Lucrare scrisă semestrială
semestrul I, clasa a XI-a
MATEMATICĂ
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
Timpul de lucru efectiv este de 2 ore.
La toate subiectele se cer rezolvări complete.
1p. 1. Dacă 𝜎, 𝜃 ∈ 𝑆5, 𝜎 = (1 2 3 4 5
3 1 4 5 2), 𝜃 = (
1 2 3 4 5
2 5 4 3 1). Să se rezolve
ecuația 𝜎2014 ∙ 𝑥 = 𝜃−1.
2p.
2. a) Să se rezolve ecuația: |
1 0 0 1
0 20 2
𝑥 0 𝑥 𝑥
1 40 5
| + |𝑥 11 𝑥
|=0.
1p.
b) Să se calculeze limitele următoarelor șiruri:
b1) 𝑥𝑛 =1
1∙4+
1
2∙5+ ⋯ +
1
𝑛∙(𝑛+3), 𝑛 ≥ 1.
1p. b2) 𝑥 =1
√𝑛2+1+
1
√𝑛2+2+ ⋯ +
1
√𝑛2+𝑛.
1p. b3) 𝑥𝑛 = (𝑛2+2𝑛
𝑛2+𝑛+1)
𝑛2
𝑛+1
1p.
3. Fie matricea 𝐴 = (1 0 ln 𝑎0 𝑎 00 0 1
) , 𝑎 ∈ (0, ∞).
a) Să se calculeze 𝐴2, 𝐴3, 𝐴𝑛, 𝑛 ∈ ℕ.
1p. b) Să se calculeze 𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 + ⋯ + 𝐴2014.
1p. c) Dacă notăm cu 𝑥𝑛 = det(𝐴) + det(𝐴2) + ⋯ + det(𝐴𝑛), să se studieze monotonia,
mărginirea și limita șirului 𝑥𝑛.
Top Related