Funcii continue - Esenial var.25.02.2013 Pentru viitorii studeni, care vor da un examen de analiz matematic n anul nti de facultate, care doresc s recapituleze n cel mai scurt timp subiectul, la un nivel mediu.

Funcii continue

Fiind dat o funcie f : E R, E R, proprietile ei se pot mpri n trei categorii: punctuale, locale i globale. Dac aE, ne intereseaz comportarea funciei f, n vecintatea lui a, dar i n punctul a. Deasemenea ne intereseaz comportarea funciei f pe toat mulimea E.

1.Noiunea de funcie continu: 1.1.Definiii echivalente ale unei funcii continue ntr-un punct: 1.Cu vecinti: f : E R, aER. Spunem c f e continu n a, dac () V (f(a)), exist U (a), astfel nct f(UE \ {a})V, adic dac xUE \ {a}, atunci f(x)V. 2.Cu iruri: f e continu n aER, unde f:ER, dac ()(xn)nE, cu lim

nxn=a, irul (f(xn))n

este convergent i limn

f(xn)=f(a).

3.Cu -: f e continu n aER, unde f:ER, dac ()>0, exist un >0, astfel nct dac |x-a|

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

2

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

2. f:R-{1}R, f(x)=2 , 1

0, 1x x

x

, nu poate fi prelungit prin continuitate n a=1, deoarece

f(1-0)=1 i f(1+0)=0, ns g:R-{1}R, g(x)=2 , 1

2 , 1x x

x x

poate fi, de exemplu de G:RR,

G(x)=2 , 1

2 , 1x x

x x

.

3. Funcia lui Dirichlet, f:RR, f(x)= 1,0,

x Qx R Q

nu e continu n nici un punct. ntr-adevr, dac aQ alegem un ir (xn')nR-Q cu lim

nxn' =a. Atunci, lim

nf(xn')=1, n timp ce

f(a)=1. Analog, dac aR-Q, alegem un ir (xn")nQ cu limn

xn" =a. Atunci, limn

f(xn")=1, n timp

ce f(a)=0. Rezult c f nu e continu n nici un punct al lui R, toate punctele lui R, fiind puncte de discontinuitate de spea a doua. 4. f:RR, f(x)=

2 ,0,x x Q

x R Q

este continu ntr-un singur punct.

ntr-adevr, dac a=0, fie (xn)n un ir cu limn

xn=0. Atunci limn

f(xn)=0=f(0) deci f e continu n 0. Dac aQ, a0, fie (xn)nR-Q, cu lim

nxn=a. Atunci lim

nf(xn)=0a2=f(a), deci f nu e continu n

a. Analog, dac aR-Q, alegem un ir (xn)nQ, cu limn

xn=a. Atunci, limn

f(xn)=a20=f(a). 2.Proprietile locale ale funciilor continue:

Observm c proprietatea de continuitate a unei funcii ntr-un punct este o proprietate local, deoarece depinde doar de valorile ei n vecintatea punctului.

Prin urmare, dac f:ER este continu n aE i U e o vecintate a punctului a, atunci f|U=g:UR, g(x)=f(x), dac xU, este deasemenea continu n punctul a. Alt proprietate local a unei funcii continue ntr-un punct este pstrarea semnului pe o vecintate. ntr-adevr, dac f:ER este continu n aE i f(a)>0, atunci exist U, o vecintatew a punctului a, astfel nct f(x)>0, ()xUE. Fie L=f(a)>0 i considerm vecintatea V= 3,

2 2L L a punctului L. Cum f e

continu n punctul a, conform criteriului cu vecinti, exist U, o vecintate a lui a, astfel nct, ()xUE, s avem f(x)V adic f(x)>

2L >0. Analog se procedeaz n cazul L

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

3

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

limx a

(f-g)(x)=f(a)-g(a), limx a

(rf)(x)=rf(a), limx a

(fg)(x)= limx a

(f(x) limx a

g(x)=f(a)g(a),

lim ( )( ) .( )x a

fx

gf ag a

3.2.Compunerea funciilor continue i comutarea limitei cu funcia continu: Fie f:EF, g:FR, FR. (i) dac f e continu n aE i g e continu n b=f(a)F, atunci h=gf:ER, este continu n punctul a. (ii) dac a e un punct de acumulare al lui E, exist lim

x af(x)= bF i g este continu n b, atunci

limx a

g(f(x))=g(b)=g( limx a

f(x)), plusul de generalitate fiind dat de faptul c punctul a poate s nu aparin lui E. (iii) dac a e un punct de acumulare al lui E, lim

x af(x)=b e un punct de acumulare al mulimii F,

exist o vecintate V a lui a, astfel nct pentru x(VE) \ {a}, s avem f(x)f(b) i, n plus, limx a

g(y) exist, n R , atunci: limx a

g(f(x))= limx a

g(y).

Demonstraie: Fie (xn)nE, un ir, cu limn

xn=a i artm c limn

h(xn)=h(a). ntr-adevr, cum f e continu n a, avem lim

nf(xn)=b=f(a) n F i cum g e continu n b, rezult c lim

ng(f(xn))=g(b),

adic, limn

h(xn)=g(f(a))=h(a). Analog se pot demonstra (ii)&(iii).

3.3.Alte operaii cu funcii continue: Dac f,g:ER, ER, sunt continue n punctul aE, atunci funciile g=|f|, h=max(f,g), e=min(f,g):ER sunt continue i ele n punctul a. Demonstraie: g=|f| este compunerea funciilor continue f i modul i deci e continu max(f,g)= 1

2(f+g+|f-g|), min(f,g) = 1

2(f+g-|f-g|) i deci sunt i ele continue n punctul a, folosind

celelalte operaii cu funcii continue. 4.Proprietile globale ale funciilor continue pe un interval: 4.1.Proprietile de mrginire: n general o funcie continu nu e mrginit, chiar dac este definit pe un interval mrginit, de exemplu, g:(0,1]R, g(x)= 1

x. Fie f : DR o funcie mrginit i m,M marginile lui f,

m= infx D

f(x), M= supx D

f(x).Spunem c f i atinge marginile pe D, dac exist un punct aD i un punct bD, astfel nct, m=f(a), M=f(b). IR e un interval compact, dac I=[a,b]. Teorema lui Weierstrass de mrginire: O funcie continu pe un interval compact este mrginit i-i atinge marginile. Demonstraie: Fie I=[a,b], f:IR o funcie continu. Artm, mai nti, c este mrginit. Presupunem, prin absurd, c f nu e mrginit. Pentru a fixa ideile, presupunem c f nu e mrginit superior. Atunci exist un ir (xn)n[a,b], care are proprietatea c lim

nf(xn)= lim

nyn=+.

Cum irul (xn)n[a,b], rezult c este mrginit i deci, conform lemei lui Csaro, conine un subir convergent

nkx( )n ctre un punct u, care n mod necesar, aparine lui [a,b]. Cum f e

continu n u, avem lim ( )nkn

f x = f(u). Pe de alt parte, irul (nk

y )n=(f(nk

x ))n ca subir al irului (yn)n ce tinde spre +, ceea ce este absurd, deoarece, datorit unicitii limitei, ar rezulta c

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

4

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

f(u)=+. Rezult c f este mrginit superior. Analog se trateaz cazul n care f s-ar presupune nemrginit inferior. Prin urmare f este mrginit. Artm acum c f i atinge marginile. Fie m,M marginile lui f pe intervalul I=[a,b]. Vom arta c exist aI, astfel nct f(a)=M. Presupunem, prin absurd, c nu exist un astfel de a. Atunci f(a)M, ()aI i, prin urmare, funcia g:IR+, g(x)= 1

( )M f x este continu pe I. Din prima

parte a demonstraiei, rezult c g e mrginit, adic exist M1>0, astfel nct 0< 1( )M f x M1,

()xI. Rezult c f(x)M-1

1M

, ()xI, ceea ce contrazice faptul c M= supx I

f(x), adic e cel mai mic majorant al mulimii f (I). Analog se demonstreaz c marginea inferioar m, este atins. 4.2.Funcii uniform continue:

n legtur cu continuitatea unei funcii pe o mulime, se pune urmtoarea ntrebare: dac f:ER, ER este continu pe E, adic este continu n fiecare punct al mulimii E i >0, atunci ()xE, exist un x()>0, astfel nct |x-x'|0, exist ()>0, astfel nct ()x,yE, |x-y|

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

5

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

faptul c f este continu, relaia absurd |f(x)-f(x)|. Contradicie!. Rezult c f este uniform continu. 4.3.Proprietatea lui Darboux:

Fie IR un interval i f:IR o funcie. Spunem c f are proprietatea lui Darboux, dac: ()a,bI, a

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

6

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

f(x1) f(x2) f(x3) f(x3) f(x2) f(x1) J1 J2 J2 J1 Corolar 2: Fie IR un interval, f:IR o funcie care are proprietatea lui Darboux i f(I) este cel mult numrabil. Atunci f este constant. Demonstraie: Cum f are proprietatea lui Darboux, rezult c f(I) e un interval i cum f(I) e cel mult numrabil, rezult c se reduce la un punct. Prin urmare, exist un cR, astfel nct f(I)={c} deci f e constant. Teorema Bolzano-Darboux a valorilor intermediare: O funcie continu pe un interval, are proprietatea lui Darboux pe acel interval. Lem: Dac g:[a,b]R este o funcie continu cu g(a)g(b)

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

7

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

rezult c putem aplica teorema Bolzano-Darboux a valorilor intermediare. Prin urmare, f,

2 2 =[-1,1], adic aplicaia f:R[-1,1] e surjectiv.

n general, dac marginile m,M ale unei funcii continue f:IR pe un interval sunt atinse, atunci f(I)=[m,M]; dac nici una din marginile m,M ale funciei, nu este atins, atunci f(I)=(m,M). De exemplu, funcia f: ,

2 2 R, f(x)=tg x; Avem m=-, M= i deci f

,2 2 =(-,+). Rezult c f e surjectiv i cum era injectiv, rezult c este bijectiv.

2. Dac I=[a,b] i f e continu pe I, nu rezult c neaprat m,M sunt atinse n capetele lui I. 3. Dac I=(a,b) e un interval deschis i f:IR e continu pe I, nu putem afirma dect c J=f(I) e un interval, fr a putea specifica dac e nchis, deschis, nchis la un capt. Se poate ntmpla ca intervalul J s fie compact sau nemrginit. 4. Funcia f:[0,3]R, f(x)= , [0, 2]

2 3, (2,3]x x

x x

nu are proprietatea lui Darboux, dar transform intervalul I=[0,3] n el nsui. 4.5.Inversarea unei funcii continue pe un interval:

n acest paragraf, vom demonstra c o funcie continu pe un interval este inversabil dac i numai dac este strict monoton i atunci inversa ei este continu i strict monoton, adic inversarea funciilor continue e posibil numai pe intevalele pe care este strict monoton. Teorem (inversarea funciilor continue pe un interval): Fie IR un interval, f:IR o funcie continu pe I i J=f(I). Atunci funcia f:IJ este bijectiv, dac i numai dac este strict monoton i n acest caz, funcia f -1:JI este continu i strict monoton. Demonstraie:Din corolarul 1 al teoremei de caracterizare a funciilor care au proprietatea lui Darboux (pag.6), rezult c f e bijectiv dac i numai dac e strict monoton. Rmne s demonstrm c i f: -1:JI este strict monoton i continu. S presupunem, pentru a fixa ideile, c f e strict cresctoare pe I. Atunci, cum dac u1

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

8

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

are un zero pe acest interval. Dac, n plus, funcia f este strict monoton pe intervalul [a,b], atunci soluia este unic. 5.2.Semnul unei funcii continue pe un interval:

Dac funcia continu pe un interval I, f:IR nu se anuleaz n nici unul dintre punctele intervalului I, adic ecuaia f(x)=0, nu are soluii pe I, atunci funcia f are, n mod necesar, semn constant pe I, deoarece, n caz contrar, ar exista puncte x1

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

9

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

f(In), deci exist ynf(In) cu |yn-y0|< 1n

; fie xnIn cu f(xn)=yn. Cum 0

Callatis Theoretical High School, Romania Mathematics Departament Prof. 1st Deg.Dr. Vasile Arsinte2013

10

Acest material a fost conceput n scopuri necomerciale, fiind de uz intern pentru orele de analiz matematic ale clasei a 11-a B. El este supus legii copyright-ului, orice fel de reproducere, parial sau integral, tiprit sau electronic fiind interzise.

(i) f(x+y)=f(x)+f(y), ()x,yR; (ii) exist 0

limx

f(x) R*. Atunci f e continu n 0. 13. S se arate c, dac o funcie neconstant f:RR care verific condiia f(x+y)=f(x)+f(y), ()x,yR este continu ntr-un punct, atunci este continu n orice punct. 14. (i) Funcia f(x)=[x], xR e continu n x0, dac i numai dac, x0Z; (ii) Funcia f(x)=x-[x], xR e continu n x0, dac i numai dac, x0Z; (iii) Funcia f(x)=

2

1x , dac xR* i f(0)=0. Atunci f este continu n x0, dac i numai dac,

x00 i x0= 1n

, nN; (iv) Funcia f(x)=x2-[x2], xR este continu n x0, dac i numai dac, x0N. 15. S se studieze punctele de continuitate ale funciei f:RR, definit prin: f(x)=

2

1x sgn(sin x

), dac x0 i f(0)=0.

16. Fie funcia f:RR definit prin f(x)=sinx1

, dac x=0 i f(0)=0. Atunci f nu are limite laterale n 0, adic 0 e punct de discontinuitate de spea a doua.

17. S se arate c funcia f:[-1,1] {2}R, f(x)= 2sin , [ 1,0]

, [0,1]2, 1

x x

x xx

este continu.

18. S se arate c, ()aR, ecuaia x5-x2+3ax-1=0 admite cel puin o rdcin pozitiv. 19. Dac f:RR este o funcie continu i ff are puncte fixe , atunci f are i ea puncte fixe. 20. Dac f,g:[a,b]R sunt dou funcii continue cu f(a)>g(a) i f(b)