Inegalitate
1
Inegalitate geometric˘ a Vlad Toader July 23, 2015 Fie ABC un triunghi oarecare. Not˘ am cu r a ,r b s , i r c razele cercurilor exˆ ınscrise triunghiului ABC opuse vˆ arfurilor A, B respectiv C. S˘ a se demon- streze inegalitatea: X circ r a r b ≥ 2 √ 3S + abc p + r 2 . Demonstat , ie: Lema 1: Are loc ab + bc + ca =2S( 1 sinA + 1 sinB 1 sinC ). ˆ Intr-adev˘ ar, S = absinC 2 = bcsinA 2 = acsinB 2 , de unde 2S sinA = bc, 2S sinB = ac s , i 2S sinC = ab. Dac˘ a adun˘ am aceste relat , ii, obt , inem: 2S( 1 sinA + 1 sinB + 1 sinC )= ab + bc + ca. Funct , ia f : (0, ∞) → R,f (x)= 1 sinx este convex˘ a pe (0,π). Din inegalitatea lui Jensen obt , inem c˘ a ab + bc + ca =2S( 1 sinA + 1 sinB + 1 sinC ) ≥ 6S 1 sin A+B+C 3 = 6Ssin π 3 = 12S √ 3 =4 √ 3S. As , adar, avem ab + bc + ca ≥ 4 √ 3S, de unde ab+bc+ca 2 ≥ 2 √ 3S. Cum a 2 +b 2 +c 2 2 ≥ ab+bc+ca 2 , rezult˘ a c˘ a a 2 +b 2 +c 2 2 ≥ 2 √ 3S. Lema 2: X circ r a r b - r(r a + r b + r c )= a 2 + b 2 + c 2 2 . Folosim r a = S p-a ,r b = S p-b ,r c = S p-c . Avem ∑ circ r a r b = ∑ circ S 2 (p-a)(p-b) = ∑ circ p(p-a)(p-b)(p-c) (p-a)(p-b) = ∑ circ p(p - c). Mai departe, r(r a + r b + r c )= r( S p-a + S p-b + S p-c )= Sr( 1 p-a + 1 p-b + 1 p-c )= S 2 p ( 1 p-a + 1 p-b + 1 p-c = p(p-a)(p-b)(p-c) p · ∑ circ (p-b)(p-c) (p-a)(p-b)(p-c) = ∑ circ (p - b)(p - c). Atunci ∑ circ r a r b - r(r a + r b + r c )= ∑ circ p(p - c) - ∑ circ (p - b)(p - c)= ∑ circ (p - c)b = p(a + b + c) - (ab + bc + ca)= a 2 +b 2 +c 2 2 . Rezult˘ a atunci: ∑ circ r a r b - r(r a + r b + r c ) ≥ 2 √ 3S. Se s , tie c˘ a r a + r b + r c =4R + r. Putem scrie mai departe ∑ circ r a r b ≥ 2 √ 3S + r(4R + r). S , tim c˘ a R = abc 4S , de unde 4R = abc S s , i atunci 4Rr = abc S r, dar S r = 1 p . As , adar 4Rr = abc p . Prin urmare, ∑ circ r a r b ≥ 2 √ 3S + abc p + r 2 , ceea ce trebuia demonstrat. 1
-
Upload
vlad-alexandru-toader -
Category
Documents
-
view
212 -
download
0
description
Inegalitate geometrica
Transcript of Inegalitate
Inegalitate geometrica
Vlad Toader
July 23, 2015
Fie ABC un triunghi oarecare. Notam cu ra, rb s, i rc razele cercurilorexınscrise triunghiului ABC opuse varfurilor A,B respectiv C. Sa se demon-streze inegalitatea: ∑
circ
rarb ≥ 2√
3S +abc
p+ r2.
Demonstat, ie:Lema 1: Are loc
ab+ bc+ ca = 2S(1
sinA+
1
sinB
1
sinC).
Intr-adevar, S = absinC2 = bcsinA
2 = acsinB2 , de unde 2S
sinA = bc, 2SsinB = ac s, i
2SsinC = ab.Daca adunam aceste relat, ii, obt, inem: 2S( 1
sinA + 1sinB + 1
sinC ) = ab+ bc+ ca.Funct, ia f : (0,∞) → R, f(x) = 1
sinx este convexa pe (0, π). Din inegalitatealui Jensen obt, inem ca ab+ bc+ ca = 2S( 1
sinA + 1sinB + 1
sinC ) ≥ 6S 1sinA+B+C
3
=
6Ssinπ3 = 12S√3
= 4√
3S. As,adar, avem ab+ bc+ ca ≥ 4√
3S, de unde ab+bc+ca2 ≥
2√
3S. Cum a2+b2+c2
2 ≥ ab+bc+ca2 , rezulta ca a2+b2+c2
2 ≥ 2√
3S.Lema 2: ∑
circ
rarb − r(ra + rb + rc) =a2 + b2 + c2
2.
Folosim ra = Sp−a , rb = S
p−b , rc = Sp−c . Avem
∑circ rarb =
∑circ
S2
(p−a)(p−b) =∑circ
p(p−a)(p−b)(p−c)(p−a)(p−b) =
∑circ p(p− c).
Mai departe, r(ra + rb + rc) = r( Sp−a + S
p−b + Sp−c ) = Sr( 1
p−a + 1p−b + 1
p−c ) =S2
p ( 1p−a + 1
p−b + 1p−c = p(p−a)(p−b)(p−c)
p ·∑
circ(p−b)(p−c)(p−a)(p−b)(p−c) =
∑circ(p− b)(p− c).
Atunci∑circ rarb − r(ra + rb + rc) =
∑circ p(p − c) −
∑circ(p − b)(p − c) =∑
circ(p − c)b = p(a + b + c) − (ab + bc + ca) = a2+b2+c2
2 . Rezulta atunci:∑circ rarb − r(ra + rb + rc) ≥ 2
√3S. Se s,tie ca ra + rb + rc = 4R + r. Putem
scrie mai departe∑circ rarb ≥ 2
√3S + r(4R + r). S, tim ca R = abc
4S , de unde
4R = abcS s, i atunci 4Rr = abc
S r, dar Sr = 1
p . As,adar 4Rr = abcp . Prin urmare,∑
circ rarb ≥ 2√
3S + abcp + r2, ceea ce trebuia demonstrat.
1
