Formula lui Taylor Definiia 3.10.1: Fie 2:f E \ \ i 0 0( , )x y punct interior mulimii E. Presupunem c funcia f are derivate pariale de ordinul n n 0 0( , )x y , iar n derivatele pariale mixte pn la ordinul n inclusiv, nu are importan ordinea variabilelor cu care se deriveaz. Polinomul
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
1
' '0 0 0 0 0 0 0 0
2 2" " "0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 00
1, ( , ) ( , ) ( , )1!
1 ( , ) 2 ( , ) ( , )2!
1... ( , )! n
n x y
xyx y
nn i ini
n x yi
T x y f x y f x y x x f x y y y
f x y x x f x y x x y y f x y y y
C f x y x x y yn
=
= + + + + + + +
+ +
sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 01 1 1, , , , ... ,1! 2! ! nnT x y f x y df x y d f x y d f x yn= + + + + se numete polinomul lui Taylor ataat funciei f n punctul ( )0 0,x y . Pentru orice ( ),x y E , fie
( ) ( ) ( ), , ,n nR x y f x y T x y= . Definiia 3.10.2: Obinem , ( ) ( ) ( ), , ,n nf x y T x y R x y= + , egalitate numit formula lui Taylor de ordinul n corespunztoare funciei f n punctul 0 0( , )x y . Definiia 3.10.3: Funcia Rn se numete restul de ordinul n al formulei lui Taylor.
36
Observaie: Dac ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0n nx y x y T x y f x y i R x y= = = . Dac Rn este o funcie continu n 0 0( , )x y , adic ( )
00
0 0lim , ( , ) 0n nx xy y
R x y R x y
= = , rezult c pentru puncte 0 0( , )x y E ,
suficient de apropiate de 0 0( , )x y , diferena ( ) 0 0, ( , )f x y f x y poate fi fcut orict de mic, adic n astfel de puncte ( ),f x y poate fi aproximat prin ( ),nT x y .
Exerciii rezolvate:
S se scrie formula lui Taylor de ordinul al doilea pentru funciile urmtoare n punctele indicate: a) ( ) ( ), 1, 1x yf x y e n+= ; b) ( ) ( )2 2, 2 3 6 2 4 2,1f x y x xy y x y n= + + . Rezolvare:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
0 0 0 0 0 0
'2
0 0 0 0 2
' 3
2 0 0
1, , ,1!
1 , ,2!
1, ,3!
f x y f x y x x y y f x yx y
x x y y f x y R x yx y
cu R x y x x y y fx y
= + + + + + +
= +
=>
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0 0 0 00 0 0 0
2 2 22 20 0 0 0 0 0
0 0 0 02 2
3 3 3 33 2 2 3
0 0 0 0 0 03 2 2 3
, ,1, ,1!
, , ,1 22!
, , , ,1 3 33!
f x y f x yf x y f x y x x y y
x y
f x y f x y f x yx x x x y y y y
x x y y
f f f fx x x x y y x x y y y y
x x y x y y
= + + + + + + + + + + +
a) yxexf +=
yxeyf +=
yxex
f +=
2
2
yxey
f +=
2
2
yxeyxf +=
2
yxexf +=
3
3
yxey
f +=
3
3
yxeyx
fyx
f +==
2
3
2
3
( ) 11,1 0 == e
xf
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 21 1 1, 1 1 1 1 2 1 1 1 11! 2! 2
f x y x y x x y y x y x y + + + + + + + + = + + + +
b) ( ) 01,2622 =+=
xfyx
xf
; ( ) 01,2262 =+=
yfyx
yf
222
=
xf
622
=
yf
22
=
yxf
033
=
xf
033
=
yf
023
=
yxf
023
=
yxf
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
1 1 1, 1 0 2 2 2 2 2 1 6 1 01! 2! 3!11 2 2 4 2 1 6 12
f x y x x y y
x x y y
+ + + + + + + = = + + + + +
Exerciii propuse:
S se scrie formula lui Taylor de ordinul al doilea pentru funciile urmtoare n punctele indicate: a) ( ) 3 3, 2 3f x y x y xy= + n ( 1, 2); b) ( ), sinxf x y e y= n ( 0, 0).
37
I.3.10. Extremele funciilor reale de n variabile reale (n 2)
Fie 2:f E \ \ o funcie real de dou variabile reale i 0 0( , )x y un punct al mulimii E.
Definiia 3.10.1: Punctul 0 0( , )x y E este punct de maxim local (relativ) al funciei ( , )f x y , dac exist o vecintate V a acestui punct astfel nct, ( )0 0( , ) ( , ), ( ) ,f x y f x y x y V E . Definiia 3.10.2: Dac 0 0( , )x y este punct de maxim local al funciei ( , )f x y , atunci valoarea sa
0 0( , )f x y n acest punct se numete maxim local al funcie. Definiia 3.10.3: Punctul 0 0( , )x y E este punct de minim local (relativ) al funciei ( , )f x y , dac exist o vecintate V a acestui punct astfel nct, ( ) ( )0 0, ( , ), ( ) ,f x y f x y x y V E . Definiia 3.10.3: Dac 0 0( , )x y este punct de minim local al funciei ( , )f x y , atunci v
Top Related