Concursul National EUCLID 17 05 2015 Clasa a XI -a Programa I

NOT. La subiectul I exist un singur rspuns corect .La subiectul II se va da direct rspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvrile complete. Se acord 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

SUBIECTUL I ( 20p ) (Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunztoare rspunsului corect)

(4p) 1) Produsul matricelor este

0100

0010

a) b) c) d)

0000

0010

0001

1000

(4p) 2) Aria triunghiului cu vrfurile n punctele ( )1,1A , ( )2,2B i ( )3,0C este a) 1 b) 2 c) 3 d) 1,5

(4p) 3) Determinantul matricei este

531

321

63

4221

a) 0 b) 10 c) 10 d) 300 (4p) 4) Derivata funciei , RR :f ( ) xxxf cossin += este

a) b) xx cossin + xx cossin + c) xx cossin d) xx cossin

(4p) 5) 11lim

1

xx

x

este

a) 0 b) c) d) 1 SUBIECTUL II (40p) (Se scriu pe foaia de concurs doar numrul exerciiului i rezultatul corespunztor)

(4p) 1) Sistemul este compatibil sau incompatibil?

=++=++

=++

4432232

1

zyxzyx

zyx

(4p) 2) Scriei un sistem omogen de 2 ecuaii cu 2 necunoscute care s fie compatibil nedeterminat.

(4p) 3) Ct este ? 21 1

1 1

(4p) 4) S se scrie o matrice , pentru care ( )R3MA ( ) 1=Arang . (4p) 5) Ct este

1lnlim

1 xx

x?

(4p) 6) Ct este , dac , ( )xf RR :f ( ) 2015f x x= ? (4p) 7) Ct este , dac , ( )xf RR :f ( ) arctgxxf = ? (4p) 8) Ct este , dac , ( )xf RR :f ( ) ( )1ln 2 += xxf ? (4p) 9) Ct este , dac , ( )xf RR :f ( ) xexf x sin= ? (4p) 10) Ct este , dac , ( )xf RR :f ( ) xexf sin= ? CONCURSUL NATIONAL EUCLID - Clasa a XI-a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro

1

SUBIECTUL III ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea complet)

Se consider matricele , , i

funcia ,

=

432021001

A

=

700860325

B

=

100010001

3I

=

000000000

3O

(C)C) 33 (: MMf ( ) XBAXXf += . (4p) a) S se calculeze determinantul i rangul matricei A .

(4p) b) S se calculeze ( )3Of i . ( )3If(2p) c) S se arate c ( ) ( ) ( )C3MXXafaXf = , i Ca . (2p) d) S se arate c ( ) ( ) ( )YfXfYXf +=+ , ( )C3, MYX . (1p) e) S se arate c matricea B este inversabil.

(1p) f) S se arate c ecuaia are soluie unic n ( ) 3OXf = ( )C3M . (1p) g) S se arate c funcia este bijectiv. f

SUBIECTUL IV ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea complet) Se consider funcile , , , RR :f RR :g RR :h ( ) xxxxxxxf 18832492 ++= ,

( ) xxxxaxg 436 += , , unde ( ) xbxh = ( ) ,1, ba . Notm prin i , .

( ) ( ) ( )( )= xhxh 2( ) ( ) ( ) ( )( )= xhxh nn 1 Nn 3n

(4p) a) S se calculeze ( )xg , pentru Rx . (4p) b) S se calculeze ( )0g i . ( )0g (2p) c) S se arate c , . ( ) 0xf R x (2p) d) S se determine ( ) ,1a , astfel nct ( ) 0xg , R x . (1p) e) S se arate c ( ) ( ) ( nxn bbxh ln= ) , Rx , . Nn (1p) f) S se arate c, dac , Rsrqp ,,, srqp