1. VECTORI LEGATI

Doi vectori sunt echipoleni AB CD dac au acelai modul, sens i aceeai direcie.

Se numete vector liber mulimea turturor segmentelor orientate echipolente cu un singur segment orientat. 2. SEGMENTE ORIENTATE.

a. Suma segmentelor orientate AB BC este AC . B

Are loc relaia AB BC AC (CHASLES) A

Suma segmentelor orientate DE BC este AC , unde C

AB DE E D

b. , ,A B C sunt coliniare, dac ;AB BC sunt coliniari, deci * a.. AB BC

c. , ,A B C sunt coliniare k a.. 1OC kOA k OB

d. , ,A B C coliniare , ,a b c a.. 0a b c i 0aOA bOB cOC

e. 2 2 2AB AC AB AC BC

f. Dac ,AM

M AB kMB

atunci O avem 1

1 1

kOM OA OB

k k

g. Dac , 1AM

M ABMB

atunci O avem 2

OA OBOM

h. Centrul de greutate al ABC este punctulG cu proprietatea 0GA GB GC

i. Dac ,O H sunt centrul cercului circumscris i ortocentrul triunghiului ABC are loc egalitatea OA OB OC OH (TH SYLVESTER)

j. ntr-un triunghi punctele , ,O G H sunt coliniare (TH EULER)

3. VECTORI

a. Suma a doi vectori a b este vectorul s care are ca reprezentant vectorul cu originea n originea vectorului a i extremitatea n

extremitatea vectorului b

, ,a b b a a b este comutativ

, , ,a b c a b c a b c este asociativ

0 0 ,a a a a vectorul nul

0,a a a a a vectorul opus c b Regula triunghiului a b c

a

Regula paralelogramului a b s

b s

b a

Regula poligonului

a b c d e a c

e d

b. nmulirea vectorilor cu scalari.

Vectorul *,a are aceeai direcie cu a , modulul egal cu a , acelai sens cu a dac 0 i sens opus lui a dac 0 , iar

pentru 0 obinem vectorul nul. Vectorii ,a a sunt coliniari.

, , ;a a a , , ;a a a a

, ; ,a b a b a b ,a b coliniari astfel nct a b

,a b coliniari *, astfel nct 0a b c. Descompunerea unui vector n reper cartezian

i. B A B A B AAB OB OA r r AB x x i y y j descompunerea lui AB

ii. ,B A B AAB x x y y Coordonatele vectorului AB n baza ortonormat , ,O i j

iii. 2 2

B A B AAB x x y y lungimea vectorului

iv. ;2 2

A B A Bx x y yM

coordonatele mijlocului segmentului AB

d. cos , cos , a ba b a b a b a ba b

e. 0a b a b

f. 1i i j j i 0i j j i

4. VECTORUL DE POZIIE AL UNUI PUNCT N PLAN

Pentru ,M x y , vectorulOM ,este vectorul legat sau vectorul de poziie al punctului M , i se noteaz ,Mr OM xi y j x y expresia

analitic a vectoruluiMr n baza ,i j

a. ,Mr OM xi y j x y , atunci 2 2

Mr OM x y

b. 2 2

B A B A B A B A B AAB r r AB x x i y y j AB x x y y

c. 1 1 11 2 1 2 1 2

2 2 2

si r x i y j

r r x x y yr x i y j

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , = ,r r x x i y y j x y x y x x y y ;1 1 1

,n n n

k k k

k k k

r x y

Este asociativ

Este comutativ

Elementul neutru este 0,0or

d. ,r x y

1 numim vectorul ,r x y opusul vectorului r i 0r r r r .

,A B A Br r r r

, ,A A Ar r r

, ,A Ar r

1 A Ar r

e. 1 2 1 2 1 2r r x x y y expresia analitic a produsului scalar

f. 1

; , ,1 1

M M M A B

kr x i y j r r A B M AB

k k

a.. ,AM k MB k vectorul de poziie al unui segment care mparte un

segment ntr-un raport dat.

g. ;2

A B

M

r rr AM MB

h. ;G3

A B c

G

r r rr

centru de greutate

i. ;A B cIa r b r c r

r Ia b c

punctul de intersecie al bisectoarelor.

j. 1 2,r r coliniari

1 1

2 2

x y

x y

k. 1 2 1 22 2 2 2

1 1 2 2

cosx x y y

x y x y

l. 1 2,r r perpendiculari 1 2 1 2 0x x y y

1. MULIMEA NUMERELOR COMPLEXE

, ,a b a b ; 0,1not

i i se numete unitatea imaginar. Deci 2 1i . Un element ;z a b se poate scrie

; ;0 ;0z a b a b a bi 2, , , 1z z a ib a b i 2. FORMA ALGEBRIC A UNUI NUMR COMPLEX

2, , , 1z a bi a b i este forma algebric a unui numr complex. a Re z se numete partea real, bi se numete partea imaginar ,

iar Imb z este coeficientul prii imaginare a numrului complex Imz Re z i z a) Dac 0b , atunci z a i deci

b) Dac 0, 0a b , atunci z bi numr complex pur imaginar i notm * *i bi b 3. OPERAII CU NUMERE COMPLEXE

I. Egalitatea a dou numere complexe: 1 21 1 2 21 2

a aa ib a ib

b b

II. Adunarea: 1 2 1 2 1 2z z a a i b b

a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,z z z z z z z z z

b) 1 2 2 1 1 2, ,z z z z z z

c) Elementul neutru este 0 0 0i : 0 0 ,z z z

d) Elementele opuse z : 0,z z z z z

III. Scderea: 1 2 1 2 1 2z z a a i b b .

IV. nmulirea: 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z a ib a ib a a bb i a b ba

a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ,z z z z z z z z z

b) 1 2 2 1 1 2, ,z z z z z z

c) Elementul neutru este 1 1 0i : 1 1 ,z z z

d) Elementele inversabile. 1 *z este inversul lui *z : 1 1 *1,z z z z z 12 2 2 2

a bz i

a b a b

e) Distributivitatea n raport cu adunarea numerelor complexe: 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3, , ,z z z z z z z z z z

V. mprirea: Dac 1 2 2, , 0z z z , 1

1 2z z 1

2

z

z 2 1 2 1 2 1 2 2 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1

z a a b b a b a bi

z a b a b

4. PUTERILE LUI i

i i 2 1i 3i i 4 1i 4 1ki i 4 2 1ki 4 3ki i 4 1ki

5. CONJUGATUL UNUI NUMR COMPLEX

Conjugatul numrului complex z a bi este numrul complex not

z a ib a ib .

a) ,2

z za z

i ,

2

z zib z

b) 2 2 ,z z a b z

c) 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z sau 1 1

, , 1,n n

k k k

k k

z z z k n

d) 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z sau 1 1

, , 1,n n

k k k

k k

z z z k n

e) ,n

nz z z

f) 1 1 1 22 2

, ,z z

z zz z

g) ,z z z

h) z z z

i) *z i z z

6. MODULUL UNUI NUMR COMPLEX 2 2not

z a b .

a) 0,z z

b) 0 0z z

c) ,z z z

d) 2

,z z z z

e) 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z sau 1 1

, , 1,n n

k k k

k k

z z z k n

f) ,n nz z z

g) 1

1z zz

h) 11 1 22 2

, ,zz

z zz z

i) 1 2 1 2 1 2 1 2, ,z z z z z z z z Inegalitatea triunghiului

7. RDCINILE PTRATE ALE UNUI NUMR COMPLEX

2 2

2 2 2 2

2

x y a

z a ib z r x iy x y a b

xy b

8. REZOLVAREA ECUAIEI DE GR. II CU COEFICIENI REALI 2 0, , , , 0ax bx c a b c a atunci avem 2 4b ac :

0 0 0

1,22

b ix

a

1 2

2

bx x

a

1,22

bx

a

9. REZOLVAREA ECUAIEI DE GR. II CU COEFICIENI COMPLECI

2 0, , , , 0az bz c a b c a avem 2 4b ac i soluiile sunt 1,22

bz

a

2

2 0 02 4

baz bz c a z

a a

2 2

2 20

2 24 4

b ba z z

a aa a

2

2az b Rezolvm ecuaia

redus 2 , 0y u iv v

1,2 sgn2 2

r u r uy i v

unde r . Revenind obinem 1,2 1,2

1

2z b y

a .

10. RELAIILE LUI VIETE

2 0, , , , 0ax bx c a b c a i 1 2,x x soluii avem 1 2

1 2

bS x x

a

cP x x

a

.

1. Dac 1 2,x x soluii atunci avem 2 2 2

1 2 2x x S P

2. Dac 1 2

notn n

nS x x obinem relaia de recuren: 1 2 0n n naS bS cS

3. 1 2,x x , ecuaia de gradul II cu aceste soluii are forma 2 0x Sx P

4. 1 2,x x sunt soluiile complexe ale ecuaiei 2 0, , , , 0ax bx c a b c a , atunci 2 1 2ax bx c a x x x x

11. ECUAII BIPTRATE

4 2 *0, , ,ax bx c a b c . Facem notaia 2not

x t i obinem ecuaia de gradul II cu coeficieni reali 2 0at bt c 2 1x t respectiv 2

2x t

1. INTERPRETAREA GEOMETRIC A NUMERELOR COMPLEXE

z a ib se numete afix al punctului ;M a b sau afix al vectorului OM .

;M a b este imaginea geometric a lui z a ib , iar OM este vectorul imagine al lui z a ib . 2. APLICAII ALE NUMERELOR COMPLEXE N GEOMETRIE

1. Afixul Mz al punctului M pentru care 1

2

0M M

kMM

este 1 21

M

z kzz

k

, unde 1 1 2 2,M z M z

2. Afixul Mz al mijlocului M al unui segment AB este2

A B

M

z zz

, unde ,A BA z B z .

3. Afixul Gz al centrului de greutate G al ABC este3

A B C

G

z z zz

, cu , ,A B CA z B z C z

4. 1 1 2 2 3 3 4 4; ; ;M z M z M z M z sunt vrfurile unui paralelogram 1 3 2 4z z z z

5. n reperul , ,O i j din planul P , ,A B P cu afixele Az , respectiv Bz , avem A BAB z z

6. Fie punctele 1 1M z si 2 2M z 22 11

argz

m M OMz

7. , arg C AB A

z zm AB AC

z z

8. Punctele , ,A B C sunt coliniareC A B A C Bz z z z z z

9. Punctele , ,A B C sunt coliniare arg 0,C A A BB A

z zz z

z z

10. Punctele , ,A B C sunt coliniare *B A

C A

z z

z z

11. Vectorii 1 2,v v de afixe 1z , respectiv 2z sunt coliniari 1 2 2 2 1 20 Im 0z z z z z z

12. Fie 1 1 2 2 3 3 1 2; ; ;M z M z M z z z . atunci 1 2 1 3,M M M M sunt ortogonali 3 1

2 1

Re 0z z

z z

13. Vectorii 1 2,v v de afixe 1z , respectiv 2z sunt ortogonali 1 2 2 1 1 20 Re 0z z z z z z

14. Dac ; ; ;A B C DA z B z C z D z atunci *B A

D C

z zAB CD

z z

.

15. ; ; ;A B C DA z B z C z D z atunci *3arg ;

2 2

D C D C

B A B A

z z z zAB CD i

z z z z

.

16. Dac ; ; ;A B C DA z B z C z D z atunci sunt conciclice dac avem echivalenele:

arg arg arg : 0 :A C A C A CA D A D A D

B C B D B C B D B C B D

z z z z z zz z z z z z

z z z z z z z z z z z z

.

17. Dac ABC i ' ' 'ABC sunt asemenea, atunci avem:' '

' '

B A B A

C A C A

z zz z

z z z z

.

18. Triunghiul ABC este echilateral dac 2 0A B Cz z z , unde 2 2

cos sin3 3

i

3. FORMA TRIGONOMETRIC A NUMERELOR COMPLEXE

Numr complex z a ib i corespunde un unic punct n plan ;M a b r z . Unghiul 0;2 se numete argument redus i se noteaz

arg z . ,r se numesc coordonatele polare ale punctului M . Numrul pozitiv r se numete raza polar, iar argumentul polar.

cosx r , siny r i 2 2r x y

cos sin , 0;2z r i se numete forma trigonometric a numrului complex. cos 2 sin 2 cos sinz r i r i 4. EXPRIMAREA COORDONATELOR POLARE

1. Dac IA C atunciy y

tg arctgx x

2. Dac IIA C atunci2

x xtg arctg

y y

3. Dac IIIA C atunciy y

tg arctgx x

4. Dac IVA C atunci3

2

x xtg arctg

y y

Mulimea tuturor argumentelor numrului complex z se noteaz arg 2not

Arg z z k k . arg 2not

Arg z z k k

4. OPERAII CU NUMERE COMPLEXE SUB FORM TRIGONOMETRIC

Dac 1 1 1 1cos sinz r i i 2 2 2 2cos sinz r i , atunci:

1) nmulirea: 1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r i

cos sin , 1,k k k kz r i k n atunci 1 11 1

cos sinn n n n

k n k k

k kk k

z r i

2) Ridicarea la putere: cos sinn nz r n i n

formula lui MOIVRE: dac 1z atunci: cos sin cos sinn

i n i n

3) mprirea a dou numere complexe: 1 1 1 2 1 2 22 2

cos sin , 0z r

i zz r

4) Rdcina de ordin n dintr-un numr complex 2 2

cos sin , 0, 1nkk k

Z r i k nn n

a. Numrul complex cos sin , 0Z i Z este rdcina de ordin , , 2n n n a numrului complex

cos sin , 0z r i z , dac nZ z .

b. Rdcinile de ordin n a numrului complex z sunt distincte i sunt n numr de n

5) Rdcina de ordin n a unitii 2 2

cos sin , 0, 1, 1 cos0 sin0kk k

Z i k n z in n

6. ECUAII BINOME

0, , , 2nz a a n n se numesc ecuaii binome. 2 2

cos sin cos sin , 0, 1nkk k

a r i z r i k nn n

.

1. FUNCIA RADICAL

a. Funcia radical de ordin par: *2: 0, 0, , ,kf f x x k

i. Intersecia cu axele 0,0O

ii. Este concave pe 0,

iii. Puncte remarcabile pe grafic 0,0 ; 1,1

iv. Monotonia f str pe 0,

v. 0, 0,f x x

vi. 1 1 2 *: 0, 0, , ,kf f x x k

b. Funcia radical de ordin impar: *2 1: , ,kf f x x k

i. Intersectia cu axele 0,0O

ii. Convex pe ,0 , concav pe 0,

iii. Este impar ,f x f x x ; simetric fa deO

iv. Puncte remarcabile 1, 1 ; 0,0 ; 1,1

v. Monotonia f str pe

vi. 0, 0,f x x ; 0, ,0f x x

vii. 1 1 2 1 *: , ,kf f x x k

2. ECUAII IRAIONALE CU RADICALI DE ORDIN 2

ecuaia n care necunoscuta apare sub radical se numete ecuaie iraional. Punerea condiiilor de existen

o Radicalii de ordin par care intr n structura unei ecuaii iraionale sunt definii dac expresiile de sub ei sunt nenegative.(dac rezolvarea tuturor condiiilor este complicat, atunci aceasta nu se realizeaz.)

Eliminarea radicalilor prin o ridicare la putere, (se izoleaz un radical intr-un membru i se ridic la putere convenabil) o notaii, (se aleg substituii potrivite, care conduc la un sistem de ecuaii rationale) o amplificri cu expresii conjugate, (se amplific cu conjugata, pentru a elimina radicalii) o injectivitate, (se studiaz injectivitatea, i se caut o soluie particular, unic)

Alegerea soluiei iniiale. Verificarea soluiei.

3. ECUAII IRAIONALE CU RADICALI DE ORDIN 3

o Radicalii de ordin impar care intr n structura unei ecuaii iraionale sunt definii pentru orice numr real o Semnul radicalului de ordin impar coincide cusemnul numrului de sub radical.

Eliminarea radicalilor prin o ridicare la putere, (se izoleaz un radical intr-un membru i se ridic la putere convenabil) o notaii, (se aleg substituii potrivite, care conduc la un sistem de ecuaii rationale) o amplificri cu expresii conjugate, (amplificm cu conjugata, eliminm radicalii) o injectivitate, (se studiaz injectivitatea, i se caut o soluie particular, unic)

Alegerea soluiei iniiale. Verificarea soluiei.

1. FUNCIA EXPONENIAL : 0, , ; 0, 1xf f x a a a .

c. 0,1a

i. Intersecia cu Oy 00,1 0 1A f a

ii. Convex 1 2 1 21 21 2 2

2 2 2

x x x xf x f xx x a af a

iii. Monotonia f str pe

iv. 0, 0,1xa a

v. 1 1: 0, , log , 0,1af f x x a

d. 1,a

i. Intersecia cu axa Oy 00,1 0 1A f a

ii. convex 1 2 1 21 21 2 2

2 2 2

x x x xf x f xx x a af a

iii. Monotonia f str pe

iv. 0, 1,xa a

v. 1 1: 0, , log , 1af f x x a

2. ECUAII EXPONENIALE

Ecuaia n care necunoscuta figureaz la exponeni se numete ecuaie exponenial. Punerea condiiilor de existen

o O funcie exponenial xa este totdeauna pozitiv

o Baza 0, 1a a

Determinarea tuturor soluiilor.

1) , 0, 1f x g x

a a a a f x g x

2) , 0, 1, 0f x

a b a a b logaf x b

3) 1 2 1 21 2 1 2 , , 0, , 1f x f x g x g x

i i i ia a b b a b a b se logaritmeaza intr-o baza convenabila

4) 21 2 3 0, 0, 1

f x f xc a c a c a a

21 2 3 1 2not 0 0 , 0

f xa t c t c t c t t

5) 1 2 3 0, , 0, , 1, 1

f x f xc a c b c a b a b a b

21 2 3 1 3 2 1 2

1 1not 0 0 0 , 0

f x f x

f xb a t c t c c c t c t c t t

ta

6) 1 11 1... ... , , 0, , 1, 1

k lf x f x g x g x

k lc a c a d b d b a b a b a b

se grupeaza intr-un membru termenii care contin exponentiale in baza , iar in celalalt membru termenii care au exponentiala in baza , apoi

se dau factori comuni in ambii membri.

a b

7) 2 2

1 2 3 0, , 0, , 1f xf x f x

c a c b c a b a b a b

2

2

2

1 3 2 1 2 3 1 2

ecuatia este omogena si se recomanda impartirea ambilor membri cu

0 not 0 0 , 0

f x

f x f x f x

b

a a ac c c t c t c t c t t

b b b

8)

ecuatii exponentiale cu solutie unica

0se recomanda aducerea lor sub forma , unde este strict monotona injectiva se observa o solutie care este unica.f x c f x

a. ecuatii exponentiale care se rezolva cu descompuneri in factorise recomanda descompunerea bazelor in factori primi,

observand o posibilitate de a-i grupa

b. 2 2daca ecuatiile au forma generala + 0,x x x xA a a B a a C 2 2 2 2

1 20, 1, , , . Se recomanda notatia = 2 2 + 2 0 , 2x x x xa a A B C a a t a a t At Bt C A t t

9)

g x h x

f x f x

1 daca 1 egalitatea este verificata pentru ,

2 daca 1 1 = 1 egalitatea este verificata daca ,

au aceeasi paritate

3 daca 0 egalitatea este verificata pentru 0,

g x h x

f x g x h x

f x g x h x

f x g x

0

4 daca 0, 1

h x

f x f x g x h x

1. FUNCIA LOGARITMIC : 0, , log ; 0, 1af f x x a a .

e. 0,1a

i. Intersecia cu axa Ox 1,0 1 log 1 0aA f

ii. Convex iii. Axa Oy este asimptot vertical .

iv. Monotonia f x str. pe 0,

v. 0f x pentru 1, si 0f x pentru 0,1

vi. 1 1: 0, , , 0,1xf f x a a

f. 1,a

i. Intersecia cu axa Ox 1,0 1 log 1 0aA f

ii. Concav iii. Axa Oy este asimptot vertical

iv. Monotonia f x str. pe 0,

v. 0f x pentru 1, si 0f x pentru 0,1

vi. 1 1: 0, , , 1xf f x a a

ECUAII LOGARITMICE Ecuaia n care necunoscuta figureaz ca argument al logaritmilor sau n baze ale acestora se numete ecuaie logaritmic. Punerea condiiilor de existen

o Argumentul logaritmului este totdeauna pozitiv o Baza 0, 1a a

Determinarea tuturor soluiilorpe domeniul de definiie. Sunt utile formulele

o

log log , 0, 0log

log log , 0, 0

f x g x f x g xf x g x

f x g x f x g x

o

log log , 0, 0log

log log , 0, 0

f x g x f x g xf x

f x g x f x g xg x

o

22log , 0

log2log , 0

f x f xf x

f x f x

1) log ,g x f x a a

0

0 Se rezolva ecuatia si valorile gasite vor fi solutii

1 daca verifica si celelalte relatiia

f x

g x

g x

f x g x

2) log logg x g xf x h x

0

0Se rezolva ecuatia si dintre valorile obtinute vor fi solutii

1numai acelea ce verifica si celelalte conditii

0

f x

h x

g x

g x

f x h x

3) Ecuatii logaritmice care contin logaritmi in baze diferite

Se impun conditiile de existenta asupra logaritmilor, apoi se aduc logaritmii

login aceeasi baza folosindu-se formula log , , 0, , 1, 0

log

b

a

b

xx a b a b x

a

4) Ecuatii exponential-logaritmice log logSe impun conditiile de existenta asupra logaritmilor, apoi se utilizeaza

formula , , , 0, , , 1b bc a

a c a b c a b c

5) Ecuatii logaritmice cu solutie unicaSe impun conditiile de existenta asupra logaritmilor, apoi se arata ca functiile sunt strict

monotone sau se utilizeaza inegalitati clasice.

II. Funcii trigonometrice inverse:

a. Arcsinus: : 1,1 , , arcsin2 2

f f x x

i. Intersecia cu axele arcsin0 0 0,0 0 0,0f fG Oy O G Ox x O

ii. Impar f x f x ; simetric n raport cu O

iii. f str. pe 1,1

x 1

3

2

2

2

1

2

0

1

2

2

2 3

2

1 f x

2

3

4

6

0

6

4

3

2

iv. Concav pe 1,0 ; Convex pe 0,1 ; Punct de inflexiune 0x

v. 2 2

f x

vi. 1,0 arcsin 0 0,1 arcsin 0x x x x

vii. 13

: , 1,1 , sin2 2

f f x x

viii. sin arcsin , 1,1x x x

arcsin sin , ,2 2

x x x

b. Arcosinus: : 1,1 0, , arccosf f x x

i. Intersecia cu axele arccos0 0, 1 1,02 2

f fG Oy C G Ox x A

ii. arccos arccosx x ; simetric n raport cu arccos arccos

2 2

x xC

iii. f str. pe 1,1

x 1

3

2

2

2

1

2

0

1

2

2

2 3

2

1 f x

5

6

3

4

2

3

2

3

4

6

0

iv. Concav pe 0,1 ; Convex pe 1,0 ; Punct de inflexiune 0x

v. 0 f x

vi. 1,1 arccos 0x x

vii. 1: 0, 1,1 , cosf f x x

viii. cos arccos , 1,1x x x

arccos cos , 0,x x x

b. Arctangenta: : , , arc2 2

f f x tgx

i. Intersecia cu axele arc 0 0 0,0 0 0,0f fG Oy tg O G Ox x O

ii. Impar arc arctg x tgx simetric n raport cu O

iii. f str. pe

x 1 0 1 f x

2

4

0

4

2

iv. Concav pe 0, ; Convex pe ,0 ; Punct de inflexiune 0x

v. 2 2

f x

vi. ,0 arc 0 0, arc 0x tgx x tgx

vii. 1: , ,2 2

f f x tgx

viii. arc ,tg tgx x x

arc , '2 2

tg tgx x x

c. Arccotangenta: : 0, , arcf f x ctgx

i. Intersecia cu axele arc 0 0, 02 2

f fG Oy ctg A G Ox y Imf

ii. arc arcctg x ctgx ; simetric n raport cu arc arc

0,2 2 2

ctg x ctgxA

iii. f str. pe

x 1 0 1 f x

3

4

2

4

0

iv. Concav pe ,0 ; Convex pe 0, ; Punct de inflexiune 0x

v. 0 f x vi. arc 0ctgx

vii. 1: 0, ,f f x ctgx

viii. arc ,ctg ctgx x x

arc , 0,ctg ctgx x x

ECUAII TRIGONOMETRICE

ecuaia n care necunoscuta apare n argumentul funciilor sin,cos, ,tg ctg se numete ecuaie trigonometric.

Rezolvarea ecuaiei trigonometrice comport transformarea ei i inlocuirea cu o alt ecuaie Ecuaiile trigonometrice fundamentale

sin , 1x a a 1 arcsin ,kS a k k ,tgx a a arc ,S tga k k

cos , 1x a a arccos 2 ,S a k k ,ctgx a a arc ,S ctga k k

TIPURI DE ECUAII TRIGONOMETRICE :

1) sin sin ,cos cos , , cos ,cos 0 , , sin ,sin 0ax bx ax bx tgax tgbx ax bx ctgax ctgbx ax bx

sin sin 1 ,

cos cos 2 ,

, cos 0,cos 0 ,

, sin 0,sin 0 ,

kax bx ax bx k k

ax bx ax bx k k

tgax tgbx ax bx ax bx k k

ctgax ctgbx ax bx ax bx k k

sin sin , cos cos sin sin , cos cosax bx ax bx ax bx ax bx

sin cos sin sin2

ax bx ax bx

tgax tgbx tgax tg bx

2

tgax ctgbx tgax tg bx

2) sin 0, cos 0, 0, 0f x f x f tgx f ctgx Notam sin ;cos ; ;x y x y tgx y ctgx y

3) Ecuatii omogene in sin si cosf x f x

1 2 21 2 0sin sin cos sin cos ... cos 0n n n n

n n na f x a f x f x a f x f x a f x

mpart prin cos 0n f x i se noteaz cu

tgf x y . Rezolv ecuaiile , 1,itgf x y i n i fac reuniunea soluiilor, la care adaug soluiile ecuaiei cos 0f x ,dac verific ecuaia.

4) Ecuatii liniare in sin si cosf x f x sin cos ; , ,a f x b f x c a b c

Se folosesc substituiile universal 2

2 2

2 1sin ,cos ,

21 1

t t xf x f x t tg

t t

.Trebuie verificat dac valorile lui x , pentru care

,

2 2

f xk k

sunt soluii.

5) Ecuatii simetrice de forma sin cos sin cosa f x f x b f x f x c notm sin cosf x f x y i ridic la ptrat, obin

2 1

sin cos , 2, 22

yf x f x y

.

6) 2 2ecuatii care contin sume de forma sin cos , , 2n nx x n n

2 22 2 4 4 6 61 3sin cos 1; sin cos 1 sin 2 ; sin cos 1 sin 2 ;

2 4x x x x x x x x

7) ecuatii care contin sume de sinusuri sau cosinusuri .Se grupeaz convenabil i se transform sumele n produse.

8) ecuatii trigonometrice care contin functii inverse

ecuaia

2a

2a

2 2a

2a

2a

arcsin x a Nici o soluie 1x sinx a 1x Nici o soluie

ecuaia 0b 0a 0 b b b

arccos x b Nici o soluie 1x cosx b 1x Nici o soluie

ecuaia

2c

2 2c

2c

arc tgx c Nici o soluie x tgc Nici o soluie

ecuaia 0d 0 d d

arcctgx d Nici o soluie x ctgd Nici o soluie

1. MULIMI FINITE ORDONATE

O mulime A mpreun cu o ordine bine determinate de dispunere a elementelor sale este o combinaie (sau mulime ordonat). Dou combinaii sunt diferite dac: se deosebesc prin elementele lor sau se deosebesc prin ordinea de dispunere a elementelor lor.

1 2 3, , ,..., nA a a a a , atunci combinaiile formate cu elementele lui A le notm 1 2 3, , ,..., na a a a . 2. REGULILE GENERALE ALE COMBINATORICII. (regula sumei) Dac un anumit obiect A poate fi ales n mmoduri, iar un alt obiect B poate fi ales n n moduri,atunci alegere a lui A sau

B poate fi realizat n m n moduri. Dac exist coincidene, atunci regula sumei d m n k moduri de alegere a lui A sau B , unde k este numrul de coincidene.

(regula produsului) Dac un anumit obiect A poate fi ales n mmoduri, i dup fiecare astfel de alegere, un alt obiect B poate fi ales n n

moduri, atunci alegere perechii ,A B n aceast ordine poate fi realizat n m n moduri. Dac notm cu 1 2, ,..., mA A A cele m posibiliti de

alegere a lui A i cu 1 2, ,..., nB B B cele n posibiliti de alegere a lui B , atunci putem prezenta cele m n posibiliti de alegere a lui ,A B sub forma unui tabel.

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

, , , ,..., ,

, , , ,..., ,

.........................................

, , , ,..., ,

n

n

m m m n

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

3. PERMUTRI Se numete permutare a mulimii A finite, orice mulime ordonat format cu toate elementele ei.

Numrul permutrilor mulimii A se noteaz cu nP i este 1 2 3 ... !, , 1not

nP n n n n .

Numrul permutrilor cu repetiie a n elemente, n care fiecare element se repeta pn la n ori este nnP n .

Numrul permutrilor a n elemente, dintre care 1 sunt egale ntre ele, 2 sunt egale ntre ele,, r sunt egale ntre ele este

1 2

1 2

!, ...

...n r

r

nP n

.

Prin convenie 0! 1 .

! 1 !n n n

! 1 ! !n n n n

! 2 1n n n n

2 !!

2 1

nn

n n

4. ARANJAMENTE

Fie mulimea finit A cu elemente n i 1,2,3,...,k n . Se numec aranjamente de n elemente luate cte k

elemente ale mulimii A ,

toate submulimile ordonate cu k elemente ale mulimii A .

!

!

k

n

nA

n k

Numrul aranjamentelor cu repetiie a n elemente luate cte k este k knA n .

0 1nA

!nn nA P n

1n nn nA A

1k kn nA n k A

1 2 ... 1knA n n n n k 5. COMBINRI

Fie mulimea finit A cu elemente n i 1,2,3,...,k n . Se numec combinri de n elemente luate cte k

elemente ale mulimii A , toate

submulimile cu k elemente ale mulimii A .

!

! !

k

n

nC

k n k

Numrul combinrilor cu repetiie a n elemente luate cte k este1

k k

n n kC C .

0 00 1n

n nC C C

1 1nn nC C n

2 2 1

2

n

n n

n nC C

k n kn nC C (formula combinrilor complementare)

11 1k k k

n n nC C C

(formula de recuren a combinrilor)

Triunghiul aritmetic

00 1C

01 1C

1

1 1C

02 1C

1

2 2C 2

2 1C

03 1C

1

3 3C 2

3 3C 3

3 1C

0

4 1C 1

4 4C 2

4 6C 3

4 4C 4

4 1C

0 1 ... 2n nn n nC C C (numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente)

k

k n

n

k

AC

P

1 1 1 1 11 2 1 1...k k k k k k

n n n k k kC C C C C C

6. NUMRUL DE FUNCII INJECTIVE I BIJECTIVE

a. Numrul de funcii :f A B este cardAN cardB . Notm m mnA r n i reprezint numrul de aranjamente de n elemente luate cte

m cu repetiie, unde ;cardB n cardA m

2

: ,nf A A A N n cardA n

b. Numrul de funcii injective :f A B este ,cardAcardBN A cardA cardB .

c. Numrul de funcii surjective :f A B este 11 2 3 11 2 3 ... 1

n n n mn m

m m m mN m C m C m C m C .

d. Numrul de funcii bijective :f A B este !,cardAcardBN A cardA cardA cardB . 7. BINOMUL LUI NEWTON

0 1 1 2 2 2 ... ...n n n n k n k k n

n n n n na b C a C a b C a b C a b C

0 1 1 2 2 2 ... 1 ... 1n k nn n n k n k k n

n n n n na b C a C a b C a b C a b C

Coeficienii 0 1 2, , ,..., nn n n nC C C C sunt coeficiei binomiali si sunt 1n

Coeficienii k knC b sunt coeficieni numerici

0 1 2 ... 1 0n n

n n n nC C C C

0 2 4 1... 2nn n nC C C

1 3 5 1... 2nn n nC C C

8. TERMENUL DE RANG 1k

1n k n k k

k na b T C a b

1 1n k k n k k

k na b T C a b

2 11

k k

n k bT T

k a

9. PROCENTE

, 0100

pp este raport procentual %p .

1

100procent,

100

psunt p procente

Valoarea la care se face raportarea procentual se numete valoare de baz a . Valoarea care se compare cu valoarea de baz se numete

valoare procentual b100

b p

a

a) Aflarea 100

p dintr-un numr dat

100

px a

b) Creteri i scderi cu att.

i. Creteri cu 100

100 100

p px a

ii. Scderi cu 100

100 100

p px a

c) Aflarea unui numr cnd se cunoate 100

pdin el

100

100

p bx b x

p

d) Determinarea raportului procentual 100

100

x ba b x

a

, 01000

pp este promila 0 00p

m T M este titlul unui aliaj n care intr un metal preios T titlul aliajului, m masa metalului preios, M masa aliajului

10. DOBNZI.

a. Dobnd simpl 100

s

rD S n , D masa dobnzii, S creditul,

100

r rata dobnzii, n perioada

Dac anul este divizat n k pri egale i kt este perioada de calcul a dobnzii simple

100

k

s

trD S

k

b. Dobnd compus 0c nD S S , unde 1

100

n

n

rS

c. Taxa pe valoarea adugat TVA este un impozit indirect exprimat n procente care se stabilete asupra vnzrilor bunurilor i a prestrilor de servicii. Impozitele indirecte sunt impozite cuprinse n preurile bunurilor i serviciilor sub forme i denumiri diferite: TVA, accize, taxe vamale... . Impozitele indirecte se caracterizeaz prin faptul c acei care le pltesc (la bugetul statului) sunt unitile economice care vnd bunuri sau presteaz servicii, iar cei care le suport sunt cumprtorii (intr n pre).

100p

PTVA P ,

100

P cota de impozitare, pP pre producie, vP pre vnzare v pP P TVA ,

11. ELEMENTE DE PROBABILITI a. Evenimente.

Prin eveniment nelegem orice rezultat al unui experiment. Efectuarea unui experiment presupune realizarea unui complex de condiii.

- evenimentul sigur (cert) care este evenimentul ce se produce n mod obligatoriu, la efectuarea unui anumit experiment; AA C

-evenimentul imposibil care este evenimentul ce n mod obligatoriu nu se produce la efectuarea unui anumit experiment; AA C

- evenimentul ntmpltor (aleator) care este evenimentul ce poate s se produc sau nu la efectuarea unui anumit experiment, dependent de aciunea mai multor factori ntmpltori. Dou sau mai multe evenimente spunem c sunt incompatibile dac producerea unuia dintre ele exclude producerea celorlalte ntr-o aceeai prob. Dou evenimente se numesc independente dac probabilitatea de realizare a unuia dintre ele nu depinde de faptul c cellalt eveniment s-a produs sau nu. n caz contrar evenimentele se numesc dependente.

n mulimea tuturor evenimentelor se pot introduce trei operaii corespunztoare operaiilor logice sau, i, non; - evenimentul A sau B , notat A B, este evenimentul care se produce dac i numai dac cel puin unul dintre evenimentele A, B se produce i-l vom numi reuniunea evenimentelor A i B; 1. ,A B K A B B A (comutativitatea);

2. , , ( ) ( )A B C K A B C A B C (asociativitatea);

3. Dac ,A B K i A B A B B (evident A E E , A A , E E i A A E ).

- evenimentul A i B, notat AB, este evenimentul care se produce dac i numai dac ambele evenimente A i B se produc i-l vom numi intersecia evenimentelor A i B; 1. ,A B K A B B A (comutativitatea)

2. , , ( ) ( )A B C K A B C A B C (asociativitatea)

3. Dac ,A B K i A B A B A (evident A E A , A , E i A A A ).

4. A K A A .

- evenimentul non A, notat CA, este evenimentul care se produce dac i numai dac A nu se produce; acesta va fi numit evenimentul contrar lui A.

A B A B i E A A .

A B A B i A B A B i respectiv generalizrile i i

i I i I

A A

; i ii I i I

A A

.

Dac A B i B A atunci A=B, caz n care evenimentele A i B sunt echivalente.

Dac A B = , n limbajul evenimentelor, spunem c evenimentele A i B sunt incompatibile. Un eveniment se numete: 1) elementar dac se realizeaz ca rezultat al unei singure probe; se noteaz cu e. 2) compus dac acesta apare cu dou sau mai multe rezultate ale probei considerate.

b. Probabiliti

Fie ;E K un cmp de evenimente, probabilitatea pe mulimea K este o funcie :P K R care satisface axiomele:

i) ( ) 0,P A A K

ii) 1P E

iii) ( ) ( ) ( ), ; ;P A B P A P B A B K A B

1. 0P

2. 1P A P A

3. 11

n n

i i

ii

P A P A

dac ,i jA A ,i j , 1,i j n

Probabilitatea unui eveniment A este egal cu raportul dintre numrul evenimentelor egal probabile favorabile evenimentului A i numrul total al evenimentelor egal probabile.

nr. cazurilor favorabile

nr. cazuri posibileP .

Reguli de calcul cu probabiliti

Probabilitatea diferenei: ,A B K i A B atunci P B A P B P A

Probabilitatea reunirii (formula lui Poincar): ,A B K ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

Probabiliti condiionate: ( ) 0P B atunci raportul ( )

( )

P A B

P B

( )BP A P A B .

( ) ( ) ( )BP A B P B P A - intersecia a dou evenimente dependente.

( ) ( ) ( )P A B P A P B - intersecia a dou evenimente independente.

Dac ;A B se condiioneaz reciproc i ( ) 0, ( ) 0P A P B atunci ( ) ( ) ( ) ( )A BP A P B P B P A .

1

( ) ( )

( ) ( )

i

i

i A

X i n

i A

i

P A P XP A

P A P X

, 1,i n formula lui BAYES

Scheme clasice de probabilitate Schema lui Bernoulli cu bila ntoars (binomial)

Modelul probabilistic se realizeaz printr-o urn ce conine bile de dou culori (albe i negre). Se extrag bile din urn una cte una, fiecare bil se reintroduce n urn dup constatarea culorii. Se cere determinarea probabilitii ca din n bile extrase, k s fie de culoare alb.

, 1 2 1( ... ... ) k n kk n k k k nP X P A A A A A p q , , 1k k n k

nP n k C p q p q

Dac se consider formula binomului lui Newton: 0 0

( ) ( , )n n

n k k n k k k

n

k k

px q C p q x P n k x

, deci ,P n k este coeficientul lui kx din

dezvoltarea binomial ( )npx q , de aici i denumirea de schema binomial. 0

( , ) 1.n

k

P n k

Schema lui Bernoulli cu bila nentoars (hipergeometric) . Se consider o urn care conine bile de dou culori: a bile albe i b bile negre. Se extrag bile din urn, una cte una, fr ntoarcerea bilelor extrase napoi n urn. Se cere s se determine probabilitatea ca din n bile extrase k s fie de culoare alb i n-k de culoare neagr.

Exist na bC posibiliti de a lua n bile din totalul de a+b bile cte sunt n urn la nceput. Numrul posibilitilor de a lua k bile albe din cele a

existente la nceput n urn este kaC , iar pentru a lua n-k bile negre din cele b bile negre ce se afl n urn la nceput este n k

bC , deci

,k n k

a b

n

a b

C CP n k

C

, unde ,a k b n k i a b n .

Schema lui Poisson Se aplic n cazul n care se fac repetri independente ale unui experiment i la fiecare repetare se are n vedere un anumit eveniment, eveniment ce apare, n general, cu probabiliti diferite la repetri de rang diferit. Se cere s se determine probabilitatea ca din n repetri ale experimentului, evenimentul considerat s apar de k ori.

Modelul probabilistic se obine cu ajutorul unui sistem de n urne care conin bile de dou culori, albe i negre, n proporii diferite, n general.

Se ia cte o bil din fiecare urn i se cere probabilitatea ,P n k de a obine k bile albe din cele n extrase.

Notm cu ip probabilitatea de a extrage bil alb din urna de rang i i cu iq probabilitatea de a extrage bil neagr din urna de rang i, unde

1, 1, .i ip q i n Avem c ,P n k este coeficientul lui kx din dezvoltarea polinomului: 1 1 2 2( )( )...( )n np x q p x q p x q .