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Prob scris la matematic M_t-nat Varianta 9 Filiera teoretic, profilul real, specializarea tiine ale naturii

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Examenul de bacalaureat naional 2015 Proba E. c)

Matematic M_t-nat Varianta 9

Filiera teoretic, profilul real, specializarea tiine ale naturii Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. THEMA 1 (30 Punkte)

5p 1. Berechnet die Differenz der arithmetischen Folge ( ) 1n na , wenn 3 6a = und 4 8a = . 5p 2. Bestimmt den minimalen Wert der Funktion :f , ( ) 2 9f x x= . 5p 3. Lst, in der Menge der reellen Zahlen, die Gleichung 2 3 1x x+ = + .

5p 4. Bestimmt die Anzahl der Teilmengen mit zwei Elementen, der Menge { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . 5p 5. In kartesischen Koordinatensystem xOy sind die Punkte ( )2,1A und ( )0,3B gegeben. Bestimmt die

Gleichung der Gerade AB .

5p 6. Berechnet den Radius des Umkreises des Dreiecks ABC in welchen 8AB = und 6Cpi

= .

THEMA 2 (30 Punkte)

1. Es sind gegeben die Matrizen 1 23 4

A =

und ( ) 23 6x

B x

=

, wobei x eine reelle Zahl ist.

5p a) Zeigt, dass det 2A = .

5p b) Lst, in der Menge der reellen Zahlen, die Gleichung ( )( )2det 8B x I+ = , wobei 2 1 00 1I

=

.

5p c) Bestimmt die reelle Zahl x fr welche ( ) ( )A B x B x A = . 2. Auf die Menge der reellen Zahlen wird die assoziative Verknpfung 7 7 56x y xy x y = +

definiert. 5p a) Zeigt, dass ( )7 7 7 = . 5p b) Zeigt, dass ( )( )7 7 7x y x y = + , fr jedwelche reelle Zahlen x und y . 5p c) Berechnet 1 2 3 2015 .

THEMA 3 (30 Punkte) 1. Es ist gegeben die Funktion ( ): 0,f + , ( ) lnxf x e x x= + .

5p a) Zeigt, dass ( ) ( )1

1lim

1xf x f

ex

=

.

5p b) Bestimmt die Gleichung der Tangente zum Schaubild der Funktion f im Punkt des Schaubildes mit die Abszisse 1x = .

5p c) Zeigt, dass die Funktion f konvex auf das Intervall ( )0,+ ist.

2. Es sei gegeben die Funktion ( ): 1,f + , ( ) 11

f xx

=

+.

5p a) Zeigt, dass ( )1

0

1 32

dxf x = .

5p b) Zeigt, dass ( )1

2

0

1 ln 22

x f x dx = + .

5p c) Bestimmt das Volumen des Krpers erhalten durch die Drehung des Schaubildes der Funktion [ ]: 0,1g , ( ) ( )g x f x= um die Ox Achse.