Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 1

VECTORI

VECTORI

Definitie sseeggmmeenntt oorriieennttaatt :

- fie 𝑨 si 𝑩 doua puncte din plan sau din spatiu ;

- o pereche ordonata (𝑨, 𝑩) unde 𝑨 si 𝑩 sunt doua puncte , nu neaparat distincte , se

numeste segment orientat ( sau bipunct ) .

d A B

- segmentul orientat avand originea 𝑨 si extremitatea 𝑩 se noteaza 𝑨𝑩 .

Definitie sseeggmmeenntt oorriieennttaatt nnuull :

- in cazul in care orifginea si extremitatea coincid , 𝑨 = 𝑩 , rezulta segmentul orientat nul .

Definitie ddrreeaappttaa ssuuppoorrtt aa sseeggmmeennttuulluuii oorriieennttaatt :

- Daca 𝑨𝑩 este un segment orientat nenul , punctele 𝑨 si 𝑩 fiind distincte , 𝑨 ≠ 𝑩 , atunci

ele definesc o dreapta 𝒅 care se numeste dreapta suport a segmentului 𝑨𝑩 .( vezi fig. de mai sus )

Caracteristicile sseeggmmeennttuulluuii oorriieennttaatt :

Un segment orientat 𝑨𝑩 este caracterizat prin :

1). Marime sau modul :

- se noteaza cu : |𝑨𝑩 | sau ‖𝑨𝑩 ‖ ;

- reprezinta lungimea segmentului neorientat 𝑨𝑩 ; - segmentul orientat nul are marimea zero .

2). Directia :

- este determinata de orice dreapta paralela cu dreapta suport a segmentului orientat .

3). Sens :

- sensul segmentului orientat este dat de sensul deplasarii unui punct care parcurge

segmentul de la origine la extremitate : de la 𝑨 la 𝑩 in cazul nostru .

- sensul segmentului este indicat printr-o sageata trasata deasupra lui : 𝑨𝑩 .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 2

VECTORI

VECTORI

Definitie sseeggmmeennttee eecchhiippoolleennttee ssaauu eecchhiippoolleennttii :

- doua segmente orientate care au acelasi modul , directie si acelasi sens se numesc echipolente

- ca notatie , daca 𝑨𝑩 si 𝑪𝑫 sunt echipolente atunci se scrie : 𝑨𝑩 ~𝑪𝑫 .

Definitie ccllaassee ddee eecchhiippoolleennttaa :

- multimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment dat 𝑨𝑩 , iar 𝑨𝑩 poate fi

luat drept reprezentant al acestei clase ;

- pe baza relatiei “ a fi echipolent cu “ multimea segmentelor orientate din spatiu se imparte in

clase de echipolenta , care au proprietatile :

1). - oricare doua segmente din aceeasi clasa sunt echipolente ;

2). - oricare segment apartine unei si numai unei clase de echipolenta ;

3). - doua segmente ce apartin laclase diferite nu sunt echipolente .

Observatie :

- prin conventie toate segmentele orientate nule sunt totdeuna echipolente intre ele .

Proprietatile rreellaattiieeii ddee eecchhiippoolleennttaa :

a). 𝑨𝑩 ~𝑨𝑩 ( reflexivitate ) ;

b). Daca 𝑨𝑩 ~𝑪𝑫 atunci 𝑪𝑫 ~𝑨𝑩 ( simetrie ) ;

c). Daca 𝑨𝑩 ~𝑪𝑫 si 𝑪𝑫 ~𝑬𝑭 atunci 𝑨𝑩 ~𝑬𝑭 ( tranzitivitate ) .

Definitie rreellaattiiee ddee eecchhiivvaalleennttaa :

- o relatie care este reflexiva , simetrica si tranzitiva se numeste relatie de echivalenta .

- rezulta ca relatia de echipolenta a segmentelor orientate este o relatie de echivalenta .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 3

VECTORI

VECTORI

Definitie vveeccttoorrii :

- se numeste vector multimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat

dat .

- Daca 𝑨𝑩 este segmentul orientat ales ca reprezentant al acestei clase , atunci clasa respectiva

, sau vectorul respectiv se noteaza prin 𝑨𝑩 sau �� , si se reprezinta tot printr-o sageata : are originea

𝑨 si extremitatea 𝑩 .

A

Bv

w

u

Caracteristicile vveeccttoorruulluuii :

Un vector �� este caracterizat prin :

1). Modul :

- se noteaza cu : |�� | sau ‖�� ‖ sau simplu 𝒗 si este lungimea segmentului la o scara data

2). Directia :

- este data de directia definita de suportul vectorului .

3). Sens :

- sensul cel indicat de sageata .

Ultimile doua caracteristici deosebesc marimile vectoriale de cele scalare , intalnite mai ales in

fizica .

Definitie vveeccttoorruull nnuull :

- se noteaza cu �� si este reprezentat prin orice punct din spatiu .

Definitie vveeccttoorrii eeggaallii :

- doi vectori care au aceeasi directie , acelasi sens si aceeasi marime se numesc vectori egali .

Definitie vveeccttoorrii ccoolliinniiaarrii :

- se numesc vectori coliniari doi vectori care au aceeasi directie indiferent de modul si sens .

- doi vectori sunt coliniari daca cel putin unul este nul sau daca amandoi sunt nenuli si au

aceeasi directie .

- vectorul nul este coliniar cu orice alt vector .

Definitie vveeccttoorrii nneeccoolliinniiaarrii :

- doi vectori nenuli care nu au aceeasi directie sunt vectori necoliniari .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 4

VECTORI

VECTORI

Definitie vveeccttoorrii lliibbeerrii :

- se numesc vectori liberi acei vectori al caror punct de aplicatie ( originea ) poate fi oriunde in

spatiu .

- operatiile cu vectori sunt definite pentru vectori liberi , iar operatiile cu celelalte categorii de

vectori se obtin din cele asupra vectorilor liberi functie de conditiile suplimentare ce se impun .

Definitie vveeccttoorrii oorrttooggoonnaallii :

- doi vectori care au dreptele suport perpendiculare se numesc ortogonali .

Definitie vveerrssoorr :

- vectorul liber cu modulul egal cu 𝟏 se numeste versor .

Definitie vveeccttoorrii lleeggaattii :

- se numesc vectori legati acei vectori care au originea intr-un anumit punct fix sau mobil .

- intalniti in mecanica , fizica .

Definitie vveeccttoorrii aalluunneeccaattoorrii :

- se numesc vectori alunecatori acei vectori al caror punct de aplicatie poate fi situat in orice

punct al dreptei suport , ei putand sa se deplaseze de-a lungul unei drepte fara ca actiunea lor sa se

modifice .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 5

VECTORI

VECTORI

Definitie pprrooiieeccttiiaa oorrttooggoonnaallaa (( ssaauu ssiimmpplluu pprrooiieeccttiiaa )) aa uunnuuii vveeccttoorr :

- fie in plan sau spatiu o axa 𝒅 cu vectorul unitate �� si un vector arbitrar �� ;

- proiectia ortogonala ( sau simplu proiectia ) vectorului �� pe axa 𝒅 este un numar egal cu

produsul lungimii vectorului �� cu cosinusul unghiului dintre vectorii �� si �� .

- notam proiectia vectorului �� pe axa 𝒅 prin 𝒑𝒓𝒅�� sau 𝒑𝒓𝒆→�� sau 𝒂𝒆 .

- deci prin definitie : 𝒑𝒓𝒅�� = ‖�� ‖ 𝐜𝐨𝐬𝝋 .

a

a

e0 A1d

A

.

- daca unghiul dintre vectorii �� si �� este ascutit ( vezi fig de mai sus ) avem :

𝒑𝒓𝒅�� = ‖�� ‖ 𝐜𝐨𝐬𝝋 = 𝑶𝑨 𝐜𝐨𝐬𝝋 = 𝑶𝑨𝟏

a

a

0A1d

A

.

e

- daca unghiul dintre vectorii �� si �� este obtuz ( vezi fig de mai sus ) avem :

𝒑𝒓𝒅�� = ‖�� ‖ 𝐜𝐨𝐬𝝋 = 𝑶𝑨 𝐜𝐨𝐬𝝋 = − 𝑶𝑨𝟏

- Daca vectorul �� este perpendicular pe 𝒅 , atunci 𝝋 = 𝝅

𝟐 si 𝒑𝒓𝒅�� = ‖�� ‖ 𝐜𝐨𝐬

𝝅

𝟐= 𝟎 .

Proprietatile pprrooiieeccttiieeii uunnuuii vveeccttoorr ppee aaxxaa :

a). pentru orice doi vectori �� si �� are loc egalitatea : 𝒑𝒓𝒅(𝒂 + �� ) = 𝒑𝒓𝒅�� + 𝒑𝒓𝒅�� unde

𝒅 este o axa oarecare .

b). pentru orice vector �� si orice scalar 𝒌 are loc egalitatea : 𝒑𝒓𝒅𝒌�� = 𝒌 ∙ 𝒑𝒓𝒅�� , oricare

ar fi axa 𝒅 .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 6

VECTORI

VECTORI

Definitie ssuummaa aa ddooii vveeccttoorrii (( rreegguullaa ppaarraalleellooggrraammuulluuii )) :

- fie doi vectori liberi oarecare in spatiu �� si �� ;

- prin suma a doi vectori liberi �� si �� se intelege un nou vector notat �� + �� care originea

intr-un punct oarecare O si directia , modulul si sensul determinate de diagonala OM a

paralelogramului construit cu vectorii �� si �� , vectorii �� si �� fiind adusi cu originea in O

( vezi figura de mai jos ) .

- modul de constructie a sumei de doi vectori se numeste regula paralelogramului .

O

A

B

a

b

ba

M

𝑶𝑨 + 𝑶𝑩 = 𝑶𝑴

Definitie ssuummaa aa ddooii vveeccttoorrii (( rreegguullaa ttrriiuunngghhiiuulluuii )) :

- un alt mod de a construi suma a doi vectori �� si �� este regula triunghiului .

O

A

ab

ba

ba

M

𝑶𝑨 + 𝑨𝑴 = 𝑶𝑴

Observatie :

- regula triunghiului poate fi extinsa la regula poligonului pentru determinarea sumei a 𝒏 vectori ( 𝒏 > 3 ) .

Proprietatile aadduunnaarriiii vveeccttoorriilloorr :

Notam cu 𝑽 multimea vectorilor liberi :

1). �� + �� = �� + �� , (∀) �� , �� 𝝐 𝑽 ( comutativitate ) .

2). (�� + �� ) + �� = �� + (𝒃 + �� ) , (∀) �� , �� , �� 𝝐 𝑽 ( asociativitate ) .

3). Exista �� 𝝐 𝑽 , astfel ca �� + �� = �� + �� = �� ( �� = vectorul nul ) pentru orice �� 𝝐 𝑽

4). Pentru orice vector �� 𝝐 𝑽 , exista vectorul (−�� ) 𝝐 𝑽 : astfel incat �� + (−�� ) = ��

unde (−�� ) este vectorul opus lui �� ( element opus ) .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 7

VECTORI

VECTORI

Definitie ddiiffeerreennttaa aa ddooii vveeccttoorrii :

- prin diferenta vectorilor liberi �� si �� notata �� − �� se intelege vectorul �� + (−�� ) ,

acesta fiind reprezentat de cealalta diagonala a paralelogramului , din regula paralelogramului ,

construit cu vectorii �� si �� .

M

M

B

A

OB,

a

bb

a

b

�� − �� = 𝑨𝑩 = 𝑶𝑴′ unde 𝑶𝑩′ = −�� , 𝑶𝑨 = 𝒂 , 𝑶𝑩 = 𝒃

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 8

VECTORI

VECTORI

Definitie iinnmmuullttiirreeaa vveeccttoorriilloorr ccuu ssccaallaarrii :

Fie vectorul �� si scalarul 𝝀 ;

- prin produsul dintre scalarul 𝝀 si vectorul �� se intelege vectorul 𝝀 ∙ �� care are :

1). - aceeasi directie cu a vectorului �� ;

2). - modulul |𝝀 ∙ �� | = |𝝀| ∙ |�� | .

Fie �� ≠ �� , nenul , atunci :

- daca 𝝀 > 0 atunci 𝝀 ∙ �� are acelasi sens cu vectorul �� ;

- daca 𝝀 < 0 atunci 𝝀 ∙ �� are sens contrar cu vectorul �� .

Observatie :

- avem : 𝝀 ∙ �� = 𝟎 ⟺ 𝝀 = 𝟎 sau �� = 𝟎 .

Proprietatile iinnmmuullttiirriiii vveeccttoorriilloorr ccuu ssccaallaarrii :

Pentru (∀) �� , �� 𝝐 𝓥 si (∀) 𝜶 , 𝜷 𝝐 ℝ au loc urmatoarele :

1). 𝜶(�� + �� ) = 𝜶�� + 𝜶�� ;

2). 𝜶�� + 𝜷�� = (𝜶 + 𝜷)�� ;

3). 𝜶 ∙ (𝜷 ∙ �� ) = (𝜶 ∙ 𝜷) ∙ �� ;

4). 𝟏 ∙ �� = �� .

Definitie vveeccttoorrii ccoolliinniiaarrii :

- Se numesc vectori coliniari doi vectori care au aceeasi directie ( indiferent de modul si sens )

- doi vectori nenuli �� si �� sunt coliniari daca si numai daca exista 𝝀 𝝐 ℝ astfel incat

�� = 𝝀 ∙ ��

- vectorul nul este coliniar cu orice alt vector .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 9

VECTORI

VECTORI

Fie �� si �� doi vectori liberi ( in plan sau spatiu ) .

Definitie pprroodduussuull ssccaallaarr aa ddooii vveeccttoorrii :

- produsul scalar al vectorilor �� si �� este numarul real notat :

�� ∙ �� = |�� | ∙ |�� | ∙ 𝐜𝐨𝐬(�� , �� )

- mai notam 𝐜𝐨𝐬(�� , �� ) = 𝐜𝐨𝐬𝝋 , unde 𝝋 = unghiul vectorilor �� si �� .

- in concluzie , produsul scalar a doi vectori liberi este o marime scalara egala cu produsul

modulelor celor doi vectori inumltit cu cosinusul unghiului format de ei .

Proprietatile pprroodduussuulluuii ssccaallaarr :

(1). �� ∙ �� > 0 daca 𝝋 𝝐 (𝟎 ,𝝅

𝟐) si �� ≠ 𝟎 , �� ≠ 𝟎 ;

�� ∙ �� = 𝟎 daca 𝝋 = 𝝅

𝟐 sau �� = 𝟎 sau �� = 𝟎 ;

�� ∙ �� < 0 daca 𝝋 𝝐 (𝝅

𝟐 , 𝝅) si �� ≠ 𝟎 , �� ≠ 𝟎 .

(2). �� ∙ �� = �� ∙ �� ( comutativitate ) ;

(3). �� ∙ (�� + �� ) = �� ∙ �� + �� ∙ �� ( distributivitate ) ;

(4). �� ∙ �� = |�� |𝟐 ;

(5). - doi vectori nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca produsul lor scalar este nul :

�� ≠ 𝟎 , �� ≠ 𝟎 , �� ∙ �� = 𝟎 ⟺ �� ⊥ ��

(6). - produsul scalar a doi vectori de acelasi sens este egal cu produsul modulelor lor :

�� , �� 𝒔𝒊 𝝋 = 𝟎 ⟹ �� ∙ �� = |�� | ∙ |�� |

(7). - patratul scalar al unui vector este egal cu patratul marimii lui :

(�� )𝟐 = |�� |𝟐

de aici se deduce formula care da modulul unui vector cu ajutorul produsului scalar :

|�� | = √�� ∙ ��

(8). - pentru a inmulti un produs scalar cu un factor scalar oarecare m se poate considera ca

m inmulteste pe unul din cei doi vectori :

𝒎 (�� ∙ �� ) = (𝒎 ∙ �� )�� = �� (𝒎 ∙ �� )

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 10

VECTORI

VECTORI

Fie �� si �� doi vectori liberi ( in plan sau spatiu ) .

Definitie pprroodduussuull vveeccttoorriiaall aa ddooii vveeccttoorrii :

- produsul vectorial al vectorilor �� si �� este numarul real notat :

�� × �� = |�� | ∙ |�� | ∙ 𝐬𝐢𝐧(�� , �� ) sau �� × �� = |�� | ∙ |�� | ∙ 𝐬𝐢𝐧𝝋

- mai notam 𝐬𝐢𝐧(�� , �� ) = 𝐬𝐢𝐧𝝋 , unde 𝝋 = unghiul vectorilor �� si �� .

- in concluzie , produsul vectorial a doi vectori liberi este o marime scalara egala cu produsul

modulelor celor doi vectori inumltit cu sinusul unghiului format de ei .

Proprietatile pprroodduussuulluuii vveeccttoorriiaall :

(1). �� × �� > 0 daca 𝝋 𝝐 (𝟎 , 𝝅) si �� ≠ 𝟎 , �� ≠ 𝟎 ;

�� × �� = 𝟎 daca 𝝋 = 𝟎 , 𝝅 , 𝒌𝝅 sau �� = 𝟎 sau �� = 𝟎 ;

�� × �� < 0 daca 𝝋 𝝐 (𝝅 , 𝟐𝝅) si �� ≠ 𝟎 , �� ≠ 𝟎 .

(2). �� × �� = −�� × �� ;

(3). �� × (�� + �� ) = �� × �� + �� × �� distributiva la dreapta ,

(�� + �� ) × �� = �� × �� + �� × �� distributiva la stanga ;

(4). �� × �� ⊥ �� si �� × �� ⊥ �� ;

(5). - doi vectori nenuli sunt perpendiculari daca si numai daca :

�� ≠ 𝟎 , �� ≠ 𝟎 , �� × �� = |�� | ∙ |�� | ⟺ �� ⊥ ��

(6). - doi vectori nenuli sunt paraleli daca si numai daca :

�� ≠ 𝟎 , �� ≠ 𝟎 , �� × �� = �� ⟺ �� ∥ ��

(7). - pentru a inmulti un produs vectorial cu un factor scalar oarecare 𝝀 se poate considera ca

𝝀 inmulteste pe unul din cei doi vectori :

𝝀 (�� × �� ) = (𝝀 ∙ �� ) × �� = �� × (𝝀 ∙ �� )

(8). - dublul produs vectorial :

(�� × �� ) × �� = �� (�� ∙ �� ) − �� (�� ∙ �� )

(9). - identitati vectoriale :

(�� × �� ) × �� + (�� × �� ) × �� + (�� × �� ) × �� = ��

( �� × 𝒗 )𝟐 = 𝒖𝟐 ∙ 𝒗𝟐 − (�� ∙ �� )𝟐

(10). - produsul mixt a trei vectori : �� ∙ �� ∙ �� = (�� × �� ) ∙ ��

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 11

VECTORI

VECTORI

Definitie vveeccttoorr ddee ppoozziittiiee :

- un punct oarecare 𝑴 din spatiu are pozitia perfect determinata daca se da un punct fix 𝑶 in

spatiu numit origine si se cunoaste vectorul 𝑶𝑴 = �� .

- punctul 𝑴 este extremitatea vectorului �� a carui origine este punctul fix 𝑶 .

- vectorul 𝑶𝑴 = �� care determina pozitia lui 𝑴 se numeste vectorul de pozitie al

punctului 𝑴 si se scrie : 𝑴( 𝒓 ) .

O

rM

Definitie vveeccttoorruull ddee ppoozziittiiee ccaarree iimmppaarrttee uunn sseeggmmeenntt iinnttrr--uunn rraappoorrtt ddaatt :

Vectorul de pozitie �� al punctului 𝑴 care imparte un segment [𝑨𝑩] intr-un raport

dat 𝒌 unde

𝑨( �� ) , 𝑩( �� ) , 𝑴( �� ) , 𝑴𝑨

𝑴𝑩 =𝒌 ,

( 𝒌 < 0 daca 𝑴 ∈ (𝑨𝑩) si 𝒌 > 0 daca 𝑴 ∉ (𝑨𝑩) , 𝑴 ∈ 𝑨𝑩 )

este : �� = �� −𝒌��

𝟏 −𝒌 si 𝒌 ≠ 𝟏

O

B

A

M

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 12

VECTORI

VECTORI

Definitie vveeccttoorruull ddee ppoozziittiiee aall cceennttrruulluuii ddee ggrreeuuttaattee aall uunnuuii ttrriiuunngghhii :

Vom determina vectorul de pozitie �� al centrului de greutate al unui triunghi oarecare :

- fie △ 𝑨𝑩𝑪 cu 𝑨( 𝒓𝟏 ) , 𝑩( 𝒓𝟐 ) , 𝑪( 𝒓𝟑 ) si 𝑮( �� ) centrul sau de greutate .

- atunci :

�� =𝟏

𝟑( 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 + 𝒓𝟑 )

Definitie vveeccttoorruull ddee ppoozziittiiee aall cceennttrruulluuii ddee ggrreeuuttaattee aall uunnuuii tteettrraaeeddrruu :

Vom determina vectorul de pozitie �� al centrului de greutate al unui tetraedru :

- fie 𝑨( 𝒓𝟏 ) , 𝑩( 𝒓𝟐 ) , 𝑪( 𝒓𝟑 ) , 𝑫( 𝒓𝟒 ) varfurile tetraedrului 𝑨𝑩𝑪𝑫 si 𝑮( �� )

centrul sau de greutate .

- atunci :

�� =𝟏

𝟒( 𝒓𝟏 + 𝒓𝟐 + 𝒓𝟑 + 𝒓𝟒 )

Observatie :

- in general pentru un sistem 𝑴𝒊(𝒓𝒊 ) de puncte materiale , de mase 𝒎𝒊 , vectorul de pozitie

𝑶𝑮 al acestui sistem este :

𝑶𝑮 = ∑𝒎𝒊 𝒓𝒊 / ∑𝒎𝒊

Definitie vveecctt.. ddee ppoozz.. aall cceennttrruulluuii II aall cceerrcc.. iinnssccrriiss iinnttrr--uunn ttrriiuunngghhii AABBCC :

Fie 𝑶 un punct in spatiu fixat si fie 𝑨( 𝒓𝒂 ) , 𝑩( 𝒓𝒂 ) , 𝑪( 𝒓𝒂 ) fata de acest punct .

Atunci :

𝑶𝑰 = 𝒂𝒓𝒂 +𝒃𝒓𝒃 +𝒄𝒓𝒄

𝒂+𝒃+𝒄

Unde 𝒂, 𝒃, 𝒄 sunt lungimile laturilor triunghiului △ 𝑨𝑩𝑪 si 𝑰 centrul cercului inscris .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 13

VECTORI

VECTORI

Definitie ccoonnddiittiiaa ddee ccoolliinniiaarriittaattee :

- Fie 𝑶 un punct fixat in spatiu si punctele 𝑿 si 𝒀 care au vectorii de pozitie 𝑿(�� ) si

respectiv 𝒀(�� ) .

- Conditia necesra si suficienta ca extremitatea vectorului 𝑶𝒁 = �� sa se gaseasca pe dreapta

𝑨𝑩 este ca in relatia de dependenta :

�� = 𝒎�� + 𝒏�� sa avem 𝒎 + 𝒏 = 𝟏

Definitie ccoonnddiittiiaa ddee ccooppllaannaarriittaattee :

Consideram trei vectori 𝑶𝑼 = �� , 𝑶𝑽 = �� , 𝑶𝑾 = �� avand originea comuna 𝑶 .

- conditia necesara si suficienta ca extremitatea 𝑨 a unui vector 𝑶𝑨 = �� sa se afle in planul

𝑼𝑽𝑾 , determinat de extremitatile vectorilor 𝑶𝑼 , 𝑶𝑽 , 𝑶𝑾 , este ca in relatia de dependenta :

�� = 𝒎�� + 𝒏�� + 𝒑�� sa avem 𝒎 + 𝒏 + 𝒑 = 𝟏

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 14

VECTORI

VECTORI

Definitie aaxxaa ddee ccoooorrddoonnaattee :

- se numeste axa de coordonate o dreapta pe care sunt fixate : un punct 𝑶 ( numit origine ) ,

un segment 𝑶𝑴 , a carui lungime este egala cu unitatea si un sens pozitiv .

Definitie rreeppeerr ccaarrtteezziiaann iinn ppllaann :

- se numeste reper cartezian in plan un sistem format din doua axe 𝑶𝒙 si 𝑶𝒚 cu aceeasi

origine .

- un reper cartezian format cu axele 𝑶𝒙 si 𝑶𝒚 se noteaza 𝒙𝑶𝒚 .

- daca axele 𝑶𝒙 si 𝑶𝒚 sunt perpendiculare , reperul 𝒙𝑶𝒚 se numeste ortogonal ( sistem de

axe ortogonale ) .

- vom numi axa 𝑶𝒙 - abscisa ;

- vom numi axa 𝑶𝒚 - ordonata .

Teorema :

- intr-un reper cartezian , oricarui punct 𝑨 (𝒂 , 𝒃 ) din plan ii corespunde un singur vector

�� = ( 𝒂 , 𝒃 ) ∈ ℝ𝟐 si reciproc .

Definitie rreeppeerr ccaarrtteezziiaann iinn ssppaattiiuu :

- se numeste reper cartezian in spatiu un sistem format din trei axe 𝑶𝒙 , 𝑶𝒚 , 𝑶𝒛 cu

aceeasi origine 𝑶 si el se noteaza 𝒙𝑶𝒚𝒛 .

- daca axele 𝑶𝒙 , 𝑶𝒚 , 𝑶𝒛 sunt perpendiculare doua cate doua , atunci avem un :

reper ortogonal sau un sitem de axe ortogonale ale spatiului

unde 𝑂𝑥 ( abscisa ) , 𝑶𝒚 ( ordonata ) iar 𝑶𝒛 ( cota ) .

Teorema :

- intr-un reper cartezian , oricarui punct 𝑴(𝒂, 𝒃. 𝒄) ii corespunde un singur vector

�� = ( 𝒂 , 𝒃, 𝒄 ) ∈ ℝ𝟑 si reciproc

pt orice vector ( 𝒂 , 𝒃, 𝒄 ) ∈ ℝ𝟑 exista un punct unic 𝑴(𝒂, 𝒃. 𝒄) unde 𝒂, 𝒃, 𝒄 sunt coordonatele

punctului 𝑴 sau ( componentele ) coordonatele vectorului �� .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 15

VECTORI

VECTORI

Definitie ccaaddrraannee :

- un reper cartezian in plan determina o impartire a planului in patru regiuni , numite cadrane ,

marcate cu cifrele romane 𝑰 , 𝑰𝑰 , 𝑰𝑰𝑰 , 𝑰𝑽 si definite dupa cum urmeaza :

𝑰 = {𝑴(𝒙, 𝒚) ∕ 𝒙 > 0, 𝑦 > 0} 𝑰𝑰 = {𝑴(𝒙, 𝒚) ∕ 𝒙 < 0, 𝑦 > 0}

𝑰𝑰𝑰 = {𝑴(𝒙, 𝒚) ∕ 𝒙 < 0, 𝑦 < 0} 𝑰𝑽 = {𝑴(𝒙, 𝒚) ∕ 𝒙 > 0, 𝑦 < 0}

Teorema distanta dintre doua puncte in plan :

- daca 𝑨(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏) si 𝑩(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐) sunt doua puncte din plan , atunci distanta dintre ele este :

𝑨𝑩 = √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐)

𝟐

Teorema distanta dintre doua puncte in spatiu :

- daca 𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) si 𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐) sunt doua puncte din spatiu , atunci distanta dintre ele este :

𝑨𝑩 = √(𝒙𝟏 − 𝒙𝟐)𝟐 + (𝒚𝟏 − 𝒚𝟐)

𝟐 + (𝒛𝟏 − 𝒛𝟐)𝟐

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 16

VECTORI

VECTORI

Fie :

- un plan in care se considera reperul cartezian ortogonal 𝒙𝑶𝒚 , 𝑶𝒙 ⊥ 𝑶𝒚 ;

- consideram vectorii 𝒊 si 𝒋 cu proprietatea : | 𝒊 | = | 𝒋 | = 𝟏 numiti versori sau vectori

unitate ;

- pe axa 𝑶𝒙 consideram versorul 𝒊 , iar pe axa 𝑶𝒚 consideram versorul 𝒋 ;

- cuplul ( 𝒊 , 𝒋 ) se numeste baza ortonormata pentru multimea vectorilor din planul 𝒙𝑶𝒚 ;

- reperul (𝑶 , 𝒊 , 𝒋 ) se numeste reper cartezian ortonormat .

Definitie vveeccttoorr ddee ppoozziittiiee iinn xxOOyy :

- fiecarui punct 𝑴 din plan i se asociaza vectorul de pozitie 𝑶𝑴 , vector legat de 𝑶 , care

se exprima unic in functie de versorii 𝒊 si 𝒋 :

𝑶𝑴 = 𝑶𝑴𝟏 + 𝑶𝑴𝟐

= 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋

- 𝒙 si 𝒚 reprezinta coordonatele vectorului 𝑶𝑴 in baza ( 𝒊 , 𝒋 ) , ele fiind coordonatele

carteziene ale punctului 𝑴 ;

- vom scrie : 𝑶𝑴 = ( 𝒙 , 𝒚 ) ;

- vectorii 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 sunt componentele vectorului 𝑶𝑴 dupa cele doua axe 𝑶𝒙 si 𝑶𝒚 .

0 x

yM(x,y)

i

j

M 1

M 2M

O

- expresia care ne da descompunerea unui vector dupa doua axe dreptunghiulare se numeste

expresia analitica a vectorului .

Concluzie :

1). - daca �� ∈ 𝑽 este un vector oarecare din reperul (𝑶 , 𝒊 , 𝒋 ) atunci exista doua numere reale

𝒂 si 𝒃 unice determinate astfel ca : �� = 𝒂𝒊 + 𝒃𝒋 , unde

unde 𝒂 si 𝒃 se numesc coordonatele vectorului ��

si se scrie : �� = ( 𝒂 , 𝒃 ) sau �� ( 𝒂 , 𝒃 ) .

2). - intr-un plan doi vectori egali au aceleasi coordonate .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 17

VECTORI

VECTORI

Fie punctele arbitrare in plan 𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) si 𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐) .

Definitie ccoooorrddoonnaatteellee vveeccttoorruulluuii ddeetteerrmmiinnaatt ddee AA ssii BB :

- vectorul �� = 𝑨𝑩 este vectorul 𝑨𝑩 = (𝒂𝟐 − 𝒂𝟏)𝒊 + (𝒃𝟐 − 𝒃𝟏)𝒋 ;

- coordonatele vectorului 𝑨𝑩 in baza ( 𝒊 , 𝒋 ) sunt 𝑨𝑩 (𝒂𝟐 − 𝒂𝟏 , 𝒃𝟐 − 𝒃𝟏) .

x

y

0

A

B

v

a1 a2

b1

b2

Definitie ccoooorrdd.. uunnuuii ppuunncctt MM ccee iimmppaarrttee uunn sseegg.. AABB iinnttrr--uunn rraappoorrtt ddaatt :

Vom determina coordonatele unui punct 𝑴 care imparte un segment 𝑨𝑩 intr-un raport dat :

- in reperul (𝑶, 𝒊 , 𝒋 ) avem :

�� = 𝑶𝑨 = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 , �� = 𝑶𝑩 = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 si �� = 𝑶𝑴 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋

atunci din egalitatea �� =�� −𝒌��

𝟏−𝒌 determinam :

𝒙 =𝒙𝟏−𝒌𝒙𝟐

𝟏−𝒌 si 𝒚 =

𝒚𝟏−𝒌𝒚𝟐

𝟏−𝒌

- avem aceleasi observatii asupra lui 𝒌 si cand : 𝒌 > 0 , 𝒌 < 0 .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 18

VECTORI

VECTORI

Definitie mmoodduulluull vveeccttoorruulluuii :

- modulul vectorului 𝑶𝑴 = �� = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 este : |�� | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 .

Definitie ccoooorrddoonnaatteellee ssuummeeii aa ddooii vveeccttoorrii :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 sau �� (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) si �� (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)

- avem :

�� + �� = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝒊 + (𝒚𝟏 + 𝒚𝟐)𝒋 sau (�� + �� )(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐)

Definitie ccoooorrddoonnaatteellee pprroodduussuulluuii uunnuuii vveeccttoorr ccuu uunn nnrr.. rreeaall :

- fie vectorul �� = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 si numarul real 𝜶 ;

- avem :

𝜶 ∙ �� = 𝜶𝒙𝒊 + 𝜶𝒚𝒋 sau 𝜶 ∙ �� = (𝜶𝒙 , 𝜶𝒚)

Definitie ccoooorrddoonnaatteellee pprroodduussuulluuii aa ddooii vveeccttoorrii :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 sau �� (𝒙𝟏, 𝒚𝟏) si �� (𝒙𝟐, 𝒚𝟐)

- avem :

�� ∙ �� = (𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 ) ∙ (𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 ) = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 - Observatii :

𝒊 ∙ 𝒊 = 𝒋 ∙ 𝒋 = 𝟏 iar 𝒊 ∙ 𝒋 = 𝒋 ∙ 𝒊 = 𝟎

Definitie ccoossiinnuussuull uunngghhiiuulluuii ddiinnttrree ddooii vveeccttoorrii :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 , iar 𝜶 unghiul dintre vectorii �� si ��

- atunci cosinusul unghiului 𝜶 este :

𝐜𝐨𝐬𝜶 =�� ∙��

|�� |∙|�� |=

𝒙𝟏∙𝒙𝟐+𝒚𝟏∙𝒚𝟐

√𝒙𝟏𝟐+𝒚𝟏

𝟐∙√𝒙𝟐𝟐+𝒚𝟐

𝟐

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 19

VECTORI

VECTORI

Conditia ddee ppaarraalleelliissmm aa ddooii vveeccttoorrii :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 ;

- vectorii �� si �� sunt paraleli si scriem :

�� ∥ �� ⟺ 𝒙𝟏

𝒙𝟐=

𝒚𝟏

𝒚𝟐 , pentru 𝒙𝟐 ≠ 𝟎 , 𝒚𝟐 ≠ 𝟎

- Important : in cazul in care un numitor se anuleaza , atunci se anuleaza si numaratorul !!!

Conditia ddee ppeerrppeennddiiccuullaarriittaattee aa ddooii vveeccttoorrii :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 ;

- vectorii �� si �� sunt perpendiculari si scriem :

�� ⊥ �� ⟺ 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 = 𝟎 sau 𝐜𝐨𝐬𝜶 = 𝟎 unde 𝜶 =𝝅

𝟐

Conditia ddee ccoolliinniiaarriittaattee aa ttrreeii ppuunnccttee :

- trei puncte distincte 𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) , 𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐) si 𝑪(𝒙𝟑, 𝒚𝟑) sunt coliniare daca :

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒙𝟑−𝒙𝟏=

𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒚𝟑−𝒚𝟏 cu conditia 𝒙𝟑 ≠ 𝒙𝟏 , 𝒚𝟑 ≠ 𝒚𝟏

sau

- conditia de coliniaritate a trei puncte 𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏) , 𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐) si 𝑪(𝒙𝟑, 𝒚𝟑) este sa existe un

numar real 𝒂 ∈ ℝ astfel incat :

𝑨𝑩 = 𝒂 ∙ 𝑨𝑪 ⟺ 𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒙𝟑−𝒙𝟏=

𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒚𝟑−𝒚𝟏 , 𝒙𝟑 ≠ 𝒙𝟏 , 𝒚𝟑 ≠ 𝒚𝟏

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 20

VECTORI

VECTORI

Definitie rreeppeerr ccaarrtteezziiaann iinn ssppaattiiuu :

- se numeste reper cartezian in spatiu un sistem format din trei axe 𝑶𝒙 , 𝑶𝒚 , 𝑶𝒛 cu

aceeasi origine 𝑶 si el se noteaza 𝒙𝑶𝒚𝒛 .

- daca axele 𝑶𝒙 , 𝑶𝒚 , 𝑶𝒛 sunt perpendiculare doua cate doua , atunci avem un :

reper ortogonal sau un sitem de axe ortogonale ale spatiului

unde 𝑶𝒙 ( abscisa ) , 𝑶𝒚 ( ordonata ) iar 𝑶𝒛 ( cota ) .

Definitie rreeppeerr oorrttoonnoorrmmaatt iinn ssppaattiiuu :

- fie versorii 𝒊 , 𝒋 si �� , | 𝒊 | = | 𝒋 | = | 𝒌 | = 𝟏 , unde 𝒊 ∈ 𝑶𝒙 , 𝒋 ∈ 𝑶𝒚 iar �� ∈ 𝑶𝒛 ,

cu proprietatea 𝒊 ⊥ 𝒋 ⊥ �� atunci reperul (𝑶 , 𝒊 , �� , 𝒌 ) se numeste reper ortonormat in spatiu .

Definitie vveeccttoorr iinn rreeppeerr oorrttoonnoorrmmaatt iinn ssppaattiiuu :

- fiecarui punct 𝑴 din spatiu i se asociaza vectorul de pozitie 𝑶𝑴 , vector legat de 𝑶 , care

se descompune dupa directiile 𝒊 , 𝒋 si �� in :

𝑶𝑴 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛��

- 𝒙 , 𝒚 si 𝒛 reprezinta coordonatele vectorului 𝑶𝑴 in reperul ( 𝒊 , 𝒋 , �� ) , ele fiind

coordonatele carteziene in spatiu ale punctului 𝑴 , numite abscisa , ordonata si respectiv cota ;

- vom scrie : 𝑶𝑴 = ( 𝒙 , 𝒚 , 𝒛) ;

- vectorii 𝒙𝒊 , 𝒚𝒋 , 𝒛�� sunt componentele vectorului 𝑶𝑴 dupa cele trei axe 𝑶𝒙 , 𝑶𝒚 , 𝑶𝒛

x

z

y

O

M

ij

k

Definitie mmoodduulluull vveeccttoorruulluuii :

- modulul vectorului 𝑶𝑴 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛�� este : |𝑶𝑴 | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 21

VECTORI

VECTORI

Definitie ccoooorrddoonnaatteellee vveeccttoorruulluuii ddeetteerrmmiinnaatt ddee ddoouuaa ppuunnccttee :

- fie 𝑴𝟏(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) si 𝑴𝟐(𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐) doua puncte din spatiu atunci avem vectorul :

𝑴𝟏𝑴𝟐 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝒊 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝒋 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)��

- coordonatele vectorului 𝑴𝟏𝑴𝟐 in baza ( 𝒊 , 𝒋 , �� ) sunt (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 , 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 , 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)

Definitie mmoodduulluull vveeccttoorruulluuii ddeetteerrmmiinnaatt ddee ddoouuaa ppuunnccttee :

- fie 𝑴𝟏(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) si 𝑴𝟐(𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐) doua puncte din spatiu ;

- modulul vectorului 𝑴𝟏𝑴𝟐 este : |𝑴𝟏𝑴𝟐

| = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)

𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)𝟐

- modulul vectorului 𝑴𝟏𝑴𝟐 este egal cu lungimea diagonalei paralelipipedului dreptunghic .

Definitie ssuummaa aa ddooii vveeccttoorrii ddaattii pprriinn ccoooorrddoonnaattee :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 + 𝒛𝟏�� si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 + 𝒛𝟐��

- avem , ca si in plan , vectorul suma : (�� + �� )(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 , 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐) sau :

�� + �� = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)𝒊 + (𝒚𝟏 + 𝒚𝟐)𝒋 + (𝒛𝟏 + 𝒛𝟐)��

Definitie pprroodduussuull uunnuuii vveeccttoorr ccuu uunn nnrr.. rreeaall ddaatt pprriinn ccoooorrddoonnaattee :

- fie vectorul �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 + 𝒛𝟏�� si numarul real 𝜶 ;

- avem :

𝜶 ∙ �� = 𝜶𝒙𝟏𝒊 + 𝜶𝒚𝟏𝒋 + 𝜶𝒛𝟏�� sau 𝜶 ∙ �� = (𝜶𝒙𝟏 , 𝜶𝒚𝟏 , 𝜶𝒛𝟏) , ∀ 𝜶 ∈ ℝ

Definitie pprroodduussuull ssccaallaarr aa ddooii vveeccttoorrii ddaattii pprriinn ccoooorrddoonnaattee :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 + 𝒛𝟏�� si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 + 𝒛𝟐��

- avem :

�� ∙ �� = (𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 + 𝒛𝟏�� ) ∙ (𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 + 𝒛𝟐�� ) = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐

- Observatii :

𝒊 ∙ 𝒊 = 𝒋 ∙ 𝒋 = �� ∙ �� = 𝟏 iar 𝒊 ∙ 𝒋 = 𝒊 ∙ �� = �� ∙ 𝒋 = 𝟎

Definitie ccoossiinnuussuull uunngghhiiuulluuii ddiinnttrree ddooii vveeccttoorrii iinn ssppaattiiuu :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 + 𝒛𝟏�� si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 + 𝒛𝟐�� , iar 𝜶 unghiul dintre vectorii

�� si �� ;

- atunci cosinusul unghiului 𝜶 este : 𝐜𝐨𝐬𝜶 =�� ∙��

|�� |∙|�� |=

𝒙𝟏∙𝒙𝟐+𝒚𝟏∙𝒚𝟐+𝒛𝟏∙𝒛𝟐

√𝒙𝟏𝟐+𝒚𝟏

𝟐+𝒛𝟏𝟐∙√𝒙𝟐

𝟐+𝒚𝟐𝟐+𝒛𝟐

𝟐

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 22

VECTORI

VECTORI

Conditia ddee ppaarraalleelliissmm aa ddooii vveeccttoorrii iinn ssppaattiiuu :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 + 𝒛𝟏�� si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 + 𝒛𝟐�� ;

- vectorii �� si �� sunt paraleli si scriem :

�� ∥ �� ⟺ 𝒙𝟏

𝒙𝟐=

𝒚𝟏

𝒚𝟐=

𝒛𝟏

𝒛𝟐 , pentru 𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐 ≠ 𝟎

- Important : in cazul in care un numitor se anuleaza , atunci se anuleaza si numaratorul !!!

Conditia ddee ppeerrppeennddiiccuullaarriittaattee aa ddooii vveeccttoorrii iinn ssppaattiiuu :

- fie vectorii �� = 𝒙𝟏𝒊 + 𝒚𝟏𝒋 + 𝒛𝟏�� si �� = 𝒙𝟐𝒊 + 𝒚𝟐𝒋 + 𝒛𝟐�� ;

- vectorii �� si �� sunt perpendiculari si scriem :

�� ⊥ �� ⟺ 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝟎 sau 𝐜𝐨𝐬𝜶 = 𝟎 unde 𝜶 =𝝅

𝟐

Conditia ddee ccoolliinniiaarriittaattee aa ttrreeii ppuunnccttee iinn ssppaattiiuu :

- trei puncte distincte 𝑨(𝒙𝟏, 𝒚𝟏, 𝒛𝟏) , 𝑩(𝒙𝟐, 𝒚𝟐, 𝒛𝟐) si 𝑪(𝒙𝟑, 𝒚𝟑, 𝒛𝟑) sunt coliniare daca :

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒙𝟑−𝒙𝟏=

𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒚𝟑−𝒚𝟏=

𝒛𝟐−𝒛𝟏

𝒛𝟑−𝒛𝟏 cu conditia 𝒙𝟑 ≠ 𝒙𝟏 , 𝒚𝟑 ≠ 𝒚𝟏 , 𝒛𝟑 ≠ 𝒛𝟏

Definitie ccoooorrdd.. uunnuuii ppuunncctt ccaarree iimmppaarrttee uunn sseeggmmeenntt iinnttrr--uunn rraappoorrtt :

- coordonatele unui punct 𝑴(𝒙, 𝒚, 𝒛) care imparte un segment 𝑨𝑩 intr-un raport 𝒌 , adica

𝑴𝑨 = 𝒌 ∙ 𝑴𝑩 sunt :

𝒙 =𝒙𝟏−𝒌𝒙𝟐

𝟏−𝒌 , 𝒚 =

𝒚𝟏−𝒌𝒚𝟐

𝟏−𝒌 , 𝒛 =

𝒛𝟏−𝒌𝒛𝟐

𝟏−𝒌

Definitie eexxpprreessiiaa vveerrssoorruulluuii uunneeii ddiirreeccttiiii ooaarreeccaarree :

- fie �� un vector care face cu axele 𝑶𝒙, 𝑶𝒚,𝑶𝒛 unghiurile de masuri 𝜶 , 𝜷 respectiv 𝜸 ;

- cum �� = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛�� si 𝒙 = |�� | 𝐜𝐨𝐬𝜶 , 𝒚 = |�� | 𝐜𝐨𝐬𝜷 , 𝒛 = |�� | 𝐜𝐨𝐬 𝜸

se obtine expresia versorului unei directii oarecare �� notata 𝒖𝟎 astfel :

𝒖𝟎 = 𝒊 𝐜𝐨𝐬𝜶 + 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝜷 + �� 𝐜𝐨𝐬𝜸

- din relatiile anterioare 𝒙 = |�� | 𝐜𝐨𝐬𝜶 , 𝒚 = |�� | 𝐜𝐨𝐬𝜷 , 𝒛 = |�� | 𝐜𝐨𝐬 𝜸 obtinem :

𝐜𝐨𝐬𝜶 =𝒙

√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 , 𝐜𝐨𝐬𝜷 =

𝒚

√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 , 𝐜𝐨𝐬𝜸 =

𝒛

√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐

care se mai numesc cosinusurile directoare ale directiei 𝒖𝟎 .

- coordonatele versorului 𝒖𝟎 sunt tripletele (𝐜𝐨𝐬𝜶 , 𝐜𝐨𝐬𝜷 , 𝐜𝐨𝐬 𝜸) .

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 23

VECTORI

VECTORI

Definitie uunngghhiiuull aa ddoouuaa ddiirreeccttiiii iinn ssppaattiiuu :

In cele ce urmeaza vom determina unghiul a doua directii in spatiu exprimat cu ajutorul

unghiurilor pe care acestea le fac cu axele de coordonate :

- fie vectorii �� si �� cu cei doi versori ai directiei lor :

𝒖𝟎 = 𝒊 𝐜𝐨𝐬𝜶𝟏 + 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝜷𝟏 + �� 𝐜𝐨𝐬𝜸𝟏 si 𝒗𝟎 = 𝒊 𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐 + 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝜷𝟐 + �� 𝐜𝐨𝐬𝜸𝟐

- produsul scalar al lor ne conduce la :

𝒖𝟎 ∙ 𝒗𝟎 = 𝐜𝐨𝐬𝜽 , unde 𝜽 = 𝒎( 𝒖𝟎 , 𝒗𝟎 ) Prin urmare :

𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝜶𝟏 𝐜𝐨𝐬𝜶𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜷𝟏 𝐜𝐨𝐬𝜷𝟐 + 𝐜𝐨𝐬𝜸𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜸𝟐

- in cazul particular cand directiile coincid rezulta relatia :

𝒄𝒐𝒔𝟐𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜷 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜸 = 𝟏

Definitie pprrooiieeccttiiaa uunnuuii vveeccttoorr ppee oo ddrreeaappttaa (( dd )) :

- fie vectorul �� (𝒙, 𝒚, 𝒛) care formeaza unghiurile de masuri 𝜶 , 𝜷 , 𝜸 cu directia (𝒅) ;

- daca �� este versorul dreptei 𝒅 avem : �� = 𝒊 𝐜𝐨𝐬𝜶 + 𝒋 𝐜𝐨𝐬𝜷 + �� 𝐜𝐨𝐬𝜸 ;

- numim proiectia vectorului �� pe dreapta 𝒅 produsul :

�� ∙ �� = |�� | ∙ 𝟏 ∙ 𝐜𝐨𝐬(�� , �� ) = 𝒑𝒓𝒅�� adica :

𝒑𝒓𝒅�� = 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝜶 + 𝒚𝐜𝐨𝐬𝜷 + 𝒛 𝐜𝐨𝐬 𝜸

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 24

VECTORI

VECTORI

Definitie ttrraannssllaattiiaa :

- translatia este o transformare geometrica prin cate toate punctele unei figuri se deplaseaza

dupa acelasi vector .

Definitie ttrraannssllaattiiee ddee vveeccttoorr :

- fie un vector nenul �� (𝒂, 𝒃) si un plan 𝓟 ; - se numeste translatie de vector �� o functie 𝑻 ∶ 𝓟 → 𝓟 prin care fiecarui punct 𝑴 ∈ 𝓟 i se

asociaza un punct 𝑴′ ∈ 𝓟 astfel incat 𝑴𝑴′ = �� .

x

y

O

vv

M

M'

Proprietati aallee ttrraannssllaattiieeii ddee vveeccttoorr :

Proprietatea 1 : 𝑻(𝑴) = 𝑴′ , unde 𝑴′ este imaginea sau translatul punctului 𝑴 in

planul 𝓟 .

Proprietatea 2 : Translatia pastreaza lungimea , directia , sensul , segmentelor orientate ,

masura unghiurilor si aria suprafetelor .

Proprietatea 3 : Translatia conserva distantele dintre punctele planului ( este o izometrie ) si

transforma o dreapta data in una paralela cu aceasta , distincta de ea sau nu .

- in planul 𝓟 , se numeste izometrie o aplicatie 𝑰: 𝓟 → 𝓟 , care are proprietatea :

𝒅(𝑰(𝑨), 𝑰(𝑩)) = 𝒅(𝑨,𝑩) , ∀ 𝑨, 𝑩 ∈ 𝓟

Proprietatea 4 : Translatia conserva coliniaritatea punctelor planului si unghiurile .

Proprietatea 5 : Translatia transforma un poligon intr-un alt poligon egal cu primul si un

cerc dat intr-un cerc egal cu cel dat .

Proprietatea 6 : Daca 𝑴′(𝒙′, 𝒚′) este imaginea lui 𝑴(𝒙, 𝒚) prin translatia 𝑻 , atunci

avem :

𝒙′ = 𝒙 + 𝒂 , 𝒚′ = 𝒚 + 𝒃

Clasa a X + XI -a GEOMETRIE - 25

VECTORI

VECTORI

Definitie oommootteettiiaa :

- Omotetia este o transformare geometrica prin care se mareste / micsoreaza dimensiunile unei

figuri geometrice de acelasi numar de ori .

Definitie oommootteettiiee ddee cceennttrruu OO ssii rraappoorrtt kk :

- fie O un punct din plan si 𝒌 un numar real nenul ;

- se numeste omotetie de centru 𝑶 si raport 𝒌 o functie 𝑯 ∶ 𝓟 → 𝓟 care asociaza

fiecarui punct 𝑴 punctul 𝑴′ astfel incat :

𝑶𝑴′ = 𝒌 ∙ 𝑶𝑴

Proprietati aallee oommootteettiieeii :

Proprietatea 1 : 𝑯(𝑴) = 𝑴′ , unde 𝑴′ este imaginea lui 𝑴 prin functia 𝑯 .

Proprietatea 2 : O omotetie este definita daca se dau punctul 𝑶 impreuna cu un punct 𝑴 si cu imaginea sa 𝑴′ .

Proprietatea 3 : Omotetia pastreaza directia si masura unghiurilor .

Proprietatea 4 : Prin omotetie lungimile cresc sau descresc de acelasi numar de ori .

Proprietatea 5 : Omotetia nu pastreaza distantele dintre puncte . Ea le amplifica cu raportul

omotetiei in modul , |𝒌| .

Proprietatea 6 : Omotetia invariaza dreptele ce trec prin pol .

Proprietatea 7 : Omotetia transforma o dreapta data intr-o dreapta paralela cu cea data , un

poligon dat intr-un poligon asemenea cu cel dat si cercurile in cercuri .

Proprietatea 8 : Daca 𝑴′(𝒙′, 𝒚′) este imaginea lui 𝑴(𝒙, 𝒚) prin omotetia 𝑯𝑶𝒌 , atunci

avem :

𝒙′ = 𝒌 ∙ 𝒙 , 𝒚′ = 𝒌 ∙ 𝒚

- ecuatiile omotetiei in spatiu sunt :

𝒙′ = 𝒌 ∙ 𝒙 , 𝒚′ = 𝒌 ∙ 𝒚 , 𝒛′ = 𝒌 ∙ 𝒛