Universitatea "1 Decembrie 1918" Alba Iulia Catedra de Topografie si Ingineria mediului
Conf. Dr.-Ing. habil. Ildiko Tulbure
Curs de Hidraulica Semestrul I al anului univ. 2011/2012
1. Introducere, scopul disciplinei, definitii
2. Proprietati fizice ale fluidelor, in special lichidelor 2.1. Densitate, volum specific, greutate specifica, tensiunea superficiala,
capilaritatea 2.2. Fenomene de transport, vâscozitatea
3. Legea hidrostaticii, aplicatii ale legii hidrostaticii
4. Forte hidrostatice, Principiul lui Arhimede
5. Ecuatia continuitatii
6. Ecuatia lui Bernoulli, aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli: sonde de masura
7. Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi de presiune
8. Bazele curgerii turbulente
9. Curgerea prin conducte circulare cu pierderi de sarcina hidraulica 9.1. Curgerea laminara 9.2. Curgerea turbulenta 9.3. Diagrama Nikuradse
10. Curgerea stationara prin retele hidraulice, calculul retelelor hidraulice
11. Concluzii finale Literatura: Iamandi, C-tin s.a: Hidraulica Instalatiilor, Editura TehnIca, 2002 Tulbure, I.: Mecanica fluidelor, Curs, Institutul pentru Mecanica Tehnica, Univ. Tehnica Clausthal,2002 Irimie, I., I.: Mecanica fluidelor. Curs. Litografia Univ. Petrosani, 1995 Willi Bohl: Technische Stroemungslehre. Vogel Verlag, 9. Auflage, 1991 R. Nollau, D. Herschel, D. Will, N. Gebhardt: Hydraulik, Editura Springer, Berlin, 2011 Diverse manuale de hidraulica
γ = unghi de deformare
F
F (Forta)
A = suprafata
atangential tens. == AFτ
Cap. 1. Introducere, scopul disciplinei, definitii
Mecanica fluidelor studiaza legile de echilibru si de miscare ale fluidelor, precum si ale unui fluid in contact cu o suprafata solida. Fluidul este un corp care se deformeaza nelimitat sub influenta fortelor deformatoare (chiar si foarte reduse). Aceasta proprietate se numeste proprietatea de fluiditate. In timp ce in cazul solidelor sunt necesare forte considerabile pentru a le deforma, in cazul fluidelor aceste forte tind spre 0, in conditiile in care timpul disponibil pentru deformare este suficient de mare.
Corp solid Fluid
)(f τ=γ Materia curge
Caz particular: In general : )(fdtd τ=γ=γ&
Legea lui Hooke:
ττ=γ ~G
Legea curgerii fluidelor
(analog cu: σσ
=ε ~E
) =γ& Viteza de variatie a
G = Modul de elasticitate tr. unghiului de deformare
E = Modul de elasticitate long.
Hidraulica studiaza legile de echilibru si miscare ale lichidelor, in special curgerea lichidelor in contact cu suprafete solide (curgerea prin conducte etc.). Unde intalnim in practica asemenea cazuri ? Exemple: PRESA HIDRAULICA CURGEREA PRIN CONDUCTE, CANALE, COTURI, DIAGRAGME etc.
CURGERA PE LANGA CORPURI SOLIDE
? p2
p1 A2
F2
h
F1
A1
li
lam. turb.
u r
d x
u8
A
Zona “moarta”
L
x
Intereseaza: distributia vitezei sau campul vitezelor, distributia presiunii de-a lungul profilului, forte arhimedice, forte de frecare
Intereseaza: distributia vitezei in sectiune, piederi de presiune longitudinale si locale
Intereseaza: presiunea p2, efectul de amplificare datorita variatiei de sectiune
TURBINA Exista numeroase situatii in care lichidele se gasesc in amestec cu alte substante, cu gaze sau cu particule solide. Exemple: apa cu nisip (transport hidraulic), apa cu alte lichide (ulei, benzina, ape poluate reziduale etc. ), apa cu aer etc. – curgeri multifazice. In multe situatii exista si schimb de caldura si de materie. Exemple: curgerea printr-o conducta incalzita sau racita (schimbatoare de caldura), curgerea de-a lungul unei placi plane racite sau incalzite (laminarea otelului, turnarea sub forma de tabla) Descrierea curgerii se face cu ajutorul vectorului viteza v (u,v,w), a presiunii p, a densitatii si a temperaturii T. Coord. independenta: vectorul de pozitie x (x,y,z) si timpul t . Cautate: u,v,w, p, ,T = f (x,y,z,t) - 6 necunoscute Ecuatii la dispozitie: 6 : ec. continuitatii, ec. de miscare, ec. energiei, ec. de stare.
(2)
H
(1)
z
Intereseaza: puterea turbinei
x
z
y
. P
V (u,v,w)
Mecanica fluidelor - Clasificare: Dupa continutul studiului:
- fluidostatica – studiaza repaosul fluidelor: hidrostatica, aerostatica - fluidodinamica – studiaza miscarea fluidelor: hidrodinamica,
aerodinamica Dupa obiectul de studiu:
- mecanica lichidelor (hidromecanica) - HIDRAULICA - mecanica gazelor (aeromecanica) - PNEUMATICA
Metoda de studiu in hidraulica consta in stabilirea ecuatiilor diferentiale care guverneaza fenomenele studiate (elaborarea de modele matematice), solutionarea analitica sau cu metode numerice (metoda Euler, a elementelor finite, ... ) a acestora, efectuarea de simulari si validarea experimentala. Acestea din urma au scopul imbunatatirii sau corectarii modelelor matematice elaborate initial. Modelele matematice au la baza modele simplificate ale fluidului: - modelul Euler – fluidul perfect lipsit de vascozitate - modelul Pascal – fluidul incompresibil (lichidele) - modelul Newton – fluidul vascos, care respecta legea lui Newton Fluidul perfect: continuitatea masei, mobilitate perfecta (vascozitate nula), incompresibilitate, izotropie. Fluidul real: discontinuitati, vascoase, compresibile, anizotrope. Fluiditatea lichidelor si gazelor se datoreaza mobilitatii foarte mari a particolelor de fluid. Proprietati comune ale lichidelor si gazelor: • sub influenta greutatii proprii iau forma vasului ce le contin • se reunesc (apa cu apa, aer cu aer) instantaneu in momentul punerii in
contact
Diferente intre lichide si gaze – din teoria cinetico-moleculara LICHIDE: • agitatie termica redusa – forte de respingere electrostatice mari –
compresibilitate redusa • spatii intermoleculare reduse – forte de coeziune mari – vascozitate
mare expansibilitate redusa
GAZE: • agitatie termica intensa – forte de respingere electrostatice reduse –
compresibilitate mare • spatii intermoleculare mari – forte de coeziune reduse – vascozitate
redusa expansibilitate mare
Cap. 2. Proprietati fizice ale lichidelor
2.1. Densitate, volum specific, greutate specifica, tensiunea superficiala, capilaritatea
a) Densitatea = masa unitatii de volum Pentru corpuri omogene:
Vm=ρ
Pentru corpuri neomogene:
dVdm
Vm
V=
∆∆=
→∆ 0limρ ; [ ]
mSI 3kg=ρ
Densitatea este o marime punctuala pentru ca depinde de coordonatele spatiale si de
timp ),,,( tzyxf=ρ
In practica se lucreaza des cu densitatea medie:
∫= dVm ρρ
Densitatea creste cu cresterea presiunii si scade cu cresterea temperaturii.
Exceptie: apa: Ctpentrum
kgapa °== 41000
3maxρ
La lichide, in conditii normale de presiune si temperatura, densitatea ramane constanta.
La gaze densitatea rezulta din ecuatia de stare a gazelor perfecte:
TR
p⋅
=ρ
Locul hidraulicii in cadrul disciplinelor legate de lichide si gaze: Statica fluidelor Dinamica fluidelor
Hidromecanica ( ).konst=ρ incompresibil
Hidrostatica Hidrodinamica
Aeromecanica ( )konst≠ρ
compresibil
Aerostatica Aerodinamica
Gazodinamica
b) Volumul specific= volumul unitatii de masa
Pentru corpuri omogene: mVv =
Deci: ρ1
=v Unitatea de masura: [ ]kg
v SI
3m=
Volumul specific scade cu cresterea presiunii si creste cu cresterea temperaturii.
c) Greutatea specifica= greutatea unitatii de volum
gV
mgVG ⋅=== ργ Unitatea de masura [ ]
mSI 3N=γ
Greutatea specifica se comporta ca si densitatea. Datorita lui g, greut. specifica depinde de latitudine si altitudine.
Ex.: 33
98101000m
N
m
kgapaapa == γρ
d) Presiunea = forta exercitata pe unitatea de suprafata
Def. AF
pA ∆
∆=
→∆lim
0 ; [ ]
m 2N
ˆp =
Unitati de masura utilizate frecvent:
F – forta A - suprafata
Hidraulica
Pascal: m 2N1Pa1 =
bar: == −
hPambarNbar
m 10001000101 2
5
Atmosfera tehnica: barNkp
atmcm
981,0101,98112
32
=⋅==
Atmosfera fizica: mN
mmHgTorratm 21013257607601 ===
e) Tensiunea superficiala = forta tangentiala exercitata pe elem. de lungime din suprafata de separare a 2 faze fluide, actionand perpendicular pe elem. de lungime (perpendiculara situata in planul de separare) si masurata dupa normala la unitatea de lungime. Def.: se numeste tensiune superficiala expresia:
dndF
nF
n=
∆∆=
→∆ 0limσ UM: [ ]
mSI
N=σ
• Cand σ se manifesta intre doua fluide – tensiune superficiala. • Cand σ se manifesta intre un fluid si un perete solid – aderenta (adeziune).
Ex.: m
CaerapaN072,020, =°−σ
Orice lichid are tendinta de a-si forma o supr. libera de arie minima. Exemplu.
Tens. superficiala se manifesta numai in suprafete libere curbe, suprafete libere plane fiind caracterizate de echilibrul fortelor nu prezinta fen. de tensiune superficiala. Exemple cu suprafete libere a trei fluide diferite si a doua fluide diferite cu o suprafata solida.
m F F
FR
p
F n
- F
f) Capilaritatea = este fenomenul de ridicare sau coborare fata de planul manometric a unui lichid situat intre doua placi foarte apropriate sau in tuburi cilindrice cu diametre reduse (tuburi capilare).
ασ cos2)( 122
12 ⋅Π⋅=Π⋅− rrpp
hpp ⋅−=− )( 1212 γγ
rh
αγγ
σ cos2
12
12 ⋅−
= Relatia lui Borelli-Jurin
Cu cat r este mai mic cu atat h este mai mare. αcos indica sensul denivelarii.
Caz particular: formarea picaturilor
h o
r
Ex.: apa-sticla alcool-metal
2.2. Fenomene de transport, vâscozitatea, relatia lui Newton
g) Fenomene de transport Sunt caract. sistemelor care nu se afla in echilibru si constau intr-un transfer ordonat de materie, energie sau impuls, amorsat de neuniformitatea sistemului si actionand in sensul anularii neunif. si readucerii sistemului in echilibru. - Difuzia masica – se datoreaza unei neunif. de concentratie sau densitate. - Conductia termica – se datoreaza unei neunif. de temperatura - Transfer de impuls - vascozitatea
h) Vascozitatea = propr. lichidelor de a se opune deformarilor fara modificari de volum, dezvoltand tensiuni tg. de frecare manifestate intre straturile de lichid in miscare si concretizate prin forte de frecare, ce accelereaza straturile cu viteza redusa, franandu-le pe cele cu viteza mare. Datorita fortei de frecare o parte din energia miscarii este transferata in caldura fiind disipata ireversibil in mediul exterior. Transferul ordonat de impuls se realizeaza datorita vascozitatii.
V = const. m ≠ const. (pt. ρ ≠ const.) nj = vectorul normalei la supr. A.
x
Pierd. Prod.
Legea curgerii (legea frecarii)
dydu
dtd
η=γ
η=τ Newton lui Legea
Prin aceasta relatie este definit coeficientul de vascozitate dinamica η: [ ]
smkg
msN
⋅=
⋅=
⋅= 2ˆ
SuprTimp Forta
η
2msN11PlPoiseuille 1 ⋅==
2msN1,01PPoise 1 ⋅==
Coeficientul de vascozitate cinematica: ρη
ν =
[ ]s
mkgm
smkg
ˆ23
=⋅⋅
=ν
s
m10
scm
11StStokes 12
42
−===
Densitatea si vascozitatea apei si aerului la temperatura de 20°C si presiunea de 1 bar (valori aproximative):
Fluid
3mkg
ρ [ ]sPa ⋅
η
sm2
ν
Apa 1000 1000 610−⋅ 1 610−⋅ Aer 1,2 18 610−⋅ 15 610−⋅
h
u(y)
y
x
U U F
F
dy
u + du
u dt u ⋅
Timp t Timp t + dt dγ
Un lichid in echilibru este solicitat numai de forte de presiune (⊥ pe suprafata). Daca fortele nu ar fi perpendiculare (normale la suprafata), fluidul ar curge (sunt influenta fortelor tangentiale).
Cap. 3. Legea hidrostaticii, aplicatii ale legii hidrostaticii
Statica lichidelor Observatie:
Fortele care actioneaza asupra unui fluid sunt:
- forte exterioare - forte interioare
In conditii de echilibru absolut (inexistenta deplasarilor relative ale straturilor de lichid), lichidul nu este solicitat de forte tangentiale, doar de forte normale la suprafata. Fortele normale la suprafata, care actioneaza pe o anumita suprafata bine delimitata, determina presiunea hidrostatica.
dAdF
p == σ - presiune hidrostatica
Acest lucru evidentiaza faptul ca presiunea p reprez. un efort unitar normal de comprimare .
Presiunea hidrostatica p intr-un punct intr-un lichid in echilibru nu depinde de orientarea suprafetei, ci are aceeasi valoare dupa toate directiile.
. F
Legea hidrostaticii
0u =r(nu exista curgere, viteza este nula, in statica fiind situatia
de echilibru.)
Densitatea ;t)xf(? r≠
Deoarece: 0u =r = const
Sistemul de coordonate poate fi ales in diferite pozitii : z0 = 0
Consecinte:
a) In puncte de aceeasi adancime presiunea hidrostatica este aceeasi.
b) Presiunea hidrostatica creste liniar cu adancimea.
z=z0=0
z=z1
z
p(z0)=p0
G
A∆
p(z1)
!0=∑Fv
( ) ( ) 0)(zz?g? A? Azp 010 =∆⋅−−⋅+⋅ Azp
Legea hidrostaticii ( ) + p z p 0 = ?gz
110A ghpp ρ+=
Aplicatii ale legii hidrostaticii
Exemplul 1: Paradoxul lui Pascal (hidrostatic)
Forta de presiune care actioneaza de sus in jos este egala in toate cazurile, deoarece A si h raman constante in toate cazurile ! Rezulta ca si forta de sustinere F de jos in sus este egala in toate cazurile.
Exemplul 2: Principiul vaselor comunicante
In vase umplute cu acelasi fluid omogen si care
comunica in partea inferioara unele cu altele
suprafetele libere se afla la aceeasi inaltime.
Exemplul 3: Tub U umplut cu 2 fluide diferite, care nu se amesteca si care au densitati diferite.
(aici: ?2 < ?1)
tubul din stanga:
tubul din dreapta:
1
2
2
1
hh
ρρ
=
220A ghpp ρ+=
h
F F F F
A A A A
h1
h2
p0
E E
pA pA
?1
?2
Exemplul 4: Presa hidraulica
1
11 A
Fp =
2
22 A
Fp =
ghpp 12 ρ+= rezulta ghAF
AF
1
1
2
2 ρ+=
( )[ ]211
22 ghA F
AAF ρ+=
Daca h = 0 atunci 12 pp = (presiunea se transmite cu egala intensitate in
toata masa lichidului)
Exemplul 5: Tubul manometric U
Diferenta de presiune:
hgpp MG ∆=− ρ0
? p2
p1 A2
F2
h
F1
A1
Rezervor
pG
p0
? h
pG
Alte exemple: Amplificatoare hidraulice, cricuri hidraulice etc.
Lichidul manometric ρM
Exemplul 6: Manometrul „Prandtl“
( )hhgpp 2112 +ρ+= hAhA 2211 =
hAA1g?pp 1
2
112
+=−
Exemplul 7: Manometrul "Betz"
Exemplul 8: Barometrul
Presiune absoluta, deoarece pi=0:
pa=?F⋅g⋅h
a) Apa h = 10m
b) Mercur h = 0,76m
hg? 1= 0AAfür
2
1 →
M
p2
p1
L
A2
A1
h
? l
pa
pi=0
mmkg
psm
1081,9100023
⋅⋅=
1at)( bar981,0mN
10981,0p2
5 ==⋅=
1atm)760Torr(bar 013,110013,1
76,081,913600
25
23
===⋅=
⋅⋅=
mN
p
mmkgpsm
?
p2
p1
h1
h2 (p2=p1)
A1
A2
Cap. 4. Forte hidrostatice. Principiul lui Arhimede
Fortele hidrostatice sau fortele de presiune sunt forte exercitate de lichide asupra peretilor solizi. Acestea sunt forte repartizate, actionand pe suprafetele solide si fiind dirijate dinspre lichid catre corpul solid.
Forta de presiune (Fp) exercitata de un lichid pe o suprafata plana (care se mai numeste si forta hidrostatica) este data de produsul dintre presiunea relativa din centrul de greutate al suprafetei si aria suprafetei respective.
Fp = pG.A [N], unde pG – presiunea relativa din centrul de greutate al suprafetei A
In cazul suprafetelor plane sau a suprafetelor ce admit un centru sau o axa de simetrie, fortele de presiune se reduc la o rezultanta unica. In cazul suprafetelor curbe oarecare fortele de presiune se reduc fie la 2 forte actionand in planuri diferite, fie la o forta si un moment (torsor).
Calculul fortelor hidrostatice
Se evidentiaza din nou Paradoxul lui Pascal (hidrostatic), deoarece este clar ca forta de presiune nu depinde decat de presiunea relativa din centrul de greutate si de aria suprafatei pe care actioneaza.
Forta de presiune este independenta de forma, volumul si masa lichidului, de aceea se numeste paradoxul hidrostatic. Daca ariile A1 = A2 = A3 = A4 , iar presiunea relativa este aceeasi pentru ca inaltimea h este egala in toate cazurile, atunci si forta de presiune
Fp = p.A este aceeasi in toate cazurile.
In general, in cazul suprafetelor curbe deschise scufundate intr-un lichid in echilibru, fortele de presiune se reduc la doua componente orizontale si una verticala. Componentele orizontale (Fpx si Fpy) sunt egale cu produsul dintre presiunea relativa din centrul de greutate al proiectiei suprafetei pe planul normal la directia fortei si aria acestei proiectii. Componenta verticala (Fpz) este egala cu
h Fp Fp Fp Fp
A1 A2 A3 A4
?ghp =
pzpypx FFF ++=pF
greutatea lichidului din volumul delimitat de suprafata curba si proiectia ei pe verticala la suprafata libera. Daca suporturile componentelor prezinta un punct de concurenta, cum este cazul normal, atunci modulul rezultantei va fi: Legea (principiul) lui Arhimede (portanta statica)
Un corp scufundat intr-un lichid este impins de jos in sus cu o forta egala
cu greutatea volumului de lichid dizlocuit de corp.
Demonstratie:
Bilantul fortelor in directie verticala:
Aplicatii: plutirea corpurilor, constructia vapoarelor, submarinelor etc.
Observatie: Exista si portanta aerodinamica, fapt care ajuta la zborul avioanelor.
Legea lui Arhimede (~250 i.e.n.) gVFA l?=
a1
a2
dA h
p1⋅dA1
p2⋅dA2
111222A acosdApacosdApdF −=
ghdA?)( l12 =−= dApp
)acosacos .( 2211 dAdAdAcapt ==
gVF
ghdAdFF
AVAA
AA
l
ll
?
gdV??
=
=== ∫∫∫
- Portanta
Aplicatii ale legii lui Arhimede
1. Determinarea volumului unui corp prin cantarire
In cazul corpurilor cu forme neregulate pentru care nu exista relatii analitice de
calcul a volumului, determinarea volumului se poate face comparand rezultatul
cantaririi corpului in aer si in apa:
)( aeraer VgG ρρ −=
)( apaapa VgG ρρ −=
)( aerapaapaaer VgGGG ρρ −=−=∆ ⇒ )( aerapagG
Vρρ −⋅
∆=
2. Plutirea corpurilor
Intre greutatea corpului si portanta pot exista urmatoarele relatii:
G > P - corpul iese din repaus, fiind antrenat intr-o miscare de scufundare
G = P - echilibru indiferent la orice adancime (plutire de adancime) - submarine
G > P - plutire de suprafata - corpul pluteste in stare partial scufundata -
vapoarele
Conditia de plutire este: 0,
=+−
AFG
FA' - portanta volumului de lichid dizlocuit de partea corpului scufundata in
lichid.
Observatie: aerostatica
In opozitie cu hidrostatica, in cazul aerostaticii densitatea ? nu mai este constanta.
Legea hidrostaticii ( ?gzpp 0 −= ) nu se mai poate aplica sub aceasta forma.
Bilantul fortelor:
Prin integrarea legii aerostaticii:
se poate obtine legea de variatie a presiunii in functie de inaltime cunoscand
variatia densitatii cu presiunea, deci cunoscand legea de transformare a gazului
(izoterma, politropa, ...).
p(z) ?(z) T(z) ?(z)
Suprafata Pamantului
p0; ?0; T0 z = 0
p+dp
z
p
g
dz
dA
?(z)gdzdAdA)dpp(pdA ++=
g)z(?dzdp −= Legea aerostaticii
? f(p)??(z)dp
g1
dzz
dz?(z)dp
g1
z
0
z
0=∫−=∫=
=−
Cap. 5. Ecuatia continuitatii 5.1 Notiuni cinematice de baza
Ø Cantitate/volum de lichid inchis
Ø Particule de lichid (imagine fictiva)
Ø Parametrii cinematici de baza: vectorul de pozitie, viteza, acceleratia
Descrierea miscarii particulelor de lichid:
• dupa metoda Lagrange (reprezentare legata de particulele de lichid)
• dupa metoda Euler (reprezentare legata de spatiu)
Notiunea de camp
ectorul viteza are
componentele:
vr
(u, v, w)
Analiza poate avea loc in:
In 3 dimensiuni u, v, w, p, ?, T = f(x, y, z, t)
In 2 dimensiuni w = 0 f(x, y, t)
In 1 dimensiune v = w = 0 f(x, t)
z) y, f(x,v T, ?, ,p
=
r
z
x y
v (x2,y2,z2)
v (x3,y3,z3)
v (x1,y1,z1)
v (x4,y4,z4)
Curgere:
- Instationara (dependenta de timp si spatiu)
- Stationara (dependenta numai de spatiu)
5.2 Ecuatia continuitatii
Arata faptul ca lichidele sunt medii continui si ca masa de lichid care curge este aceeasi, se conserva, daca nu exista devieri de traseu, intreruperi ale curgerii sau pierderi prin scurgeri.
Ecuatia continutiatii este un bilant masic, arata faptul ca masa se conserva, adica in termeni hidraulici arata ca debitul de lichid ce se scurge este constant, daca conditiile de curgere nu se modifica.
Debitul de lichid este constant !
Debitul de lichid este masa de lichid care se scurge in unitatea de timp:
tm
Qm ∆∆
= [kg/s]
Vm ⋅= ρ
Rezulta: .constAut
AltV
tm
Qm =⋅⋅=∆
⋅⋅=
∆∆⋅
=∆∆
= ρρρ
Viteza de curgere este: t
lu
∆=
Atunci cand este vorba de lichide incompresibile, cum este cazul des
intalnit, densitatea ρ este constanta, .const=ρ si rezulta:
u1
A1 A2
u2 ? ⋅u⋅A=const.
u⋅A=const.
Ecuatia continuitatii
Ecuatia lui Bernoulli
Cap. 6. Ecuatia lui Bernoulli Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli Ecuatia lui Bernoulli pentru curgeri stationare
Este o ecuatie de bilant energetic, care se refera la faptul ca energia intr-un sistem tehnic, hidraulic se conserva, chiar daca se transforma dintr-o forma in alta. Acesta ecuatie de bilant energetic exprima faptul ca suma diverselor forme de energie este constanta, adica suma energiei cinetice, a energiei de presiune si a energiei potentiale intr-un sistem hidraulic este constanta.
Ecuatia lui Bernoulli
Aceasta exprimare a ecuatiei lui Bernoulli corespunde exprimarii in termeni de energie specifica, adica raportata la masa. Exista diferite moduri de exprimare a ecuatiei lui Bernoulli:
In termeni de energie: Cgzp
2u2
=+ρ
+
In termeni de presiune: K?gzpu2? 2 =++
In termeni de inaltime: kzg
pg2
u2
=+ρ
+
Recapitulare:
Ecuatiile de baza ale hidraulicii (incompresibil, stationar):
konstgzp
2u2
=+ρ
+
u s Cautat: u(s), p(s) z
p
{ {{ constgz
pu
constAu
potentialaenpresiunedecinEnergie
=++
=⋅⋅
..
2
2 ρ
ρ
Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli
Exemplul 1: Formula de scurgere a lui Torricelli
Conditie: A1>>A2
u1<<u2, u1 ≈ 0
linia de curent fictiva
p1 = p2 = p0 (presiunea exterioara, atmosferica)
11
2
22
2
gzp
2
ugz
p2
u12 +
ρ+=+
ρ+ );zz(g
2u
21
22 −=
Densitatea nu intra in formula!
Exemplul 2: Curgerea prin conducte (fara pierderi)
In toate cele trei puncte este
valabila ecuatia:
konstzg
pg2
u2
=+ρ
+
Daca: A1 = A2 < A3
u1 = u2 > u3
Aplicatie practica directa: Masurarea unei viteze prin masurarea unei lungimi.
(1)
u2
h
gh2u 2 =
z
z0
z3 z2 z1
(1) (2) (3)
g2u2
1
z g2
u22
z
g2u2
3
z
gp1
ρz
gp3
ρz g
p2
ρz
u1
u2 u3
z z2
z1
u2
(2)
u1 = 0
= 0
Exemplul 3: Presiunea in punctul de impact
tppupu =+=+ ∞∞ 222
2
22ρρ
Presiunea in punctul de impact =
presiunea statica + prsiunea dinamica = presiunea totala
De cele mai multe ori termenul de inaltime se poate neglija, sistemele hidraulice fiind pozitionate orizontal.
Ecuatia lui Bernoulli are atunci forma:
Exemplul 4: Sonda Pitot – cu aceasta sonda se masoara presiunea totala in conducta. Presiunea totala: dint ppp += ∞
Presiunea totala pt este suma presiunii statice
p8 si
a presiunii dinamice pdin
Daca fluidul curge prin conducta cu viteza u8 ,
atunci presiunea dinamica este:
2
2 ∞= up dinρ
Daca se considera presiunile evidentiate in manometru, atunci diferenta acestor presiuni, care se masoara cu ajutorul manometrului, este:
pt - p0 = ghmρ
Presiunea totala pt este suma celor 2 presiuni, statica si dinamica si egaland cele 2 relatii se obtine:
pt - p0 = ghpupppp mdin ρρ
=−+=−+ ∞∞∞ 02
0 2
u8 p8 (1)
(2) u2=0
konstppu?
t ==+2
2
= 0
u8
pt
p8 h
ρ m
pt
po
Exemplul 5 : Sonda Prandtl - cu aceasta sonda se evidentiaza direct la manometru presiunea dinamica in conducta, pdin, ca fiind diferenta dintre presiunea totala, pt si presiunea statica, p8 .
dint pupp ==− ∞2
2ρ
Presiunea dinamica = pdin
ghup mdin ρρ == 2
2
Exemplu: Daca se foloseste apa ca si lichid de masura in manometru, avand
densitatea ρ m = 103 3mkg
(apa), iar viteza se determina pentru aer,
avand densitatea ρ = 1,25 3mkg
(Aer) ,
atunci, facand inlocuirile in relatia de mai sus pentru calcularea
vitezei, viteza care se masoara se poate determina cu relatia:
hsm
mkgmkg
u ⋅=23
33
81,925,1
102
Pentru un calcul aproximativ: ][4][104]/[ 3 mmhmhsmu ==
u8 = u
?
p8 pdin
p8 =p pt
?m
ghu m
ρρ
2=
smuapammm
smuapammm
smuapammhPt
400:1010
40:1,0100
4:1
4 ==
==
==
h
Exemplul 6 : Tubul Venturi
Ecuatia lui Bernoulli:
22
212
1 pu2
pu2?
+ρ
=+
Ecuatia continuitatii:
u1 A1=u2 A2 Rezulta:
12
12 u
AA
u ⋅=
−
ρ=∆=− 1
AA
u2
ppp2
2
12121
Daca se determina diferenta de presiune (de exemplu cu un manometru), se poate
calcula viteza u1:
−
ρ
∆=
1AA
p2u
2
2
1
1
Debitul volumic este: 11AuV =& , adica inlocuind viteza se obtine expresia:
ρα
ρ
pA
AA
pAV
∆=
−
∆= 2
1
222
2
1
21&
α = coeficient de debit
Ideal : α = ( )212 AA11 −
In realitate coeficientul de debit depinde nu doar de raportul suprafetelor, ci si de
numarul lui Reynolds : α = α (m,Re)
νDu
AA
m
1
1
2
Re =
=
(1) u1 (2) u2
D
p2
p1 ρ
- raportul suprafetelor
- numarul lui Reynolds (ia in considerare influenta frecarii)
Cap. 7. Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi de presiune (sarcina hidraulica)
Difuzorul Carnot
Pierderile locale de presiune sunt:
212
up l
ρξ=∆
Coeficientul pierderilor de presiune este specific fiecarui element de conducta si
se determina experimental. 212
u
plρ
ξ∆
=
Acest coeficient se calculeaza analitic (pentru difuzorul Carnot) sau de cele mai
multe ori experimental.
lpupup ∆++=+ 222
211 22
ρρ
(1) (2)
u2 p2
u1
A1
A2
p1
p1
p1
Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi locale de presiune datorita schimbarilor bruste de sectiune, a schimbarilor de traseu, coturilor, ventilelor, robinetilor etc.
Cot de conducta Intrare in conducta
ξ = 0,1 ξ = 0,6 ξ = 0,05
(valorile se gasesc tabelar in manuale de hidraulica sau de calcul de retele
hidraulice sau pneumatice)
Cap. 8. Bazele curgerii turbulente Observatie experimentala:
In functie de viteza de curgere a lichidului prin conducte, canale etc. exista 2 regimuri de curgere (experienta lui Reynolds):
Curgerile turbulente sunt instationare si tridimensionale. Ele pot fi considerate insa deseori „in medie“ stationare si bidimensionale.
Reynolds a avut ideea urmatoarei descompuneri a vitezei:
Def.: 0u ),,,(1
),,( ' =∆
= ∫∆+
dttzyxut
zyxutt
t
Descompunerea se utilizeaza si pentru alte variabile ca v, p etc. Tranzitia de la curgerea laminara la cea turbulenta depinde de numarul lui Reynolds.
ν
=du
Re m pentru curgerea prin conducte
laminar r x R up
Zeit t
Ordonat
turbulent
) , , , ( ) , , ( ) , , , (
tan
t z y x u z y x u t z y x u
oscilanta val. temporala medie a momen val.
′ + =
x P Fir colorat
u(r) x P
Curgerea are loc
Dezordonat
Profilul vitezei este mai plin datorita misc. dezordonate
Zeit t
.
. up up
’ pu
u(r)
Re < Recrit : laminar Se determina experimental sau din calcule
Re > Recrit : turbulent de stabilitate
Explicarea fenomenologica a numarului lui Reynolds:
Re~~~22
=
∂∂ η
ρ
η
ρ
η
ρ du
Ruu
ru
ufrecaredeForta
m
m
mminertie de Forta
Tranzitia de la curgerea laminara la cea turbulenta este o problema de stabilitate!
5105 ⋅≈
=
≈
=
∞
kritkrit
krit
mkrit
uRe : Placi
2300u
Re : Conducte
ν
ν
x
d
Ex.: t = 20°C ; p = 1bar Apa: ν = sm10 1
26-⋅
Aer: ν = sm1015
26−⋅
Conducta Placa Aer Apa Aer Apa
D = 20 mm uo = 1 m/s
1,7 0,12 m/s 7,5 m 0,5 m
D = 100 mm uo = 10 m/s
um crit
0,35 0,02 m/s
xcrit
0,75 m 0,05 m
Concluzie: Aproape toate aplicatiile practice se confrunta cu problema curgerilor
turbulente, care sunt deosebit de dificil de modelat matematic !
Din experiment:
1. SL turbulent este mai gros decat SL laminar 2. SL turbulent contine mai multa energie decat SL laminar, deoarece profilul vitezei este mai plin 3. Forta de frecare in cazul SL turbulent esta mai mare decat in cazul SL laminar.
SL laminar SL turbulent xcrit
SL – strat limita
Pentru ilustrare:
Curgerea pe langa o sfera cu diferite numere Reynolds:
Curgere foarte lenta Linia de curent urmareste profilul sferei
A Curgere cu viteze mai mari Domeniu subcritic SL laminar se desprinde mai repede de conturul sferei
u Curgere cu viteze mari - Domeniu supracritic A SL turbulent se desprinde mai tarziu de conturul sferei
Cap. 9. Curgerea prin conducte circulare cu pierderi de presiune
Intrarea in conducta si uniformizarea curgerii
Lungimea de stabiliz. le
Re < Recrit
le/d ~ 60
Re > Recrit
le/d ~ 10
x > le : curgere uniformizata
u = u(r)
Presiunea din conducta invinge frecarea din conducta a. i. lichidul curge in
directia scaderii presiunii. 0dxdp <
Echilibrul fortelor:
Se solidifica un volum cilindric de lichid. Echilibrul fortelor: Forta de presiune + Forta de frecare = 0
( )[ ] 0rdx2)r(rdppp 2 =πτ−π+− .)(
2)()(
konstrr
dxdp
rgxf
=−= τ
p u(r) r dx x p+dp τ(r) r
τw
le
lam.
le
lam. turb.
u r d x u
u u
lr
2p
)r( ⋅∆
+=τ
)rR(l4
p)r(u 22 −
η∆
=
lp
lpp
lpp
dxdp 2112 ∆−=−−=−=
∆ p = caderea de presiune in conducta
0(r) ; 0dxdp >τ< Profil linear al lui τ
lR
2p
:Rr
0:0r
w ⋅∆
=τ=τ=
=τ=
Rr
w
=ττ
Acest lucru este valabil si pentru curgerea laminara si pentru cea turbulenta !
9.1 Curgerea laminara
drdu
rrlp
drdu ητ
ητ2
2 =−=∆
−=−=dxdp
:inlocuim
Se obtine o ec. pt. u(r) C2r
l2p
-u rdrl2p
du2
+η
∆=
η∆−
=
Constanta de integrare2
Rl2
pC 0R)u(r :C
2
η∆
===
Distributia vitezei pt. curgerea laminara (parabolica)
Debitul volumic V& :
2π rdr
τw
r=R r r=0 τ(r) 0 τw
r u/umax 0 1
2π rdr
l p2
p1
2max R
l4p
u)0r(uη
∆===
2
max Rr1
u)r(u
−=
( )∫ ∫ ∫ −∆
===A
RrdrrR
lp
drrruudAV0 0
22
2)(2
ηπ
π&
l8pR
V4
η∆π
=& Legea lui Hagen-Poiseuille
Re64=λ
4~;~ RpV ∆& Viteza medie de curgere prin conducta:
max
2
m u21
l8pR
AV
u =η
∆==
&
Caderea de presiune ∆ p
2m
4
Rul8
pRV π=
η∆π
=& dl
du64u
2uu
Rl8up
m
2m
m
m2
m νρ=ρρη=∆
ν
=ρ
=∆du
Re Re64
dl
u2
p m2m
Coeficientul de rezistenta fluido-dinamica λ
Def. 2mu
2dlp ρλ=∆ - Pierderi de presiune longitudinale (rel. Weissbach-
Darcy)
(1) Legea frecarii in regim laminar
9.2 Curgerea turbulenta
Pentru acest caz nu exista o legitate matematica intre tensiunea tg. si profilul vitezei, ca in regimul de curgere laminar. Au fost dezvoltate modele de turbulenta, asa numite modele „semi-empirice“.
Legitati empirice pentru determinarea coef. de rezistenta hidrodinamica:
(2) 41
Re316,0−
=λ Legea lui Blasius, pt. Re < 105
(3) 8,0)log(Re0,21 −= λλ
Legea lui Prandtl, pt. Re > 105
Profilul vitezei este mai plin decat in regim laminar:
maxuu
Re
lam. Re < 2300
Rr1 −
1
1
0 Peretele conductei
Mijlocul conductei
9.3 Influenta rugozitatii suprafetelor solide, diagrama
Nikuradse
=dk rugozitate relativa
k = rugozitate absoluta
λ = λ (Re,k/d) se stabileste pe cale experimentala.
Legi empirice, ca de exemplu:
Concluzie:
- in regim laminar:λ = 64/Re (determinare analitica exacta)
- in regim turbulent: λ = 0,316/ 41Re (lege empirica dupa Blasius)
- in regim turbulent cu rugozitate: vezi de ex. relatia de mai sus λ (Re, k/d)
Diagrama lui Nikuradse reprezinta grafic dependenta dintre λ , numarul lui
Reynolds si rugozitatea relativa.
Pentru numere Reynolds foarte mari, λ depinde numai de rugozitatea relativa
k/d.
k/d 0,100 10-2
10-3
λ 10-4
10-5
0,01 Re 103 Recrit 104 105 106 107 108
~k
−=
λ dk
2log0,274,11
Regim laminar
Regim turbulent
Cap. 10. Curgerea stationara a lichidelor prin retele hidraulice, calculul retelelor hidraulice
Ecuatiile de baza utilizate pentru descrierea proceselor din conducte lungi, care formeaza retelele hidraulice, sunt reprezentate de ecuatiile de bilant:
- energetic: ecuatia lui Bernoulli:
rpgzupgzup ∆+++=++ 22221
211 22
ρρρρ
=∆ rp pierderile totale de presiune prin conducte
- masic: ecuatia continuitatii:
2211.
uAuAV ⋅=⋅=
Pierderile totale de presiune prin conducte: locale + longitudinale
- pierderi de presiune locale: 2
2upl
ρξ ⋅=∆ (relatia Borda-Carnot)
- piederi de presiune longitudinale: 2
2 mf udl
pρ
λ=∆ - (rel. Weissbach-Darcy)
In cazul conductelor lungi, termenul datorat variatiei energiei cinetice se poate neglija, iar pierderile de presiune locale sunt mult mai mici decat cele longitudinale, astfel incat ecuatia lui Bernoulli devine:
dlugzpgzp ⋅++=+
2
21
2211ρλρρ
Conductele lungi leaga de obicei un consumator hidraulic de o pompa.
(dat. rezistentelor hidraulice locale: coturi, ventile, ramificatii, salturi de sectiune)
Exemple: a) Conducta lunga simpla
dl
dVzzgpp ⋅⋅+−+= 42
.
1221216
2)(
π
ρλρ Se obtine pentru
debit:
ld
zzgppVρλ
πρ
8)]([
52
1221.
−−−=
b) Conducta lunga cu diametru discontinuu variabil
Debitul: 2
.2. 44 i
iii
dVuu
dV
π
π=⇒⋅=
i
i
ii
i dl
dVzzgpp ⋅⋅∑+−+= 42
2.
144116
2)(
π
ρλρ Se obtine pentru debit:
∑−−−=
i i
ii
d
lzzgppV
5
2
1441.
8)]([ λ
ρ
πρ
V, l, d
z1
1
2
z2
.
Presiunea la pompa este p1. Din ec. lui Bernoulli presiunea la pompa este:
dluzzgpp ⋅+−+=
2
1221 2)( ρλρ
Debitul: 2
.2. 44 d
Vuud
Vπ
π=⇒⋅=
z4 1
2 3
4
z1
l1;d1 l2;d2
l3;d3
Presiunea la pompa este p1. Pierderea de presiune:
2
23
1
i
i
ii
i
udlp ρλ∑=∆
=
Din ec. lui Bernoulli presiunea la pompa este:
i
iii
i dluzzgpp ⋅∑+−+=
2)(
2
1441ρλρ
Conducte lungi legate in paralel
i
iii d
luzzgpp ⋅+−+=
2)(
2
1221ρ
λρ
Debitul total: i
in
iu
dV ⋅∑=
= 4
2
1
. π
z2 1
2
z1
l1;d1
li;di
ln;dn Q
Q
Conductele avand capetele amonte si aval comune se respecta conditia pierderilor de sarcina hidraulica identice pe fiecare dintre ele:
1+∆=∆ ii pp
22
21
1
11
2+
+
++= i
i
ii
i
i
ii
udlu
dl ρ
λρ
λ
Din ec. lui Bernoulli presiunea in punctul 1 (la pompa) este:
Cap. 11. Concluzii finale
Hidraulica reprezinta o parte aplicativa a mecanicii fluidelor, ocupandu-se cu studiul miscarii lichidelor, adica modul concret de aplicare a legilor de curgere ale lichidelor, in special in contact cu suprafete solide (curgerea prin conducte, prin canale etc.).
Partea aplicativa a mecanici fluidelor, care se ocupa cu studiul deplasarii gazelor prin conducte este pneumatica, care, spre deosebire de hidraulica, ia in considerare legile de miscare ale gazelor, ca si legile de variatie ale acestora (izocora, izobara, izoterma s.a.) Curgerea lichidelor poate sa fie laminara sau turbulenta, pentru fiecare tip de curgere existand legi specifice care descriu curgerea lichidelor, in final interesand distributia vitezei, debitul de lichid si pierderea de presiune, care poate sa fie longitudinala sau locala.
In cadrul acestui curs s-au abordat doar cateva notiuni de baza din hidraulica, ecuatii si legi care guverneaza miscarea lichidelor prin conducte.
Universitatea "1 Decembrie 1918" Alba Iulia Catedra de Topografie si Ingineria mediului
Conf. Dr.-Ing. habil. Ildiko Tulbure
Subiecte pentru colocviu la „Hidraulica“
Semestrul I al anului univ. 2011/2012
1. Densitatea, volumul specific, greutatea specifica, presiunea 2. Tensiunea superficiala, capilaritatea 3. Fenomene de transport, vâscozitatea, legea curgerii 4. Presiunea hidrostatica 5. Legea hidrostaticii 6. Aplicatii ale legii hidrostaticii (paradoxul lui Pascal, principiul vaselor comunicante, presa hidraulica) 7. Aplicatii ale legii hidrostaticii (tubul manometric, tub U umplut cu 2 lichide diferite) 8. Aplicatii ale legii hidrostaticii (manometrul Prandtl, manometrul Betz, barometrul) 9. Forte hidrostatice 10. Legea lui Arhimede 11. Aplicatii ale legii lui Arhimede (determinarea volumului unui corp prin cantarire, plutirea corpurilor) 12. Ecuatia continuitatii 13. Ecuatia lui Bernoulli pentru curgeri stationare, fara pierderi de presiune, in diferite moduri de exprimare 14. Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli: formula de scurgere a lui Torricelli, curgerea prin conducte (fara pierderi) 15. Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli: presiunea in punctul de impact, sonde de masura: sonda Pitot, sonda Prandtl 16. Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli: tubul Venturi 17. Ecuatia lui Bernoulli cu pierderi de presiune (de sarcina hidraulica), coeficientul pierderilor de presiune 18. Caracteristicile curgerii turbulente, componentele vitezei, dupa Reynolds, in curgerea turbulenta 19. Tranzitia de la curgerea laminara la curgerea turbulenta, numarul lui Reynolds 20. Curgerea laminara prin conducte circulare cu pierderi de sarcina hidraulica - Intrarea in conducta si uniformizarea curgerii
Subiecte la Hidraulica © Dr. ing. habil. Ildiko Tulbure, 2011
21. Curgerea laminara prin conducte circulare cu pierderi de sarcina hidraulica - distributia vitezei in curgerea laminara, calculul debitului (legea lui Hagen-Poiseuille) 22. Pierderi de presiune longitudinale la curgerea prin conducte circulare (rel. Weissbach-Darcy) si legea frecarii 23. Influenta rugozitatii suprafetelor solide asupra pierderilor de presiune, diagrama Nikuradse 24. Curgerea stationara a lichidelor prin retele hidraulice: ecuatiile be baza (bilant energetic si bilant masic), pierderi totale de presiune 25. Calculul retelelor hidraulice: conducta lunga simpla 26. Calculul retelelor hidraulice: conducta lunga cu diametru discontinuu variabil, conducte lungi legate in paralel
Top Related