Inegalitate geometrica

Vlad Toader

July 23, 2015

Fie ABC un triunghi oarecare. Notam cu ra, rb s, i rc razele cercurilorexınscrise triunghiului ABC opuse varfurilor A,B respectiv C. Sa se demon-streze inegalitatea: ∑

circ

rarb ≥ 2√

3S +abc

p+ r2.

Demonstat, ie:Lema 1: Are loc

ab+ bc+ ca = 2S(1

sinA+

1

sinB

1

sinC).

Intr-adevar, S = absinC2 = bcsinA

2 = acsinB2 , de unde 2S

sinA = bc, 2SsinB = ac s, i

2SsinC = ab.Daca adunam aceste relat, ii, obt, inem: 2S( 1

sinA + 1sinB + 1

sinC ) = ab+ bc+ ca.Funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = 1

sinx este convexa pe (0, π). Din inegalitatealui Jensen obt, inem ca ab+ bc+ ca = 2S( 1

sinA + 1sinB + 1

sinC ) ≥ 6S 1sinA+B+C

3

=

6Ssinπ3 = 12S√3

= 4√

3S. As,adar, avem ab+ bc+ ca ≥ 4√

3S, de unde ab+bc+ca2 ≥

2√

3S. Cum a2+b2+c2

2 ≥ ab+bc+ca2 , rezulta ca a2+b2+c2

2 ≥ 2√

3S.Lema 2: ∑

circ

rarb − r(ra + rb + rc) =a2 + b2 + c2

2.

Folosim ra = Sp−a , rb = S

p−b , rc = Sp−c . Avem

∑circ rarb =

∑circ

S2

(p−a)(p−b) =∑circ

p(p−a)(p−b)(p−c)(p−a)(p−b) =

∑circ p(p− c).

Mai departe, r(ra + rb + rc) = r( Sp−a + S

p−b + Sp−c ) = Sr( 1

p−a + 1p−b + 1

p−c ) =S2

p ( 1p−a + 1

p−b + 1p−c = p(p−a)(p−b)(p−c)

p ·∑

circ(p−b)(p−c)(p−a)(p−b)(p−c) =

∑circ(p− b)(p− c).

Atunci∑circ rarb − r(ra + rb + rc) =

∑circ p(p − c) −

∑circ(p − b)(p − c) =∑

circ(p − c)b = p(a + b + c) − (ab + bc + ca) = a2+b2+c2

2 . Rezulta atunci:∑circ rarb − r(ra + rb + rc) ≥ 2

√3S. Se s,tie ca ra + rb + rc = 4R + r. Putem

scrie mai departe∑circ rarb ≥ 2

√3S + r(4R + r). S, tim ca R = abc

4S , de unde

4R = abcS s, i atunci 4Rr = abc

S r, dar Sr = 1

p . As,adar 4Rr = abcp . Prin urmare,∑

circ rarb ≥ 2√

3S + abcp + r2, ceea ce trebuia demonstrat.

1